2019_2020学年新教材高中数学专题强化训练三函数的概念与性质含解析新人教
第三章函数的概念与性质【新教材】人教A版(2019)高中数学必修【解析版】
第三章函数的概念与性质单元测试题1．函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．[1，2)D ．[1，2)∪(2，＋∞)解析：选D.根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2.2．函数y ＝x 2＋1的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选B.由题意知，函数y ＝x 2＋1的定义域为x ∈R ，则x 2＋1≥1，所以y ≥1. 3．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1＝2x ＋3，则f (6)的值为( )A ．15B ．7C ．31D ．17解析：选C.令x2－1＝t ，则x ＝2t ＋2.将x ＝2t ＋2代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1＝2x ＋3，得f (t )＝2(2t ＋2)＋3＝4t ＋7.所以f (x )＝4x ＋7，所以f (6)＝4×6＋7＝31.4．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在[－1－a ，2a ]上的偶函数，则该函数的最大值为( ) A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选A.因为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在[－1－a ，2a ]上的偶函数，所以－1－a ＋2a ＝0，所以a ＝1，所以函数的定义域为[－2，2]．因为函数图象的对称轴为x ＝0，所以b ＝0，所以f (x )＝x 2＋1，所以x ＝±2时函数取得最大值，最大值为5.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2－x －3，x >1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f （3）的值为( )A.1516 B ．－2716 C.89D ．18解析：选C.由题意得f (3)＝32－3－3＝3，那么1f （3）＝13，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f （3）＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝89.6．已知函数y ＝f (2x )＋2x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2解析：设g (x )＝y ＝f (2x )＋2x ，∵函数y ＝f (2x )＋2x 是偶函数，∴g (－x )＝f (－2x )－2x ＝g (x )＝f (2x )＋2x ，即f (－2x )＝f (2x )＋4x ，当x ＝1时，f (－2)＝f (2)＋4＝1＋4＝5，故选A.7．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，则不等式f (x )>f (2x －3)的解集是( ) A ．(－∞，3) B ．(3，＋∞) C ．(0,3)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32 ，3 解析：本题考查函数的单调性．因为函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )>f (2x －3)⇔x >2x －3>0，解得32<x <3，故选D.8．甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是()A．40万元B．60万元C．120万元D．140万元解析：要想获取最大利润，则甲的价格为6元时，全部买入，可以买120÷6＝20万份，价格为8元时，全部卖出，此过程获利20×2＝40万元；乙的价格为4元时，全部买入，可以买(120＋40)÷4＝40万份，价格为6元时，全部卖出，此过程获利40×2＝80万元，∴共获利40＋80＝120万元，故选C.9．一个偶函数定义在[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图所示，下列说法正确的是(C)A．这个函数仅有一个单调增区间B．这个函数有两个单调减区间C．这个函数在其定义域内有最大值是7 D．这个函数在其定义域内有最小值是－7解析：结合偶函数图象关于y轴对称可知，这个函数在[－7，7]上有三个单调递增区间，三个单调递减区间，且定义域内有最大值7，无法判断最小值是多少．10．函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2在[0，a]上的最大值为3，最小值为2，则a的值为()A．0 B．1或2C．1 D．2解析：二次函数y＝x2－2ax＋a＋2的图象开口向上，且对称轴为x＝a，所以该函数在[0，a]上为减函数，因此有a＋2＝3且a2－2a2＋a＋2＝2，得a＝1.11．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f x2－f x1x2－x1<0，则()A．f(3)<f(－2)<f(1) B．f(1)<f(－2)<f(3) C．f(－2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(－2) 解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)．又∵任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f x2－f x1x2－x1<0，∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数．又∵1<2<3，∴f(1)>f(2)＝f(－2)>f(3)，故选A.12. 函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列命题：①f(0)＝0；②若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1；③若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数；④若x>0时，f(x)＝x2－2x，则x<0时，f(x)＝－x2－2x.其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝0，①正确；其图象关于原点对称，且在对称区间上具有相同的单调性，最值相反且互为相反数，所以②正确，③不正确；对于④，x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x，故④正确．13. 已知f (x )为奇函数，g (x )＝f (x )＋9，g (－2)＝3，则f (2)＝________．解析：根据已知条件，得g (－2)＝f (－2)＋9，又f (x )为奇函数，所以f (－2)＝－f (2)，则3＝－f (2)＋9，解得f (2)＝6.14．设函数f (x )＝x 2＋（a ＋1）x ＋ax 为奇函数，则实数a ＝________．解析：f (x )＝x 2＋（a ＋1）x ＋a x ＝x ＋ax ＋a ＋1，因此有f (－x )＝－x ＋a－x＋a ＋1， 因为f (x )为奇函数， 所以f (－x )＋f (x )＝0， 即2a ＋2＝0，所以a ＝－1.15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤－2，x ＋1，－2＜x ＜4，3x ，x ≥4，若f (a )＜－3，则a 的取值范围是________．解析：当a ≤－2时，f (a )＝a ＜－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)；当－2＜a ＜4时，f (a )＝a ＋1＜－3，此时不等式无解； 当a ≥4时，f (a )＝3a ＜－3，此时不等式无解． 所以a 的取值范围是(－∞，－3)．16.设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数且f (1)＝0，则不等式f x －f－xx<0的解集为.解析：因为f (x )为奇函数，所以不等式f x －f－xx<0化为fxx <0，即xf (x )<0，f (x )的大致图象如图所示．所以xf (x )<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．17．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋a ，x >1，3－2a x －1，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为 . 解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12＋a －1，x >1，3－2ax －1，x ≤1，显然函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增． 故由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，a －1≥3－2a ×1－1，解得1≤a <32.18．具有性质f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1中满足“倒负”变换的函数是________(填序号)．解析：对于①：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝－f (x )，所以①满足；对于②：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ≠－f (x )，所以②不满足；对于③：当0<x <1时，1x >1， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－x ＝－f (x )，当x ＝1时，显然满足， 当x >1时，0<1x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＝－f (x )，所以③满足．答案：①③19. 已知函数f (x )＝2x －a x ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3.(1)求实数a 的值；(2)判断函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性，并用定义证明． 解：(1)因为f (x )＝2x －ax ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－2a ＝3，解得a ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝2x ＋1x ，f (x )在(1，＋∞)上单调递增． 证明如下： 设x 1＞x 2＞1，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1－2x 2－1x 2＝(x 1－x 2)2x 1x 2－1x 1x 2.因为x 1＞x 2＞1，所以x 1－x 2＞0，2x 1x 2－1＞0，x 1x 2＞0， 所以f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )在(1，＋∞)上单调递增． 20.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，2]，4x，x ∈（2，4].(1)在图中画出函数f (x )的大致图象； (2)写出函数f (x )的最大值和单调递减区间． 解：(1)函数f (x )的大致图象如图所示．(2)由函数f (x )的图象得出，f (x )的最大值为2，函数f (x )的单调递减区间为[2，4]． 21.已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2－x －1.(1)求f (x )的解析式；(2)作出函数f (x )的图象(不用列表)，并指出它的单调递增区间． 解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝(－x )2－(－x )－1＝x 2＋x －1. 又因为函数f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＋1. 当x ＝0时，由f (0)＝－f (0)，得f (0)＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1（x ＞0），0（x ＝0），－x 2－x ＋1（x ＜0）.(2)作出函数图象，如图所示．由函数图象易得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.22.已知二次函数f (x )的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3.(1)求f (x )的解析式；(2)若f (x )在区间[2a ，a ＋1]上不单调，求实数a 的取值范围；(3)在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋2m ＋1的图象上方，试确定实数m 的取值范围．解：(1)由f (0)＝f (2)知二次函数f (x )关于直线x ＝1对称，又函数f (x )的最小值为1，故可设f (x )＝a (x －1)2＋1， 由f (0)＝3，得a ＝2. 故f (x )＝2x 2－4x ＋3.(2)要使函数不单调，则2a <1<a ＋1， 则0<a <12.(3)由已知，即2x 2－4x ＋3>2x ＋2m ＋1，化简得x 2－3x ＋1－m >0，设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，则只要g (x )min >0， ∵x ∈[－1,1]，∴g (x )min ＝g (1)＝－1－m >0，得m <－1.23.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2xx －1.求： (1)f (x )的解析式；(2)f (x )在[2,6]上的最大值和最小值． 解：(1)因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，则当x >0时，－x <0，f (x )＝－f (－x )＝－－2x －x －1＝－2xx ＋1，所以f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx －1，x ≤0，－2xx ＋1，x >0.(2)任取2≤x 1≤x 2≤6， 则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2x 2＋1 ＝2x 2x 2＋1－2x 1x 1＋1＝2x 2－x 1x 2＋1x 1＋1，由2≤x 1<x 2≤6可得2x 2－x 1x 2＋1x 1＋1>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在[2,6]上单调递减．故当x＝2时，f(x)取得最大值－43；当x＝6时，f(x)取得最小值－127.24.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝x＋mx2＋nx＋1.(1)求m，n的值；(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上为增函数；(3)若f(x)≤a3对x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13恒成立，求a的取值范围．解：(1)因为奇函数f(x)的定义域为R，所以f(0)＝0.故有f(0)＝0＋m02＋n×0＋1＝0，解得m＝0.所以f(x)＝xx2＋nx＋1.由f(－1)＝－f(1)．即－1－12＋n×－1＋1＝－112＋n×1＋1，解得n＝0.所以m＝n＝0.(2)证明：由(1)知f(x)＝xx2＋1，任取－1<x1<x2<1.则f(x1)－f(x2)＝x1x21＋1－x2 x22＋1＝x1x22＋1－x2x21＋1 x21＋1x22＋1＝x 1x 22－x 2x 21＋x 1－x 2x 21＋1x 22＋1＝x 1－x 21－x 1x 2x 21＋1x 22＋1. 因为－1<x 1<1，－1<x 2<1，所以－1<x 1x 2<1.故1－x 1x 2>0，又因为x 1<x 2， 所以x 1－x 2<0，故f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在(－1,1)上为增函数．(3)由(2)知f (x )在(－1,1)上为增函数，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13上为增函数， 故最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝310. 由题意可得a 3≥310，解得a ≥910.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫910，＋∞.。
2019_2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.2.1.1函数的单调性讲义新人教A版必修第一册
3.2.1 单调性与最大(小)值最新课程标准：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．第1课时 函数的单调性知识点一 定义域为I 的函数f (x )的单调性状元随笔 定义中的x 1，x 2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x 1<x 2； (3)属于同一个单调区间． 知识点二 单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．状元随笔 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接. 如函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减． [教材解难]1．教材P 77思考f (x )＝|x |在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增； f (x )＝－x 2在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．2．教材P 77思考(1)不能 例如反比例函数f (x )＝－1x，在(－∞，0)，(0，＋∞)上是单调递增的，在整个定义域上不是单调递增的．(2)函数f (x )＝x 在(－∞，＋∞)上是单调递增的．f (x )＝x 2在(－∞，0]上是单调递减，在[0，＋∞)上是单调递增的．[基础自测]1．下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1x在定义域上是增函数；④y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由于①中的x 1，x 2不是任意的，因此①不正确；②③④显然不正确． 答案：A2．函数y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则( ) A ．m >12 B ．m <12C ．m >－12D ．m <－12解析：使y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则2m －1<0，即m <12.答案：B3．函数y ＝－2x 2＋3x 的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B．(－∞，0) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 解析：借助图象得y ＝－2x 2＋3x 的单调减区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞，故选D.答案：D4．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，则x1，x2的大小关系为________．解析：∵f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，∴x1>x2.答案：x1>x2题型一利用函数图象求单调区间[经典例题]例1 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )A．(－3,1)∪(1,4) B．(－5，－3)∪(－1,1)C．(－3，－1)，(1,4) D．(－5，－3)，(－1,1)【解析】在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1,4)．【答案】 C观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间．跟踪训练1 函数f(x)的图象如图所示，则( )A．函数f(x)在[－1,2]上是增函数B．函数f(x)在[－1,2]上是减函数C．函数f(x)在[－1,4]上是减函数D．函数f(x)在[2,4]上是增函数解析：函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选A.答案：A根据图象上升或下降趋势判断．题型二函数的单调性判断与证明[教材P79例3]例2 根据定义证明函数y ＝x ＋1x在区间(1，＋∞)上单调递增．【证明】 ∀x 1，x 2∈(1，＋∞)， 且x 1<x 2，有y 1－y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)． 由x 1，x 2∈(1，＋∞)，得x 1>1，x 2>1. 所以x 1x 2>1，x 1x 2－1>0. 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0. 于是x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)<0， 即y 1<y 2.所以，函数y ＝x ＋1x在区间(1，＋∞)上单调递增.先根据单调性的定义任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，再判断f(x 1)－f(x 2)的符号． 教材反思利用定义证明函数单调性的步骤注：作差变形是解题关键．跟踪训练2 利用单调性的定义，证明函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 证明：设x 1，x 2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)， ∵－1<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0. ∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)>0.即f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)．∴y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 利用四步证明函数的单调性．题型三 由函数的单调性求参数的取值范围[经典例题]例3 已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围．【解析】 ∵f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2＝[x －(1－a )]2＋2－(1－a )2， ∴f (x )的减区间是(－∞，1－a ]． ∵f (x )在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x ＝1－a 必须在直线x ＝4的右侧或与其重合． ∴1－a ≥4，解得a ≤－3. 故a 的取值范围为(－∞，－3]．状元随笔 首先求出f(x)的单调减区间，求出f(x)的对称轴为x ＝1－a ，利用对称轴应在直线x ＝4的右侧或与其重合求解.方法归纳“函数的单调区间为I ”与“函数在区间I 上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I ，指的是函数递减的最大范围为区间I ，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．跟踪训练3 例3中，若将“函数在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a 为何值？解析：由例3知函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1－a ]， ∴1－a ＝4，a ＝－3.求出函数的减区间，用端点值相等求出a.一、选择题1．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b>0，则必有( )A ．函数f (x )先增后减B ．f (x )是R 上的增函数C ．函数f (x )先减后增D ．函数f (x )是R 上的减函数 解析：由f (a )－f (b )a －b>0知，当a >b 时，f (a )>f (b )；当a <b 时，f (a )<f (b )，所以函数f (x )是R 上的增函数．答案：B2．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋2 B ．y ＝3xC ．y ＝x 2－4x ＋5D ．y ＝3x 2＋8x －10解析：显然A 、B 两项在(0,2)上为减函数，排除；对C 项，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合题意；对D 项，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，＋∞上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数，故选D.答案：D3．函数f (x )＝x |x －2|的增区间是( ) A ．(－∞，1] B ．[2，＋∞) C ．(－∞，1]，[2，＋∞) D．(－∞，＋∞)解析：f (x )＝x |x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，2x －x 2，x <2，作出f (x )简图如下：由图象可知f (x )的增区间是(－∞，1]，[2，＋∞)． 答案：C4．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3.答案：C 二、填空题5．如图所示为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，则函数f (x )的单调递增区间是____________．解析：由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]． 答案：[－1.5,3]和[5,6]6．若f (x )在R 上是单调递减的，且f (x －2)<f (3)，则x 的取值范围是________． 解析：函数的定义域为R .由条件可知，x －2>3，解得x >5. 答案：(5，＋∞)7．函数y ＝|x 2－4x |的单调减区间为________．解析：画出函数y ＝|x 2－4x |的图象，由图象得单调减区间为：(－∞，0]，[2,4]．答案：(－∞，0]，[2,4] 三、解答题8．判断并证明函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上的单调性．解析：函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋1＝x 1－x 2x 1x 2，由x 1，x 2∈(0，＋∞)，得x 1x 2>0， 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0， 于是f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．9．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象，并指出函数的单调区间．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象如图所示．由图象可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞)．[尖子生题库]10．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，求x 的取值范围． 解析：∵f (x )是定义在[－1,1]上的增函数， 且f (x －2)<f (1－x )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，x －2<1－x ，解得1≤x <32，所以x 的取值范围为1≤x <32.。
(精选试题附答案)高中数学第三章函数的概念与性质必练题总结
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第三章函数的概念与性质必练题总结单选题1、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，当x∈(0,1]时，f(x)=x2，则f(−2021)+f(2022)=（）A．−4B．4C．−1D．1答案：C分析：由已知条件可得x>1时f(x+2)=f(x)，然后利用f(−2021)+f(2022)=−f(1)+f(0)求解即可.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，所以f(0)=0，f(2−x)=−f(x)=f(−x)，即可得x>1时f(x+2)=f(x)，因为当x∈(0,1]时，f(x)=x2，所以f(−2021)+f(2022)=−f(2×1010+1)+f(2×1011+0)=−f(1)+f(0)=−1+0=−1，故选：C2、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x−4)=−f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则（）A．f(16)<f(−17)<f(18)B．f(18)<f(16)<f(−17)C．f(16)<f(18)<f(−17)D．f(−17)<f(16)<f(18)答案：D分析：推导出函数f(x)是周期函数，且周期为8，以及函数f(x)在区间[−2,2]上为增函数，利用函数的周期性和单调性可得出f(16)、f(−17)、f(18)的大小关系.由题意可知f (x +8)=−f (x +4)=f (x )，故函数f (x )是周期函数，且周期为8，则f (16)=f (0)，f (−17)=f (−1)，f (18)=f (2)，因为奇函数f (x )在区间[0,2]上是增函数，则该函数在区间[−2,0]上也为增函数，故函数f (x )在区间[−2,2]上为增函数，所以f (−1)<f (0)<f (2)，即f (−17)<f (16)<f (18).故选：D.3、定义在R 上的函数f (x )满足f (4−x )+f (x )=2.若f (x )的图象关于直线x =4对称，则下列选项中一定成立的是（ ）A ．f (−2)=1B ．f (0)=0C ．f (4)=2D ．f (6)=−1答案：A分析：根据f (4−x )+f (x )=2，令x =2，可求得f (2)，再根据函数的对称性可得f (6)及f (4+x )+f (x )=2，再令x =−2，可求得f (−2)，即可得出答案.解：因为函数f (x )满足f (4−x )+f (x )=2，所以f (4−2)+f (2)=2f (2)=2，所以f (2)=1，又f (x )的图象关于直线x =4对称，所以f (6)=f (2)=1，且f (4−x )=f (4+x )，则f (4+x )+f (x )=2，所以f (4−2)+f (−2)=2，所以f (−2)=−1，无法求出f (0),f (4).故选：A.4、设f (x )是定义域为R 的奇函数，且f (1+x )=f (−x ).若f (−13)=13，则f (53)=（ ）A ．−53B ．−13C ．13D ．53答案：C分析：由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得f (53)的值.由题意可得：f (53)=f (1+23)=f (−23)=−f (23)，而f (23)=f (1−13)=f (13)=−f (−13)=−13， 故f (53)=13.故选：C.小提示：关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.5、函数f(x)=−x 2+2(1−m)x +3在区间(−∞,4]上单调递增，则m 的取值范围是（ ）A ．[−3,+∞)B ．[3,+∞)C ．(−∞,5]D ．(−∞,−3]答案：D分析：先求出抛物线的对称轴x =−2(1−m)−2=1−m ，而抛物线的开口向下，且在区间(−∞,4]上单调递增，所以1−m ≥4，从而可求出m 的取值范围解：函数f(x)=−x 2+2(1−m)x +3的图像的对称轴为x =−2(1−m)−2=1−m ，因为函数f(x)=−x 2+2(1−m)x +3在区间(−∞,4]上单调递增，所以1−m ≥4，解得m ≤−3，所以m 的取值范围为(−∞,−3]，故选：D6、函数的y =√−x 2−6x −5值域为（ ）A ．[0,+∞)B ．[0,2]C ．[2,+∞)D ．(2,+∞)答案：B分析：令u =−x 2−6x −5，则u ≥0，再根据二次函数的性质求出u 的最大值，进而可得u 的范围，再计算y =√u 的范围即可求解.令u =−x 2−6x −5，则u ≥0且y =√u又因为u =−x 2−6x −5=−(x +3)2+4≤4，所以0≤u ≤4，所以y =√u ∈[0,2]，即函数的y =√−x 2−6x −5值域为[0,2]，故选：B.7、已知函数f (x )={x 2+a,x ≤0,2x ,x >0.若f[f (−1)]=4，且a >−1，则a =（ ） A ．−12B ．0C ．1D ．2 答案：C分析：根据函数的解析式求出f(−1)=1+a ，结合1+a >0即可求出f[f(−1)]，进而得出结果.由题意知，f(−1)=(−1)2+a =1+a ，又a >−1，所以1+a >0，所以f[f(−1)]=f(1+a)=21+a =4，解得a =1.故选：C8、已知f (x )是一次函数，2f (2)−3f (1)=5,2f (0)−f (−1)=1，则f (x )=（ ）A ．3x +2B ．3x −2C ．2x +3D ．2x −3答案：B分析：设函数f (x )=kx +b(k ≠0)，根据题意列出方程组，求得k,b 的值，即可求解.由题意，设函数f (x )=kx +b(k ≠0)，因为2f (2)−3f (1)=5,2f (0)−f (−1)=1，可得{k −b =5k +b =1，解得k =3,b =−2， 所以f (x )=3x −2.故选：B.9、若函数y =√ax 2+4x +1的值域为[0,+∞)，则a 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B ．(4,+∞)C ．[0,4]D ．[4,+∞)答案：C分析：当a =0时易知满足题意；当a ≠0时，根据f (x )的值域包含[0,+∞)，结合二次函数性质可得结果. 当a =0时，y =√4x +1≥0，即值域为[0,+∞)，满足题意；若a ≠0，设f (x )=ax 2+4x +1，则需f (x )的值域包含[0,+∞)，∴{a >0Δ=16−4a ≥0，解得：0<a ≤4； 综上所述：a 的取值范围为[0,4].故选：C.10、下列函数中是增函数的为（ ）A ．f (x )=−xB ．f (x )=(23)xC ．f (x )=x 2D ．f (x )=√x 3 答案：D分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.对于A ，f (x )=−x 为R 上的减函数，不合题意，舍.对于B ，f (x )=(23)x为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于C ，f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数，不合题意，舍.对于D ，f (x )=√x 3为R 上的增函数，符合题意，故选：D.填空题11、不等式(4−x)−2021>(x−2)−2021的解为______．答案：(−∞,2)∪(3,4)分析：根据幂函数的性质，分类讨论即可将不等式(4−x)−2021>(x−2)−2021转化成(14−x )2021>(1x−2)2021（Ⅰ）{14−x>0 1x−2>0 14−x >1x−2，解得3<x<4；（Ⅱ）{14−x >01 x−2<0，解得x<2；（Ⅲ）{14−x<0 1x−2<0 14−x >1x−2，此时无解；综上，不等式的解集为：(−∞,2)∪(3,4)所以答案是：(−∞,2)∪(3,4)12、已知函数f(x)=|x+ax|在区间(0,1]上单调递减，则实数a的取值范围为___________.答案：(−∞,−1]∪[1,+∞)分析：分类讨论a，根据函数解析式得到函数在(0,+∞)上的单调性，再根据已知列式可得结果.当a=0时，f(x)=|x|在(0,+∞)上单调递增，故在区间(0,1]上单调递增，不合题意；当a>0时，f(x)=|x+ax|在区间(0,√a]上单调递减，在区间[√a,+∞)上单调递增，若f(x)在区间(0,1]上单调递减，则√a≥1，∴a≥1；当a<0时，f(x)=|x+ax|在区间(0,√−a]上单调递减，在区间[√−a,+∞)上单调递增，若f(x)在区间(0,1]上单调递减，则√−a≥1，∴a≤−1；综上，实数a的取值范围为(−∞,1]∪[1,+∞).所以答案是：(−∞,1]∪[1,+∞).13、设幂函数f(x)同时具有以下两个性质：①函数f(x)在第二象限内有图象；②对于任意两个不同的正数a，b，<0恒成立.请写出符合上述条件的一个幂函数f(x)=___________.都有f(a)−f(b)a−b（答案不唯一）答案：1x2分析：利用幂函数的图像、单调性得到指数满足的条件，写出一个满足题意的幂函数即可.由题意可得，幂函数f(x)=x a需满足在第二象限内有图象且在(0,+∞)上是单调递减即可，所以a=−2k(k∈N∗)，故满足上述条件的可以为f(x)=1.x2所以答案是：1（答案不唯一）.x214、已知m为常数，函数y=(2m2+m−2)x2m+1为幂函数，则m的值为______;或1答案：−32分析：根据幂函数的定义可得2m2+m−2=1，解方程即可.解：因为函数y=(2m2+m−2)x2m+1为幂函数，则2m2+m−2=1，或m=1.即2m2+m−3=0，解得m=−32所以答案是：−3或1.215、若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是________．答案：2分析：根据f(x)=f(-x)，简单计算可得结果.∵f(x)为偶函数，∴对于任意x∈R，有f(－x)＝f(x)，即(m－1)(－x)2＋(m－2)(－x)＋(m2－7m＋12)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)，∴2(m－2)x＝0对任意实数x均成立，∴m＝2.所以答案是：2小提示：本题考查根据函数奇偶性求参数，掌握概念，细心计算，属基础题.解答题16、已知函数f(x)=2x−ax ，且f(2)=92.(1)求实数a的值并判断该函数的奇偶性；(2)判断函数f(x)在（1，+∞）上的单调性并证明.答案：(1)a=−1，函数f(x)=2x+1x为奇函数(2)f(x)在(1,+∞)上是增函数，证明见解析分析：（1）根据f(2)=92，代入函数解析即可求解；（2）利用函数单调性的定义证明即可.（1）∵f(x)=2x−ax ，且f(2)=92,∴4−a2=92，∴a=−1；所以f(x)=2x+1x，定义域为{x|x≠0}关于原点对称，∵f(−x)=2(−x)+1−x =−2x−1x=−(2x+1x)=−f(x)，∴函数f(x)=2x+1x为奇函数.（2）函数f(x)在(1,+∞)上是增函数，证明：任取x1,x2∈(1,+∞)，设x1<x2，则f(x2)−f(x1)=2x2+1x2−(2x1+1x1)=2(x2−x1)+(1x2−1x1)=2(x2−x1)+(x1−x2x1x2)=(x2−x1)(2−1x1x2)=(x2−x1)(2x1x2−1)x1x2∵x1,x2∈(1,+∞)，且x1<x2，∴x2−x1>0，2x1x2−1>0,x1x2>0∴f(x2)−f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(1,+∞)上是增函数.17、已知f(x)为二次函数，且f(x +1)+f(x −1)=2x 2−4x ，求f(x)的表达式．答案：f(x)=x 2−2x −1分析：设出二次函数解析式，代入已知等式，待定系数法即可得解.由题意可设f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0)，则f(x +1)=a(x +1)2+b(x +1)+c =ax 2+(2a +b)x +a +b +c ，f(x −1)=a(x −1)2+b(x −1)+c =ax 2−(2a −b)x +a −b +c ，于是f(x +1)+f(x −1)=2ax 2+2bx +2a +2c ，又f(x +1)+f(x −1)=2x 2−4x ，所以{2a =2,2b =−4,2a +2c =0,解得{a =1,b =−2,c =−1,所以f(x)=x 2−2x −1．18、已知幂函数y =f (x )在其定义域上是严格增函数，且f (x )=x2−m 2m （m ∈Z ）. (1)求m 的值；(2)解不等式：f (|x |−2)<f (3x ).答案：(1)m =1(2)[2,3)分析：（1）由条件结合幂函数的性质可得2−m 2m >0，再验证可得答案.（2）由函数y =f (x )在其定义域上是严格增函数，结合（1）得出的解析式以及函数的定义域可得{3x ≥0|x |−2≥0|x |−2<3x，从而解出答案.（1）幂函数y =f (x )在其定义域上是严格增函数，则2−m 2m >0 ，即0<m <2又m ∈Z ，则m =1，此时f (x )=x 12f (x )=x 12满足在定义域[0,+∞)上是严格增函数.所以m =1（2）由（1）函数y=f(x)在其定义域上是严格增函数根据f(|x|−2)<f(3x )，则{3x≥0|x|−2≥0|x|−2<3x，则{x≥2|x|−2<3x所以{x≥2x2−2x<3，解得2≤x<3所以不等式f(|x|−2)<f(3x)的解集为[2,3)19、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=x4−2x2；(2)f(x)=x5−x；(3)f(x)=3x1−x2；(4)f(x)=|x|+x．答案：(1)偶函数(2)奇函数(3)奇函数(4)非奇非偶函数分析：（1）利用偶函数的定义可判断函数的奇偶性；（2）利用奇函数的定义可判断函数的奇偶性；（3）利用奇函数的定义可判断函数的奇偶性；（4）利用反例可判断该函数为非奇非偶函数.（1）f(x)的定义域为R，它关于原点对称.f(−x)=(−x)4−2(−x)2=x4−2x2=f(x)，故f(x)为偶函数. （2）f(x)的定义域为R，它关于原点对称.f(−x)=(−x)5−(−x)=−x5+x=−f(x)，故f(x)为奇函数. （3）f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞)，它关于原点对称.=−f(x)，故f(x)为奇函数.f(−x)=−3x1−(−x)2（4）f(1)=|1|+1=2,f(−1)=0，故f(1)≠f(−1),f(−1)≠−f(1)，故f(x)为非奇非偶函数.。
2019_2020学年新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.4函数的应用(一)讲义新人教A版必修第一册
3.4 函数的应用(一)常见的几类函数模型1．一个矩形的周长是40，则矩形的长y 关于宽x 的函数解析式为( ) A ．y ＝20－x,0<x <10 B ．y ＝20－2x,0<x <20 C ．y ＝40－x,0<x <10 D ．y ＝40－2x,0<x <20[答案] A2．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s 关于时间t 变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是( )A ．一次函数模型B ．二次函数模型C ．分段函数模型D ．无法确定C [由s 与t 的图象，可知t 分4段，则函数模型为分段函数模型．]3．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．60[设涨价x元，销售的利润为y元，则y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250＝－2(x－10)2＋450，所以当x＝10，即销售价为60元时，y取得最大值．]一次函数模型的应用【例1】某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒( )A．2 000套B．3 000套C．4 000套D．5 000套D[因利润z＝12x－(6x＋30 000)，所以z＝6x－30 000，由z≥0解得x≥5 000，故至少日生产文具盒5 000套．]1．一次函数模型的实际应用一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．2．一次函数的最值求解一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．1.如图所示，这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象．根据图象填空：①通话2分钟，需要付电话费________元；②通话5分钟，需要付电话费________元；③如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为________．①3.6②6③y＝1.2t(t≥3)[①由图象可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．②由图象可知，当t＝5时，y＝6，需付电话费6元．③易知当t≥3时，图象过点(3,3.6)，(5,6)，待定系数求得y＝1.2t(t≥3)．]二次函数模型的应用【例2】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？[思路点拨] 本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系，虽然x∈[50,55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题．[解](1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N)．(3)因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200，所以当x<60时，w随x的增大而增大．又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125.所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元．二次函数模型的解析式为g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).在函数建模中，它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答.2．A，B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于10 km，已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．(1)把A，B两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数，并求定义域；(2)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最小．[解] (1)由题意设甲城的月供电费用为y 1，则y 1＝λ×20x 2. 设乙城的月供电费用为y 2，则y 2＝λ×10×(100－x )2， ∴甲、乙两城月供电总费用y ＝λ×20x 2＋λ×10×(100－x )2. ∵λ＝0.25，∴y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(2)由y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000＝152⎝ ⎛⎭⎪⎫x －10032＋50 0003，则当x ＝1003时，y 最小．故当核电站建在距A 城1003 km 时，才能使供电总费用最小．分段函数模型的应用【例3】 某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t (单位：百件)时，销售所得的收入约为5t －12t 2(万元)．(1)若该公司的年产量为x (单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x 的函数；(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？[解] (1)当0<x ≤5时，产品全部售出，当x >5时，产品只能售出500件．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －12x 2－(0.5＋0.25x )，(0<x ≤5)，⎝ ⎛⎭⎪⎫5×5－12×52－(0.5＋0.25x )，(x >5)，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋4.75x －0.5，(0<x ≤5)，12－0.25x ，(x >5).(2)当0<x ≤5时，f (x )＝－12x 2＋4.75x －0.5，所以当x ＝4.75(百件)时，f (x )有最大值，f (x )max ＝10.781 25(万元)．当x >5时，f (x )<12－0.25×5＝10.75(万元)． 故当年产量为475件时，当年所得利润最大．1．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏． 2．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集． 3．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．3．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A 地到B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A 地．(1)把汽车离开A 地的距离x (千米)表示为时间t (小时)的函数； (2)求汽车行驶5小时与A 地的距离．[解] (1)汽车以60千米/时的速度从A 地到B 地需2.5小时，这时x ＝60t ；当2.5<t ≤3.5时，x ＝150；汽车以50千米/时的速度返回A 地需3小时，这时x ＝150－50(t －3.5)．所求函数的解析式为x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5，150，2.5<t ≤3.5，－50t ＋325， 3.5<t ≤6.5.(2)当t ＝5时，x ＝－50×5＋325＝75， 即汽车行驶5小时离A 地75千米．1．解有关函数的应用题，首先应考虑选择哪一种函数作为模型，然后建立其解析式．求解析式时，一般利用待定系数法，要充分挖掘题目的隐含条件，充分利用函数图形的直观性．2．数学建模的过程图示如下：1．思考辨析甲、乙两人在一次赛跑中，路程s 与时间t 的函数关系如图所示，判断下列说法的对错．(1)甲比乙先出发．( )(2)乙比甲跑的路程多．( ) (3)甲、乙两人的速度相同．( ) (4)甲先到达终点．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．向高为H 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )A B C DB [图反映随着水深h 的增加，注水量V 增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小．]3．某人从A 地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B 地，在B 地停留2小时，则汽车离开A 地的距离y (单位：千米)是时间t (单位：小时)的函数，该函数的解析式是________．[答案] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧80t ，0≤t ≤2，160，2<t ≤44. 某游乐场每天的盈利额y 元与售出的门票张数x 之间的函数关系如图所示，试由图象解决下列问题：(1)求y 与x 的函数解析式；(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，每天至少卖出多少张门票？[解] (1)由图象知，可设y ＝kx ＋b (k ≠0)，x ∈[0,200]时，过点(0，－1 000)和(200,1 000)，解得k ＝10，b ＝－1 000，从而y ＝10x －1 000；x ∈(200,300]时，过点(200,500)和(300,2 000)，解得k ＝15，b ＝－2 500，从而y ＝15x －2 500，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10x －1 000，x ∈[0，200]，15x －2 500，x ∈(200，300].(2)每天的盈利额超过1 000元，则x∈(200,300]，由15x－2 500>1 000得，x>7003，故每天至少需要卖出234张门票．。
2019_2020学年新教材高中数学第三章函数概念与性质函数及其性质(强化练)新人教A版必修第一册
函数及其性质(强化练)一、选择题1．下列函数中，与函数y ＝－2x 3为同一个函数的是( ) A ．y ＝x －2x B ．y ＝－x －2x C ．y ＝－2x 3D ．y ＝x2－2x解析：选B.函数y ＝－2x 3的定义域为(－∞，0]，值域为[0，＋∞)，而y ＝－2x 3的定义域为[0，＋∞)，y ＝x2－2x的定义域为(－∞，0)，所以排除C ，D.又y ＝x －2x 中，x ≤0，所以y ≤0，即值域为(－∞，0]，这与函数y ＝－2x 3的值域不同，所以排除A.故选B.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (α)＋f (1)＝0，则实数α的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选A.因为f (1)＝2， 所以f (α)＝－f (1)＝－2，当α>0时，2α>0，所以α∉(0，＋∞)． 所以α≤0，α＋1＝－2，得α＝－3.3．(2019·抚顺检测)已知函数f (x )的图象恒过点(1，1)，则函数f (x －3)的图象恒过点( )A ．(4，1)B ．(－3，1)C ．(1，－3)D ．(1，4)解析：选A.函数f (x －3)的图象看作函数f (x )的图象向右平移3个单位，函数f (x )的图象恒过点(1，1)，则函数f (x －3)的图象恒过点(4，1)．4．如果函数y ＝x 2＋(1－a )x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．[5，＋∞)B ．(－∞，－3]C ．[9，＋∞)D ．(－∞，－7]解析：选C.由题得－1－a2≥4，a ≥9.故选C.5．下列函数中，既是偶函数又在(－3，0)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝|x |＋1D ．y ＝x解析：选C.A 项为奇函数；B 项为偶函数，但在(－3，0)上单调递增，不合题意；C 项，函数是偶函数，当x ∈(－3，0)时，y ＝－x ＋1单调递减，符合题意；D 项，函数的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数，不合题意．故选C.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈（0，1]，则函数f (x )的图象是( )解析：选A.当x ＝－1时，y ＝0，即图象过点(－1，0)，D 错；当x ＝0时，y ＝1，即图象过点(0，1)，C 错；当x ＝1时，y ＝2，即图象过点(1，2)，B 错．故选A.7．(2019·河北辛集中学月考)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝1＋x 2x 2＋1x (x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( )A ．1 B.14 C.34D.32解析：选C.令1＋x x ＝12，可得x ＝－2.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1＋（－2）2（－2）2＋1－2＝34. 故选C.8．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A ．|f (x )|－g (x )是奇函数 B ．|f (x )|＋g (x )是偶函数 C ．f (x )－|g (x )|是奇函数 D ．f (x )＋|g (x )|是偶函数解析：选D.根据题意有f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )，所以f (－x )＋|g (－x )|＝f (x )＋|－g (x )|＝f (x )＋|g (x )|，所以f (x )＋|g (x )|是偶函数．同理，易知选项A ，B 中的函数既不是奇函数也不是偶函数，选项C 中的函数是偶函数. 9．已知函数f (x )为偶函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x －1，则f (x －1)＜0的解集是( )A ．(0，2)B ．(－2，0)C ．(－1，0)D ．(1，2)解析：选A.当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝f (－x )＝－x －1.由f (x －1)＜0得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＜0，－（x －1）－1＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，（x －1）－1＜0， 解得0＜x ＜1或1≤x ＜2， 即0＜x ＜2.故选A.10．已知函数f (x )是R 上的增函数，对任意实数a ，b ，若a ＋b ＞0，则有( ) A ．f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b ) B ．f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )－f (b )＞f (－a )－f (－b ) D ．f (a )－f (b )＜f (－a )－f (－b ) 解析：选A.因为a ＋b ＞0， 所以a ＞－b ，b ＞－a ，所以f (a )＞f (－b )，f (b )＞f (－a )，所以f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )．故选A. 二、填空题11．已知f (x )在[－3，3]上为奇函数，且f (3)＝－2，则f (－3)＋f (0)＝________． 解析：因为f (x )在[－3，3]上为奇函数， 所以f (0)＝0，f (－x )＝－f (x )． 因为f (3)＝－2，所以f (－3)＝2， 所以f (－3)＋f (0)＝2，故填2. 答案：212．已知函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝________． 解析：由函数y ＝f (x )＋x 是偶函数， 则f (－2)－2＝f (2)＋2＝3， 所以f (－2)＝5. 答案：513．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________．解析：由f (x )＝|2x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －a ，x ＜－a2，2x ＋a ，x ≥－a2，可得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，＋∞，所以－a 2＝3，解得a ＝－6.答案：－614．定义在R 上的奇函数f (x )，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，且在(0，＋∞)上单调递减，则xf (x )＞0的解集为________．解析：因为函数f (x )为奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，不等式xf (x )＞0化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，f （x ）＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，f （x ）＜0，结合函数图象可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，f （x ）＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜12，⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，f （x ）＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜0，所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜12或－12＜x ＜0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 三、解答题15．已知函数f (x )＝ax 2＋2(a －1)x ＋2.(1)若f (x )的单调区间为(－∞，4)，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(－∞，4)上是减函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意知1－a a ＝4，解得a ＝15.(2)当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋2，在(－∞，4)上是减函数，所以a ＝0满足；当a ≠0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－a a≥4，解得0＜a ≤15.综上，实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |0≤a ≤15.16．已知函数f (x )＝2xx ＋1，x ∈[－3，－2]． (1)求证：f (x )在[－3，－2]上是增函数； (2)求f (x )的最大值和最小值．解：(1)证明：设x 1，x 2是区间[－3，－2]上的任意两个不相等的实数，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1x 1＋1－2x 2x 2＋1＝2x 1（x 2＋1）－2x 2（x 1＋1）（x 1＋1）（x 2＋1）＝2（x 1－x 2）（x 1＋1）（x 2＋1）.由于－3≤x 1<x 2≤－2，则x 1－x 2<0，x 1＋1<0，x 2＋1<0. 所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)． 所以函数f (x )＝2xx ＋1在[－3，－2]上是增函数． (2)因为f (－2)＝4，f (－3)＝3， 且f (x )在[－3，－2]上是增函数， 所以函数f (x )的最大值是4，最小值是3.17．已知f (x )为奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2.若当x ∈[1，3]时，n ≤f (x )≤m 恒成立，求m －n 的最小值．解：因为当x ＜0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－14，所以当x ∈[－3，－1]时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－14， f (x )max ＝f (－3)＝2.因为函数f (x )为奇函数，所以当x ∈[1，3]时函数的最小值和最大值分别为－2，14，所以m 的最小值为14，n 的最大值为－2.所以(m －n )min ＝14－(－2)＝94，即m －n 的最小值为94.18．已知函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c，若函数f (x )是奇函数，且f (1)＝3，f (2)＝5.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝3f (x )＋5x，试证明函数g (x )在(0，1)上是减函数；(3)若不等式g (x )≤m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)因为f (x )＝ax 2＋1bx ＋c是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．所以a （－x ）2＋1b （－x ）＋c ＝－ax 2＋1bx ＋c.即ax 2＋1－bx ＋c ＝－ax 2＋1bx ＋c. 所以－bx ＋c ＝－(bx ＋c )．所以c ＝－c .所以c ＝0.所以f (x )＝ax 2＋1bx.因为f (1)＝3，f (2)＝5，所以a ＋1b ＝3，4a ＋12b ＝5.所以a ＝72，b ＝32. 所以f (x )＝7x 2＋23x.(2)证明：g (x )＝3f (x )＋5x ＝7x 2＋7x＝7⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x .设x 1，x 2∈(0，1)且x 1＜x 2.g (x 2)－g (x 1)＝7⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2－x 1－1x 1＝7(x 2－x 1)⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝7（x 2－x 1）（x 1x 2－1）x 1x 2.因为0＜x 1＜x 2＜1，所以0＜x 1x 2＜1，x 1x 2－1＜0，x 2－x 1＞0. 所以g (x 2)－g (x 1)＜0，g (x 2)＜g (x 1)． 因此函数g (x )在(0，1)上是减函数．(3)由(2)知g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上为减函数． 所以g (x )在x ＝14处取最大值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1194.所以m ≥1194.。
2019_2020学年新教材高中数学章末综合测评(三)函数的概念与性质(含解析)新人教A版必修第一册
章末综合测评(三) 函数的概念与性质(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x (x )2 D [A 、B 中两函数的定义域不同；C 中两函数的解析式不同．] 2．函数f (x )＝1＋x ＋1x的定义域是( ) A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(0，＋∞)C ．[－1,0)∪(0，＋∞)D ．RC [要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x ≥0，x ≠0，即x ≥－1且x ≠0.] 3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1， x ≤1，x 2＋3， x >1，则f (3)＝( )A ．7B ．2C ．10D ．12D [∵3>1，∴f (3)＝32＋3＝12.] 4．已知f (x )＝x 3＋2x ，则f (a )＋f (－a )＝( )A ．0B ．－1C ．1D ．2 A [f (x )＝x 3＋2x 是R 上的奇函数，故f (－a )＝－f (a )，∴f (a )＋f (－a )＝0.]5．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝x 3C ．y ＝－1xD ．y ＝x 4B [对于A ，y ＝x ＋1为其定义域上的增函数，但不是奇函数，排除A ；对于C ，y ＝－1x为奇函数，但只在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别为增函数，不是整个定义域上的增函数，排除C ；对于D ，y ＝x 4为偶函数，排除D ，选B.]6．已知函数f (x )＝x 2－4x ，x ∈[1,5]，则函数f (x )的值域是( )A ．[－4，＋∞)B ．[－3,5]C ．[－4,5]D ．(－4,5]C [由f (x )＝x 2－4x ＝(x －2)2－4，当x ＝2时，f (x )取到最小值－4，当x ＝5时，f (x )取得最大值5，故值域为[－4,5]．]7．函数f (x )＝ax 3＋bx ＋4(a ，b 不为零)，且f (5)＝10，则f (－5)等于( )A ．－10B ．－2C ．－6D ．14B [∵f (5)＝125a ＋5b ＋4＝10，∴125a ＋5b ＝6，∴f (－5)＝－125a －5b ＋4＝－(125a ＋5b )＋4＝－6＋4＝－2.]8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a的取值范围是() A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C [∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，由函数图象(图略)知f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴由f (2－a 2)>f (a )，得a 2＋a －2<0，解得－2<a <1.]9．函数y ＝3x ＋2x －1(x ≥2)的值域是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ B ．[6＋3，＋∞)C ．[6，＋∞)D ．[3，＋∞)B [∵y ＝3x ＋2x －1在[2，＋∞)上是增函数，∴y min ＝3×2＋2×2－1＝6＋ 3.∴y ＝3x ＋2x －1(x ≥2)的值域为[6＋3，＋∞)．]10．已知二次函数y ＝x 2－2ax ＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤2或a ≥3B ．2≤a ≤3C ．a ≤－3或a ≥－2D ．－3≤a ≤－2 A [y ＝x 2－2ax ＋1＝(x －a )2＋1－a 2，由已知得，a ≤2或a ≥3.]11．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对于任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )，那么( )A ．f (2)<f (1)<f (4)B ．f (1)<f (2)<f (4)C ．f (4)<f (2)<f (1)D ．f (2)<f (4)<f (1) A [由f (2＋t )＝f (2－t )，可知抛物线的对称轴是直线x ＝2，再由二次函数的单调性，可得f (2)<f (1)<f (4)．]12．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4等于( )A ．－6B ．6C ．－8D ．8C [由f (x －4)＝－f (x )⇒f (4－x )＝f (x )⇒函数图象关于直线x ＝2对称．又函数f (x )在[0,2]上是增函数，且为奇函数，故f (0)＝0，故函数f (x )在(0,2]上大于0.根据对称性知函数f (x )在[2,4)上大于0，同理推知f (x )在(4,8)上小于0，故在区间(0,8)上方程f (x )＝m (m >0)的两根关于直线x ＝2对称，故此两根之和等于4.f (－6＋x )＝f [(x －2)－4]＝－f (x －2)＝－f [(x ＋2)－4]＝f (x ＋2)＝f [(6＋x )－4]＝－f (6＋x )＝f (－6－x )．∴f (x )关于直线x ＝－6对称．此两根之和等于－12.综上，四个根之和等于－8.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1，x ≥0，f (x ＋2)，x <0，则f (－3)＝________.3 [∵－3<0，∴f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)，∵1>0，∴f (1)＝2×1＋1＝3，∴f (－3)＝3.]14．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x >f (1)的实数x 的取值范围为________． (－∞，0)∪(1，＋∞) [∵f (x )在R 上是减函数，。
2019_2020学年新教材高中数学第5章三角函数-两角和与差的正弦、余弦公式讲义新人教A版必修第一册
第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式学 习 目标核 心 素 养1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式． 2．会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等． 3．熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.1.借助公式的推导过程，培养数学运算素养．2. 通过公式的灵活运用，提升逻辑推理素养.1．两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式使用条件两角差的余弦公式 C (α－β)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_βα，β∈R两角和的余弦公式C (α＋β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_βα，β∈R名称 简记符号 公式使用条件两角和的正弦S (α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βα，β∈R两角差的正弦 S (α－β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_βα，β∈Ry ＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)(a ，b 不同时为0)，其中cos θ＝a a 2＋b 2，sinθ＝b a 2＋b 2.1．cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°的值为( ) A ．0 B.12 C.32D ．cos 54°B [原式＝cos(57°＋3°)＝cos 60°＝12.]2．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( ) A ．－32B ．－12C.12D.32B [∵sin 245°＝sin(155°＋90°)＝cos 155°， sin 125°＝sin(90°＋35°)＝cos 35°，∴原式＝cos 155°cos 35°＋sin 155°sin 35°＝cos(155°－35°)＝cos 120°＝－12.] 3．若cos α＝－35，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝______. －210 [∵cos α＝－35，α是第三象限的角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝22sin α－22cos α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－210.],给角求值问题【例1】 (1)cos70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32(2)若θ是第二象限角且sin θ＝513，则cos(θ＋60°)＝________.(3)求值：(tan 10°－3)cos 10°sin 50°.(1)D (2)－12＋5326 [(1)∵cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°＝－sin70°，sin 40°＝cos 50°，∴原式＝cos 70°sin 50°－(－sin 70°)cos 50° ＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝32.(2)∵θ是第二象限角且sin θ＝513，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－1213，∴cos(θ＋60°)＝12cos θ－32sin θ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213－32×513＝－12＋5326.] (3)[解] 原式＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°cos 10°sin 50°＝sin (－50°)cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－2.]解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．提醒：在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．1．化简求值：(1)sin 50°－sin 20°cos 30°cos 20°；(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)． [解] (1)原式＝sin (20°＋30°)－sin 20°cos 30°cos 20°＝sin 20°cos 30°＋cos 20°sin 30°－sin 20°cos 30°cos 20°＝cos 20°sin 30°cos 20°＝sin 30°＝12.(2)设α＝θ＋15°，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－3cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α－3cos α＝0.给值求值、求角问题【例2】 (1)已知P ，Q 是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点P 的横坐标为45，点Q 的横坐标为513，则cos∠POQ ＝________.(2)已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.求：①cos(2α－β)的值；②β的值．[思路点拨] (1)先由任意角三角函数的定义求∠xOP 和∠xOQ 的正弦、余弦值，再依据∠POQ ＝∠xOP ＋∠xOQ 及两角和的余弦公式求值．(2)先求sin α，cos(α－β)，依据2α－β＝α＋(α－β)求cos(2α－β)．依据β＝α－(α－β)求cos β再求β.(1)5665 [由题意可得，cos∠xOP ＝45， 所以sin∠xOP ＝35.再根据cos∠xOQ ＝513，可得sin∠xOQ ＝－1213，所以cos∠POQ ＝cos(∠xOP ＋∠xOQ )＝cos∠xOP ·cos∠xOQ －sin∠xOP ·sin∠xOQ ＝45×513－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝5665.] (2)[解] ①因为α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，又sin(α－β)＝1010＞0，所以0＜α－β＜π2，所以sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210. ②cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝55×31010＋255×1010＝22， 又因为β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.给值求值问题的解题策略在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差. (2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.2．已知锐角α，β满足cos α＝255，sin(α－β)＝－35，求sin β的值．[解] 因为α，β是锐角，即0＜α＜π2，0＜β＜π2，所以－π2＜α－β＜π2，因为sin(α－β)＝－35＜0，所以cos(α－β)＝45，因为cos α＝255，所以sin α＝55，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×45＋255×35＝255. 辅助角公式的应用[探究问题]1．能否将函数y ＝sin x ＋cos x (x ∈R )化为y ＝A sin(x ＋φ)的形式⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2？提示：能．y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.2．如何推导a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 公式． 提示：a sin x ＋b cos x＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ，令cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b 2，则a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ角所在象限由a ，b 的符号确定，φ角的值由tan φ＝ba确定，或由sin φ＝ba 2＋b2和cos φ＝a a 2＋b 2共同确定)．【例3】 (1)sin π12－3cos π12＝________.(2)已知f (x )＝3sin x －cos x ，求函数f (x )的周期，值域，单调递增区间．[思路点拨] 解答此类问题的关键是巧妙构建公式C (α－β)、C (α＋β)、S (α－β)、S (α＋β)的右侧，逆用公式化成一个角的一种三角函数值．(1)－2 [原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12.法一：(化正弦)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3sin π12－sin π3cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π12cos π3－cos π12sin π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－ 2. 法二：(化余弦)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6sin π12－cos π6cos π12＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6cos π12－sin π6sin π12＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π12＝－2cos π4＝－ 2.](2)[解] f (x )＝3sin x －cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·32－cos x ·12 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π6－cos x sin π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6， ∴T ＝2πω＝2π，值域[－2,2]．由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，2π3＋2k π，k ∈Z .1．若将例3(2)中函数改为f (x )＝－sin x ＋3cos x ，其他条件不变如何解答？ [解] f (x )＝－sin x ＋3cos x ＝232cos x －12sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴T ＝2π，值域为[－2,2]，由－π＋2k π≤x ＋π6≤2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π6＋2k π，－π6＋2k π，k ∈Z .2．若将例3(2)中函数改为f (x )＝m sin x ＋m cos x ，其中m ＞0，其他条件不变，应如何解答？[解] f (x )＝m sin x ＋m cos x ＝2m sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴T ＝2π，值域为[－2m ，2m ]，由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z .辅助角公式及其运用(1)公式形式：公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin (α＋φ)(或a sin α＋b cos α＝a 2＋b2cos (α－φ))将形如a sin α＋b cos α(a ，b 不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式.(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误.1．两角和与差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝sin 3π2·cos α－cos 3π2sin α＝－cos α.2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cosβsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α. 3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．1．思考辨析(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( ) (2)存在α，β∈R ，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( ) (3)对于任意α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( ) (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( ) [提示] (1)正确．根据公式的推导过程可得．(2)正确．当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β.(3)错误．当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (4)正确．因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24° ＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°) ＝sin 30°，故原式正确．[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．化简2cos x －6sin x 等于( )A ．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋xB ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－xC ．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x D ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x D [2cos x －6sin x ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3cos x －sin π3sin x＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x .] 3．cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝________.cos α [cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝cos[β＋(α－β)]＝cos α.] 4．已知α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β. [解] ∵α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010， ∴sin β＝31010，cos α＝255.∵sin α<sin β，∴α<β，∴－π2<α－β<0，∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝55×1010－255×31010＝－22， ∴α－β＝－π4.。
2020学年新教材高中数学第三章函数概念与性质章末复习提升课教师用书新人教A版必修第一册(最新整理)
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章末复习提升课函数的定义域和值域（1）函数f（x)＝错误!＋（3x－1)0的定义域是（）A。
错误!B.错误!C.错误!D.错误!∪错误!(2）已知函数y＝f(x＋1)的定义域是［－2，3］,则y＝f(2x－1)的定义域是( ）A.错误!B．[－1，4］C．［－5，5］D．[－3，7］(3）求下列函数的值域：①y＝错误!;②y＝x＋4错误!；③y＝错误!－2x，x∈错误!。
【解】(1)选D。
由题意得,错误!解得x<1且x≠错误!。
(2)选A.设u＝x＋1，由－2≤x≤3,得－1≤x＋1≤4，所以y＝f(u）的定义域为［－1,4］．再由－1≤2x－1≤4,解得0≤x≤错误!，即函数y＝f(2x－1)的定义域是错误!.（3）①y＝错误!＝错误!＝2＋错误!，显然错误!≠0，所以y≠2.故函数的值域为(－∞,2)∪(2,＋∞)．②设t＝错误!≥0,则x＝1－t2，所以原函数可化为y＝1－t2＋4t＝－（t－2)2＋5(t≥0)，所以y≤5，所以原函数的值域为(－∞，5］．③因为y＝错误!－2x在错误!上为减函数，所以y min＝错误!－2×错误!＝－1.y＝错误!－2×(－2)＝错误!.max所以函数的值域为错误!。
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专题强化训练(三) 函数的概念与性质(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题 1．函数f (x )＝1x ＋1＋4－2x 的定义域为( )A ．[－1,2]B ．(－1,2]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)B [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，4－2x ≥0，得－1<x ≤2，故选B.]2．设f (x )＝2x ＋3，g (x )＝f (x －2)，则g (x )＝( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7B [∵f (x )＝2x ＋3，∴f (x －2)＝2(x －2)＋3＝2x －1，即g (x )＝2x －1，故选B.] 3．下列函数f (x )中，满足对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)的是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝2x ＋1B [由题意可知f (x )是(0，＋∞)上的单调递减函数，故选B.] 4．函数y ＝x 35在[－1,1]上是( ) A ．增函数且是奇函数 B ．增函数且是偶函数 C ．减函数且是奇函数D ．减函数且是偶函数A [由幂函数的性质知，当α＞0时，y ＝x α在第一象限内是增函数，所以y ＝x 35在(0,1]上是增函数．令y ＝f (x )＝x 35，x ∈[－1,1]，则f (－x )＝(－x )35＝－x 35＝－f (x )，所以f (x )＝x 35是奇函数．因为奇函数的图象关于原点对称，所以当x ∈[－1,0)时，y ＝x 35也是增函数．当x ＝0时，y ＝0，又当x ＜0时，y ＝x 35＜0，当x ＞0时，y ＝x 35＞0，所以y ＝x 35在[－1,1]上是增函数．故y ＝x 35在[－1,1]上是增函数且是奇函数．] 5．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，下列命题： ①f (0)＝0；②若f (x )在[0，＋∞)上有最小值－1，则f (x )在(－∞，0]上有最大值1； ③若f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则f (x )在(－∞，－1]上为减函数；④若x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则x <0时，f (x )＝－x 2－2x .其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4C [f (x )为R 上的奇函数，则f (0)＝0，①正确；其图象关于原点对称，且在对称区间上具有相同的单调性，最值相反且互为相反数，所以②正确，③不正确；对于④，x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ，又f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－x 2－2x ，即④正确．]二、填空题 6．函数y ＝1x ＋1的单调区间是________． (－∞，－1)和(－1，＋∞) [因为y ＝1x ＋1可由y ＝1x向左平移1个单位得到，画出函数的图象，如图，结合图象可知该函数的递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)．]7．函数f (x )＝x 2－2ax ＋1在区间[－1,2]上的最小值是f (2)，则a 的取值范围是________． [2，＋∞) [由题意可知f (x )在[－1,2]上单调递减，故a ≥2.]8．已知函数y ＝f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋2，且g (1)＝1，则g (－1)＝________. 3 [由g (1)＝1，且g (x )＝f (x )＋2，∴f (1)＝g (1)－2＝－1，又y ＝f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝1，从而g (－1)＝f (－1)＋2＝3.] 三、解答题9．已知函数f (x －1)＝x 2＋(2a －2)x ＋3－2a .(1)若函数f (x )在区间[－5,5]上为单调函数，求实数a 的取值范围； (2)求a 的值，使f (x )在区间[－5,5]上的最小值为－1.[解] 令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，f (t )＝(t ＋1)2＋(2a －2)·(t ＋1)＋3－2a ＝t 2＋2at ＋2，所以f (x )＝x 2＋2ax ＋2.(1)因为f (x )图象的对称轴为x ＝－a ，由题意知－a ≤－5或－a ≥5，解得a ≤－5或a ≥5. 故实数a 的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)．(2)当a >5时，f (x )min ＝f (－5)＝27－10a ＝－1，解得a＝145(舍去)；当－5≤a ≤5时，f (x )min ＝f (－a )＝－a 2＋2＝－1，解得a ＝±3；当a <－5时，f (x )min ＝f (5)＝27＋10a ＝－1，解得a ＝－145(舍去)．综上，a ＝± 3.10．定义在R 上的偶函数f (x )在y 轴左方(含原点)的图象如图所示，且解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，x ≤0)．(1)补全函数f (x )的图象； (2)求出函数f (x )的解析式； (3)讨论方程f (x )＝d 的根的个数； (4)作出y ＝|f (x )|的图象． [解] (1)f (x )的图象如图1所示．图1(2)由图象得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝0，－b 2a＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝14，，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a ＝b ，14a －12b ＋c ＝14.解之得a ＝－1，b ＝－1，c ＝0.所以当x ≤0时，f (x )＝－x 2－x .当x >0时，－x <0. 所以f (－x )＝－(－x )2－(－x )＝－x 2＋x . 又f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )， 所以f (x )＝－x 2＋x .所以f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ，x ≤0，－x 2＋x ，x >0.也可以写成f (x )＝－x 2＋|x |.(3)由y ＝d 的图象(图略)，y ＝f (x )的图象知(如图1)， 当d >14时，方程f (x )＝d 无实根；当d ＝14或d <0时，方程f (x )＝d 有两个实根；当d ＝0时，方程f (x )＝d 有三个实根； 当0<d <14时，方程f (x )＝d 有四个实根．(4)y ＝|f (x )|的图象如图2所示．图2 [等级过关练]1．已知f (x )＝x ＋1x－1，f (a )＝2，则f (－a )＝( )A ．－4B ．－2C ．－1D ．－3A [∵f (x )＝x ＋1x －1，∴f (a )＝a ＋1a －1＝2，∴a ＋1a ＝3，∴f (－a )＝－a －1a－1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －1＝－3－1＝－4.] 2．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－2,2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B [由题意知f (－2)＝f (2)＝0，当x ∈(－2,0)时，f (x )<f (－2)＝0，由对称性知，x ∈[0,2)时，f (x )为增函数，f (x )<f (2)＝0，故x ∈(－2,2)时，f (x )<0，因此选B.]3．设函数y ＝f (x )是偶函数，它在[0,1]上的图象如图．则它在[－1,0]上的解析式为________．f (x )＝x ＋2 [由题意知f (x )在[－1,0]上为一条线段，且过(－1,1)，(0,2)，设f (x )＝kx ＋b ，代入解得k ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x ＋2.]4．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a 的值为________．13或－5 [f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ，对称轴x ＝－1， 当a >0时，图象开口向上，在[－2,3]上的最大值为f (3)＝9a ＋6a ＋1＝6，所以a ＝13；当a <0时，图象开口向下，在[－2,3]上的最大值为f (－1)＝a －2a ＋1＝6，所以a ＝－5.综上，a 的值为13或－5.]5．已知奇函数f (x )＝px ＋q x ＋r (p ，q ，r 为常数)，且满足f (1)＝52，f (2)＝174.(1)求函数f (x )的解析式；(2)试判断函数f (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的单调性，并用函数单调性的定义进行证明； (3)当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f (x )≥2－m 恒成立，求实数m 的取值范围． [解] (1)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴r ＝0.又⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝52，f (2)＝174，即⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＝52，2p ＋q 2＝174，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝12，∴f (x )＝2x ＋12x.(2)f (x )＝2x ＋12x 在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减． 证明如下：设任意的两个实数x 1，x 2，且满足0<x 1<x 2≤12，则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)＋12x 1－12x 2＝2(x 1－x 2)＋x 2－x 12x 1x 2＝(x 2－x 1)(1－4x 1x 2)2x 1x 2.∵0<x 1<x 2≤12，∴x 2－x 1>0,0<x 1x 2<14，1－4x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x )＝2x ＋12x 在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减． (3)由(2)知f (x )＝2x ＋12x 在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的最小值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2.要使当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f (x )≥2－m 恒成立，只需当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f (x )min ≥2－m ， 即2≥2－m ，解得m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．。