课时提升作业 三 1.1.3四种命题间的相互关系
课时作业10：1.1.2 四种命题 ~1.1.3 四种命题间的相互关系
1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系一、选择题1.若“x>y，则x2>y2”的逆否命题是()A.若x≤y，则x2≤y2B.若x>y，则x2<y2C.若x2≤y2，则x≤yD.若x<y，则x2<y22.命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A.若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B.若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C.若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D.若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数3.已知命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题有()A.0个B.1个C.2个D.3个4.与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A.能被3整除的整数，一定能被6整除B.不能被3整除的整数，一定不能被6整除C.不能被6整除的整数，一定不能被3整除D.不能被6整除的整数，不一定能被3整除5.有下列命题：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②函数y＝ax2＋2x－1的图象与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何非空集合的真子集.真命题的个数是()A.1B.2C.3D.46.已知α，β，γ是不同的平面，l，m，n是不同的直线，则下列命题是真命题的是()A.若α⊥β，β⊥γ，则α∥γB.若m⊥α，β⊥α，则m∥βC.若l⊥m，l⊥n，则m∥nD.若l ⊥α，m ⊥α，则l ∥m7.有下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x 、y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题.其中真命题的序号为( )A.①②B.②③C.①③D.③④二、填空题8.“若x ，y 全为零，则xy ＝0”的否命题为________________________.9.下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②正方形的四条边相等；③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形.其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________(填序号).10.命题“当AB ＝AC 时，△ABC 是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有________个.三、解答题11.判断命题：“若b ≤－1，则关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题的真假.12.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题.(1)ac ＞bc ⇒a ＞b ；(2)已知x ，y 为正整数，当y ＝x ＋1时，y ＝3，x ＝2；(3)当m ＞14时，mx 2－x ＋1＝0无实数根.13.给出两个命题：命题甲：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅；命题乙：函数y ＝(2a 2－a )x 为增函数.(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙有且只有一个是真命题.分别求出符合(1)(2)的实数a的取值范围.答案精析1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系1.C2.B3.B4.B5.B[①当m＝0时，方程是一元一次方程；②方程ax2＋2x－1＝0(a≠0)的判别式Δ＝4＋4a，其值不一定大于或等于0，所以与x轴至少有一个交点不能确定；③④正确.]6.D[当α⊥β，β⊥γ时，α与γ可能平行，也可能相交，故A不正确；当m⊥α，β⊥α时，m可能平行β，也可能在β内，故B不正确；当l⊥m，l⊥n时，m与n的位置关系是平行或异面或相交，故C不正确.故选D.]7.C[命题①：“若x、y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；命题②：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题，因此命题②是假命题；命题③：“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”是真命题；命题④是假命题.]8.若x，y不全为零，则xy≠0解析由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为“若x，y不全为零，则xy≠0”.9.②和③①和③①和②10.2解析原命题为真命题，逆命题“当△ABC是等腰三角形时，AB＝AC”为假命题，否命题“当AB≠AC时，△ABC不是等腰三角形”为假命题，逆否命题“当△ABC不是等腰三角形时，AB≠AC”为真命题.11.解方法一(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可.方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真.方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”.方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真.12.解(1)原命题：若ac＞bc，则a＞b.逆命题：若a＞b，则ac＞bc.否命题：若ac ≤bc ，则a ≤b .逆否命题：若a ≤b ，则ac ≤bc .(2)原命题：已知x ，y 为正整数，若y ＝x ＋1，则y ＝3，且x ＝2.逆命题：已知x ，y 为正整数，若y ＝3且x ＝2，则y ＝x ＋1.否命题：已知x ，y 为正整数，若y ≠x ＋1，则y ≠3或x ≠2.逆否命题：已知x ，y 为正整数，若y ≠3或x ≠2，则y ≠x ＋1.(3)原命题：若m ＞14，则mx 2－x ＋1＝0无实数根. 逆命题：若mx 2－x ＋1＝0无实数根，则m ＞14. 否命题：若m ≤14，则mx 2－x ＋1＝0有实数根. 逆否命题：若mx 2－x ＋1＝0有实数根，则m ≤14. 13.解 甲为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2<0，即A ＝{a |a >13或a <－1}； 乙为真时，2a 2－a >1，即B ＝{a |a >1或a <－12}. (1)甲、乙至少有一个是真命题时，解集为A ，B 的并集，这时实数a 的取值范围是{a |a >13或a <－12}. (2)甲、乙有且只有一个是真命题时，有两种情况：当甲真乙假时，13<a ≤1； 当甲假乙真时，－1≤a <－12. 所以甲、乙有且只有一个是真命题时，实数a 的取值范围为{a |13<a ≤1或－1≤a <－12}.。
课时作业14：1.1.2 四种命题~1.1.3 四种命题间的相互关系
1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系一、选择题1．已知a ，b ∈R ，命题“若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2≥12”的否命题是( ) A ．若a 2＋b 2<12，则a ＋b ≠1 B ．若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2<12C ．若a ＋b ≠1，则a 2＋b 2<12D ．若a 2＋b 2≥12，则a ＋b ＝1 考点 四种命题题点 四种命题概念的理解答案 C解析 “a ＋b ＝1”，“a 2＋b 2≥12”的否定分别是“a ＋b ≠1”，“a 2＋b 2<12”，故否命题为“若a ＋b ≠1，则a 2＋b 2<12”． 2．命题“若(綈p )，则q ”的逆否命题为( )A ．若p ，则(綈q )B ．若(綈q )，则(綈p )C ．若(綈q )，则pD ．若q ，则p考点 四种命题题点 四种命题概念的理解答案 C3．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．无关命题 考点 四种命题的相互关系题点四种命题相互关系的应用答案 A4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是()A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确考点四种命题的相互关系题点四种命题相互关系的应用答案 A解析设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．5．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题为()A．①②B．②③C．①③D．③④考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案 C解析命题①：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；命题②：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题，因此命题②是假命题；命题③：“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”是真命题，则其逆否命题也为真命题；命题④是假命题．6．已知命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案 B解析命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”是真命题，故其逆否命题是真命题．该命题的逆命题为“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”是假命题，故其否命题也是假命题，故选B.7．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是t的()A．逆否命题B．逆命题C．否命题D．原命题考点四种命题的相互关系题点四种命题相互关系的应用答案 C解析特例：p：△ABC中，若∠A＝∠B，则a＝b；r：△ABC中，若∠A≠∠B，则a≠b；s：△ABC中，若a≠b，则∠A≠∠B；t：△ABC中，若a＝b，则∠A＝∠B.8．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是()A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案 A解析因为原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a，b 都小于1，则a＋b<2”，显然为真，所以原命题为真；原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例如a＝1.2，b＝0.3.二、填空题9．“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为________________________．考点四种命题题点四种命题概念的理解答案若x，y不全为零，则xy≠0解析由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为“若x，y不全为零，则xy≠0”．10．命题“已知不共线向量e1，e2，若λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0”的等价命题为______________，是________命题(填“真”或“假”)．考点四种命题的相互关系题点逆否证法答案已知不共线向量e1，e2，若λ，μ不全为0，则λe1＋μe2≠0真11．给定下列命题：①“当AB ＝AC 时，△ABC 是等腰三角形”的逆否命题；②“等腰三角形都相似”的逆命题；③“若x －32是有理数，则x 是无理数”的逆否命题； ④“若a >1且b >1，则a ＋b >2”的否命题．其中真命题的序号是________．考点 四种命题的真假判断题点 利用四种命题的关系判断真假答案 ①解析 显然①为真；②为假；对于③中，原命题“若x －32是有理数，则x 是无理数”为假命题，所以其逆否命题为假命题；对于④中，“若a >1且b >1，则a ＋b >2”的否命题是“若a ≤1或b ≤1，则a ＋b ≤2”为假命题．12．命题“如果a 2＋2ab ＋b 2＋a ＋b －2≠0，那么a ＋b ≠1”的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．考点 四种命题的真假判断题点 利用四种命题的关系判断真假答案 1解析 a 2＋2ab ＋b 2＋a ＋b －2≠0化简得(a ＋b －1)(a ＋b ＋2)≠0，即a ＋b ≠1且a ＋b ≠－2. 命题“如果a 2＋2ab ＋b 2＋a ＋b －2≠0，那么a ＋b ≠1”的逆命题为“如果a ＋b ≠1，那么a 2＋2ab ＋b 2＋a ＋b －2≠0”，为假命题，a ＋b ＝－2也可以使a 2＋2ab ＋b 2＋a ＋b －2＝0；否命题与逆命题同真同假，故其否命题为假命题；逆否命题为“如果a ＋b ＝1，那么a 2＋2ab ＋b 2＋a ＋b －2＝0”，真命题．三、解答题13．判断命题：“若b ≤－1，则关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题的真假．考点 四种命题的相互关系题点 逆否证法解 方法一 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题的真假即可．方程判别式为Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ，因为b ≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．方法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0无实根，则b >－1”．方程判别式为Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b <0，所以b >0，所以b >－1成立，即原命题的逆否命题为真．四、探究与拓展14．原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假考点 四种命题的真假判断题点 利用四种命题的关系判断真假答案 A解析 a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列． 原命题与其逆命题都是真命题，所以其逆否命题和否命题也都是真命题，故选A.15．设m ，n ∈R ，证明：若m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2.考点 四种命题的相互关系题点 逆否证法证明 将“若m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m ＋n ＞2，则m 2＋n 2≠2”．因为m ＋n ＞2，所以m 2＋n 2≥12(m ＋n )2＞12×22＝2. 所以m 2＋n 2≠2，所以原命题得证．。
1.1.2~1.1.3 四种命题 四种命题间的相互关系
2.由原命题“若p,则q”写其他三种命题的方法:
(1)“换位”(即交换命题的条件与结论)得到“若q,则p”,即为逆命题;
(2)“换质”(即将原命题的条件与结论分别否定后作为条件和结论)
得到“若������ p,则������ q”,即为否命题;
(3)既“换位”又“换质”(即把原命题的结论否定后作为新命题的条
答案C (2)解法பைடு நூலகம்:原命题的逆否命题:若x2+x-a=0无实根,则a<0. ∵x2+x-a=0无实根,∴Δ=1+4a<0,解得a<- 1 ,
4
∴原命题的逆否命题为真命题. 法二:∵a≥0,∴4a≥0,∴对于方程x2+x-a=0,根的判别式 Δ=1+4a>0,∴方程x2+x-a=0有实根,故原命题为真命题. ∵原命题与其逆否命题等价,∴原命题的逆否命题为真命题.
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
(2)四种命题的真假性之间的关系: ①两个命题互为逆否命题,它们的真假性相同; ②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.
课前篇自主预习
【做一做3】 命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、 逆否命题中,真命题的个数为( )
探究一
探究二
当堂检测
课堂篇探究学习
延伸探究若将本例改为:判断命题“若a≥0,则x2+x-a>0恒成立”的
真假.
解若x2+x-a>0恒成立,则Δ=1+4a<0,解得a<-
课时作业4:1.1.3 四种命题间的相互关系
1.1.3 四种命题间的相互关系同步测控1．命题“若a ∉A ，则b ∈B ”的否命题是( )A ．若a ∉A ，则b ∉BB ．若a ∈A ，则b ∉BC ．若b ∈B ，则a ∉AD ．若b ∉B ，则a ∈A2．命题“若a >0，则3a 4a ＝34”的逆命题为( ) A ．若a ≤0，则3a 4a ≠34B ．若3a 4a ≠34，则a >0C ．若3a 4a ≠34，则a ≤0D ．若3a 4a ＝34，则a >0 3．命题“若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ”的否命题是________．4．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”．(1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假．课时训练一、选择题1．若“x >y ，则x 2>y 2”的逆否命题是( )A ．若x ≤y ，则x 2≤y 2B ．若x >y ，则x 2<y 2C ．若x 2≤y 2，则x ≤yD ．若x <y ，则x 2<y 22．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( ) A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是( )A ．逆命题、否命题、逆否命题都为真B ．逆命题为真，否命题、逆否命题为假C ．逆命题为假，否命题、逆否命题为真D．逆命题、否命题为假，逆否命题为真4．若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则p是r的() A．逆命题B．逆否命题C．否命题D．以上判断都不对5．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是() A．能被3整除的整数，一定能被6整除B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除6．存在下列三个命题：①“等边三角形的三个内角都是60°”的逆命题；②“若k>0，则一元二次方程x2＋2x－k＝0有实根”的逆否命题；③“全等三角形的面积相等”的否命题．其中真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3二、填空题7．命题“若a>1，则a>0”的逆命题是________，逆否命题是________．8．有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．9．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．三、解答题10．写出下列原命题的其他三种命题，并分别判断真假．(1)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B；(2)正偶数不是素数．11．判断下列命题的真假：(1)“若x∈A∪B，则x∈B”的逆命题与逆否命题；(2)“若自然数能被6整除，则自然数能被2整除”的逆命题．12．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．参考答案同步测控1．【答案】B2．【答案】D【解析】逆命题为把原命题的条件和结论对调．3．【答案】若A ∪B ≠B ，则A B4．【答案】解：(1)命题p 的否命题为：“若ac <0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”(2)命题p 的否命题是真命题．证明如下：∵ac <0，∴－ac >0⇒Δ＝b 2－4ac >0⇒二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根．∴该命题是真命题．课时训练一、选择题1．【答案】C【解析】由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．2．【答案】 D【解析】原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题．故选D. 3．【答案】 D【解析】因为原命题“菱形的对角线互相垂直”是真命题，所以它的逆否命题为真；其逆命题：“对角线互相垂直的四边形是菱形”显然是假命题，所以原命题的否命题也是假命题．4．【答案】 B【解析】命题p ：若x ，则y ，其逆命题q ：若y ，则x ，那么命题q 的否命题r ：若﹁y ，则﹁x ，所以p 是r 的逆否命题．所以选B.5．【答案】 B【解析】一个命题与它的逆否命题是等价命题，选项B 中的命题恰为已知命题的逆否命题．6．【答案】C【解析】①②正确．二、填空题7．【答案】若a>0，则a>1若a≤0，则a≤18．【答案】②③9．【答案】②【解析】①中的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体AC1做模型来观察：上底面A1B1C1D1中任意三点都不共线，但A1，B1，C1，D1四点共面，所以①中的逆命题不是真命题．②中的逆命题是：若两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点．由异面直线的定义可知，成异面直线的两条直线不会有公共点．所以②中的逆命题是真命题．三、解答题10．【答案】解：(1)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题；否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题；逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题．(2)逆命题：若一个数不是素数，则它一定是正偶数，假命题；否命题：若一个数不是正偶数，则它一定是素数，假命题；逆否命题：若一个数是素数，则它一定不是正偶数，假命题．11．【答案】解：(1)逆命题：若x∈B，则x∈A∪B.根据集合“并”的定义，逆命题为真．逆否命题：若x∉B，则x∉A∪B.逆否命题为假．如2∉{1,5}＝B，A＝{2,3}，但2∈A∪B.(2)逆命题：若自然数能被2整除，则自然数能被6整除．逆命题为假．反例：2,4,14,22等都不能被6整除．12．【答案】解：∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．。
【金版优课】高中数学人教A版选修1-1课时作业：1.1.3四种命题的相互关系(含答案解析)
课时作业 3一、选择题1．命题“若 ?p，则 q”是真命题，则以下命题必定是真命题的是()A．若 p，则 ?q C．若 ?q，则 p B ．若 q，则 ?p D．若 ?q，则 ?p分析：命题“若?p，则 q”的逆否命题为“若?q，则p”．答案： C2．有以下四个命题：① “若 x2＋y2＝0，则 xy＝0”的否命题；② “若 x>y，则 x2>y2”的逆否命题；③ “若 x≤3，则 x2－x－ 6>0”的否命题；④ “对顶角相等”的抗命题此中真命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3分析：(1)该命题的否命题与其抗命题有同样的真假性，其抗命题为“若 xy＝0，假则 x2＋ y2＝ 0”，为假命题．该命题与其逆否命题拥有同样的真假性．而该命题为假命题(如 x＝ 0，(2)假y＝－ 1)，故其逆否命题为假命题．(3)假该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，很明显为假命题．(4)假该命题的抗命题是“相等的角是对顶角”，明显是假命题.答案： A3．以下说法中正确的选项是()A．一个命题的抗命题为真，则它的逆否命题必定为真B．“a>b”与“a＋ c>b＋ c”不等价C．“a2＋ b2＝ 0，则 a， b 全为 0”的逆否命题是“若 a， b 全不为 0，则 a2＋ b2≠0” D．一个命题的否命题为真，则它的抗命题必定为真分析：利用四种命题真假性关系可知 D 正确．答案： D4． [2014 ·南教课质量检测济]以下相关命题的说法正确的选项是()A.命题“若 xy＝ 0，则 x＝ 0”的否命题为：“若 xy＝ 0，则 x≠ 0”B.若“ x＋ y＝ 0，则 x， y 互为相反数”的抗命题为真命题C.命题“随意的 x∈ R，都有 2x2－1<0 建立”为真命题D.命题“若 cosx＝ cosy，则 x＝y”的逆否命题为真命题分析： A 不正确，命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为：“若xy≠0，则x≠0”；B 正确，命题“若 x＋ y＝0，则 x， y 互为相反数”的抗命题为“若 x， y 互为相反数，则x ＋ y＝ 0”，明显建立；C 不正确，当x＝ 1 时， 2x2－ 1<0 不建立；D 不正确，由于命题“若cosx＝cosy，则x＝y”是假命题，因此其逆否命题也是假命题．答案： B二、填空题5．在原命题“若 A∪B≠B，则 A∩B≠A”与它的抗命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．分析：原命题为真命题，其抗命题为“若A∩B≠A 则A∪B≠B”，否命题为“若 A∪ B＝B 则 A∩B＝ A”，逆否命题为“若 A∩B＝ A 则 A∪B＝ B”，全为真命题．答案： 46．以下命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；③正方形的四条边相等；④圆内接四边形对角互补；⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．此中互为抗命题的有__________ ；互为否命题的有__________ ；互为逆否命题的有__________ ．分析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依照四种命题间的关系，便不难判断．答案：③和⑥，②和④①和⑥，②和⑤①和③，④和⑤7．在空间中，①若四点不共面，则这四点中的任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，抗命题为真命题的是__________( 把切合要求的命题序号都填上)．分析：①中的抗命题是若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 做模型来察看：上底面 A 1B 1C 1D 1 中任何三点都不共线，但 A 1、 B 1、 C 1、 D 1 四点共面，因此①的抗命题不真；②中的抗命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点． 由异面直线的定义知， 成异面直线的两条直线不会有公共点，因此②的逆命题是真命题．答案：②三、解答题8．命题： 已知 a 、b 为实数， 若对于 x 的不等式 x 2＋ax ＋ b ≤0 有非空解集， 则 a 2－ 4b ≥0，写出该命题的抗命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．解：抗命题：已知a 、b 为实数，若 a 2－ 4b ≥0，则对于 x 的不等式 x 2 ＋ax ＋ b ≤0有非空解集．22否命题：已知 a 、b 为实数，若对于 x 的不等式 x ＋ ax ＋b ≤0没有非空解集， 则 a －4b<0.22逆否命题：已知 a 、 b 为实数，若 a － 4b<0，则对于 x 的不等式 x ＋ ax ＋ b ≤0没有非空解集．原命题、抗命题、否命题、逆否命题均为真命题．9． [2013 ·阳模拟咸 ]给出命题 “已知 a ，x 为实数，若对于 x 的不等式 x 2＋ (2a － 1)x ＋ a 2－ 2≤0的解集不是空集，则 a ≤3”，判断其逆否命题的真假．解：先判断原命题的真假：由于 a ， x 为实数，且对于x 的不等式 x 2＋ (2a － 1)x ＋ a 2－ 2≤0的解集不是空集，则22≥0，解得 9 ＝ (2a － 1) － 4(a － 2) a ≤4.9当 a ≤ 建即刻， a ≤3恒建立，因此原命题为真命题．4又由于原命题与其逆否命题等价，因此逆否命题是真命题．。
1.1.3四种命题间的相互关系
1
导学新知
1．命题：一般地，我们把用语言、符号或式子 表达的，可
判断真假 的陈述句叫做命题． 为假 的 2．命题的真假：判断 为真 的语句叫真命题，判断
问题 1 命题(1)与命题(2)(3)(4)分别是什么关系？
问题 2 命题(2)与命题(3)，命题(2)与命题(4)，命题(3)与 命题(4)分别是什么关系？
问题 3 问题 4 一般地，一个命题的逆命题和否命题是什么关系？ 一个命题的逆命题和逆否命题、否命题和逆否命
9
题分别是什么关系？
问题探究(一)
3
定义
表示形式
原命题为“若 p， 则 q”，逆命题为 “ 若q，则p ”
导学新知
对于两个命题， 其中一个命题 的条件和结论恰好是另一个 互 否 命 题 命题的 条件的否定 和 原命题为“若 p，则 q” ； 否 命 题 为 “若 p，则 q ”
结论的否定
，这
样的两个命题叫做互否命 题． 如果把其中的一个命题叫 做原命题， 那么另一个叫做原 命题的
四种命题间的相互关系
问题 1 命题(1)与命题(2)(3)(4)分别是什么关系？
答案 命题(1)与命题(2)是互为逆命题，命题(1)与命题(3) 互为否命题，命题(1)与命题(4)互为逆否命题．
问题 2 命题(2)与命题(3)，命题(2)与命题(4)，命题(3)与 命题(4)分别是什么关系？ 答案 命题(2)与命题(3)是互为逆否命题，命题(2)(4)是互
14
理论迁移
1.1.3四种命题间的相互关系
反馈练习
用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦 不能互相平分。
用反证法证明：圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、 CD交于点P，且AB、CD不是直径. A 求证：弦AB、CD不被P平分.
证明：假设弦AB、CD被P平分，
由于P点一定不是圆心O，连结OP， C 根据垂径定理的推论，有
已知：△ABC． 求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角 是直角．
反证法的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立,即假 反设 设结论的反面成立；
(2)从这个假设出发，经过推理 论证，得出矛盾；
归谬
(3) 由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。
结论
反馈练习
课本P8练习
反馈练习
用反证法证明,若(x-a)(x-b)≠0,则x ≠a且x ≠b. 证明 假设____x_=_a___或___x_=__b___,
⊙O的直径，这与已知条件矛盾。
所以结论“弦AB、CD不被P点平分”成立。
总结提炼
1.反证法的基本思想： 通过证明原命题的否定是假命题，说明原
命题是真命题.
2.用反证法证明命题的一般步骤是什么?
①反设
②归谬
③结论
3.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些?
用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题 设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、公理、定理 矛盾，自相矛盾等．
(2)两个命题为互逆命题或互否命题, 它们的真假性没关系.
练习1 判断下列说法是否正确。
1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不
一定为真；
（对）
2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一
定为真。
（对）
3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一
高二数学 1.1.3四种命题间的相互关系
1.1.3四种命题间的相互关系
【自主学习】观察下列四个命题：
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．
（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．
（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．
（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．
1.命题（1）与命题（2）（3）（4）之间是什么关系？你知道上述四个命题中任意两个命题之间的相互关系吗？
2．四种命题间的真假性关系
（1）判断上述四个命题的真假，并思考它们的真假性是否也有一定的相互关系？
（2）以“若2
-3+2=0x x ，则=2x ”为原命题，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并判断这些命题的真假.
（3）再分析其他一些命题，并思考四种命题的真假性间有什么规律？
一般地，原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题之间的相互关系如下：
原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的真假性，有而且仅有下面四
种情况：
【自主检测】 若p ，则q
下列说法正确的是( )
A ．一个命题的逆命题为真，则它的否命题为假
B ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题为真
C ．一个命题的逆否命题为真，则它的否命题为真
D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题为真
【典型例题】
例：证明：“若222430a b a b -+--≠,则1a b -≠.”为真命题.
【目标检测】
1．判断下列命题的真假，写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若a >b ，则ac 2>bc 2；
(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；。
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课时提升作业三
四种命题间的相互关系
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.命题“若p,则q”是真命题,则下列命题一定是真命题的是( )
A.若p,则q
B.若q,则p
C.若q,则p
D.若q,则p
【解题指南】利用命题的等价关系判断.
【解析】选C.“若p,则q”的逆否命题是“若q,则p”,又因为互为逆否命题所以真假性相同.
所以“若q,则p”一定是真命题.
2.(2016·三明高二检测)下列命题中为真命题的是( )
A.命题“若x>2016,则x>0”的逆命题
B.命题“若xy=0,则x=0或y=0”的否命题
C.命题“若x2+x-2=0,则x=1”
D.命题“若x2≥1,则x≥1”的逆否命题
【解析】选B.A.命题“若x>2016,则x>0”的逆命题为命题“若x>0,则x>2016”,显然命题为假;
B.命题“若xy=0,则x=0或y=0”的逆命题为“若x=0或y=0,则xy=0”,显然命题为真,则原命题的否命题也为真;
C.解x2+x-2=0得x=1或x=-2.所以命题“若x2+x-2=0,则x=1”为假;
D.x2≥1⇒x≤-1或x≥1.所以命题“若x2≥1,则x≥1”是假命题,则其逆否命题
也为假命题.
3.(2016·泰安高二检测)已知命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”,在它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.若a,b,c成等比数列,则b2=ac,为真命题,
逆命题:若b2=ac,则a,b,c成等比数列,为假命题,
否命题:若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac,为假命题,
逆否命题:若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列,为真命题,
在它的逆命题、否命题、逆否命题中为真命题的有1个.
【补偿训练】已知命题p:若a>0,则方程ax2+2x=0有解,则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为( )
A.3
B.2
C.1
D.0
【解析】选B.易知原命题和逆否命题都是真命题,否命题和逆命题都是假命题.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.在命题“若m>-n,则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数是.
【解析】原命题为假命题,逆否命题也为假命题,逆命题也是假命题,否命题也是假命题.故假命题个数为3.
答案:3
5.给出下列命题:
①原命题为真,它的否命题为假;
②原命题为真,它的逆命题不一定为真;
③一个命题的逆命题为真,它的否命题一定为真;
④一个命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真;
⑤“若m>1,则mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集为R”的逆命题.
其中真命题是.(把你认为正确命题的序号都填在横线上)
【解析】原命题为真,而它的逆命题、否命题不一定为真,互为逆否命题同真同假,故①④错误,②③正确.又因为不等式mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集为R,
由错误！未找到引用源。
⇒错误！未找到引用源。
⇒m>1.
故⑤正确.
答案:②③⑤
三、解答题
6.(10分)(教材P8练习改编)
证明:若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+1.
【证明】“若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+1”的逆否命题为“若a=2b+1,则a2-4b2-2a+1=0”.
因为a=2b+1,
所以a2-4b2-2a+1=(2b+1)2-4b2-2(2b+1)+1=4b2+1+4b-4b2-4b-2+1=0,
所以命题“若a=2b+1,则a2-4b2-2a+1=0”为真命题.
由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知,结论正确.
【补偿训练】求证:若p2+q2=2,则p+q≤2.
【证明】该命题的逆否命题为若p+q>2,则p2+q2≠2.
p2+q2=错误！未找到引用源。
[(p+q)2+(p-q)2]≥错误！未找到引用源。
(p+q)2. 因为p+q>2,
所以(p+q)2>4,
所以p2+q2>2,即p+q>2时,p2+q2≠2成立.
所以由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知,结论正确.
即若p2+q2=2,则p+q≤2.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·厦门高二检测)给出命题:已知a,b为实数,若a+b=1,则ab≤错误！未找到引用源。
.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( )
A.3
B.2
C.1
D.0
【解题指南】四种命题中原命题与逆否命题真假性一致,逆命题与否命题真假性一致,因此要判断一个命题的真假可判断其逆否命题的真假.
【解析】选C.由ab≤错误！未找到引用源。
得:a+b=1,则有ab≤错误！未找到引用源。
,原命题是真命题,所以逆否命题是真命题;逆命题:若ab≤错误！未找到引用源。
,则a+b=1不成立,反例a=b=0满足ab≤错误！未找到引用源。
但不满足a+b=1,所以逆命题是假命题,否命题也是假命题.
2.(2016·惠州高二检测)已知命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是( )
A.否命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”是真命题
B.逆命题“若m≤1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数”是假命题
C.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是减函数”是真命题
D.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题【解析】选D.函数f(x)=e x-mx在(0,+≦)上是增函数等价于f′(x)=e x-m≥0在(0,+≦)上恒成立,即m≤e x在(0,+≦)上恒成立,而e x>1,故m≤1,所以命题“若函
数f(x)=e x-mx在(0,+≦)上是增函数,则m≤1”是真命题,所以其逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+≦)上不是增函数”是真命题.
【补偿训练】命题“若△ABC有一内角为错误！未找到引用源。
,则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题( )
A.与原命题同为假命题
B.与原命题的否命题同为假命题
C.与原命题的逆否命题同为假命题
D.与原命题同为真命题
【解析】选D.原命题显然为真,原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列,则△ABC有一内角为错误！未找到引用源。
”,它是真命题.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016·衡阳高二检测)在“a,b是实数”的大前提之下,已知原命题是“若不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集,则a2-4b≥0”,给出下列命题:
①若a2-4b≥0,则不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集;
②若a2-4b<0,则不等式x2+ax+b≤0的解集是空集;
③若不等式x2+ax+b≤0的解集是空集,则a2-4b<0;
④若不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集,则a2-4b<0;
⑤若a2-4b<0,则不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集;
⑥若不等式x2+ax+b≤0的解集是空集,则a2-4b≥0.
其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题的命题的序号依次是(按要求的顺序填写).
【解题指南】根据四种命题间的关系确定
【解析】“非空集”的否定是“空集”,“大于或等于”的否定是“小于”,根据
命题的构造规则,题目的答案是①③②.
答案:①③②
4.命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的等价命题为,是命题(填“真”或“假”).
【解题指南】求原命题的等价命题即为原命题的逆否命题,只需把原命题的条件与结论既交换又否定即可.
【解析】命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的等价命题为“已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0”,是真命题.
答案:已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0真
三、解答题
5.(10分)(2016·益阳高二检测)写出命题:“若错误！未找到引用源。
+(y+1)2=0,则x=2且y=-1”的逆命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假.
【解析】逆命题:若x=2且y=-1,则错误！未找到引用源。
+(y+1)2=0,真命题; 否命题:若错误！未找到引用源。
+(y+1)2≠0,则x≠2或y≠-1,
因为逆命题为真,所以否命题为真;
逆否命题:若x≠2或y≠-1,则错误！未找到引用源。
+(y+1)2≠0,
显然原命题为真命题,所以逆否命题为真命题.
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