核心素养练-历届高考数学真题汇编专题5_三角函数最新模拟_理-含答案
核心素养提升练 五高考数学
核心素养提升练五函数的单调性与最值(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列函数中,定义域是R且为增函数的是( )A.y=e-xB.y=x3C.y=ln xD.y=|x|【解析】选B.对于选项A,y=e x为增函数,y=-x为减函数,故y=e-x为减函数,对于选项B,y′=3x2≥0,故y=x3为增函数,对于选项C,函数的定义域为x>0,不为R,对于选项D,函数y=|x|为偶函数,在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.2.(2018·武汉模拟)函数f(x)=|x-2|x的单调递减区间是 ( )A.[1,2]B.[-1,0]C.[0,2]D.[2,+∞)【解析】选A.f(x)=|x-2|x=其图象如图,由图象可知函数的单调递减区间是[1,2].3.已知函数f(x)=|x+a|在(-∞,-1)上是单调函数,则a的取值范围是( )A.(-∞,1]B.(-∞,-1]C.[-1,+∞)D.[1,+∞)【解析】选A.因为函数f(x)在(-∞,-1)上是单调函数,所以-a≥-1,解得a≤1.4.(2019·成都模拟)设定义在[-1,7]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则关于函数y=的单调区间表述正确的是( )A.在[-1,1]上单调递减B.在(0,1]上单调递减,在[1,3)上单调递增C.在[5,7]上单调递减D.在[3,5]上单调递增【解析】选B.由图象可知当x=0,x=3,x=6时,f(x)=0,此时函数y=无意义,故排除A,C,D,选B.5.下列函数中,值域为[0,1]的是( )A.y=x2B.y=sin xC.y=D.y=【解析】选D.A中,x2≥0;B中,-1≤sin x≤1;C中,0<≤1;D中,0≤≤1.6.(2018·上饶模拟)函数f(x)=-x+在上的最大值是( )A. B.- C.-2 D.2【解析】选A.函数f(x)=-x+的导数为f′(x)=-1-,则f′(x)<0,可得f(x)在上单调递减,即f(-2)为最大值,且为2-=.7.已知函数f(x)=在区间[a,b]上的最大值是,最小值是-3,则a+b=( )A.2B.1C.0D.-1【解析】选C.函数f(x)===2+,所以f(x)在(-∞,2)或(2,+∞)上单调递减,因为f(x)在区间[a,b]上的最大值是,最小值是-3,所以函数f(x)在[a,b]上单调递减,所以解得a=-1,b=1,所以a+b=0.二、填空题(每小题5分,共10分)8.设函数f(x)=的最小值为2,则实数a的取值范围是________.【解析】当x≥1时,f(x)≥2,当x<1时,f(x)>a-1.由题意知a-1≥2,所以a≥3. 答案:[3,+∞)9.函数y=x-|1-x|的单调递增区间为________.世纪金榜导学号【解析】y=x-|1-x|=作出该函数的图象如图所示.由图象可知,该函数的单调递增区间是(-∞,1].答案:(-∞,1]10. 函数f(x)=-+b(a>0)在上的值域为,则a=________,b=________.【解析】因为f(x)=-+b(a>0)在上是增函数,所以f=,f(2)=2.即解得a=1,b=.答案:1(20分钟40分)1.(5分)定义新运算:当a≥b时,a※b=a;当a<b时,a※b=b2,则函数f(x)=(1※x)x-(2※x),x∈[-2,2]的最大值等于 ( )A.-1B.1C.6D.12【解析】选C.由已知得,当-2≤x≤1时,f(x)=x-2,当1<x≤2时,f(x)=x3-2.因为f(x)=x-2(-2≤x≤1),f(x)=x3-2(1<x≤2)在定义域内都为增函数,所以f(x)的最大值为f(2)=23-2=6.2.(5分)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,则不等式f(x-2)≥0的解集是 ( )A.(-∞,1)∪(3,+∞)B.(-∞,1]∪(3,+∞)C.(-∞,1)∪[3,+∞)D.(-∞,1]∪[3,+∞)【解析】选D.利用偶函数的性质求解.由题意可得不等式f(x-2)≥0即为f(|x- 2|)≥f(1),又f(x)在[0,+∞)上单调递增,则|x-2|≥1,解得x≤1或x≥3,故解集为(-∞,1]∪[3,+∞).3.(5分)(2018·连云港模拟)函数y=3x+的值域是________.【解析】函数y=3x+,设=t,则t≥0,那么x=t2+1.可得函数y=3(t2+1)+t=3t2+t+3,t≥0.其对称轴t=-,开口向上,所以函数y在[0,+∞)上单调递增,所以当t=0时,y取得最小值为3.所以函数y=3x+的值域是[3,+∞).答案:[3,+∞)4.(12分)已知函数f(x)=ax+(1-x)(a>0),且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a),求g(a)的最大值.【解析】f(x)=x+,当a>1时,a->0,此时f(x)在[0,1]上为增函数,所以g(a)=f(0)=;当0<a<1时,a-<0,此时f(x)在[0,1]上为减函数,所以g(a)=f(1)=a;当a=1时,f(x)=1,此时g(a)=1.所以g(a)=所以g(a)在(0,1)上为增函数,在[1,+∞)上为减函数,所以当a=1时,g(a)取最大值1.5.(13分)已知f(x)=(x≠a).(1)若a=-2,试证明f(x)在(-∞,-2)内单调递增.(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求a的取值范围. 【解析】(1)任意设x1<x2<-2,则f(x1)-f(x2)=-=.因为(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在(-∞,-2)上单调递增. (2)任意设1<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=.因为a>0,x2-x1>0,所以要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0在(1,+∞)上恒成立,所以a≤1.综上所述,a的取值范围是(0,1].。
通用版五年高考2024_2025高考数学真题专题归纳专题15三角函数与解三角形综合含解析理
专题15 三角函数与解三角形综合【2024年】1.（2024·新课标Ⅱ）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C. （1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+【解析】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=. （2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=， 即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为3+【点睛】本题考查解三角形的相关学问，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.2.（2024·北京卷）在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-； 条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：假如选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sin C =, S = 选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sin C =, S =. 【解析】选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ==-，11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅-8a ∴=（Ⅱ）1cos (0,)sin 7A A A π=-∈∴==，由正弦定理得：7sin sin sin sin 27a c C A C C ==∴=11sin (118)822S ba C ==-⨯=选择条件②（Ⅰ）19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈，sin A B ∴====由正弦定理得：6sin sin 816a b a A B ===（Ⅱ）91sin sin()sin cos sin cos 8161684C A B A B B A =+=+=+=11sin (116)622S ba C ==-⨯=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解实力，属中档题.3.（2024·山东卷）在①ac sin 3c A =，③=c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin AB ，6C π=，________?注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】详见解析 【解析】解法一：由sin 3sin AB 可得：ab=不妨设(),0a b m m =>，则：2222222cos 322c a b ab C m m m m =+-=+-⨯⨯=，即c m =. 选择条件①的解析：据此可得：2ac m =⨯==1m ∴=，此时1c m ==. 选择条件②的解析：据此可得：222222231cos 222b c a m m m A bc m +-+-===-，则：sin A ==，此时：sin 3c A m ==，则：c m ==选择条件③的解析： 可得1c mb m==，c b =，与条件=c 冲突，则问题中的三角形不存在.解法二：∵(),,6sinA C B A C ππ===-+,∴()6sinA A C A π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭,()1?2sinA A C =+= ，∴sinA =,∴tanA =23A π=,∴6B C π==,若选①，ac =,∵a ==2=若选②，3csinA =,3=,c =;若选③,与条件=c 冲突.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采纳到正弦定理，出现边的二次式一般采纳到余弦定理．应用正、余弦定理时，留意公式变式的应用．解决三角形问题时，留意角的限制范围． 4.（2024·天津卷）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c．已知5,a b c ===（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（Ⅰ）4C π；（Ⅱ）sin A =（Ⅲ）sin 2426A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.【解析】（Ⅰ）在ABC中，由5,a b c ===222cos 22a b c C ab +-===， 又因为(0,)C π∈，所以4C π；（Ⅱ）在ABC 中，由4Cπ，a c ==sin sin a C A c===13； （Ⅲ）由a c <知角A为锐角，由sin 13A =，可得cos A=13，进而2125sin 22sin cos ,cos22cos 11313A A A A A ===-=，所以125sin(2)sin 2coscos2sin444132132A A A πππ+=+=⨯+⨯=26. 【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算实力，是一道简单题.5.（2024·浙江卷）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin b A =． （I ）求角B ；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．【答案】（I ）3B π=；（II）13,22⎛⎤⎥ ⎝⎦ 【解析】（I）由2sin b A =结合正弦定理可得：2sin sin ,sin 2B A A B =∴= △ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）结合(1)的结论有：12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 22A A A =-+11cos 22A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin 32A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，113sin ,2232A π⎛⎤⎛⎫++∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.【2024年】1．【2024年高考全国Ⅰ卷】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．【答案】（1）60A ︒=；（2）sin C =【解析】（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==．因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=．（2）由（1）知120B C ︒=-()sin 1202sin A C C ︒+-=，即1sin 2sin 222C C C ++=，可得()cos 602C ︒+=-．由于0120C ︒︒<<，所以()sin 602C ︒+=，故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+=． 2．【2024年高考全国Ⅲ卷】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【答案】（1）B =60°；（2）.【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=． 因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积ABC S =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2C c Aa CC︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△． 因此，△ABC面积的取值范围是⎝⎭． 3．【2024年高考北京卷】在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B –C ）的值． 【答案】（1）7b =，5c =；（2【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭.因为2b c =+，所以2221(2)3232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯-⎪⎝⎭. 解得5c =. 所以7b =.（2）由1cos 2B =-得sin B =.由正弦定理得sin sin 14c C B b ==. 在ABC △中，∠B 是钝角， 所以∠C 为锐角.所以11cos 14C ==.所以sin()sin cos cos sin 7B C B C B C -=-=. 4．【2024年高考天津卷】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（1）求cos B 的值； （2）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 【答案】（1）14-；（2）【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =．由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅． （2）由（1）可得sin 4B ==，从而sin 22sin cos 8B B B ==-，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故717sin 2sin 2cos cos 2sin 666828216B B B πππ⎛⎫+=+=--⨯=-⎪⎝⎭． 5．【2024年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）3c =；（2）5.【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c +-=⨯⨯，即213c =.所以c =（2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos 5B =.因此πsin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭6．【2024年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型马路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在马路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的全部点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+321（百米）. 【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满意规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知2210AD AE ED =+=，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满意规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先探讨点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上随意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上全部点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再探讨点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上全部点到点O 的距离均不小于圆O的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满意规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满意规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先探讨点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上随意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上全部点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再探讨点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q（a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上全部点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+. 7．【2024年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R . （1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）33[1,1]22-+． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对随意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+，即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=， 所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y fx f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ππ1cos 21cos 2133621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭ 3π1cos 223x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因此，函数的值域是33[1,1]22-+． 【2024年】1. （2024年浙江卷）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满意sin （α+β）=，求cos β的值． 【答案】（Ⅰ） , （Ⅱ）或【解析】（Ⅰ）由角的终边过点得，所以.（Ⅱ）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.2. （2024年天津卷）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （I）求角B的大小；（II）设a=2，c=3，求b和的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【解析】（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为a<c，故．因此，所以，3. （2024年北京卷）在△ABC中，a=7，b=8，cos B= –．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【答案】(1) ∠A=(2) AC边上的高为【解析】（Ⅰ）在△ABC中，∵cos B=–，∴B∈（，π），∴sin B=．由正弦定理得=，∴sin A=．∵B∈（，π），∴A∈（0，），∴∠A=．（Ⅱ）在△ABC中，∵sin C=sin（A+B）=sin A cos B+sin B cos A==．如图所示，在△ABC中，∵sin C=，∴h==，∴AC边上的高为．4. （2024年江苏卷）已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．5. （2024年全国I卷理数）在平面四边形中，，，，. （1）求；（2）若，求.【答案】 (1) .(2).【解析】 （1）在中，由正弦定理得. 由题设知，，所以.由题设知，，所以.（2）由题设及（1）知，.在中，由余弦定理得，所以.【2024年】1.【2024课标1，理17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 【答案】（1）23.（2）333【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即()1cos 2B C +=-. 所以23B C π+=，故3A π=. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即()239b c bc +-=，得33b c +=故△ABC 的周长为333+.2.【2024课标II ，理17】ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=， （1）求cosB ；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b 。
三角函数(教师版)--2020-2023高考真题数学专题分类汇编
专题五三角函数--2020-2023高考真题数学专题分类汇编真题卷题号考点考向2023新课标1卷8三角恒等变换给值求值15三角函数的性质及应用余弦型函数的零点问题2023新课标2卷7三角恒等变换给值求值16三角函数的图象与性质由部分图象求解析式、求函数值2022新高考1卷6三角函数的性质及应用求三角函数的解析式、求函数值2022新高考2卷6三角恒等变换三角求值9三角函数的图象与性质求三角函数的单调区间、对称轴、极值点、求切线方程2021新高考1卷4三角函数的性质及应用求三角函数的单调区间2021新高考2卷6三角恒等变换给值求值2020新高考1卷10三角函数的图象与性质由图象求三角函数的解析式15三角函数的应用三角函数解决实际问题2020新高考2卷11三角函数的图象与性质由图象求三角函数的解析式16三角函数的应用三角函数解决实际问题【2023年真题】1.（2023·新课标I卷第8题）已知1sin()3αβ-=，1cos sin6αβ=，则cos(22)αβ+=()A.79 B.19 C.19- D.79-【解析】本题考查两角和与差的正弦公式以及二倍角公式，属于中档题.利用两角和与差的正弦公式先求出sin cos αβ的值，从而可以得到sin()αβ+的值，再结合二倍角的余弦公式即可得出结果.解：因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，1cos sin 6αβ=，则1sin cos .2αβ=故112sin()sin cos cos sin .263αβαβαβ+=+=+=即2221cos(22)12sin ()12(.39αβαβ+=-+=-⨯=故选B.2.（2023·新课标II 卷第7题）已知α为锐角，15cos 4α+=，则sin 2α=()A.358- B.158-+ C.354- D.154-【答案】D 【解析】【分析】本题考查倍角公式，属于基础题．观察题干，发现未知角为已知角的一半，考虑倍角公式，即可得证.【解答】解：221511cos 36114sin ()sin 222816424ααα+----=====⇒=故选：.D 3.（2023·新课标I 卷第15题）已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[0,2]π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是__________.【答案】[2,3).【解析】【分析】本题考查了余弦型函数的零点问题，属中档题.解：令()cos 10f x x ω=-=，得cos 1x ω=，又[0,2]x π∈，则[0,2]x ωωπ∈，所以426πωππ<，得2 3.ω<故答案为：[2,3).4.（2023·新课标II 卷第16题）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，如图，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若||6AB π=，则()f π=.【答案】32-【解析】【分析】主要考查了函数sin()y A x ωϕ=+的性质与图象，诱导公式等，属于一般题.根据AB 的长度求出.ω函数图象过点2(,0)3π，求.ϕ诱导公式得到答案.【解答】解：设相邻的两个交点A ，B 的横坐标为1 t ，2 t ，则21 - 6t t π=又1sin()2x ωϕ+=，522,.0,66x k k k Z k ππωϕππ+=++∈=或当时16t πωϕ+=，256t πωϕ+=，212( - )3t t πω=，故 4.ω=函数图象过点2(,0)3π，8sin ()03πϕ+=，故8 ,.3k k Z πϕπ=-∈2k =时满足图片条件，故2.3πϕ=-23()sin(4.32f πππ=-=-【2022年真题】5.（2022·新高考I 卷第6题）记函数()sin()(0)4f x x b πωω=++>的最小正周期为.T 若23T ππ<<，且()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，则(2f π=()A.1 B.32C.52D.3【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查三角函数的周期性和对称性，属于中档题.根据周期范围，确定ω范围，再根据对称中心确定21(34k ω=-，k Z ∈，二者结合可得结果.【解答】解：由题可知：22(,)3T πππω=∈，所以(2,3).ω∈又因为()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，所以2b =，且33()sin() 2.224f b πππω=⨯++=所以21(34k ω=-，k Z ∈，所以5.2ω=所以5()sin( 2.24f x x π=++所以() 1.2f π=6.（2022·新高考II 卷第6题）若sin()cos())sin 4παβαβαβ+++=+，则()A.tan()1αβ+=-B.tan()1αβ+=C.tan()1αβ-=-D.tan()1αβ-=【答案】C 【解析】【分析】本题考查三角恒等变换的应用法一：利用特殊值法，排除错误选项即可法二，利用三角恒等变换，求出正确选项【解答】解：解法一：设0β=则sin cos 0αα+=，取34απ=，排除B ，D 再取0α=则sin cos 2sin βββ+=，取4πβ=，排除;A 选.C解法二：由sin()cos())]44ππαβαβαβαβ+++=++=++)cos44ππαβαβ=+++，cos )sin 44ππαβαβ+=+故sin()cos cos()sin 044ππαβαβ+-+=，即sin()04παβ+-=，故22sin(sin()cos()0422παβαβαβ-+=-+-=，故sin()cos()αβαβ-=--，故tan() 1.αβ-=-7.（2022·新高考II 卷第9题）（多选）已知函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象关于点2(,0)3π对称，则()A.()f x 在5(0,12π单调递减B.()f x 在11(,)1212ππ-有两个极值点C.直线76x π=是曲线()y f x =的一条对称轴D.直线2y x =-是曲线()y f x =的一条切线【答案】AD 【解析】【分析】本题考查三角函数的图象与性质，三角函数的单调性、三角函数的对称轴与对称中心，函数的极值，切线方程的求解，属于中档题.【解答】解：由题意得：24()sin()033f ππϕ=+=，所以43k πϕπ+=，即43k πϕπ=-+，k Z ∈，又0ϕπ<<，所以2k =时，23πϕ=，故2()sin(2).3f x x π=+选项5:(0,)12A x π∈时，2232(,)332x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在5(0,)12π单调递减;选项11:(,1212B x ππ∈-时，252(,)322x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在11(,1212ππ-有1个极值点;选项:C 由于，故直线76x π=不是()f x 的对称轴;选项:D 令，得21cos(2)32x π+=-，解得222233x k πππ+=+或242233x k πππ+=+，k Z ∈，从而得x k π=或3x k ππ=+，k Z ∈，令0k =，则是斜率为1-的直线与曲线的切点，从而切线方程为3(0)2y x -=--，即3.2y x =-【2021年真题】8.（2021·新高考I 卷第4题）下列区间中，函数()7sin ()6f x x π=-单调递增的区间是()A.0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】本题考查正弦型函数的单调递增区间，属于基础题.由正弦函数图象和性质可知，得()7sin ()6f x x π=-的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，分析选项可得答案.【解答】解：由22262k x k πππππ-+-+，得222,33k xk k Z ππππ-++∈，所以()7sin ()6f x x π=-的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，当0k =时，一个单调递增区间为2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，可知20,,233πππ⎛⎫⎡⎤⊆- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：.A 9.（2021·新高考I 卷第6题）若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+()A.65-B.25-C.25 D.65【答案】C 【解析】【分析】本题考查三角函数的化简求值，涉及同角三角函数的关系、二倍角公式，属于中档题.利用同角三角函数关系、二倍角公式将其化简为2sin sin cos θθθ+后，添加分母1，转化为齐次式，再分子分母同除2cos θ即可.【解答】解：原式22sin (sin cos 2sin cos )sin cos θθθθθθθ++=+22sin (sin cos )sin sin cos sin cos θθθθθθθθ+==++22222sin sin cos tan tan 422sin cos tan 1415θθθθθθθθ++-====+++，故选：.C 【2020年真题】10.（2020·新高考I 卷第10题、II 卷第11题）（多选）如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则()sin x ωϕ+()A.sin ()3x π+ B.sin (2)3x π- C.cos (2)6x π+D.5cos (2)6x π-【答案】BC 【解析】【分析】本题考查正弦型函数的图象，考查逻辑推理能力，属于中档题.借助图象分别求出,ωϕ，结合诱导公式即可判断.【解答】解：由图象可知222()||36T ππππω==-=，故A 错误;解得2ω=±，点5(,1)12π-在函数图象上，当2ω=时，522,k Z 122k ππϕπ⨯+=-+∈，解得42,k Z 3k πϕπ=-+∈，故44sin 2sin 2sin 2333y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-=-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当2ω=-时，522,k Z 122k ππϕπ-⨯+=-+∈解得2,k Z 3k πϕπ=+∈，故函数解析式为sin 23y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭，又cos 2sin 2sin 26263x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选.BC11.（2020·新高考I 卷第15题、II 卷第16题）)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC的切点，四边形DEFG 为矩形，BC DG ⊥，垂足为C ，3tan 5ODC ∠=，//BH DG ，12EF cm =，2DE cm =，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为__________2.cm 【答案】542π+【解析】【分析】本题考查平面图形中的边角关系，扇形的面积公式，是困难题.设上面的大圆弧的半径为x ，连接OA ，过A 作AI BH ⊥交BH 于J ，交DG 于K ，交EF 于I ，过O 作OL DG ⊥于L ，由题中长度关系易得45AGD ︒∠=，可得AOH 为等腰直角三角形，即可得到OL 和DL 的长度，根据3tan 5ODC ∠=可得到22x =12AOH O S S S S =+- 阴影圆扇形求解即可.【解答】解：设上面的大圆弧的半径为x ，连接OA ，过A 作AI BH ⊥交BH 于J ，交DG 于K ，交EF 于I ，过O 作OL DG ⊥于L ，记扇形OAB 的面积为S 扇形，由题中的长度关系易知45AGD ︒∠=，所以45AHO ︒∠=，又90OAH ︒∠=，可得AOH 为等腰直角三角形，可得22OJ AJ x ==，252OL JK x ==-，72DL DK LK DK OJ x=-=-=-，3tan 5OL ODC DL ∠==，2532522x -=，解得x =，12AOH O S S S S =+- 阴影圆扇形222131154()24222cm πππ=⨯⨯+⨯-=+，故答案为54.2π+。
三角函数、解三角形——2024届高考数学试题分类汇编(解析版)
2024高考复习·真题分类系列2024高考试题分类集萃·三角函数、解三角形
微专题总述：三角函数的图像与性质
【扎马步】2023高考三角函数的图像与性质方面主要考察“卡根法”的运用，是最为基础的表现
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，加强图像考察与其他知识点如几何、函数的结合，对称思想的隐含
微专题总述：正弦定理与余弦定理的应用
【扎马步】2023高考解三角形小题部分紧抓“教考衔接”基础不放，充分考察正余弦定理的运用
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，在考察正余弦定理时与角平分线定理结合（初中未涉及此定理）
微专题总述：解三角形综合问题
【扎马步】2023高考解三角形大题部分仍然与前几年保持一直模式，结构不良题型日益增多，但方向不变，均是化为“一角一函数”模式是达到的最终目的，考察考生基本计算与化简能力
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，如新高考卷中出现的数形结合可加快解题速度，利用初中平面几何方法快速求出对应参量在近几年高考题中频繁出现，可见初高中结合的紧密 2023年新课标全国Ⅰ卷数学
16．已知在ABC 中，
()3,2sin sin A B C A C B +=−=． (1)求sin A ；
(2)设5AB =，求AB 边上的高．
2023高考试题分类集萃·三角函数、解三角形参考答案
2。
全国卷历年高考三角函数真题归类分析(含答案)
全国卷历年高考三角函数真题归类分析
(含答案)
介绍
这份文档旨在对全国卷历年高考三角函数真题进行归类分析，
并提供相应的答案。
通过分析历年真题，可以帮助考生了解三角函
数的重要考点和解题技巧，为高考复提供指导。
归类分析
以下是对历年高考三角函数真题的归类分析：
三角函数的基本概念
- 考查正弦函数、余弦函数、正切函数等的定义和性质。
- 考查角度与弧度的转换。
- 考查三角函数的图像和性质。
三角函数的性质和公式
- 考查三角函数的周期性和对称性。
- 考查三角函数之间的关系和性质，如和差化积、倍角公式等。
三角函数的应用
- 考查三角函数在几何中的应用，如求直角三角形的边长和角度、解三角形等。
- 考查三角函数在物理和工程问题中的应用，如力的分解、振动问题等。
答案
以下是对每个归类的真题的答案：
三角函数的基本概念
三角函数的性质和公式
三角函数的应用
结论
通过分析历年高考三角函数真题并掌握相关的解题技巧，考生可以在高考中更好地应对三角函数相关的考题。
这份文档提供了归类分析和相应答案，希望能够对考生的复习有所帮助。
高考数学三角函数单选题专题复习题(含答案)
高考数学三角函数单选题专题复习题1．如图，阴影部分的月牙形边缘都是圆弧，两段圆弧分别是ABC △的外接圆和以AB 为直径的圆的一部分，若2π3ACB ∠=，1AC BC ==，则该月牙形的面积为（）A.3π424+ B.3π424- C.1π424+ D.33π48-2．已知11sin 22M x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎩⎭，πππ,,0,463N ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，则M N = （）A.π,06⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B.π,04⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C.ππ,0,63⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ D.ππ,,046⎧⎫--⎨⎬⎩⎭3．某海湾的海潮高低水位之差可达到15米，在该海湾某一固定点，大海水深d （单位：m ）与午夜后的时间t （单位：h ）之间的关系为()104co πs 3d t t =+，则下午5点时刻该固定点的水位变化的速度为（）A.3B.6πC.6π-D.π-4．已知π,(0,2αβ∈，且cossin22tan cos sin 22ββαββ+=-，则2αβ-=（）A.π8B.π4C.π2D.π5．函数cos y x =和sin y x =在下列哪个区间上都是单调递减的（）A.π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.ππ,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦6．若角α的终边在直线y x =上，则角α的取值集合为（）A.{}36045,k k αα=⋅︒+︒∈Z ∣ B.{}360135,k k αα=⋅︒+︒∈Z ∣C.{}180135,k k αα=⋅︒-︒∈Z ∣ D.{}18045,k k αα=⋅︒-︒∈Z ∣7．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象与直线y =的相邻两个交点的距离分别为π4和3π4，若π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x 解析式为（）A.()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B.()π2sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()π2sin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭D.()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8．函数π32cos 23y x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭的单调递增区间是（）A.()2πππ,π36k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z B.()πππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C.()π4π2π,2π33k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D.()ππ2π,2π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 9．把函数()y f x =的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标缩短到原来的12倍，再把纵坐标伸长到原来的32倍，所得图象的解析式是π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的解析式是（）A.()2cos f x x =-B.()2sin f x x =C.()2cos f x x= D.()2sin f x x=-10．已知4πtan 3a =，2πsin 3b =，17πcos 4c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A.a c b>> B.a b c >> C.b c a>> D.a c b>>11．下列是函数()πtan 214f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的对称中心的是（）A.π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭B.π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()0,1 D.π,18⎛⎫ ⎪⎝⎭12．已知π3sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7πcos 6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（）A.35-B.45C.35-D.45-13．若tan 2α=,则cos 21sin 2αα=+（）A.34B.12C.13-D.35-14．若()sin 20α-︒=,则()sin 250α+︒=（）A.18B.18-C.78-D.7815．设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =和()y g x =恰有一个交点.则a =（）A.-1B.12C.1D.216．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是（）A.4π B.2π C.34π D.π17．某著名的公式是i e cos x x isinx =+,则3i e 在复平面内的（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限18．若函数()2sin f x x =存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 满足120πn x x x n ≤<<⋅⋅⋅<≤，n +∉N ，且()()()()()()122312024m m f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=，()2,m m +≥∈N ，则满足条件的实数m 的最小值为（）A.506B.507C.508D.50919．已知函数π()sin()(0,06,||2f x A x b A ωϕωϕ=++>≤≤<的部分图象如图所示，则()f x =（）A.π2sin(316x ++ B.π3sin(3)6x + C.π2sin(16x ++ D.π2sin(5)13x ++20．已知函数π1()sin(262f x x =--的定义域为[,]()m n m n <，值域为3[,0]2-，则n m-的取值范围是（）A.π[,π]3B.π2π[,33C.[π2,2π3D.π[,π]2参考答案题号12345678910答案A A A C A C D B C B 题号11121314151617181920答案DACDDABBAB。
历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(三角函数)汇编(附答案)
历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(三角函数)汇编【2023年真题】1. （2023ꞏ新课标I 卷 第8题）已知1sin()3αβ-=，1cos sin 6αβ=，则cos(22)αβ+=( ) A.79B.19C. 19-D. 79-2. （2023ꞏ新课标II 卷 第7题） 已知α为锐角，1cos 4α+=，则sin 2α=( )A. 38B. 18-C. 34D. 14-+3. （2023ꞏ新课标I 卷 第15题）已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[0,2]π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是__________.4. （2023ꞏ新课标II 卷 第16题）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，如图，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若||6AB π=，则()f π= .【2022年真题】5.（2022·新高考I 卷 第6题）记函数()sin()(0)4f x x b πωω=++>的最小正周期为.T 若23T ππ<<，且()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，则(2f π=( ) A. 1B.32C.52D. 36.（2022·新高考II 卷 第6题）若sin()cos()4παβαβαβ+++=+，则( )A. tan()1αβ+=-B. tan()1αβ+=C. tan()1αβ-=-D. tan()1αβ-=7.（2022·新高考II 卷 第9题）（多选）已知函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象关于点2(,0)3π对称，则( ) A. ()f x 在5(0,)12π单调递减 B. ()f x 在11(,)1212ππ-有两个极值点 C. 直线76x π=是曲线()y f x =的一条对称轴D. 直线2y x =-是曲线()y f x =的一条切线【2021年真题】8.（2021·新高考I 卷 第4题）下列区间中，函数()7sin ()6f x x π=-单调递增的区间是( )A.0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. 3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭9.（2021·新高考I 卷 第6题）若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+( )A. 65-B. 25-C.25 D.65【2020年真题】10.（2020·新高考I 卷 第10题 、II 卷 第11题）（多选）如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则()sin x ωϕ+( )A. sin ()3x π+B. sin (2)3x π- C. cos (2)6x π+D. 5cos (2)6x π- 11.（2020·新高考I 卷 第15题、II 卷 第16题）)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC的切点，四边形DEFG 为矩形，BC DG ⊥，垂足为C ，3tan 5ODC ∠=，//BH DG ，12EF cm =，2DE cm =，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为__________2.cm参考答案1. （2023ꞏ新课标I 卷 第8题）解：因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，1cos sin 6αβ=，则1sin cos .2αβ=故112sin()sin cos cos sin .263αβαβαβ+=+=+= 即2221cos(22)12sin ()12().39αβαβ+=-+=-⨯=故选B.2. （2023ꞏ新课标II 卷 第7题）解：22111cos 36114sin ()sin 222816424ααα+-----=====⇒=故选：.D3. （2023ꞏ新课标I 卷 第15题）解：令()cos 10f x x ω=-=，得cos 1x ω=，又[0,2]x π∈，则[0,2]x ωωπ∈，所以426πωππ<…，得2 3.ω<… 故答案为：[2,3).4. （2023ꞏ新课标II 卷 第16题）解： 设相邻的两个交点A ，B 的横坐标为1 t ，2 t ，则21 - 6t t π=又1sin()2x ωϕ+=，522,.0,66x k k k Z k ππωϕππ+=++∈=或当时 16t πωϕ+=，256t πωϕ+=，212( - )3t t πω=，故 4.ω=函数图象过点2(,0)3π，8sin ()03πϕ+=，故8 ,.3k k Z πϕπ=-∈ 2k =时满足图片条件，故2.3πϕ=-2()sin(4.32f πππ=-=- 5.（2022·新高考I 卷 第6题）解：由题可知：22(,)3T πππω=∈，所以(2,3).ω∈ 又因为()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，所以2b =，且33()sin() 2.224f b πππω=⨯++= 所以21(34k ω=-，k Z ∈，所以5.2ω=所以5()sin() 2.24f x x π=++所以() 1.2f π=6.（2022·新高考II 卷 第6题）解：解法一：设0β=则sin cos 0αα+=，取34απ=，排除B ，D 再取0α=则sin cos 2sin βββ+=，取4πβ=，排除;A 选.C解法二：由sin()cos())]44ππαβαβαβαβ+++=++=++)cos 44ππαβαβ=++，cos )sin 44ππαβαβ+=+ 故sin()cos cos(044ππαβαβ+-+=，即sin()04παβ+-=，故sin(sin()cos()0422παβαβαβ-+=-+-=， 故sin()cos()αβαβ-=--，故tan() 1.αβ-=- 7.（2022·新高考II 卷 第9题）（多选） 解：由题意得：24(sin()033f ππϕ=+=， 所以43k πϕπ+=，即43k πϕπ=-+，k Z ∈， 又0ϕπ<<，所以2k =时，23πϕ=，故2()sin(2).3f x x π=+ 选项5:(0,)12A x π∈时，2232(,)332x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在5(0,)12π单调递减; 选项11:(,1212B x ππ∈-时，252(,)322x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在11(,1212ππ-有1个极值点; 选项:C 由于，故直线76x π=不是()f x 的对称轴;选项:D 令，得21cos(232x π+=-， 解得222233x k πππ+=+或242233x k πππ+=+，k Z ∈，从而得x k π=或3x k ππ=+，k Z ∈，令0k =，则是斜率为1-的直线与曲线的切点，从而切线方程为(0)2y x -=--，即.2y x =- 8.（2021·新高考I 卷 第4题） 解：由22262k x k πππππ-+-+剟，得222,33k x k k Z ππππ-++∈剟， 所以()7sin ()6f x x π=-的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦， 当0k =时，一个单调递增区间为2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，可知20,,233πππ⎛⎫⎡⎤⊆- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故选：.A9.（2021·新高考I 卷 第6题）解：原式22sin (sin cos 2sin cos )sin cos θθθθθθθ++=+ 22sin (sin cos )sin sin cos sin cos θθθθθθθθ+==++22222sin sin cos tan tan 422sin cos tan 1415θθθθθθθθ++-====+++， 故选：.C10.（2020·新高考I 卷 第10题 、II 卷 第11题）（多选） 解：由图象可知222()||36T ππππω==-=，故A 错误; 解得2ω=±， 点5(,1)12π-在函数图象上， 当2ω=时，522,k Z 122k ππϕπ⨯+=-+∈， 解得42,k Z 3k πϕπ=-+∈，故44sin 2sin 2sin 2333y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-=-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当2ω=-时，522,k Z 122k ππϕπ-⨯+=-+∈ 解得2,k Z 3k πϕπ=+∈，故函数解析式为sin 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又cos 2sin 2sin 26263x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选.BC11.（2020·新高考I 卷 第15题、II 卷 第16题） 解：设上面的大圆弧的半径为x ，连接OA ，过A 作AI BH ⊥交BH 于J ，交DG 于K ，交EF 于I ，过O 作OL DG ⊥于L ，记扇形OAB 的面积为S 扇形，由题中的长度关系易知45AGD ︒∠=，所以45AHO ︒∠=， 又90OAH ︒∠=，可得AOH 为等腰直角三角形，可得2OJ AJ x ==，52OL JK x ==-， 72DL DK LK DK OJ x=-=-=-，3tan 5OL ODC DL ∠==， 5352x-=，解得x =，12AOH O S S S S =+- 阴影圆扇形222131154()24222cm πππ=⨯⨯+⨯-=+，故答案为54.2π+。
高中三角函数历年高考真题_含答案
历年高考三角函数专题一，选择题1.（08全国一6）2(sin cos )1y x x =--是 （ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数2.（08全国一9）为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ） A ．向左平移π6个长度单位 B ．向右平移π6个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位3.(08全国二1)若sin 0α<且tan 0α>是，则α是 （ ） A ．第一象限角B ． 第二象限角C ． 第三象限角D ． 第四象限角4.（08全国二10）．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为 （ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．25.（08安徽卷8）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是 （ ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=6.（08福建卷7）函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移2π个单位后，得到函数y=g(x )的图象，则g(x )的解析式为 ( ) A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cos x7.（08广东卷5）已知函数2()(1cos2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是 （ ）A 、最小正周期为π的奇函数B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数8.（08海南卷11）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为 （ ）A. －3，1B. －2，2C. －3，32D. －2，329.（08湖北卷7）将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移3π个单位长度得到图象F ′，若F ′的一条对称轴是直线,1x π=则θ的一个可能取值是 （ ）A.512π B.512π- C.1112π D.1112π-10.（08江西卷6）函数sin ()sin 2sin2x f x xx =+是 （ ）A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数11.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为 （ ） A ．1BCD ．212.（08山东卷10）已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ） A． BC ．45-D ．4513.（08陕西卷1）sin 330︒等于 （ ） A．2-B ．12-C ．12D．214.（08四川卷4）()2tan cot cos x x x += ( ) Ａ.tan x Ｂ.sin x Ｃ.cos x Ｄ.cot x 15.（08天津卷6）把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 （ ） A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ， B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭R ， C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， 16.（08天津卷9）设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则 （ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<17.（08浙江卷2）函数2(sin cos )1y x x =++的最小正周期是 （ ） A.2π B .π C.32πD.2π 18.（08浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是 （ ）A.0B.1C.2D.4 二，填空题19.（08北京卷9）若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为 ． 20.（08江苏卷1）()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ． 21.（08辽宁卷16）设02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ．22.（08浙江卷12）若3sin()25πθ+=，则cos 2θ=_________。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【高考真题与模拟题汇编】 三角函数最新模拟 理1、（滨州二模）函数f （x ）＝sin （x ωϕ+）（其中0,||2πωϕ><）的图象如图所求，为了得到g （x ）＝sin x ω的图象，可以将f （x ）的图象（A ）向右平移6π个单位长度 （B ）向右平移3π个单位长度（C ）向左平移6π个单位长度（D ）向左平移3π个单位长度2、（滨州二模）函数y ＝sin xe（－x ππ≤≤）的图象大致为3、（德州二模）设函数()sin(2)3f x x π=+，则下列结论正确的是A Q把()f x 的图象向左平移12π个单位，得到一个偶函数的图象 B Q()f x 的图象关于点(,0)4π对称C Q()f x 的最小正周期为π，且在[0,]6π上为增函数D Qf （x ）的图象关于直线x ＝3π-对称4、（德州一模）已知函数y Asin(x )m ωϕ=++的最大值为4，最小值为0，两条对称轴间的最短距离为2π,直线6x π=是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式是( )A Q426y sin(x )π=+ B Q2226y sin(x )π=-++C Q223y sin(x )π=-++ D Q223y sin(x )π=++5、（济南3月模拟）函数)2sin(sin x x y +=π的最小正周期是A.π2B.πC.2πD.4π 【答案】B【解析】函数x x x x x y 2sin 21cos sin )2sin(sin ==+=π，所以周期为π，选B Q6、（济南三模）如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”.给出下列函数：Q()sin cos f x x x =； ②()2sin()4f x x π=+；③()sin f x x x =； ④()21f x x =+Q其中“同簇函数”的是( )A QQ② B QQ④ C Q②③ D Q③④ 答案：C解析：若为“同簇函数”，则振幅相同，将函数进行化简Qx x x x f 2sin 21cos sin )(==，③）3sin(2cos 3sin )(π+=+=x x x x f ，所以②③振幅相同，所以选C Q9、（临沂二模）函数sin()(0)y x πϕϕ=+>的部分图象如图，设P 是图象的最高点，A B、是图象与x 轴的交点，则tan APB ∠（A ）10 （B ）8 （C ）87 （D ）47【答案】B【解析】因为函数的平移不改编图象的大小，所以将图图象向右平移ωπ个单位，此时函数为)sin(x y π=，A 点平移到Q 点，因为函数的周期22==ππT ,此时)0,0(A ,)0,2(B ,)1,21(P ,所以)1,23(),1,21(-=--=,41)1,23()1,21(=-⋅--=∙，所以6512132541cos =⨯=∠APB ，所以658sin =∠APB ，即8651658tan ==∠APB ，选B Q10、（临沂二模）已知A 船在灯塔C 北偏东80o处，且A 船到灯塔C 的距离为2km ，B 船在灯塔C 北偏西40o处，A 、B 两船间的距离为3km ，则B 船到灯塔C 的距离为____________km 。
11、（青岛二模）已知函数1π()cos ,[,]222f x x x x π=+∈-，01sin 2x =，0π[,]22x π∈-，那么下面命题中真命题的序号是Q()f x 的最大值为0()f x ② ()f x 的最小值为0()f x③()f x 在0[,]2x π-上是增函数 ④ ()f x 在0π[,]2x 上是增函数 A QQ③ B QQ④ C Q②③ D Q②④【答案】A【解析】因为21sin 0=x ，]2,2[0ππ-∈x ，所以60π=x 。
函数的导数为x x f sin 21)('-=，由0sin 21)('>-=x x f ，解得21sin <x ，又因为]2,2[ππ-∈x ，所以62ππ<<-x ，此时函数单调递增，由0sin 21)('<-=x x f ，解得21sin >x ，又因为]2,2[ππ-∈x ，所以26ππ<<x ，此时函数单调递减，所以Q③正确，选A Q12、（青岛二模）若tan 2,α=则sin cos αα= Q【答案】25【解析】521421tan tan cos sin cos sin 222=+=+=+αααααα 13、（青岛3月模拟）将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移3π个单位，则所得函数图象对应的解析式为 A Q1sin()23y x π=- B Qsin(2)6y x π=- C Q1sin 2y x = D Q1sin()26y x π=-14、（日照5月模拟）要得到函数)42cos(3π-=x y 的图象，可以将函数x y 2sin 3=的图象（A ）沿x 轴向左平移8π个单位 （B ）沿x 向右平移8π个单位（C ）沿x 轴向左平移4π个单位 （D ）沿x 向右平移4π个单位 答案：解析：.).8(2sin 3)42sin(3)]42(2sin[3)42cos(3A x x x x y 选πππππ+=+=-+=-=15、（泰安一模）函数()()ϕω+=x A x f sin （ϕω,,A 为常数，A ＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则⎪⎭⎫⎝⎛6πf 的值是 ▲ .16、（烟台二模）已知倾斜角为α的直线l 与直线x 2y 20-+=平行，则tan 2α的值为A Q45B Q43C Q34D Q23答案：B解析：依题意，得：tan α＝12，22tan tan 21tan ααα=-＝1114-＝43。
17、（烟台二模）函数y=x+sin x ,[]x ,∈-ππ的大致图象是答案：C解析：函数y 是非奇非偶函数，故排除B 、D ；又因为[]x ,∈-ππ时x ＋sin ｜x ｜≥x 恒成立，所以，其图象应在y ＝x 的上方。
A 错，选C 。
18、（滨州二模）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a 2+b 2=6abcosC ，且sin 2c ＝2sinAsinB 。
（I ）求角C 的大小；（II ）设函数f （x ）＝sin 6x πω⎛⎫- ⎪⎝⎭－cos x ω，且f （x ）图象上相邻两最高点间的距离为π，求f （A ）的取值范围。
19、（德州二模）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a 、b 、c ，已知向量(c o s ,c o s ),(,2m A B n a c b ==-且m //n Q（I ）求角A 的大小；（II ）若4,a ABC =∆求面积的最大值。
解析：（I ） 因为m //n Q，所以，cos (2)cos 0a B c b A --=，由正弦定理，得：sin cos (2sin sin )cos 0A B C B A --=，所以sin cos 2sin cos sin cos 0A B C A B A -+= 即sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=， 所以，sin(A+B)＝2sinCcosA又A ＋B ＋C ＝π，所以，sinC ＝2sinCcosA ，因为0＜C ＜π，所以sinC ＞0， 所以cosA ＝12，又0＜A ＜π，所以A ＝3π。
（2）由余弦定理，得：2222cos a b c bc A =+-，所以 16＝22b c bc bc +-≥，所以bc ≤16， 当且仅当b ＝c ＝4时，上式取“＝“，所以，△ABC 面积为S ＝1sin 2bc A ≤所以△ABC 面积的最大值为20、（德州一模）已知函数212f (x )x cos x cos x (x R )=-+∈ (I)求函数f (x )的最小正周期及在区间π[0,]2上的值域； (Ⅱ)在∆ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，又42235A f (),b ,ABC π+==∆的面积等于3，求边长a 的值Q21、（济南3月模拟）在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ,且满足cos2A =,AB AC =3Q（1） 求△ABC 的面积； （2） 若c =1,求a 、sin B 的值Q【答案】解：（1） cos A =2×2-1=35,………………………………………………2分而||||AB AC AB AC =cos A =35bc =3，∴bc =5……………………4分又A ∈（0，π），∴sin A =45，………………………………………5分∴S=12bc sin A =12×5×45=2.………………………………………6分（2） ∵bc =5,而c =1，∴b =5Q…………………………………………………8分∴222a b c =+-2bc cos A =20，a=10分又sin sin a b A B =，∴sinB=sin b A a == ……………12分22、（济南三模）已知函数)3cos(sin 3)(π-+=x b x a x f 的图象经过点).0,67(),21,3(ππ (1)求实数b a ,的值；(2)求函数)(x f 的周期及单调增区间Q23、（莱芜3月模拟）已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为a ，b ，c ，向量(,)m a c b a =+-，(,)n a c b =-,且⊥Q(Ⅰ)求角C 的大小;(Ⅱ)若向量)2cos2,(cos ),1,0(2BA =-=,+的取值范围Q解：(Ⅰ)由题意得222(,)(,)0m n a c b a a c b a c b ab ⋅=+-⋅-=-+-=，…2分 即ab b a c -+=222. ……3分Q由余弦定理得212cos 222=-+=ab c b a C , 3,0ππ=∴<<C C . ……………………5分24、（青岛二模）已知向量)cos ,(sin ),sin 3,(sin x x n x x m -==，设函数n m x f ⋅=)(,若函数)(x g 的图象与)(x f 的图象关于坐标原点对称Q（Ⅰ）求函数)(x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,4ππ上的最大值,并求出此时x 的值； （Ⅱ）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，A 为锐角,若23)()(=-A g A f ，7=+c b ，ABC ∆的面积为32，求边a 的长Q解：（Ⅰ）由题意得：21cos 2()sin cos 22x f x x x x x -==- 1sin(2)26x π=-+ ………………………………………………………2分 所以)62sin(21)(π---=x x g ………………………………………………3分因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,4ππx ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-6,3262πππx 所以当262ππ-=-x 即6π-=x 时，函数)(x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,4ππ上的最大值为21Q……………………………………………6分25、（青岛3月模拟）已知锐角ABC ∆中内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，226cos a b ab C +=，且2sin 2sin sin C A B =Q（Ⅰ）求角C 的值； （Ⅱ）设函数()sin()cos (0)6f x x x πωωω=-->，()f x 且图象上相邻两最高点间的距离为π，求()f A 的取值范围Q解：（Ⅰ）因为C ab b a cos 622=+,由余弦定理知C ab c b a cos 2222+=+所以abc C 4cos 2=Q又因为B A C sin sin 2sin 2=,则由正弦定理得:ab c 22=,所以21424cos 2===ab ab ab c C , 所以3π=C Q（Ⅱ）3()sin()cos cos )623f x x x x x x ππωωωωω=--=-=-由已知2,2==ωπωπ,则()),3f A A π=-因为3C π=,23B A π=-,由于0,022A B ππ<<<<, 所以62A ππ<<, 20233A ππ<-<Q根据正弦函数图象,所以0()f A <≤26、（日照5月模拟）已知函数),0(1)3cos()3cos(sin 3)(R x x x x x f ∈>--+++=ωπωπωω，且函数)(x f 的最小正周期为π。