2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.4直线与圆圆与圆的位置关系学案理
高考数学一轮总复习第八章平面解析几何8_4直线与圆圆与圆的位置关系文新人教A版
考点二|直线与圆相交、弦长问题 (方法突破)
方法 1 几何法求弦长
【例 2】 过点(1,1)的直线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9 相交于 A，B 两点，则|AB|的最
小值为( )
A.2 3
B.4
C.2 5
D.5
[解析] 由圆的几何性质可知，当点(1,1)为弦AB的中点时，|AB|的值最小，此时 |AB|＝2 r2－d2＝2 9－5＝4.
(2)如果圆C1与圆C2内含，则有 m＋12＋－2－m2<3－2，
(m＋1)2＋(－2－m)2<1，m2＋3m＋2<0， 解得－2<m<－1， 所以当－2<m<－1时，圆C1与圆C2内含． 名师点拨 利用两圆心|C1C2|与r1和r2的关系时，要注意正确构建不等式，两圆相 切分为内切与外切．相交时，不等关系是双向型|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2.
(2)圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC|＝ 1－12＋－2－02＝2为直径 的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y＝－12. (3)圆C的圆心C(4,2)，∵PA⊥AC，PB⊥BC，∴P，A，B，C四点共圆，所求圆的
的问题． 要求相对较低，但内容很重要，有时
3．初步了解用代数方法处理几何问题 也会在解答题中出现.
的思想.
[基础梳理] 1．直线与圆的位置关系与判断方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系． ① d<r ⇔直线与圆相交； ② d＝r ⇔直线与圆相切； ③ d>r ⇔直线与圆相离．
(2)代数法：联立方程，消去x(或y)得一元二次方程，计算Δ＝b2－4ac. ①Δ>0⇔直线与圆 相交 ； ②Δ＝0⇔直线与圆 相切 ； ③Δ<0⇔直线与圆 相离 ．
高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4节直线与圆、圆与圆的位置关系教师用书
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式Δ＝b2－4ac，Δ>0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ<0⇔相离．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交．( )(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程．( )[解析]依据直线与圆、圆与圆的位置关系，只有(4)正确．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )A．内切B．相交C．外切D．相离B[两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝42＋1＝17.∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交．]3．(2017·嘉兴调研)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( )A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或12D [由圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，知圆心(1,1)，半径为1，所以|3×1＋4×1－b |32＋42＝1，解得b ＝2或12.]4．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为__________．2555[圆心为(2，－1)，半径r ＝2. 圆心到直线的距离d ＝|2＋－－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－⎝⎛⎭⎪⎫3552＝2555.] 5．设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________. 【导学号：51062274】4π [圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2.|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.]＋(y －1)2＝5的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定(2)若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为__________． (1)A (2)x ＋2y －5＝0 [(1)法一：∵圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1< 5.故直线l 与圆相交．法二：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的内部，∴直线l 与圆C 相交．(2)∵以原点O 为圆心的圆过点P (1,2)， ∴圆的方程为x 2＋y 2＝5. ∵k OP ＝2，∴切线的斜率k ＝－12.由点斜式可得切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.][规律方法] 1.(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；(2)注意灵活运用圆的几何性质，联系圆的几何特征，数形结合，简化运算．如“切线与过切点的半径垂直”等．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．[变式训练1] (1)(2017·宁波中学模拟)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0(2)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝__________.(1)B (2)4 [(1)依题意知，点(3,1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，且为切点． ∴圆心(1,0)与切点(3,1)连线的斜率为12.因此切线的斜率k ＝－2.故圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0. (2)由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0,0)，半径r ＝2 3. ∴圆心(0,0)到直线x －3y ＋6＝0的 距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝212－32＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E .如图所示，则|CE |＝|AB |＝2 3.∵直线l 的方程为x －3y ＋6＝0， ∴k AB ＝33，则∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°. ∴|CD |＝|CE |sin 60°＝|AB |sin 60°＝2332＝4.]已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离B [法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0得两交点为(0,0)，(－a ，a )．∵圆M 截直线所得线段长度为22， ∴a 2＋－a2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2. 又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝－2＋－2＝ 2.∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3，∴两圆相交． 法二：∵x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)⇔x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)， ∴M (0，a )，r 1＝a .∵圆M 截直线x ＋y ＝0所得线段的长度为22，∴圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2＝a 2－2，解得a ＝2.以下同法一．][规律方法] 1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系． 2．若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到．3．若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦．[变式训练2] 若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是__________．4 [由题意⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，∴O 1A ⊥OA .又∵|OA |＝5，|O 1A |＝25， ∴|OO 1|＝5.又A ，B 关于OO 1对称，∴AB 为Rt △OAO 1斜边上高的2倍． 又∵12·OA ·O 1A ＝12OO 1·AC ，得AC ＝2.∴AB ＝4.]M ：x 2＋y 2－12x－14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．图841(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程． [解] 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25， 所以圆心M (6,7)，半径为5.2分(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.4分 因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.6分 (2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5.10分 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25， 而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22， 所以25＝m ＋25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.15分[规律方法] 1.(1)设出圆N 的圆心N (6，y 0)，由条件圆M 与圆N 外切，求得圆心与半径，从而确定圆的标准方程．(2)依据平行直线，设出直线l 的方程，根据点到直线的距离公式及勾股定理求解．2．求弦长常用的方法：①弦长公式；②半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，利用勾股定理求解(几何法)．[变式训练3] 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为圆心的圆与直线：x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)若圆O 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程. 【导学号：51062275】[解] (1)依题意，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离， 则r ＝41＋3＝2.4分所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.6分(2)由题意，可设直线MN 的方程为2x －y ＋m ＝0. 则圆心O 到直线MN 的距离d ＝|m |5.10分由垂径分弦定理，得m 25＋(3)2＝22，即m ＝± 5.12分所以直线MN 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0.15分[思想与方法]1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方程的结合，解题时要抓住圆的几何性质，重视数形结合思想方法的应用．2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法：(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法：弦长公式|AB|＝1＋k2|x A－x B|＝＋k2x A＋x B2－4x A x B].[易错与防范]1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为“－1”列方程来简化运算．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．课时分层训练(四十六)直线与圆、圆与圆的位置关系A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( ) A．相切B．相交C．相离D．不确定B [由题意知点在圆外，则a 2＋b 2>1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2<1，故直线与圆相交．]2．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21 B ．19 C ．9D ．－11C [圆C 1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1，因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆C 2的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝25－m (m <25)．从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9.]3．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8B [由x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0， 得(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心坐标为(－1,1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝2，所以22＋(2)2＝2－a ，解得a ＝－4.]4．(2017·浙江金丽衢十二校模拟)过点P (4,2)作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 外接圆的方程是( )【导学号：51062276】A ．(x －2)2＋(y －1)2＝5 B ．(x －4)2＋(y －2)2＝20 C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5 D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝20A [由题意知，O ，A ，B ，P 四点共圆，所以所求圆的圆心为线段OP 的中点(2,1)． 又圆的半径r ＝12|OP |＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.]5．(2017·杭州二中三模)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，则过点P (2，－1)的圆C 的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )A ．1013B ．921C ．1023D ．911C [易知最长弦为圆的直径10.又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC |＝2，∴最短弦的长为2r 2－|PC |2＝225－2＝223.故所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023]．二、填空题6．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________________．x ＋y －3＝0 [∵圆C 1的圆心C 1(3,0)，圆C 2的圆心C 2(0,3)，∴直线C 1C 2的方程为x ＋y－3＝0，AB 的中垂线即直线C 1C 2，故其方程为x ＋y －3＝0.]7．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__________.2 [如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则|OD |＝532＋－2＝1.∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠OBD ＝30°，∴|OB |＝2|OD |＝2，即r ＝2.]8．(2017·浙江金华十校联考)已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4，直线l ：kx －y －2k ＝0(k ∈R )，若直线l 与圆C 恒有公共点，则实数k 的最小值是__________.【导学号：51062277】－33[圆心C (－2,0)，半径r ＝2. 又圆C 与直线l 恒有公共点．所以圆心C (－2,0)到直线l 的距离d ≤r . 因此|－2k －2k |k 2＋1≤2，解得－33≤k ≤33.所以实数k 的最小值为－33.] 三、解答题9．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3,5)． (1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连接OA ，OC ，求△AOC 的面积S . [解] (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，得(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆心C (2,3)．当斜率存在时，设过点A 的圆的切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0.3分由d ＝|2k －3＋5－3k |k 2＋1＝1，得k ＝34.又斜率不存在时直线x ＝3也与圆相切， 故所求切线方程为x ＝3或3x －4y ＋11＝0.6分 (2)直线OA 的方程为y ＝53x ，即5x －3y ＝0，又点C 到OA 的距离d ＝|5×2－3×3|52＋－2＝134.12分又|OA |＝32＋52＝34. 所以S ＝12|OA |d ＝12.15分10．(2017·宁波镇海中学模拟)已知定点M (0,2)，N (－2,0)，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0(k 为常数)．(1)若点M ，N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围． [解] (1)∵点M ，N 到直线l 的距离相等， ∴l ∥MN 或l 过MN 的中点．∵M (0,2)，N (－2,0)，∴直线MN 的斜率k MN ＝1，MN 的中点坐标为C (－1,1).3分又∵直线l ：kx －y －2k ＋2＝0过定点D (2,2)， ∴当l ∥MN 时，k ＝k MN ＝1； 当l 过MN 的中点时，k ＝k CD ＝13.综上可知，k 的值为1或13.6分(2)∵对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，∴l 与以MN 为直径的圆相离，即圆心(－1,1)到直线l 的距离大于半径，10分 ∴d ＝|－k －1－2k ＋2|k 2＋1>2，解得k <－17或k >1.15分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．若圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切，则ab 的最大值为( ) A. 2B ．2C ．4D ．2 2 B [圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )．化为(x －a )2＋y 2＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )，化为x 2＋(y ＋b )2＝1，圆心坐标为(0，－b )，半径为1.∵圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切， ∴a 2＋b 2＝3－1，即a 2＋b 2＝4，ab ≤12(a 2＋b 2)＝2. ∴ab 的最大值为2.]2．(2017·杭州质检)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝__________. 【导学号：51062278】32[如图所示，可知OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，OP ＝1＋3＝2. 又OA ＝OB ＝1，可以求得AP ＝BP ＝3，∠APB ＝60°.故PA →·PB →＝3×3×cos 60°＝32.] 3．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点，直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧？ 若能，求出直线l 的方程；若不能，请说明理由．[解] (1)将y ＝kx 代入圆C 的方程x 2＋(y －4)2＝4.得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.2分∵直线l 与圆C 交于M ，N 两点，∴Δ＝(－8k )2－4×12(1＋k 2)>0，得k 2>3，(*)∴k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞).6分(2)假设直线l 将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧，则劣弧所对的圆心角∠MCN＝90°，由圆C：x2＋(y－4)2＝4知圆心C(0,4)，半径r＝2.9分在Rt△MCN中，可求弦心距d＝r·sin 45°＝2，故圆心C(0,4)到直线kx－y＝0的距离|0－4|1＋k2＝2，∴1＋k2＝8，k＝±7，经验证k＝±7满足不等式(*)，12分故l的方程为y＝±7x.因此，存在满足条件的直线l，其方程为y＝±7x.15分。
2019届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系课件文
2．过原点的直线与圆 x2＋y2－4x＋3＝0 有公共点，则直线
的倾斜角的取值范围是____0_，__π6__∪___5_6π_，__π____________．
[解析] 由题意，设过原点的直线为 y＝kx，即 kx－y＝0，因 为过原点的直线与圆 x2＋y2－4x＋3＝0 有公共点，所以 |2kk2－＋01|2≤1，解得－ 33≤k≤ 33，所以直线的倾斜角的取值
(2)法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为 0，
可设直线方程为 kx－y－k＝0.
由x＋2y＋2＝0，得 kx－y－k＝0，
N22kk－＋21，－2k3＋k 1.
又直线 CM 与 l1 垂直，
y＝kx－k， 由y－4＝－1k（x－3），得
Mk2＋1＋4kk＋2 3，41k＋2＋k22k.
化简得 x2＋y2－2y－m(2x＋y－2)＝0，此式是关于 m 的恒等
式，
故x2＋y2－2y＝0，解得x＝0，或
2x＋y－2＝0，
y＝2
x＝45， y＝25.
所以经过 A，P，M 三点的圆必过定点(0，2)或45，25.
第一与第二问是平面几何性质与代数计算相结合，这种运用 要多加关注，第三问求圆的方程注意到利用定义，求定点时 用了等式恒成立思想，这种方法很重要．
(2)求圆的弦长的常用方法
①几何法：设圆的半径为 r，弦心距为 d，弦长为 l，则2l 2＝
r2－d2. ②代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： AB＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ （1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2].
1．过点(2，3)与圆(x－1)2＋y2＝1 相切的直线的方程为 _x_＝__2__或__4_x_－__3_y_＋__1_＝__0_______________． [解析] 当切线斜率存在时，设圆的切线方程为 y＝k(x－2)＋ 3，由圆心(1，0)到切线的距离为半径 1，得 k＝43，所以切线 方程为 4x－3y＋1＝0，当切线斜率不存在时，直线 x＝2 也 是圆的切线，所以直线方程为 4x－3y＋1＝0 或 x＝2.
2019届高考数学一轮复习第8单元解析几何第49讲直线与圆圆与圆的位置关系课件理
两交点为 A(-3, 3),B(0,2 3). 设过点 A(-3, 3)且与直线 l 垂直的直线为 3x+y+c1=0,将(-3, 3)代入直线方程 3x+y+c1=0,得 c1=2 3.令 y=0,得 xC=-2,同理得过点 B 且 与 l 垂直的直线与 x 轴交点的横坐标为 xD=2,∴|CD|=4.
=3,所以 b
2
3 2 = c ,所以 4
e= =
������
������
=
= 2.
教学参考
4.[2016· 全国卷Ⅱ] 圆 x +y -2x-8y+13=0 的圆心到直线
2 2
[答案]
A
2 2
ax+y-1=0 的距离为 1,则 a= ( A.4 3
)
[解析] 圆 x +y -2x-8y+13=0 化为标准方程 为(x-1) +(y-4) =4,故圆心为(1,4),圆心到直线
教学参考
2.[2017· 全国卷Ⅲ] 已知椭圆 C:������ 2 + ������ 2 =1(a>b>0)的左、 右顶点分别为 A1,A2,且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0 相切,则 C 的离心率为 ( A. 3 C.
3 6 2 ������ 2 ������ 2
[答案]
������ 2 2 ������ 6
教学参考
3.[2017· 全国卷Ⅱ] 若双曲线 C:������ 2 - ������ 2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆 (x-2) +y =4 所截得的弦长为 2,则 C 的
2 2
������ 2
2019版高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
答案：B
角度二：求弦长
2．若a，b，c是△ABC三个内角的对边，且csin C＝3asin A＋
3bsin B，则直线l：ax－by＋c＝0被圆O：x2＋y2＝12所截
得的弦长为
()
A．4 6
B．2 6
C．6
D．5
解析：由正弦定理及csin C＝3asin A＋3bsin B可得c2＝
3(a2＋b2)．
的方程为 y＋3＝k(x－2)，即 kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆 相切，得 d＝|－3k－k22－＋21k－3|＝1，解得 k＝－43或 k＝－34.
答案：D
2．(2018·山西三地五校联考)过原点且与直线 6x－ 3y＋1＝0 平行的直线l被圆x2＋(y－ 3)2＝7所截得的弦长为______． 解析：由题意可得 l 的方程为 2x－y＝0， ∵圆心(0， 3)到 l 的距离 d＝ 33＝1， ∴所求弦长 l＝2 R2－d 2＝2 7－1＝2 6. 答案：2 6
的距离
d＝
a， 2
所以 2 a2－a22＝2 2，解得 a＝2.
圆 M，圆 N 的圆心距|MN|＝ 2，两圆半径之差为 1，
故两圆相交．
答案：B
2．(2018·嘉兴高级中学模拟)圆x2＋y2＝4与圆(x－1)2＋(y－2)2 ＝4相交所得公共弦所在的直线方程为________；其长度 为________．
因为圆O：x2＋y2＝12的圆心O(0,0)，半径r＝2 3 ，圆心O
到直线l的距离d＝
|c| a2＋b2
＝
3 ，所以直线l被圆O所截得
的弦长为2 r2－d2＝2 2 32－ 32＝6. 答案：C
角度三：由弦长及切线问题求参数
3．直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，
全国版2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系学案20180509
第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点2 圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径r1、r2，d＝|O1O2|)[必会结论]1．关注一个直角三角形当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成一个直角三角形．2．圆心在过切点且垂直于切线的直线上．3．两圆相交时公共弦的方程设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即：(D1－D2)x ＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.4．两圆相切时，切点与两圆心三点共线．5．两圆不同的位置关系与对应公切线的条数(1)两圆外离时，有4条公切线；(2)两圆外切时，有3条公切线；(3)两圆相交时，有2条公切线；(4)两圆内切时，有1条公切线；(5)两圆内含时，没有公切线．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )(2)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.( )(3)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )(4)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )(5)“m＝0”是“直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切”的充分不必要条件．( )答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√2．[课本改编]直线l ：x －y ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心答案 D解析 圆的方程化为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线l 的距离为|2－1＋1|2＝2<2，所以直线l 与圆相交．又圆心不在直线l 上，所以直线不过圆心．故选D.3．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )A ．3 3B ．2 3 C. 3 D ．1 答案 B解析 圆心(0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|0＋0－5|32＋42＝1，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝22－12＝3，所以|AB |＝2 3.4．[课本改编]圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为 ( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x ＋3y －4＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝0答案 D解析 圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P 在圆上，由题可知切线的斜率存在，设切线方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y －k ＋3＝0，∴|2k －k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝33.∴切线方程为y －3＝33(x －1)，即x －3y ＋2＝0. 5．[2018·重庆模拟]圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切 答案 B解析 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1，圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径长r 2＝2，故两圆的圆心距d ＝5，而r 2－r 1＝1，r 1＋r 2＝3，则有r 2－r 1<d <r 1＋r 2，故两圆相交．6．[2018·温州十校联考]对任意的实数k ，直线y ＝kx －1与圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三个选项均有可能答案 C解析 直线y ＝kx －1恒经过点A (0，－1)，圆x 2＋y 2－2x －2＝0的圆心为C (1,0)，半径为3，而|AC |＝2<3，点A 在圆内，故直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相交．故选C.板块二 典例探究·考向突破考向直线与圆的位置关系例1 [2018·豫南九校联考]直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定 答案 A解析 解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋(y －1)2＝5，消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，则Δ＝4m 4－4(1＋m 2)(m 2－5)＝16m 2＋20>0， 所以直线l 与圆C 相交．故选A.解法二：因为圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交．选A.解法三：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的内部，所以直线l 与圆C 相交．故选A.触类旁通判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法(1)代数法：――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交，＝0⇔相切，<0⇔相离.(2)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系：d <r ⇔相交，d ＝r ⇔相切，d >r ⇔相离．【变式训练1】 [2018·深圳模拟]已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定 答案 B解析 因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2>1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2<1.故选B.考向直线与圆的综合问题命题角度1 圆的切线问题 例2 已知点P (2＋1,2－2)，点M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长． 解 由题意得圆心C (1,2)，半径r ＝2. (1)因为(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4， 所以点P 在圆C 上．又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1，所以切线的斜率k ＝－1k PC＝1.所以过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝1×[x －(2＋1)]，即x －y ＋1－22＝0.(2)因为(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，所以点M 在圆C 外部．当过点M 的直线斜率不存在时，直线方程为x ＝3，即x －3＝0.又点C (1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ， 即此时满足题意，所以直线x ＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0，则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝34.所以切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0.因为|MC |＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，所以过点M 的圆C 的切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1.触类旁通圆的切线有关的结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点为A ，B ，则过A 、B 两点的直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(4)过圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)外一点P (x 0，y 0)引圆的切线，切点为T ，则切线长为|PT |＝x 20＋y 20＋Dy 0＋Ey 0＋F .(5)过圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)外一点P (x 0，y 0)作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在直线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(6)若圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，则过圆外一点P (x 0，y 0)的切线长d ＝(x 0－a )2＋(y 0－b )2－r 2.【变式训练2】 [2015·广东高考]平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( )A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 答案 A解析 设与直线2x ＋y ＋1＝0平行的直线方程为2x ＋y ＋m ＝0(m ≠1)，因为直线2x ＋y＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝5相切，即点(0,0)到直线2x ＋y ＋m ＝0的距离为5，所以|m |5＝5，|m |＝5.故所求直线的方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.命题角度2 圆的弦长问题例3 过点(－4,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的方程为( )A ．5x ＋12y ＋20＝0B ．5x ＋12y ＋20＝0或x ＋4＝0C ．5x －12y ＋20＝0D ．5x －12y ＋20＝0或x ＋4＝0 答案 B解析 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝25， 由|AB |＝8知，圆心(－1,2)到直线l 的距离d ＝3.当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为x ＝－4时，符合题意． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0. 则有|3k －2|k 2＋1＝3，∴k ＝－512.此时直线l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0. 命题角度3 圆中的最值问题 斜率型最值例4 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则y x的最大值为________，最小值为________．答案3 － 3解析 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆.y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值(如图)，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.所以y x的最大值为3，最小值为－ 3. 截距型最值例5 [2018·郑州模拟]已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝4(y ≥0)，则m ＝3x ＋y 的取值范围是( )A ．(－23，4)B ．[－23，4]C ．[－4,4]D ．[－4,23]答案 B解析 由于y ≥0，所以x 2＋y 2＝4(y ≥0)为上半圆.3x ＋y －m ＝0是直线(如图)，且斜率为－3，在y 轴上截距为m ，又当直线过点(－2,0)时，m ＝－23，所以⎩⎨⎧m ≥－23，d ≤r ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，|－m |2≤2，解得m ∈[－23，4]，选B. 触类旁通直线与圆综合问题的解题策略(1)用几何法求圆的弦长：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝r 2－d 2.(2)求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系，若点在圆内，无解；若点在圆上，有一解；若点在圆外，有两解．(3)对于圆的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值． 【变式训练3】 [2015·江苏高考]在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．答案 (x －1)2＋y 2＝2解析 解法一：设A (1,0)，由mx －y －2m －1＝0，得m (x －2)－(y ＋1)＝0，则直线过定点P (2，－1)，即该方程表示所有过定点P 的直线系方程．当直线与AP 垂直时，所求圆的半径最大．此时，半径为|AP |＝(2－1)2＋(－1－0)2＝ 2. 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.解法二：设圆的半径为r ，根据直线与圆相切的关系得r ＝|m ＋1|1＋m2＝m 2＋2m ＋1m 2＋1＝1＋2mm 2＋1， 当m <0时，1＋2m m 2＋1<1，故1＋2mm 2＋1无最大值； 当m ＝0时，r ＝1；当m >0时，m 2＋1≥2m (当且仅当m ＝1时取等号)． 所以r ≤1＋1＝2，即r max ＝2， 故半径最大的圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.考向两圆的位置关系例6 (1)[2016·山东高考]已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离 答案 B解析 由题意知圆M 的圆心为(0，a )，半径R ＝a ，因为圆M 截直线x ＋y ＝0所得线段的长度为22，所以圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2＝a 2－2(a >0)，解得a ＝2，又知圆N 的圆心为(1,1)，半径r ＝1，所以|MN |＝2，则R －r <2<R ＋r ，所以两圆的位置关系为相交，故选B.(2)若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦的长为23，则a ＝________. 答案 1解析 两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x 2＋y 2＋2ay －6)－(x 2＋y 2)＝0－4⇒y ＝1a ，又a >0，结合图形，利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a＝ 22－(3)2＝1⇒a ＝1.触类旁通如何处理两圆的位置关系判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2、y 2项得到．【变式训练4】 已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝( )A ．－5B ．－5或2C ．－6D ．8答案 B解析对于圆C1与圆C2的方程，配方得圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，则圆C1的圆心C1(m，－2)，半径r1＝3，圆C2的圆心C2(－1，m)，半径r2＝2.如果圆C1与圆C2相外切，那么有|C1C2|＝r1＋r2，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝5，则m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2，所以当m＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2相外切．核心规律切线、弦长的求解方法(1)求圆的切线方程可用待定系数法，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关系式求出切线的斜率即可．(2)几何方法求弦长，利用弦心距，即圆心到直线的距离、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．满分策略1.过圆外一定点作圆的切线，有两条，若在某种条件下只求出一个结果，则要想到还有斜率不存在的情况．2.在两个圆相交的情况下，两个圆的方程相减后得到的直线方程才是公共弦所在的直线方程.板块三启智培优·破译高考数学思想系列 8——数形结合思想在圆中的妙用[2018·江西模拟]过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于( )A.33B．－33C．±33D．－ 3解题视点如果等式、代数式的结构中蕴含着明显的几何特征，就要考虑数形结合法求解，解答本题时首先要看到曲线y＝1－x2表示的是以原点为圆心，1为半径的半个圆，作出图形，结合三角形面积公式，确定面积最大时直线l的斜率．解析由y＝1－x2得x2＋y2＝1(y≥0)，即该曲线表示圆心在原点，半径为1的半圆，如图所示．故S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin∠AOB ＝12sin ∠AOB .所以当sin ∠AOB ＝1，即OA ⊥OB 时，S△AOB取得最大值，此时点O 到直线l 的距离d ＝|OA |·sin45°＝22.设此时直线l 的斜率为k ，则方程为y ＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0，则有22＝|0－0－2k |k 2＋1，解得k ＝±33，由图可知直线l 的倾斜角为钝角，故取k ＝－33. 答案 B答题启示 “数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点的基础上发展而来的.在解答选择题的过程中，可以先根据题意，作出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论.跟踪训练[2018·湖北模拟]若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )A ．[1－22，1＋22]B ．[1－2，3]C ．[－1,1＋22]D ．[1－22，3]答案 D解析 ∵y ＝3－4x －x 2，∴1≤y ≤3， ∴(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y ≤3)，即曲线y ＝3－4x －x 2表示以(2,3)为圆心，2为半径的下半圆．直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，表示两曲线至少有一个公共点．符合条件的直线应是夹在过点(0,3)和与下半圆相切的两直线之间．当直线y ＝x ＋b 过点(0,3)时，b ＝3；当直线y ＝x ＋b 与圆y ＝3－4x －x 2相切时，由点到直线的距离公式，得2＝|2－3＋b |2，∴|b －1|＝2 2.结合图形知b ＝1－2 2.∴1－22≤b ≤3，故选D.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2018·福建漳州八校联考]已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( )A ．m ∥l ，且l 与圆相交B ．m ⊥l ，且l 与圆相切C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．m ⊥l ，且l 与圆相离 答案 C解析 ∵点P (a ，b )(ab ≠0)在圆内，∴a 2＋b 2<r 2.因圆x 2＋y 2＝r 2的圆心为O (0,0)，故由题意得OP ⊥m ，又k OP ＝b a ，∴k m ＝－a b ，∵直线l 的斜率为k l ＝－a b＝k m ，圆心O 到直线l的距离d ＝r 2a 2＋b 2>r 2r＝r ，∴m ∥l ，l 与圆相离．故选C. 2．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．－12B ．1C ．2 D.12答案 C解析 圆心为C (1,0)，由于P (2,2)在圆(x －1)2＋y 2＝5上，∴P 为切点，CP 与过点P 的切线垂直．∴k CP ＝2－02－1＝2.又过点P 的切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，∴a ＝k CP ＝2，选C.3．[2018·湖北武汉调研]圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦所在直线和两坐标轴所围成图形的面积为( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案 B解析 圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦所在直线的方程为x －y ＋2＝0，它与两坐标轴分别交于(－2,0)，(0,2)，所以直线和两坐标轴所围成图形的面积为12×2×2＝2.故选B.4．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8 答案 B解析 由圆的方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0可得，圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a .圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|－1＋1＋2|2＝ 2.由r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫422，得2－a ＝2＋4，所以a ＝－4.5．[2018·安徽模拟]若过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3答案 D解析 设直线l 的方程为y ＋1＝k (x ＋3)， 即kx －y ＋3k －1＝0.由d ＝|3k －1|k 2＋1≤1, 得0≤k ≤3，所以直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.6．圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0的公切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 答案 D解析 圆C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，∴圆心C 1(－1，－1)，半径r 1＝2；圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1，∴圆心C 2(2,1)，半径r 2＝1.∴两圆心的距离d ＝(－1－2)2＋(－1－1)2＝13，r 1＋r 2＝3，∴d >r 1＋r 2，∴两圆外离，∴两圆有4条公切线．7．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( ) A.7 B ．2 2 C ．3 D. 2 答案 A解析 如图，在Rt △PAB 中，要使切线PB 最小，只需圆心与直线y ＝x ＋1上的点的距离取得相应最小值即可，易知其最小值为圆心到直线的距离，即|AP |min ＝42＝22，故|BP |min＝ (22)2－12＝7.8．[2018·太原质检]过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于B (2,1)，则圆C 的方程为________．答案 (x －3)2＋y 2＝2解析 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意知：点(a ，b )既在直线y －1＝－(x －2)上，又在AB 的垂直平分线上，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －3＝0，得圆心坐标为(3,0)，r ＝|AC |＝(4－3)2＋12＝2，所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2.9．[2016·全国卷Ⅰ]设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．答案 4π解析 圆C 的方程可化为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，可得圆心的坐标为C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，所以圆心到直线x －y ＋2a ＝0的距离为|－a ＋2a |2＝|a |2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＋(3)2＝(a 2＋2)2，解得a 2＝2，所以圆C 的半径为2，所以圆C 的面积为4π.10．[2018·沈阳质检]过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是________．答案 x ＋y －3＝0解析 依题意得知，当∠ACB 最小时，圆心C 到直线l 的距离达到最大，此时直线l 与直线CM 垂直，又直线CM 的斜率为1，因此所求的直线l 的方程是y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.[B 级 知能提升]1．已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A (－t,0)，B (t,0)，(t >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则t 的取值范围是( )A ．(0,2]B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[1,3] 答案 D解析 由题意可知，若使圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，即圆C 与以原点O 为圆心，半径为t 的圆有交点，即|OC |－1≤t ≤|OC |＋1，即1≤t ≤3，∴t 的取值范围为[1,3]，故选D.2．[2017·河南洛阳二模]已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝1，直线l 的方程为x ＋y ＝2，过圆C 上任意一点P 作与l 夹角为45°的直线交l 于点A ，则|PA |的最小值为( )A.12 B ．1 C.2－1 D ．2－ 2 答案 D解析 解法一：由题意可知，直线PA 与坐标轴平行或重合，不妨设直线PA 与y 轴平行或重合，设P (cos α，sin α)，则A (cos α，2－cos α)，∴|PA |＝|2－cos α－sin α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，∴|PA |的最小值为2－ 2.故选D. 解法二：由题意可知圆心(0,0)到直线x ＋y ＝2的距离d ＝22＝2，∴圆C 上一点到直线x ＋y ＝2的距离的最小值为2－1.由题意可得|PA |min ＝2(2－1)＝2－ 2.故选D.3．[2017·江苏高考]在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x2＋y 2＝50上．若PA →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．答案 [－52，1]解析 解法一：因为点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上， 所以设P 点坐标为(x ，±50－x 2)(－52≤x ≤52)．因为A (－12,0)，B (0,6)，所以PA →＝(－12－x ，－50－x 2)或PA →＝(－12－x ，50－x 2)，PB →＝(－x ，6－50－x 2)或PB →＝(－x,6＋50－x 2)．因为PA →·PB →≤20，先取P (x, 50－x 2)进行计算，所以(－12－x )(－x )＋(－50－x 2)(6－50－x 2)≤20，即2x ＋5≤ 50－x 2. 当2x ＋5≤0，即x ≤－52时，上式恒成立；当2x ＋5≥0，即x ≥－52时，(2x ＋5)2≤50－x 2，解得－5≤x ≤1，故x ≤1.同理可得P (x ，－50－x 2)时，x ≤－5. 又－52≤x ≤52，所以－52≤x ≤1. 故点P 的横坐标的取值范围为[－52，1]．解法二：设P (x ，y )，则PA →＝(－12－x ，－y )，PB →＝(－x ，6－y )．∵PA →·PB →≤20，∴(－12－x )·(－x )＋(－y )(6－y )≤20， 即2x －y ＋5≤0.如图，作圆O ：x 2＋y 2＝50，直线2x －y ＋5＝0与⊙O 交于E ，F 两点， ∵P 在圆O 上且满足2x －y ＋5≤0，∴点P 在EDF ︵上．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝50，2x －y ＋5＝0得F 点的横坐标为1.又D 点的横坐标为－52，∴P 点的横坐标的取值范围为[－52，1]．4．[2017·全国卷Ⅲ]已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2,0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程． 解 (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x 可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4.又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝(y 1y 2)24＝4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB .故坐标原点O 在圆M 上．(2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4. 故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )， 圆M 的半径r ＝(m 2＋2)2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0， 故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可得y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4.所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－12，圆M 的半径为854， 圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝8516.5．[2015·全国卷Ⅰ]已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1， 解得4－73<k <4＋73，所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k2＋8. 由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.。
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.4 直线与圆
解法二：由题意知，圆心(0,1)到直线 l 的距离 d＝m|2m＋| 1<1< 5，故直线 l 与圆相交．
解法三：直线 l：mx－y＋1－m＝0 过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆 x2＋(y－1)2＝5 的内部，所以直线 l
与圆相交．
3．[教材改编]直线 l：3x－y－6＝0 与 x2＋y2－2x－4y＝0，相交于 A，B 两点，则|AB|＝___1_0____.
__相__交__．___
3．必记结论
当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)，弦长的一半及半径构成一个直角三角形．
小题快做 1.思考辨析 (1)“k＝1”是“直线 x－y＋k＝0 与圆 x2＋y2＝1 相交”的必要不充分条件．( × ) (2)过圆 O：x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程是 x0x＋y0y＝r2.( √ ) (3)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( √ )
第八章 平面解析几何
第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
考纲展示
三年高考总结
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，
圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程 直线与圆的位置关系、弦长、圆与圆的位置关系等
判断圆与圆的位置关系． 考查比较频繁，一般为选择题、填空题，以中等难
所以直线与圆相交． (2)若直线与圆不相交，则直线与圆相离或相切，故有|a＋2|≥1 解得 a≥ 5－2 或 a≤－ 5－2，故选
5 D.
典例2
命题角度 2 求弦长问题 [2014·江苏高考]在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x＋2y－3＝0，被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4 截
2 55 得的弦长为___5_____．
2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.4直线与圆圆与圆的位置关系课件文
8．4 直线与圆、圆与圆的位置关系
基础知识过关
[知识梳理] 1．直线与圆的位置关系 设直线 l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)， 圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， d 为圆心(a，b)到直线 l 的距离，联立直线和圆的方程， 消元后得到的一元二次方程的判别式为 Δ.
2．教材衍化
(1)(必修 A2P128T3)直线 x－y＋1＝0 与圆 x2＋y2＝1 的位 置关系为( )
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
解析
圆心(0,0)到直线
x－y＋1＝0
的距离
d＝
1＝ 2
22，而 0< 22<1，故选 B.
(2)(必修 A2P133A 组 T9)圆 x2＋y2－4＝0 与圆 x2＋y2－4x ＋4y－12＝0 的公共弦长为__2__2____．
冲关针对训练
已知圆 C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0 与圆 C2：x2＋ y2＋2x－2my＋m2－3＝0，若圆 C1 与圆 C2 相外切，则实数 m ＝( )
A．－5
B．－5 或 2
C．－6
D．8
解析 对于圆 C1 与圆 C2 的方程，配方得圆 C1：(x－ m)2＋(y＋2)2＝9，圆 C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，则圆 C1 的 圆心 C1(m，－2)，半径 r1＝3，圆 C2 的圆心 C2(－1，m)， 半径 r2＝2.如果圆 C1 与圆 C2 相外切，那么有|C1C2|＝r1＋r2， 即 m＋12＋m＋22＝5，则 m2＋3m－10＝0，解得 m＝－ 5 或 m＝2，所以当 m＝－5 或 m＝2 时，圆 C1 与圆 C2 相外 切．故选 B.
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8．4 直线与圆、圆与圆的
位置关系
[知识梳理]
1．直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的
判别式为Δ.
2
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，
圆O2∶(x－a2)2＋(y－b2)2＝r2(r2>0)．
当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)，弦长的一半及半径构成一个直角三角形．
(1)两圆相交时公共弦的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即：(D1－D2)x ＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey ＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，因此注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．
(3)弦长公式
|AB|＝1＋k2|x A－x B|
＝错误!.
[诊断自测]
1．概念思辨
(1)“k＝2”是“直线x＋y＋k＝0与圆x2＋y2＝2相切”的必要不充分条件．( )
(2)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.( )
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )
(4)从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )
答案(1)×(2)√(3)×(4)√
2．教材衍化
(1)(必修A2P128T3)直线x－y＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系为( )
A．相切B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心D．相离
答案 B
解析圆心(0,0)到直线x－y＋1＝0的距离d＝1
2
＝
2
2
，而0<
2
2
<1，故选B.
(2)(必修A2P133A组T9)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．
答案2 2。