高考数学复习考知识解析与专题练习10---函数的单调性与最值

(3a－1)×1＋4a≥loga1，
11 ∴7≤a＜3，∴实数
a
的取值范围是17，13.
(2)已知函数 f (x)＝x2＋12a－2，x≤1， 若 f (x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数 a 的取 ax－a，x>1，
值范围为________．
答案 (1,2] 解析 由题意，得 12＋12a－2≤0，则 a≤2，又 y＝ax－a (x>1)是增函数，故 a>1，所以 a 的取值范围为 1<a≤2.
是单调函数．则 a 的取值范围是________；若 f (x)
的值域是 R，则 a＝________.
答案 (0,2] 2
x2＋1
1
1
解析 当 x≥1 时，f (x)＝ x ＝x＋x，则 f′(x)＝1－x2≥0 恒成立，
∴f (x)在[1，＋∞)上单调递增，∴f (x)min＝f(1)＝2，
当 x<1 时，f (x)＝ax，
∴函数 f (x)的单调递增区间为(4，＋∞)．
故选 D.
1，x>0， (2) 设 函 数 f (x) ＝ 0，x＝0，
－1，x<0，
g(x) ＝ x2f(x － 1) ， 则 函 数 g(x) 的 单 调 递 减 区 间 是
__________．
答案 [0,1)
x2，x>1， 解析 由题意知 g(x)＝0，x＝1， 该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．
D．f (c)>f (a)>f (b)
答案 D
解析
因为函数
f
(x)＝x2
在(0，＋∞)上单调递增，而
0<
log
1
1 3＝log53<log54<1<
1
25
，所
5
以 f (b)<f (a)<f (c)．故选 D. (2)已知定义在 R 上的函数 f (x)＝2|x－m|＋1(m∈R)为偶函数．记 a＝f (log22)，b＝f (log24)，
题组二 教材改编 2.如图是函数 y＝f (x)，x∈[－4,3]的图象，则下列说法正确的是( )
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A．f (x)在[－4，－1]上是减函数，在[－1,3]上是增函数 B．f (x)在区间(－1,3)上的最大值为 3，最小值为－2 C．f (x)在[－4,1]上有最小值－2，有最大值 3 D．当直线 y＝t 与 f (x)的图象有三个交点时－1<t<2 答案 C
由于 f (x)是单调函数，
∴f (x)＝ax 在(－∞，1)上也单调递增，且 ax≤2 恒成立， a>0，
∴a≤2， 故 a 的取值范围为(0,2]，
∵当 x≥1 时，f (x)≥2，
由 f (x)的值域是 R，可得当 x＝1 时，ax＝2，
故 a＝2.
确定函数的单调性 命题点 1 求具体函数的单调区间 例 1 (1)(2019·郴州质检)函数 f (x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )
2
2 即 y 最大值为5.
命题点 3 解函数不等式 例 5 (1)已知函数 f (x)＝lxn3，(x＋x≤1)0，，x>0， 若 f (2－x2)>f (x)，则实数 x 的取值范围是 ________． 答案 (－2,1) 解析 根据函数 f (x)的图象可知，f (x)是定义在 R 上的增函数．∴2－x2>x，∴－2<x<1. (2)已知函数 f (x)＝ln x＋2x，若 f (x2－4)<2，则实数 x 的取值范围是______________． 答案 (－ 5，－2)∪(2， 5) 解析 因为函数 f (x)＝ln x＋2x 在定义域(0，＋∞)上单调递增，且 f (1)＝ln 1＋2＝2， 所以由 f (x2－4)<2 得，f (x2－4)<f (1)，所以 0<x2－4<1，解得－ 5<x<－2 或 2<x< 5.
的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”
连接． (4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需
先确定简单函数的单调性．
跟踪训练 1 (1)(2019·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
1
A．y＝ x 2
B．y＝2－x
∵(x－1)2>0，a>0，∴f′(x)<0，
故 a>0 时，f (x)在(－∞，1)上是减函数．
思维升华 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法：利用定义判断． (2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数． (3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域
－x2，x<1，
命题点 2 判断或证明函数的单调性 ax
例 2 讨论函数 f (x)＝x－1(a>0)在(－∞，1)上的单调性． 解 方法一 ∀x1，x2∈(－∞，1)，且 x1<x2，
f (x)＝ax－x－1＋1 1＝a1＋x－1 1，
f (x1)－f (x2)＝a1＋x1－1 1－a1＋x2－1 1
2 3．函数 y＝x－1在[2,3]上的最大值是______． 答案 2 4．若函数 f (x)＝x2－2mx＋1 在[2，＋∞)上是增函数，则实数 m 的取值范围是________． 答案 (－∞，2] 解析 由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，∴m≤2.
题组三 易错自纠 5．函数 f (x)＝ log1 (－2x2＋x)的单调增区间是________；f (x)的值域是________．
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2－a×1>0， ∴2－a×0>0，
＝f (1)，b＝f (log24)＝f (2)，c＝f (2m)＝f (0)，∴a，b，c 的大小关系为 c<a<b.
命题点 2 求函数的最值 例 4 (1)函数 f (x)＝13x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． 答案 3 解析 由于 y＝13x 在 R 上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1,1]上单调递增，所以 f (x)在[－ 1,1]上单调递减，故 f (x)在[－1,1]上的最大值为 f (－1)＝3.
函数单调性的应用 命题点 1 比较函数值的大小
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例3
(1)若函数
f
(x)＝x2，设
a＝log54，b＝
log 1
1 3，c＝
1
25
，则
f
(a)，f
(b)，f
(c)的大小
5
关系是( )
A．f (a)>f (b)>f (c)
B．f (b)>f (c)>f (a)
C．f (c)>f (b)>f (a)
(3)已知函数 y＝loga(2－ax)在[0,1]是减函数，则实数 a 的取值范围是________．
答案 (1,2)
解析 设 u＝2－ax，
∵a>0 且 a≠1，
∴函数 u 在[0,1]上是减函数．
由题意可知函数 y＝logau 在[0,1]上是增函数，
∴a>1.又∵u 在[0,1]上要满足 u>0，
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x2＋4 (2)(2020·深圳模拟)函数 y＝ x2＋5 的最大值为________．
2 答案 5
解析 令 x2＋4＝t，则 t≥2，
∴x2＝t2－4，∴y＝t2＋t 1＝t＋1 1t ，
1 设 h(t)＝t＋ t ，则 h(t)在[2，＋∞)上为增函数，
5
12
∴h(t)min＝h(2)＝2，∴y≤5＝5(x＝0 时取等号)．
2
答案 14，12 [3，＋∞) 6．函数 y＝f (x)是定义在[－2,2]上的减函数，且 f (a＋1)<f(2a)，则实数 a 的取值范围是 ________． 答案 [－1,1)
－2≤a＋1≤2， 解析 由条件知－2≤2a≤2，
a＋1>2a，
解得－1≤a<1.
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7．设函数 f (x)＝x2＋x 1，x≥1， ax，x<1
由图知 f (x)的单调递减区间是[1,2]．
(3)函数 f (x)＝ log 1 (6x2＋x－1)的单调增区间为________．
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答案 －∞，－12
解析
由 6x2＋x－1>0 得，f (x)的定义域为xx<－12或x>13
.
由复合函数单调性知 f (x)的增区间即 y＝6x2＋x－1 的减区间(定义域内)， ∴f(x)的单调增区间为－∞，－12.
2．函数的最值
前提
设函数 y＝f (x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足
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(1)对于任意的 x∈I，都有
条件 f (x)≤M；
(2)存在 x0∈I，使得 f (x0)＝M
结论
M 为最大值
(1)对于任意的 x∈I，都有 f (x)≥M； (2)存在 x0∈I，使得 f (x0)＝M
M 为最小值
A．(－∞，－2)
B．(－∞，1)
C．(1，＋∞)
D．(4，＋∞)
答案 D
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解析 由 x2－2x－8>0，得 f (x)的定义域为{x|x>4 或 x<－2}． 设 t＝x2－2x－8，则 y＝ln t 为增函数． 要求函数 f (x)的单调递增区间，即求函数 t＝x2－2x－8 的单调递增区间(定义域内)． ∵函数 t＝x2－2x－8 在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，
概念方法微思考
1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？