正弦函数余弦函数的单调讲义性奇偶性最值

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三角函数的图像和性质讲解(定义域,值域,周期,单调性等)

三角函数的图象与性质教学目标：1、掌握正、余弦函数的定义域和值域；2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念，会求它们的周期，会判断它们的奇偶性；3、能正确求出正、余弦函数的单调区间教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数的单调性知识要点：1、定义域：函数sin y x =及cos y x =的定义域都是(),-∞+∞，即实数集R2、值域：函数sin y x =，x R ∈及cos y x =，x R ∈的值域都是[]1,1-理解：（1）在单位圆中，正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的，所以sin 1x ≤，cos 1x ≤，即1sin 1x -≤≤，1cos 1-≤≤。

（2）函数sin y x =在2,()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1，当22x k ππ=-，()k Z ∈时，y 取最小值-1；函数cos y x =在2x k π=，()k Z ∈时，y 取最大值1，当2x k ππ=+，()k Z ∈时，y 取最小值-1。

正弦函数s i n y x =，x R ∈和余弦函数cos y x =，x R ∈是周期函数，2k π(0)k Z k ∈≠且都是它们的周期，最小正周期是2π。

4、奇偶性正弦函数sin y x =，x R ∈是奇函数，余弦函数cos y x =，x R ∈是偶函数。

理解：（1）由诱导公式()sin sin x x -=-，cos()cos x x -=可知以上结论成立；（2）反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称。

5、单调性（1）由正弦曲线可以看出：当x 由2π-增大到2π时，曲线逐渐上升，sin x 由-1增大到1；当x 由2π增大到32π时，曲线逐渐下降，sin x 由1减至-1，由正弦函数的周期性知道：①正弦函数sin y x =在每一个闭区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从-1增大到1，是增函数； ②在每一个闭区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从1减小到-1，是减函数。

(最新整理)正弦函数余弦函数的单调性奇偶性最值

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1．正、余弦函数的奇偶性正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．
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∴cosπ8<cosπ9，即
17π 37π cos 8 <cos 9 .
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正、余弦函数的最值问题【例 4】求下列函数的最大值和最小值： (1)y＝3＋2cos(2x＋π3)； (2)y＝3cos2x－4cosx＋1，x∈[π3，23π]； (3)y＝ssiinnxx－＋12.
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规律归纳关于三角函数值大小比较的方法 (1)比较同名三角函数值的大小，关键是考查同一单调区间上的同名三角函数的单调性，由自变量的大小确定函数值的大小． (2)比较不同名的三角函数的大小，应先根据诱导公式化为同名三角函数，然后再进行比较．
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2.求函数 y＝3cos(3x－4π)的单调区间．解：令 2kπ＋π≤3x－π4≤2kπ＋2π，则 2kπ＋54π≤3x≤2kπ ＋94π，即23kπ＋51π2≤x≤23kπ＋34π，于是函数的单调递增区间为[23kπ＋51π2，23kπ＋34π]，k∈Z，同理可求得其单调递减区间为[23kπ＋1π2，23kπ＋51π2]，k∈Z.

1.4.2 正弦余弦函数的性质(单调性、最值)

3 5 对称中心： ( ,0),( ,0),( ,0),( ,0) 2 2 2 2

2
k ,0) k Z
1 例5:求函数 y sin( x ) 的单调递增区间: 2 3
解:

2
1 y sin x 3 2
y sin z

2k z
余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-

2
o
-1

2

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
-
-1
…

2
…
0
1
…
2
…

-1
0
0
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k，其值从-1增至1 其值从 1减至-1
y cos x
3 5 2
2

y
1
任意两相邻对称轴 ( 或对称中心 ) 的间距为 3 2 O 5 x 3 半个周期；
2
2
1
2

2
3
2
对称轴与其相邻的对称中心的间距为
对称轴：x
,0, , 2
四分之一个周期.
(
x k , k Z

o
-1

2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR) cos(-x)= cosx (xR)

正弦,余弦函数的单调性和奇偶性

正弦函数的图像呈现周期性的波动，每个周期内的形状相同。
余弦函数的周期性
01
余弦函数也是周期函数，其周期为$2pi$。
02 在一个周期内，余弦函数先递增后递减或先递减后递增。
03 余弦函数的图像也呈现周期性的波动，每个周期内的形状相同。
周期性的应用
01
周期性在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
单调性的应用
01
在信号处理中，正弦和余弦函数的单调性可用于信号的滤波和频谱分析。
02
在物理学中，正弦和余弦函数的单调性可用于描述振动和波动现象。
03
在工程学中，正弦和余弦函数的单调性可用于设计控制系统和电路。
03
正弦、余弦函数的任意x ，都有sin(-x) = -sin(x)。
图像对称性
正弦函数的图像关于原点对称，这是奇函数的特性。
余弦函数的奇偶性
偶函数
余弦函数是偶函数，因为对于任意x，都有cos(-x) = cos(x)。
图像对称性
余弦函数的图像关于y轴对称，这是偶函数的特性。
奇偶性的应用
图像变换
通过利用正弦和余弦函数的奇偶性，可以对它们的图像进行对称变换，从而更好地理解和分析函数的性质。
正弦,余弦函数的单调性和奇偶性
汇报人： 2024-01-09
目录
• 正弦、余弦函数的定义与性质 • 正弦、余弦函数的单调性 • 正弦、余弦函数的奇偶性 • 正弦、余弦函数的周期性 • 正弦、余弦函数与其他函数的
关系
01
正弦、余弦函数的定义与性质
正弦函数的定义与性质
定义
正弦函数是三角函数的一种，表示直角三角形中锐角的对边与斜边的比值。
余弦函数的单调性

(完整word版)三角函数专题讲义

三角函数专题一、核心知识点归纳：1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =; 当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数;在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称中心对称中心函数性质2。

正、余弦定理：在ABC ∆中有: ①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆半径) 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩⇒ sin 2sin 2sin 2a A Rb B Rc C R⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩注意变形应用 ②面积公式：111sin sin sin 222ABC S abs C ac B bc A ∆=== ③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩二、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。

高考数学基础知识专题提升训练136---正弦函数、余弦函数的单调性与最值

高考数学基础知识专题提升训练正弦函数、余弦函数的单调性与最值[对应学生用书P 100]知识点1 正弦函数、余弦函数的单调性 1．正弦函数的单调性(1)函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2， 3π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2单调递增，其值从－1增大到1；在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2， 3π2上单调递减，其值从1减小到－1.(2)正弦函数在每一个闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π， π2＋2k π(k ∈Z )上都单调递增，其值从－1增大到1；在每一个闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2， 2k π＋3π2(k ∈Z )上都单调递减，其值从1减小到－1.2．余弦函数的单调性(1)函数y ＝cos x ，x ∈[－π， π]在区间[－π， 0]单调递增，其值从－1增大到1；在区间[0, π]上单调递减，其值从1减小到－1.(2)余弦函数在每一个闭区间[2k π－π， 2k π](k ∈Z )上都单调递增，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[2k π， 2k π＋π](k ∈Z )上都单调递减，其值从1减小到－1.[微体验]1．函数y ＝2＋2cos x 的单调递增区间是_____________________．解析函数的递增区间为[2k π＋π，2k π＋2π](k ∈Z )．答案 [2k π＋π，2k π＋2π](k ∈Z )2．cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是________．(用“>”连接)解析 ∵0<1<2<3<π，而y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，∴cos 1>cos 2>cos 3. 答案 cos 1>cos 2>cos 3知识点2 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 1．正弦函数当且仅当x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时取得最大值1，当且仅当x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时取得最小值－1；2．余弦函数当且仅当x ＝2k π(k ∈Z )时取得最大值1，当且仅当x ＝2k π＋π(k ∈Z )时取得最小值－1.[微体验]1．函数y ＝2sin x －1的值域是________．解析 ∵x ∈R ，∴－1≤sin x ≤1，∴－3≤2sin x －1≤1，∴y ∈[－3,1]．答案 [－3,1]2．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0， π2的值域是________．解析 ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤23π，∴cos 23π≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤cos π6，∴－12≤y ≤32.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12， 32[对应学生用书P 101]探究一求正弦函数、余弦函数的单调区间求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调增区间．解y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z ，求y ＝－2sin z 的增区间，即求sin z 的减区间． ∴π2＋2k π≤z ≤3π2＋2k π，k ∈Z . 即π2＋2k π≤x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z . ∴3π4＋2k π≤x ≤7π4＋2k π，k ∈Z . ∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4＋2k π， 7π4＋2k π (k ∈Z )． [跟踪训练1] 求函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调增区间．解y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.由2k π＋π≤x －π4≤2k π＋2π，k ∈Z ，得2k π＋5π4≤x ≤2k π＋9π4，k ∈Z .即该函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋5π4， 2k π＋9π4(k ∈Z )． [方法总结]求与正、余弦函数有关的单调区间的策略(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间；(2)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的函数求单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx ＋φ”看作一个整体“z ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的函数的单调区间，方法同上．探究二比较三角函数值大小问题比较下列各组数的大小： (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4； (2)sin 194°与cos 160°.解(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋75π＝cos 75π， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋74π＝cos 74π， ∵π＜75π＜3π2＜74π＜2π，∴cos 75π＜cos 74π，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＜cos ⎝⎛⎭⎪⎫－17π4. (2)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°＜14°＜70°＜90°，∴sin 14°＜sin 70°. 从而－sin 14°＞－sin 70°，即sin 194°＞cos 160°. [方法总结]比较三角函数值大小的方法(1)通常利用诱导公式化为锐角三角函数值；(2)不同名的函数化为同名函数；(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间． [跟踪训练2] 比较下列各组数的大小： (1)sin(－320°)与sin 700°；(2)cos17π8与cos 379π. 解(1)∵sin(－320°)＝sin(－360°＋40°)＝sin 40°， sin 700°＝sin(720°－20°)＝sin(－20°)，又函数y ＝sin x 在[]－90°，90°上是增函数， ∴sin 40°＞sin(－20°)，∴sin(－320°)＞sin 700°. (2)∵cos17π8＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π8＝cos π8，cos 37π9＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π9＝cos π9，又函数y ＝cos x 在[0，π]上是减函数， ∴cos π8＜cos π9.∴cos 17π8＜cos 37π9.探究三正弦函数、余弦函数值域或最值问题求下列函数的最大值和最小值． (1)y ＝3＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6.解(1)∵－1≤co s ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5；当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1.(2)∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3， ∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1.∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝2；当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0时，y min ＝0.[方法总结]求正、余弦函数最值问题的关注点(1)形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )的函数的最值要注意对a 的讨论． (2)将函数式转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式． (3)换元后配方利用二次函数求最值．[跟踪训练3] 求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的值域．解令t ＝sin x ，y ＝f (x )，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴12≤sin x ≤1，即12≤t ≤1.∴y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－1，∴1≤y ≤72，∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1， 72.[对应学生用书P 102]1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)单调区间的方法是，把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋32π(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω＜0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．3．求三角函数值域或最值的常用求法将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或函数的单调性等来确定y 的范围．课时作业(四十一) 正弦函数、余弦函数的单调性与最值[见课时作业(四十一)P 184]1．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4， π4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4， 3π4C ．⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π C [画出y ＝|sin x |的图象(如图)．即可求解．]2．设M 和m 分别表示函数y ＝13cos x －1的最大值和最小值，则M ＋m 等于( )A ．23 B ．－23C ．－43D ．－2D [函数的最大值为M ＝13－1＝－23，最小值为m ＝－13－1＝－43，所以M ＋m ＝－2.]3．已知函数y ＝cos x 在(a ，b )上是增函数，则y ＝cos x 在(－b ，－a )上是( ) A ．增函数B ．减函数C ．增函数或减函数D ．以上都不对B [∵函数y ＝cos x 为偶函数，∴在关于y 轴对称的区间上单调性相反．] 4．若α，β均为锐角，且sin α>cos β，则( ) A ．α>β B ．α<βC ．α＋β＞π2D ．α＋β＜π2C [sin α>cos β＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，∵β是锐角，∴π2－β也是锐角．又α是锐角，且函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，∴α＞π2－β，即α＋β＞π2.]5．函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，x ∈[－π，0]的单调递增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －π，－56πB ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56π，－π6C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3， 0 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6， 0 D [令2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋56π，k ∈Z ，又－π≤x ≤0，∴－π6≤x ≤0.] 6．函数y ＝sin |x |＋sin x 的值域是________．解析 y ＝sin |x |＋sin x ＝⎩⎨⎧2sin x ， x ≥0，0， x ＜0，∴－2≤y ≤2. 答案 [－2,2]7．比较sin 1，sin 2与sin 3的大小关系为________．解析因为π2<2<π－1<3<π，又y ＝si n x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2， π上是减函数，所以sin 2>sin(π－1)>sin 3.又sin 1＝sin(π－1)，所以sin 2>sin 1>sin 3，即sin 3<sin 1<sin 2.答案 sin 3<sin 1<sin 28．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0， π2上的值域为________．解析由0≤x ≤π2，得0≤2x ≤π，于是－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，即－32≤3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤3.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32， 39．求下列函数的值域．f (x )＝1－2sin 2x ＋2cos x . 解f (x )＝1－2sin 2x ＋2cos x ＝2cos 2x ＋2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋122－32，∴当cos x ＝－12时，f (x )min ＝－32，当cos x ＝1时，f (x )max ＝3， ∴该函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32， 3.10．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2.(1)求f (x )的最小正周期T ； (2)求f (x )的单调递增区间．解(1)由已知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3，则T ＝2πω＝4π.(2)当2k π－π≤x 2－π3≤2k π(k ∈Z )，即4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3(k ∈Z )时，函数f (x )单调递增，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－4π3， 4k π＋2π3 (k ∈Z )．1．(多选题)若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意的x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3等于( )A ．3B ．0C ．－3D ．3或0AC [∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，∴f (x )关于直线x ＝π3对称．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3应取得最大值或最小值．]2．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．解析 ∵y ＝cos x 在[－π，0]上为增函数，又在[－π，a ]上递增，∴[－π，a ]⊆[－π，0]．∴a ≤0.又∵a ＞－π，∴－π＜a ≤0.答案 (－π，0]3．函数y ＝cos 2x －4cos x ＋5的值域是________．解析令t ＝cos x ，由于x ∈R ，故－1≤t ≤1，y ＝t 2－4t ＋5＝(t －2)2＋1.当t ＝－1，即cos x ＝－1时函数有最大值10；当t ＝1，即cos x ＝1时函数有最小值2.所以该函数的值域是[2,10]．答案 [2,10]4．(多空题)若f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________；若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，则ω的取值范围是________．解析∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，即0≤x ≤π3，且0＜ω＜1， ∴0≤ωx ≤ωπ3＜π3.∵f (x )max ＝2sin ωπ3＝2， ∴sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4，即ω＝34. 由2k π－π2≤ωπ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得2k πω－π2ω≤x ≤2k πω＋π2ω，k ∈Z ，令k ＝0，得－π2ω≤x ≤π2ω，即f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω上单调递增，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，所以π3≤π2ω，即0＜ω≤32. 答案34 0＜ω≤325．(拓广探索)已知定义在R 上的奇函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，△ABC 的内角A 满足f (cos A )≤0，求角A 的取值范围．解①当0<A <π2时，cos A >0. 由f (cos A )≤0＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， f (x )在(0，＋∞)上单调递增，得0<cos A ≤12，解得π3≤A <π2. ②当π2<A <π时，cos A <0. ∵f (x )为R 上的奇函数，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，∴由f (cos A )≤0＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，得cos A ≤－12， ∴2π3≤A <π.③当A ＝π2时，cos A ＝0， ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0，∴f (0)≤0成立．综上所述，角A 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3， π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3， π.。

正弦函数余弦函数的性质

1.4.3 正弦函数、余弦函数的性质（2）一、【教学目标】重点: 是正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性和最值，研究函数的思想方法. 难点：是利用正弦函数、余弦函数的周期性来研究它们的单调性及最值．知识点：正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性、最大值和最小值的概念.能力点：会判断三角函数的奇偶性，会求三角函数的单调区间，会求三角函数的最值.教育点：经历由三角函数性质的探讨过程，感受研究函数性质的一般思路与方法，培养学生运用函数图象分析、探究问题的能力.自主探究点：如何运用三角函数的图像研究三角函数的性质. 考试点：求三角函数的单调区间、最值，判断三角函数的奇偶性.易错易混点：（1）确定函数的奇偶性时易忽略定义域必须关于原点对称这个前提；（2）求()()sin 0y x ωϕω=+<的单调区间易出错.拓展点：如何利用正、余弦函数的有界性求最值.教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学二、【引入新课】1、观察正弦函数和余弦函数的图象，回顾正、余弦函数的性质：定义域、值域、周期性.2、奇函数与偶函数的定义？3、增函数与减函数的定义？具有单调性的函数在单调区间内的图象特征如何？本节课我们将在这些知识的基础上继续研究正、余弦函数的性质———奇偶性、单调性与最值.三、【探究新知】探究一：奇偶性请同学们观察正、余弦函数的图象，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？（1）正弦函数图像关于原点对称，余弦函数的图像关于y 轴对称.（2）由诱导公式()()sin sin ,cos cos x x x x -=--=可知: 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数. [设计意图]：正、余弦函数的奇偶性的探究主要由学生来完成，结合图象及诱导公式学生不难得出结论. 探究二：1.单调性问题1：我们研究函数的单调性是在定义域范围内研究的，观察正弦函数的图象，它在整个定义域上具有单调性吗？在区间上具有单调性吗？对于周期函数，如果我们把握了它的一个周期内的单调性，那么整个函数的情况也就清楚了.我们该选择哪一个周期进行研究呢？为什么？讨论得出：应以3[,]22ππ-为出发点，原因之一这个区间有且仅有一个单调增区间和一个单调减区间，其次这个区间在原点附近，便于研究.问题2：你能写出正弦函数在3[,]22ππ-这个单调递增区间及单调递减区间吗？（学生讨论，代表发言）从sin y x =，3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象上可看出：当x ∈［－2π，2π］时，曲线逐渐上升，sin x 的值由－1增大到1. 当x ∈［2π，23π］时，曲线逐渐下降， sin x 的值由1减小到－1.问题3：整个定义域范围内的所有的单调增、减区间该怎么统一表示呢？请同学们观察在区间内函数值的变化范围？在整个定义域范围内的函数值变化情况呢？结合其周期性可知（强调加上周期的整数倍）：正弦函数在每一个闭区间()2,222ππκπκπκ⎡⎤-++∈Z ⎢⎥⎣⎦上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间()32,222ππκπκπκ⎡⎤++∈Z ⎢⎥⎣⎦上都是减函数，其值从1减小到－1.问题4：类比正弦函数的单调区间的研究过程，你能得出余弦函数的单调区间吗？应该选择余弦函数的哪个周期来作为研究对象？其函数值的变化情况又怎样呢？（观察余弦曲线）得出余弦函数单调递增区间：[2,2],k k k Z πππ-∈，其值从-1增至1；得出余弦函数单调递减区间：[2,2],k k k Z πππ+∈，其值从1减至-1.2.正弦、余弦函数的最值从对正弦、余弦函数的单调性讨论中可知：正弦函数当且仅当2()2x k k Z ππ=+∈时取得最大值1，当且仅当2()2x k k Z ππ=-+∈时取得最小值-1；余弦函数当且仅当2()x k k Z π=∈时取得最大值1，当且仅当2()x k k Z ππ=+∈时取得最小值-1. [设计意图]：单调性与最值的结论的得出主要在教师的引导下，利用数形结合的方法由学生给出，然后教师与学生共同归纳总结.充分发挥学生的学习主动性，成为真正的主人.四、【理解新知】1、判断三角函数的奇偶性时要注意定义域优先的原则,若定义域关于原点对称了，再考察()f x 与()f x -的关系.2.正余弦函数都不是单调函数，但它们有无数个单调区间，利用单调性可以求值，还可以求三角函数的单调区间，有些函数的单调区间可直接通过其图像获得，同时要注意，求三角函数的单调区间必须在其定义域内进行.3. 正弦函数、余弦函数的性质：函数y ＝sin xcos y x =图象定义域值域奇偶性周期性最小正周期：________最小正周期：______单调性在__________________________ ____上单调递增；在_________ __________________________ 上单调递减在________________________ ___上单调递增；在______ ______________________上单调递减最值在______________________时， max y ＝1；在__________________ ______时，min y ＝－1在_______________________时，max y ＝1；在____ ____ 时，min y ＝－1[设计意图]：总结其性质为准确地运用新知，作必要的铺垫.五、【运用新知】例1．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+是偶函数，求||ϕ的最小值．[分析]：利用函数()sin()f x A x ωϕ=+的特殊性，(0)=sin =1f ϕ±时，函数为偶函数，(0)=sin =f ϕ0时函数为奇函数．解：∵()sin(2)f x x ϕ=+是偶函数， ∴ (0)sin 1f ϕ==±，,()2k k Z πϕπ=+∈所以函数||ϕ的最小值为2π． [设计意图]：利用正、余弦函数的奇偶性的特殊性，“(0)=sin =1f ϕ±⇔函数为偶函数”、“(0)=sin =f ϕ0⇔函数为奇函数”，相比于学生利用“()=()f x f x -±”方便了计算．变式训练1. 2()lg(sin 1sin f x x x =+解：函数的定义域为R ，2()lg[sin()1sin f x x x -=-+=2lg(sin 1sin )x x -+=1lg(sin x -=lg(sin x -=()f x -所以函数()lg(sin f x x =例2.求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值、最小值分别是什么？ (1)cos 1y x =+，x R ∈； (2)3sin 2,y x x =-∈解:(1)使函数cos 1y x =+，x R ∈取得最大值的x 的集合，就是使函数cos ,y x x R =∈取得最大值的x 的集合}{2,x x κπκ=∈Z；使函数cos 1y x =+，x R ∈取得最小值的x 的集合，就是使函数cos ,y x x R =∈取得最小值的x 的集合}{(21),x x κπκ=+∈Z.函数cos 1y x =+，x R ∈的最大值是112+=；最小值是110-+=.(2)（由学生板书）答案：最大值是3，x 的集合,.4x x πκπκ⎧⎫=-+∈Z ⎨⎬⎩⎭最小值是-3，x 的集合,.4x x πκπκ⎧⎫=+∈Z ⎨⎬⎩⎭变式训练2：求使函数2cos ,3xy x R =-∈取得最大值、最小值的自变量的集合，并写出最大值、最小解：22k π-+43k π-+所以，所求函数的递增区间是5[3AB π=-因此所求函数的单调递增区间是：对于函数 π[设计意图]:通过典型例题让学生进一步体会确定三角函数的单调区间的整体代换的思想方法，特别是当0ω<时，借助复合函数单调性原理将x 的系数化成正的再求解.六、【课堂小结】教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：1．知识点：(1)正、余弦函数的奇偶性问题； (2)正、余弦函数的最值问题；(3)利用单调性比较三角函数值的大小，关键是运用诱导公式将角转化到三角函数的同一单调区间内； (4)求函数sin()y A x ωϕ=+或cos()y A x ωϕ=+的单调区间，均可由sin y x =和cos y x =的单调区间，列不等式解出不等式来求解，但要清楚A 和ω的符号对单调性的影响； 2．思想：数形结合思想、整体换元思想、类比思想．教师总结: 本节课设计的容量较大，学生的活动量也较大，若用信息技术辅助教学效果会很好.教师可充分利用多媒体做好课件，在课堂上演示给学生;有条件的学校，可以让学生利用计算机或计算器进行探究,让学生在动态中掌握知识、提炼方法.七、【布置作业】必做题：P40 练习4，5. P46 习题1.4 A 组 2，4，5.y =巩固练习：1．已知是正数，函数()2sin f x x ω=在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，求ω的取值范围. [分析]：由22,22k x k k Z πππωπ-+≤≤+∈ 得，22,22k k x k Z ππππωωωω-+≤≤+∈ ()f x ∴的单调递增区间是22,,22k k k Z ππππωωωω⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. 据题意有,23,240,ππωππωω⎧-≤-⎪⎪⎪≥⎨⎪⎪⎪>⎩解得30<2ω≤.故ω的取值范围是30,]2（. 2．设函数()sin(4),3f x a b x π=--其中a b 、为实常数，x R ∈，已知函数()f x 的值域是[1,5]，求a b、的值.[分析]：()sin(4),3f x a b x x R π=+-∈.1sin(4)1,3x π-≤-≤则（1）当0b >时，max min (),()f x a b f x a b =+=-.由已知5,3,1 2.a b a a b b +==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩ （2）当0b <时，max min (),()f x a b f x a b =-=+.由已知5,3,1 2.a b a a b b -==⎧⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩ （3）当0b =时，()f x a =为常数，不合题意，综上分析，3, 2.a b ==±3．已知3sin ()3,(5)2,cos a x bx f x f c x+=+=-求(5)f -的值. 4．课外思考求函数223sin 4cos 1,,33y x x x ππ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦的最小值.[设计意图]培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是为了让学生能够运用正、余弦函数的性质解题；课外思考的安排，是让学生理解本节知识，从而让学生深刻地体会到正、余弦函数性质的重要性．八、【教后反思】1.本教案的亮点是在原教案的基础上，增加了例2的变式训练，做到了讲练结合，替换了巩固练习，使题目对本节知识更有针对性的训练.2.本节课涉及知识点进行了分类整理，并对各类题目设计出难度梯队.3.本节课的弱项是由于整堂课课堂容量较大，在课堂上有限的时间对选做题有选择的利用.九、【板书设计】。

正弦、余弦函数的性质(奇偶性、单调性)

) <0
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
例2 求下列函数的单调区间： (1) y=2sin(-x ) 解：y=2sin(-x ) = -2sinx
函数在 [
函数在 [

2 2
+2k, +2k,

4

2 3 2
+2k],kZ 上单调递减 +2k],kZ上单调递增

2 k
(2) y=3sin(2x解：k 2
23 5
17 4
)
3 5
)=cos
3 5
23 5
=cos
cos(
3 5
17 4
)=cos

4
17 4
=cos
0

cos
3 5
4
又 y=cosx 在 [ 0 , ] 上是减函数

4
<cos
即： cos
17 4
– cos
<0
从而 cos( 235 ) - cos(
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
(3) y= ( tan 7 )sinx 6
解：
(4) 当
0 tan
7 6
tan

6

3 3
1
单调减区间为单调增区间为
y log
1 2 1 2 cos( x
[2k [2k

3 )

,2 k ,2 k

], ( k Z ) ], ( k Z )

2
函数
单调性（单调区间）

+2k, 2 +2k],kZ 单调递增

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解析：函数 y＝1－cosx 是偶函数，其图象关于 y 轴对称．
答案：B
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2．函数 f(x)＝cos4x，x∈R 是( ) A．最小正周期为 π 的偶函数 B．最小正周期为 π 的奇函数 C．最小正周期为2π的偶函数 D．最小正周期为2π的奇函数解析：T＝2ωπ＝24π＝π2，f(－x)＝cos(－4x)＝cos4x＝f(x)，即 f(x) 是偶函数．答案：C
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1.已知函数 y＝ 2sin(x＋π4＋φ)是奇函数，则 φ 的一个取
值为( )
A．0
B．－4π
小值是 s在区间[π2，π]上的最大值是 sinπ2＝1，最小值是 sinπ＝0.
所以函数 y＝sinx，x∈[4π，π]的最大值是 1，最小值是 0.
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正弦函数、余弦函数的奇偶性
【例 1】若函数 y＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)是 R 上的偶函
数，因此 φ＝π2.
解法二：∵函数 y＝sinx 的对称轴为：x＝π2＋kπ，k∈Z，
∴函数 y＝sin(x＋φ)图象的对称轴应满足 x＋φ＝π2＋kπ. 又 y＝sin(x＋φ)是偶函数，
∴x＝0 是函数图象的一条对称轴，
∴φ＝π2＋kπ，k∈Z，当 k＝0 时，φ＝π2.
答案：C
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正弦函数余弦函数的单调性奇偶性最值
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第2课时正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性与最值
目标定位
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目标要求 1.掌握正弦函数、余弦函数的性质并能灵活应用． 2．通过正弦、余弦函数的图象来理解正弦、余弦函数的性质，培养数形结合的能力. 热点提示 1.三角函数的奇偶性、最值、单调区间、三角函数大小的比较等，能结合图象的一定要联系图象进行综合思考，将数与形有机结合起来． 2．讨论对称问题时要注意最值点、平衡点及周期的必然联系，形成思维网络． 3．讨论三角函数的所有性质都要在其定义域内进行.
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知识预览
1．正、余弦函数的奇偶性正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．
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2．正、余弦函数的单调性
正弦函数 y＝sinx(x∈R)在2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)上是增函数，在2kπ＋π2，2kπ＋32π(k∈Z)上是减函数；余弦函数 y ＝cosx(x∈R)在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减函数，在[2kπ＋π， 2kπ＋2π](k∈Z)上是增函数．
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●想一想：y＝sin(－x)在[0，π2]上是单调递增函数吗？
提示：由于 y＝sin(－x)与 y＝sinx 两函数的图象关于 y 轴对称，且 y＝sinx 在[－π2，0]上是单调递增函数，结合函数的对称性易知 y＝sin(－x)在区间[0，π2]上是单调递减函数．
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规律归纳 1．判断一个函数 y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)或 y＝Acos(ωx ＋φ)(Aω≠0)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为 y＝Asinωx(Aω≠0)或 y＝Acosωx(Aω≠0)其中的一个． 2．利用三角函数的奇偶性求参数时，可以用定义解决，也可以利用三角函数的对称性解决，偶函数考虑对称轴与 y 轴的关系，奇函数考虑对称中心与原点的关系．
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●想一想：函数 y＝sinx，x∈[－3π，π3]的最大值是 1 吗？
提示：不是．最大值是
sin3π＝
3 2.
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自测自评
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1．函数 y＝1－cosx 的图象关于( ) A．x 轴对称 B．y 轴对称 C．原点对称 D．直线 x＝π2对称
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3．正、余弦函数的最值正弦函数 y＝sinx(x∈R)，当 x＝2kπ＋π2，k∈Z 时，y 最大＝1，当 x＝2kπ－π2，k∈Z 时，y 最小＝－1；余弦函数 y＝cosx(x∈R)，当 x＝2kπ，k∈Z 时，y 最大＝1，当 x＝2kπ＋π，k∈Z 时，y 最小＝－1.
数，则 φ 等于( )
A．0
π B.4
π C.2
D．π
思路分析：将备选值代入检验可得答案，也可依据偶函数
的图象关于 y 轴对称得到 x＋φ 满足的条件，调节 k 值找出符合题意的 φ 值．
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解法一：由于 y＝sin(x＋π2)＝cosx，而 y＝cosx 是 R 上的偶函
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3．函数 y＝2cosx－1 的单调递减区间是________．
解析：函数的定义域是 R，设 y＝2u－1，u＝cosx，由于函数 y＝2u－1 是增函数，则函数 y＝2cosx－1 的单调递减区间是函数 u＝cosx 的单调递减区间．
答案：[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
答案：{x|x＝2kπ＋π2，k∈Z}
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5．求函数 y＝sinx，x∈[4π，π]的最大值和最小值．
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解：函数 y＝sinx 在区间[π4，π2]上是增函数，在区间[π2，π] 上是减函数，
所以函数 y＝sinx 在区间[π4，π2]上的最大值是 sinπ2＝1，最
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4．函数 y＝－2sinx＋10 取最小值时，自变量 x 的集合是 ________．
解析：函数的定义域是 R，设 y＝－2u＋10，u＝sinx，则－1≤u≤1.又函数 y＝－2u＋10 是减函数，则当 u＝1 时，函数 y＝－2sinx＋10 取最小值，此时 x＝2kπ＋π2，k∈Z.