例说求数量积的取值范围(最值)求解策略
解决求取值范围问题的策略
一、解答求取值范围或最 值问题的方法 二、解决求取值范围或最 值问题的策略
一、解答求取值范围或最值问题的方法 (一)函数法 (二)不等式法 (三)几何法
x T = f ( x)
(一)函数法
1、把所求范围或最值的量表示为另 外一个量(或几ห้องสมุดไป่ตู้量)的函数 2、运用函数的知识求函数的值域
例1
x
(二)不等式法
1、建立关于所求范围或最值的量的 不等式组或混合组 2、解不等式组或混合组
例2
x
(三)几何法
1、把所求范围或最值的量表示为某 种几何量(距离或角及其函数) 2、结合图形，求几何量的取值范围
例3
二、解决求取值范围或最值问题的策略 (一)深刻理解数学的基本概念和结论的 本质，提高推理论证的能力 (二)深切体会数学的基本思想和方法的 精髓，提高分析和解决问题的能力 (三)熟练掌握数学的基本技能，提高运 算求解的能力
x T = f ( x)
(一)深刻理解数学的基本概念和结论的 本质，提高推理论证的能力
例4
(二)深切体会数学的基本思想和方法的 精髓，提高分析和解决问题的能力
求函数值域的方法 求函数极值的步骤 例5 例6
(三)熟练掌握数学的基本技能，提高运 算求解的能力
例7
例8
例9
小学综合算式拓展思维用加减乘除做出最大值和最小值
小学综合算式拓展思维用加减乘除做出最大值和最小值在小学数学学习中，综合算式是一个重要的内容之一。
通过加减乘除等基本运算符号的灵活运用，我们可以拓展思维，解决各种问题，包括求最大值和最小值。
本文将介绍在小学综合算式中如何用加减乘除来做出最大值和最小值。
在解决问题时，我们首先要理解什么是最大值和最小值。
最大值就是一组数中最大的数，而最小值则是一组数中最小的数。
通过和其他数进行比较，我们可以找出最大值和最小值。
在拓展思维时，我们需要注意以下几个要点：1. 了解运算符的作用：加法可以使数的值增大，减法可以使数的值减小，乘法可以使数的值增大或减小，除法可以使数的值增大或减小。
运用这些运算符，我们可以实现数值的变化。
2. 灵活运用进位和借位：在加法和减法中，进位和借位是非常重要的。
对于加法，进位使得数变大；对于减法，借位使得数变小。
利用进位和借位，我们可以适当增加或减少数的值。
3. 注重数的顺序：数的顺序对于最后的结果有很大影响。
如果要找最大值，应该把较大的数放在前面；如果要找最小值，应该把较小的数放在前面。
通过调整数的顺序，我们可以得到不同的结果。
下面我们通过一些例子来具体说明。
例子1：用加法求最大值和最小值问题：小明有10元钱，他要买三个玩具车，每个玩具车的价格分别是5元、3元和2元。
他想知道他还剩下多少钱和他能不能再买一个最贵的玩具车。
解析：首先，我们计算小明买三个玩具车的总价：5 + 3 + 2 = 10。
因此，小明刚好花光了全部的钱购买三个玩具车。
这时，我们可以得到最大值和最小值：最大值是3个玩具车的总价10元，最小值是0元（因为小明已经花光了所有的钱）。
例子2：用减法求最大值和最小值问题：一个数字比27少15，最大值和最小值分别是多少？解析：我们让这个数字为x，可以写出等式 x - 15 = 27。
为了找到最大值和最小值，我们需要确定x的值。
首先，我们可以通过加法将等式转化为：x = 27 + 15，计算结果为42。
数量积的计算方法
数量积的计算方法一、数量积的基本概念。
1.1 啥是数量积呢？简单来说，数量积就是一种向量运算。
就好比两个人合作干活，向量就像是这两个人，数量积就是他们合作产生的一种结果。
它是把两个向量对应分量相乘，然后再把这些乘积加起来得到的一个数。
这就像生活中，我们把不同的东西按照一定的规则组合起来，最后得到一个总的结果。
这可不是什么高深莫测的东西，就像搭积木，一块一块按照规则搭好，最后就有了一个完整的造型。
1.2 从数学的角度看，设向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，那么它们的数量积a·b=x1x2 + y1y2。
这个式子看起来有点像密码，但其实就是按照前面说的规则来的。
这就好比菜谱，按照步骤来，就能做出一道菜。
这里的步骤就是把向量的对应分量相乘再相加。
二、数量积的计算实例。
2.2 再来看个例子，如果向量a=( 1,2)，向量b=(3, 4)。
那a·b就是( 1)×3+2×( 4)。
这就像我们算收支账，有支出有收入，按照规则来计算。
先算( 1)×3 = 3，再算2×( 4)= 8，最后把它们加起来， 3+( 8)= 11。
这个结果就是这两个向量的数量积。
这也没什么难的，不要被那些符号吓倒，就像俗话说的“兵来将挡，水来土掩”，按照规则计算就好。
2.3 有时候向量可能是三维的，比如向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)。
那数量积a·b就是1×4+2×5+3×6。
这就像我们要完成三件事情，分别计算每件事的成果，然后把它们汇总起来。
先算1×4 = 4，2×5 = 10，3×6 = 18，最后把它们加起来，4+10+18 = 32。
三、数量积的意义和用途。
3.1 数量积的意义可不小呢。
它能表示两个向量在方向上的相似程度。
如果数量积为正，就说明两个向量大致方向相同，就像两个志同道合的朋友，朝着一个方向努力。
数量积的最值问题
数量积的最值问题
数量积的最值问题是数学中常见的一类问题，通常涉及到向量的内积运算。
向量的数量积也称为内积或点积，它是向量与向量之间进行的一种运算，其结果是一个实数。
在数量积的最值问题中，我们需要确定一组向量中数量积的最大值或最小值。
在实际应用中，数量积的最值问题常常用于优化问题，如最大化力的方向或最小化工作量等。
例如，在物理学中，力的大小与方向对物体的运动有着重要的影响。
因此，我们可以使用数量积的最值问题优化力的方向，使其最大或最小。
在解决数量积的最值问题时，我们需要使用向量的性质和一些基本的数学知识。
首先，我们需要知道向量的数量积公式：
a·b=|a||b|cosθ，其中a和b分别是两个向量，|a|和|b|分别是它们的模长，θ是它们之间的夹角。
其次，我们需要根据问题的要求，确定向量的方向和模长，然后计算数量积，并找出最大或最小值。
总之，数量积的最值问题是数学中的一个重要问题，涉及到向量的内积运算和优化问题。
通过合理地使用向量的性质和相关的数学知识，我们可以解决这类问题，为实际应用提供重要的帮助。
- 1 -。
应用题中的最值问题
应用题中的最值问题在数学中，应用题是帮助我们将数学知识应用于实际问题的重要手段之一。
其中，最值问题是应用题中常见且具有挑战性的一类问题。
本文将探讨应用题中的最值问题，并通过实际例子展示如何解决这些问题。
一、最值问题的定义和解决方法最值问题是指在一定范围内，找出函数的最大值或最小值的问题。
在解决最值问题时，我们需要明确以下几个步骤：1. 确定问题背景和条件：了解题目所给的具体情境和限制条件，确保对问题有全面的理解。
2. 建立数学模型：将问题转化为数学表达式。
根据题目提供的信息，可以通过建立函数或方程来描述问题，以便后续求解。
3. 求导并解方程：对所建立的函数或方程进行求导，并解决相关方程。
根据问题要求，我们可以找到导数为0的临界值，以及一些特殊点。
4. 检验临界值和特殊点：将临界值和特殊点代入函数或方程，进行验证。
通过验证，确认所求的最值是否存在或有效。
5. 给出最终答案：根据问题所求，可以得到最大值或最小值，并做出符合问题背景的解释和结论。
二、实例分析：最值问题的应用为了更好地理解最值问题的应用，我们来看一个具体例子。
假设某电商平台推出了一件商品，初始价格为x元。
经过一段时间的销售，该商品的销量与价格之间存在一定的关系。
现在需要确定一个最佳价格，使得销售利润达到最大值。
解决该问题的关键步骤如下：1. 确定问题背景和条件：假设该商品的每个单位价格对应的销量可以通过函数f(x)表示，其中x为价格，f(x)为销量。
另外，我们还需要考虑商品的成本和利润率等因素。
2. 建立数学模型：根据题目要求，可以建立一个代表销售利润的函数p(x)，其中p(x) = (x - c) * f(x)，其中c表示商品的成本。
这里，我们通过将价格与销量的关系转化为销售利润的函数，建立了一个数学模型。
3. 求导并解方程：对所建立的销售利润函数p(x)进行求导，并解方程p'(x) = 0。
在求解过程中，我们可以找到导数为0时的价格值，即为存在最大利润的价格。
函数最值问题的求解策略
函数最值问题的求解策略在数学的广阔天地中，函数最值问题是一个非常重要的研究领域。
无论是在数学理论的深入探讨，还是在实际生活中的应用，求解函数的最值都具有极其关键的意义。
要理解函数最值问题，首先得明确什么是函数的最值。
简单来说，函数的最大值就是在函数定义域内，函数取得的最大的函数值；而最小值则是在定义域内取得的最小的函数值。
那如何去求解函数的最值呢？这就需要我们掌握一些有效的策略和方法。
第一种常见的方法是利用函数的单调性。
对于给定的函数，如果我们能够判断出它在某个区间上是单调递增或者单调递减的，那么就可以很容易地找到最值。
比如说，一个函数在某个区间上单调递增，那么它在这个区间的左端点处取得最小值，在右端点处取得最大值；反之，如果函数在某个区间上单调递减，那么在左端点处取得最大值，在右端点处取得最小值。
为了判断函数的单调性，我们通常会对函数求导。
导数大于零的区间，函数单调递增；导数小于零的区间，函数单调递减。
以简单的函数 f(x) ＝ x²为例，其导数 f'（x) ＝ 2x。
当 x ＞ 0 时，f'（x) ＞ 0，函数单调递增；当 x ＜ 0 时，f'（x) ＜ 0，函数单调递减。
所以，f(x) 在 x ＝ 0 处取得最小值 0。
第二种方法是利用配方法。
对于二次函数，通过配方可以将其化为形如 f(x) ＝ a(x h)²＋ k 的形式。
当 a ＞ 0 时，函数有最小值 k；当 a＜ 0 时，函数有最大值 k。
比如函数 f(x) ＝ x² 2x ＋ 3，通过配方可得f(x) ＝（x 1)²＋ 2，所以其最小值为 2。
第三种方法是利用均值不等式。
对于两个正实数 a 和 b，有 a ＋b ≥ 2√ab ，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。
通过巧妙地构造和运用均值不等式，往往能够求出函数的最值。
例如，求函数 f(x) ＝ x ＋ 1/x （x ＞0）的最小值。
几何最值的解题方法
几何最值的解题方法1. 引言几何最值问题是数学中常见的一类问题，它涉及到在给定的几何形状或空间中寻找某个特定量的最大值或最小值。
在解决这类问题时，我们需要运用几何知识和数学分析方法，结合具体情境进行推理和计算。
本文将介绍几何最值问题的解题方法，并通过实例进行说明。
2. 几何最值问题的分类几何最值问题可以分为两类：平面几何中的最值问题和立体几何中的最值问题。
2.1 平面几何中的最值问题在平面几何中，我们常常需要求解线段、角度、面积等量的最大值或最小值。
例如，求一个给定周长的矩形的面积最大，或者求一个给定半径的圆形内接三角形的面积最大。
为了解决这类问题，我们可以使用以下方法：2.1.1 导数法当需要求解平面图形上某个量（如面积）取得极大或极小值时，我们可以通过对该量进行微分，并令导数等于零来求得临界点。
通过判断临界点处导数符号变化来确定极大或极小值。
例如，对于矩形的面积最大问题，我们可以设矩形的长为x，宽为y，则矩形的面积为S=xy。
根据周长固定的条件，可以得到2x+2y=常数。
将这个条件代入面积公式S=xy中，可以得到只含有一个变量x的函数表达式S(x)，然后对S(x)求导，并令导数等于零，即可求得临界点。
2.1.2 直观法直观法是一种通过观察和推理来解决几何最值问题的方法。
在解决一些简单的几何最值问题时，我们可以通过直观地找出一些特殊情况或者利用几何图形的性质来确定最值。
例如，在求解一个给定周长的矩形面积最大问题时，我们可以发现正方形是具有相同周长下面积最大的矩形，因而答案是正方形。
2.2 立体几何中的最值问题在立体几何中，我们常常需要求解体积、表面积等量的最大值或最小值。
例如，求一个给定表面积的圆柱体体积最大，或者求一个给定体积的圆柱体表面积最小。
为了解决这类问题，我们可以使用以下方法：2.2.1 导数法与平面几何中的导数法类似，我们可以通过对体积或表面积进行微分，并令导数等于零来求得临界点。
高中数学平面向量数量积最值问题的求解策略
平面向量数量积最值问题的求解策略近几年,平面向量数量积的最值问题频频出现在各地的高考卷上,成为高考中的一个热点问题,现以几例具体阐述此类问题的解决途径.一、借助基本的向量运算降低问题难度例1:(05年江苏高考试题)在ABC ∆中,O 为中线AM 上一个动点,若2AM =,则()OA OB OC ⋅+的最小值是__________.分析:(如图)本题的突破口关键在于AM 为ABC ∆的中线,故易知2OB OC OM +=,所以:()(2)2()OA OB OC OA OM OA OM ⋅+=⋅=⋅从而把不共线向量数量积的问题转化为共线向量数量积的问题.解:AM 为ABC ∆的中线2OB OC OM ∴+=()(2)2()2||||cos 2||||OA OB OC OA OM OA OM OA OM OA OM π∴⋅+=⋅=⋅=⋅=-⋅ 又22||||||||||()124OA OM AM OA OM ++≤==()2OA OB OC ∴⋅+≥-例2:(04年湖北高考试题)在Rt ABC ∆中,BC a =,若长为2a 的线段PQ以A 点为中点,问PQ 与BC 的夹角θ取何值时BP CQ ⋅的值最大?并求出这个最大值.分析:本题的突破口关键在于,,P A Q 三点共线,从而联想到把BP 和CQ作如下的分解:12BP BA AP BA PQ =+=-, 12CQ CA AQ CA PQ =+=+分解之后,真可谓是海阔天空.211()24BP CQ BA CA PQ BA CA PQ ⋅=⋅+⋅-- 故:222211||||cos cos 22BP CQ PQ BC a PQ BC a a a θθ⋅=⋅-=-=- 解:11()()()()22BP CQ BA AP CA AQ BA PQ CA PQ ⋅=+⋅+=-⋅+ 221111()||2424BP CQ BA CA PQ BA CA PQ BA CA PQ BC PQ ∴⋅=⋅+⋅--=⋅+⋅- 又,||2,||BA CA PQ a BC a ⊥==222211||||cos cos 22BP CQ PQ BC a PQ BC a a a θθ∴⋅=⋅-=-=- ∴当cos 1θ=,即0θ=(PQ 与BC 同向)时,BP CQ ⋅取到最大值0.二、建立直角坐标系降低问题门槛对于上述两道高考试题,应用向量的基本运算把不共线的数量积问题转化为共线的或者是易求的数量积问题,从而达到解决问题的目的.但是从纯几何的角度出发,对学生的思维层次要求较高,对于此类问题我们还可以借助建立直角坐标系的方法,降低问题的难度.例1:另解:以M 点为圆心,AM 所在直线为y 轴,建立如图所示的直角坐标系. 设(0,2),(,),(0,)A B x y O z ,则(,)C x y --(0,2),(,),(,)OA z OB x y z OC x y z ∴=-=-=---(0,2)OB OC z +=-(02)z ≤≤2()(2)(2)2(1)2OA OB OC z z z ∴⋅+=--=--故()OA OB OC ⋅+的最小值为2-例2:另解:以A 点为原点,AB 边所在直线为x 轴,建立如图所示的直角坐标系. 设CAB α∠=,PQ 与AB 的夹角为β,则(cos ,0),(0,sin )B a C a αα(cos ,sin ),(cos ,sin )P a a Q a a ββββ--(cos cos ,sin ),(cos ,sin sin )BP a a a CQ a a a βαβββα∴=---=-2222222cos cos cos sin sin sin [1cos()]BP CQ a a a a a βαββαβαβ∴⋅=---+=-++∴当cos()1αβ+=-即αβπ+=(PQ 与BC 同向)时,BP CQ ⋅的最大值为0点评:通过建立适当的直角坐标系,将向量的数量积坐标化,从而转化常见的求函数最值问题.读者可以试着用上述的两种方法来完成下面的练习.练习:如图,已知等边ABC ∆的边长为2,又以A 为圆心,半径为1作圆,PQ 是直径,试求BP CQ ⋅的最大值,并指明此时四边形BCQP 的形状.答案:BP CQ ⋅的最大值为3,此时四边形BCQP 为矩形.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
转化成为
P
N
2
2 −M
N
2
.
例 5 已知正 △ABC 内接于半径为 2 的圆 O, 点 P 是
圆
O
的一个动点,
求
−→ PA
·
−−→ PB
的取值范围.
解析
√ 由已知可得正 △ABC 的边长为 2 3. 取 AB 中
点
D,
则
−→ PA
−−→ · PB
=
P D2
−
BD2
=
P D2
−
3.
当点
P
位于
C 处时, P D 最大, 为 3; 当点 P 位于 CD 延长线与圆交点时,
得 1 a2 + a · b + b2 = 4, 即
2 b2 +a·b
=
2,
即
( b
+
1 )2 a
=
3,
整理得
() b− −1a
2 =
√ 3.
记
2 −→ −−→ 1 −−→
图1
OA = a, OC = − a, OB = b,
2
√ 则 b 的终点 B 在 C 为圆心, 3 为半径的圆上. a · b 表示
解析
取
BC
中点
M,
AM
中点
N,
则
−−→ PB
+
−−→ PC
=
2−P−M→.
所
以
−→ PA
·
−−→ (P B
+
−−→ P C)
=
−→ −−→ 2P A · P M
=
2(P N 2 −
MN2)
−
3
.
因此
−→ PA
·
−−→ (P B
+
−−→ PC)
的最小值是
−
3
.
简评
2 运用恒等形态将
−P→A·−P−M→
借助不等式的重要性质可以求出数量积的取值范围 (最
影.
值), 如三角不等式, 柯西不等式, 重要不等式.
例 3 同例 1.
例 6 已知 a, b 满足 |a| = 2|b|, |a − b| = 2, 求 a · b 的
*本文是福建教育学院 2017 年基础教育研究立项课题 < 微专题视角下的高三数学复习策略研究 > (编号 JYYB-2017001) 的阶段性研究成果.
=P
E2(1
−
2
sin2
∠EP
C)
=
P
E2
( 1
−
2
EC2 P C2
)
=(P C2
−
( CE2) 1
−
EC2 2 P C2
)
=
(P C2
−
( 4) 1
−
8 P C2
) .
显然当点 P 在圆 M 上运动时, |P C| ∈ [4, 6]. 令 t = |P C|2,
则t
∈
[16, 36].
故
−−→ PE
例 2 已知圆 C : (x − 2)2 + y2 = 4, 圆 M : (x − 2 −
5 cos θ)2 + (y − 5 sin θ)2 = 1. 过圆 M 上任意一点 P 作圆 C 的两条切线 P E, P F , 切点分别为 E, F , 求 −P−→E · −P→F 的最小
值.
解析
−P−→E · −P→F = P E · P F · cos ∠EP F = P E2 · cos 2∠EP C
奇制胜, 顺利求解.
策略 1 直接运用数量积的代数形态
数量积的代数形态指的是 a · b = |a| · |b| · cos θ, 通常借
助代数形态进行数量积的相关运算.
例 1 已知 a, b 满足 |a| = 2, a2 + 2a · b + 2b2 = 8, 求
a · b 的取值范围.
解析 设 |b| = x, ⟨a, b⟩ = θ. 由已知有 a2 + 2a · b +
−→ · PF
=
t+
32
− 12.
因此当 t
=
12
时,
−−→ PE
·
−→ PF
有最小值
6.
t
简 评 借 助 数 量 积 的 代 数 形 态 将 −P−→E · −P→F 表 示 成
P E · P F · cos ∠EP F , 借助圆的切线的几何性质求解.
策略 2 运用数量积的几何形态
解析 由 a2 +2a·b+2b2 = 8
P
D
最小,
为
1.
因此,
|P
D|
∈
[1,
3],
−→ PA
·
−−→ PB
∈
[−2,
6].
简评 运用恒等形态将 −P→A · −P−→B 转化成为 P D2 − BD2.
数量积的几何形态是建立在投影的基础上. a · b 表示
策略 4 运用不等式的性质
|a| 乘以 b 在 a 上的投影, 也可以表示 |b| 乘以 a 在 b 上的投
2019 年第 2 期 (上)
中学数学研究
31
例说求数量积的取值范围 (最值) 求解策略*
福建省龙海第一中学 (363100) 苏艺伟
数量积是向量的重要内容, 求数量积的取值范围或最值
问题经常出现在向量试题中. 此类试题不仅有一定的难度且
较为灵活, 无固定的解法, 在实际解题中根据题目条件综合
运用数量积的相关知识, 灵活选取恰当的解题策略, 方能出
|a| 乘以 b 在 a 上的投影. 如图 1 所示, 当点 B 在 E 处时, 投
√
√
影最大, 为 3 − 1; 当点 B 在 F 处时, 投影最小, 为 − 3 − 1.
√
√
所以 a · b ∈ [−2 3 − 2, 2 3 − 2].
简评 上述解法利用数量积的几何形态, 抓住投影这个
关键定义, 首先结合图形求出投影的范围, 从而得到 a · b 的
取值范围.
策略 3 运用数量积的恒等形态
由数量积的恒等形态可以得到数量积的极化公式, 它将
数量积问题转化成为两条线段的平方差问题, 可以有效地处
理数量积的取值范围问题.
例 4 已知 △ABC 是边长为 2 的等边三角形, P 为面
ABC
内一点,
求
−→ PA
·
−−→ (P B
+
−−→ P C)
的最小值.
32
中学数学研究
2019 年第 2 期 (上)
取值范围.
解 析 由 |a − b| = 2 得 a2 − 2a · b + b2 = 4, 即
4|b|2 − 2a · b + |b|2 = 4, 解得 a · b = 5|b|2 − 4 . 记 |b| = t, 则 2
a · b = 5t2 − 4 . 由 ||a| − |b|| |a + b| |a| + |b|, 得 |b|
2b2 = 8. 整理得 cos θ = 2 − x2 . 令 2 − x2 ∈ [−1, 1], 得
x
∈
√ [ 3−1,
√ 3 + 1].
故
a·b
2x = 2−x2
∈
2x√ [−2 3−2,
√ 2 3−2].
简评 借助数量积的代数形态反解出 cos θ, 利用余弦函
数的有界性得到 x 的取值范围, 从而求出 a · b 的取值范围.
2
2 3|b|, 即 2
t
2.
因此
a·b
=
5t2
−4
∈
[
]
8
− ,8 .
3
2
9
简评 首先将 a · b 表示成为 5|b|2 − 4 , 然后借助向量中 2
的三角不等式求出 |b| 的取值范围, 从而得出 a · b 的取值范