第一章实数集与函数说课材料

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第一章实数集与函数§1.1实数教学目标：使学生掌握实数的基本性质.教学重点：（1）了解实数的有序性、稠密性和封闭性；（2）牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式. 教学难点：实数集的概念及其应用.教学方法：讲授.（部分内容自学）教学过程：一、实数及其性质:叹嘗纟（阳为整数且q 主0）或有限小数和无限小数. 负分数,p 无理数:用无限不循环小数表示. R = {x\兀为实数} --全体实数的集合・问题：有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的.为以下讨论的需要, 我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”.为此作如下规定：对于正有限小数x = a n .其中0 <a.t < 9 1 “（）为非负,记兀=绳坷a n _}9999 ；对于正整数x = a^则记兀= （q ）-1）.9999 ；对于负有限小数（包括负整数）y,则先将-），表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号.0=0.0000例：2.001^2.00099993 T 2.9999-2.001 T-2.009999-3 t -2.9999利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示.但新的问题又出现了：在此规定下，如何比较实数的大小？（-）两实数大小的比较1、定义1：给定两个非负实数x = q ）q a n , y = h n .其屮d （）,%为非负整数， %乞伙=1,2,）为整数，05畋59,05如59・若有色"扌= 1,2,,则称兀与）,相等，记为x= y ；若a {） > b {}或存在非负整数/，使得cik=b k ,k = \,2, ，/,而%>$+】，则称尢大于y 或y 小 Tx,分别记为x 〉y 或）YX .对丁•负实数x 、y,若按上述规定分别有-x = -y 或-兀>-厂则有理数（-）实数分另U称为y与兀< y （或y〉x ）・规定：任何非负实数大于任何负实数.3、实数常用性质1）封闭性：实数集R对一四则运算是封闭的.即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数.2）有序性：任意两个实数必满足下列关系之一：a<b,a>b,a = b・3）传递'性：a<b,b >c^>a>c ・4）P可基米德'性：\/a,b w R,b> a N 使得na > b ・5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数.6）实数集R与数轴上的点有着一一对应关系.例2・设\fa,beR，证明：若对任何正数有a<b + s ,则a<b・提示：反证法.利用“有序性”，取e = a-b.二、绝对值与不等式（分析论证的基本工具）.（一）绝对值的定义实数Q的绝对值的定义为\a\=[^[-a a<0（-）几何意义从数轴看，数d的绝对值Idl就是点Q到原点的距离.认识到这一点非常有用，与此相应，lx-6/l表示就是数轴上点兀与Q之间的距离.（三）性质1）|a|=|-«l>O;|a|=O«a = O （非负性）;2）-\a\<a<\a\；3）\ a\< h -h < a < h , \ a |< h <=>-h<a< h.（h > 0）；4）对任何a,bwR ^\a\-\b\^a±b\<\a\ + \b\（三角不等式）;5）\ab\=\a\-\b\；6）纟上（20）.b \b\三.几个重要不等式(1) a2 +b2 >2]^, sinx <1.⑵ 均值不等式：对\/°［卫2,…4丘RS记G(a i) = nla i a2--a n =口a：/=!)口丫、n 1H (aj =—---- ： ----- —=一—=—1 1 1 1 v-' 1 v—1—* ' ' ~,—一（算术平均值）（几何平均值）（调和平均值）有平均值不等式:H(^.)<G(a i等号当且仅当a} = a2 = = a n时成立.（3） Bernoulli不等式：（在中学已用数学归纳法证明过）Vx > -1,有不等式(1 + x)n > 1 + HA;n G N.当兀〉一1 JI 兀H O, A? G N H/2 > 20^,有严格不等式(1 + x)n > 1 + HX 证由1 + 兀>0且1+兀H O, => (1 + 兀)"+斤一1 =(1+兀)"+1 + 1 + — + 1 > > n彳(1 + 兀)"=z? (1 + x). n (1 + x)n > 1 + 斤尤(4)利用二项展开式得到的不等式：对V/z>0,由二项展开式Z1八“1 , n(n -1) , 2斤(斤一1)(〃一2) 7 3 "(1 + h) = 1 --------- + nh + --- h~ + - h+•••+ 〃，2! 3!§1.2数集和确界原理教学目标：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.教学要求：（1）掌握邻域的概念；（2）理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.教学难点：确界的定义及其应用.教学方法：讲授为主.教学过程：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章 § 1. 1实数的相关内容•下而，我们先来检验一下自学的效果如何！1、证有：（l ）|x-I| + |x-2|>l ；（2）|X -1| + |X -2|4-|X -3|>2.2、证明：||x|-|y||^x-y|.明:对任何xwR3、设a,bwR ，证明：若对任何正数£有a + b<s ,则4、设兀〉y,证明：存在有理数厂满足y<r<x.一、区间与邻域（一）区间（用来表示变量的变化范围）设且a vb ・1、a 的6邻域：设。

实数集与函数

第一章实数集与函数§1.1实数授课章节：第一章实数集与函数——§1.1 实数教学目标：使学生掌握实数的基本性质．教学重点：(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；(2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用．教学方法：讲授与讨论相结合教学过程：引言上节课中，我们与大家共同探讨了《分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．问题：为什么从“实数”开始．答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．一、实数及其性质(一) 实数(,qp q p⎧⎧≠⎪⎨⎨⎩⎪⎩正分数,有理数为整数且q 0)或有限小数和无限小数.负分数,无理数:用无限不循环小数表示. {}|R x x =--为实数全体实数的集合．问题: 有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定：对于正有限小数01,n x a a a =其中009,1,2,,,0,i n a i n a a ≤≤=≠为非负整数,记0119999n x a a a -=；对于正整数0,x a =则记0(1).9999x a =-；对于负有限小数（包括负整数）y ，则先将y -表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．0＝0.0000例：2.001 2.0009999→3 2.99992.001 2.0099993 2.9999→-→--→-利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．但新的问题又出现了：在此规定下，如何比较实数的大小？(二) 两实数大小的比较1、定义1：给定两个非负实数01n x a a a =，01n y b b b =. 其中00,a b 为非负整数，,k k a b (1,2,)k =为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤．若有,1,2,k k a b k ==，则称x 与y 相等，记为x y =；若00a b >或存在非负整数l ，使得,1,2,,k k a b k l ==，而11l l a b ++>，则称x 大于y 或y 小于x ，分别记为x y >或y x <．对于负实数x 、y ，若按上述规定分别有x y -=-或x y ->-，则分别称为x y =与x y <（或y x >）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2、数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．定义2（不足近似与过剩近似）：01n x a a a =为非负实数，称有理数01n x a a a =为实数x 的n 位不足近似；110n n nx x =+称为实数x 的n 位过剩近似；对于实数01nx a a a =-，其n 位不足近似01110n nn x a a a =--；n 位过剩近似01n n x a a a =-. 注：实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减，即有012;x x x x ≤≤≤≤ 过剩近似n x 当n 增大时不增，即有01x x x x ≥≥≥≥．命题：记01n x a a a =，01ny b b b =为两个实数，则x y >的等价条件是：存在非负整数n ，使n n x y >（其中n x 为x 的n 位不足近似，n y 为y 的n 位过剩近似）．命题应用————例１例1．设,x y 为实数，x y <，证明存在有理数r ，满足x r y <<．证明：由x y <，知：存在非负整数n ，使得n n x y <．令()12n n r x y =+，则r 为有理数，且 n n x x r y y ≤<<≤．即x r y <<．3、实数常用性质（详见附录Ⅱ．Ｐ２８９－３０２）．1）封闭性：实数集Ｒ对,,,+-⨯÷四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数．2）有序性：任意两个实数,a b 必满足下列关系之一：,,a b a b a b <>=． 3）传递性：,a b b c a c <>⇒>．4）阿基米德性：,,0a b R b a n N ∀∈>>⇒∃∈使得na b >． 5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数． 6）实数集Ｒ与数轴上的点有着一一对应关系．例2．设,a b R ∀∈，证明：若对任何正数ε，有a b ε<+，则a b ≤．提示：反证法．利用“有序性”，取a b ε=-. 二、绝对值与不等式（分析论证的基本工具）．（一）绝对值的定义实数a 的绝对值的定义为,0||0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩．（二）几何意义从数轴看，数a 的绝对值||a 就是点a 到原点的距离．认识到这一点非常有用，与此相应，||x a - 表示就是数轴上点x 与a 之间的距离．（三）性质1）||||0;||00a a a a =-≥=⇔=（非负性）； 2）||||a a a -≤≤；3）||a h h a h <⇔-<<，||.(0)a h h a h h ≤⇔-≤≤>； 4）对任何,a b R ∈有||||||||||a b a b a b -≤±≤+（三角不等式）； 5）||||||ab a b =⋅； 6）||||a ab b =（0b ≠）．三、几个重要不等式(1) ,222ab b a ≥+ .1 sin ≤x . sin x x ≤ (2) 均值不等式: 对,,,,21+∈∀R n a a a 记,1 )(121∑==+++=ni i n i a n n a a a a M (算术平均值),)(1121nni i n n i a a a a a G ⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∏= (几何平均值) .1111111)(1121∑∑====+++=ni in i ini a n a n a a a na H (调和平均值)有平均值不等式:),( )( )(i i i a M a G a H ≤≤ 等号当且仅当n a a a === 21时成立.(3) Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过),1->∀x 有不等式 . ,1)1(N ∈+≥+n nx x n当1->x 且 0≠x , N ∈n 且2≥n 时, 有严格不等式 .1)1(nx x n +>+ 证由 01>+x 且>+++++=-++⇒≠+111)1(1)1( ,01 n n x n x x ).1( )1( x n x n n n +=+> .1)1( nx x n +>+⇒(4) 利用二项展开式得到的不等式: 对,0>∀h 由二项展开式 ,!3)2)(1(!2)1(1)1(32n n h h n n n h n n nh h ++--+-++=+ 有 >+n h )1( 上式右端任何一项.练习 P4．5课堂小结：实数：⎧⎨⎩一实数及其性质二绝对值与不等式.作业: P4．1．(1)，2．(2)、(3)，3§1.2 数集和确界原理授课章节：第一章实数集与函数---§1.2数集和确界原理教学目标：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念. 教学要求：(1) 掌握邻域的概念；(2) 理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）. 教学难点：确界的定义及其应用. 教学方法：讲授为主.教学过程：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课. 引言 (一) 检查:上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章 §1.1实数的相关内容.下面，我们先来检验一下自学的效果如何！1、证明：对任何x R ∈有：(1)|1||2|1x x -+-≥；(2) |1||2||3|2x x x -+-+-≥.2、证明：||||||x y x y -≤-.3、设,a b R ∈，证明：若对任何正数ε有a b ε+<，则a b ≤.4、设,,x y R x y ∈>，证明：存在有理数r 满足y r x <<. (二) 引申:1、由题1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？2、由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；3、课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具（至此，复习告一段落）. (三) 本节主要内容：1、先定义实数集R 中的两类主要的数集——区间邻域；2、讨论有界集与无界集；3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）. 一、区间与邻域(一) 区间（用来表示变量的变化范围）设,a b R ∈且a b <.⎧⎨⎩有限区间区间无限区间，其中 {}{}{}{}|(,).|[,].|[,)|(,]x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b ⎧⎪∈<<=⎪⎪∈≤≤=⎨⎪∈≤<=⎧⎪⎪⎨⎪∈<≤=⎪⎩⎩开区间: 有限区间闭区间: 闭开区间:半开半闭区间开闭区间:{}{}{}{}{}|[,).|(,].|(,).|(,).|.x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ⎧∈≥=+∞⎪∈≤=-∞⎪⎪∈>=+∞⎨⎪∈<=-∞⎪⎪∈-∞<<+∞=⎩无限区间(二) 邻域联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.（看左图）.与a 邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？1、a 的δ邻域：设,0a R δ∈>，满足不等式||x a δ-<的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻域，记作(;)U a δ，或简记为()U a ，即{}(;)||(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+.2、点a 的空心δ邻域{}(;)0||(,)(,)()o o U a x x a a a a a U a δδδδ=<-<=-⋃+.3、a 的δ右邻域和点a 的空心δ右邻域{}{}0(;)[,)();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ++++=+=≤<+=+=<<+4、点a 的δ左邻域和点a 的空心δ左邻域{}{}00(;)(,]();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ+---=-=-<≤=-=-<<5、∞邻域，+∞邻域，-∞邻域{}()||,U x x M ∞=> （其中M 为充分大的正数）； {}(),U x x M +∞=> {}()U x x M -∞=<-二、有界集与无界集什么是“界”？定义1（上、下界）：设S 为R 中的一个数集.若存在数()M L ，使得一切x S ∈都有()x M x L ≤≥，则称S 为有上（下）界的数集.数()M L 称为S 的上界（下界）；若数集S 既有上界，又有下界，则称S 为有界集.闭区间、b a b a ,( ),(为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 {}) , ( ,sin ∞+∞-∈==x x y y E 也是有界数集. 若数集S 不是有界集，则称S 为无界集.) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , (∞+∞-∞+∞-等都是无界数集,集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==) 1 , 0 ( ,1 x x y y E 也是无界数集.注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）界与S 的关系如何？看下例：例1 讨论数集{}|N n n +=为正整数的有界性.分析：有界或无界←上界、下界？下界显然有，如取1L =；上界似乎无，但需要证明. 解：任取0n N +∈，显然有01n ≥，所以N +有下界1；但N +无上界.证明如下：假设N +有上界M,则M>0，按定义，对任意0n N +∈，都有0n M ≤，这是不可能的，如取0[]1,n M =+则0n N +∈，且0n M >.综上所述知：N +是有下界无上界的数集，因而是无界集.例2 证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.问题：若数集S 有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一，有无穷多个). 三、确界与确界原理1、定义定义2（上确界）设S 是R 中的一个数集，若数η满足：(1) 对一切,x S ∈有x η≤（即η是S 的上界）; (2) 对任何αη<，存在0x S ∈，使得0x α>（即η是S 的上界中最小的一个），则称数η为数集S 的上确界，记作sup .S η=命题1 sup M E = 充要条件1） M 是E 上界，2） E x ∈'∃>∀,0ε使得ε->'M x .证明必要性，用反证法.设2）不成立，则,00>∃ε使得E x ∈∀，均有0ε-≤M x ，与M 是上确界矛盾.充分性，用反证法.设M 不是E 的上确界，即M '∃是上界，但M M '>.令0>'-=M M ε，由2），E x ∈'∃，使得M M x '=->'ε，与M '是E 的上界矛盾.定义3（下确界）设S 是R 中的一个数集，若数ξ满足：（1）对一切,x S ∈有x ξ≥（即ξ是S 的下界）；（2）对任何βξ>，存在0x S ∈，使得0x β<（即ξ是S 的下界中最大的一个），则称数ξ为数集S 的下确界，记作inf S ξ=.命题2 inf S ξ=的充要条件： 1）ξ是S 下界；2）ε∀＞0，00,x S x ∈有＜.ξε+ 上确界与下确界统称为确界.例3（1） ,) 1(1⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+=n S n 则._______inf ______,sup ==S S （2） {}.),0( ,sin π∈==x x y y E 则sup ______, inf ______.E E ==注：非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.命题3 设数集A 有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的. 证明设sup A η=，sup A η'=且ηη'≠，则不妨设ηη'<A sup =η⇒A x ∈∀有η≤xsup A η'=⇒对ηη'<，0x A ∃∈使0x η<，矛盾.例 sup 0R -= ，sup 11n Z n n +∈⎛⎫= ⎪+⎝⎭ ，1inf 12n Z n n +∈⎛⎫= ⎪+⎝⎭ {}5,0,3,9,11E =-则有inf 5E =-.开区间(),a b 与闭区间[],a b 有相同的上确界b 与下确界a .例4 设S 和A 是非空数集，且有.A S ⊃ 则有 .inf inf ,sup sup A S A S ≤≥. 例5 设A 和B 是非空数集. 若对A x ∈∀和,B y ∈∀都有,y x ≤ 则有.inf sup B A ≤证明 ,B y ∈∀ y 是A 的上界, .sup y A ≤⇒ A sup ⇒是B 的下界,.inf sup B A ≤⇒例6 A 和B 为非空数集, .B A S = 试证明: {}. inf , inf min inf B A S = 证明 ,S x ∈∀有A x ∈或,B x ∈ 由A inf 和B inf 分别是A 和B 的下界,有A x inf ≥或{}. inf , inf min .infB A x B x ≥⇒≥即{} inf , inf min B A 是数集S 的下界,{}. inf , inf min inf B A S ≥⇒ 又S A S ,⇒⊃的下界就是A 的下界,S inf 是S 的下界, S inf ⇒是A 的下界, ;inf inf A S ≤⇒ 同理有.inf inf B S ≤ 于是有{} inf , inf min inf B A S ≤. 综上, 有 {} inf , inf min inf B A S =.1、集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例3⑵为例做解释.2、确界与最值的关系: 设 E 为数集.（1）E 的最值必属于E , 但确界未必, 确界是一种临界点.（2）非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值. （3）若E max 存在, 必有 .sup max E E = 对下确界有类似的结论.3、确界原理:定理1(确界原理) 一个非空的，有上（下）界的集合，必有上（下）确界.这里我们给一个可以接受的说明.⊆E R ，E 非空，E x ∈∃，我们可以找到一个整数p ，使得p 不是E 上界，而1+p 是E 的上界.然后我们遍查9.,,2.,1.p p p 和1+p ，我们可以找到一个0q ，900≤≤q ，使得0.q p 不是E 上界，)1.(0+q p 是E 上界，如果再找第二位小数1q ，, 如此下去，最后得到 210.q q q p ，它是一个实数，即为E 的上确界.证明（书上对上确界的情况给出证明，下面讲对下确界的证明）不妨设S 中的元素都为非负数，则存在非负整数n ，使得 1）S x ∈∀，有n x >； 2）存在S x ∈1，有1+≤n x ；把区间]1,(+n n １０等分，分点为n.1，ｎ.2，．．．,ｎ.9, 存在1n ，使得1）S ∈∀，有；1.n n x >；2）存在S x ∈2，使得10112.+≤n n x ．再对开区间].,.(10111+n n n n １０等分，同理存在2n ，使得1）对任何S x ∈，有21.n n n x >；2）存在2x ，使2101212.+≤n n n x 继续重复此步骤，知对任何 ,2,1=k ，存在k n 使得1）对任何S x ∈，k k n n n n x 10121.-> ；2）存在S x k ∈，k k n n n n x 21.≤．因此得到 k n n n n 21.=η．以下证明 S inf =η．1) 对任意S x ∈，η>x ；2) 对任何ηα>，存在S x ∈'使x '>α．作业： P9 1（1），（2）； 2； 4（2）、（4）；７§1.3 函数概念授课章节：第一章 §1.3 函数概念教学目标：使学生深刻理解函数概念.教学要求：（１）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；（２）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象.会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系.教学重点：函数的概念.教学难点：初等函数复合关系的分析.教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学. 教学过程：引言关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解.为便于今后的学习，本节将对此作进一步讨论.一、函数的定义 (一) 定义定义１设,D M R ⊂，如果存在对应法则f ，使对x D ∀∈，存在唯一的一个数y M ∈与之对应，则称f 是定义在数集Ｄ上的函数，记作:f D M →(|x y →).函数f 在点x 的函数值，记为()f x ，全体函数值的集合称为函数f 的值域，记作()f D .即{}()|(),f D y y f x x D ==∈. (二) 几点说明(1) 函数定义的记号中“:f D M →”表示按法则f 建立Ｄ到Ｍ的函数关系，|x y →表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作|()x f x →.习惯上称x 自变量，y 为因变量.(2) 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域.当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来.因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法则.所以函数也常表示为：(),y f x x D =∈. 由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则.例如：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同）2）()||,,x x x R ϕ=∈ 2(),.x x x R ψ=∈（相同，对应法则的表达形式不同）.(3) 函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）.此时，函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对应法则f 来表示一个函数.即“函数()y f x =”或“函数f ”.(4) “映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的象.a 称为()f a 的原象.(5) 函数定义中，x D ∀∈，只能有唯一的一个y 值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，若对同一个x 值，可以对应多于一个y 值，则称这种函数为多值函数.本书中只讨论单值函数（简称函数）.(6) 定义１中的定义是Cauchy 于1834年给出.不是完美的、现代意义上的函数定义.事实上，函数定义的产生也经历了一个从无到有，从具体到抽象.从特殊到一般，从不完美到逐步完美的过程.这个进程中充满了斗争.历史上，原始的“函数观念”伴随着数学的出现而产生，经过近两个世纪，明确提出“函数”一词，并将其作为数学概念研究, 则在17世纪以后，现代函数定义是在1921年，则库拉托夫斯基给出.定义如下：设f 是一个序偶集合，若当(,)x y f ∈时，y z =，则f 称为一个函数.（朱家麟《浅谈函数概念的历史演讲》，《河北师范大学学报》，1990年第４期）二、函数的表示方法 (一) 主要方法：解析法（分式法）、列表法和图象法. (二) 可用“特殊方法”来表示的函数1、分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示.例如 1,0s g n 0,01,0xx x x>⎧⎪==⎨⎪-<⎩，（符号函数）（借助于Sgnx 可表示()||,f x x =即()||sgn f x x x x ==）. 2、用语言叙述的函数.（注意；以下函数不是分段函数）例 (1) []y x =（取整函数）比如： [3.5]=3, [3]=3, [-3.5]=-4. 常有 1][][+<≤x x x , 及1][0<-≤x x .与此有关一个的函数][)(x x x f -=的图形是一条大锯，画出图看一看.(2) 1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩当为有理数,当为无理数,（Dirichlet ）这是一个病态函数，很有用处，却无法画出它的图形. 它是周期函数，但却没有最小周期，事实上任一有理数都是它的周期.(3) 1,(,,()0,0,1(0,1)p p x p q N q q qR x x ⎧=∈+⎪=⎨⎪=⎩当为假分数),当和内的无理数.（Riemman 函数）三、函数的四则运算给定两个函数12,,,f x D g x D ∈∈，记12D D D =⋃，并设D φ≠，定义f 与g 在Ｄ上的和、差、积运算如下：()()(),F x f x g x x D =+∈；()()(),G x f x g x x D =-∈；()()(),H x f x g x x D =∈.若在D 中除去使()0g x =的值，即令{}2\()0,D D x g x x D φ=≠∈≠，可在D 上定义f 与g 的商运算如下；()(),()f x L x x Dg x =∈. 注：1) 若12D D D φ=⋃=，则f 与g 不能进行四则运算.2)为叙述方便，函数f 与g 的和、差、积、商常分别写为：,,,f fg f g fg g+-. 四、复合运算 (一) 引言在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关系.例：质量为m 的物体自由下落，速度为v ，则功率Ｅ为2221122E mv E mg t v gt ⎫=⎪⇒=⎬⎪=⎭.抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数21(),2f v mv v gt ==，把()v t 代入f ，即得 221(())2f v t mg t =. 这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数”.问题: 任给两个函数都可以复合吗？考虑下例；2()arcsin ,[1,1],()2,y f u u u D u g x x x E R ==∈=-==+∈=.就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数”的定义域的交集不空（从而引出下面定义）.(二) 定义（复合函数）设有两个函数(),,(),y f u u D u g x x E =∈=∈，记{}()E x f x D E =∈⋂，若E φ≠，则对每一个x E ∈，通过g 对应Ｄ内唯一一个值u ，而u 又通过f 对应唯一一个值y ，这就确定了一个定义在E 上的函数，它以x 为自变量，y 因变量，记作(()),y f g x x E =∈或()(),y f g x x E =∈.简记为f g .称为函数f 和g 的复合函数，并称f 为外函数，g 为内函数，u 为中间变量. (三) 例子例1 .1)( ,)(2x x g u u u f y -==== 求 ()[]).()(x g f x g f = 并求定义域.例2 (1) 2(1)1, ()___________.f x x x f x -=++= (2).1122x x x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 则) ( )(=x fA. ,2xB. ,12+xC. ,22-xD. .22+x例讨论函数(),[0,)y f u u u ==∈+∞与函数2()1,u g x x x R ==-∈能否进行复合，求复合函数. (四) 说明1、复合函数可由多个函数相继复合而成.每次复合，都要验证能否进行？在哪个数集上进行？复合函数的最终定义域是什么？例如：2sin ,,1y u u v v x ===-，复合成：2sin 1,[1,1]y x x =-∈-.2、不仅要会复合，更要会分解.把一个函数分解成若干个简单函数，在分解时也要注意定义域的变化.① 22log 1,(0,1)log ,,1.a a y x x y u u z z x =-∈→===- ② 22arcsin 1arcsin , 1.y x y u u x =+→==+ ③ 2sin 222,,sin .x u y y u v v x =→=== 五、反函数(一) 引言在函数()y f x =中把x 叫做自变量，y 叫做因变量.但需要指出的是，自变量与因变量的地位并不是绝对的，而是相对的，例如：2(),1,f u u u t ==+ 那么u 对于f 来讲是自变量，但对t 来讲，u 是因变量.习惯上说函数()y f x =中x 是自变量，y 是因变量，是基于y 随x 的变化现时变化.但有时我们不公要研究y 随x 的变化状况，也要研究x 随y 的变化的状况.对此，我们引入反函数的概念. (二) 反函数概念定义设→X f :R 是一函数，如果∀1x ，X x ∈2, 由)()(2121x f x f x x ≠⇒≠ (或由2121)()(x x x f x f =⇒=)，则称f 在X 上是 1-1 的. 若Y X f →:，)(X f Y =，称f 为满的.若 Y X f →:是满的 1-1 的，则称f 为1-1对应.→X f :R 是1-1 的意味着)(x f y =对固定y 至多有一个解x ，Y X f →:是1-1 的意味着对Y y ∈，)(x f y =有且仅有一个解x .定义设Y X f →:是1-1对应.Y y ∈∀, 由)(x f y =唯一确定一个X x ∈, 由这种对应法则所确定的函数称为)(x f y =的反函数，记为)(1y f x -=.反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域 Y X f →:X Y f →-:1显然有X X I f f →=-:1(恒等变换）Y Y I f f→=-:1(恒等变换)Y X f f →=--:)(11.从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，习惯上我把反函数记为 )(1x f y -=,们还是这样它的图形与 )(x f y =的图形是关于对角线x y =对称的.y=f(x)严格单调函数是1-1对应的，所以严格单调函数有反函数.但 1-1 对应的函数（有反函数）不一定是严格单调的，看下面例子⎩⎨⎧≤≤-<≤=21,310,)(x x x x x f它的反函数即为它自己.实际求反函数问题可分为二步进行：1、确定 Y X f →:的定义域X 和值域Y ，考虑 1-1对应条件.固定 Y y ∈，解方程 y x f =)( 得出 )(1y f x -=. 2、按习惯，自变量x 、因变量y 互换，得 )(1x f y -=.例求2)(xx e e x sh y --== ：R → R 的反函数.解固定y ，为解 2x x e e y --=，令 z e x =，方程变为122-=z zy 0122=--zy zy=f(x)y=f -1 (x)0xy12+±=y y z ( 舍去12+-y y ) 得)1ln(2++=y y x ，即)()1ln(12x sh x x y -=++=，称为反双曲正弦. 定理给定函数)(x f y =，其定义域和值域分别记为X 和Y ，若在Y 上存在函数)(y g ，使得 x x f g =))((, 则有)()(1y f y g -=.分析：要证两层结论：一是)(x f y =的反函数存在，我们只要证它是 1-1 对应就行了；二是要证)()(1y f y g -=.证要证)(x f y =的反函数存在，只要证)(x f 是X 到Y 的 1-1 对应.∀1x ，X x ∈2，若)()(21x f x f =，则由定理条件，我们有11))((x x f g = ,22))((x x f g =21x x =⇒，即 Y X f →: 是 1-1 对应.再证 )()(1y f y g -=.∀Y y ∈，∃X x ∈，使得)(x f y =.由反函数定义)(1y f x -=，再由定理条件x x f g y g ==))(()()()(1y f y g -=⇒.例 :f R → R ，若))((x f f 存在唯一（|∃）不动点，则)(x f 也|∃不动点.证存在性: 设)]([* * x f f x =，)]([)(* *x f f f x f=，即 )(*x f 是f f的不动点，由唯一性* * )(x x f =，即存在)(x f 的不动点* x .唯一性：设)(x f x =，))(()(x f f x f x ==，说明 x 是f f的不动点，由唯一性，x =* x .从映射的观点看函数.设函数(),y f x x D =∈.满足：对于值域()f D 中的每一个值y ，Ｄ中有且只有一个值x ，使得()f x y =，则按此对应法则得到一个定义在()f D 上的函数，称这个函数为f 的反函数，记作1:(),(|)f f D D y x -→→或1(),()x f y y f D -=∈.3、注释(1) 并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数f 有反函数，意味着f 是Ｄ与()f D 之间的一个一一映射，称1f -为映射f 的逆映射，它把()f D D →；(2) 函数f 与1f -互为反函数，并有:1(()),,f f x x x D -≡∈ 1(()),().f f x y y f D -≡∈(3) 在反函数的表示1(),()x f y y f D -=∈中，是以y 为自变量，x 为因变量.若按习惯做法用x 做为自变量的记号，y 作为因变量的记号，则函数f 的反函数1f -可以改写为1(),()y f x x f D -=∈.应该注意，尽管这样做了，但它们的表示同一个函数，因为其定义域和对应法则相同，仅是所用变量的记号不同而已.但它们的图形在同一坐标系中画出时有所差别. 六、初等函数（一）基本初等函数（６类）常量函数 y C =（Ｃ为常数）；幂函数 ()y x R αα=∈；指数函数(0,1)x y a a a =>≠；对数函数 l o g (0,a y x a a =>≠；三角函数 s i n,c o s ,,y x y x y t g x y t g x====；反三角函数 a r c s i n ,a r c c o s ,y x y x y a r c t g x ya r c c t g x====. 注：幂函数()y x R αα=∈和指数函数(0,1)x y a a a =>≠都涉及乘幂，而在中学数学课程中只给了有理指数乘幂的定义.下面我们借助于确界来定义无理指数幂，便它与有理指数幂一起构成实指数乘幂，并保持有理批数幂的基本性质. 定义2 给定实数0,1a a >≠，设x 为无理数，我们规定：{}{}sup |,1|,01r x r xra r a a a r a <⎧>⎪=⎨<<⎪⎩r<x为有理数当时,inf 为有理数当时. 这样解决了中学数学仅对有理数ｘ定义xa 的缺陷．问题这样的定义有意义否？更明确一点相应的“确界是否存在呢？” (二) 初等函数定义3 由基本初等函数经过在有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数.如：sin 22112sin cos ,sin(),l g ,||.x a e y x x y y o x y x x x -=+==+= 不是初等函数的函数，称为非初等函数.如Dirichlet 函数、Riemann 函数、取整函数等都是非初等函数.注：初等函数是本课程研究的主要对象.为此，除对基本初等函数的图象与性质应熟练掌握外，还应常握确定初等函数的定义域.确定定义域时应注意两点. 例２．求下列函数的定义域. （１） 1xy x =-；（２） ln |sin |.y x = (三) 初等函数的几个特例设函数)(x f 和)(x g 都是初等函数, 则 ⑴ )( x f 是初等函数, 因为 ().)( )( 2x f x f =⑵ {})( , )(max )(x g x f x =Φ 和 {})( , )(min )(x g x f x =φ都是初等函数,因为 {})( , )(max )(x g x f x =Φ[])()()()(21x g x f x g x f -++=, {})( , )(min )(x g x f x =φ [])()()()(21x g x f x g x f --+= .⑶ 幂指函数 ()()0)( )()(>x f x f x g 是初等函数,因为()(). )()(ln )()(ln )()(x f x g x f x g e e x f x g ==作业 P 15 ３；４:（２）、（３）；５:（２）；７:（３）；１１§1.4 具有某些特性的函数授课章节：第一章实数集与函数——§1.4具有某些特性的函数教学目标：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语;深刻理解有界函数、单调函数的定义;理解奇偶函数、周期函数的定义；会求一些简单周期函数的周期.教学重点：函数的有界性、单调性.教学难点：周期函数周期的计算、验证.教学方法：有界函数讲授，其余的列出自学题纲，供学生自学完成.教学过程：引言在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，如有界函数、单调函数、奇偶函数与周期函数.其中，有些概念在中学里已经叙述过，因此，这里只是简单地提一下.与“有界集”的定义类似，先谈谈有上界函数和有下界函数.一、有界函数(一) 有上界函数、有下界函数的定义定义 1 设f为定义在D上的函数，若存在数()∈有M L，使得对每一个x DM L称为f在D上的一个上（下）≤≥，则称f为D上的有上（下）界函数，()f x M f x L()(())界.注：（1）f 在D 上有上（下）界，意味着值域()f D 是一个有上（下）界的数集；（2）又若()M L 为f 在D 上的一个上（下）界，则任何大于Ｍ（小于Ｌ）的数也是f 在D 上的上（下）界.所以，函数的上（下）界若存在，则不是唯一的，例如：sin y x =，1是其一个上界，下界为－1，则易见任何小于－1的数都可作为其下界；任何大于1的数都可作为其上界；（3）任给一个函数，不一定有上（下）界；（4）由（1）及“有界集”定义，可类比给出“有界函数”定义：f 在D 上有界⇔()f D 是一个有界集⇔f 在D 上既有上界又有下界⇔f 在D 上的有上界函数，也为D 上的有下界函数.(二) 有界函数定义定义2 设f 为定义在D 上的函数.若存在正数Ｍ，使得对每一个x D ∈有|()|f x M ≤，则称f 为D 上的有界函数.注：(1)几何意义：f 为D 上的有界函数，则f 的图象完全落在y M =和y M =-之间；(2)f 在D 上有界⇔f 在D 上既有上界又有下界；例子：sin ,cos y x y x ==；（3）关于函数f 在D 上无上界、无下界或无界的定义.(三) 例题例1 证明→X f :R 有界的充要条件为：∃M ,m ，使得对 X x ∈∀, M x f m ≤≤)(. 证明如果 →X f : R 有界，按定义∃M >0，X x ∈∀有 M x f ≤)(，即M x f M ≤≤-)(, 取M m -=, M M =即可.反之如果∃M ,m 使得 X x ∈∀, M x f m ≤≤)(，令|)|,1|max(|0m M M +=，则0|)(|M x f ≤，即 ∃ 00>M ，使得对X x ∈∀, 有0|)(|M x f ≤，即→X f :R 有界.例2 证明 1()f x x=为(0,1]上的无上界函数. 例3 设,f g 为D 上的有界函数.证明：（1）{}inf ()inf ()inf ()()x D x D x D f x g x f x g x ∈∈∈+≤+；（2）{}sup ()()sup ()sup ()x D x D x Df xg x f x g x ∈∈∈+≤+.例4 验证函数 325)(2+=x x x f 在R 内有界. 解法一由,62322)3()2(32222x x x x =⋅≥+=+ 当0≠x 时,有.3625625325325 )( 22≤=≤+=+=x x x x x x x f30 )0( ≤=f ,∴ 对 ,R ∈∀x 总有 ,3 )( ≤x f 即)(x f 在R 内有界.解法二令 ,3252⇒+=x x y 关于x 的二次方程 03522=+-y x yx 有实数根. 22245 y -=∆∴.2 ,42425 ,02≤⇒≤≤⇒≥y y 解法三令 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈=2,2 ,23ππt tgt x 对应). , (∞+∞-∈x 于是==+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=t t t t tg tgt tgt tgt x x x f 2222sec 1cos sin 65123353232235325)( .6252sin 625)( ,2sin 625≤=⇒=t x f t二、单调函数定义3 设f 为定义在D 上的函数，1212,,,x x D x x ∀∈< （1）若12()()f x f x ≤，则称f 为D 上的增函数；若12()()f x f x <，则称f 为D 上的严格增函数.（2）若12()()f x f x ≥，则称f 为D 上的减函数；若12()()f x f x >，则称f 为D 上的严格减函数.例5 证明：3y x =在(,)-∞+∞上是严格增函数.证明设21x x < ，))((222121213231x x x x x x x x ++-=- 如021<x x ，则3231120x x x x <⇒>>如120x x > ，则223311221200x x x x x x ++>⇒-< 故03231<-x x 即得证. 例6 讨论函数[]y x =在Ｒ上的单调性.注：(1) 单调性与所讨论的区间有关.在定义域的某些部分，f 可能单调，也可能不单调.所以要会求出给定函数的单调区间；(2) 严格单调函数的几何意义：其图象无自交点或无平行于x 轴的部分.更准确地讲：严格单调函数的图象与任一平行于x 轴的直线至多有一个交点.这一特征保证了它必有反函数.总结得下面的结论：定理1 设(),y f x x D =∈为严格增（减）函数，则f 必有反函数1f -，且1f -在其定义域()f D 上也是严格增（减）函数.例7 讨论函数2y x =在(,)-∞+∞上反函数的存在性；如果2y x =在(,)-∞+∞上不存在反函数，在(,)-∞+∞的子区间上存在反函数否？结论函数的反函数与讨论的自变量的变化范围有关.例8 证明：x y a =当1a >时在Ｒ上严格增，当01a <<时在Ｒ上严格递减.三、奇函数和偶函数定义4 设D 为对称于原点的数集，f 为定义在D 上的函数.若对每一个x D ∈有（1）()()f x f x -=-，则称f 为D 上的奇函数；（2）()()f x f x -=，则称f 为D 上的偶函数.注：（1）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中心对称），偶函数的图象关于y 轴对称；（2）奇偶性的前提是定义域对称，因此(),[0,1]f x x x =∈没有必要讨论奇偶性.（3）从奇偶性角度对函数分类：⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪≡⎩奇函数:y=sinx;偶函数:y=sgnx;非奇非偶函数:y=sinx+cosx;既奇又偶函数:y 0.（4）由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时，只须讨论原点的左边或右边即可.四、周期函数(一) 定义设f 为定义在数集D 上的函数，若存在0σ>，使得对一切x D ∈有()()f x f x σ±=，则称f 为周期函数，σ称为f 的一个周期.(二) 几点说明（1）若σ是f 的周期，则()n n N σ+∈也是f 的周期，所以周期若存在，则不唯一.如sin ,2,4,y x σππ==.因此有如下“基本周期”的说法，即若在周期函数f 的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为f 的“基本周期”，简称“周期”.如sin y x =，周期为2π；（2）任给一个函数不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期，如：1）1y x =+，不是周期函数；2）y C =（Ｃ为常数），任何正数都是它的周期.。

第一章实数集与函数

序言
数学分析的主要内容: 微积分研究的对象: 函数(连续量) 什么是连续量?
初等数学: 主要是离散量的运算体系 (加, 减, 乘, 除) 两种体系的区别：初等数学主要是恒等变形技巧; 而数学分析则是用不
等式来刻划等式(用极限的概念) 学习方法的不同：初、高中：从填鸭式－> 启发式，以教师为主，强烈地依赖于教师。大学：从启发式－> 个人自发，以学生本身为主，教师引导。学习目的：掌握微积分，极限，实数连续统的概念和方法，更主要的是，
培养自己的积极思考问题、分析问题和解决问题的能力。
一、内容简介
主要讲述实数系的连续性（戴德金意义下）、确界定义和确界存在定理。由于本章是建立数学分析理论的基础，对于习惯于中学数学思维方式的大学新生来讲，会感到很抽象，学习的难度相对会大一些．
二、学习要求
（1）了解数系的演变；（2）正确理解上、下确界的概念；（3）掌握实数连续性描述：确界存在定理三、学习的重点和难点
使得 na > b.
５实数的稠密性，即任何两实数之间必有另一实数，且既有有理数，也有无理数.
６实数与数轴上点一一对应.
例3 设 a,b R ，证明：若对任何正数，
有 a < b ，则 a b
注： a,b R 为常数，不能为变数
四、绝对值与不等式
实数 a 的绝对值定义、几何意义. 性质
而当 x a0 为正整数时，则记 x (a0 1).999 9 ,
例如 2.001 记为 2.000 999…；对于负有限小(包括负数) y，则先将 -y 表示为无限小数，再在所得无限小数之前加负号.
例如 -8 记为 -7.999 9…；又规定数 0 表示为 0.0000…. 于是，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示.

第一章实数集与函数.doc

第一章实数集与函数（10学时）§１．实数教学目的：使学生掌握实数的基本性质．教学重点：（１）理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；（２）牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用．学时安排: 2学时教学方法：讲授．（部分内容自学）教学程序：引言上节课中，我们与大家共同探讨了《分析》这门旅程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．[问题] 为什么从“实数”开始．答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．一实数及其性质１、实数(,q p q p ⎧⎧≠⎪⎨⎨⎩⎪⎩正分数,有理数为整数且q 0)或有限小数和无限小数.负分数,无理数:用无限不循环小数表示. {}|R x x =--为实数全体实数的集合．[问题] 有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定：；对于正整数0,x a =1).9999；对于负有限小数（包括负整数），则先将y -表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．０＝0.0000例：2.001 2.0009999→3 2.99992.001 2.0099993 2.9999→-→--→-利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．但新的问题又出现了：在此规定下，如何比较实数的大小？２．两实数大小的比较1）定义１给定两个非负实数01n x a a a =，01n y b b b =. 其中00,a b 为非负整数，,k k a b (1,2,)k =为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤．若有,1,2,k k a b k ==，则称x 与y 相等，记为x y =；若00a b >或存在非负整数l ，使得,1,2,,k k a b k l ==，而11l l a b ++>，则称x 大于y 或y 小于x ，分别记为x y >或y x <．对于负实数x 、y ，若按上述规定分别有x y -=-或x y ->-，则分别称为x y =与x y <（或y x >）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2）实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．定义２（不足近似与过剩近似）：01n x a a a =为非负实数，称有理数01n x a a a =为实数x 的n 位不足近似；110n n n x x =+称为实数x 的n 位过剩近似；对于实数01nx a a a =-，其n 位不足近似01110n n n x a a a =--；n 位过剩近似01n n x a a a =-. 注：实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减，即有012;x x x x ≤≤≤≤ 过剩近似n x 当n 增大时不增，即有01x x x x ≥≥≥≥．命题：记01n x a a a =，01n y b b b =为两个实数，则x y >的等价条件是：存在非负整数n ，使n n x y >（其中n x 为x 的n 位不足近似，n y 为y 的n 位过剩近似）．命题应用————例１例１．设,x y 为实数，x y <，证明存在有理数r ，满足x r y <<．证．由x y <，知：存在非负整数n ，使得n n x y <．令()12n n r x y =+，则r 为有理数，且 n n x x r y y ≤<<≤．即x r y <<．３．实数常用性质（详见附录Ⅱ．Ｐ２８９－３０２）．● 封闭性（实数集Ｒ对,,,+-⨯÷）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为０）仍是实数．● 有序性：任意两个实数,a b 必满足下列关系之一：,,a b a b a b <>=．● 传递性；,a b b c a c <>⇒>．● 阿基米德性：,,0a b R b a n N ∀∈>>⇒∃∈使得na b >．● 稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．● 实数集Ｒ与数轴上的点有着一一对应关系．例２．设,a b R ∀∈，证明：若对任何正数ε，有a b ε<+，则a b ≤．（提示：反证法．利用“有序性”，取a b ε=-）二、绝对值与不等式（分析论证的基本工具）．１．绝对值的定义实数a 的绝对值的定义为,0||0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩．２．几何意义：从数轴看，数a 的绝对值||a 就是点a 到原点的距离．认识到这一点非常有用，与此相应，||x a - 表示就是数轴上点x 与a 之间的距离．３．性质．１）||||0;||00a a a a =-≥=⇔=（非负性）；２）||||a a a -≤≤；３）||a h h a h <⇔-<<，||.(0)a h h a h h ≤⇔-≤≤>；４）对任何,a b R ∈有||||||||||a b a b a b -≤±≤+（三角不等式）；５）||||||ab a b =⋅；６）||||a a b b =（0b ≠）．［练习］Ｐ４．５［课堂小结］：实数：⎧⎨⎩一实数及其性质二绝对值与不等式.§２数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。

实数说课稿人教版

实数说课稿人教版一、说课背景与目标本次说课的内容是人教版高中数学必修一中的“实数”一章。

本章节是高中数学的基础内容，对于学生理解后续的代数、几何乃至微积分等课程都有着至关重要的作用。

通过本章的学习，学生将掌握实数的基本概念、性质以及运算规则，为深入学习高中数学打下坚实的基础。

二、教学目标1. 知识与技能目标：使学生理解实数的基本概念，掌握实数的性质和运算规则，能够熟练地进行实数的加减乘除运算。

2. 过程与方法目标：培养学生通过观察、归纳、推理等方法发现数学规律的能力，提高学生的逻辑思维和抽象思维能力。

3. 情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、严谨求实的学习态度。

三、教学重点与难点1. 教学重点：实数的定义、性质和基本运算规则。

2. 教学难点：有理数与无理数的概念理解，以及实数的完备性理解。

四、教学方法与手段1. 教学方法：采用启发式教学法和探究式学习法，引导学生通过观察、比较、归纳来发现数学规律。

2. 教学手段：运用多媒体教学工具，如PPT演示、实物展示等，帮助学生形象理解实数的概念和性质。

五、教学过程1. 导入新课通过回顾初中数学中所学的有理数概念，提出问题：“有理数是否能够覆盖所有的实数？”引导学生思考，并引入实数的概念。

2. 讲解实数的定义详细介绍实数的定义，包括有理数和无理数，并举例说明。

强调实数的完备性，即任何实数都可以表示为一个无限不循环小数。

3. 实数的性质讲解实数的基本性质，如有序性、稠密性等，并结合实例进行说明。

4. 实数的运算通过例题演示实数的加法、减法、乘法和除法运算规则，并让学生进行练习，以巩固所学知识。

5. 探究活动设计小组探究活动，让学生通过实际操作和讨论，深入理解实数的性质和运算规则。

6. 课堂小结总结本节课的主要内容，强调实数在数学中的重要性，并对学生提出的问题进行解答。

六、板书设计1. 实数的定义- 有理数：整数和分数的统称- 无理数：不能表示为分数的实数，如√2、π2. 实数的性质- 有序性：实数可以比较大小- 稠密性：任意两个实数之间，都存在另一个实数3. 实数的运算- 加法：a + b = b + a- 减法：a - b = a + (-b)- 乘法：a × b = b × a- 除法：a ÷ b = a × (1/b)七、作业布置布置适量的实数运算练习题，要求学生在课后完成，并准备下一节课的讲解和讨论。

函数的表示法说课稿终

各位专家评委，您们好！我是北京十二中数学教师高宇．今天我说课的课题是《函数的表示法》，选自人民教育出版社普通高中课程标准教科书必修1（ A版）第一章《集合与函数的概念》，本节是函数的表示法第一课时的内容．下面我将从以下四个方面说明我的教学设计：一、教学背景的分析1．教材分析函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．为了帮助学生理解函数概念的本质，教材从函数的三要素、函数的表示法等角度对函数概念进行细化，之后将其推广到了映射，并在后续对基本初等函数的学习中，逐步加深理解．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，所以它不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的内容，也是加深理解函数概念的过程．在研究函数的过程中，采用不同的方法表示函数，可以从不同的角度帮助我们理解函数的性质，是研究函数的重要手段．初中教材介绍了函数的三种表示法，高中阶段对函数表示法的学习则需要在此基础上让学生了解三种表示法各自的特点，并会根据实际情境的需要选择恰当的方法表示函数．同时，基于高中阶段所接触的许多函数均可用几种不同的方式表示，因而使得学习函数的表示也是渗透数形结合方法的重要过程．2．学情分析我所教的是示范校普通班高一学生．学生在初中阶段已经了解了函数的三种表示方法，在实际生活中积累了一定的关于函数关系的实例，会用解析式或图象表示一次函数、二次函数等简单的基本初等函数．但对函数的三种表示法的特点及应用缺少全面的认识．3．教学重点与难点教学重点：根据不同需要选择恰当的方法表示函数．教学难点：分段函数及其表示．4．教学方式及手段教师启发讲授与学生探究相结合．利用多媒体增强课堂教学效果.二、教学目标结合以上对教学内容的分析及课标要求，我确定了本节课的教学目标：1．了解三种表示法的特点，在实际情境中会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；通过具体的实例，了解简单的分段函数及其表示．2．通过选择合理方式表示函数的过程，提高分析问题的能力；通过利用多种形式表示函数的过程，渗透数形结合的思想．3．通过对实际生活中函数问题的表示过程，体会函数与实际生活的了解，感受数学的应用价值．三、教学过程的设计及实施为实现本节课教学目标，我将教学过程分为以下五个阶段：（一）复习旧知、引出课题1．本阶段要解决的主要问题：通过复习使学生明确函数的三种表示方法．2．具体教学安排：由于学生初中已经接触了函数的三种表示法，所以本课从复习函数的概念入手，通过PPT 展示上节课涉及的三个函数实例，复习函数的三种表示法，开门见山，引出课题．紧接着通过练习，请学生用三种不同方法表示同一个函数．练习：（课本20页例3）某种笔记本的单价是5元，买}{(1,2,3,4,5)x x ∈个笔记本需要y 元，试用三种表示法表示函数()y f x =在学生板演后，师生共同进行评价．通过这一过程使学生在进一步理解函数概念的同时复习函数的三种表示法．并在上一节“函数的概念”学习的基础上，进一步体会函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等形式；明确判断一个图形是不是函数图象的依据．（二）讨论交流、形成认识1．本阶段要解决的主要问题：通过交流使学生体会函数三种表示法各自的特点．2．具体教学安排：通过练习学生认识到同一个函数可以有不同的表示方法，再次展示上节课的三个实例，提出问题：问题1：你能用其他方法表示这三个函数吗？设计意图：学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，比较习惯于用解析式表示函数，这是对函数很不全面的认识．所以在引进高中函数概念之后，应该注重函数的不同表示方法．同时通过对这个问题的思考，经历不同方法的表示和比较，使学生对函数的三种表示法的特点有初步的感性认识．在此基础上设计学生活动：问题2：日常生活中还有那些你熟悉的函数关系，它们分别是用什么形式表示的？这种表示法的优势是什么？本环节请同学分组讨论之后，在全班交流，师生共同参与交流和评价．经历这个过程，使学生对函数三种表示法的特点形成一定的理性认识：解析法：一是简明、精确地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．中学阶段所研究的主要是能够用解析式表示的函数，但不是所有的函数都能用解析法表示列表法：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，简洁明了．列表法在实际生产和生活中也有广泛应用．如成绩表、银行的利率表等．但它只能够表示有限个元素间的函数关系．图象法：直观形象地表示自变量与相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质．图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图，股票指数走势图等．同时，也使学生体会到现实生活中采取不同形式表示函数关系的合理性，并认识到面对实际情境时，应该根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．（三）初步应用、巩固知识1．本阶段要解决的主要问题：在之前研究基础上，请学生尝试面对实际情境选择恰当的方法表示函数，突出本课重点．2．具体教学安排：为此，结合课本例4，我创设情境，设计了练习2：练习2：开学以来我们进行了6次数学测验，（1）某同学每次的考试成绩与考试序号之间是函数关系吗？（2）老师想请你帮助统计6次考试中某同学的成绩，你会采用什么方法？为什么？（3）以下是咱们班一位开学以来进步非常大的同学的6次考试成绩和班级6次的平均成绩记录（ppt表格展示）．马上要召开家长会了，如果你是这位同学，你希望老师以什么方法给出他的成绩？为什么？通过问题（1）使学生进一步理解函数的概念，通过问题（2）、（3）使学生尝试面对不同情境选择恰当方式表示函数．在问题（3）的讨论中，学生意识到由于该同学成绩与平均分比较尚不理想，但从变化趋势来看，呈现稳步提升的状态，因此采取图象法更能激发其学习的信心和兴趣．使学生进一步体会，图象法的优势在于能够直观的表示出函数的变化规律和趋势．教师指出运用函数的表示法，通过函数的解析式、列表、画出函数的图象，借助图象分析函数的性质是今后研究函数的主要方法之一，为后续研究函数性质埋下伏笔．（四）深入研究、加深理解1．本阶段要解决的主要问题：进一步尝试用恰当的方式表示函数关系，渗透数形结合的方法，并通过实例了解分段函数的及其表示，突破本课难点．2．具体教学安排：本阶段设置了两个例题、一个练习：例1．请用适当的方式表示实数x与它的绝对值y之间的函数关系．（展示学生方法）方法一：解析法 ||y x =方法二：解析法 ,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩方法三：图象法设计意图：（1）继续尝试利用不同的方法表示同一个函数（2）让学生进一步体会数形结合在理解函数中的重要作用（3）为介绍分段函数作准备例2．（课本例6）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5公里以内（含5公里），票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）．如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．解：设票价为y 元，里程为x 公里，由题意可知，自变量x 的取值范围是(0,20]．由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，可得到以下函数解析式：2,05,3,510,4,1015,5,1520.x x y x x <≤⎧⎪<≤⎪=⎨<≤⎪⎪<≤⎩ 根据这个函数解析式，可画出函数图象，如右图设计意图：让学生尝试用数学表达式去表达实际问题的过程．同时结合例1，通过两个具体实例，向学生介绍分段函数及其表示．结合解析式和函数图象，引导学生从函数三要素的角度对分段函数进行分析，进一步加深对函数概念的理解和对分段函数的认识，从而突破本课难点．练习：（课后练习2）下图中哪几个图象与下下述三件事分别吻合得最好？请你x y 102520156543521o为剩下的那个图象写出一件事．（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．设计意图：通过练习体会分段函数的实际意义，巩固对分段函数的理解．同时渗透通过图象研究函数性质的方法，进一步体会数形结合的思想．（五）归纳小结、布置作业1．本阶段要解决的主要问题：通过小结，巩固所学知识，加深对函数表示法的认识．2．具体教学安排：（1）课堂小结：函数的三种表示法及各自特点、分段函数及其表示;面对实际情境时，根据不同需要选择恰当的方法表示函数．（2）布置作业：①必做作业：课本第23页练习及练习册相应习题．②选做作业：请你了解北京市出租车的计价方式，结合本节课所学的知识，设计一个方案使乘客能根据行驶里程准确快速计算出需付的费用．四、教学特点分析1．根据教学需要和学生情况合理使用教材根据教学需要和学生情况，对课本例题做了适当处理．如课本例4，为了在不冲淡本课主题的同时，能使学生更加深刻的体会函数图象在研究函数性质和刻画函数变化趋势中的作用，本例只保留了一位同学的考试成绩，并在同一个问题背景下设计两种不同的情境请同学根据不同需要选择合适的方法表示函数,突出本课重点．2．关注学生生活经验，突出学生主体地位本课通过练习1学生板演及师生共同评价的过程，使学生在进一步理解函数概念的基础上能正确应用函数的三种表示法．设计学生举例环节，请学生说说日常生活中的函数关系及其表示法，通过分组讨论和全班交流，使学生充分认识到函数三种表示法的特点．在此基础上，通过练习2创设学生熟悉的问题情境，使学生能利用已有知识，面对不同情境根据需要选择恰当的方法表示函数．突出了学生在知识获得过程中的主体地位．3．注意发挥教师的主导作用对分段函数的理解和认识对于学生来说有一定的难度，因此本课在学生探索对分段函数的形式有初步认识的基础上，教师引导学生从函数的三要素角度理解分段函数．在突破本课的难点的同时，也加深学生对函数概念的理解．以上是我对本节课教学设计的说明，不足之处恳请专家评委批评指正，谢谢！。

高中数学函数的说课稿（精选5篇）

高中数学函数的说课稿（精选5篇）高中数学函数的说课稿（精选5篇）作为一名教职工，时常需要用到说课稿，借助说课稿可以更好地组织教学活动。

那么大家知道正规的说课稿是怎么写的吗？下面是小编帮大家整理的高中数学函数的说课稿（精选5篇），供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。

高中数学函数的说课稿1一、教材说明本节课是人教版高中数学必修I第一章《集合与函数概念》1.2.2函数的表示方法，该课时主要学习函数的三种表示方法：解析法，图像法，列表法，以及应用函数的表示方法解决一些实际问题1.教材所处低位和作用学习函数的表示，不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所涉及的问题，而且是加深理解函数的概念的过程。

特别是在信息技术的环境下面可以使函数在数与形两方面的方式表示，因而使得学习函数的表示也是向学生渗透数形结合方法的重要过程。

2.学情分析学生的年龄特点和认知特点学生已具备的基本知识与技能二、教学目标知识与技能1.进一步理解函数概念，使学生掌握函数的三种表示法：解析法，列表法，图像法2. 能够恰当运用函数的三种表示方法，并借此解决一些实际问题：初步培养学生实际问题转化为数学问题的能力过程与方法1. 通过三种方法的学习，渗透数形结合的思想2.在运用函数解决实际问题的过程中，培养学生分析问题的能力增强学生运用数学的意识情感态度与价值：让学生体会数学在实际问题中的应用，培养学生学习兴趣三、教学重点，难点重点：函数的三种表示方法（因为学习本节课的目的就是为了掌握函数的三种不同表示方法）难点：根据不同的实际需要选择恰当的方法表示函数（因为恰当比较难把握）四、教法分析与学法指导本着以“学生发展为本”。

引导学生主动参与学习，指导学生学会学习方法，培养学生积极探索的精神，学生为主，教师指导。

整个教学过程主要用启发式教学方法，体现“分析”——“研究”——“总结”的学习环节，并以多媒体为教辅手段。

通过创设问题情境，营造学习氛围，组织学生讨论，让学生尝试探索中不断发现问题，以激发学生的求知欲，并在寻求解决问题的方法尝试的过程中获得自信心和成功感，在完成知识目标的同时，也完成情感目标的教育五、教学过程教学环节教学环节与教学内容设计意图引入定义表示法，这节课将更深入的了解、探讨这三种表示方法，先回顾函数解析法，图像法，列表法的定义；并给出一些众所周知的例子。

人教版实数的说课稿

人教版实数的说课稿尊敬的各位评委、老师，大家好！今天，我将为大家说课人教版高中数学教材中的“实数”这一章节。

在开始之前，让我们先来明确一下本章节的教学目标和重点难点。

教学目标：1. 让学生理解实数的概念，掌握实数的基本性质。

2. 引导学生了解实数与有理数、无理数的关系。

3. 培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力。

4. 通过实际问题，让学生体会到实数在现实生活中的应用。

重点与难点：1. 重点是实数的定义、性质以及与有理数、无理数的关系。

2. 难点是无理数的理解以及实数的完备性。

接下来，我将从教材分析、教学方法、教学过程和评价方式四个方面进行详细阐述。

教材分析：本章节位于高中数学教材的基础知识部分，是在初中有理数基础上的进一步拓展。

教材首先介绍了实数的基本概念，然后通过实例说明了实数的性质，接着讨论了实数的分类，最后引入了无理数的概念和证明方法。

教学方法：1. 启发式教学：通过提问和讨论，激发学生的思考，引导他们自主发现问题和解决问题。

2. 案例分析：选取贴近生活实际的案例，帮助学生理解实数的应用。

3. 互动式教学：鼓励学生参与课堂讨论，通过小组合作探究实数的性质。

教学过程：1. 引入新课：首先，我会通过回顾有理数的概念，引出实数的定义，让学生初步了解实数的范畴。

2. 概念讲解：接着，我会详细讲解实数的基本性质，如封闭性、有序性等，并举例说明。

3. 分类讨论：然后，我会引导学生探讨实数的分类，区分有理数和无理数，并介绍无理数的几种常见类型。

4. 案例分析：通过解决实际问题，让学生体会实数在现实生活中的应用，如计算圆周率、黄金分割等。

5. 课堂小结：最后，我会总结本节课的主要内容，强调实数的重要性，并布置适量的作业以巩固知识点。

评价方式：1. 过程评价：通过课堂提问、小组讨论等方式，观察学生对实数概念的理解和应用能力。

2. 结果评价：通过作业和小测验，评估学生对实数性质、分类和应用的掌握程度。

总结：实数是数学中的基础概念，对于后续学习具有重要意义。

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若a0 > b0或存在非负整数l,使得ak bk (k 1,2L l)而al1 > bl1
则称x大于y或y小于x，分别记为x > y或y < x.
说说明明:: .自对分然于别规负称定实x任=数何yx与非,yx,负若<实有y 数(-yx大>=x于-)y任与何-x负>实-y数, 则
•定义2
设x a0.a1a2 L an L 为非负实数
3.小结 (1), 两个实数的大小关系; (2), 实数的性质; (3), 区间和邻域的概念; (4), 确界原理.
作业:
P9: 1, 2, 3, 4, 5.
§2 数集.确界原理
❖几个数集所有自然数构成的集合记为N, 称为自然数集. 所有实数构成的集合记为R, 称为实数集. 所有整数构成的集合记为Z, 称为整数集. 所有有理数构成的集合记为Q, 称为有理集.
❖子集如果集合A的元素都是集合B的元素, 则称A是B的子
集, 记为AB(读作A包含于B). AB若xA, 则xB.
❖实数的性质
5.实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数之间几有另一个实数,且既有在理数,也有无理数.
6.实数集R与数轴上的点具有一一对应关系.即任一实数都对应数轴上唯一的一点,反之,数轴上的每一点也都唯一的代表一个实数.
例1 设x, y为实数，证明: 存在有理数r满足 : x < r < y.
证明
由于x
<
y, 故存在非负整数n，使得x n
< yn.令r
1 2
(xn
yn
)
则r为有理数，且有x xn < r < yn y,即得x < r < y.
例2 设a,b R,证明: 若对任何正数e有a < b e ,则a b.
证明用反证法.假若结论不成立，则根据实数的有序性
有a > b.令e a - b,则e为正数且a b e , 这与假设 a < b e矛盾.从而必有a b.
显然, NZ, ZQ, QR.
2.集合的运算设A、B是两个集合, 则 AB{x|xA或xB}称为A与B的并集(简称并). AB{x|xA且xB}称为A与B的交集(简称交). A\B{x|xA且xB}称为A与B的差集(简称差). ACI\A{x|xA}为称A的余集或补集, 其中I为全集.
提示: 如果研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所
研究的其他集合A都是I的子集. 则称集合I为全集或基本集.
❖集合运算的法则设A、B、C为任意三个集合, 则有 (1)交换律 ABBA, ABBA; (2)结合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC); (3)分配律 (AB)C(AC)(BC), (AB)C(AC)(BC); (4)对偶律 (AB)CACBC, (AB)CACBC.
•(AB)CACBC的证明 x(AB)CxABxA且xB xAC且xBC xACBC, 所以(AB)CACBC.
❖直积(笛卡儿乘积) 设A、B是任意两个集合, 则有序对集合 AB{(x, y)|xA且yB}
称为集合A与集合B的直积. 例如, RR{(x, y)| xR且yR }即为xOy面上全体点
4. 我们用符号“”表示“当且仅当” 或 “充要条件” 这一意思. 比如“p q”表示“p成立当且仅当q成立” 或者说p成立的充要条件是q成立.
1.集合
一、集合
❖集合
集合是指具有某种特定性质的事物的总体.
集合可用大写的字母A, B, C, D 等标识.
❖元素
组成集合的事物称为集合的元素.
集合的元素可用小写的字母a, b, c, d 等标识.
§1 实数 §2 数集.确界原理 §3 函数概念 §4 具有某些特性的函数
§1 实数
几个常用符号
1. 我们用符号“” 表示“任取” 或“对于任意的”或“对于所有的” , 符号“” 称为全称量词.
2. 我们用符号“”表示“存符号“”称在”. 为存在量词.
例：命题“对任意的实数x, 都存在实数y, 使得x+y=1”可表示为“xR, yR, 使x+y=1”
2.实数集是有序的.即任意两个实数a, b必满足下述三个关系之一: a < b, a = b, a > b .
❖实数的性质
3.实数集的大小关系具有传递性.即若a > b, b > c, 则有a>c
4..实数具有阿基，米德性, 即对任何 a > b > 0, 则存在正整数 n,使得 nb > a.
•命题1 > y的充要条件是 : n N , xn > y n.
其中 xn表示 x的n位不足近似，y n表示 y的n位过剩近似 .
❖实数的性质
1.实数集R对加,减,乘,除(除数不为0)四则运算是封闭的. 即任意两个实数和,差,积,商(除数不为0)仍然是实数.
称有理数xn a0.a1a2 L an为实数x的n 位不足近似，
而有理数xn
xn
1 10n
称为x的n 位过剩近似，n
0,1,2,L
说说明明::
实负数实x的数不x足近- a似0 .ax1n当a2 nL增a大n L时的不n减位，不即足有近x似0 与 x过1 剩 x近2 似 L , 过分剩别近规似定xn为当nx增n 大 a时0 .a不1a增2 L，a即n 有- 1x010n与x1xn x2-aL0 .a.1a2 L an .
a是集合M的元素记为aM, 读作a属于M.
a不是集合M的元素记为aM, 读作a不属于M.
❖集合的表示 •列举法
把集合的全体元素一一列举出来. 例如A{a, b, c, d, e, f, g}. •描述法若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为
M{x | x具有性质P }. 例如M{(x, y)| x, y为实数, x2y21}.
的集合, RR常记作R2.
3.实数集 ❖两个实数的大小关系
• 定义1
给定两个非负实数
x a0.a1a2 L an L , y b0 .b1b2 L bn L ,其中a0 ,b0为非负整数， ak ,bk (k 1,2,L )为整数，0 ak 9,0 bk 9. 若有ak bk , k 1,2,L ,则称x与y相等，记为x y；