第八章8.4平行线的判定定理
平行线的六个判定
平行线的六个判定平行线是高中数学中的一个重要概念，也是几何学的基本定理之一。
平行线的概念最早由古希腊数学家欧几里得提出，并在《几何原本》一书中给出了平行线的六个判定。
六个判定分别是：同位角、内错角、同旁内角、同旁外角、平行线错角定理以及平行线夹角定理。
首先，同位角判定，其原理是：如果两条直线被一条横截线所切，且同位角之和为180°，则这两条直线是平行线。
也就是说，如果有一个横截线切过两条直线，使得这两条直线上的同位角之和为180°，那么这两条直线就是平行的。
这个判定可以通过实际的图形来演示和证明。
其次，内错角判定，其原理是：如果两条直线被一条横截线所切，且内错角互补，则这两条直线是平行线。
也就是说，如果有一个横截线切过两条直线，使得这两条直线上的内错角（一个在两直线之间，一个在两直线之外）互为补角，那么这两条直线就是平行的。
这个判定同样可以通过实际的图形来演示和证明。
接下来是同旁内角判定，其原理是：如果两条直线被一条横截线所切，且同旁内角之和为180°，则这两条直线是平行线。
也就是说，如果有一个横截线切过两条直线，使得这两条直线上的同旁内角之和为180°，那么这两条直线就是平行的。
同样地，这个判定可以通过实际的图形来演示和证明。
然后是同旁外角判定，其原理是：如果两条直线被一条横截线所切，且同旁外角互补，则这两条直线是平行线。
也就是说，如果有一个横截线切过两条直线，使得这两条直线上的同旁外角（一个在两直线之外，一个在两直线之间）互为补角，那么这两条直线就是平行的。
同样地，这个判定可以通过实际的图形来演示和证明。
接下来是平行线错角定理，其原理是：如果两条直线被一条横截线所切，且错角互补，则这两条直线是平行线。
也就是说，如果有一个横截线切过两条直线，使得这两条直线上的错角（一个在两直线之间，一个在两直线之外）互为补角，那么这两条直线就是平行的。
同样地，这个判定可以通过实际的图形来演示和证明。
平行线的性质定理和判定定理
一个命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题
内错角相等,两直线平行. 逆定理
两直线平行,内错角相等.
你能说出下列命题的逆命题吗？它们的逆命题是真 命题还是假命题？
• （1） 两条平行线被第三条直线所截，同旁 内角互补。
• （2）对顶角相等。 • （3）两条平行线被第三条直线所截，内错
角相等。
•平行线的性质定理
性质定理1 性质定理2 性质定理3
•平行线的判定方法
基本事实 判定定理1 判定定理2 还有什么判定方法？
如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线平行。
基本事实
• 两条直线被第三条直线所截，如果同位角 相等，那么两直线平行。（同位角相等， 两直线平行。）
平行线的性质定理1： 两条平行线被第三条直线所截，同位角 相等。（两直线平行，同位角相等）
如果两个三角形全等,那么它们的对应边相等. 如果两个三角形对应边相等,那么这两个三角形全等.
如果a,b互为相反数，那么a+b=0. 如果a+b=0，那么a,b互为相反数．
条件
结论
把一个命题的条件和结论交换后,就构成 了一个新的命题.如果把原来的命题叫做原命 题,那么这个新的命题就叫做原命题的逆命题.
∠1+∠A=180°. 求证：AB//CD
A
B
2
C
3
D
1
E
制作单位：肥城市王庄镇初级中学 制作时间： 2017年3月
1、会证明平行线的性质定理2、 3和判定定 理1、 2。
2、会区分平行线的判定定理及性质定理， 体会二者的区别与联系。
3、了解互逆命题的概念，会识别两个互逆 的命题，知道原命题成立，逆命题不一定 成立;了解逆定理的概念。
平行线的判定、性质公理及定理【最新】
一、学习内容：平行线的判定、性质公理及定理；三角形的内角和定理二、学习目标：1、熟练掌握平行线的判定、性质公理及定理；三角形的内角和定理2.能对平行线的判定、性质进行灵活运用，并把它们应用于几何证明中．三、学习重难点重点：平行线的判定性质公理及定理. 难点：推理过程的规范化表达.四、学习方法：教师精讲点拨与学生自主探究相结合五、使用课时：2课时六、学习导航考点一平行线的判定公理1．两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．2．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．注意：证明两直线平行，关键是找到与特征结论相关的角.例1．如下图，当∠1=∠3时，直线a、b平行吗？当∠2+∠3=180°时，直线a、b平行吗？为什么？你有几种方法。
例2．请将下面的空补充完整1．如右图，若∠1=∠2，则_______∥_______（）若∠3=∠4，则_________∥_________（）若∠5=∠B，则_________∥_________（）若∠D+∠DAB=180°，则______∥_______（）2．如右图，∠1+∠2=180°（已知）∠3+∠2=180°（）∴∠1=_________∴AB∥CD（）课堂练习：1．如图6－21，已知∠B=142°,∠BFE=38°,∠EFD=40°,∠D=140°,求证：AB∥C D．2．已知，如下图（1），（2），直线AB∥ED．求证：∠ABC +∠CDE =∠BCD ．（1） （2） 3．如图，如果AB ∥CD ，求角α、β、γ与180º之间的关系式．4．如图，已知CD 是∠ACB 的平分线，∠ACB = 500，∠B = 700，DE ∥BC ，求：∠EDC 和 ∠BDC 的度数。
达标训练： 一．选择题1．下列命题中，不正确的是( )A ．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行B ．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行C ．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行D ．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行2．如右图，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件： ( ) (1)∠1=∠2，(2)∠3=∠6，(3)∠4+∠7=180°，(4)∠5+∠8=180°， 其中能判定a ∥b 的条件是( )A ．(1)(3)B ．(2)(4)C ．(1)(3)(4)D ．(1)(2)(3)(4) 3．如右图，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是( ) A ．AD ∥BC B ．AB ∥CDC ．∠3=∠4D ．∠A =∠C4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来 的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( ) A ．第一次向右拐40°，第二次向左拐40° B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C ．第一次向右拐50°，第二次向右拐130° D ．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°二．填空题5．如右图，∠1=∠2=∠3，则直线l 1、l 2、l 3的关系是________．αγβED CBAD6．如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数之比 为3∶2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是________ ． 7．同垂直于一条直线的两条直线________． 8．根据图形及上下文的含义推理并填空． （1）∵∠A =_______（已知） ∴AC ∥ED （ ） （2）∵∠2=_______（已知）∴AC ∥ED （ ） （3）∵∠A +_______=180°（已知） ∴AB ∥FD （ ）三．解答题9．已知：如图7，∠1=∠2，且BD 平分∠ABC ． 求证．AB ∥CD ．10、.如图，∠A BC =∠BCD, ∠1=∠2,求证：BE ∥CF.根据下面的条件完成证明． 已知：如图，BC//AD ，BE//AF ． (1) 求证：B A ∠=∠；(2) 若︒=∠135DOB ，求A ∠的度数．12.已知:如图,∠3与∠1互余,∠3与∠2互余.求证:AB ∥CD.考点二：CFDEBAOHG321EFD C BA1．平行线的性质．公理：两直线平行，同位角相等.定理：两直线平行，内错角相等.定理：两直线平行，同旁内角互补.例1．如图，BE∥DF，∠B =∠D ，求证．AD∥BC．课堂作业：1．如上图，AB∥CD，AD∥BC则下列结论成立的是( )A．∠A+∠C=180°B．∠A+∠B=180°C．∠B+∠D=180°D．∠B=∠D2．若两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是( )A．相等B．互补C．相等或互补D．相等且互补3．如右图，已知∠1=∠2，∠BAD=57°，则∠B=________．4．已知：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠4=∠C．求证：∠1=∠2．5．如图所示，已知AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，且AB=CD，BC=DE，那么AC与CE有什么关系？写你的猜想，并说明理由6、如图所示：已知：AB∥DE。
平行线的判定及性质
授课主题平行线教学目的1.理解平行线的概念;掌握平行公理及其推论；2.掌握平行线的判定方法及性质;并能进行简单的推理3. 掌握命题的定义;知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成;对于给定的命题;能找出它的题设和结论；教学重点平行线的判定及性质教学内容知识梳理要点一、平行线1．定义：在同一平面内;不相交的两条直线叫做平行线;如果直线a与b平行;记作a∥b．要点诠释：1平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交;三者缺一不可；2有时说两条射线平行或线段平行;实际是指它们所在的直线平行;两条线段不相交并不意味着它们就平行．3在同一平面内;两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地;重合的直线视为一条直线;不属于上述任何一种位置关系．2．平行公理：经过直线外一点;有且只有一条直线与这条直线平行．3．推论：如果两条直线都与第三条直线平行;那么这两条直线也互相平行．要点诠释：1平行公理特别强调“经过直线外一点”;而非直线上的点;要区别于垂线的第一性质．2公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．3“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点二、直线平行的判定判定方法1：同位角相等;两直线平行.如上图;几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD同位角相等;两直线平行判定方法2：内错角相等;两直线平行.如上图;几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD内错角相等;两直线平行判定方法3：同旁内角互补;两直线平行.如上图;几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD同旁内角互补;两直线平行要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补;得出平行;即由数推形.要点三、平行线的性质性质1：两直线平行;同位角相等；性质2：两直线平行;内错角相等；性质3：两直线平行;同旁内角互补.要点诠释：1“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容;切不可忽视前提“两直线平行”．2从角的关系得到两直线平行;是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系;是平行线的性质．要点四、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线;并且夹在这两条平行线间的线段的长度;叫做这两条平行线的距离．要点诠释：1求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点;向另一条直线作垂线;垂线段的长度就是两条平行线的距离．2两条平行线的位置确定后;它们的距离就是个定值;不随垂线段的位置的改变而改变;即平行线间的距离处处相等．要点五、命题、定理、证明1.命题：判断一件事情的语句;叫做命题．要点诠释：1命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成;题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项.2命题的表达形式：“如果……;那么…….”;也可写成：“若……;则…….”3真命题与假命题：真命题：题设成立结论一定成立的命题;叫做真命题.假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题;叫做假命题.2.定理：定理是从真命题公理或其他已被证明的定理出发;经过推理证实得到的另一个真命题;定理也可以作为继续推理的依据.3.证明：在很多情况下;一个命题的正确性需要经过推理;才能作出判断;这个推理过程叫做证明.要点诠释：1证明中的每一步推理都要有根据;不能“想当然”;这些根据可以是已知条件;学过的定义、基本事实、定理等.2判断一个命题是正确的;必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题;只需列举一个反例即可．要点六、平移1. 定义：在平面内;将一个图形沿某个方向移动一定的距离;图形的这种移动叫做平移．要点诠释：1图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．2图形的平移不改变图形的形状与大小;只改变图形的位置.2. 性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离;平移不改变线段、角的大小;具体来说：1平移后;对应线段平行且相等；2平移后;对应角相等；3平移后;对应点所连线段平行且相等；4平移后;新图形与原图形是一对全等图形.典型例题类型一、平行线例1．下列说法正确的是A．不相交的两条线段是平行线.B．不相交的两条直线是平行线.C．不相交的两条射线是平行线.D．在同一平面内;不相交的两条直线叫做平行线.答案D例2．在同一平面内;下列说法：1过两点有且只有一条直线；2两条直线有且只有一个公共点；3过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；4过一点有且只有一条直线与已知直线平行..其中正确的个数为：A．1个B．2个C．3个D．4个答案B解析正确的是：13.变式1下列说法正确的个数是1直线a、b、c、d;如果a∥b、c∥b、c∥d;则a∥d.2两条直线被第三条直线所截;同旁内角的平分线互相垂直.3两条直线被第三条直线所截;同位角相等.4在同一平面内;如果两直线都垂直于同一条直线;那么这两直线平行．A．1个 B .2个C．3个D．4个答案B类型二、两直线平行的判定例3. 如图;给出下列四个条件：1AC＝BD； 2∠DAC＝∠BCA；3∠ABD＝∠CDB；4∠ADB＝∠CBD;其中能使AD∥BC的条件有.A．12 B．34 C．24 D．134答案C变式2一个学员在广场上驾驶汽车;两次拐弯后;行驶的方向与原来的方向相同;这两次拐弯的角度可能是A．第一次向左拐30°;第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°;第二次向左拐130°C．第一次向右拐50°;第二次向右拐130°D．第一次向左拐50°;第二次向左拐130°例4.如图所示;已知∠B＝25°;∠BCD＝45°;∠CDE＝30°;∠E＝10°．试说明AB∥EF的理由．解法1：如图所示;在∠BCD的内部作∠BCM＝25°;在∠CDE的内部作∠EDN＝10°．∵∠B＝25°;∠E＝10°已知;∴∠B＝∠BCM;∠E＝∠EDN等量代换．∴AB∥CM;EF∥DN内错角相等;两直线平行．又∵∠BCD＝45°;∠CDE＝30°已知;∴∠DCM＝20°;∠CDN＝20°等式性质．∴∠DCM＝∠CDN等量代换．∴CM∥DN内错角相等;两直线平行．∵AB∥CM;EF∥DN已证;∴AB∥EF平行线的传递性．解法2：如图所示;分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点．∵∠BCD＝45°;∴∠NCB＝135°．∵∠B＝25°;∴∠CNB＝180°-∠NCB-∠B＝20°三角形的内角和等于180°．又∵∠CDE＝30°;∴∠EDM＝150°．又∵∠E＝10°;∴∠EMD＝180°-∠EDM-∠E＝20°三角形的内角和等于180°．∴∠CNB＝∠EMD等量代换．所以AB∥EF内错角相等;两直线平行．变式3已知;如图;BE平分∠ABD;DE平分∠CDB;且∠1与∠2互余;试判断直线AB、CD的位置关系;请说明理由．解：AB∥CD;理由如下：∵BE平分∠ABD;DE平分∠CDB;∴∠ABD＝2∠1;∠CDB＝2∠2．又∵∠1+∠2＝90°;∴∠ABD+∠CDB＝180°．∴AB∥CD同旁内角互补;两直线平行．变式4已知;如图;AB⊥BD于B;CD⊥BD于D;∠1+∠2=180°;求证：CD//EF．答案证明：∵AB⊥BD于B;CD⊥BD于D;∴AB∥CD．又∵∠1+∠2=180°;∴AB∥EF．∴CD//EF．类型三、平行线的性质例5．如图所示;如果AB∥DF;DE∥BC;且∠1＝65°．那么你能说出∠2、∠3、∠4的度数吗为什么．解：∵DE∥BC;∴∠4＝∠1＝65°两直线平行;内错角相等．∠2+∠1＝180°两直线平行;同旁内角互补．∴ ∠2＝180°-∠1＝180°-65°＝115°．又∵ DF ∥AB 已知;∴ ∠3＝∠2两直线平行;同位角相等．∴ ∠3＝115°等量代换．变式5如图;已知1234//,//l l l l ;且∠1=48°;则∠2＝ ;∠3＝ ;∠4＝ .答案48°;132°;48°变式6如图所示;直线l 1∥l 2;点A 、B 在直线l 2上;点C 、D 在直线l 1上;若△ABC 的面积为S 1;△ABD 的面积为S 2;则A ．S 1＞S 2B ．S 1＝S 2C ．S 1＜S 2D ．不确定答案B类型四、命题例6．判断下列语句是不是命题;如果是命题;是正确的 还是错误的①画直线AB ；②两条直线相交;有几个交点；③若a ∥b;b ∥c;则a ∥c ；④直角都相等；⑤相等的角都是直角；⑥如果两个角不相等;那么这两个角不是对顶角．答案①②不是命题；③④⑤⑥是命题；③④⑥是正确的命题；⑤是错误的命题．变式8把下列命题改写成“如果……;那么……”的形式．1两直线平行;同位角相等；2对顶角相等；3同角的余角相等.答案解：1如果两直线平行;那么同位角相等.2如果两个角是对顶角;那么这两个角相等.3如果有两个角是同一个角的余角;那么它们相等.类型四、平移例7．湖南益阳如图所示;将△ABC 沿直线AB 向右平移后到达△BDE 的位置;若∠CAB ＝50°;∠ABC ＝100°;则∠CBE 的度数为________．答案30°变式9 上海静安区一模如图所示;三角形FDE 经过怎样的平移可以得到三角形ABCA ．沿EC 的方向移动DB 长B ．沿BD 的方向移动BD 长C ．沿EC 的方向移动CD 长D ．沿BD 的方向移动DC 长答案A类型五、平行的性质与判定综合应用例8、如图所示;AB∥EF;那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝A．180°B．270°C．360°D．540°答案C解析过点C作CD∥AB;∵CD∥AB;∴∠BAC+∠ACD=180°两直线平行;同旁内角互补又∵EF∥AB∴EF∥CD．∴∠DCE+∠CEF=180°两直线平行;同旁内角互补又∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE∴∠BAC+∠ACE+∠CEF＝∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°课后作业一、选择题1.下列说法中正确的有①一条直线的平行线只有一条．②过一点与已知直线平行的直线只有一条．③因为a∥b;c∥d;所以a∥d．④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．A．1个B．2个C．3个D．4个2．如果两个角的一边在同一直线上;另一边互相平行;则这两个角A．相等B．互补C．互余D．相等或互补3．如图;能够判定DE∥BC的条件是A．∠DCE+∠DEC＝180°B．∠EDC＝∠DCBC．∠BGF＝∠DCB D．CD⊥AB;GF⊥AB4．一辆汽车在广阔的草原上行驶;两次拐弯后;行驶的方向与原来的方向相同;那么这两次拐弯的角度可能是．A．第一次向右拐40°;第二次向右拐140°．B．第一次向右拐40°;第二次向左拐40°．C．第一次向左拐40°;第二次向右拐140°．D．第一次向右拐140°;第二次向左拐40°．5．如图所示;下列条件中;不能推出AB∥CE成立的条件是A．∠A＝∠ACE B．∠B＝∠ACE C．∠B＝∠ECD D．∠B+∠BCE＝180°6.绍兴学习了平行线后;小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法;她是通过折一张半透明的纸得到的如图;1—4:从图中可知;小敏画平行线的依据有①两直线平行;同位角相等．②两直线平行;内错角相等．③同位角相等;两直线平行．④内错角相等;两直线平行．A.①②B. ②③C. ③④D. ④①二、填空题7. 在同一平面内的三条直线;它们的交点个数可能是________．8．如图;DF平分∠CDE;∠CDF＝55°;∠C＝70°;则________∥________．9．规律探究：同一平面内有直线a1;a2;a3…;a100;若a1⊥a2;a2∥a3;a3⊥a4…;按此规律;a1和a100的位置是________．10．已知两个角的两边分别平行;其中一个角为40°;则另一个角的度数是11．直线l同侧有三点A、B、C;如果A、B两点确定的直线l'与B、C两点确定的直线l''都与l平行;则A、B、C三点;其依据是12.如图;AB⊥EF于点G;CD⊥EF于点H;GP平分∠EGB;HQ平分∠CHF;则图中互相平行的直线有．三、解答题13.如图;∠1＝60°;∠2＝60°;∠3＝100°;要使AB∥EF;∠4应为多少度说明理由．14．小敏有一块小画板如图所示;她想知道它的上下边缘是否平行;而小敏身边只有一个量角器;你能帮助她解决这一问题吗15．如图;把一张长芳形纸条ABCD沿AF折叠;已知∠ADB＝20°;那么∠BAF为多少度时;才能使AB′∥BD16．如图所示;由∠1＝∠2;BD平分∠ABC;可推出哪两条线段平行;写出推理过程;如果推出另两条线段平行;则应将以上两条件之一作如何改变答案与解析一、选择题1. 答案A解析只有④正确;其它均错．2. 答案D3. 答案B解析内错角相等;两直线平行．4. 答案B5. 答案B解析∠B和∠ACE不是两条直线被第三条直线所截所得到的角．6. 答案C解析解决本题关键是理解折叠的过程;图中的虚线与已知的直线垂直;过点P的折痕与虚线垂直．二、填空题7. 答案0或1或2或3个；8. 答案BC; DE；解析∠CFD＝180°－70°－55°＝55°;而∠FDE＝∠CDF＝55°;所以∠CFD＝∠FDE．9. 答案a1∥a100；解析为了方便;我们可以记为a1⊥a2∥a3⊥a4∥a5⊥a6∥a7⊥a8∥a9⊥a10…∥a97⊥a98∥a99⊥a100;因为a1⊥a2∥a3;所以a1⊥a3;而a3⊥a4;所以a1∥a4∥a5．同理得a5∥a8∥a9;a9∥a12∥a13;…;接着这样的规律可以得a1∥a97∥a100;所以a1∥a100．10.答案40°或140°11.答案共线;平行公理；解析此题考查是平行公理;它是论证推理的基础;应熟练应用．12.答案AB∥CD;GP∥HQ；解析理由：∵AB⊥EF;CD⊥EF．∴∠AGE＝∠CHG＝90°．∴AB∥CD．∵AB⊥EF．∴∠EGB＝∠2＝90°．∴GP平分∠EGB．∴∠1＝12EGB＝45°．∴∠PGH＝∠1+∠2＝135°．同理∠GHQ＝135°;∴∠PGH＝∠GHQ．∴GP∥HQ．三、解答题13. 解析解：∠4＝100°．理由如下：∵∠1＝60°;∠2＝60°;∴∠1＝∠2;∴AB∥CD又∵∠3＝∠4＝100°;∴CD∥EF;∴AB∥EF．14．解析解：如图所示;用量角器在两个边缘之间画一条线段MN;用量角器测得∠1＝50°;∠2＝50°;因为∠1＝∠2;所以由内错角相等;两直线平行;可知画板的上下边缘是平行的．15. 解析解：要使AB′∥BD;只要∠B′AD＝∠ADB＝20°;∠B′AB＝∠BAD+∠B′AD＝90°+20°＝110°．∴∠BAF＝12∠B′AB＝12×110°＝55°．16．解析解：可推出AD∥BC．∵BD平分∠ABC已知．∴∠1＝∠DBC角平分线定义．又∵∠1＝∠2已知;∴∠2＝∠DBC等量代换．∴AD∥BC内错角相等;两直线平行．。
初中数学 平行线的判定定理有哪些
初中数学平行线的判定定理有哪些平行线的判定定理是初中数学中的一个重要概念，用于判断两条直线是否平行。
在本文中，我将详细介绍平行线的判定定理，包括定义、相关定理以及实际应用。
同时，我还会提供一些示例和习题，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 同位角定理：如果两条直线被一条横截线所切，且同位角相等，则这两条直线是平行线。
即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠B，则l||m。
2. 平行线的性质：如果两条直线l和m都与第三条直线n平行，那么l和m也是平行线。
即如果l||n且m||n，则l||m。
3. 垂直定理的逆定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线相互垂直，则l||m。
即如果l∠n且m∠n，则l||m。
4. 对顶角定理：如果两条直线l和m被一条横截线所切，且对顶角相等，则这两条直线是平行线。
即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠C，则l||m。
5. 平行线的传递性：如果直线l||m，且直线m||n，那么直线l||n。
即如果l||m且m||n，则l||n。
6. 锐角等于直角的定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线与另一条直线的某一角度相等，则l||m。
即如果l∠n且∠A=90°，则l||m。
7. 平行线的平行线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n 的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l||m。
8. 平行线的交角定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l与m不平行。
9. 平行线的平行截线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且直线l与n的交点A与直线m与n的交点B之间的线段AB与直线n的某一条垂线相交于点C，则直线l和直线m平行。
以上是一些常见的平行线的判定定理，可以根据不同的条件来判断两条直线是否平行。
4平行线的判定定理
判定平行线的常用方法 (1)同位角相等,两直线平行. (2)内错角相等,两直线平行. (3)同旁内角互补,两直线平行. (4)如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线平行. (5)在同一平面内,如果两条直线同时垂直于同一条直线,那么这两条直线平行.
平行线判定的应用 [例2] 一张四边形纸片ABCD,把纸片按如图折叠,点B落在AD边上的点E处,AF是折痕. (1)若∠B=∠D=90°,求证:EF∥CD.
4 平行线的判定定理
平行线的判定 [例1] (2021莱西期中)如图,DE⊥AB,∠1=∠A,∠2+∠3=180°,试判断CF与AB的位置关 系,并说明理由.
解:CF⊥AB.理由如下:因为∠1=∠A, 所以GF∥AC,所以∠2=∠DCF. 因为∠2+∠3=180°, 所以∠DCF+∠3=180°, 所以DE∥CF. 因为DE⊥AB,所以CF⊥AB.
(1)证明:由折叠,知∠AEF=∠B=90°. 因为∠D=90°(已知), 所以∠AEF=∠D(等量代换), 所以EF∥CD(同位角相等,两直线平行).
(2)当∠AFB与∠C有何数量关系时,EF∥CD?请说明理由.
(EF∥CD. 由折叠,知∠AFB=∠AFE, 所以∠BFE=2∠AFB,即∠C=2∠AFB. 故当∠C=2∠AFB时,EF∥CD.
平行线的判定定理【精选】
第八章 平行线的有关证明
第四节 平行线的判定定理 （第1课时）
公理 两条直线被第三条直线所截，如 果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行
公理与其他真命题的最大区别是什么？证明一个 命题是真命题的一般步骤是什么？
a
c 已知：如图，∠1和∠2是直线a、
定理 两条直线被第三条直线所截，如果内错角 相等，那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等，两直线平行
随堂练习：课本P46 第1、2题
已知：如图,已知AB⊥ EF，CD⊥ EF,垂足
分别为M，N
求证：AB // CD
A
C
E
N
F
B
D
达尔文曾经说过：“（蜜蜂）巢房的精巧构造十分符
合需要，如果一个人看到巢房而不倍加赞扬，那他一定是个 糊涂虫.”这些小小的动物，它们用蜂蜡一昼夜可以造出几 千间巢房,而且每间的体积几乎都是0.25立方厘米，壁厚都 精确地保持在0.073±0.002毫米范围内.如果你仔细进行观 察就会发现，每个巢房从正面看去都是正六边形（每个角都 是120°），而它的尖顶形成的底部则都是由三个完全相同 的菱形拼接而成的.十八世纪初，法国学者马拉而琪经过测 量发现，所有的底部菱形的钝角都等于109°28′，而其锐角 都等于70°32′。法国物理学家列奥缪拉由这个有趣的发现 得到一个 启示：蜂房的这一特殊形状，可能是为了保证得
到同样大的容积而所用材料最省.多么令人惊奇，小小的蜜 蜂在人类有史以前就已经解决了的问题，十八世纪的数学家 竟要用高等数学才能解决！
β
β
蜂房的底部由三个全等的
四边形围成,每个四边形的形状 如图所示,其中∠α=109°28′, ∠β=70°32′.
平行线的判定例题与讲解
3 平行线的判定1．平行线的判定公理(1)平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单记为：同位角相等，两直线平行．如图，推理符号表示为：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD.谈重点同位角相等，两直线平行①平行线的判定公理是证明两直线平行的原始依据；②应用时，应先确定同位角及形成同位角的是哪两条直线；③本判定方法是由两同位角相等(数量关系)来确定两条直线平行(位置关系)，所以在推理过程中要先写“两角相等”，然后再写“两线平行”．(2)平行公理的推论：①垂直于同一条直线的两条直线平行．若a⊥b，c⊥b，则a∥c；②平行于同一条直线的两条直线平行．若a∥b，c∥b，则a∥c.【例1】工人师傅想知道砌好的墙壁的上下边缘AB和CD是否平行，于是找来一根笔直的木棍，如图所示将其放在墙面上，那么，他通过测量∠EGB和∠GFD的度数，就知道墙壁的上下边缘是否平行了．请问：∠EGB和∠GFD满足怎样的条件时，墙壁的上下边缘才会平行？你的依据是什么？解析：判定两条直线是否平行，常根据两条直线被第三条直线所截而构成的角来判断．题中∠EGB和∠GFD是直线AB和直线CD(墙的上下边缘)被直线EF所截时形成的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可知只有∠EGB和∠GFD相等时，墙壁的上下边缘才会平行．答案：∠EGB和∠GFD相等时，墙壁的上下边缘才会平行．其依据是同位角相等，两直线平行．2．平行线的判定定理(1)判定定理1两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单记为：同旁内角互补，两直线平行．符号表示：如下图，∵∠2＋∠3＝180°，∴AB∥CD.谈重点同旁内角互补，两直线平行①定理是根据公理推理得出的真命题，可直接应用；②应用时，找准哪两个角是同旁内角，使哪两条直线平行．(2)判定定理2两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单记为：内错角相等，两直线平行．符号表示：如上图，∵∠2＝∠4，∴AB∥CD.【例2－1】如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，这是根据________，两直线平行．解析：由题图可看出，直线AB和CD被直线BC所截，此时两块相同的三角板的两个最小角的位置关系正好是内错角，所以这是根据内错角相等，来判定两直线平行的．答案：内错角相等【例2－2】如图，下列说法中，正确的是()．A．因为∠A＋∠D＝180°，所以AD∥BCB．因为∠C＋∠D＝180°，所以AB∥CDC．因为∠A＋∠D＝180°，所以AB∥CDD ．因为∠A＋∠C＝180°，所以AB∥CD错解：A或B或D错解分析：判定直线平行所需要的内错角或同旁内角找不准．条件不能推出结论.正解：C正解思路：∠A与∠D是直线AB和CD被直线AD所截得到的同旁内角．因为∠A＋∠D ＝180°，所以AB∥CD.3．平行线的判断方法平行线的判定方法主要有以下六种：(1)平行线的定义(一般很少用)．(2)同位角相等，两直线平行．(3)同旁内角互补，两直线平行．(4)内错角相等，两直线平行．(5)同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行．(6)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．析规律如何选择判定两直线平行的方法①在利用平行线的公理或定理判定两条直线是否平行时，要分清同位角、内错角以及同旁内角是由哪两条直线被第三条直线所截而构成的；②证明两条直线平行，关键是看与待证结论相关的同位角或内错角是否相等，同旁内角是否互补．【例3】如图，直线a，b与直线c相交，形成∠1，∠2，…，∠8共八个角，请你填上你认为适当的一个条件：__________，使a∥b.解析：本题主要是考查平行线的三种判定方法．若从“同位角相等，两直线平行”考虑，可填∠1＝∠5，∠2＝∠6，∠3＝∠7，∠4＝∠8中的任意一个条件；若从“内错角相等，两直线平行”考虑，可填∠3＝∠6，∠4＝∠5中的任意一个；若从“同旁内角互补，两直线平行”考虑，可填∠3＋∠5＝180°，∠4＋∠6＝180°中的一个条件；从其他方面考虑，还可以填∠1＝∠8，∠2＝∠7，∠1＋∠7＝180°，∠2＋∠8＝180°，∠4＋∠7＝180°，∠3＋∠8＝180°，∠2＋∠5＝180°，∠1＋∠6＝180°中的任意一个条件．答案：答案不唯一，如可填下列之一：∠1＝∠5或∠4＝∠5或∠3＋∠5＝180°…4．平行线判定的应用(1)平行线的生活应用数学来源于生活，同样生活中也有大量的平行线，其判定平行的方法也常在生活中遇到．如木工师傅判定所截得的木板的对边是否平行，工人师傅判定所制造的机器零件是否符合平行的要求……对于生活中的平行线判断，关键是利用工具确定与平行有关的角是否相等，比较常用的是利用直角尺判断同位角是否相等，从而判定两直线是否平行．(2)平行线在数学中的运用平行线判定方法在数学中的运用主要通过角之间的关系判定两条直线平行，进一步解决其他有关的问题．常见的条件探索题就是其应用之一．探索题是培养发散思维能力的题型，它具有开放性，所要求的答案一般不具有唯一性．解决探索性问题，不仅能提高分析问题的能力，而且能开阔视野，增加对知识的理解和掌握．释疑点判定平行的关键判定两直线平行，关键是确定角的位置关系及大小关系．【例4－1】如图，一个零件ABCD需要AB边与CD边平行，现只有一个量角器，测得拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，这个零件合格吗？__________(填“合格”或“不合格”)．解析：要判断AB边与CD边平行，则需满足同旁内角互补的条件．∵∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，∴∠ABC＋∠BCD＝120°＋60°＝180°.∴AB∥CD.∴这个零件合格．答案：合格【例4－2】已知：如图在四边形ABCD中，∠A＝∠D，∠B＝∠C，试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．分析：根据四边形ABCD的内角和是360°，结合已知条件得到∠A＋∠B＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行得AD∥BC.解：AD与BC的位置关系是平行．理由：∵四边形ABCD的内角和是360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°.∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴∠A＋∠B＝180°.∴AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．点评：本题考查四边形的内角和以及利用同旁内角互补，来判定两直线平行．。
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年 级七年级 学 科 数学版 本山东教育版（五四制）课程标题 第八章8.4平行线的判定定理 编稿老师 仓猛一校黄楠二校林卉审核郭莹平行线的判定及应用【考点精讲】知识脉络图两直线平行内错角相等 同位角相等 同旁内角互补两直线平行的条件① 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；简称：同位角相等，两直线平行；如图，若∠1＝∠2，则AB ∥CD ；② 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；简称：内错角相等，两直线平行；如图，若∠2＝∠3，则AB ∥CD ；③ 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；简称：同旁内角互补，两直线平行。
如图，若∠2＋∠4＝180°，则AB ∥CD 。
判断两直线是否平行，我们可从数量关系来探究。
即同位角、内错角是否相等、同旁内角是否互补，来判断两直线是否平行。
先要找准同类型的角，再研究它们的数量关系，最终得出两直线是否平行的结论，并能有条理地写出证明的步骤。
【典例精析】例题1 （永州）如图，下列条件中能判断直线1l ∥2l 的是（ ） A. ∠1＝∠2 B. ∠1＝∠5C. ∠1＋∠3＝180°D. ∠3＝∠5答案：当AF 与AB 的夹角为55°时，AB ′∥BD ，即∠BAF ＝55°时，有AB ′∥BD 。
理由是：在长方形ABCD中，∠BAD＝90°∵∠ABD＝70°，∴ADB＝20°（三角形内角和定理）由折叠知∠BAF＝∠B′AF，且∠BAF＝55°∴∠B′AF＝55°∴∠B′AD＝110°－90°＝20°∴∠B′AD＝∠ADB（等量代换）∴AB′∥BD（内错角相等，两直线平行）点评：一是要理解折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等。
二是能从构成的角的类型中，反过来推导要使两直线平行的条件。
【总结提升】“数量关系” →“位置关系”平行线的判定是由“数量关系”得出“位置关系”，即把角相等或互补作为判定两直线平行的依据。
在解题时，不能看到同类型的角，就得出两直线平行的结论，而还要比较它们的数量关系才行。
在证明时，要注意推理的步骤。
拓展1学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图（1）～（4））：从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行。
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④思路导航：解决本题关键是理解折叠的过程，图中的虚线与已知的直线垂直，故过点P 所折折痕与虚线垂直。
答案：由作图过程可知，∠1＝∠2，为内错角相等；∠1＝∠4，为同位角相等；可知小敏画平行线的依据有：③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行。
故选C。
（1）（2）（3）（4）点评：理解折叠的过程是解决问题的关键。
拓展2 已知，如图中，∠1＝48°，∠2＝48°，∠3＝48°，∠4＝132°，填空：（1）∵∠1＝48°，∠2＝48°（已知）∴∠1＝∠2（ ） ∴AB ∥______（ ）（2）∵∠2 ＋∠4＝48°＋132°＝180°（ ） ∴______∥______（ ）误解：（1）∴∠1＝∠2（同位角相等） ∴ AB ∥CD （两直线平行）（2）∵∠2＋∠4＝48°＋132°＝180°（同旁内角互补） ∴AB ∥CD （两直线平行）思路导航：误解的错误原因在于不知括号中的理由应该说些什么以及怎么说，学习过程中要结合熟悉的实例，了解一些三段论方法的基本知识，了解推理过程中的因果关系及三段论法推理的书写格式。
三段论法推理的思维过程可通过具体的实例来体会：对顶角相等，（大前提），∠1和∠2是对顶角，（小前提），∠1＝∠2（结论）答案：（1）∴∠1＝∠2（等量代换） ∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行） （2）∵∠2＋∠4＝48°＋132°＝180°（等式性质） ∴AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行）点评：在逐步掌握推理的三段论法时，要注意到推理时必须做到因果关系正确，明确每一步推理的结构。
每一步推理后面括号中填写的是这一步推理的根据，是判断这一步成立的理由，而不是由判断推演出的属性。
（答题时间：20分钟）一、选择题1.（铜仁地区）如图，在下列条件中，能判断AD ∥BC 的是（ ）A.∠DAC ＝∠BCAB. ∠DCB ＋∠ABC ＝180°C. ∠ABD ＝∠BDCD. ∠BAC ＝∠ACD2.（抚顺）如图，直线1l 、2l 被直线3l 、4l 所截，下列条件中，不能判断直线1l ∥2l 的是（ ）A. ∠1＝∠3B. ∠5＝∠4C. ∠5＋∠3＝180°D. ∠4＋∠2＝180°3. 对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的是（）A. ∠1＝∠2B. ∠2＝∠4C. ∠3＝∠4D. ∠1＋∠4＝180°4. 某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是（）A. 第一次左拐30°，第二次右拐30°B. 第一次右拐50°，第二次左拐130°C. 第一次右拐50°，第二次右拐130°D. 第一次左拐50°，第二次左拐120°二、填空题5. 如图所示，请写出能判定CE∥AB的一个条件。
6. 已知某品牌遮阳伞如图1所示，图2是其剖面图，若AG同时平分∠BAC与∠EDF，且∠BAC＝∠EDF，请在下面括号内填写理由。
解：∵AG同时平分∠BAC与∠EDF（）∴∠DAC＝∠BAC∠GDF＝∠EDF（）又∵∠BAC＝∠EDF （）∴∠DAC＝∠GDF （）∴AC∥DF（）三、解答题7. 如图，已知一角的两边与另一个角的两边平行，分别结合下图，试探索这两个角之间的关系，并证明你的结论。
（1）如图1，AB∥EF，BC∥DE。
∠1与∠2的关系是：____________________________；（2）如图2，AB∥EF，BC∥DE。
∠1与∠2的关系是：____________________________；（3）经过上述证明，我们可以得到一个真命题，如果___________________，那么______________；8. 如图，∠1＋∠2＝180°，∠DAE＝∠BCF，DA平分∠BDF。
（1）AE与FC会平行吗？说明理由。
（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？（3）BC平分∠DBE吗？为什么？9. 我们知道，光线从空气射入水中会发生折射现象，光线从水射入空气中，同样也会发生折射现象.如图1，为光线从空气射入水中，再从水中射入空气的示意图，由于折射率相同，因此有∠1＝∠4，∠2＝∠3，用你所学的知识说明光线c与d平行。
请你阅读下面的解答过程，并利用图2，写出另外的解答过程。
解：因为∠1＋∠5＝180°，∠4＋∠6＝180°又因为∠1＝∠4所以∠5＝∠6又因为∠2＝∠3所以∠2＋∠5＝∠3＋∠6所以c∥d（内错角相等，两直线平行）1. A 解析：A. ∵∠DAC＝∠BCA，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）。
故本选项正确；B. 根据“∠DCB＋∠ABC＝180°”只能判定“DC∥AB”，而非AD∥BC。
故本选项错误；C. 根据“∠ABD＝∠BDC”只能判定“DC∥AB”，而非AD∥BC。
故本选项错误；D. 根据“∠BAC＝∠ACD”只能判定“DC∥AB”，而非AD∥BC。
故本选项错误。
2. B 解析：A. 已知∠1＝∠3，根据内错角相等，两直线平行可以判断，故命题正确；B. 不能判断；C. 同旁内角互补，两直线平行，可以判断，故命题正确；D. 同旁内角互补，两直线平行，可以判断，故命题正确。
3. D 解析：∠1的对顶角与∠4构成同旁内角，则同旁内角互补，两直线平行。
4. A 解析：两次拐弯后，行驶方向与原来相同，说明两次拐弯后的方向是平行的。
对题中的四个选项提供的条件，运用平行线的判定进行判断，能判定两直线平行者即为正确答案。
如图所示（实线为行驶路线）：A符合“同位角相等，两直线平行”的判定，其余均不符合平行线的判定。
故选A。
5. 本题答案不唯一，如∠DCE＝∠A或∠ECB＝∠B或∠A＋∠ACE＝180º。
解析：因为CE、AB被AD所截，可由∠DCE＝∠A，根据“同位角相等，两直线平行”可得CE∥AB；也可由∠A＋∠ACE＝180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”得到CE∥AB；又因为CE、AB被BC所截，可由∠ECB＝∠B，根据“内错角相等，两直线平行”得到CE∥AB。
6. 已知；角平分线的定义；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行。
7. 解：（1）如图1，AB∥EF，BC∥DE。
∠1与∠2的关系是：∠1＝∠2。
证明：如图1∵AB∥EF，BC∥DE，∴∠1＝∠3，∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），∴∠1＝∠2（等量代换）；（2）如图2，AB∥EF，BC∥DE。
∠1与∠2的关系是：∠1＋∠2＝180°，证明：∵AB∥EF，BC∥DE，∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），∠1＋∠3＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠1＋∠2＝180°（等量代换）；（3）经过上述证明，我们可以得到一个真命题：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
解析：（1）根据两直线平行，同位角相等，可求出∠1＝∠2；（2）根据两直线平行，同位角相等，及同旁内角互补可求出∠1＋∠2＝180°；（3）由（1）（2）可得出结论。
8. 解：（1）平行，证明：∵∠2＋∠CDB＝180°，∠1＋∠2＝180°，∴∠CDB＝∠1（等量代换），∴AE∥FC（同位角相等，两直线平行）。
（2）平行，证明：∵AE∥FC，∴∠CDA＋∠DAE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），又∵∠DAE＝∠BCF，∴∠BCF＋∠CDA＝180°（等量代换），∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）。
（3）平分，证明：∵AE∥FC，∴∠EBC＝∠BCF（两直线平行，内错角相等），∵AD∥BC，∴∠BCF＝∠FDA，∠DBC＝∠BAD，又∵DA平分∠BDF，∴∠FDA＝∠BDA（角平分线定义），∴∠EBC＝∠DBC（等量代换），∴BC平分∠DBE（角平分线的定义）。