物理学中变系数非线性Schrodinger方程的一种RKMK算法

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变系数非线性薛定谔方程的明暗孤子解

变系数非线性薛定谔方程的明暗孤子解付中华;耿青松【摘要】非线性薛定谔方程在光纤通讯、浅水波、量子力学和玻色-爱因斯坦凝聚等领域有重要的应用.在符号计算和几个特殊函数的帮助下,一个变系数非线性薛定谔方程是被列出.我们获得了方程明孤子解和暗孤子解,这些解含有丰富的物理结构,可以帮助我们更好的理解光孤子.【期刊名称】《南昌大学学报（理科版）》【年(卷),期】2018(042)006【总页数】4页(P532-535)【关键词】变系数非线性薛定谔方程;明孤子解;暗孤子解;孤子交互作用【作者】付中华;耿青松【作者单位】武汉城市职业学院,湖北武汉430064;武汉城市职业学院,湖北武汉430064【正文语种】中文由于群速度色散(GVD)和自相位调制(SPM)效应之间的平衡，光孤子能够在长距离传播过程中保持其形状和速度，由于它们在光通信系统和全光超高速开关设备中的潜在应用，已经成为一个有吸引力的研究领域。

而在光孤子领域有一类重要的非线性偏微分方程，那就是非线性薛定谔方程，具有非常重要的研究价值，吸引了大量的研究者。

非线性薛定谔方程可用于研究非线性光学中孤子相互作用的性质和特征在实际物理模型中，变系数非线性方程包含了更多的未知参数，能够代表一些更复杂的物理现象和模型。

借助符号计算的帮助[2-12]，考虑以下变系数非线性薛定谔方程[13]iut+iL1(t)ux+L2(t)uxx+L3(t)u|u|2=0(1)其中u=u(x,t)是一个复函数,表示光纤系统中电场的时空复杂包络线。

L1(t)，L2(t)表示不同的GVD系数，L3(t)表示非线性系数。

当L1(t)=0时，方程(1)变成标准的变系数非线性薛定谔方程。

最近Lin等人通过Hirota双线性方法获得了方程(1)的震荡孤子解[14]。

Li等人通过相似变换获得了方程(1)的怪波解。

此外，通过选择群速度色散系数作为特定函数分别讨论了一阶和二阶怪波解[15]。

怪波在形状，振幅，峰值数和伸展方面表现出丰富的特征，而且也可通过系统参数控制。

Chapter 2-3 态函数和Shrodinger方程(下)

的单色平面波的叠加：
⎡i ⎤ ϕ (Ρ) exp ⎢ (Ρ ⋅ r − Εt ) ⎥ d Ρ ∫ ⎣ ⎦
Quantum Mechanics ( I )
式中
Ρ2 Ε= 2m
。不难证明
i ∂Ψ 1 i = ϕ (Ρ)Ε exp[ (Ρ ⋅ r − Εt )]d Ρ 3/ 2 ∫ ∂t (2π ) i 1 2 2 2 − ∇ Ψ= ϕ (Ρ)Ρ exp[ (Ρ ⋅ r − Εt )]d Ρ 3/ 2 ∫ (2π )
ˆ ˆ H = H (t )
2.3 Quantum Mechanics ( I ) ※
Peking University
在后一种场合，我们必须用关系式
1 ⎡ e ⎤ H= ⎢ Ρ − c Α(r , t ) ⎥ + eΦ (r , t ) 2m ⎣ ⎦
2.3
2
由关系式（24），便得到如下波动方程：
但方程（22）不满足必须是时间的一阶微分方程的要求，所以，如不对此重新作出物理解释，就无法将其作为单粒子的波动方程接受下来。事实上，一列波能够代表一个且仅代表一个粒子的动力学状态这件事，只有在非相对论极限下，亦即在满足粒子数守恒定律的前提下，才是充分证实了的。一旦跨入相对论领域，许多概念需要加以审慎地考察与修正。
Peking University
Quantum Mechanics ( I )
(3). 因为波函数的变数是 r 和 t ，因此波动方程是关于 r 和 t 的偏微分方程。我们可以要求该方程不高于二阶，以便一旦初始条件和边界条件给定后，方程能唯一地确定以后任何时刻的波函数。因为根据数学物理方程中的斯图姆—刘维定理，二阶正规的偏微分方程的解，存在唯一性定理成立。 (4). 波动方程必须是对时间的一阶微分方程。只有这样，一旦指明了初始时刻的Ψ ，则在以后时间的变化才能被唯一确定。但是一阶（时间）微分方程描述不可逆过程（如热传导、扩散方程）无波动形式解，除非方程系数含虚数i，故要求为复数Ψ 。

rk方程公式

rk方程公式
RK方程是常见的一类数值方法，用于求解常微分方程的数值解。

它由鲍威尔和隆金库塔于1964年提出，是一种四阶的显式迭代公式。

在数值计算中，RK方程被广泛应用于各个领域，如物理、化学、生物学等。

在RK方程中，我们通常需要给定初始条件和步长，然后通过迭代计算得到方程的数值解。

这个过程可以看作是在仿真时间上不断推进，每一步都根据当前的状态和微分方程的导数来更新下一步的状态。

通过不断迭代，我们可以逼近微分方程的解。

在实际应用中，RK方程的精度和稳定性是非常重要的。

精度指的是数值解与真实解之间的差距，而稳定性则是指解的数值解在迭代过程中是否会发散或振荡。

为了提高精度和稳定性，可以选择合适的步长和适当的迭代次数。

除了精度和稳定性，RK方程还具有其他一些优点。

首先，它是一种显式方法，计算相对简单，容易实现。

其次，RK方程可以灵活地应用于各种复杂的微分方程，适用范围广泛。

此外，RK方程还可以用于求解刚体动力学、随机微分方程等问题。

总的来说，RK方程是一种非常有效的数值方法，可以用于求解各种微分方程。

它不仅具有较高的精度和稳定性，而且适用范围广泛，可以应用于各个领域。

通过使用RK方程，我们可以更好地理解和分
析复杂的动态系统，为科学研究和工程实践提供有力的支持。

非线性Schrōdinger及Klein—Gordon和方程组Kdv方程组的一类孤立波解

（）２
其中ａｐｙ和Ｐ是复常数，一（，，，ｚ，）（＝１２ … ，，，是已知实常数．，， Ⅳ）Ｃｍｎ以及下述高阶Ｋｄｖ方程的孤立波解：其中ａｐ７和８是常数．，，
１Ｓｃｑｔｎｑ方法ｅｈ —ａｈ
Ｓｈ６ｉｇｒＫｌｉ— ｏｄｎ方程组及Ｋｄｃｒｄｎｅ、ｅＧｒｏｎｖ方程的孤立波解，即给出方程（）下述组的
形孤立解，一∑ 式的波。
（・）．
＋∑ ｂ一其中一ｅ・，ｔＮｓ（）一ａｃｎ
（６）
２Ｉ，Ｉｍ）：ｍ口＋
其中常数口＋７２ｏｄ￣ａｎ）一＋Ｉ一１５≠ ，ｎＷ，Ｄ＋
Ｒｆ＝１２ … ，ｅ，ｌ，， Ⅳ．
基于文献［］Ｃ３１，２的结果，下面我们试图求出方程组（）述形式的解：６下
关键词：ｅｈ— ａｈＳｃｑｎｑ方法；ｃｒｄｇｒＴＳｈ６ｉｅ方程；ｄ方程；ｎＫｖ孤立波解
中图分类号：１５２Ｏ７．９
文献标识码：Ａ
Ｏ引言
非线性发展方程（）组的精确解一直是许多数学和物理学工作者极大关注的问题．各种方法应运而生，如李群法，布变换法，散射法，ａｈ函数法等．达反ｔｎ由于ｔｎａｈ函数法不能用来求形如ｓｃ — ｎｅｈｔｈ的解，ａ因此本文中作者探讨了用推广的ｓｃｑｔｎｑ法求非线性Ｓｈ６ｉｇｒＫｌｉ— ｒｏｅｈ —ａｈｃｒｄｎｅ及ｅｎＧｏｄｎ方程组当Ｎ为奇

§1.3Schrodinger方程

E p2 2
为粒子质量
综合以上三式有：
i
t
p

2 2
2 p

2
px2 2
1
--------------自由粒子的 SchrÖdinger 方程
b.一般力场的 SchrÖdinger 方程
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资0配不料置仅试技可卷术以要是解求指决，机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中体2资2配，料置而试时且卷，可调需保控要障试在各验最类；大管对限路设度习备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料；中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整，中核或资对者料定对试值某卷，些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置，卷.编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线，高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试，高方要中案求资，技料编术试写5交、卷重底电保要。气护设管设装备线备置4高敷、调动中设电试作资技气高，料术课中并3试中、件资且卷包管中料拒试含路调试绝验线敷试卷动方槽设技作案、技术，以管术来及架避系等免统多不启项必动方要方式高案，中；为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中，料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工，置作合调并理试且利技进用术行管，过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指：灵导在活。分。对线对于盒于调处差试，动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术，调问应试题采技，用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一，隔变需开压要处器在理组事；在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资，障料强时、电，设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具习源高题高中电中资源资料，料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与，采相要用关进高技行中术检资资查料料和试，检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

广义带导数的非线性Schrodinger方程的精确解的开题报告

广义带导数的非线性Schrodinger方程的精确解的开题报告题目：广义带导数的非线性Schrodinger方程的精确解的研究摘要：在光纤通信系统、非线性光学、声学、等离子体物理等领域中，广义带导数的非线性Schrodinger方程是一个重要的数学模型，因此研究其精确解对于深入理解这些物理现象具有重要意义。

本文将利用Lie对称方法研究这类方程的精确解，利用变换实现方程的约化，并通过十五种变换将其化为一般的二阶线性微分方程。

通过求解这些线性微分方程得到原方程的精确解，并利用MATLAB进行数值模拟验证解的可行性。

关键词：广义带导数，非线性Schrodinger方程，精确解，Lie对称方法，变换,数值模拟。

研究背景与意义：广义带导数的非线性Schrodinger方程是一类具有重要意义的非线性偏微分方程，其出现与许多领域相关，尤其在光纤通信系统、非线性光学、声学、等离子体物理等领域中有广泛的应用。

虽然该方程已经被广泛研究，但是这些研究大多集中在方程的数值解和近似解上，而对于其精确解研究尚不充分，这限制了我们对于这一数学模型本质的理解。

因此，精确解的研究具有重要的理论和实际意义。

研究思路与方法：本文将使用Lie对称方法，该方法是研究微分方程解的一个强有力工具，可以用来寻找对称约化方程的对称群，进而求出微分方程的精确解。

具体来说，我们将首先通过求解方程的变换群来找到其对称性，然后应用变换使其变为更简单的形式，最终求出方程的精确解。

由于方程的解析性质越来越难以得到，我们将借助MATLAB进行数值模拟以验证解的可行性。

预期成果：本文将通过应用Lie对称方法研究广义带导数的非线性Schrodinger方程的精确解，应用变换将该方程化为一般的二阶线性微分方程，并求解这些线性微分方程得到原方程的精确解。

在此基础上，我们将利用MATLAB进行数值模拟验证解的可行性。

预期得到的最终成果是原方程的精确解以及对其进行数值模拟的可行性分析，这对于深入理解广义带导数的非线性Schrodinger方程的特性具有重要的意义。

非线性Schr

非线性Schrӧdinger方程插值系数时空有限元法[摘要] 本文讨论了非线性Schrӧdinger方程的插值系数时空有限元法。

利用有限元方法与有限差分方法相结合的技巧，证明了插值系数有限元弱解的存在唯一性，并给出了时间最大模，空间模，即模的误差估计。

[关键字] 非线性Schrӧdinger方程插值系数有限元方法时空有限元方法模误差估计引言非线性Schrӧdinger方程在量子力学，非线性光学，地震学等学科中有着非常广泛的应用，很多学者对它进行了大量的研究。

如Delfour等人提出了有限差分格式，Ohannes Karakashian[1],[2]，李宏[3]等人利用时空间断的时空有限元方法讨论了其弱解的存在性和收敛性，而对抛物型问题的研究和计算中，Zlamal 提出了插值系数有限元法，陈传淼[6]的著作也表明，插值系数有限元是计算此类弱非线性问题的有效方法。

现考虑非线性Schrӧdinger偏微分方程：(1)其中，,是定义在上的复值函数，是一个实参数。

本文首先给出定义与符号说明，接着给出（1）的弱解的存在唯一性证明，然后证明了插值系数时空有限元解的模误差估计。

1.定义与符号说明对时间区间进行剖分:,时间步长。

定义时空区域,时空片。

并记是的一种剖分，是剖分单元，是单元的直径，。

定义1：在每一时间区间上定义有限元容许函数空间，其中，是上的多项式。

定义2:有限维试探函数空间，对，是的次多项式。

并且在时间剖分点处允许间断。

用来表示阶的Sobolev复空间，它的模记为，和为通常的Sobolev空间,它们的分别记为和。

再记，及对给定的，2.弱解的存在唯一性首先给出方程(1)的弱形式(2)这里，当时，该弱形式的解也即方程（1）的弱形式的解。

函数满足：；L为Lipschitz常数，c为正常数。

下面证明弱解的存在唯一性，为此对于任意的,考虑Lobatto积分法则此积分法则具有阶代数精度。

在插值节点处定义Lagrange插值函数，，为了把[0,1]区间映射到区间上，作线性变换，则有，再考虑阶的Lagrange多项式，则有。

带非定域项schrodinger方程的jost解

带非定域项schrodinger方程的jost解在量子力学中，Schrödinger方程是研究量子系统的一个常用方程。

对于一维系统，Schrödinger方程可以写成如下形式：\[H\psi(x) = E\psi(x)\]其中H是系统的哈密顿算符，ψ(x)是波函数，E是能量。

通常情况下，Schrödinger方程是一个定域的方程，即和位置x有关系的项是局部的。

然而，在一些情况下，Schrödinger方程可以包含非定域项，即和位置x有关系的项是非局部的。

这种情况下的Schrödinger方程被称为带非定域项的Schrödinger方程。

\[H\psi(x) = E\psi(x) + V(x)F[\psi](x)\]其中V(x)是定域势能项，F[\psi](x)是非定域项，可能包含了波函数ψ在整个空间上的积分或导数等。

在研究带非定域项的Schrödinger方程时，一个重要的概念是Jost 解。

Jost解是一种特殊的解，它们具有一些特殊的性质。

Jost解可以通过一个无穷级数的形式来表示：\[\psi(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_ne^{ikx}\]其中k是一个实数，a_n是系数。

对于带非定域项的Schrödinger方程，Jost解可以写成如下形式：\[\psi(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_ne^{ikx} + \int dkF[k]\phi(k)e^{ikx}\]其中F[k]是一个与波矢k相关的函数，用来描述非定域项的影响。

φ(k)是一个与波矢k相关的函数，它是另外一个方程的特解，该方程不包含非定域项。

这个方程通常被称为约化方程。

Jost解的一个重要性质是它们满足正交归一条件。

即，Jost解的内积满足如下关系：\[\int dx \psi^*(x)\psi(x) = 1\]根据这个性质，可以推导出Jost解的系数a_n满足一组正交归一条件：\[\int dx \psi_n^*(x)\psi_m(x) = \delta_{nm}\]其中δ_nm是Kronecker delta符号，当n=m时为1，否则为0。

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ｔｒｓｕａｅｃｓｒｎｏｒｙ．ｅｑｒｏｎｅｖｉｇｐｒｐｅｔ
Ｋｅｒｓ：ｎｏ－ｉａｃｏｎｇｒｅａｉｎ；ＲＫＭＫｔｄ；ＲｕｙｗｏｄｎｌｎｅｒＳｈｒｄｉｅｑｕｔｏｍｅｈｏｎｇｅ — ｔａｍｅｈｏｒＫｕｔｔｄ
ｅｕｔｏｔａｉｂｅｃｅｆｃｅｔｑａｉｎｗｉｈｖｒａｌｏｆｉｉｎ．Ｔｈａｉｉｅｓｔｉｃｅｉｅｔｅｅｕｔｎｉｔｙｄ：Ａ（，）ｅｂｓｃｄａｉｏｄｓｒｔｈｑａｉｏｄ／ｔｚｏｎｔｙ
非线性ｓｈ。ｉｇｒ方程在众多物理领域，ｃｒｄｎｅ如尤其是纤维光学中有着重要的应用．系数的非线变
性Ｓｈｏｉｇｒ程是光孤子散射中非常重要的方ｃｒｄｎｅ方
＋，
为
ａ￡（）
＋Ｊ￡声Ｉ：ｉ（）９）Ｉｚ（７￡
离散偏微分方程组３得 ’
Ｙ，ｔｅｐｐｌｈｅｌｏｅｈｏｏｉ．ｈｎａｙｔｉｇｒｕｐｍｔｄｔｔＮｕｍｅｉａｘｒｍｅｔｒｓｌｓｓｗｈｉｔｄｈｓｂｔｅｒｃｌｅｐｅｉｎｅｕｔｈｏｔｓｍｅｈｏａｅ —
第２卷第３４期２１００年５月
山东理工大学学报（然科学版）自
ＪｕｎｌｆＳａｄｎｎｖｒｉｙｏｃｎｌｇ（ｔｒｌｃｅｃｄｔｏ）ｏｒａｈｎｏｇＵｉｅｓｔｆＴｅｈｏｏｙＮａｕａｉｎｅＥｉｉｎｏＳ
（）１
这里仅仅考虑ｙ￡（）一０的情况．令该方程的解声ｚ，）ｕｘ，＋ｉ（￡（￡（统中孤子脉冲的传输满足变系光
数的非线性Ｓｈｏｉｇｒ方程．造平方守恒格式ｃｒｄｎｅ构
Ｖ０．４Ｎｏ３１２。
Ｍａ１０ｙ２０
文章编号：６２６９（０００ — ０７０１７ — １７２１）３０３ — ２
物理学中变系数非线性Ｓｈｏｉｇｒｃｒｄｎｅ方程的一种ＲＫＭＫ算法
康永强，林巧文，刘红梅
（山西大同大学物理与电子科学学院，山西大同０７０）３０９摘要：介绍了变系数非线性Ｓｈｏｉｇｒｃｒｄｎｅ方程的一种数值计算方法，基本思想是先把该方程化其
￣ｄ７Ｙ
＝
Ｑ
Ａ（，Ｙ的形式，后应用Ｒ￡Ｙ）然ＫＭＫ几何积分方法数值计算该方程．果表明，方法比结该
Ｒｕｇｒｔｎｅ－ｔ法有更好的保平方守恒特性．Ｋｕａ方
关键词：非线性Ｓｈｏｉｇｒ方程；ＲｃｒｄｎｅＫＭＫ方法；ｎｅ— ｔａ方法ＲｕｇｒＫｕｔ中图分类号：Ｏ１４３文献标识码：Ａ
ＯｎｅｎｕｅｉａｎｔｇａｉｎｍｅｈｏｆｎｎｌｎｅｒＳｈｏｎｅｑａｉｎｓｍｒｃｌｉｅｒｔｏｔｄｏｏ —ｉａｃｒｄｉｇｒｅｕｔｏ
Ｊ
ａ）Ｉｏ】一（喜一（ｌ＋ — ）￡。
ｄ。
（３）
１基本方程
我们考虑具有变系数的非线性Ｓｈｏｉｇｒｃｒｄｎｅ
方程
收稿日期：０９一Ｉ２０１一Ｉ９作者简介：永强（９９，，教，士． — ｉ：ｙ＿００ｓｈ．ｏ康１７一）男助硕Ｅｍａｌｋｑ２０＠ｏｕｃｒｎ
ｗｉｈｖｒａｌｏｆｉｉｎｎＰｈｙｉｓｔａｉｂｅｃｅｆｃｅｔｉｓｃ
ＫＡＮＧｎ — ｉｎＹｏｇｑａｇ，ＬＮａ — ｎ，ＬＩＨｏｇｍｅＩＱｉｏｗｅＵｎ — ｉ
（ｃｏｌｆＰｈｓｃｎｅｔｏｉＳｉｎｅｈｎｉＤａｏｇＵｎｖｒｉｙＳｈｏｙｉｓａｄＥｌｃｒｎｃｃｅｃ，Ｓａｘｔｎｉｅｓｔ，Ｄａｏ０７０，Ｃｈｎ）ｏｔｎ３０９ｇｉａ
ＡｂｔａｔＡｉｄｏｕｒｃｌｉｔｇａｉｎｍｅｈｄｉｉｔｏｕｅｏｔｏｖｏ —ｉｅｒｓｈｏｉｇｒｓｒｃ：ｋｎｆｎｍｅｉａｅｒｔｔｏｎｒｄｃｄｔｏｓｌｅｎｎｌａｃｒｄｎｅｎｏｓｎ
把（）代入（）式，２式１可得到下面的２个方程：
是稳定地求解非线性发展方程的重要方法之一．下
ｆ＋。￡（）
＋（Ｉ２一０￡＋ｚ）Ｕｌ
面过ＲＭ几积方求变数的Ｓｒ通ＫＫ何分法解系ｃｏｈ—
ｄｅ程ｉｒ．ｎ方ｇ