导数的四则运算法则
导数的四则运算法则
dy
即
x x (a ) a ln a .
x x 特别地， 有 (e ) e ．
例 13
解
求 y arcsin x 的导数．
y arcsin x 是 x sin y 的反函数， sin y 在 x
dx cos y 0 ． 区间 , 内单调、可导，且 dy 2 2
.
三.导数公式小结
1.基本初等函数的导数公式
C 0(C为常数）； （log a x ) 1 x ln a ;
1 ( x ) x ( 为实数）；
（ln | x |)
x x (e ) e ;
1 x
;
x x ( a ) a ln a;
(sin x ) cos x; (tan x ) 1
2
求 y sin 2 x ln x 的导数.
y 2sin x cos x ln x
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x ) ln x
2sin x cos x 1
x 1 2cos 2 x ln x sin 2 x . x
f ( x ) lim
1 1 lim x 0 x y 0 x ( y ) y
y
即 f ( x )
1
( y )
.
反三角函数导数公式的证明(略)
例 12
解
求 y a (a 0, a 1) 的导数．
x
y a 是 x log a y 的反函数， x log a y 在 且 dx 1 0 , (0,) 内单调、可导，又 dy y ln a 1 x y y ln a a ln a , 所以 dx
导数的基本公式和四则运算法则
导数的基本公式和四则运算法则导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的基本公式和四则运算法则是学习导数的基础，也是解决导数相关问题的重要工具。
首先，我们来看导数的基本公式。
对于函数f(x)，它在点x处的导数可以用以下公式表示：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) f(x)] / h.这个公式描述了函数在点x处的变化率，也就是函数曲线在该点的切线斜率。
通过这个公式，我们可以求得函数在任意点的导数值，从而描绘出函数的变化规律。
接下来，我们来看四则运算法则在导数中的应用。
四则运算法则包括加法、减法、乘法和除法。
在导数的计算中，我们可以利用这些法则简化复杂函数的导数计算。
对于两个函数f(x)和g(x)，它们的和、差、积和商的导数计算规则如下：1. 和的导数，(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)。
2. 差的导数，(f-g)'(x) = f'(x) g'(x)。
3. 积的导数，(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
4. 商的导数，(f/g)'(x) = (f'(x)g(x) f(x)g'(x)) / g(x)^2。
利用四则运算法则，我们可以将复杂函数的导数计算转化为简单函数的导数计算，从而更方便地求得函数的导数值。
在实际问题中，导数的基本公式和四则运算法则是非常有用的工具。
它们可以帮助我们分析函数的变化规律，解决最优化问题，以及研究曲线的性质。
因此，掌握导数的基本公式和四则运算法则对于理解微积分的重要性不言而喻。
希望通过本文的介绍，读者对导数的基本概念有了更清晰的认识，也能够更加灵活地运用导数的基本公式和四则运算法则解决实际问题。
导数的四则运算法则
这个法则可以推广到任意有限个函数， 即
( f 1 f 2 f n ) ' f 1 ' f 2 ' f n '
例 1.(1)求函 f(x) 数 x2sixn 的导 .
解： f(x)(x2sinx)
(x2)(sixn)2xcoxs
(2)求函 g(x)数 x33x26x2的导 . 2
4 x (3 x 2 ) (2 x 2 3 )3 1x828x9
法二： y(6x34x29x6)
1x828x9
3. y x2 的导数 sinx
解y： ' (x2)'sisxn i2n xx2(sx i)n '
2xsinxx2coxs sin2 x
例5:求曲线y=x3+3x－8在x=2处的切 线的方程.（备选）
yax(a0,a1),yloagx(a0,a1), ysinx,ycoxs,ytanx,ycoxt.
3.导数应用的注意事项：
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数 的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在 求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构 特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导 数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的 要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形 式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时 速度等问题.
解： f (x) (x3 3x 8) 3x2 3， k f (2) 3 22 3 15， 又 切 线 过 点(2,6)， 切线方程为: y 6 15(x 2)， 即：15x y 24 0．
1.导数的四则运算法则是什么? 2.几个常用的函数的导数是什么?
yc(c是常),y数 x(为实),数
导数的运算法则范文
导数的运算法则范文一、基本导数公式：1. 常数导数法则：对于常数c，有d/dx(c) = 0，即常数的导数为0。
2. 幂函数导数法则：对于函数y = x^n（其中n为实数），有d/dx(x^n) = nx^(n-1)。
3. 指数函数导数法则：对于函数y = e^x，有d/dx(e^x) = e^x。
4. 对数函数导数法则：对于函数y = ln(x)，有d/dx(ln(x))=1/x。
5.三角函数导数法则：- 正弦函数：d/dx(sin(x)) = cos(x)。
- 余弦函数：d/dx(cos(x)) = -sin(x)。
- 正切函数：d/dx(tan(x)) = sec^2(x)。
- 余切函数：d/dx(cot(x)) = -csc^2(x)。
二、四则运算法则：1. 和差法则：对于函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(x)±g(x)) =d/dx(f(x)) ± d/dx(g(x))。
2. 乘法法则：对于函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(x)*g(x)) =f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)。
3. 商法则：对于函数f(x)和g(x)（其中g(x)≠0），有d/dx(f(x)/g(x)) = (f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x))/[g(x)]^2三、链式法则：链式法则用于计算复合函数的导数。
对于函数y = f(g(x))，有d/dx(f(g(x))) = f'(g(x))*g'(x)。
四、反函数的导数：对于函数y=f(x)和其反函数y=f^(-1)(x)，如果f'(x)≠0，则有（f^(-1))'(x)=1/f'(f^(-1)(x))。
五、导数的乘方法则：对于函数y = [f(x)]^n（其中n为实数），有d/dx([f(x)]^n) =n*[f(x)]^(n-1)*f'(x)。
一导数的四则运算法则
u'( x) lim u( x) , v'( x) lim v( x)
x0 x
x0 x
且y v( x)在点x处必连续，即
lim v( x x) v( x)
x0
所以
lim
x0
y x
=
lim
x0
u( x) x
v(
x
x)
v( x) x
u( x)
=u '( x) v( x) u( x) v '( x)
一、导数的四则运算法则
定理1 设函数u( x)与v( x)在点x处可导，则函数u( x) v( x)， u( x) v( x)，u( x) (v( x) 0)在点x处也可导并且有：
v( x)
1、u(x) v(x) ' u '(x) v '(x)
2、u(x) v(x) ' u '(x) v(x) u(x) v '(x)
=
1
1 x
2
(16)(arc
cot
x)'
=
1 1 x
2
2、 导数的四则运算法则
(1)u(x) v(x) ' u '(x) v '(x)
(2)u(x) v(x) ' u '(x) v(x) u(x) v '(x)
(3)Cu(x) ' Cu '(x)(C为常数)
'
u( x)
u '( x) v( x) u( x) v '( x)
f '(u)u'( x)
值得指出的是，复合函数的求导法，有时也称为链 导法，它可用于多次复合的情形。
导数的运算公式和法则
导数的运算公式和法则导数是微积分中的重要概念，用于描述函数的变化率。
在求导的过程中，有一些常用的运算公式和法则，可以帮助我们简化计算。
下面是一些常用的导数运算公式和法则。
一、基本导数公式1. 常数导数法则：对于任意常数c，其导数为0，即d/dx(c) = 0。
2. 幂函数导数法则：对于任意实数n，幂函数y = x^n的导数为d/dx(x^n) = nx^(n-1)。
特别地，当n = 0时，常数函数y = c的导数为d/dx(c) = 0。
3. 指数函数导数法则：对于底数为常数a的指数函数y = a^x，其导数为d/dx(a^x) = ln(a) * a^x。
这个法则也适用于自然对数中的指数函数y = e^x，其导数为d/dx(e^x) = e^x。
4. 对数函数导数法则：对于底数为常数a的对数函数y = log_a(x)，其导数为d/dx(log_a(x)) = 1 / (x * ln(a))。
特别地，当底数为自然常数e时，对数函数变为自然对数函数y =ln(x)，其导数为d/dx(ln(x)) = 1 / x。
5.三角函数导数法则：（1）正弦函数的导数为d/dx(sin(x)) = cos(x)。
（2）余弦函数的导数为d/dx(cos(x)) = -sin(x)。
（3）正切函数的导数为d/dx(tan(x)) = sec^2(x)。
（4）余切函数的导数为d/dx(cot(x)) = -csc^2(x)。
（5）正切函数和余切函数的导数也可以写成d/dx(tan(x)) = 1 /cos^2(x)和d/dx(cot(x)) = -1 / sin^2(x)。
6.反三角函数导数法则：（1）反正弦函数的导数为d/dx(arcsin(x)) = 1 / sqrt(1 - x^2)。
（2）反余弦函数的导数为d/dx(arccos(x)) = -1 / sqrt(1 - x^2)。
（3）反正切函数的导数为d/dx(arctan(x)) = 1 / (1 + x^2)。
1.2.3导数的四则运算法则(2.2)
1．函数y＝x2·sin x的导数是( ) A．2x·sin x＋x2·cos x B．x2·cos x C．2x·cos x D．2x·sin x－x2·cos x
2．设 f(x)＝ax3＋3)
19
16
13
10
A. 3
B. 3
C. 3
D. 3
特别地当 f(x)＝1 时有g（1x）′＝ －gg′2（（xx）） ．
求下列函数的导数． (1)y＝x4－2x2－3x＋3；(2)y＝xx2＋＋33； (3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(4)y＝xtan x. 【思路探究】 仔细观察和分析各函数的结构特征，紧 扣求导运算法则，联系基本初等函数求导公式，不具备求导条 件的可进行适当的恒等变形．
3．(2013·江西高考)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1，2)处的 切线经过坐标原点，则α＝________．
4．已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l 与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．
求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x3－2x相切的直线方程．
函数与方程思想在导数中的应用 (12 分)已知函数 f(x)＝12x2＋2ax，与函数 g(x)＝ 3a2ln x＋b，(a，b∈R)．设两曲线 y＝f(x)与 y＝g(x)有公 共点，且在公共点处的切线相同，若 a>0，试建立 b 关于 a 的函数关系式．
1．2 . 3 导数的四则运算法则
导数的运算法则
1．函数和(或差)的求导法则
f（x）±g（x）′＝ f′(x)±g′(x)
．
2．函数积的求导法则
(1)[f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x．)
5.2.2导数的四则运算法则
费用的瞬时变化率是1321元/吨.
课堂小结
1. 函数的和、差的导数运算法则
±
′
= ′ () ± ′ ().
2. 函数的积、商的导数运算法则
′
′
= ′ () + ′ ()；
′ − ′
=
5
2
=
5 ′
2
+
3 ′
2 2
+
]′
3 ′
2 2
5 3
3 1
= 2 + 2 ∙ 2
2
2
1
5 3
= 2 + 3 2 .
2
.
典型例题
例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水的纯净度的
提高，所需净化费用不断增加. 已知将1吨水净化到纯净度为%时
所需费用（单位：元）为
5284
′ = 2
, ′ = 1 .
设ℎ = + = 2 + ；求ℎ′ .
∆
因为
∆
=
(+∆)2 + +∆ −( 2 +)
∆
(∆)2 +2 ⋅ ∆ + ∆
= ∆ + 2 + 1，
=
∆
∆
′
ℎ′ = ′ + ′ .
所以ℎ = lim
们有如下法则：
′
′
= ′ () + ′ ()；
′ − ′
=
2
≠0 .
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§4 导数的四则运算法则一、教学目标： 1．知识与技能掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
2.过程与方法通过用定义法求函数f （x ）=x+x 2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x 2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。
3.情感、态度与价值观培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。
二、教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用教学难点：导数四则运算法则的证明 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程（一）、复习：导函数的概念和导数公式表。
1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x )(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=-3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，4. 求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx y ∆=∆∆（3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xyx ∆∆→∆0lim5. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x（二）、探析新课两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+证明：令)()()(x v x u x f y ±==，)]()([)]()([x v x u x x v x x u y ±-∆+±∆+=∆v u x v x x v x u x x u ∆±∆=-∆+±-∆+=)]()([)]()([，∴x v x u x y ∆∆±∆∆=∆∆，xv x u x v x u x y x x x x ∆∆±∆∆=⎪⎭⎫⎝⎛∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim lim 即 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． 例1：求下列函数的导数：（1）xx y 22+=； （2）x x y ln -=； （3）)1)(1(2-+=x x y ； （4）221x xxy +-=。
解：（1）2ln 22)2()()2(22xxxx x x y +='+'='+='。
（2）xxx x x x y 121)(ln )()ln (-='-'='-='。
（3）[]123)1()()()()1()1)(1(223232+-='-'+'-'='-+-='-+='x x x x x x x x x x y 。
()x xx x x x x x x x x x x x x x x x y 21222)()()(111)4(23232122122222++-=++-='+'-'='+-='⎪⎭⎫⎝⎛+-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='------例2：求曲线xx y 13-=上点（1，0）处的切线方程。
解：()22331311x x x x x x y +='⎪⎭⎫ ⎝⎛-'='⎪⎭⎫⎝⎛-='。
将1=x 代入导函数得 41113=+⨯。
即曲线xx y 13-=上点（1，0）处的切线斜率为4，从而其切线方程为 )1(40-=-x y ，即44-=x y 。
设函数)(x f y =在0x 处的导数为)(0x f '，2)(x x g =。
我们来求)()()(2x f x x g x f y ==在0x 处的导数。
[])()()()()()()()]()([)()()()(02020002002020002002020x f xx x x x x f x x f x x xx f x x x x f x x f x x xx f x x x f x x x y ∆-∆++∆-∆+∆+=∆-∆++-∆+∆+=∆-∆+∆+=∆∆令0→∆x ，由于 20200)(lim x x x x =∆+→∆)()()(lim0000x f xx f x x f x '=∆-∆+→∆0202002)(lim x xx x x x =∆-∆+→∆ 知)()()(2x f x x g x f y ==在0x 处的导数值为)(2)(00020x f x x f x +'。
因此)()()(2x f x x g x f y ==的导数为)()()(22x f x x f x '+'。
一般地，若两个函数)(x f 和)(x g 的导数分别是)(x f '和)(x g '，我们有)()()()()()()()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'=' 特别地，当k x g =)(时，有)(])([x f k x kf '='例3：求下列函数的导数：（1）xe x y 2=； （2）x x y sin =； （3）x x y ln =。
解：（1）xxxxxxe x x e x xe e x e x e x y )2(2)()()(22222+=+='+'='='；（2）x x xx x x x x x x y cos 2sin )(sin sin )()sin (+='+'='='；（3）1ln 1ln 1)(ln ln )()ln (+=⋅-⋅='-'='='x xx x x x x x x x y 。
例4：求下列函数的导数：（1）xxy sin =； （2）x x y ln 2=。
解：（1）222sin cos 1sin cos )(sin )(sin sin x x x x x x x x x x x x x x x y -=⋅-⋅='⋅-⋅'='⎪⎭⎫ ⎝⎛='； （2）xx x xx x x x x x x x x x x y 2222222ln )1ln 2(ln 1ln 2)(ln )(ln ln )(ln -=⋅-⋅='⋅-⋅='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='(三)、练习：课本44P 练习：1、2. 课本46P 练习1.（四）课堂小结：本课要求：1、了解两个函数的和、差、积、商的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差、积、商综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+2()()()()()[()()]()()()()()()f x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-'''=+=⎢⎥⎣⎦（五）、作业：课本47P 习题2-4：A 组2、3 B 组2五、教后反思：本节课成功之点：（1） 从特殊函数出发，利用已学过的导数定义来求f （x ）=x+x 2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明 （2） 由定义法求f(x)=x 2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。
（3）通过上述的教学过程，让学生自己探索求法法则，总结出求导公式培养了学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。
不足之处：学生做练习的时间太短，对于公式还没有时间去练习运用，这样有可能导致学生对积、商的导数公式不是很熟练掌握。