理力第二章2
力学思维导图(惊喜版)
力学思维导图斯坦物理第1节力From small beginnings come great things！伟大始于渺小——陈硕（小硕英语老师）第2节弹力成功的花儿，人们只惊羡她现时的明艳！然而当初她的芽儿，浸透了奋斗的泪泉，洒遍了牺牲的血雨。
——杨鹰（杨老大数学老师）第3节重力孩子，我要求你读书用功，不是因为我要你跟别人比成绩，而是，我希望你将来会拥有选择的权利，选择有意义、有时间的工作，而不是被迫谋生。
——孙中凯（小凯数学老师）小硕手写寄语第1节牛顿第一定律春天是一个绿色的世界，秋天是一个金色的世界。
愿你用春天的青春，酝酿未来知识的金秋！——李永平（永平语文老师）第2节二力平衡为天地立心，为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。
——罗兴博（北大老罗数学老师）第4节摩擦力学习不是唯一的出路，但是一定会是好的形式，希望多年之后你可以遇见更优秀的自己！——李彤彤（彤美丽数学老师）彤美丽微信截图力学第三章压强第1节压强假如你真的踏实努力过，那么你人生最坏的结果，只不过是大器晚成而已。
——刘彦超（刘校长物理老师）第2节液体的压强不必崇拜糟陈，糟陈只是未来的你。
总有一天，你会比糟陈更优秀，只是不要比他“糟”。
——陈嘉康（老夫语文老师）第3节大气压强和流体压强天道酬勤！人世间没有不经过勤奋而成为天才的。
愿你日夜勤奋，早日成才！——陈艳红（红姐数学老师）嘉康的回忆录第1节浮力你站在桥上看风景，看风景的人在楼上看你。
明月装饰了你的窗子，你装饰了别人的梦。
愿你成为一道装饰自己和别人梦想的靓丽风景线。
——刘晓倩（倩姐语文老师）第2节阿基米德原理尽管学习的道路可能并不平坦，但它完全可以成为一条充满意义和满足感的道路。
——张路洋（斯坦物理老师）（身后是武哥）第3节物体的浮沉条件及应用小凯的报复第1节功英语学习无非就是重复坚持用心，只要尽心尽力，结果交给上帝！——潘雪（英语老师）第2节功率让过去过去，让未来到来。
活在当下，学在当下。
理论力学复习第二章
理论力学· 静力学
例1：(i)求力系对A点的简化结果， (ii)力系对O点的力矩之和。
F1 F2 600N , M 400Nm, l 1m, b 0.5m
F Fi - F1 i - F2 j -600 i j N
i
l M A F1l - F2 - M k 0 3
FO MO ri FC ' rCO O ri MC C rCO FO
Fi
主矢与主矩的点积也是一个不 变量，与简化中心无关。
16
理论力学· 静力学
三、合力矩定理
Varignon(伐里农)合力矩定理
F1 Fi MO F
同一物理的两种思路
' ri Fi rO Fn MO M O M O ' ( F ) M O ' ( Fi )
MO -b i F 300k
Nm
18
理论力学· 静力学
四、空间力系简化的最终结果
1. F 0, MO 0 2. F 0, MO 0
[重点· 难点]
平衡力系 合力
（此时与简化中心有关，换个简化中 心，主矩不为零）
3. F 0, MO 0
4. F 0, MO 0
(1) F MO
合力偶 此时主矩与简化中心的位置无关。(?) F MO 0 F MO F // MO F MO 0 合力
F与MO 不平行也不垂直
19
理论力学· 静力学
M O F d , d
作用在刚体上力为滑移矢量 汇交力系 c F3 d F4 e
理论力学平面力系2
由于 F’R=0 为力平衡 MO=0 为力偶也平衡
所以平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢R’ 和主矩 MO 都等于零，即：
′ FR = (∑ Fix ) 2 + (∑ Fiy ) 2 = 0
M O = ∑ M O (Fi ) = 0
48
∑F ∑F
ix
一矩式
O
A
( Fi ) = 0
二矩式
实质上是各力在x 轴上的投影恒 等于零，即
B
( Fi ) = 0
∑F
ix
= 0 恒成立，
所以只有两个独立方程，只能求 解两个独立的未知数。
条件：AB连线不能平行 于力的作用线
52
[例] 已知：P=20kN, m=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。 解：研究AB梁
M F
45o
q
A l
B
56
解：
1. 取梁为研究对象，受力分析如图
M F
45o
2. 列平衡方程
∑ Fx = 0,
FAx − F cos 45o = 0
q
A l
B
∑ M (F ) = 0
A
∑ Fy = 0,
FAy − ql − F sin 45o = 0
y
q FAx
A
M
45o
l M A − ql × − F cos 45 o × l + M = 0 2 3. 解方程 FAx = F cos 45o = 0.707 F F
F A
F B
66
刚架 ABCD 所受载荷和尺寸如图所示。其中，集中力 F=8 kN ， 均布载荷的集度 q = 100 N/m，力偶矩大小M = 4 kN•m。如果不 计刚架的重量，求固定铰链支座A 和活动铰链支座D对刚架的约 束力。 θ = 60 o
流体力学 第二章 水静力学 (2)
ydA 表示面积dA对Ox的静矩 。
(一)
静水总压力的大小
根据理论力学中的静矩定理：微小面积dA对 某一轴的静矩之和（即
A ydA ），等于 平面面积A对同一轴的静矩Sx （即平面面积A
与其形心纵坐标yc的乘积），即有：
Sx
则
ydA y
A
c
A
P g sin S x g sin yc A
工程实践中，需要解决作用在结构物表面上的液体静压力 的问题。
本节研究作用在平面上的液体静压力，也就是研究它
的大小、方向和作用点。 由于液体静水压力的方向指向作用面的内法线方向， 因此只须求总作用力的大小和作用点。 研究方法可分为解析法和图解法两种
一、用解析法求任意平面上的静水总压力
问题：作用于这一任意平面上的相对静水总压力的大小及作
得
A
xD
A
I XY yC A
I Cxy yC A
I XY xydA 称为EF平面对Ox及Oy轴的静矩积
x D xC
式中Icxy为平面EF对通过形心C并与Ox、Oy轴平行的轴的惯性积。因为惯 性积Icxy可正可负，xD可能大于或小于xc。也就是对于任意形状的平面，压 力中心D可能在形心C的这边或那边
面相垂直。
注意：
1.在水利工程中，一般只需计算相对压强，所以只需绘制相对压强分 p h 布图，当液体的表面压强为 p0 时， 即p与h呈线性关系，据此绘 制液体静水压强图。 2. 一般绘制的压强分布图都是指这种平面压强分布图。 相对压强分布 图
pa
A
Pa+ρgh
B
静水压强分布示意图
静水压强分布图实例
由图可见：
理论力学(周衍柏 第二版)第2章习题解答
把⑥代入⑦得，
R1 = m1m2 cosθ g ⑧ m2 + m1 sin 2 θ
水平面对劈的反作用力 R2 。仍用隔离法。因为劈在垂直水皮方向上无加速度， 所以
R2 − m2 g − R1 cosθ = 0 ⑨
于是
R2 = m2 ( m1 + m2 ) g ⑩ m2 + m1 sin 2 θ
6
2.5解 因为质点组队某一固定点的动量矩 J = ∑ ri × mi v i
m 相对于地固连的坐标系 Oxy 的绝对速度
V绝对 = V相 + V牵
V相 为 m 相对 M 的运动速度
② u = aθ
故水平方向 vx = u cosθ − V ③ 竖直方向
v y = usiaθ ④
在 m 下滑过程中，只有保守力（重力）做功，系统机械能守恒： （以地面为重力零势能面）
8
mga cos α = mga cos θ +
(M + M ′) − M 2 μg M′ u− 2mM M
2
2.16 雨滴落下时，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比例，求雨滴速度与时间的关系。 2.17 设用某种液体燃料发动的火箭， 喷气速度为 2074 米/秒， 单位时间内所消耗的燃料为 原始火箭总质量的 1 。如重力加速度 g 的值可以认为是常数，则利用此种火箭发射人造太
i =1 n
所以对于连续物体对某一定点或定轴，我们就应该把上式中的取和变为积分。如 图 2.5.1 图所示薄圆盘，任取一微质量元，
O
dθ
dr
dm = ρ ⋅ rdθdr
ρ=
所以圆盘绕此轴的动量矩 J
J =
M πa 2
∫∫ r × ( dm v ) = ∫∫ r ⋅ ρ rdrd
初中七年级物理第二章教案
初中七年级物理第二章教案教学目标：1. 让学生理解力的概念，掌握力的作用效果。
2. 让学生了解牛顿三定律，能够运用牛顿三定律解释生活中的现象。
3. 培养学生观察、思考、动手实践的能力。
教学重点：1. 力的概念和力的作用效果。
2. 牛顿三定律的内容及应用。
教学难点：1. 力的作用效果的判断。
2. 牛顿三定律的理解和应用。
教学准备：1. 教师准备PPT、实验器材。
2. 学生准备笔记本、笔。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过PPT展示力的示意图，引导学生思考力的概念。
2. 学生分享对力的理解，教师总结并板书力的定义。
二、力的作用效果（15分钟）1. 教师通过PPT展示力的作用效果的图片，引导学生观察并思考。
2. 学生分享对力的作用效果的理解，教师总结并板书力的作用效果。
三、牛顿三定律（20分钟）1. 教师通过PPT介绍牛顿三定律的内容，引导学生理解。
2. 学生分享对牛顿三定律的理解，教师总结并板书牛顿三定律。
四、动手实践（15分钟）1. 教师组织学生进行实验，让学生亲身体验力的作用效果。
2. 学生根据实验结果，运用牛顿三定律解释现象。
五、课堂小结（5分钟）1. 教师引导学生回顾本节课所学内容，总结力的概念、力的作用效果和牛顿三定律。
2. 学生分享自己的学习收获，教师给予鼓励和指导。
六、作业布置（5分钟）1. 教师布置作业，要求学生复习本节课所学内容，巩固基础知识。
教学反思：本节课通过引导学生思考力的概念，观察力的作用效果，学习牛顿三定律，并组织学生进行动手实践，培养了学生的观察能力、思考能力和动手实践能力。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，确保学生能够理解和掌握所学知识。
同时，要注重培养学生的学习兴趣，激发学生的学习积极性，提高学生的学习效果。
理论力学第二章 质点组力学(2)
mr1
k2m
M m2
1 r22
r1 r1
从上式看出，力仍然与距离平方成反比， 故行星绕质心作圆锥曲线运动。太阳也如此。
2014/3/19
第二章 质点组力学（2）
12
行星相对于太阳的相对运动
由方程
M
d 2 rS dt 2
GMm r r2 r
m
d 2 rP dt 2
GMm r2
r r
m1
m2
m2
v2
u2
u1
u2
动量守恒 m2v1 m2v2 m1u1 m2u2
且定义e: u1 u2 ev1 v2
式中e称为恢复系数。
2014/3/19
第二章 质点组力学（2）
23
所以,考虑弹性碰撞问题,有以下两个方程
动量守恒 m2v1 m2v2 m1u1 m2u2
mv1 mv2 0
机械能守恒
r
（1） m1 v1
v2 m2
km1m2 a
1 2
m1v12
1 2
m2v22
km1m2 a/2
联立求解：
（2）
2k
2k
v1 m2
,
a m1 m2
v2 m1
a m1 m2
（3）
另：如果从动能定理出发
d
1 2
m1v12
1 2
理论力学
教材：周衍柏《理论力学教程》 编
北京交通大学理学院 教师：王波波
2014/3/19
第二章 质点组力学（2）
1
第二章 质点组力学
理论力学第二章习题答案
理论力学第二章习题答案理论力学是物理学中研究物体运动规律和相互作用的分支学科，它以牛顿运动定律为基础，通过数学方法来描述物体的运动和力的作用。
本章习题答案将帮助学生更好地理解和掌握理论力学的基本概念和计算方法。
习题1：考虑一个质量为m的物体在重力作用下自由下落。
忽略空气阻力，求物体下落过程中的速度和位移。
答案：物体自由下落时，受到的力只有重力，大小为mg，方向向下。
根据牛顿第二定律，F=ma，可以得到加速度a=g。
物体的速度v随时间t变化，可以使用公式v=gt计算。
物体的位移s随时间变化，可以使用公式s=1/2gt^2计算。
习题2：一个质量为m的物体在水平面上以初速度v0开始运动，受到一个大小为k的恒定摩擦力作用。
求物体停止前所经过的距离。
答案：物体在水平面上运动时，受到的摩擦力与物体的位移成正比，即F=-kx。
根据牛顿第二定律，F=ma，可以得到加速度a=-k/m。
物体的位移x随时间t变化，可以使用公式x=v0t - 1/2(k/m)t^2计算。
当物体速度减至0时，物体停止，此时t=2v0/k，代入公式得到x=2v0^2/k。
习题3：一个质量为m的物体在斜面上，斜面与水平面的夹角为θ。
物体受到一个向上的拉力F，使得物体沿斜面匀速上升。
求拉力F的大小。
答案：物体沿斜面匀速上升时，拉力F与重力分量mgsinθ和摩擦力μmgcosθ平衡。
根据平衡条件，F=mgsinθ + μmgcosθ。
如果摩擦系数为μ，可以进一步简化为F=mg(sinθ + μcosθ)。
习题4：考虑一个质量为m的物体在竖直平面内做圆周运动，圆心位于物体的正下方。
物体的运动由一个弹簧连接到圆心，弹簧的劲度系数为k。
求物体在圆周运动中的角速度。
答案：物体在圆周运动中，受到弹簧力和重力的作用。
根据牛顿第二定律，向心力Fc=mv^2/r=ma，其中r为圆的半径。
由于物体做圆周运动，向心力由弹簧力和重力的垂直分量提供。
因此，Fc=kx - mgcosθ，其中x为弹簧的伸长量，θ为物体与竖直方向的夹角。
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性质1：力偶没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。
性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而 与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。 F′
d
x A
M O ( F ) M O ( F ) F ( x d ) F x
由于O点是任取的
O
B
F
Fd
主矢与简化中心位置无关 (因主矢等于各力的矢量和)
理论力学
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转动 效应
大小： M O M O ( Fi )
主矩MO
转向：
转向规定
+
—
主矩一般与简化中心有关 （因主矩等于各力对简化中心之矩的代数和） 固定端（插入端）约束
雨搭
车刀
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一物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约束 称为固定端约束。（与固定铰不同）
4、若 FR 0，MO 0 , 则该力系平衡，下节专门讨论。
理论力学 中南大学土木工程学院 22
四、平行分布荷载的简化
集度为q(x)[kN/m或N/m]的任意平行分布力如图。 取O点为简化中心，将力系向O点简化。
dFR q( x)dx
主矢： FR
l
l
0
q ( x )dx
主矩： M O
2、三角形荷载
3、梯形荷载
F
2l 3
q
l 3
可以看作一个三角形荷载和一个 均布荷载的叠加 结论： ①合力的大小等于线荷载所组成几何 q1 图形的面积。 ②合力的方向与线荷载的方向相同。 ③合力的作用线通过荷载图的形心。
F1 q1l
1 F2 (q2 q1 )l 2q 2
l
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l
0
xq( x)dx
力系可进一步简化为一合力，其作用线距O点的距离为： FR FR
d
MO FR
q( x)dx
0 l 0
xq ( x)dx
dFR
MO
O
q(x)
A x
x
d
dx
l
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23
平行分布荷载简化的特例
1、均布荷载
F
l 2
q
l 2
F ql
1 F ql 2
24
§2-4
平面任意力系的平衡条件及方程
一、平面任意力系的平衡条件
平面任意力系平衡的必要和充分条件为： 力系的主矢 FR 和对任一点的主矩 MO 都等于零， 即：
2 2 FR ( Fx ) ( Fy )
M O M O ( Fi )
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25
二、平面任意力系的平衡方程
A
A
FA
A MA
FAy
MA
A
FAx
FAx 、 FAy 、 MA为固定端的约束力; FAx 、 FAy限制物体移动, MA限制物体转动。
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三、平面任意力系简化结果分析
平面任意力系向作用面内一点简化得一力和一力偶，该 力等于原力系的主矢，力偶矩等原力系对简化中心的主矩。 下面针对主矢、主矩的不同情况分别加以讨论。 1、若F 0，M 0 ，则力系合成为合力偶，合力偶矩等于原 R O 力系对简化中心的主矩MO，此时主矩与简化中心的位置无关。 2、若 F 0，M 0 ，则力系合成为一个合力，主矢 F 等于 R R O 原力系的合力矢 FR ，合力 FR通过简化中心O点。（合力与简 化中心位置有关，换个简化中心，主矩不为零）
y
A O
Fx
x
x
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4
[例]已知Fn=1400N,齿轮的节圆（啮合圆）的半径 r =60mm，压力角
q=200，求力Fn对O点的矩。
r r
O
O
q
h
Ft
Fn
q
q
Fr
按力矩的定义得
MO (Fn ) Fn h Fn r cos 78.93 N m
M O (Fn ) M O (Fr ) M O ( Ft ) M O ( Ft ) Fn cos q r
C
FC
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理论力学
§2-3 平面任意力系的简化 一、力线平移定理
力线 平移 定理
作用在刚体上的力可以平行移到同一刚体内任意一 点，但必须同时附加一个力偶。附加力偶的力偶矩 等于原来的力对新作用点的矩。
B F A F″
B A
F′
F′ M
＝
F
＝
A
B
[证 ] 力 F
理论力学
力系 F , F , F
§2-2 平面力对点之矩· 平面力偶
力对物体可以产生
移动效应____ 取决于力的大小、方向 转动效应____ 取决于力矩的大小、转向 力 F 与点 O 位于同一平面内， 称为力矩作用面。点O称为矩心， 点 O到力作用线的垂直距离 h 称 为力臂。
一、力对点之矩（力矩）
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。 外力、内力都是某研究对象而言的， 对不同的研究对象而言，可转换。
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四、平面力偶系的合成和平衡
d1 F′1 F4 d F′2
F3′ d F4′
F′
F2
F1
d2
F3
F
M1 F1d1 F3d F F3 F4
M 2 F2d2 F4d
M1(F1，F'1)， M2(F2，F'2)
F F3 F4
M Fd ( F3 F4 )d F3d F4d M1 M 2
大小： FR FR x 2 FR y 2 ( Fix )2 ( Fiy )2
原力系各力对简化中心的矩，称为原力系对简化中心的主矩。 主矩
移动 效应
主 矢
FR
Fiy F ix ， cos( FR，j ) 方向： cos( FR，i ) FR FR
MO (F ) =0。 当F=0或h=0时， ③ 单位N· m或kN· m。
④ MO (F ) =2△AOB=F· h，2倍△形面积。
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3
二、合力矩定理与力矩的解析表达式 合力对某点之矩，等于所有各分力对同一点之矩的代数和。
M O ( FR ) M O ( Fi ) M O ( Fi )
B MO(F) r F h
O
A
力对点之矩是一个代数量，它的 绝对值等于力的大小与力臂的乘积， 它的正负可按下法确定：力使物体绕 矩心逆时针转动时为正，反之为负。
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2
B MO(F) r O h
力对点之矩
F
A
MO (F ) F h
+
－
① MO (F )是代数量。 ② MO (F ) 是影响转动的独立因素。
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二、平面任意力系向一点的简化
F1 F2 O Fn y
平面任意力系向作 用面内一点简化得 一力和一力偶。
y
任选O点为 简化中心
′ FR j O
MO i x
F1 F1 F2 F2 Fn Fn
理论力学
F1′
M1
O ′ Fn
M2
′ F2 x
M 1 M O ( F1 ) M 2 M O ( F2 ) M n M O ( Fn )
i 1
n
按力系等效概念，上式必然成立，且适用于任何有合力存在的力系。 力矩的解析表达式（不必记）
M O ( F ) M O ( Fx ) M O ( Fy ) Fsinq x F cos q y xFy yFx
式中为投影
y
Fy
q
F
一个力对某点的矩可用其两个互相 垂直的分力对该点矩的代数和求解！
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16
平面任意力系
向一点简化
平面汇交力系+平面力偶系
其中平面汇交力系的合力为
= F1+F2 ++Fn = F1 +F2 ++Fn = Fi FR
平面力偶系的合力偶为
M O M1 M 2 M n M O ( F1 ) M O ( F2 ) M O ( Fn ) M O ( Fi )
力F 力偶（F，F ）
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说明： ①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力→ 力+力偶 ； （例如一个力功丝时容易功坏螺纹或折断丝锥） ②力线平移的条件是附加一个力偶M，且M=F· d； ③一个力和一个力偶也可合成为一个力，即力线平移定理的 反定理同样成立：力 +力偶 → 力； ④力线平移定理是力系简化的理论基础。
①基本式
②二矩式 ③三矩式
Fx 0 Fy 0 M ( F ) 0 O i
Fx 0 M A ( F ) 0 M ( F ) 0 B
条件：x 轴不 垂直 AB 连线
M A ( F ) 0 M B ( F ) 0 M ( F ) 0 C
=
=
=
由上述证明可得下列两个推论： ①力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的 作用效应。 ②只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中 力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作 用效应。