高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理课时达标训练新人教A版
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.2演绎推理课后课时精练新人教A版选修2212
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.2演绎推理课后课时精练新人教A 版选修221230022A 级：基础巩固练一、选择题1．下面几种推理中是演绎推理的是( )A ．因为y ＝2x 是指数函数，所以函数y ＝2x经过定点(0,1) B ．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1nn ＋1(n ∈N *) C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积为πr 2猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积为πabD ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝r 2答案 A解析 选项B 为归纳推理，C ，D 为类比推理，只有A 为演绎推理．故选A. 2．看下面的演绎推理过程：大前提：棱柱的体积公式为：底面积×高，小前提：如图直三棱柱ABC －DEF .H 是棱AB 的中点，ABED 为底面，CH ⊥平面ABED ，即CH 为高，结论：直三棱柱ABC －DEF 的体积为S 四边形ABED ·CH . 这个推理过程( ) A ．正确B ．错误，大前提出错C ．错误，小前提出错D ．错误，结论出错答案 C解析 在小前提中，把棱柱的侧面，错当成了底面．3．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形．”中的小前提是( )A ．①B ．②C ．③D ．①② 答案 B解析 “三段论”推理中小前提是指研究的特殊情况． 4．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( ) ①y ＝cos x (x ∈R )是三角函数； ②三角函数是周期函数； ③y ＝cos x (x ∈R )是周期函数．A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③②① 答案 B解析 根据“三段论”：“大前提”⇒“小前提”⇒“结论”可知：①y ＝cos x (x ∈R )是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y ＝cos x (x ∈R )是周期函数是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为②①③.5．圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈R ，θ≠π2＋k π，k ∈Z 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定 答案 C解析 ∵圆心到直线的距离d ＝|－1|si n 2θ＋1>22＝ r ⎝⎛⎭⎪⎫θ∈R ，θ≠π2＋k π，k ∈Z ，∴直线与圆相离．故选C. 6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧si n πx 2，－1<x <0，e x －1，x ≥0，若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为( )A ．1B ．－22 C ．1或－22D ．1或22答案 C解析 ∵f (1)＋f (a )＝2，f (1)＝e 0＝1，∴f (a )＝1. 当a ≥0时，f (a )＝ea －1＝1⇒a ＝1；当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1⇒a 2＝12，∴a ＝－22或a ＝22(舍去)． 二、填空题7．在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四个人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是________．答案 甲解析 若负主要责任的人是甲，则甲、乙、丙说的都是假话，只有丁说的是真话，符合题意；若负主要责任的人是乙，则甲、丙、丁说的都是真话，不符合题意；若负主要责任的人是丙，则乙、丁说的都是真话，不符合题意；若负主要责任的人是丁，则甲、乙、丙、丁说的都是假话，不符合题意．故该事故中需要负主要责任的人是甲．8．若f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，且f (1)＝2，则f 2f 1＋f 4f 3＋…＋f 2020f 2019＝________.答案 2020解析 利用三段论．∵f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)(大前提)． 令b ＝1，则f a ＋1f a＝f (1)＝2(小前提)．∴f 2f 1＝f 4f 3＝…＝f 2020f 2019＝2(结论)，9．设f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )(a ，b ，c 是两两不等的常数)，则af ′a＋bf ′b＋c f ′c的值是________．答案 0解析 f ′(x )＝(x －b )(x －c )＋(x －a )(x －c )＋(x －a )·(x －b )， ∴f ′(a )＝(a －b )(a －c )，f ′(b )＝(b －a )(b －c )，f ′(c )＝(c －a )(c －b )．∴a f ′a ＋b f ′b＋c f ′c＝a a －ba －c＋b b －ab －c＋c c －ac －b＝a b －c －b a －c ＋c a －ba －b a －c b －c＝0.三、解答题10．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos15°＝1－12·sin 30°＝34(答案不唯一)．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin 2α＋⎝⎛⎭⎪⎫32cos α＋12sin α2－sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12 sin α＝34 sin 2α＋34cos 2α＝34.B 级：能力提升练11．已知函数f (x )＝2x－12x ＋1(x ∈R )．(1)判定函数f (x )的奇偶性；(2)判定函数f (x )在R 上的单调性，并证明．12．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N ＋)． 证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S nn，小前提 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．结论 (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)． ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，小前提 又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，小前提 ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .结论(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)。
2019高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎证明 2.1.1 合情推理检测
2.1.1 合情推理A 级 基础巩固一、选择题1．下列推理是归纳推理的是( )A ．F 1，F 2为定点，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a >|F 1F 2|，得P 的轨迹为椭圆B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：由归纳推理的定义知，B 项为归纳推理． 答案：B2．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是( )A ．白色B ．黑色C ．白色的可能性大D ．黑色的可能性大解析：由题图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色．答案：A3．观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )解析：观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两个阴影一个空白，应为黑色矩形．答案：A4．设n 是自然数，则18(n 2－1)[1－(－1)n]的值( )A ．一定是零B ．不一定是偶数C ．一定是偶数D ．是整数但不一定是偶数解析：当n 为偶数时，18(n 2－1)[1－(－1)n]＝0为偶数；当n 为奇数时(n ＝2k ＋1，k ∈N)，18(n 2－1)[1－(－1)n]＝18(4k 2＋4k )·2＝k (k ＋1)为偶数．所以18(n 2－1)[1－(－1)n]的值一定为偶数．答案：C5．观察如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有n (n ≥2，n ∈N *)个圆点，第n 个图案中圆点的总数是S n .按此规律推断出S n 与n 的关系式为( ) A ．S n ＝2n B ．S n ＝4n C ．S n ＝2nD ．S n ＝4n －4解析：由n ＝2，n ＝3，n ＝4的图案，推断第n 个图案是这样构成的；各个圆点排成正方形的四条边，每条边上有n 个圆点，则圆点的个数为S n ＝4n －4.答案：D 二、填空题6．观察下列不等式： 1＋122＜32， 1＋122＋132＜53， 1＋122＋132＋142＜74， …照此规律，第五个不等式为________．解析：观察知，每行不等式左端的最后一个分数的分母的底数与右端值分数的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．故第五个不等式为1＋12＋13＋14＋15＋16＜116.答案：1＋122＋132＋142＋152＋162＜1167．已知Rt △ABC 的两条直角边长分别为a ，b ，则其面积S ＝12ab .若三棱锥PABC 的三条侧棱两两互相垂直，且|PA |＝a ，|PB |＝b ，|PC |＝c ，类比上述结论可得此三棱锥的体积V PABC 等于________．解析：三棱锥体积V PABC ＝13×12|PA |·|PB |·|PC |＝16abc .答案：16abc8．观察下列各式：①(x 3)′＝3x 2；②(sin x )′＝cos x ；③(e x －e －x )′＝e x ＋e －x；④(x cos x )′＝cos x －x sinx .根据其中函数f (x )及其导数f ′(x )的奇偶性，运用归纳推理可得到的一个命题是__________________________________________．解析：对于①，f (x )＝x 3为奇函数，f ′(x )＝3x 2为偶函数；对于②，g (x )＝sin x 为奇函数，f ′(x )＝cos x 为偶函数；对于③，p (x )＝e x －e －x 为奇函数，p ′(x )＝e x ＋e －x 为偶函数；对于④，q (x )＝x cos x 为奇函数，q ′(x )＝cos x －x sin x 为偶函数．归纳推理得结论：奇函数的导函数是偶函数． 答案：奇函数的导函数是偶函数 三、解答题9．如图所示为m 行m ＋1列的士兵方阵(m ∈N *，m ≥2)．(1)写出一个数列，用它表示当m 分别是2，3，4，5，…时，方阵中士兵的人数． (2)若把(1)中的数列记为{a n }，归纳该数列的通项公式． (3)求a 10，并说明a 10表示的实际意义． (4)已知a n ＝9 900，问：a n 是数列第几项？解：(1)当m ＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m ＝3，4，5，…时的士兵人数分别为12，20，30，…，故所求数列为6，12，20，30，…，(2)因为a 1＝2×3，a 2＝3×4，a 3＝4×5，…， 所以猜想a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，n ∈N *. (3)a 10＝11×12＝132.a 10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n ＋1)(n ＋2)＝9 900，所以n ＝98， 则a n 是数列的第98项，此时方阵为99行100列．10．如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解：如右图所示，在四面体PABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面PAB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.B 级 能力提升1．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2解析：从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n 个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n ＋2.答案：C2．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则有S 2n －1＝(2n －1)a n ，类似地，若T n 是等比数列{b n }的前n 项积，则有T 2n －1＝________.解析：T 2n －1＝b 1·b 2·b 3·…·b 2n －1＝(b 1·b 2n －1)·(b 2·b 2n －2)·…·b n ＝b 2n －1n .答案：b 2n －1n3．观察下列等式：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 解：由①②知，两角相差30°，运算结果为34，猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.证明：左边＝1－cos 2α2＋1＋cos （2α＋60°）2＋sin αcos(α＋30°)＝1－cos 2α2＋cos 2αcos 60°－sin 2αsin 60°2＋sin α⎝⎛⎭⎪⎫32cos α－sin α2＝1－12cos 2α＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α－1－cos 2α4＝34＝右边 故sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.。
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.1.1
D．黑色的可能性大
解析：由题图知，这串珠子的排列规律是：每 5 个一组(前 3 个是白色珠子，后 2 个
是黑色珠子)呈周期性排列，而 36＝5×7＋1，即第 36 颗珠子正好是第 8 组中的第 1
颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色．
答案：A
3．等差数列{an}中有 2an＝an－1＋an＋1(n≥2 且 n∈N*)，类比以上结论，在等比数列{bn} 中类似的结论是________． 答案：b2n＝bn－1·bn＋1(n≥2，且 n∈N*) 4．对于平面几何中的命题：夹在两平行线之间的平行线段相等，在立体几何中，类 比上述命题，可得命题为__________________________． 答案：夹在两平行平面之间的平行线段相等
当 n＝2 时，S12＝－2－a1＝－43，所以 S2＝－34. 当 n＝3 时，S13＝－2－S2＝－54，所以 S3＝－45. 当 n＝4 时，S14＝－2－S3＝－65，所以 S4＝－56. 猜想：Sn＝－nn＋ ＋12(n∈N*) [答案] (1) (n＋1)·(n＋2)·(n＋3)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)
240°－sin
2αsin
240°)＝32－21cos
2α－21cos
2α－
3 2 sin
2α－12cos
2α＋
3 2 sin
2α
＝32＝右边．
(2)①当 n＝1 时，a1＝1， 由 an＋1＝1＋an2an(n∈N*)，得 a2＝31， a3＝1＋a22a2＝51. a4＝1＋a32a3＝71. ②由 a1＝1＝11，a2＝13，a3＝15，a4＝17， 可归纳猜想{an}的通项公式为 an＝2n1－1(n∈N*)
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理优化练习新人教A版选修2-2(2
2017-2018学年高中数学第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理优化练习新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理优化练习新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017-2018学年高中数学第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理优化练习新人教A版选修2-2的全部内容。
2。
1.1 合情推理［课时作业］［A组基础巩固]1．下列推理是归纳推理的是（)A．A，B为定点，动点P满足|PA｜＋|PB｜＝2a＞｜AB｜,得P的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2,S3,猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆错误!＋错误!＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：由归纳推理的定义知B是归纳推理，故应选B.答案：B2．数列｛a n}：2，5,11,20，x，47，…中的x等于( ）A．28 B．32C．33 D．27解析：因为5－2＝3×1,11－5＝6＝3×2，20－11＝9＝3×3，猜测x－20＝3×4,47－x＝3×5,推知x＝32.故应选B.答案：B3．某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是（）A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大解析：由题干图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为36÷5＝7余1，所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色．答案：A4．观察（x2）′＝2x，（x4）′＝4x3，(cos x）′＝－sin x，由归纳推理可得:若定义在R上的函数f（x）满足f（－x）＝f(x）,记g(x）为f（x）的导函数，则g(－x）＝（）A．f(x) B．－f（x)C．g(x）D．－g(x)解析：本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容,由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D。
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理212数学
2．合情推理 (1)含义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实， 经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后 提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理． (2)合情推理的过程： 从具体问 观察、分析 题出发 → 比较、联想 → 归纳、类比 → 提出猜想
温馨提示 合情推理得出的结论不一定是唯一的，侧 重点不同，结论也会不同．
(2)当 n＝1 时，a1＝1；
当 n＝2 时，a2＝1＋1 1＝12；
1 当 n＝3 时，a3＝1＋2 12＝13；
1 当 n＝4 时，a4＝1＋3 13＝14.
通过观察可得，数列的前 4 项都等于相应序号的倒 数，由此归纳出 an＝n1.
类型 2 几何图形中的归纳推理 [典例 2] 有两种花色的正六边形地面砖，按如图的 )
归纳升华 1．类比推理的思维过程大致是：观察、比较→联 想、类推→猜测新的结论． 2．类比推理的一般步骤．
1．对归纳推理的理解： (1)归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的判 断，而结论是关于该类事物或现象的普遍性的判断，从而 归纳推理是一种由部分到整体、由个别到一般的推理． (2)因此，归纳推理要在观察和试验的基础上进行．其 基本过程如下：
设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF
和△PEF的面积，相应于直角三角形的两条直角边a，b
和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3
和1个“斜面”S.
于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S2＝S
2 1
＋S
2 2
＋S23成立．
[迁移探究1] (变换条件)把题设条件“由勾股定 理，得c2＝a2＋b2”换成“cos2A＋cos2B＝1”，则在空间 中，给出四面体性质的猜想．
高中数学第2章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理b12b高二12数学
12/9/2021
第三十页，共三十九页。
1．利用归纳推理解决问题时，要善于归纳，要对有限的资料作 归纳整理，提出带规律性的说法，要准确捕捉有用信息并进行 分析，大胆猜测，小心验证即可． 2．利用类比推理解决问题时一定要注意两类事物的相似性，例 如，拿分式同分数类比、平面几何与立体几何的某些对象类比 等，但类比推理的结论不一定正确，需要证明．
12/9/2021
第三十五页，共三十九页。
4．已知 f(n)＝1＋12＋13＋…＋n1(n∈N＋)，计算得 f(2)＝32，f(4)>2， f(8)>52，f(16)>3，f(32)>72，推测当 n≥2 时，有__________． 解析：通过观察归纳可得 f(2n)>n＋2 2. 答案：f(2n)>n＋2 2
12/9/2021
第三十一页，共三十九页。
在进行类比推理时，充分认识两个系统的相同(或相似)之处，充 分考虑其中的本质联系，再进行类比，避免因类比的相似性较 少，被一些表面现象迷惑导致类比结论的错误．
12/9/2021
第三十二页，共三十九页。
1．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合
归纳推理
的推理，叫做类比推理
归纳是从特殊到一般的过
特征
类比是从特殊到特殊的过程
程
12/9/2021
第六页，共三十九页。
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)归纳推理是由一般到一般的推理过程．( × ) (2)归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确．( √ ) (3)类比推理得到的结论可以作为定理应用．( × )
12/9/2021
第二十二页，共三十九页。
2．根据图中 5 个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第 n 个图中有________个点．
【2019最新】高中数学第2章推理与证明2-1合情推理与演绎推理2-1-1合情推理课堂导学案
意大利数学家斐波那契在他的1228年版的《算经》一书中记述了有趣的兔子问题:假定每对大兔子每月能生一对小兔子,而每对小兔子过了一个月就可长成大兔子,如果不发生死亡,那么由一对大兔子开始,一年后能有多少对大兔子呢?
我们依次给出各个月的大兔子对数,并一直推算下去到无尽的月数,可得数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,….这就是斐波那契数列,此数列中a1=a2=1,你能归纳出,当n≥3时,an的递推关系吗?
100→50→25→76→38→19→58→29→88→44→22→11→…→1.
归纳猜想:这样反复计算,必然会得到1.
类题演练3
观察下列已有的数的规律在（ ）内填入恰当的数.
解：①到⑨依次为5,10,10,5,6,15,20,15,6,每个数均为该数两肩之上的数之和
变式提升3
,求出S1,S2,S3,S4并归纳猜想Sn的表达.
解：取自然数6,按角谷的作法有:6÷2=3, 3×3+1=10, 10÷2=5, 3×5+1=16, 16÷2=8, 8÷2=4, 4÷2=2, 2÷2=1.其过程简记为
6→3→10→5→16→8→4→2→1.
取自然数7,则有
7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→…→1.
取自然数100,则有
【例2】类比实数的加法和向量的加法,列出它们相似的运算性质.
解：(1)两实数相加后,结果是一个实数,两向量相加后,结果仍是一个向量.
(2)从运算律的角度考虑,它们都满足交换律和结合律.即a+b=b+a;a+b=b+a.
(a+b)+c=a+(b+c);(a+b)+c=a+(b+c).
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1第2课时类比推理
12=1,
22=(1+1)2=12+2×1+1,
32=(2+1)2=22+2×2+1,
42=(3+1)2=32+2×3+1,
……
n2=(n-1)2+2(n-1)+1,
将以上各式的左右两边分别相加,整理得n2=2×[1+2+3+…+(n-
1)]+n(n∈N*),
所以1+2+3+…+(n-1)=
.
(-1)
)
A.归纳推理
B.类比推理
C.没有推理
D.以上(yǐshàng)说法都不对
解析:推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程,上述
过程是推理,由性质类比可知是类比推理.
答案:B
12/9/2021
第五页，共二十八页。
自主预习
2.合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实(shìshí),经过观察、分析、比较、
以进行类比,例如:等差数列中项的加、减、倍数运算与等比数列中的乘、除、开
方运算相对应.
2.进行类比推理时,要注意比较两个对象的相同点和不同点,找到可以进行类比
的两个量,然后加以推测,得到类比结果,最好能够结合相关的知识进行证明,
以确保类比结果的合理性.
12/9/2021
第十三页，共二十八页。
探究学习
类比推理到乘除运算,累加类比推理到累乘,故若正项等比数列{bn}的前n项
积为Tn,若存在正整数m,n(m<n),使得Tm=Tn,则Tm+n=1.
答案:1
12/9/2021
第十四页，共二十八页。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.1.1 合情推理
课时达标训练
1.下面使用类比推理恰当的是( )
A.“若a·3=b·3,则a=b”类比出“若a·0=b·0,则a=b”
B.“(a+b)c=ac+bc”类比出“(a·b)c=ac·bc”
C.“(a+b)c=ac+bc”类比出“=+(c≠0)”
D.“(ab)n=a n b n”类比出“(a+b)n=a n+b n”
【解析】选C.A项,结论“若a·0=b·0,则a=b”错误,故A项不符合题意;B项,结论“(a·b)c=ac·bc”
错误,故B项不符合题意;C项,结论“=+(c≠0)”正确,且推理前后形式类似,是恰当的类比推理,故C项符合题意;D项,结论“(a+b)n=a n+b n”错误,故D项不符合题意.
2.命题“在平行四边形ABCD中,=+”,据此,运用类比推理在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,可得出结论为________.
【解析】根据类比推理的原则,平行四边形类比为平行六面体,对角线类比为体对角线,即向量
,+可类比成++,故结论为=++
.
答案:=++
3.顺次计算数列:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,…的前4项的值,由此猜测:a n=1+2+3+…
+(n-1)+n+(n-1)+…+3+2+1的结果.
【解析】1=12,
1+2+1=4=22,
1+2+3+2+1=9=32,
1+2+3+4+3+2+1=16=42.
从而猜想:a n=1+2+3+…+(n-1)+n+(n-1)+…+3+2+1=n2.
4.如图所示,在三棱锥S-ABC中,SA⊥SB,SB⊥SC,SA⊥SC,且SA,SB,SC和底面ABC所成的角分别为α1,α2,α3,三个侧面△SBC,△SAC,△S AB的面积分别为S1,S2,S3,类比三角形中的正弦定理,给出空间情形的一个猜想.
可以猜想在三棱锥中,各侧面的面积和它所对角α1,α2,α3的正弦的比相等,即==.。