计算方法复习资料
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计算方法复习题库 一、填空题：1.设某数x *，它的保留三位有效数字的近似值的绝对误差是 。
2.设某数x *,它的精确到10－4的近似值应取小数点后 位。
3.设方程f (x )=x －4＋2x=0，在区间[1,2]上满足 ，所以f (x )=0在区间[1,2]内有根。
建立迭代公式xx 2-4=，因为 ，此迭代公式发散。
4.设函数f (x )在区间[a ,b ]内有二阶连续导数，且f (a )f (b )<0,当 时，则用弦截法产生的解数列收敛到方程f (x )=0的根。
5.乘幂法是求实方阵 。
6.二阶阶差()=210,,x x x f7.已知3=n 时，科兹系数()8130=C ，()8331=C ，()8332=C ，则()=33C8.求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是9.n 个求积节点插值型求积公式代数精确度至少为 次。
10.数值计算方法中需要考虑误差为 、 。
二、选择题1.用二分法求方程f (x )=0在区间[a ,b ]内的根x n ，已知误差限ε，确定二分的次数n 是使( )。
(A)b －a ≤ε (B)∣f (x )∣≤ε (C)∣x *－x n ∣≤ε (D)∣x *－x n ∣≤b －a2.( )的3位有效数字是0.236×102。
(A)235.54×10－1(B)235.418(C)2354.82×10－2(D)0.0023549×1033.设a *=2.718181828…，取a=2.718,则有( ),称a 有四位有效数字。
(A)(B)(C)(D)4.设某数x *,对其进行四舍五入的近似值是( ),则它有3位有效数字，绝对误差限是。
(A)0.315 (B)0.03150 (C)0.0315 (D)0.00315 5.以下近似值中，( )保留四位有效数字，相对误差限为。
(A)0.01234 (B)–12.34 (C)–2.20 (D)0.22006.牛顿切线法求解方程f (x )=0的近似根，若初始值x 0满足( )，则解的迭代数列一定收敛。
计算方法复习新详解
（1）局部收敛定理(p30)
设 f ′(x) 存在， 且 f ′(x) 在方程f(x)=0 的根x*附近不为零 ，
| f (x) f "(x) |
若| Φ ′(x) | =
[ f ' (x)2 ] <= L <1 , 则Newton迭代格式收敛
Xi(即a
in+1(i))=(a
(i) in+1
-
）/aii(i)
Gauss列主元消去法
关键步骤
第k次消元时，在系数矩阵A的第k列 元素中选取绝对值最大的元素为主元 素。
意义 对分次数n的计算
n ln(b a) ln 1
ln 2
迭代法
• 基本思想 xn1 (xn )
•收敛条件 '(x) 1 （收敛定理1）
• 收敛阶
记ek x* xk
lim
k
ek 1 ek p
C( 0)
P 阶收敛
迭代法
'(x*) 0
一阶收敛
'(x*) 0 ''(x*) 0 二阶收敛
er*
e* x*
x* x*
x
,
x
0
er*
e* x*
* r
绝对误差、相对误差、有效数字的定义
有效数字的定义 x* ( x110 1 x210 2 xn10 n ) 10 m x* x 1 10 mn
2
x* x 1 10k 2
误差同有效数字的关系
① x x* 1 10mn 2
计算方法
总复习
第一章 误差和有效数字
数值计算方法复习要点
第一章引论计算方法解决问题的主要思想计算方法的精髓：以直代曲、化繁为简1、采用“构造性”方法构造性方法是指具体地把问题的计算公式构造出来。
这种方法不但证明了问题的存在性，而且有了具体的计算公式，就便于编制程序上机计算。
2、采用“离散化”方法把连续变量问题转为求离散变量问题。
例：把定积分离散成求和，把微分方程离散成差分方程。
3、采用“递推化”方法将复杂的计算过程归结为简单过程的多次重复。
由于递推算法便于编写程序，所以数值计算中常采用“递推化”方法。
4、采用“近似代替”方法计算机运算必须在有限次停止，所以数值方法常表现为一个无穷过程的截断，把一个无限过程的数学问题，转化为满足一定误差要求的有限步来近似替代。
算法的可行性分析时间复杂度、空间复杂度分析算法的复杂性（包含时间复杂性和空间复杂性）。
时间复杂度是算法耗费时间的度量。
算法的空间复杂度是指算法需占用存储空间的量度算法的可靠性分析良态算法、病态算法一个算法若运算过程中舍入误差的积累对最后计算结果影响很大，则称该算法是不稳定的或病态算法，反之称为稳定算法或良态算法。
误差的来源1、模型误差我们所建立的数学模型是对实际问题进行抽象简化而得到的。
因而总是近似的，这就产生了误差。
这种数学模型解与实际问题的解之间出现的误差，称为模型误差。
2、观测误差观测到的数据与实际数据之差。
3、截断误差数学模型的准确解与计算方法的准确解之间的误差。
4、舍入误差由于计算机字长有限，原始数据在计算机上表示会产生误差，每次计算又会产生新的误差，这种误差称为舍入误差。
绝对误差、相对误差定义2 记x*为x的近似数，称E(x)=x-x*为近似数x*的绝对误差，|E(x)|为绝对误差限。
定义3 称Er(x)=(x-x*)/x为近似数x*的相对误差。
实际运算时也将Er*(x)=(x-x*)/x*称为近似数x*的相对误差。
“四舍五入”：即尾数是4或以下则舍去，尾数是6或以上则进1，如果尾数是5，则规定：前面一位数字是偶数则舍去，奇数则进1。
(完整)数值计算方法复习
2016计算方法复习务必通过本提纲例子和书上例子掌握如下书本内容：1. 会高斯消去法；会矩阵三角分解法；会Cholesky 分解的平方根法求解方程组2. 会用插值基函数；会求Lagrange, 会计算差商和Newton 插值多项式和余项3. 会Jacobi 迭代、Gauss —Seidel 迭代的分量形式，迭代矩阵,谱半径,收敛性4. 会写非线性方程根的Newton 迭代格式；斯蒂芬森加速5. 会用欧拉预报-校正法和经典四阶龙格—库塔法求解初值问题6. 会最小二乘法多项式拟合7. 会计算求积公式的代数精度；（复化)梯形公式和(复化)辛普生公式求积分；高斯-勒让德求积公式第1章、数值计算引论（一）考核知识点误差的来源类型;绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；误差的传播。
（二) 复习要求1。
了解数值分析的研究对象与特点。
2。
了解误差来源与分类,会求有效数字； 会简单误差估计. 3.了解误差的定性分析及避免误差危害。
（三）例题例1. 设x =0.231是精确值x *=0。
229的近似值，则x 有2位有效数字。
例2. 为了提高数值计算精度, 当正数x 充分大时, 应将)1ln(2--x x 改写为)1ln(2++-x x .例3. 3*x 的相对误差约是*x 的相对误差的1/3 倍.第2章、非线性方程的数值解法(一）考核知识点对分法;不动点迭代法及其收敛性；收敛速度； 迭代收敛的加速方法；埃特金加速收敛方法;Steffensen 斯特芬森迭代法；牛顿法；弦截法. (二） 复习要求1.了解求根问题和二分法.2。
了解不动点迭代法和迭代收敛性;了解收敛阶的概念和有关结论。
3。
理解掌握加速迭代收敛的埃特金方法和斯蒂芬森方法。
4。
掌握牛顿法及其收敛性、下山法, 了解重根情形. 5.了解弦截法. (三）例题1。
为求方程x 3―x 2―1=0在区间［1.3,1.6］内的一个根，把方程改写成下列形式,并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是（ ）(A ）11,1112-=-=+k k x x x x 迭代公式 (B ）21211,11kk x x x x +=+=+迭代公式(C ） 3/12123)1(,1k k x x x x +=+=+迭代公式 (D ）231x x =-迭代公式11221+++=+k k kk x x x x 解：在（A)中，2/32)1(21)(,11)(,11--='-=-=x x x x x x ϕϕ2/3)16.1(21->=1.076故迭代发散。
计算方法复习资料
第一章 引论一、判断题1.*x =–12.0326作为x 的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限≤41021-⨯。
( )2. 对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。
( )3. 一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。
( )4. 3.14和3.142作为π的近似值有效数字位数相同。
( ) 二、填空题1. 为了使计算()()2334912111y x x x =+-+---的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写为 ；2. *x =–0.003457是x 舍入得到的近似值，它有 位有效数字，绝对误差限为 ，相对误差限为 ；3. 用四舍五入得到的近似数0.550，有 位有效数字，其相对误差是 。
三、选择题1．*x =–0.026900作为x 的近似值，它的有效数字位数为( ) 。
(A) 7； (B) 3； (C) 不能确定 (D) 5. 2．舍入误差是( )产生的误差。
(A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值 (C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值3．用 1+x 近似表示e x所产生的误差是( )误差。
(A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入 4．用221gt s =表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g 为重力加速度)，t s 是在时间t 内的实际距离，则s *是（ ）误差。
(A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断 5．1.41300作为2的近似值，有( )位有效数字。
(A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。
四、计算题1. 若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字？ 2. 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？3. 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字？4. 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？5. 设x 的相对误差为%a ,求nx y =的相对误差。
计算方法第1章复习(05)
第1章 误差一、考核知识点：误差的来源，绝对误差、绝对误差限、相对误差，相对误差限，有效数字，准确数位，误差传播。
二、考核要求：1．知道误差的主要来源，误差传播。
2．了解绝对误差、绝对误差限、相对误差，相对误差限、掌握其判别方法。
3．掌握有效数字，准确数位的求法。
三、重、难点分析例1. 近似值0.45的误差限为（ ）。
A ． 0.5 B. 0.05C ． 0.005 D. 0.0005.解 因 210450.00.45⨯=，它为具有3位有效数字的近似数，其误差限为 1231021101021--⨯=⨯⨯=ε。
或3,2==p m ，其误差限为 132********--⨯=⨯=ε 所以 答案为B.例2.. 已知 4142135.12==*x ，求414.1=x 的误差限和相对误差限。
解：（绝对）误差限：0005.00003.00002135.0241.1<<=-=∆ x 所以（绝对）误差限为0003.0=ε，也可以取0005.0=ε。
一般地，我们取误差限为某位数的半个单位，即取 0005.0=ε。
相对误差限： rx x x x εδ=<=-=-=*0002.000015.0414.14142135.1414.1)(所以，相对误差限0002.0=r ε例3 .已知 ,1415926.3* ==πx 求近似值142.3=x 的误差限，准确数字 或有效数字。
解 由,00041.01415926.3142.3<-= x ∆ 误差限为31021-⨯=ε因为4,3,1=--==p m p m ，所以由定义知x 是具有4位有效数字的近似值，准确到310-位的近似数。
注意：当只给出近似数x 时，则x 必为四舍五入得到的有效数，则可直接求出误差限和有效数字。
例4. 已知近似数,635.0,2864.1==b a 求b a b -,2的误差限和准确数位。
解 因41021-⨯=）（a ε，31021-⨯=）（b ε()()2310211021635.022--⨯<⨯⨯⨯<≤+=b b b b b b bb ∆∆∆∆ 所以 (),102122-⨯=b ε 2b 准确到 210-位。
计算方法复习题
一、判断1、0.026900x *=-作为x 的近似值，它的有效数字位数为5位。
（ × ）2、迭代法的敛散性与迭代初值的选取无关。
（ × ）3、牛顿插值多项式的优点是：在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。
（ √ ）4、已知观察值()(),0,1,i i x y i n =，用最小二乘法求得的拟合多项式其次数为n 次。
（ × ）5、改进欧拉公式是一种隐式的方法。
（ × ）6、一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。
（ √ ） 6、求方程310x x --=在区间[1, 2]内根的迭代法总是收敛的。
（ × ）7、矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--521253113是主对角占优矩阵。
（ × ）8、在求插值多项式时，插值多项式的次数越高，误差越小。
（ × ） 9、具有n+1各节点的插值型求积公式至少具有n+1次代数精度。
( × ） 二、填空题1、误差来源： 舍入误差 ， 截断误差 ， 观测误差 ， 模型误差 。
2、古代数学家祖冲之曾以113355作为圆周率π的近似值，此近似值有 7 位有效数字。
3、用二分法求方程f(x)=x3+x-1=0在区间[0，1]内的根，进行一步二分后根所在区间为，进行二步二分后根所在区间为。
4、方程求根中牛顿迭代公式，收敛速度是。
5、求线性解方程组 5x1-3x2-0.1x3=1-2x1+6x2+0.7x3=0x1+2x2+3.5x3=0的高斯—赛德尔迭代格式为，取迭代初值x 1（0）=1，x 2（0）=-1，x 3（0）=1，则x 1（1）= -0.38 ，x2（1）= -0.24， x3（1）= 351。
6、Gauss 求积公式⎰baf(x )dx≈∑=Nn n)Anf(x 具有 2N+1 次代数精度。
7、n+1个插值节点构造的拉格朗日插值公式Ln(x)= 1 余项Rn(x)= 1 。
数值计算方法复习要点
数值计算方法复习要点1.近似方法的概念和意义：近似方法是指通过一系列逼近计算步骤来得到问题的数值解。
在实际问题中，很多问题无法通过解析方法来求解，数值计算方法提供了一种有效的途径。
近似方法的正确性和稳定性对于数值计算方法的可靠性至关重要。
2.插值方法：插值方法是指通过已知数据点构造一个函数来逼近未知数据点的数值方法。
常见的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
在复习插值方法时，需要掌握插值多项式的构造方法和插值误差估计的技巧。
3.数值微分与数值积分：数值微分与数值积分是数值计算方法中的核心内容。
数值微分用于求取函数的导数近似值，常见的数值微分方法有差分法和微分方程法。
数值积分则是用于求取函数的积分近似值，常见的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和高斯积分法则。
4.非线性方程求解：非线性方程求解是数值计算方法中的重要问题之一、常见的非线性方程求解方法有二分法、牛顿法、割线法和试位法等。
在复习非线性方程求解时，要理解这些方法的基本原理和收敛性条件，并学会分析其收敛速度和稳定性。
5.线性方程组求解：线性方程组求解是数值计算方法中的另一个重要问题。
常见的线性方程组求解方法有高斯消元法、LU分解法和迭代法等。
在复习线性方程组求解时，需要理解这些方法的基本原理和收敛性条件，并学会分析其计算复杂度和稳定性。
6.数值解常微分方程：数值解常微分方程是数值计算方法的一个重要应用领域。
常见的数值解常微分方程的方法有欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等。
在复习数值解常微分方程时，需要掌握这些方法的基本原理和实现技巧，并学会分析其精度和稳定性。
8.线性插值和非线性插值：线性插值是插值方法的一种简单形式，即通过已知的两个数据点之间的线性关系来逼近未知数据点的值。
非线性插值则是通过已知的多个数据点之间的非线性关系来逼近未知数据点的值。
理解线性插值和非线性插值的原理和应用场景对于选择合适的插值方法具有重要意义。
以上是数值计算方法复习的一些重点要点，通过理解和掌握这些要点，可以为进一步深入学习和应用数值计算方法奠定基础。
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2x2 1 1 x ， （B） y ； (1 2 x)(1 x) 1 2x 1 x
2 x( x 1 1 x ) x x
， （B） y
（2）已知 x 1 ， （A） y
x
1 1 x ； x x
2sin 2 x 1 cos 2 x （3）已知 x 1 ， （A） y ， （B） y ； x x
2
敛。 （C） ( x)
1 ，由于当 x 1.3,1.6 时，有 x 1
1 1 2(1.6 1)
3 2
'( x)
2( x 1)
3 2
1.075828706 1 ，
所以对任意初值 x 1.3,1.6 （原方程的根除外） ， 迭代格式 xk 1 发散。
0
( x 0) ，
所以当 x 1.3,1.6 时，
( x) 1.3,1.6 。
2 3 x (1 x )
2 2 3
又当 x 1.3,1.6 时， '( x)
2 3
1.6 (1 1.3 )
2 2 3
0.552 1 ，
1
由迭代法收敛定理，对任意初值 x 1.3,1.6 ，迭代格式 xk 1 (1 xk ) 3 ，( k 0,1, 2,) 收
3 2
根的简单迭代法 xk 1 ( xk ) 的收敛性，其中 （A） ( x) 1 1/ x ； （B） ( x) 1 x ； （C） ( x)
2 3 2
1 x 1
解：取 1.5 附近区间 1.3,1.6 来考察。 （A） ( x) 1 减，而 (1.3) 1.59171596 ， 因此，当 x 1.3,1.6 时，
1 x 1 ，为了减少舍入误差，应将表达式
y 10 (3 ( 4 6t )t )t , t
式改写为
2
2001 1999 改写为
8. 改 变 函 数 f ( x )
ห้องสมุดไป่ตู้
2001 1999
。
x 1 x
1 ) 的 形 式 ， 使 计 算 结 果 较 精 确 ( x
（4） （A） y 9 80 ， （B） y
1 9 80
解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当 两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。故在设计 算法时应尽量避免上述情况发生。 （1） （A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。 （2） （B）中两个相近数相减，而（A）中避免了这种情况。故（A）算得准确些。 （3） （A）中 sin x 使得误差增大，而（B）中避免了这种情况发生。故（B）算得准确些。 （4） （A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。 4. 求 3.141 与 22/7 作为π的近似值时有效数字的个数.
f (0) 1 0 ，
f (2) 0.8186 0 ，
f '( x ) sin x x cos x 0 ， x 0, 2
所以函数 f ( x ) 在 0，2 上严格单调增且有唯一实根 x 。 本题中求根使得误差不超过 10 4 ，则由误差估计式
| x k |
由迭代法收敛定理，对任意初值 x 1.3,1.6 ，迭代格式 xk 1 1 敛。 （B） ( x) (1 x2 ) 3 ，则 (1.3) 1.390755416 ，
1
(1.6) 1.526921344 ，
'( x)
1 3
2x (1 x )
2 2 3
* e* x x
所 以 ， 具 有 四 位 有 效 数 字 的 数 0.3012,30.12=0.3012 10 的 绝 对 误 差 限 分 别 为
2
x * 0.3012
1 1 10 0 4 0.5 10 4 x * 30.12 10 2 4 0.5 10 2 2 2 ， 。具有五
1 ，显然当 x 0 时， ( x ) 单调递 x2
(1.6) 1.390625 ，
( x) 1.3,1.6 。
2 2 3 0.92 1 ， 3 x 1.3 1 ， ( k 0,1, 2,) 收 xk2
又当 x 1.3,1.6 时， '( x )
复习资料
第一章
主要内容：绝对误差，相对误差，误差限，有效数字，四舍五入，减少误差的原则。 1.利用秦九韶算法计算多项式 p ( x) x 2 x 3 x 4 x x 6 x 1 在 x 2 处的值 1 -2 0 -3 4 -1 6 -1 2 2 0 0 -6 -4 –10 -8 1 0 0 -3 -2 -5 -4 -9
30.120=0.30120 10
2
位 有 效 数 字 的 数
的 绝 对 误 差 限 分 别 为
x * 30.120
1 10 25 0.5 10 3 2 。
*
（3）根据定理：设数 x 的近似值 相对误差满足下列不等式
x 0.x1 x 2 x n 10 m 具有 n 位有效数字，则 x 的
令 f ( x) x c ，因为当 x 0 时， f ' ( x) 3 x 0 ， f ' ' ( x ) 6 x 0 ， 故对于任何满足 f ( x 0 ) x 3 c 0 ， 即 x 0 3 c 的初值 x 0 ，上述 Newton 迭代产生的迭代序列收敛于 3 c 。
ba 20 ， 所需迭代次数 k 满足 k 1 10 4 ， 即取 k 13.28 便可， 因此取 k 14 。 k 1 2 2
用二分法计算结果列表如下：
k
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
ak
0 1 1 1 1 1.0625 1.09375 1.109375 1.109375 1.11328125 1.11328125 1.11328125 1.11376953125 1.114013671875 1.1141357421875
5 位有效数字
参考过程： （1）
x 0.x1 x 2 x s 10 m 作为数 x * 的近似值时， x 1 x 2 x s 不一定为 x 的 x 0. x1 x 2 x n 10 m ， 则x
x1 x2 xn 。
有效数字。 但是用四舍五入取准确值 x 的前 n 位作为近似值 必有 n 个有效数字
f x
1 x 1 x
。 C )误差。 D． 舍入 C ）
9. 用 1+x 近似表示 ex 所产生的误差是( A． 模型 B． 观测 C． 截断
4
10.取 3 1.732 计算 x ( 3 1) ，下列方法中哪种最好？（
16
(A) 28 16 3 ； (B) ( 4 2 3 ) ；
1 xk 1
( k 0,1, 2,)
3. 建立利用方程 x c 0 求 3 c (c 0) 的 Newton 迭代格式，并讨论算法的收敛性。
3
解：牛顿迭代格式为： x k 1
3
3 3 f ( xk ) xk c 2xk c xk xk 2 2 f ' ( xk ) 3x k 3x k 2
2
* er
1 1 1 101 n 1015 10 4 2 x1 23 6
2 )位有效数字；
* 6．近似值 x 0.231 关于真值 x 0.229 有(
y 10
7. 为了使计算
3 4 6 2 x 1 ( x 1) ( x 1) 3 的乘除法次数尽量地少，应将该表达
1 101 n 2 x1
2
* er
所以，具有四位有效数字的数 0.3012,30.12=0.3012 10 的相对误差限都为
* er
1 1 1 101 n 101 4 10 3 2 x1 23 6 。
而具有五位有效数字的数 30.120=0.30120 10 的相对误差限都为
7 6 4 3 2
p (2) 9
2.设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数， 即误差不超过最后一位的半个单位， 试指出 他们各有几位有效数字。
12.1 ； 12.10 ； 12.100 。 （1） x （2） x （3） x 解：有效数字位数分别为：3，4，5 3. 下面计算 y 的公式哪个算得准确些？为什么？
2 因为 各 0.3012,30.12=0.3012 10 都是 对准确值 x 进行 四舍五入 得到的近 似值，所以
0.3012,30.12 都有 4 位有效数字 3012 而 30.120=0.30120 10 有 5 位有效数字 30120。
2
* x 0.x1 x 2 x s 10 ， 其 中 xi （2）根据有效数字的定义：设数 x 的近似值
x*
0.3012 30.12 30.120 解：
绝对误差限
相对误差限
有效数字位数
x*
0.3012 30.12 30.120
绝对误差限
相对误差限
有效数字位数
0.5 10
4
0.5 10 2 0.5 10 3
1 10 3 6 1 10 3 6 1 10 4 6
*
4 位有效数字 4 位有效数字
m
（ i 1, 2, , s ）是 0 到 9 之间的任一个正整数，且 x1 0 ， n 是正整数， m 是整数，如 果绝对误差 e 的