充要条件
第六节-充分条件与必要条件
“
是无理数”是“a是无理数”的充要条件
③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”
的必要条件. 其中真命题的个数是
（B ）
A．1 B．2
C．3
D．4
x 1
练.习3：（湖南卷）集合A＝｛x| x 1 ＜0，B＝｛x || x -b|＜a，
若“a＝1”是“A∩B≠ ”的充分条件， 则b的取值范围是（ ）
充分条件与必要条件
高三备课组
一、基础知识
（一）充分条件、必要条件和充要条件 1．充分条件：如果A成立那么B成立，则条件A是B成 立的充分条件。 2．必要条件：如果A成立那么B成立，这时B是A的必 然结果，则条件B是A成立的必要条件。
A B
3．充要条件：如果A既是B成立的充分条件，又是B 成立的必要条件，则A是B成立的充要条件；同时B也 是A成立的充要条件。
A．－2≤b＜0
B．0＜b≤2
D
C．－3＜b＜－1
D．－1≤b＜2
例5.已知抛物线y=-x2+mx-1 点A(3,0) B(0,3),求 抛物线与线段AB有两个不同交点的充要条件.
设f(x)=x2-(1+m)x+4 则
f (0) 0
0
f
(3)
0 1 m
0
3
3
m
10 3
2
例6已知函数f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，a,b∈R对命题 “若a+b≥0则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”，写出逆命题，判断 其真假，并证明。
三、小结
1.处理充分、必要条件问题时,首先要分清条件与结论 ,然后能进行推理和判断. 2.判断命题的充要关系有三种方法: ①定义法:直接判若p则q，若q则p的真假； ②等价法即利用A B与B A B A与A B
充要条件
(3)因为 A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁UA⊇∁UB，并且∁UB⊆∁UA⇒B⊇A⇒A∩B＝A， 所以 p 是 q 的充要条件． (4)当 c＝0 时，函数 y＝ax2＋bx 的图象经过原点； y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点时，0＝a×02＋b×0＋c，所以 c＝0， 所以 p⇔q，所以 p 是 q 的充要条件．
第一章
集合与常用逻辑用语
1.4.2 充要条件
充要条件是在学生前一节学习了充分条件与必要条件的基础上，要进一 步进行学习的知识，是对前面知识的深化，更好地研究了逻辑关系．因 为涉及的知识点比较多，且知识点较烦琐，且新概念比较抽象，因此本 节学习过程中，一定让学生多多参与，并且在解题技巧方面先让学生自 己总结，教师再补充说明．
二、提出问题 你会用逻辑学原理解释二人离去的原因吗？ [学习目标] 1.结合具体实例，理解充要条件的意义，理解数学定义与充 要条件的关系．(数学抽象) 2.掌握必要条件、充分条件和充要条件的综 合判断．(逻辑推理) 3.能对充要条件进行证明．(逻辑推理)
1．充要条件：一般地，如果“若 p，则 q”和它的逆命题“ 若q，则p ” 均是真命题，即既有 p⇒q，又有 q⇒p，就记作 p⇔q .此时，p 既是 q 的充分条件，也是 q 的必要条件，我们说 p 是 q 的充分必要条件，简称为 充要条件．显然，如果 p 是 q 的充要条件，那么 q 也是 p 的 充要 条件．概 括地说，如果 p⇔q，那么 p 与 q 互为充要条件．
题型 2◆充要条件的证明 典例 已知关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0，求证：a＋b＋c＝0 是方程 ax2 ＋bx＋c＝0 有一个根为 1 的充要条件． 证明：(1)充分性：因为 a＋b＋c＝0， 所以 c＝－a－b，代入方程 ax2＋bx＋c＝0 中，得 ax2＋bx－a－b＝0，即 (x－1)(ax＋a＋b)＝0. 所以方程 ax2＋bx＋c＝0 有一个根为 1， 所以 a＋b＋c＝0⇒方程 ax2＋bx＋c＝0 有一个根为 1.
高考数学充分条件与必要条件
三、小结
1.处理充分、必要条件问题时,首先要分清条件与结论 ,然后能进行推理和判断. 2.判断命题的充要关系有三种方法: ①定义法:直接判若p则q，若q则p的真假； ②等价法即利用A B与B A B A与A B
A B与B A 的等价关系。
③利用集合的包含关系判断，若A B，则A是B的充分
若p是q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围。
例4．（证明充要条件）设x、y∈R， 求证：|x+y|=|x|+∣y∣成立的充要条件是xy≥0.
说明： 搞清哪个是充分性命题： xy≥0 推得|x+y|=|x|+∣y∣ 哪个是必要性命题：|x+y|=|x|+∣y∣推得xy≥0. 并分两步证明。
例5.已知抛物线y=-x2+mx-1 ，点A(3,0)， B(0,3), 求抛物线与线段AB有两个不同交点的充要条件.
条件或B是A的必要条件，若A=B则A是B的充要条件。
四、作业
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为他突然记起,原先看过の对战,那个黑衣人,似乎尝试使用过这种玄奥.也就是白重炙感觉那种玄奥,似乎有五种基础玄奥在里面の奇怪玄奥. 虽然看情况,这估计是这位空间强者の一种尝试,这种玄奥还没完全融合成功,或者说只是一些推理,模拟.但是白重炙却感觉到一丝启发. 所以, 他才匆匆の观看起模拟战斗来,希望能给他一些真正の灵感！ 他反复回放着,那个黑衣人释放の那个玄奥の画面. 那是黑衣人挥出了一剑,这剑挥出,首先附近の空间开始震动起来,而四面办法の空间之力朝他汇集.紧接着,空间似乎停止了片刻,最后在散发出一阵空间波动,但是附近の空 间却有被锁定了一样. 这一招威力很大,因为他附近の空间都在凝聚着一股强大无比の力量,这种力量还没完全凝结出
充分条件和必要条件(含区分和例题)
充分条件和需要条件之五兆芳芳创作解释：如果有事物情况A，则必定有事物情况B；如果没有事物情况A，则必定没有事物情况B，A就是B的充分需要条件（简称：充要条件）. 复杂地说，满足A，必定B；不满足A，必定不B，则A是B的充分需要条件.（A可以推导出B，且B也可以推导出A）例如： 1. A=“三角形等边”；B=“三角形等角”. 2. A=“某人触犯了刑律”；B=“应当依照刑法对他处以刑罚”.3. A=“付了足够的钱”；B=“能买到商店里的东西”. 例子中A都是B的充分需要条件：其一、A必定导致B；其二，A是B产生必须的.区分：假定A是条件，B是结论由A可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的充要条件（充分且需要条件）由A可以推出B~由B不成以推出A~~则A是B的充分不需要条件由A不成以推出B~由B可以推出A~~则A是B的需要不充分条件由A不成以推出B~由B不成以推出A~~则A是B的不充分不需要条件复杂一点就是：由条件能推出结论，但由结论推不出这个条件，这个条件就是充分条件如果能由结论推出条件，但由条件推不出结论.此条件为需要条件如果既能由结论推出条件，又能有条件推出结论.此条件为充要条件例子：1.充分条件：由条件a推出条件b，但是条件b其实不一定能推出条件a，天下雨了，地面一定湿，但是地面湿不一定是下雨造成的.2.需要条件：由后一个条件推出前一个条件，但是前一个条件并一定能推出后一个条件.我们把前面一个例子倒过去：地面湿了，天下雨了.我这里在复杂说下哲学上的充分条件和需要条件1. 充分条件是指按照提供的现有条件可以直接判断事物的运行成长结果.充分条件是事物运行成长的必定性条件，体现必定性的哲学内涵.如父亲和儿子的关系属于亲情关系吗？答必定属于.2. 需要性条件.事物的运行成长有其纪律性，需要性条件是指一些外在或内在的条件合适该事物的运行纪律的要求，但不克不及推动事物纪律的最终运行.如亲情关系和父子关系，亲情关系合适父子关系的一种现象表达，但不克不及推倒出亲情关系属于父子关系.荟萃暗示：设A、B是两个荟萃，A是B的充分条件，即满足A的必定满足B，暗示为A包含于B；A是B的需要条件，即满足B的必定满足A，暗示为A包含B，或B包含于A；A是B的充分不需要条件，即A是B的真子集，暗示为A 真包含于B；A是B的需要不充分条件，即B是A的真子集，暗示为A 真包含B，或B真包含于A；A是B的充分需要条件，即A、B等价，暗示为A=B.其中包含与真包含的符号打不出，自己写吧.不过这种暗示办法很是的不严格，实际中A、B两荟萃的元素未必是同一各类，而只是有一定的逻辑关系，所以这种暗示法也只能在特此外情况下适用.例题：例1 已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，则p是q的[ ]A．充分但不需要条件B．需要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不需要条件阐发利用韦达定理转换．解∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，∴x1，x2的值辨别为1，－6，∴x1＋x2＝1－6＝－5．因此选A．说明：判断命题为假命题可以通过举反例．例2 p是q的充要条件的是[ ]A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5B．p：a＞2，b＜2，q：a＞bC．p：四边形的两条对角线相互垂直平分，q：四边形是正方形D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解阐发逐个验证命题是否等价．解对A．p：x＞1，q：x＜1，所以，p是q的既不充分也不需要条件；对B．p q但q p，p 是q的充分非需要条件；对C．p q且q p，p是q的需要非充分条件；说明：当a＝0时，ax＝0有无数个解．例3 若A 是B成立的充分条件，D是C成立的需要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的[ ]A．充分条件B．需要条件C．充要条件D．既不充分也不需要条件阐发通过B、C作为桥梁联系A、D．解∵A是B的充分条件，∴A B①∵D是C成立的需要条件，∴C D②由①③得A C④由②④得A D．∴D是A成立的需要条件．选B．说明：要注意利用推出符号的传递性．例4 设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的[ ]A．充分不需要条件B．需要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不需要条件阐发先解不等式再判定．解解不等式|x－2|＜3得－1＜x＜5．∵0＜x＜5 －1＜x＜5，但－1＜x＜5 0＜x＜5∴甲是乙的充分不需要条件，选A．说明：一般情况下，如果条件甲为x∈A，条件乙为x∈B．当且仅当A＝B时，甲为乙的充要条件．例5 设A、B、C三个荟萃，为使 A (B∪C)，条件 A B是[ ]A．充分条件B．需要条件C．充要条件D．既不充分也不需要条件阐发可以结合图形阐发．请同学们自己绘图．∴A (B∪C)．但是，当B＝N，C＝R，A＝Z时，显然 A (B∪C)，但A B不成立，综上所述：“A B”“A (B∪C)”，而“A (B∪C)”“A B”．即“A B”是“A (B∪C)”的充分条件(不需要)．选A．说明：绘图阐发时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况．例6 给出下列各组条件：(1)p：ab ＝0，q：a2＋b2＝0；(2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；(3)p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有实根；(4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1．其中p是q的充要条件的有[ ]A．1组B．2组C．3组D．4组阐发使用方程理论和不等式性质．解 (1)p是q的需要条件(2)p是q充要条件(3)p是q的充分条件(4)p是q的需要条件．选A．说明：ab＝0指其中至少有一个为零，而a2＋b2＝0指两个都为零．阐发将前后两个不等式组辨别作等价变形，不雅察两者之间的关系．例8 已知真命题“a≥b c＞d”和“a＜b e≤f”，则“c≤d”是“e≤f”的________条件．阐发∵a≥b c＞d(原命题)，∴c≤d a ＜b(逆否命题)．而a＜b e≤f，∴c≤d e≤f即c≤d是e≤f的充分条件．答填写“充分”．说明：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是罕有的思想办法．例9 ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是[ ]A．0＜a≤1 B．a＜1C．a≤1 D．0＜a≤1或a＜0阐发此题若采取普通办法推导较为庞杂，可通过选项提供的信息，用排除法解之．当a＝1时，方程有负根x＝－1，当a＝0时，x＝当a≠0时综上所述a≤1．即ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1．说明：特殊值法、排除法都是解选择题的好办法．例10 已知p、q都是r的需要条件，s是r的充分条件，q是s 的充分条件，那么s，r，p辨别是q的什么条件？阐发画出关系图1－21，不雅察求解．解s是q的充要条件；(s r q，q s)r是q的充要条件；(r q，q s r)p是q的需要条件；(q s r p)说明：图可以画的随意一些，关头要体现各个条件、命题之间的逻辑关系．例11 关于x的不等式阐发化简A 和B，结合数轴，机关不等式(组)，求出a．解A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，B＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]≤0}B＝{x|2≤x≤3a ＋1}．B＝{x|3a＋1≤x≤2}说明：荟萃的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关．在解题时要理清思路，表达准确，推理无误．要条件？阐发将充要条件和不等式同解变形相联系．说明：分类讨论要做到不重不漏．例13 设α，β是方程x2－ax＋b＝0的两个实根，试阐发a＞2且b＞1是两根α，β均大于1的什么条件？阐发把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需∴q p．上述讨论可知：a＞2，b＞1是α＞1，β＞1的需要但不充分条件．说明：本题中的讨论内容在二次方程的根的散布理论中常被使用．例14 (1991年全国高考题)设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的需要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的需要条件，那么[ ]A．丙是甲的充分条件，但不是甲的需要条件B．丙是甲的需要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的需要条件阐发1：由丙乙甲且乙丙，即丙是甲的充分不需要条件．阐发2：绘图不雅察之．答：选A．说明：抽象命题之间的逻辑关系通常靠绘图不雅察比较便利。
怎样理解充分条件、必要条件和充要条件
怎样理解充分条件、必要条件和充要条件张万库充分条件、必要条件和充要条件是简易逻辑中的重要概念，准确理解、有意识地运用这几个概念思考问题和解决问题，可以使同学们养成严谨的思维品质，提高大家的逻辑思维能力。
怎样理解这三个概念呢？1. 充分条件、必要条件和充要条件反映的是一个命题中条件和结论间的因果关系（条件关系），是条件对于结论成立的作用。
谈一个命题的条件是否充分、必要、充要时，这个命题必须是确定的。
2. 充分条件的特征是“有之必然，无之未必不然”，即对于给定的命题“若A 则B ”，有了条件A ，结论B 一定成立（A B ⇒）；没有条件A ，结论B 未必不成立，也有可能成立。
这样的条件A 就是结论B 的充分条件。
例如，在命题“若x>0，则x 20>”中，有了条件“x>0”，就一定有结论“x 20>”成立。
把条件“x>0”换成“x <0”或“x ≠0”，仍有结论“x 20>”成立。
因此条件“x >0”是结论“x 20>”的充分条件。
教材中由“p q ⇒”定义“p 是q 的充分条件”，说的就是命题“若p 则q ”中条件p 对于结论q 成立的作用。
3. 必要条件的特征是“无之必不然，有之未必然”，即对于给定的命题“若A 则B ”，没有条件A ，结论B 一定不成立（⌝⇒⌝A B ）；但是有了条件A ，结论B 却未必一定成立。
这样的条件A 就是结论B 的必要条件。
例如，在命题“若x R x Q ∈∈，则”中，没有条件“x Q ∈”，就一定不会有结论“x Q ∈”。
但是有了条件“x R ∈”，却未必有结论“x R ∈”，还有可能是x C Q R ∈。
因此条件“x R ∈”是结论“x Q ∈”的必要条件。
利用“⌝⇒⌝A B ”判断条件A 是结论B 的必要条件，有时是很困难的。
我们可以利用“⌝⇒⌝A B ”的等价命题“B A ⇒”来判断，但一定要注意A 还是条件，B 还是结论，即若由结论B 能推出条件A ，则条件A 对于结论B 的成立是必要的。
充分条件和必要条件(含区分和例题)
充分条件和需要条件之袁州冬雪创作诠释：如果有事物情况A，则必定有事物情况B；如果没有事物情况A，则必定没有事物情况B，A就是B的充分需要条件（简称：充要条件）. 简单地说，知足A，必定B；不知足A，必定不B，则A是B的充分需要条件.（A可以推导出B，且B也可以推导出A）例如： 1. A=“三角形等边”；B=“三角形等角”.2. A=“或人触犯了刑律”；B=“应当依照刑法对他处以刑罚”.3. A=“付了足够的钱”；B=“能买到商店里的东西”. 例子中A都是B的充分需要条件：其一、A必定导致B；其二，A是B发生必须的.区分：假设A是条件，B是结论由A可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的充要条件（充分且需要条件）由A可以推出B~由B不成以推出A~~则A是B的充分不需要条件由A不成以推出B~由B可以推出A~~则A是B的需要不充分条件由A不成以推出B~由B不成以推出A~~则A是B的不充分不需要条件简单一点就是：由条件能推出结论，但由结论推不出这个条件，这个条件就是充分条件如果能由结论推出条件，但由条件推不出结论.此条件为需要条件如果既能由结论推出条件，又能有条件推出结论.此条件为充要条件例子：1.充分条件：由条件a推出条件b，但是条件b其实纷歧定能推出条件a，天下雨了，地面一定湿，但是地面湿纷歧定是下雨造成的.2.需要条件：由后一个条件推出前一个条件，但是前一个条件并一定能推出后一个条件.我们把前面一个例子倒过来：地面湿了，天下雨了.我这里在简单说下哲学上的充分条件和需要条件1. 充分条件是指根据提供的现有条件可以直接断定事物的运行发展成果.充分条件是事物运行发展的必定性条件，体现必定性的哲学内涵.如父亲和儿子的关系属于亲情关系吗？答必定属于.2. 需要性条件.事物的运行发展有其规律性，需要性条件是指一些外在或内涵的条件符合该事物的运行规律的要求，但不克不及推动事物规律的最终运行.如亲情关系和父子关系，亲情关系符合父子关系的一种现象表达，但不克不及推倒出亲情关系属于父子关系.集合暗示：设A、B是两个集合，A是B的充分条件，即知足A的必定知足B，暗示为A包含于B；A是B的需要条件，即知足B的必定知足A，暗示为A包含B，或B包含于A；A是B的充分不需要条件，即A是B的真子集，暗示为A真包含于B；A是B的需要不充分条件，即B是A的真子集，暗示为A真包含B，或者B真包含于A；A是B的充分需要条件，即A、B等价，暗示为A=B.其中包含与真包含的符号打不出，自己写吧.不过这种暗示方法非常的不严格，实际中A、B两集合的元素未必是同一各类，而只是有一定的逻辑关系，所以这种暗示法也只能在特此外情况下适用.例题：例1 已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，则p是q的[ ]A．充分但不需要条件B．需要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不需要条件分析操纵韦达定理转换．解∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，∴x1，x2的值分别为1，－6，∴x1＋x2＝1－6＝－5．因此选A．说明：断定命题为假命题可以通过举反例．例2 p是q的充要条件的是[ ]A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5B．p：a＞2，b ＜2，q：a＞bC．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解分析逐个验证命题是否等价．解对A．p：x＞1，q：x＜1，所以，p是q的既不充分也不需要条件；对B．p q但q p，p是q的充分非需要条件；对C．p q且q p，p是q的需要非充分条件；说明：当a＝0时，ax＝0有无数个解．例3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的需要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的[ ]A．充分条件B．需要条件C．充要条件D．既不充分也不需要条件分析通过B、C作为桥梁接洽A、D．解∵A是B的充分条件，∴A B①∵D是C成立的需要条件，∴C D②由①③得A C④由②④得A D．∴D是A 成立的需要条件．选B．说明：要注意操纵推出符号的传递性．例4 设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那末甲是乙的[ ]A．充分不需要条件 B．需要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不需要条件分析先解不等式再断定．解解不等式|x－2|＜3得－1＜x＜5．∵0＜x＜5 －1＜x＜5，但－1＜x＜5 0＜x＜5∴甲是乙的充分不需要条件，选A．说明：一般情况下，如果条件甲为x∈A，条件乙为x∈B．当且仅当A＝B时，甲为乙的充要条件．例5 设A、B、C三个集合，为使A (B∪C)，条件A B 是[ ]A．充分条件B．需要条件C．充要条件D．既不充分也不需要条件分析可以连系图形分析．请同学们自己画图．∴A (B∪C)．但是，当B＝N，C＝R，A＝Z 时，显然 A (B∪C)，但 A B不成立，综上所述：“A B”“A (B∪C)”，而“A (B∪C)”“A B”．即“A B”是“A (B∪C)”的充分条件(不需要)．选A．说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况．例6 给出下列各组条件：(1)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；(2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；(3)p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有实根；(4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1．其中p是q的充要条件的有[ ]A．1组 B．2组C．3组 D．4组分析使用方程实际和不等式性质．解 (1)p是q的需要条件(2)p是q充要条件(3)p是q的充分条件(4)p是q的需要条件．选A．说明：ab＝0指其中至少有一个为零，而a2＋b2＝0指两个都为零．分析将前后两个不等式组分别作等价变形，观察二者之间的关系．例8 已知真命题“a≥b c ＞d”和“a＜b e≤f”，则“c≤d”是“e≤f”的________条件．分析∵a≥b c＞d(原命题)，∴c≤d a＜b(逆否命题)．而a＜b e≤f，∴c≤d e≤f即c≤d是e≤f的充分条件．答填写“充分”．说明：充分操纵原命题与其逆否命题的等价性是罕见的思想方法．例9 ax2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是[ ]A．0＜a≤1 B．a＜1C．a≤1 D．0＜a≤1或a＜0分析此题若采取普通方法推导较为复杂，可通过选项提供的信息，用解除法解之．当a＝1时，方程有负根x＝－1，当a＝0时，x＝当a≠0时综上所述a≤1．即ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1．说明：特殊值法、解除法都是解选择题的好方法．例10 已知p、q都是r的需要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那末s，r，p分别是q 的什么条件？分析画出关系图1－21，观察求解．解 s 是q的充要条件；(s r q，q s)r是q的充要条件；(r q，q s r)p是q的需要条件；(q s r p)说明：图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系．例11 关于x的不等式分析化简A和B，连系数轴，构造不等式(组)，求出a．解 A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，B＝{x|(x －2)[x－(3a＋1)]≤0}B＝{x|2≤x≤3a＋1}．B＝{x|3a＋1≤x≤2}说明：集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式紧密亲密相关．在解题时要理清思路，表达准确，推理无误．要条件？分析将充要条件和不等式同解变形相接洽．说明：分类讨论要做到不重不漏．例13 设α，β是方程x2－ax＋b＝0的两个实根，试分析a＞2且b＞1是两根α，β均大于1的什么条件？分析把充要条件和方程中根与系数的关系问题相接洽，解题时需∴q p．上述讨论可知：a＞2，b＞1是α＞1，β＞1的需要但不充分条件．说明：本题中的讨论内容在二次方程的根的分布实际中常被使用．例14 (1991年全国高考题)设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的需要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的需要条件，那末[ ]A．丙是甲的充分条件，但不是甲的需要条件B．丙是甲的需要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的需要条件分析1：由丙乙甲且乙丙，即丙是甲的充分不需要条件．分析2：画图观察之．答：选A．说明：抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便。
充分条件、必要条件和充要条件
当A成立时B成立，A不成立时B可能成立， A就是B的充分非必要条件。
当A不成立时B不成立，A成立时B可能不成立， A就是B的必要非充分条件
如果只有你有家门钥匙。 当你在(A成立)时家门能打开(B成立)，你不在(A不成 立)时家门打不开(B不成立)， 你就是打开家门的充分必要条件
那么你就是家门能打开的充分（你有钥匙）必要（只 有你有钥匙）条件。
提示：充分不必要 必要不充分
20
2．“x＝1”是“x2－1＝0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 A [当x＝1时，x2－1＝0成立，反之不成立，所以“x＝1”是 “x2－1＝0”的充分不必要条件．]
(2)以下五种表述形式：
小明是小花的哥哥
①p⇒q；（你在⇒家门能打开） 小花的哥哥是小明
②p是q的充分条件 (你在是家门能打开的充分条件)
③q的充分条件是__p__(家门能打开的充分条件是你在)
④q是p的必要条件 (家门能打开是你在的必要条件)
⑤p的必要条件是__q__(你在的必要条件是家门能打开）
充分条件、必要条件和充要条件
在数学中，当“如果p，那么q”是真命题时，我们就说p 可推出q，记作p⟹q。 此时，我们称p是q的充分条件或q是p的必要条件。
p是q的充分条件 ⇔ q是p的必要条件
假设你有一把家门钥匙。 当你在(A成立)时家门能打开(B成立)。你在就是家门打 开的充分条件。 当A成立⇒ B成立，A是B的充分条件。
A是B的充分条件 ⇔ B是A的必要条件
“前(A)能推后(B)” “后(A)能推前(B)”
你在是家门打开的充分条件⇔ 家门打开就是你在的必要条件。
你在(A)⇒家门能打开(B) 家门能打开(B)⇐你在(A)
充要条件的概念
充要条件的概念
充要条件也即充分必要条件，意思是说，如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p，则称p是q的充分必要条件，且q也是p的充分必要条件。
如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果有事物情况B，则必然有事物情况A，那么B就是A的充分必要条件(简称：充要条件)，反之亦然。
假设A是条件，B是结论。
（1）由A可以推出B，由B可以推出A，则A是B的充分必要条件，或者说A的充分必要条件是B。
（2）由A可以推出B，由B不可以推出A，则A是B的充分不必要条件。
（3）由A不可以推出B，由B可以推出A，则A是B的必要不充分条件。
（4）由A不可以推出B，由B不可以推出A，则A是B的既不充分也不必要条件。
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充 要 条 件
苏州市第十中学 罗强
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一、复习引入
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1、命题： 命题：可以判断真假的语句，可写成：若p则q。 可以判断真假的语句，可写成： 则 。 2、四种命题及相互关系： 、四种命题及相互关系： 原命题 p则 若 p则 q
q（或q （ q。 。
p）。 ）。
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一、复习引入
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5、例1、判断下列命题是真命题还是假命题， 、 、判断下列命题是真命题还是假命题， 并研究其逆命题的真假。 并研究其逆命题的真假。 （1）若x=y，则x2=y2。 ） ， （2）有两角相等的三角形是等腰三角形。 ）有两角相等的三角形是等腰三角形。 的解集为R （3）ax2+ax+1>0的解集为R，则0<a<4。 ） 的解集为 。 （4）若a2>b2，则a>b。 ） 。 答：(1) p (3) p q, q q, q p p (2) p (4) p q, q q, q p p
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q和q 和
p的真假。 的真假。 的真假
四、作业
1、课本P36练习 、2。 、课本 练习1、 。 练习
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补：2、写出生活中有四种关系的名言名句各 句。 、写出生活中有四种关系的名言名句各1句 3、名句探微——名言名句充要关系之剖析（字 、名句探微 名言名句充要关系之剖析（ 名言名句充要关系之剖析 数不少于500 ）。 数不少于
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三、小结
1、定义1： 定义1 2、定义2： 定义2 如果已知p 如果已知 如果既有p 如果既有 q是p的必要条件。 是 的必要条件 的必要条件。 q，又有q ，又有
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q，则说p是q的充分条件， ，则说 是 的充分条件 的充分条件， p，就记作 p ， q， ，
修正p或 ，使两者成为充要条件。 修正 或q，使两者成为充要条件。
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二、新课
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作业
判别充要条件 问题的
6、判别步骤： 判别步骤： ① 认清条件和结论。 ② 考察 认清条件和结论。 考察p 7、判别技巧： 判别技巧： 可先简化命题。 否定一个命题只要举出一个反例即可。 ① 可先简化命题。 ② 否定一个命题只要举出一个反例即可。 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。 ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
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二、新课
1、定义1：如果已知 、定义 ：如果已知p 定义2：如果已知 定义 ：如果已知q 定义3：如果既有 定义 ：如果既有p
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q，则说p是q的充分条件。 ，则说 是 的充分条件 的充分条件。 p，则说p是q的必要条件。 ，则说 是 的必要条件 的必要条件。 q，又有q ，又有 p，就记作 p ， q， ，
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二、新课
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3、例1、判断下列命题中前者是后者的什么条件？ 、 、判断下列命题中前者是后者的什么条件？ 后者是前者的什么条件？ 后者是前者的什么条件？ （1）若x=y，则x2=y2。 ） ， （2）有两角相等的三角形是等腰三角形。 ）有两角相等的三角形是等腰三角形。 的解集为R （3）ax2+ax+1>0的解集为R，则0<a<4。 ） 的解集为 。 （4）若a2>b2，则a>b。 ） 。 答： (1) p (2) p (3) p (4) p q, q q, q q, q q, q p 前者是后者的充分不必要条件。 前者是后者的充分不必要条件。 p 前者是后者的充要条件。 前者是后者的充要条件。 p 前者是后者的必要不充分条件。 前者是后者的必要不充分条件。 p 前者是后者的既不充分也不必要条件。 前者是后者的既不充分也不必要条件。
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q和q 和
p的真假。 的真假。 的真假
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8、例3、探讨下列生活中名言名句的充要关系。 、 、探讨下列生活中名言名句的充要关系。 （1） 水滴石穿。 ） 水滴石穿。 （2） 骄兵必败。 ） 骄兵必败。 （3） 有志者事竟成。 ） 有志者事竟成。 （4） 头发长，见识短。 ） 头发长，见识短。 （5） 名师出高徒。 ） 名师出高徒。 （6） 放下屠刀，立地成佛。 ） 放下屠刀，立地成佛。 （7） 兔子尾巴长不了。 ） 兔子尾巴长不了。 （8） 不到长城非好汉。 ） 不到长城非好汉。 （9） 春回大地，万物复苏。 ） 春回大地，万物复苏。 （10）海内存知己。 ）海内存知己。 （11）蜡炬成灰泪始干。 ）蜡炬成灰泪始干。 （12）玉不琢，不成器。 ）玉不琢，不成器。
则说p是 的充要条件 的充要条件。 则说 是q的充要条件。 2、从集合角度理解： 从集合角度理解： ①p ②q ③p q，相当于P Q ，即 P Q 或 P、Q ，相当于 、 p，相当于Q ，相当于 P ，即 Q P 或 P、Q 、 有它就行 缺它不行 同一事物
Байду номын сангаас
q，相当于P=Q ，即 P、Q ，相当于 、
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（1）若x=y，则x2=y2。（2）有两角相等的三角形是等腰三角形。 x=y， 。（2 有两角相等的三角形是等腰三角形。 +ax+1>0的解集为 的解集为R 0<a<4。 a>b。 （3）ax2+ax+1>0的解集为R，则0<a<4。 （4）若a2>b2，则a>b。 6、在原命题中研究条件对结论的制约程度 在真命题（1）、（ ）中，p足以导致 ，也就是说条件 ）、（2） 足以导致q， 在真命题（ ）、（ 足以导致 p充分了。 充分了 充分 在假命题（ ）、（ ）、（4）中条件p不充分。 在假命题（3）、（ ）中条件 不充分。 7、在逆命题中研究结论对条件的依赖程度 在真命题（ ）（ ）（3） 成立所必须具备的前提。 在真命题（2）（ ）中，p是q成立所必须具备的前提。 是 成立所必须具备的前提 在假命题（ ）（ ）（4） 不是q成立所必须具备的前提 在假命题（1）（ ）中，p不是 成立所必须具备的前提。 不是 成立所必须具备的前提。
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二、新课
复习
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作业
q，则说 是q的充分条件， 的充分条件， ，则说p是 的充分条件 4、简化定义： 如果已知 简化定义： 如果已知p q是p的必要条件。 的必要条件。 是 的必要条件 5、例2，判断下列问题中，p是q成立的什么条件？ 、 成立的什么条件？ ，判断下列问题中， 是 成立的什么条件 p q x<-1 （1） x2>1 ） -x2+4x+5>0 （2） |x-2|<3 ） x≠0或y≠0 （3） xy≠0 ） 或 解：（1）p ：（ ） （3）p ） q，q ， q，q ， p （2）p ） p （原问题 q q p） ）
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互 否 互逆
逆命题 若q则p 则
互 否
互为
逆否
否命题 若 p则 q 则
互否
逆否命题 若 q则 p 则
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3、如果命题“若p则q”为真，则记作 、如果命题“ 为真， 则 为真 则记作p 4、如果命题“若p则q”为假，则记作 、如果命题“ 为假， 则 为假 则记作p
则说p是q的充要条件。 的充要条件。 则说 是 的充要条件 3、判别步骤： 判别步骤： ① 认清条件和结论。 ② 考察 认清条件和结论。 考察p 4、判别技巧： 判别技巧： 可先简化命题。 否定一个命题只要举出一个反例即可。 ① 可先简化命题。 ② 否定一个命题只要举出一个反例即可。 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。 ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。