充要条件的证明(课堂PPT)
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充要条件(公开课课件)
方程组无解．
2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p 与q互为 充要 条件． [微思考] 若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说
法正确吗？ 提示：正确．若p是q的充要条件，则p⇔q. 即p等价于q.故此说法正确．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．
2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0. 证明：假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1， q：a＋b＋c＝0. (1)证明p⇒q，即证明必要性． ∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根， ∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
(2)证明q⇒p，即证明充分性． 由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b. ∵ax2＋bx＋c＝0， ∴ax2＋bx－a－b＝0. 即a(x2－1)＋b(x－1)＝0. 故(x－1)(ax＋a＋b)＝0. ∴x＝1是方程的一个根． 综上，方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
D．既不充分也不必要条件
解析：p＝3⇒A＝{－1,3,2}⇒B⊆A⇒A∩B＝B，所以是充分条件；反之，A∩B＝ B⇒B⊆A⇒{2,3}⊆{2，－1，p}⇒p＝3，所以是必要条件．故选C.
答案：C
2．下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； (2)p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形； (3)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. 解：(1)∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5，∴p是q的充要条件． (2)∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形， ∴p不是q的充要条件，p是q的充分不必要条件． (3)∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA，∴p是q的充要条件．
中职生数学基础模块上册课件《充要条件》
04
作业：请尝试使用充要条件分析生活中的 实际问题，并尝试绘制文氏图。
作业布置
复习充要条件的 概念和性质
完成课后习题， 巩固知识点
思考充要条件在 实际生活中的应 用
预习下一节课的 内容，为后续学 习做好准备
感谢您的耐心观看
充要条件的判定方法
直接判定法
01
02
03
04
反例法
反例法的定义：通过 寻找一个不满足条件 的例子来否定一个命
题
反例法的步骤：
确定命题
寻找反例
验证反例
反例法的优点：简单 直观，易于理解
反例法的局限性：需 要找到合适的反例， 可能存在漏判的情况
应用举例
数学题目
证明：若A是B的 充分条件，B是C 的充分条件，则 A是C的充分条件。
添加副标题
充要条件课件
目录
CONTENTS
01 导入
02 新课导入
03 充要条件的判定方 法
04 应用举例
05 课堂活动
06 小结与作业
导入
温故知新
回顾已学知识：回顾与本节课相 关的旧知识，为学习新知识打下 基础
提出问题：针对旧知识提出新的 问题，激发学生的求知欲
引入新课：通过问题引入新课， 使学生更容易接受和理解新知识
证明：若A是B的 必要条件，B是C 的必要条件，则 A是C的必要条件。
证明：若A是B的 充要条件，B是C 的充要条件，则 A是C的充要条件。
证明：若A是B的 充分必要条件， B是C的充分必要 条件，则A是C的 充分必要条件。
物理题目
01
02
03
04
化学反应：判断反应 是否发生，并解释原 因
化学题目
作业：请尝试使用充要条件分析生活中的 实际问题，并尝试绘制文氏图。
作业布置
复习充要条件的 概念和性质
完成课后习题， 巩固知识点
思考充要条件在 实际生活中的应 用
预习下一节课的 内容，为后续学 习做好准备
感谢您的耐心观看
充要条件的判定方法
直接判定法
01
02
03
04
反例法
反例法的定义：通过 寻找一个不满足条件 的例子来否定一个命
题
反例法的步骤：
确定命题
寻找反例
验证反例
反例法的优点：简单 直观，易于理解
反例法的局限性：需 要找到合适的反例， 可能存在漏判的情况
应用举例
数学题目
证明：若A是B的 充分条件，B是C 的充分条件，则 A是C的充分条件。
添加副标题
充要条件课件
目录
CONTENTS
01 导入
02 新课导入
03 充要条件的判定方 法
04 应用举例
05 课堂活动
06 小结与作业
导入
温故知新
回顾已学知识：回顾与本节课相 关的旧知识，为学习新知识打下 基础
提出问题：针对旧知识提出新的 问题，激发学生的求知欲
引入新课：通过问题引入新课， 使学生更容易接受和理解新知识
证明：若A是B的 必要条件，B是C 的必要条件，则 A是C的必要条件。
证明：若A是B的 充要条件，B是C 的充要条件，则 A是C的充要条件。
证明：若A是B的 充分必要条件， B是C的充分必要 条件，则A是C的 充分必要条件。
物理题目
01
02
03
04
化学反应：判断反应 是否发生，并解释原 因
化学题目
高中数学(新人教A版)必修第一册：充要条件课件【精品课件】
例 1.
【解析】
对(1)，ab＝0指其中至少有一个为零，而 2 ＋2
＝0指两个都为零，因此q⇒p，但p⇏q，p是q的必
要不充分条件；
对(2)，|x＋y|＝|x|＋|y|平方得： 2 ＋2xy＋ 2 ＝ 2
＋2|xy|＋ 2 ⇔xy＝|xy|⇔xy≥0，所以p是q的充要
条件；
对(3)，方程 2 －x－m＝0有实根的充要条件是Δ＝
第一章 集合与常用逻辑用语
1.4充分条件与必要条件
教材分析
本小节内容选自
第四节
《普通高中数学必修第一册》
人教A版（2019）
第一章《集合与常用逻辑用语》
第四节《充分条件与必要条件》
以下是
“常用逻辑用语”的课时安排：
课时内容
第五节
充分条件与必要条件（共2课时）
所在位置 教材第17页
全称量词与存在量词（共2课时）
条件” 的逻辑语句或事例吗？
（一）新知导入
探索交流，解决问题
【问题1】
已 知
【思考1】
p: 整数a是6的倍数,
通过判断,你发现了什么?
q: 整数a是2和3的倍数.
这种关系是否对任意一个“若p,则q”的命题
请判断: p是q的充分条件吗?
p是q的必要条件吗?
[答案]
p⇒q,故p是q的充分条件,又q⇒p,故p
的关系，学习充分条件、必要条件、 学内容。
充要条件这三个逻辑用语。
核心素养 通过观察实例，理解充分条件、必要 通过数学实例，使学生理解全称
培养
条件、充要条件的意义
量词、存在量词的意义，体现了
会辨析充分不必要条件、必要不充分 数学抽象的核心素养；会判定命
条件、充要条件、既不充分又不必要 题的真假，会写出命题的否定，
【解析】
对(1)，ab＝0指其中至少有一个为零，而 2 ＋2
＝0指两个都为零，因此q⇒p，但p⇏q，p是q的必
要不充分条件；
对(2)，|x＋y|＝|x|＋|y|平方得： 2 ＋2xy＋ 2 ＝ 2
＋2|xy|＋ 2 ⇔xy＝|xy|⇔xy≥0，所以p是q的充要
条件；
对(3)，方程 2 －x－m＝0有实根的充要条件是Δ＝
第一章 集合与常用逻辑用语
1.4充分条件与必要条件
教材分析
本小节内容选自
第四节
《普通高中数学必修第一册》
人教A版（2019）
第一章《集合与常用逻辑用语》
第四节《充分条件与必要条件》
以下是
“常用逻辑用语”的课时安排：
课时内容
第五节
充分条件与必要条件（共2课时）
所在位置 教材第17页
全称量词与存在量词（共2课时）
条件” 的逻辑语句或事例吗？
（一）新知导入
探索交流，解决问题
【问题1】
已 知
【思考1】
p: 整数a是6的倍数,
通过判断,你发现了什么?
q: 整数a是2和3的倍数.
这种关系是否对任意一个“若p,则q”的命题
请判断: p是q的充分条件吗?
p是q的必要条件吗?
[答案]
p⇒q,故p是q的充分条件,又q⇒p,故p
的关系，学习充分条件、必要条件、 学内容。
充要条件这三个逻辑用语。
核心素养 通过观察实例，理解充分条件、必要 通过数学实例，使学生理解全称
培养
条件、充要条件的意义
量词、存在量词的意义，体现了
会辨析充分不必要条件、必要不充分 数学抽象的核心素养；会判定命
条件、充要条件、既不充分又不必要 题的真假，会写出命题的否定，
1.4.2充要条件课件(人教版)
不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都 是真命题；
命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；
命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题；
我们称上述命题(1)(4)中的p与q互为充要条件。
概念形成
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p” 均是真命题, 即既有pq , 又有qp , 就记作
第一章 集合与常用逻辑用语
1.4.2充要条件
学习目标
素养目标
学科素养
1.理解充要条件的意义.（重点）
2.会判断一些简单的充要条件问 1、数学抽象
题.（重点）
2、逻辑推理
3.能对充要条件进行证明.（难点）
复习回顾
命题真假 “若p，则q”真
“若p，则q”假
推理关系
pq
p / q
p是q的充分条件 条件关系 q是p的必要条件
q:a+b+c=0(a≠0).
p⇒q且q⇒p，即与条件q之间有几种不同的逻辑关系？
①若p q ，且qp ，则p是q的充分不必要条件； ②若p q ，且qp ，则p是q的必要不充分条件； ③若p q ，且qp ，则p是q的即不充分也不必要条件； ④若p q ，且qp ，则p是q的充要条件.
3. 证明：如图,梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为
AC BD.
证明：过A, D分别作直线BC的垂线, 垂足分别为E, F.因为AD // BC, 所以AE DF
充分性. 在△AEC与△DFB中,AEC DFB 90, AE DF, AC BD, 故△AEC ≌△DFB.
于是CE BF, 从而BE CF,在△ABE与△DFC中, A AEB DFC 90, BE CF, AE DF,
练习：课本第22页练习1,2；习题1.4复习巩固2.
命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；
命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题；
我们称上述命题(1)(4)中的p与q互为充要条件。
概念形成
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p” 均是真命题, 即既有pq , 又有qp , 就记作
第一章 集合与常用逻辑用语
1.4.2充要条件
学习目标
素养目标
学科素养
1.理解充要条件的意义.（重点）
2.会判断一些简单的充要条件问 1、数学抽象
题.（重点）
2、逻辑推理
3.能对充要条件进行证明.（难点）
复习回顾
命题真假 “若p，则q”真
“若p，则q”假
推理关系
pq
p / q
p是q的充分条件 条件关系 q是p的必要条件
q:a+b+c=0(a≠0).
p⇒q且q⇒p，即与条件q之间有几种不同的逻辑关系？
①若p q ，且qp ，则p是q的充分不必要条件； ②若p q ，且qp ，则p是q的必要不充分条件； ③若p q ，且qp ，则p是q的即不充分也不必要条件； ④若p q ，且qp ，则p是q的充要条件.
3. 证明：如图,梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为
AC BD.
证明：过A, D分别作直线BC的垂线, 垂足分别为E, F.因为AD // BC, 所以AE DF
充分性. 在△AEC与△DFB中,AEC DFB 90, AE DF, AC BD, 故△AEC ≌△DFB.
于是CE BF, 从而BE CF,在△ABE与△DFC中, A AEB DFC 90, BE CF, AE DF,
练习：课本第22页练习1,2；习题1.4复习巩固2.
高中数学《充要条件》课件
[答案] D
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
解析
答案
拓展提升 判断 p 是 q 的充分必要条件的两种思路
(1)命题角度：验证由 p 能否推出 q，由 q 能否推出 p，对于否定性命题， 注意利用等价命题来判断．
(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断 p⇒q 及 q⇒p 的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集 合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．
[证明] 充分性：∵A＝2B，∴A－B＝B，则 sin(A－B)＝sinB，则 sinAcosB －cosAsinB＝sinB，结合正弦、余弦定理得 a·a2＋2ca2c－b2－b·b2＋2cb2c－a2＝b， 化简整理得 a2＝b(b＋c)；
课前自主预习
课堂互动探究Βιβλιοθήκη 随堂达标自测课后课时精练
答案
必要性：由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA，且 a2＝b(b＋c)，得 b2＋bc＝ b2＋c2－2bccosA，
答案 (1)√ (2)√ (3)√
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答案
2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)“x2<1”的充要条件是_________________________________________． (2)“x2 － 1 ＝ 0” 是 “|x| － 1 ＝ 0” 的 ________ 条 件 ． ( 从 “ 充 分 不 必 要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空) (3)已知向量 a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则 a⊥b 的充要条件是________． (4)如果不等式 x≤m 成立的充分不必要条件是 1≤x≤2，则 m 的最小值 为________．
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拓展提升 判断 p 是 q 的充分必要条件的两种思路
(1)命题角度：验证由 p 能否推出 q，由 q 能否推出 p，对于否定性命题， 注意利用等价命题来判断．
(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断 p⇒q 及 q⇒p 的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集 合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．
[证明] 充分性：∵A＝2B，∴A－B＝B，则 sin(A－B)＝sinB，则 sinAcosB －cosAsinB＝sinB，结合正弦、余弦定理得 a·a2＋2ca2c－b2－b·b2＋2cb2c－a2＝b， 化简整理得 a2＝b(b＋c)；
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必要性：由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA，且 a2＝b(b＋c)，得 b2＋bc＝ b2＋c2－2bccosA，
答案 (1)√ (2)√ (3)√
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2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)“x2<1”的充要条件是_________________________________________． (2)“x2 － 1 ＝ 0” 是 “|x| － 1 ＝ 0” 的 ________ 条 件 ． ( 从 “ 充 分 不 必 要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空) (3)已知向量 a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则 a⊥b 的充要条件是________． (4)如果不等式 x≤m 成立的充分不必要条件是 1≤x≤2，则 m 的最小值 为________．
充分条件与必要条件(共14张PPT)
得P: x + y =－2, q :x =－1且y = －1, 因为 q能推出 P,但 P不能推出 q.
∴p 是 q 的充分而不必要条件. 选A.
例4、已知P：|1- x3-1| 2，q：x2 -2x+1-m2 0，(m>0), 若 q是 p的充分不必要条件，求实数m的取值范围?
解: 由x2－2x＋1－m2≤0，得q:1－m≤x≤1＋m.
(3)若 p q ，那么q是p的充要条件 条件
p (4)若 p
q q ，那么q是p的 既不充分也不必要条件
例3. 已知条件 P: x + y ≠－2,条件q: x , y不都 是－1, 则p 是 q的( A )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 解: 由p : x + y ≠－2 ,q: x , y不都是－1,
所以由“｜¬q1－”：x－A3 ＝1 {|≤x∈2，R｜得xp＞：1－＋2m≤或x≤x＜101，－m,m＞0}
所以“¬p”：B＝{x∈R｜x＞10或x＜－2}．
由“¬q ”是“¬p”的充分而不必要条件知：A
B．
m 0
从而可得 1 m 2
1 m 10
解得 m≥ 9为所求．
1-m -2
10 1+m
②从集合角度看
⑴p是q的充分不必要条 件，相当于P Q,如右图
⑵p是q的必要不充分条 件,相当于P Q ,如左图
⑶p q,相当于P=Q ,
即:互为充要条件的两个事物
表示的是——同一事物。如 右图:
练习：下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件？
A
B
C
A
CB
A
B
∴p 是 q 的充分而不必要条件. 选A.
例4、已知P：|1- x3-1| 2，q：x2 -2x+1-m2 0，(m>0), 若 q是 p的充分不必要条件，求实数m的取值范围?
解: 由x2－2x＋1－m2≤0，得q:1－m≤x≤1＋m.
(3)若 p q ，那么q是p的充要条件 条件
p (4)若 p
q q ，那么q是p的 既不充分也不必要条件
例3. 已知条件 P: x + y ≠－2,条件q: x , y不都 是－1, 则p 是 q的( A )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 解: 由p : x + y ≠－2 ,q: x , y不都是－1,
所以由“｜¬q1－”：x－A3 ＝1 {|≤x∈2，R｜得xp＞：1－＋2m≤或x≤x＜101，－m,m＞0}
所以“¬p”：B＝{x∈R｜x＞10或x＜－2}．
由“¬q ”是“¬p”的充分而不必要条件知：A
B．
m 0
从而可得 1 m 2
1 m 10
解得 m≥ 9为所求．
1-m -2
10 1+m
②从集合角度看
⑴p是q的充分不必要条 件，相当于P Q,如右图
⑵p是q的必要不充分条 件,相当于P Q ,如左图
⑶p q,相当于P=Q ,
即:互为充要条件的两个事物
表示的是——同一事物。如 右图:
练习：下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件？
A
B
C
A
CB
A
B
1.4.2充要条件(教学课件)高一数学课堂(人教A版2019)
变式训练2 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要 条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件” 回答). (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；
充要条件； (2)p：x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0；
充要条件；
(3)p：A∩B＝∅，q：B＝∅； 必要不充分条件；
子集的一个充分不必要条件是
A.m∈0，23
√B.m∈0，－32
C.m∈0，－32，1
D.m∈0，23，1
A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}，
若m＝0，则B＝∅，B A，
若m＝1，则B＝{2} A， 若 m＝－23，则 B＝{－3} A， ∴B A 的一个充分不必要条件是 m∈0，－32.
课堂小结
新知讲解
(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 __p_⇒__q_，又有 q⇒p ，就记作 p⇔q ，此时，p既是q的充分条件，也是q的 必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 充要 条件.
新知讲解
(2)条件关系判定的常用结论：
条件p与结论q的关系 p⇒q，且q⇏p q⇒p，且p⇏q p⇒q，且q⇒p p⇏q，且q⇏p
充要条件
温故知新
命题：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述 句叫做 命题 . 判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是 假命题 . 中学数学中的许多命题可以写成“若p, 则 q”"如果 p, 那么q" 等形式. p称为命题的 条件，q称为命题的结论 .
温故知新
充分条件与必要条件
学习目标
1.通过实例认识并理解充要条件的意义. 2.能自主判断充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件问题.(重点) 3.掌握充要条件的证明方法，并能自主对充要条件进行证明.(难点)
1.4 充分条件与必要条件课件ppt
件是否能是“x>0”?
提示 不是.例如“x>1”还能推出“x>-1”“x≥
要条件.
1
2 ”等,这些都是“x>1”成立的必
微练习
已知A,B,C是△ABC的三个内角,则“A+C=2B”是“B=60°”的(
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
)
课堂篇 探究学习
角互补”等都是“两直线平行”的必要条件.
知识点二:充要条件
如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p⇒q,又有q⇒p,
就记作 p⇔q .此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的
充分必要条件,简称为充要条件.
名师点析 1.对充要条件的两点说明
(1)p是q的充要条件意味着“p成立,则q一定成立;p不成立,则q一定不成立”.
q是p的充分不必要条件
p是q的既不充分也不必要条件
q是p的既不充分也不必要条件
微思考
(1)我们知道,当“x>1”成立时,能推出“x>0”.那么“x>0”的充分条件是否只能
是“x>1”?
提示 不是.使结论“x>0”成立的条件并不唯一,如“x>1.2”,“3<x≤4”等,有无
数个.
(2)由前面的知识,我们知道“x>0”是“x>1”的必要条件.那么“x>1”的必要条
2023
第一章
1.4 充分条件与必要条件
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
课标阐释
1.了解真命题与推出符号的关系,领会符号语言的优越性.(数学抽象)
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4
充要条件的探求
5
例２、探求一次函数f (x)=kx+b (k≠0)是奇函数的充 要条件。
若 f (－x)= － f (x)，则f (x)是奇函数，反之也成立。 若 f (－x)= f (x)，则f (x)是偶函数，反之也成立。 若 f (x)是奇函数，则f (x)的函数图像关于原点对称,
反之也成立。 若 f (x)是偶函数，则f (x)的函数图像关于y轴对称，
反之也成立。
6
例２、探求一次函数f (x)=kx+b (k≠0)是奇函数的充 要条件。
解：①探求过程：
∵ f (x)=kx+b (k≠0)是奇函数 ∴ f (－x)= － f (x)
即： k (－x ) + b＝－( k x + b)
∴ b＝0 ②验证过程：
如果b＝0，那么f (x)=kx (k≠0) 此时f (x)=kx (k≠0)是奇函数 ∴f (x)=kx+b (k≠0)是奇函数的充要条是b＝0 。
∴ （x－1）[a（x+1）+b]=0 ∴方程ax2+bx+c=0有一个根为1。
3
求证：例1：关于x的方程ax2+bx+c=0 有一个根为1的充要条件是a+b+c=0。 证明：必要性： ∵方程ax2+bx+c=0有一个根为1 ， ∴将根代入方程中ax2+bx+c=0 ∴ a+b+c=0 综上所述，方程ax2+bx+c=0有一个根为1 的充要条件是a+b+c=0。
7
②要分清它的叙述格式。分清哪个是条件， 哪个是结论。
2Hale Waihona Puke 求证：例1：关于x的方程ax2+bx+c=0有一 个根为1的充要条件是a+b+c=0。 证明：充分性：
∵ a+b+c=0∴ c=－a－b
∴ax2+bx+c=0
∴ ax2+bx－a－b=0 ∴ ax2 －a+bx－b=0 ∴ a（x2－1）+b（x－1）=0 ∴ a（x－1）（x+1）+b（x－1） =0
充要条件的证明
1
pq,称p是q的充分条件。
换种叙述格式：q的充分条件是p。
例1：求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个 根为1的充要条件是a+b+c=0。
①由“条件=>结论”是证明命题的充分性， 由“结论=>条件”是证明命题的必要性。所 以证明要分两个环节，一是证明充分性，二 是证明必要性。
充要条件的探求
5
例２、探求一次函数f (x)=kx+b (k≠0)是奇函数的充 要条件。
若 f (－x)= － f (x)，则f (x)是奇函数，反之也成立。 若 f (－x)= f (x)，则f (x)是偶函数，反之也成立。 若 f (x)是奇函数，则f (x)的函数图像关于原点对称,
反之也成立。 若 f (x)是偶函数，则f (x)的函数图像关于y轴对称，
反之也成立。
6
例２、探求一次函数f (x)=kx+b (k≠0)是奇函数的充 要条件。
解：①探求过程：
∵ f (x)=kx+b (k≠0)是奇函数 ∴ f (－x)= － f (x)
即： k (－x ) + b＝－( k x + b)
∴ b＝0 ②验证过程：
如果b＝0，那么f (x)=kx (k≠0) 此时f (x)=kx (k≠0)是奇函数 ∴f (x)=kx+b (k≠0)是奇函数的充要条是b＝0 。
∴ （x－1）[a（x+1）+b]=0 ∴方程ax2+bx+c=0有一个根为1。
3
求证：例1：关于x的方程ax2+bx+c=0 有一个根为1的充要条件是a+b+c=0。 证明：必要性： ∵方程ax2+bx+c=0有一个根为1 ， ∴将根代入方程中ax2+bx+c=0 ∴ a+b+c=0 综上所述，方程ax2+bx+c=0有一个根为1 的充要条件是a+b+c=0。
7
②要分清它的叙述格式。分清哪个是条件， 哪个是结论。
2Hale Waihona Puke 求证：例1：关于x的方程ax2+bx+c=0有一 个根为1的充要条件是a+b+c=0。 证明：充分性：
∵ a+b+c=0∴ c=－a－b
∴ax2+bx+c=0
∴ ax2+bx－a－b=0 ∴ ax2 －a+bx－b=0 ∴ a（x2－1）+b（x－1）=0 ∴ a（x－1）（x+1）+b（x－1） =0
充要条件的证明
1
pq,称p是q的充分条件。
换种叙述格式：q的充分条件是p。
例1：求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个 根为1的充要条件是a+b+c=0。
①由“条件=>结论”是证明命题的充分性， 由“结论=>条件”是证明命题的必要性。所 以证明要分两个环节，一是证明充分性，二 是证明必要性。