第二章 波函数和 Schrodinger 方程

第二章 波函数 和 Schrodinger 方程
§1 §2 §3 §4 §5 §6 波函数的统计解释 态叠加原理 力学量的平均值和算符的引进 Schrodinger 方程 粒子流密度和粒子数守恒定律 定态Schrodinger方程
§1 波函数的统计解释
（一）波函数 （二）波函数的解释 （三）波函数的性质
这即是要求描写粒子量子 状态的波函数Ψ必须是绝 对值平方可积的函数。
若 ∫∞|Ψ(r,t)|2 dτ → ∞,
则 C → 0, 这是没有意义的。 注意：自由粒子波函数
r ⎡i r r ⎤ Ψ(r , t ) = A exp⎢ ( p • r − Et )⎥ ⎣h ⎦
•不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问 题，以后再予以讨论。
r Ψ (r , t)
描写粒子状态的 波函数，它通常 是一个复函数。
• 3个问题？
(1) (2) (3) ψ 是怎样描述粒子的状态呢？ ψ 如何体现波粒二象性的？ ψ 描写的是什么样的波呢？
(二）、波函数的解释
电子源
P O Q
感两种错误的看法 1. 波由粒子组成
如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。 这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。 电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增 加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚 集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。 事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子 （只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一 些量子现象。 波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀 了粒子的波动性的一面，具有片面性。
1 A = A1 A2 A3 = [2πh ]3 / 2
=e
i [ E ′ − E ]t h
r r r r ′) = δ ( p − p′) δ(p− p
1 ∞ δ ( x − x0 ) = dk e ik ( x − x 0 ) 2π ∫− ∞ i 1 ∞ h p x ( x − x0 ) e dp x δ ( x − x0 ) = 2π h ∫− ∞ 2π h ∫ 1
∞
f ( x )δ ( x − x 0 ) = f ( x 0 )δ ( x − x 0 )
（3）归一化波函数
Ψ (r,t ) 和 CΨ(r,t ) 所描写状态的相对几率是相同的，这里的 C 是常 数。因为在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对几率之比是：
r C Ψ ( r1 , t ) r C Ψ ( r2 , t )
可见，Ψ(r,t ) 和 CΨ(r,t ) 因子不定性。
（三）波函数的性质
（1）几率和几率密度 根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：
• 在 t 时刻， r 点，d τ = dx dy dz 体积内，找到 由波函数 Ψ (r,t) 描写的粒子的几率是： d W( r, t) = C|Ψ (r,t)|2 dτ， 其中，C是比例系数。
在 t 时刻 r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ω( r, t ) = {dW(r, t )/ dτ} = C |Ψ (r,t)|2 称为几率密度。 在体积 V 内，t 时刻找到粒子的几率为：
（一）波函数
⎡i r r ⎤ Ψ = A exp ⎢ ( p • r − Et ) ⎥ ⎣h ⎦
描写自由粒子的 平 面 波
称为 de
Broglie 波。此式称为自由粒子的波函数。
•如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能量不再是 常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复 杂的波描写，一般记为：
（4）平面波归一化 I Dirac δ—函数
定义：
⎧0 δ ( x − x0 ) = ⎨ ⎩∞
∞ −∞
x ≠ x0 x = x0
(ε > 0)
∫
x0 +ε
x0 −ε
δ ( x − x0 )dx = ∫
δ ( x − x0 )dx = 1
或等价的表示为：对在x=x0 邻域 连续的任何函数 f（x）有：
2. 粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续 分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小 即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。 什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。 平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振 幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这 是没有意义的，与实验事实相矛盾。 实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其 广延不会超过原子大小≈1 Å 。 电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ 波 ”，既不是经典的粒子也不是经典的波， “ 电子既不是粒子也不是 但是我们也可以说，“ 电
考虑一维积分
∫
−∞
Ψ p′x ( x , t )Ψ p x ( x , t )dx = e
*
∞ −∞
δ ( p x − p′x ) =
2π h ∫
1
e
i ( p x − p ′x ) x h
dx
i [ p x − p′x ] x h
=e
p i p′x [ − x ]t h 2μ 2μ
∫
∞
−∞
Φ p′x ( x )Φ p x ( x )dx
或等价的表示为：对在x=x0 邻域 连续的任何函数 f（x）有：
δ ( x − x0 )
∫
∞
−∞
f ( x)δ ( x − x0 )dx = f ( x0 )
δ—函数 亦可写成 Fourier 积分形式： 令 k=px/h, dk= dpx/h, 则
0
x0
x
性质：
δ (− x ) = δ ( x ) δ ( ax ) =
经典概念中 波意味着
我们再看一下电子的衍射实验
1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样; 2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样.
P
电子源
P
O Q
感 光 屏
Q
结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或 者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。 波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基 础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。
Φ px ( x ) =
i px x 1 h e 2πh
∫
∞
−∞
Ψ p′x ( x , t )Ψ p x ( x , t )dx = e
*
δ ( p x − p′x ) = δ ( p x − p′x )
平面波可归一化为 δ ( px − p′x )
函数 f ( x )δ ( x − x 0 ) = f ( x 0 )δ ( x − x 0 )
W(t) = ∫V dW = ∫Vω( r, t ) dτ= C∫V |Ψ (r,t)|2 dτ
（2） 平方可积
由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），所以在 全空间找到粒子的几率应为一，即： C∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ= 1, 从而得常数 C 之值为： C = 1/ ∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ
*
∫
∞
−∞
Φ p′x ( x )Φ p x ( x )dx
*
∫
∞
−∞
Φ p′x ( x )Φ p x ( x )dx = A12 ∫
*
∞
−∞
e
dx = A12 2πhδ ( p x − p′ ) = δ ( px − p′x ) x
若取 A12 2πh = 1，则
A1= [2πh]-1/2, 于是
2 px 2 i p′x [ − ]t h 2μ 2μ
1 δ ( x) |a|
作代换： p x ⇔ x ， p ′x ⇔ x 0，则
1 ∞ δ ( x − x0 ) = dk e ik ( x − x 0 ) 2π ∫− ∞ i 1 ∞ h p x ( x − x0 ) e dp x δ ( x − x0 ) = 2π h ∫− ∞ 2π h ∫ 1
∞
δ ( p x − p′x ) =
−∞
e
i ( p x − p ′x ) x h
dx
（4）平面波归一化 定义： I Dirac δ—函数
⎧0 δ ( x − x0 ) = ⎨ ⎩∞
∞ −∞
x ≠ x0 x = x0 (ε > 0)
∫
x0 +ε
x0 −ε
δ ( x − x0 )dx = ∫
δ ( x − x0 )dx = 1
δ ( x − x0 )
∫
∞
−∞
f ( x)δ ( x − x0 )dx = f ( x0 )
δ—函数 亦可写成 Fourier 积分形式： 令 k=px/h, dk= dpx/h, 则
0
x0
x
性质：
δ (− x ) = δ ( x )
δ ( ax ) =
1 δ ( x) |a|
作代换： p x ⇔ x ， p ′x ⇔ x 0，则
子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。
经典概念中 粒子意味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性; 2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。 1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。
在电子衍射实验中，照相底片上 r 点附近衍射花样的强度 ∼正比于该点附近感光点的数目，
∼正比于该点附近出现的电子数目， ∼正比于电子出现在 r 点附近的几
率。
假设衍射波波幅用