2017-2018学年(新课标)最新广东省东莞市高二下期末数学理科试卷(A)及解析-精品试题
广东省东莞市2017-2018学年高二(下)期末数学(理科)答案
广东省东莞市2017-2018学年高二（下）期末数学（理科）试题参考答案1．D 【思路点拨】直接由实部为0且虚部不为0列式求解. 【解析】21(1)z a a i =-++为纯虚数，∴21010a a ⎧-=⎨+≠⎩，即1a =.故选：D .【名师指导】本题考查复数的基本概念，是基础的计算题.2．C 【思路点拨】求得函数2y x x =+的导数，由导数的几何意义，可令1x =，计算可得所求切线的斜率.【解析】解：2y x x =+的导数为21y x =+′， 可得曲线2y x x =+在点(1,2)P 处切线的斜率为2113⨯+=. 故选：C.【名师指导】本题考查导数的运用：求切线的斜率，熟练掌握导数的运算性质是解题的关键，是一道基本题.3．B 【思路点拨】随机变量ξ服从正态分布()5,9N ，得到曲线关于5x =对称，根据(2)(2)P c P c ξξ>+=<-，结合曲线的对称性列方程，从而解出常数c 的值得到结果.【解析】随机变量ξ服从正态分布()5,9N ，∴曲线关于5x =对称，(2)(2)P c P c ξξ>+=<-，2210c c ∴++-=， 5c ∴=，故选：B .【名师指导】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题.4．D 【思路点拨】利用导数的运算法则即可得出. 【解析】22()(1)21f x x x x =+=++()22f x x ∴'=+，故选：D .【名师指导】本题考查了导数的运算法则，属于基础题.5．D 【思路点拨】由x 与y 的线性回归方程中x 系数的正负可判断选项A ；把 20x =代入回归直线方程算出ˆ y 的值可判断选项B ；先根据表格中的数据求出样本中心点(),x y ，再将其代入线性回归方程，解之即可得m 的值，从而判断C ，D ． 【解析】解：由x 与y 的线性回归方程可知，0.70-<，∴变量x ，y 之间呈现负相关关系，即A 错误；当20x时，ˆ0.72010.3 3.7y=-⨯+=-，即B 错误； 由表中数据可知，68101294x +++==，6321144m my ++++==，根据样本中心点必在线性回归方程上， 有110.7910.34m+=-⨯+，解得5m =，即C 错误； 5m =，1144my +∴==， ∴ 样本中心点为()9,4，即D 正确.故选：D.【名师指导】本题考查结尾回归直线方程，线性回归直线必定数据的中心点(,)x y ，用回归直线方程可对结论进行预测，要注意预测值不是确定的结果． 6．A 【思路点拨】利用分子有理化即可比较.【解析】a ==1b ==，c ==，1>>b ac ∴>>，故选：A .【名师指导】本题考查了不等式的大小比较，属于基础题.7．C 【思路点拨】利用5(1)x -展开式的一次项与2x +的一次项相乘，展开式的二次项与2x +的常数项相乘，即可得到5(1)(2)x x -+的展开式中含2x 项的系数.【解析】5(1)x -展开式通项515(1)r r r r T C x -+=-，令52r可得3r =，令51r -=可得4r =；∴含2x 项的系数为：5543215C C -=-.故选：C .【名师指导】本题考查二项式定理的运用，考查利用展开式确定指定项的系数，解题的关键是正确写出展开式.8．A 【思路点拨】根据题意，分2步分析：先将5名插班生分为3组，有2种分组方法，①分为3、1、1的三组，②分为2、2、1的三组，由组合数公式可得其分组方法数目，由分类计数原理将其相加可得分组的情况数目，第二步，将分好的三组对应3个不同的班级，由排列数公式可得其对应方法数目,由分步计数原理计算可得选项．【解析】由题意可知，可分以下两种情况讨论，①5名插班生分成：3，1 ，1三组；②5名插班生分成：2，2，1三组，当5名插班生分成：3，1 ，1三组时，共有3135231602C C A =种方案； 当5名插班生分成：2，2，1三组时，共有22112425322290C C C C A A ⋅⋅⋅⋅=种方案； 所以，共有6090150+=种不同的安排方案. 故选：A.【名师指导】本题主要考查两个基本原理和排列组合，在对排列、组合的综合问题时，一般先组合再排列，属于中档题.9．A 【思路点拨】求导得()3(1)(1)f x x x =+-'，从而知函数()f x 的单调性，再结合(0)0f =，f （1）2=，即可得解【解析】.3()3f x x x =-，2()333(1)(1)f x x x x ∴=-=+-'，令()0f x '=，则1x =或1-(舍负)，当01x <时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减.函数()f x 在[0，]m 上最大值为2，最小值为0，且(0)0f f ==，f （1）2=，13m ∴≤≤.故选：A.【名师指导】本题考查利用导数研究函数的最值问题，理解原函数的单调性与导函数的正负性之间的联系是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.10．B 【思路点拨77x ++⋯=7x x +=，然后转化为一元二次方程，解出x 的值，并排除不正确的值，即可得到结果.77x ++⋯=7x x +=，整理，得270x x --=， 解得1292x -=，或1292x =0x ，1292x +∴=， ∴129772++⋯=.故选：B .【名师指导】本题主要考查类比推理的能力，考查了转化与化归思想，一元二次方程的求解，以及类比推理能力和数学运算能力，本题属基础题.11．C 【思路点拨】利用组合数公式与古典概型公式，分别算出事件A 发生的概率P (A )和事件A ，B 同时发生的概率P (AB )，再利用条件概率公式加以计算，即可得到(|)P B A 的值.【解析】（方法一）取出两个颜色不同的球的取法共有11111112323111C C C C C C ++=种,而取出一个红球,一个黄球的取法共有11236C C =种，故所求概率为611， （方法二）因为盒子中有红球3个，黄球2个，蓝球1个，所以取出的两个球颜色不同的概率为11111111336222C C C C C C 11()C 15P A ++==， 而取出两个球的颜色不同，且一个红球、一个黄球的概率112326C C ()C 62155P AB ===， 所以2()6(|)11(5)1115P AB P B A P A ===， 故选：C.【名师指导】本题主要考查条件概率的计算，古典概型公式，关键在于准确地运用条件概率公式，属于基础题.12．A 【思路点拨】由题意可得，ln y x x =与1y kx =-在(]0,e 上恰有两个交点，即ln 1x x kx =-在(]0,e 上恰有2个解，分离参数后构造函数，结合导数及函数的性质计算即可得解.【解析】由题意可得，ln y x x =与1y kx =-在(]0,e 上恰有两个交点， 即ln 1x x kx =-在(]0,e 上恰有2个解， 所以1ln k x x=+在(]0,e 上恰有2个解， 令1()ln g x x x =+，(]0,x e ∈，则21()x g x x'-=， 当01x <<时，()0g x '<，函数单调递减，当1x e <≤时，()0g x '>，函数单调递增， 因为(1)1g =，1()1g e e=+，0x →，()g x →+∞， 故111k e<≤+. 故选：A .【名师指导】本题主要考查了由函数零点求解参数范围，考查逻辑思维能力和运算求解能力，体现了转化思想及数形结合思想的应用，属于常考题. 13．0【思路点拨】由已知结合复数的基本运算即可直接求解. 【解析】解：因为41i =，所以4414243231n n n n i i i i i i i ++++++=+++，110i i =+--=.故答案为：0.【名师指导】本题主要考查了复数的基本运算的简单应用，属于基础试题. 14．310【思路点拨】由已知确定曲线关于x ＝1对称，可知P （X ＜1）＝12，利用P （X ＞2）得P （X ＜0），可求P （0＜X ＜1）．【解析】随机变量X ～N （1，σ2），可知随机变量服从正态分布且X ＝1是图象的对称轴，可知P （X ＜1）＝12，又1(2)5P X >=可知P （X ＜0）＝15， 则P （0＜X ＜1）＝12﹣15＝310．故答案为310．【名师指导】本题考查正态分布的简单性质的应用，属于基本知识的考查．15．12【思路点拨】根据概率的性质11ni i p ==∑和分布列均值()1E X =解出a ，b ，再利用方差公式求解.【解析】由题意知：114()12a b E X a b⎧+=-⎪⎨⎪==+⎩，解得11,24a b ==， 所以222111()(01)(11)(21)424D X =⨯-+⨯-+⨯-111442=+=. 故答案为：12. 【名师指导】本题主要考查离散型随机变量的均值与方差的计算，还考查了运算求解的运算能力，属于基础题.16．3【思路点拨】令二项式中的1x =得展开式中各项系数和，根据二项式系数和公式得到二项式系数和为2n ，列出方程求解即可.【解析】1)nx的展开式20121)n n n a a x xa x a x =++++令二项式中的1x =得到展开式中的各项系数的和为4n p =，又各项二项式系数的和012nnn n n C C C C q ++++=，为2n q =，根据题意得248q p =-即44822n n -=⨯， 解得28n =或26n =- (负值舍)， 故3n =. 故答案为：3.【名师指导】本题考查了求二项展开式的系数和与二项式系数和问题，是基础题. 17．【思路点拨】（1）把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，再由共轭复数的概念求得z ，由题意列关于m 的方程求解；（2）利用复数模的计算公式列式，求解关于m 的不等式得答案. 【解析】解：（1）由(1)z i m i +=-，得()(1)111(1)(1)22m i m i i m m z i i i i ----+===-++-， ∴1122m m z i -+=+， 由题意，117022m m -++-=，解得7m =；（2）由||1z 1， 解得：11m -.∴实数m 的取值范围[1-，1].【名师指导】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题.18．【思路点拨】（1）根据已知完善列联表，计算出2K 的值，由此判断在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能认为观众的满意程度与所在地区有区别.（2）设抽到的观众“非常满意”的人数为X ，X 服从二项分布3~(3,)2X B ，由此能求出X 的分布列和数学期望.【解析】（1）依题意得22⨯列联表为：()22100302035151000.1 3.841653545551001K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， 所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能认为观众的满意程度与所在地区有区别. （2）从A 地区随机抽取1人，抽到的观众“非常满意”的概率为23P =， 随机抽取3人，X 的可能取值为0，1，2，3，3~(3,)2X B ，311(0)()327P X ===，1232162(1)()()33279P X C ====，22321124(2)C ()()33279P X ====，328(3)()327P X ===，X ∴的分布列为：()323E X =⨯=. 【名师指导】本题考查了独立性检验的应用，用频率估计概率，考查概率的求法及应用，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 19．（1）2d y c x =+更适宜；（2）2205y x=+；（3）01x <或4x .【思路点拨】（1）根据散点图，即可判断出； （2）先建立中间量21w x=，建立y 关于w 的线性回归方程，根据最小二乘法求出系数c ，d ，问题得以解决；（3）根据预报值求出z ，再根据题意列不等式即可得求出答案. 【解析】解：（1）2dy c x=+更适宜作销量y 关于单价x 的回归方程类型； （2）设21w x=，则y c dw =+， 由最小二乘法求系数公式可得：1011021()()16.2200.81()ˆiii ii w w y y dw w ==--===-∑∑， ·20.ˆˆ6200.785c y d w =-=-⨯=，所以所求回归方程为2205y x =+； （3）设销售额为z ， 则205,(0)z xy x x x ==+>， 20525z xy x x==+，即2540x x -+，解得01x <或4x ，当单价x 范围为01x <或4x 时，该商品的销售额不小于25.【名师指导】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题.20．【思路点拨】（1）由题知，1x =与13x =-是2()3210f x ax bx '=++=的两根，再利用韦达定理即可得解；（2）原问题可转化为2()max f x c <；由（1）知，()(31)(1)f x x x +'=--，令()0f x '=，则1x =或13-，然后列表写出()'f x 和()f x 随x 在[1-，2]上的变化情况，求得最大值后，解关于c 的不等式即可. 【解析】解：（1）32()f x ax bx x c =+++，2()321f x ax bx ∴=++'，()f x 在1x =与13x =-处都取得极值，1x ∴=与13x =-是2()3210f x ax bx '=++=的两根，即12133111()33b a a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪⨯-=⎪⎩， 解得1a =-，1b =.（2）由（1）知，32()f x x x x c =-+++，2()321(31)(1)f x x x x x =-=-+'++-，令()0f x '=，则1x =或13-，()f x '∴和()f x 随x 在[1-，2]上的变化情况如下表所示：(1)1f c ∴-=+，极大值为f （1）1c =+， ()f x ∴在[1x ∈-，2]上的最大值为1c +，对任意[1x ∈-，2]，都有2()f x c <成立，21c c ∴+<，解得c >c <. 故实数c 的取值范围为(-∞⋃，)+∞. 【名师指导】本题考查利用导数研究函数的极值和恒成立问题，将原问题转化为函数的最值问题是解题的关键，考查学生的转化思想､逻辑推理能力和运算能力，属于中档题. 21．【思路点拨】（1）求导得21()ax f x ax -'=，由题可知，f '（1）12=，解出a 的值即可； （2）不妨设12x x >，由1212()()1f x f x x x -<-可推出函数()()g x f x x =-在(0，1]上单调递减，即21()10ax g x ax--'=在(0，1]上恒成立，然后分1x =和(0,1)x ∈两类讨论，其中当(0,1)x ∈时，需要运用参变分离法和配方法来求新函数的最小值.【解析】解：（1）1()ln x f x x ax-=+，222(1)11()ax x a ax f x a x x ax ----∴=+='，定义域为(0,)+∞， 由题可知，f '（1）112a a -==，解得2a =， ()f x ∴的解析式为1()ln 2x f x x x -=+. （2）不妨设12x x >，1212()()1f x f x x x -<-等价于1212()()f x f x x x -<-，即1122()()f x x f x x -<-，令()()g x f x x =-，则()g x 在(0，1]上单调递减，21()10ax g x ax-∴=-'， 若1x =，有110a a--<，符合题意，即0a >满足条件； 若(0,1)x ∈，不等式可转化为21a x x --， 而当(0,1)x ∈时，函数2211411()24y x x x =-=----，当且仅当12x =时，等号成立， 4a ∴.综上所述，正实数a 的取值范围为(0，4].【名师指导】本题考查利用导数研究函数的切线方程､证明不等式，先采用构造法将原问题转化为函数的单调性问题，进而利用参变分离法将其转化为函数的最值问题是解题的关键，考查学生的转化与化归思想､逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.22．【思路点拨】（1）先求导，分0a ，0a <两种情况讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求出，（2）由（1）中结论可得单调性，即可判定零点所在区间12012x x <<<<，证得121()()0f x f x -<，再根据函数的单调性即可证明. 【解析】（1）解：2()(1)(4)x f x x ae -'=-+.①当0a 时，240x ae -+>，所以当1x >时，()0f x '<，当1x <时，()0f x '>， 即()f x 在(,1)-∞上为增函数，在(1,)+∞上为减函数；②当0a <时，由2()(1)(4)0x f x x ae -'=-+=，解得1x =或42()x ln a=--. 当42()1ln a -->时，即4a e <-，()f x 在(1，42())ln a--上为增函数，在(,1)-∞和4(2()ln a--，)+∞上为减函数； 当42()1ln a --<时，即40a e >>-，()f x 在4(2()ln a--，1)上为增函数，在(-∞，42())ln a--和(1,)+∞上为减函数； 当42()1ln a --=时，即4a e =-，()f x 在(,)-∞+∞上为减函数. 综上，当0a 时，()f x 在(,1)-∞上为增函数，在(1,)+∞上为减函数； 当4a e <-，()f x 在(1，42())ln a --上为增函数，在(,1)-∞和4(2()ln a --，)+∞上为减函数； 当40a e >>-，()f x 在4(2()ln a --，1)上为增函数，在(-∞，42())ln a --和(1,)+∞上为减函数； 当4a e=-，()f x 在(,)-∞+∞上为减函数. （2）证明：由（1）可知()f x 在(,1)-∞上为增函数，在(1,)+∞上为减函数，又f （1）0ae =>，(0)20f =-<，f （2）220a =-<，所以函数()f x 有两个不相等的零点1x ，2x ，不妨设1(0,1)x ∈，2(1,2)x ∈，12()()0f x f x ==，222222()2(1)0x f x ax e x -=--=，得222222(1)x ax e x -=-，12211()()()f x f f x x -=- 212222112(1)x a e x x -=-+- 212222222(1)1x x a e x x --=-+ 2212222221x x ax e a e x x --=-+ 221222()x x a e e x --=--， 又2(1,2)x ∈，22122x x ->-，22122x x e e -->， 所以121()()0f x f x -<，即121()()f x f x <， 又()f x 在(,1)-∞上为增函数，1(0,1)x ∈，2(1,2)x ∈，211(2x ∈，1)， 所以121x x <，即12·1x x <. 【名师指导】本题考查了导数和函数的单调性的关系，考查了转化和化归思想，分析和解决问题的能力，运算能力，属于难题.。
2017-2018学年度第二学期期末高二数学(理)试题
2017-2018学年度第二学期期末高二数学（理）试题时间：120分钟 分值：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}A |43x x x Z =-<<∈，{}|1B x x =≥则A B ⋂= （ ） A ．{}1 B.{}1,2 C. {}01,2， D. {}1,23，2.设集合{}2A |60x x x =+-< {}2|1B x x =≤ ，则 A B ⋂= （ ）A. []1,1-B. (]3,1-C.()1,2-D. [)1,2-3.下列命题中真命题的个数是 （ ） ① 42,x R x x ∀∈>② 若p q ∧ 是假命题，则,p q 都是假命题③ 命题“32,240x R x x ∀∈++≤”的否定为“32000,240x R x x ∃∈++>” A ．0 B ．1 C ．2 D ．34.5x >的一个必要不充分条件是 （ ） A.6x >B.3x >C.6x <D.10x >5.把一枚硬币任意掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，则P （B/A ）= （ ） A.14 B.13 C.12 D.236.方程12x x +=根的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.37.在82x ⎛ ⎝的展开式中，常数项是 ( )A.7B.-7C.28D.-288.设 12log 3a = , 0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 12c =,则 ( )A.a b c <<B.c b a <<C.c a b <<D.b a c <<9. 函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）图所示的长方形区域内任取一个点(),M x y ，则点M 取自阴影部分的概率为 （ ） A.12 B.14 C.13 D.2311.若函数()y f x =图像与()log 322a y x =-+图像关于直线y x =对称,则函数()y f x =必过定点 （ ）A.（1,2）B.（2,2）C.（2,3）D.（2,1） 12.定义在R 上的偶函数满足，且当时，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则等于 （ ）A.3B.18C.-2D.2 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.将3个不同的小球放入4个盒子中，有 ______种不同的放法14.已知随机变量X 服从正态分布N(3,1),且(2X 4)0.6826P ≤≤=，则(X 4)P >= ______ 15.已知()()()220210{xx x x x f x ≤-+>=在[]()1,2a a ->上最大值与最小值之差为4，则a =______16.为方便游客出行，某旅游点有50辆自行车供租赁使用。
2017-2018学年广东省东莞市高二(下)期末数学试卷(理科)
2017-2018学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷（理科）（A卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑．1．复数z=i2+i的实部与虚部分别是（）A．﹣1，1 B．1，﹣1 C．1，1 D．﹣1，﹣12．对具有线性相关关系的两个变量y与x进行回归分析，得到一组样本数据（x1，y1），（x2，y2）…（x n，y n），则下列说法中不正确的是（）A．若最小二乘法原理下得到的回归直线方程=0.52x+，则y与x具有正相关关系B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适D．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小说明拟合效果越好3．向量的运算常常与实数运算进行类比，下列类比推理中结论正确的是（）A．“若ac=bc（c≠0），则a=b”类比推出“若•=•（≠），则=”B．“在实数中有（a+b）c=ac+bc”类比推出“在向量中（+）•=•+•”C．“在实数中有（ab）c=a（bc）”类比推出“在向量中（•）•=•（•）”D．“若ab=0，则a=0或b=0”类比推出“若•=0，则=或=”4．用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根5．已知随机变量ξ服从正态分布N（5，9），若p（ξ＞c+2）=p（ξ＜c﹣2），则c的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7y 2 4 6 8 5若由最小二乘法原理得到回归方程=x+0.5；可估计当x=6时y的值为（）A．7.5 B．8.5 C．9.5 D．10.57．若弹簧所受的力x＞1与伸缩的距离按胡克定律F=kl（k为弹性系数）计算，且10N的压力能使弹簧压缩10cm；为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置8cm处，则克服弹力所做的功为（）A．0.28J B．0.12J C．0.26J D．0.32J8．若（3x+）n（n∈N*）的展开式中各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P+S=272，则函数f（x）=（3x+）n在（0，+∞）上的最小值为（）A．144 B．256 C．24D．649．若3位老师和3 个学生随机站成一排照相，则任何两个学生都互不相邻的概率为（）A．B．C．D．10．经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取10件，设取得合格产品的件数为ξ，则P（ξ=k）取得最大值时k的值为（）A．6 B．7 C．8 D．911．已知函数f（x）=在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，则b的取值范围是（）A．[﹣8，﹣4+2） B．（﹣4﹣2，﹣4+2）C．（﹣4+2，8]D．（﹣4﹣2，﹣8]12．设函数f（x）=﹣ax+a，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＞1，则a的取值范围是（）A．（1，2]B．（1，]C．（1，] D．（1，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．13．用0，2，4，8这四个数字能组成_______个没有重复数字的四位数．14．已知函数f（x）=3x﹣x3，当x=a时f（x）取得极大值为b，则a﹣b的值为_______．15．设f（x）=，若f（f（1））=8则（x2﹣）m+4展开式中常数项为_______．16．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测：（1）b5=_______；=_______．（2）b2n﹣1三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．复数z=（1﹣i）a2﹣3a+2+i（a∈R），（1）若z=，求|z|；（2）若在复平面内复数z对应的点在第一象限，求a的范围．18．某市教育局委托调查机构对本市中小学使用“微课掌上通”满意度情况进行调查．随机选择小学和中学各50所学校进行调查，调查情况如表：（1）从评分等级为1星级的学校中随机选取两所学校，恰有一所学校是中学的概率为，求整数x，y的值；（2）规定：评分等级在4星级及以上（含4星级）为满意，其它星级为不满意．完成下列2×2列联表并帮助教育局判断：能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为使用“微课掌”19．“莞马”活动中的α机器人一度成为新闻热点，为检测其质量，从一生产流水线上抽取20件该产品，其中合格产品有15件，不合格的产品有5件．（1）现从这20件产品中任意抽取2件，记不合格的产品数为X，求X的分布列及数学期望；（2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的分布列及数学期望．20．已知f（x）=lnx+ax2﹣ax+5，a∈R．（1）若函数f（x）在x=1处有极值，求实数a的值；（2）若函数f（x）在区间（0，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围．21．已知f（x）=ln（x+1）﹣（a∈R）．（1）求证：a≤1且x≥0时，f（x）≥0恒成立；+1）（n≥2），求证：≤a n≤（n∈N*）．（2）设正项数列{a n}满足a1=1，a n=ln（a n﹣122．设f（x）=e x﹣ax2，g（x）=kx+1（a∈R，k∈R），e为自然对数的底数．（1）若a=1时，直线y=g（x）与曲线y=f′（x）相切（f′（x）为f（x）的导函数），求k的值；（2）设h（x）=f（x）﹣g（x），若h（1）=0，且函数h（x）在（0，1）内有零点，求a 的取值范围．2017-2018学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑．1．复数z=i2+i的实部与虚部分别是（）A．﹣1，1 B．1，﹣1 C．1，1 D．﹣1，﹣1【考点】复数的基本概念．【分析】利用复数的幂运算以及复数的基本概念求解即可．【解答】解：复数z=i2+i=﹣1+i．复数的实部与虚部分别是：﹣1；1．故选：A．2．对具有线性相关关系的两个变量y与x进行回归分析，得到一组样本数据（x1，y1），（x2，y2）…（x n，y n），则下列说法中不正确的是（）A．若最小二乘法原理下得到的回归直线方程=0.52x+，则y与x具有正相关关系B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适D．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小说明拟合效果越好【考点】线性回归方程．【分析】可以用来衡量模拟效果好坏的几个量分别是相关指数，残差平方和和相关系数，只有残差平方和越小越好，其他的都是越大越好．【解答】解：若最小二乘法原理下得到的回归直线方程=0.52x+，b=0.52＞0，则y与x具有正相关关系，正确；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，正确；可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．故正确；相关指数R2取值越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故不正确．故选：D．3．向量的运算常常与实数运算进行类比，下列类比推理中结论正确的是（）A．“若ac=bc（c≠0），则a=b”类比推出“若•=•（≠），则=”B．“在实数中有（a+b）c=ac+bc”类比推出“在向量中（+）•=•+•”C．“在实数中有（ab）c=a（bc）”类比推出“在向量中（•）•=•（•）”D．“若ab=0，则a=0或b=0”类比推出“若•=0，则=或=”【考点】类比推理．【分析】对四个选项，利用向量的数量积的定义与性质，分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：由条件，得出（﹣）•=0，∴（﹣）与垂直，则=，不一定成立，故A不正确；向量的乘法满足分配律，故B正确；在向量中（•）•与共线，•（•）与共线，故C不正确；若•=0，则⊥，=或=不一定成立，故D不正确．故选：B．4．用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根【考点】反证法与放缩法．【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x2+ax+b=0没有实根．故选：A．5．已知随机变量ξ服从正态分布N（5，9），若p（ξ＞c+2）=p（ξ＜c﹣2），则c的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（5，9），得到曲线关于x=5对称，根据P（ξ＞c+2）=P（ξ＜c﹣2），结合曲线的对称性得到点c+2与点c﹣2关于点5对称的，从而解出常数c 的值得到结果．【解答】解：随机变量ξ服从正态分布N（5，9），∴曲线关于x=5对称，∵P（ξ＞c+2）=P（ξ＜c﹣2），∴c+2+c﹣2=10，∴c=5，故选：B．y 2 4 6 8 5若由最小二乘法原理得到回归方程=x+0.5；可估计当x=6时y的值为（）A．7.5 B．8.5 C．9.5 D．10.5【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于b的方程，解方程即可．求出b，从而估计当x=6时y的值．【解答】解：∵=3，=5，∴这组数据的样本中心点是（3，5）把样本中心点代入回归直线方程=x+0.5∴5=3+0.5，∴=1.5，当x=6时y=9+0.5=9.5．故选：C．7．若弹簧所受的力x＞1与伸缩的距离按胡克定律F=kl（k为弹性系数）计算，且10N的压力能使弹簧压缩10cm；为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置8cm处，则克服弹力所做的功为（）A．0.28J B．0.12J C．0.26J D．0.32J【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先求出F（x）的表达式，再根据定积分的物理意义即可求出．【解答】解：∵F=10N，x=10cm=0.1m∴k=100，∴W=∫100xdx=50x2|=0.32J，故选：D．8．若（3x+）n（n∈N*）的展开式中各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P+S=272，则函数f（x）=（3x+）n在（0，+∞）上的最小值为（）A．144 B．256 C．24D．64【考点】二项式定理的应用．【分析】由题意求得S和P的值，根据P+S=272求得n的值，再利用基本不等式求得函数f（x）的最小值．【解答】解：由题意可得P=4n，S=2n，∴P+S=4n+2n=272，解得2n=16，∴n=4，在（0，+∞）上，函数f（x）=（3x+）n=（3x+）4≥=144，当且仅当x=时，等号成立，故函数f（x）=（3x+）n在（0，+∞）上的最小值为144，故选：A．9．若3位老师和3 个学生随机站成一排照相，则任何两个学生都互不相邻的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出两位男生不相邻包含的基本事件个数，由此能求出两位男生不相邻的概率．【解答】解：3位老师和3 个学生随机站成一排照相，基本事件总数n=A66=720，任何两个学生都互不相邻包含的基本事件个数m=A33A43=144，∴任何两个学生都互不相邻的概率P==．故选：C．10．经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取10件，设取得合格产品的件数为ξ，则P（ξ=k）取得最大值时k的值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】随机变量ξ～B（10，），P（ξ=k）=，由式子的意义知：概率最大也就是ξ最可能的取值．这和期望的意义接近，由此能求出p（ξ=k）取最大值时k 的值．【解答】解：由题意，随机变量ξ～B（10，），∴P（ξ=k）=，由式子的意义知：概率最大也就是ξ最可能的取值．这和期望的意义接近．∵Eξ=10×=7.5，∴k=7或8可能是极值，P（ξ=7）==，P（ξ=8）==∴P（ξ=k）取最大值时k的值是7．故选：B．11．已知函数f（x）=在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，则b的取值范围是（）A．[﹣8，﹣4+2） B．（﹣4﹣2，﹣4+2）C．（﹣4+2，8]D．（﹣4﹣2，﹣8]【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先利用导数研究在点（1，2）处的切线方程，然后作出函数图象，随着b减小时，半圆向下移动，当点A（﹣4，b）落在切线上时，在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，直到半圆与直线相切前，切线f（x）的图象都有三个公共点，只需求出零界位置的值即可．【解答】解：当x＞0时，f（x）=x2+1，则f′（x）=2x，∴f′（1）=2×1=2，则在点（1，2）处的切线方程为y=2x，当x≤0时，y=f（x）=+b，即（x+2）2+（y﹣b）2=4（y≥b）作出函数图象如右图随着b减小时，半圆向下移动，当点A（﹣4，b）落在切线上时，在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，即b=2×（﹣4）=﹣8，再向下移动，直到半圆与直线相切前，切线f（x）的图象有三个公共点，相切时与f（x）的图象有两个交点即=2，解得b=﹣4﹣2＜﹣8∴b的取值范围是（﹣4﹣2，﹣8]．故选：D．12．设函数f（x）=﹣ax+a，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＞1，则a的取值范围是（）A．（1，2]B．（1，]C．（1，] D．（1，2）【考点】特称命题．【分析】把存在唯一的整数x0，使得f（x0）＞1，转化为存在唯一的整数x0，使得，即．令g（x）=，h（x）=ax﹣a+1，求得分析g （x）的单调性，作g（x）=，h（x）=ax﹣a+1的图象，数形结合得到，则答案可求．【解答】解：f（x）=﹣ax+a，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＞1，即存在唯一的整数x0，使得，也就是存在唯一的整数x0，使得．令g（x）=，h（x）=ax﹣a+1，∵g′（x）=，∴g（x）=在（﹣∞，1]上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，又∵h（x）=ax﹣a+1是恒过点（1，1）的直线，∴作g（x）=，h（x）=ax﹣a+1的图象如下，则，即1．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．13．用0，2，4，8这四个数字能组成18个没有重复数字的四位数．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】特殊元素优先安排，0不能在首位，先排0，再排其它，根据分步计数原理可得．【解答】解：因为首位不能为0，从2，4，8中选一个排在首位有3种方法，其它位置任意排，故有3A33=18个，故答案为：18．14．已知函数f（x）=3x﹣x3，当x=a时f（x）取得极大值为b，则a﹣b的值为﹣1．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求导数得到f′（x）=3﹣3x2，根据二次函数符号的判断便可判断导函数的符号，从而得出函数f（x）的极大值点和极大值，从而求出a﹣b的值．【解答】解：f′（x）=3﹣3x2；∴x＜﹣1时，f′（x）＜0，﹣1＜x＜1时，f′（x）＞0，x＞1时，f′（x）＜0；∴x=1时，f（x）取得极大值2；即a=1，b=2；∴a﹣b=﹣1．故答案为：﹣1．15．设f（x）=，若f（f（1））=8则（x2﹣）m+4展开式中常数项为15．【考点】二项式系数的性质；函数的值；定积分．【分析】利用分段函数的意义可得f（1），再利用微积分基本定理解得m．再利用二项式定理的通项公式即可得出．【解答】解：∵f（1）=ln1=0，∴f（f（1））=f（0）=0+3t2dt==m3﹣0，∴m3=8，解得m=2．的展开式的通项公式：T r+1==（﹣1）r x12﹣3r，令12﹣3r=0，解得r=4．∴（x2﹣）m+4展开式中常数项===15．故答案为：15．16．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测：（1）b5=105；=．（2）b2n﹣1【考点】归纳推理．【分析】（1）由题设条件及图可得出a n+1=a n+（n+1），由此递推式可以得出数列{a n}的通项为，a n=n（n+1），由此可列举出三角形数1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…，从而可归纳出可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除，由此规律即可求出b 5；（2）由（1）中的结论即可得出b 2n ﹣1═（5n ﹣1）（5n ﹣1+1）． 【解答】解：（1）由题设条件可以归纳出a n+1=a n +（n +1），故a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1=n +（n ﹣1）+…+2+1=n （n +1） 由此知，三角数依次为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，… 由此知可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除， ∴b 5=105；（2）由于2n ﹣1是奇数，由（I ）知，第2n ﹣1个被5整除的数出现在第n 组倒数第二个， 故它是数列{a n }中的第n ×5﹣1=5n ﹣1项， 所以b 2n ﹣1═（5n ﹣1）（5n ﹣1+1）=．故答案为：105；．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．复数z=（1﹣i ）a 2﹣3a +2+i （a ∈R ）， （1）若z=，求|z |；（2）若在复平面内复数z 对应的点在第一象限，求a 的范围． 【考点】复数求模；复数的基本概念． 【分析】（1）根据z=，确定方程即可求|z |； （2）利用复数的几何意义，即可得到结论．【解答】解 z=（1﹣i ）a 2﹣3a +2+i=a 2﹣3a +2+（1﹣a 2）i ， （1）由知，1﹣a 2=0，故a=±1． 当a=1时，z=0； 当a=﹣1时，z=6．（2）由已知得，复数的实部和虚部皆大于0， 即，即，所以﹣1＜a ＜1．18．某市教育局委托调查机构对本市中小学使用“微课掌上通”满意度情况进行调查．随机选50（1）从评分等级为1星级的学校中随机选取两所学校，恰有一所学校是中学的概率为，求整数x，y的值；（2）规定：评分等级在4星级及以上（含4星级）为满意，其它星级为不满意．完成下列2×2列联表并帮助教育局判断：能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为使用“微课掌【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）由古典概型公式，分别求得评分等级为1星级的学校中随机选取两所学校总事件个数m及恰有一所学校是中学的事件个数n，P==，代入即可求得x和y的值；（2）根据所给数据，可得2×2列联表，求出K2，与临界值比较，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为使用满意与学校类型有关系．【解答】解：（1）因为从1星级的2+x的学校中随机选取2所学校，共有=种结果，…；其中恰有1所学校是中学的共有种结果，…；故=．解得：x=3，…；所以y=50﹣3﹣18﹣12﹣8=9…；222；经计算K2的观测值：K2=≈5.769＞3.841 …；所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为使用满意与学校类型有关系．…；19．“莞马”活动中的α机器人一度成为新闻热点，为检测其质量，从一生产流水线上抽取20件该产品，其中合格产品有15件，不合格的产品有5件．（1）现从这20件产品中任意抽取2件，记不合格的产品数为X，求X的分布列及数学期望；（2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）随机变量X的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，可求X的分布列及数学期望；（2）合格机器人的件数可能是0，1，2，3，相应的不合格机器人的件数为3，2，1，0．所以ξ的可能取值为1，3，求出相应的概率，可求ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（1）随机变量X的可能取值为0，1，2 …；P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，X0 1 2∴E（X）=0×+1×+2×=．…；（2）合格机器人的件数可能是0，1，2，3，相应的不合格机器人的件数为3，2，1，0．所以ξ的可能取值为1，3 …；由题意知：…；P（ξ=3）=+=…；1 3；∴…；20．已知f（x）=lnx+ax2﹣ax+5，a∈R．（1）若函数f（x）在x=1处有极值，求实数a的值；（2）若函数f（x）在区间（0，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导数得到，根据f（x）在x=1处有极值便可得到f′（1）=0，从而可求出a的值，并可验证该值成立；（2）根据f（x）在区间（0，+∞）内单调递增便可得出f′（x）≥0恒成立，进而得出2ax2﹣ax+1≥0在（0，+∞）上恒成立，这样讨论a的值：a＜0，a=0，和a＞0这三种情况，对每种情况验证是否满足条件，从而求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），；∵f（x）在x=1处有极值，∴f′（1）=1+2a﹣a=0；解得：a=﹣1；此时；当0＜x＜1时f′（x）＞0，当x＞1时f′（x）＜0，符合题意；∴实数a的值为﹣1；（2）∵函数f（x）在区间（0，+∞）内单调递增；∴在（0，+∞）恒成立；即2ax2﹣ax+1≥0在（0，+∞）恒成立；当a＜0时，显然不符合题意；当a=0时，1≥0恒成立，符合题意；当a＞0时，要使恒成立；需，解得0＜a≤8；综上可知实数a的取值范围是[0，8]．21．已知f（x）=ln（x+1）﹣（a∈R）．（1）求证：a≤1且x≥0时，f（x）≥0恒成立；+1）（n≥2），求证：≤a n≤（n∈N*）．（2）设正项数列{a n}满足a1=1，a n=ln（a n﹣1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调性，从而证出结论；（2）a=1时，在[0，+∞）内恒成立，在[0，3）内恒成立，+1）（n≥2）知0＜a n≤1，根据数学归纳法证明即可．由a1=1及a n=ln（a n﹣1【解答】证明：（1）…；当a≤1，x≥0时，f'（x）≥0恒成立…；此时函数f（x）在（0，+∞）内单调递增…；所以f（x）≥f（0）=0，得证…；（2）由（1）可知a=1时，在[0，+∞）内恒成立…；同理可证：在[0，3）内恒成立…；由a1=1及a n=ln（a n+1）（n≥2）知0＜a n≤1…﹣1下面用数学归纳法证明：当n=1时，，结论成立…；设当n=k时结论成立，即那么当n=k+1时，……即当n=k+1时有，结论成立，由此可知对任意n∈N*结论都成立，原不等式得证．…22．设f（x）=e x﹣ax2，g（x）=kx+1（a∈R，k∈R），e为自然对数的底数．（1）若a=1时，直线y=g（x）与曲线y=f′（x）相切（f′（x）为f（x）的导函数），求k的值；（2）设h（x）=f（x）﹣g（x），若h（1）=0，且函数h（x）在（0，1）内有零点，求a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由切线的方程，解得k的值；（2）利用等价转换，若函数h（x）在区间（0，1）内有零点，则函数h（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以h′（x）在（0，1）上应有两个不同的零点．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=e x﹣x2，f'（x）=e x﹣2x…设曲线y=f'（x）与直线y=g（x）的切点为（x0，kx0+1）∵切点在曲线y=f'（x）上，∴…又f''（x）=e x﹣2，由导数的几何意义知：…由此解得x0﹣+1=0 …设t（x）=xe x﹣e x+1，则t′（x）=xe x，当x＞0时，t′（x）=xe x＞0，t（x）递增；当x＜0时，t′（x）=xe x＜0，t（x）递减；∴t（x）≥t（0）=0，∴x0=0 …∴k=﹣1．…（2）h（x）=e x﹣ax2﹣kx﹣1由h（1）=0得：k=e﹣a﹣1又h（0）=0，且函数h（x）在区间（0，1）内有零点，∴函数h（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，即h′（x）=0在区间（0，1）内至少有两个实根，…h′（x）=e x﹣2ax﹣k，h''（x）=e x﹣2a∵x∈（0，1），∴e x∈（1，e）当时，h''（x）=e x﹣2a＞0，函数h'（x）在区间（0，1）单调递增，方程h'（x）=0在区间（0，1）内至多一个实根，不符合题意．当时，h''（x）=e x﹣2a＜0，函数h'（x）在区间（0，1）单调递减，方程h'（x）=0在区间（0，1）内至多一个实根，不符合题意．…当＜a＜时，令h''（x）＜0得：0＜x＜ln（2a），令h''（x）＞0得：x＞ln（2a），即函数h'（x）在区间（0，ln（2a））内单调递减，在区间（ln（2a），+∞）内单调递增∴h'（x）min=h'（ln（2a））=2a﹣2aln（2a）﹣k=3a﹣2aln（2a）﹣e+1…记H（x）=x﹣xlnx﹣e+1其中1＜x＜e，则，令H'（x）＞0得：1＜x＜，令H'（x）＜0得：＜x＜e，∴函数H（x）在（1，）内单调递增，在（，e）内单调递减…∴H（x）max=H（）=﹣ln﹣e+1=+1﹣e故H（x）＜0，也即h'（x）min＜0∵函数h（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，∴即解得：e﹣2＜a＜1符合＜a＜综上可知，实数a的取值范围是（e﹣2，1）…。
广东省东莞市高二下学期数学期末考试试卷
广东省东莞市高二下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分） (2018高二下·磁县期末) 如图，在三棱锥中，侧面底面BCD，，，，，直线AC与底面BCD所成角的大小为A .B .C .D .2. （2分） (2018高一下·长春期末) 抽样统计甲、乙两位同学5次数学成绩绘制成如图所示的茎叶图,则成绩较稳定的那位同学成绩的方差为（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高一下·定西期中) 一个战士一次射击，命中环数大于8，大于5，小于4，小于7，这四个事件中，互斥事件有（）A . 2对B . 4对C . 6对D . 3对4. （2分） (2018高二上·临汾月考) 把三个半径都是1的球放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与下边的三个都相切，则第四个球的最高点与桌面的距离为（）A .B .C .D . 4二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分） (2018高二上·江苏月考) 已知抛物线的准线方程为 ,则 ________6. （1分）已知=(1,0,1),=(t,1,1)，，，则t=________7. （1分） (2016高三上·嘉兴期末) 双曲线C：的离心率是________，焦距是________．8. （1分） (2017高二上·长春期中) 经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径等于2的圆的方程是________．9. （1分） (2017高一下·安平期末) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA= ，cosC= ，a=1，则b=________．10. （1分） (2017高三上·徐州期中) 棱长均为2的正四棱锥的体积为________．11. （1分）二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式中有理项有________项．12. （1分）经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的是5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学，那全班学生中“喜欢”摄影的比全班学生人数的一半还多________人.13. （1分） (2019高二下·上海月考) 如下图，将圆柱的侧面沿母线展开，得到一个长为，宽为4的矩形，由点A拉一根细绳绕圆柱侧面两周到达，线长的最小值为________（线粗忽略不计）14. （1分）(2017·泉州模拟) 已知F1 ， F2为椭圆C的两个焦点，P为C上一点，若△PF1F2的三边|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则C的离心率为________．15. （1分）(2017·浦东模拟) 现有10个不同的产品，其中4个次品，6个正品．现每次取其中一个进行测试，直到4个次品全测完为止，若最后一个次品恰好在第五次测试时被发现，则该情况出现的概率是________．16. （1分） (2019高二下·上海期末) 点在直径为的球面上，过P作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和的最大值是________.三、解答题 (共5题；共30分)17. （5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=4，∠ABC=90°；（1）求三棱锥B1﹣A1BC1的体积V；（2）求异面直线A1B与AC所成角的余弦值．18. （5分） (2016高二下·泰州期中) 在二项式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项．（1）求它是第几项；（2）求的范围．19. （10分） (2016高二上·衡水期中) 10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现以下结果：（1） 4只鞋子没有成双的；（2） 4只恰好成两双；（3） 4只鞋子中有2只成双，另2只不成双．20. （5分）已知椭圆C1 ，抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是（3，一2 ），（一2，0），（4，一4），（）．（Ⅰ）求C1 ， C2的标准方程；（Ⅱ）是否存在直线L满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交与不同的两点M，N且满足？若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由．21. （5分）(2018·河北模拟) 如图所示，底面为菱形的直四棱柱被过三点的平面截去一个三棱锥 (图一)得几何体 (图二)，E为的中点．（1）点F为棱上的动点，试问平面与平面是否垂直?请说明理由；（2）设，当点F为中点时，求锐二面角的余弦值．参考答案一、单选题 (共4题；共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、填空题 (共12题；共12分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共30分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、21-1、21-2、。
2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试卷
2017—2018学年度第二学期期末考试高二数学试题（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上. 4．考试结束后，将答题卷交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1．已知i 为虚数单位，复数z 满足i i z +=-1)1(，则=2017z（ ） A ．1 B ．1- C ．i - D ． i2．给出三个命题：①x y cos =是周期函数；②三角函数是周期函数；③x y cos =是三角函数；则由三段论可以推出的结论是（ ）A ．x y cos =是周期函数B ．三角函数是周期函数C ．x y cos =是三角函数D ．周期函数是三角函数 3．某射手射击所得环数X 的分布列如下:已知X 的数学期望9.8)(=X E ,则y 的值为( ).A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.24．直线x y 4=与曲线2x y =围成的封闭图形的面积为（ ）A ．32B ．332C ．3216 D ．216 5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有有理根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( ) A ．假设a 、b 、c 都是偶数 B ．假设a 、b 、c 都不是偶数 C ．假设a 、b 、c 至多有一个偶数 D ．假设a 、b 、c 至多有两个偶数6．设随机变量ξ服从正态分布)0)((2>σσμ，N ，若1)1()0(=<+<ξξP P ,则μ的值为（ ）A ．21B ．1C ．21-D ．1-7．2016年6月9日是我们的传统节日——“端午节”，这天小红的妈妈为小红煮了6个粽子，其中2个腊肉馅4个豆沙馅，小红随机取出两个，事件=A “取到的两个为同一种馅”， 事件=B “取到的两个都是豆沙馅”，则=)|(A B P （ ）A ．157B ．151C ．71D ．768．设函数),,()(2R c b a c bx ax x f ∈++=．若1-=x 为函数xe xf )(的一个极值点，则下列图象不可能．．．为)(x f y =的图象是 （ ）A B C D9．学校选派5位同学参加北京大学、上海交通大学、浙江大学这3所大学的自主招生考试，每所大学至少有一人参加,则不同的选派方法共有（ ）A ．540种B ．240种C ．180种D ．150种 10．给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）：① “若R b a ∈、，则b a b a =⇒=-0”类比推出“若C b a ∈、，则b a b a =⇒=-0”②“若R d c b a ∈、、、，则复数d b c a di c bi a ==⇒+=+,”类比推出 “若Q d c b a ∈、、、，则d b c a d c b a ==⇒+=+,22”③“若R b a ∈、，则b a b a >⇒>-0”类比推出 “若C b a ∈、，则b a b a >⇒>-0”④“若R x ∈，则111||<<-⇒<x x ”类比推出“C z ∈，则111||<<-⇒<z z ” 其中类比结论正确．．．．的为（ ） A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④11．设)(x f 是R 上的奇函数，且0)1(=-f ，当0>x 时，0)(2)()1('2<-⋅+x xf x f x ,则不等式0)(>x f 的解集为( ) A ．)1,(--∞B ．)1,0()1,(⋃--∞C ．),1(+∞D ．),1()0,1(+∞⋃-12．定义：如果函数)(x f 在],[b a 上存在1x ，2x )(21b x x a <<<满足a b a f b f x f --=)()()(1，ab a f b f x f --=)()()(2，则称函数)(x f 是],[b a 上的“双中值函数”。
2017-2018学年高二年级数学期末试卷(理数)含答案
2017-18学年高二年级第二学期期末考试数学试卷（理数）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．第I 卷（选择题，共60分）注意事项：１．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题卡上． ２．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}1,0=A ，{}A y A x y x z z B ∈∈+==,,|，则集合B 的子集个数为（ ） A .3 B .4 C . 7 D .8 2．若322->m x 是41<<-x 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是（ ）A .[]3,3-B .(][)+∞-∞-,33,C . (][)+∞-∞-,11,D .[]1,1-3．命题“[)+∞-∈∀,2x ，13≥+x ”的否定为( )A .[),,20+∞-∈∃x 130<+xB .[),,20+∞-∈∃x 130≥+xC .[)+∞-∈∀,2x ，13<+xD .()2,-∞-∈∀x ，13≥+x4．已知函数()x f 在()+∞∞-,单调递减，且为奇函数，若()11-=f ，则满足()121≤-≤-x f 的x 的取值范围是( ）A .[]2,2-B .[]1,1-C .[]4,0D .[]3,15．已知函数()xx f 5=，()x ax x g -=2，若()[]11=g f ，则=a ( )A .1B .2C .3D .1-6．已知函数()⎩⎨⎧>+≤+-=2,log 3,2,6x x x x x f a ，()1,0≠>a a 且的值域是[)+∞,4，则实数a 的取值范围是( )A .[]1,1-B .(]2,1C .[]4,0D .[]3,17．已知函数()ax f x x -+=212 是奇函数，则使()3>x f 成立x 的取值范围是 ( )A .()1,-∞-B .()0,1-C . ()1,0D .()+∞,18．若0>>b a ，10<<c ，则 ( )A .c c b a log log <B .b a c c log log <C .c c b a <D .a b c c > 9．已知函数()12-=-mx x f 为偶函数，记()3log 5.0f a = ，()5log 2f b = ，()m f c 2=，则c b a ,,的大小关系为 ( ) A .c b a << B .b c a << C . b a c << D .a c b <<10．已知函数()34213123-+-=x mx x x f 在区间[]2,1上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ）A .[]5,4B .[]4,2C . (][)+∞-∞-,11,D .(]4,∞- 11．已知函数()|1|23,0,21,0x x f x x x x -⎧>=⎨--+≤⎩若关于x 的方程()[]()()012=--+a x f a x f 有7个不等实根，则实数a 的取值范围是( )A .()1,2-B .[]4,2C . ()1,2--D .(]4,∞-12. 已知函数()a x x f ++-=13，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e ex ,1 与()x x g ln 3=的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A .[]4,03-eB .⎥⎦⎤⎢⎣⎡+21,03e C . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+4,2133e eD .[)+∞-,43e第II 卷（非选择题，共90分）注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知函数()()2'11f x f x x =++，则()=⎰1dx x f .14．函数()()x x f cos sin lg =的定义域为_______________． 15．若()02222222≥++---x x xx a 在区间[]2,1上恒成立，则实数a 的取值范围是 ______．16．设()'f x 是奇函数()x f 的导函数，()02=-f ，当0>x 时，()()'0xf x f x ->，则使()0>x f 成立的x 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （一）必考题：共60分 17．(本小题满分12分)在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,且ab c b a 3222+=+.（1）求角C 的值；（2）若ABC ∆为锐角三角形,且1=c ,求b a -3的取值范围. 18．(本小题满分12分)（单位：（1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在的概率；（2）求这50件产品尺寸的样本平均数x ；（3）根据频率分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸z 服从正态分布2(,)N μσ；其中μ近似为样本平均值x ，2σ近似为样本方差2S ，经计算得222.37S =，利用正态分布，求(27.43)P z ≥．19.(本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，CB AC =，1AA AB =，0160=∠BAA（1）证明：C A AB 1⊥；（2）若平面⊥ABC 平面B B AA 11，CB AB =，求直线C A 1与平面C C BB 11所成角的正弦值． 20. (本小题满分12分)已知三点()1,2-A ，()1,2B ，()0,0O ，曲线C 上任意一点()y x M ,满足||()M A M B O M O A O B+=++． （1） 求C 的方程；（2） 动点()00,y x Q ()220<<-x 在曲线C 上，l 是曲线C 在Q 处的切线．问：是否存在定点()t P ,0()0<t 使得l 与PB PA ,都相交，交点分别为E D ,，且ABQ ∆与PDE ∆的面积之比为常数？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由． 21.(本小题满分12分）()x x f ln =，()xe x g =．1）求函数()x x f y -=的单调区间；2）求证：函数()x f y =和()x g y=在公共定义域内，()()2>-x f x g 恒成立；3）若存在两个不同的实数1x ，2x ，满足()()a x x f x x f ==2211，求证：1221>exx ． （二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所作第一题计分.22.(本小题满分10分)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。
2017-2018学年高二年级数学期末试卷(理数)含答案
2．若 x 2m2 3 是 1 x 4 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是（ ）
10．已知函数 f x 1 x3 1 mx2 4x 3 在区间 1,2上是增函数，则实数 m 的取值范围是（
32
A . 3,3
B . ,3 3, C . ,1 1,
，则满足
11．已知函数
f
x
3|x1| , x2 2x
x 1,
0, x
0
若关于
x
的方程 f
x2
a
1f
x
a
0有
7
个不
等实根，则实数 a 的取值范围是(
)
A . 2,1
B .2,4
C . 2,1
D . ,4
12.
已知函数
A . loga c logb c B . logc a logc b C . a c bc
D . ca cb
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 9．已知函数 f x 2 xm 1 为偶函数，记 a f log0.5 3 ， b f log2 5 ， c f 2m，则
由题设知
，
则
解得 的横坐标分别是 则 有 又
，又 于是
， ，
，
，即 l 与直线 平行， 一定相交，分别联立方
设
是平面
的法向量，则
，即
。
对任意
，要使
与
的面积之比是常数，只需 t 满足
可取
，故，所以 与平面
20. （1）依题意可得
所成角的正弦值为 ---------12 分 ，
广东省东莞市2017-2018学年高二第一学期期末考试数学理科试题(解析版)
广东省东莞市2017-2018学年度第一学期高二理科数学期末考试（解析版）一：选择题.1.命题“，“的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据特称命题的否定方法，根据已知中的原命题，写出其否定形式，可得答案．【详解】解：命题“，“的否定是为，，故选：D．【点睛】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全称命题和特称命题的否定方法是解答的关键．2.在中，若，，，则A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】由已知，利用余弦定理可得关于BC的方程，解方程可得BC的值．【详解】解：，，，由余弦定理可得：，可得：，可得：，解得：或舍去．故选：A．【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．3.下列结论成立的是A. 若，则B. 若，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】D【解析】【详解】对于当时，不成立；对于取，，不成立；对于，，，因此不成立；对于，，又，，因此成立．故选：D．A.当时，不成立；B.取，即可判断出；C.由，，可得；D.利用不等式的基本性质即可判断出．本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．4.等差数列中，，，则的值为A. 10B. 9C. 8D. 7【答案】B【解析】【详解】等差数列中，，，，，，故选：B．依题意，利用等差数列的性质，可知，再利用等差中项的性质可得答案．本题考查等差数列的性质，求得是关键，属于基础题．5.若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】椭圆的离心率为，则，即有，则双曲线的渐近线方程为，即有故选：C．运用椭圆的离心率公式可得a，b的关系，再由双曲线的渐近线方程，即可得到．本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率公式的运用，考查运算能力，属于基础题．6.如果实数x、y满足条件，那么的最大值为A. 2B. 1C.D.【答案】B【解析】【详解】先根据约束条件画出可行域，当直线过点时，t最大是1，故选：B．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．7.若正实数a，b满足，则下列说法正确的是A. ab有最小值B. 有最小值C. 有最小值4D. 有最小值【答案】C【解析】【分析】根据a，b都是正数，以及即可得出，从而判断选项A错误，根据基本不等式即可排除选项B，D，从而只能选C．【详解】解：，，且；；；有最大值，选项A错误；，，即有最大值，B项错误.，有最小值4，C正确；,的最小值是，不是，D错误．故选：C．【点睛】考查基本不等式的应用，以及不等式的性质．8.等比数列的前n项和为，已知，且与的等差中项为，则A. 29B. 31C. 33D. 36【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为q，运用等差数列中项性质和等比数列的通项公式，可得首项和公比的方程，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，计算可得所求值．【详解】解：等比数列的公比设为q，前n项和为，，且与的等差中项为，可得，，解得，，则．故选：B．【点睛】本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．9.已知三棱锥，点M，N分别为边AB，OC的中点，P是MN上的点，满足，设，，，则等于A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据所给的图形，在图形中看出要求的向量如何得到，再利用向量的加减法法则，得到结果．【详解】解：，，故选：D．【点睛】本题考查空间向量的加减法，本题解题的关键是在已知图形中应用已知棱去表示要求的结果，本题是一个基础题．10.如图在一个的二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，且，，则CD的长为A. 2B.C.D. 1【答案】A【解析】【详解】，，，，，，．，，故选：A．由，两边平方后展开整理，即可求得，则CD的长可求．本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.如图所示，为了测量A，B两处岛屿间的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶20海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西方向，则A，B两处岛屿间的距离为A. 海里B. 海里C. 海里D. 20海里【答案】B【解析】【分析】分别在和中利用正弦定理计算AD，BD，再在中利用余弦定理计算AB的值．【详解】解：连接AB，如图所示；由题意可知，，，，，，，在中，由正弦定理得，，在中，，，；在中，由余弦定理得海里．故选：B．【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，合理选择三角形，利用正余弦定理计算是解题的关键，是中档题．12.已知双曲线E：上的四点A，B，C，D满足，若直线AD的斜率与直线AB的斜率之积为2，则双曲线C的离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】由，则A，B，C，D四点组成平行四边形ABDC，如图所示，设，，，则：由，则，点A在双曲线上，则：，据此可得：，则，由，则双曲线的离心率为，故选A．由题意可知：A，B，C，D四点组成平行四边形ABDC，根据直线的斜率公式及双曲线的标准方程求得，根据双曲线的离心率即可求得双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质，直线的斜率公式，考查数形结合思想，属于中档题．二：填空题.13.已知向量1，，，且，则实数x的值为______【答案】4【解析】【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【详解】解：向量，，且，，解得．实数x的值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查向量的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．14.已知命题p：，，若命题p为假命题，则实数a的取值范围是___．【答案】【解析】【分析】根据已知中“，”为假命题，可以得到否定命题:“，”为真命题，则问题可转化为一个函数恒成立问题，对二次项系数a分类讨论后，综合讨论结果，即可得到答案．【详解】解：“，”为假命题，其否定“，”为真命题，当时，显然成立；当时，恒成立可化为：解得综上实数a的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查的知识点是命题真假判断与应用，其中根据原命题与其否定命题之间真假性相反，写出原命题的否定命题，并将问题转化为一个函数恒成立问题是解答本题的关键．15.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线1交抛物线于A，B两点，若，则线段AB的中点到x轴的距离为___.【答案】【解析】【分析】根据抛物线方程可求得准线方程，根据抛物线的定义和梯形中位线定理，可得出答案．【详解】解：如图，F为焦点，AB中点为E,抛物线准线的方程：，分别过A、E、B做的垂线并交于点L,M,N.根据梯形的中位线定理，|EM|=,又根据抛物线性质，,,,.故答案为：．【点睛】本题主要考查了抛物线的应用灵活利用了抛物线的定义，考查分析问题解决问题的能力．16.如图，四边形ABCD中，，，，，，则线段AC长度的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】在中，根据条件求出的取值范围，然后根据正弦定理可求得AC取值范围．【详解】解：在中，，，又，，且,，即,由正弦定理，,,,故答案为：．【点睛】本题考查了正弦定理、三角形边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三：解答题。
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2017-2018学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷（理科）（A卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑．1．复数z=i2+i的实部与虚部分别是（）A．﹣1，1 B．1，﹣1 C．1，1 D．﹣1，﹣12．对具有线性相关关系的两个变量y与x进行回归分析，得到一组样本数据（x1，y1），（x2，y2）…（x n，y n），则下列说法中不正确的是（）A．若最小二乘法原理下得到的回归直线方程=0.52x+，则y与x具有正相关关系B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适D．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小说明拟合效果越好3．向量的运算常常与实数运算进行类比，下列类比推理中结论正确的是（）A．“若ac=bc（c≠0），则a=b”类比推出“若•=•（≠），则=”B．“在实数中有（a+b）c=ac+bc”类比推出“在向量中（+）•=•+•”C．“在实数中有（ab）c=a（bc）”类比推出“在向量中（•）•=•（•）”D．“若ab=0，则a=0或b=0”类比推出“若•=0，则=或=”4．用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根5．已知随机变量ξ服从正态分布N（5，9），若p（ξ＞c+2）=p（ξ＜c﹣2），则c的值为（）A．4 B．5 C．6 D．76．已知具有线性相关关系的变量y与x之间的一组数据：若由最小二乘法原理得到回归方程=时y的值为（）A．7.5 B．8.5 C．9.5 D．10.57．若弹簧所受的力x＞1与伸缩的距离按胡克定律F=kl（k为弹性系数）计算，且10N的压力能使弹簧压缩10cm；为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置8cm处，则克服弹力所做的功为（）A．0.28J B．0.12J C．0.26J D．0.32J8．若（3x+）n（n∈N*）的展开式中各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P+S=272，则函数f（x）=（3x+）n在（0，+∞）上的最小值为（）A．144 B．256 C．24D．649．若3位老师和3 个学生随机站成一排照相，则任何两个学生都互不相邻的概率为（）A．B．C．D．10．经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取10件，设取得合格产品的件数为ξ，则P（ξ=k）取得最大值时k的值为（）A．6 B．7 C．8 D．911．已知函数f（x）=在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，则b的取值范围是（）A．[﹣8，﹣4+2） B．（﹣4﹣2，﹣4+2）C．（﹣4+2，8] D．（﹣4﹣2，﹣8]12．设函数f（x）=﹣ax+a，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＞1，则a的取值范围是（）A．（1，2] B．（1，] C．（1，] D．（1，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．13．用0，2，4，8这四个数字能组成_______个没有重复数字的四位数．14．已知函数f（x）=3x﹣x3，当x=a时f（x）取得极大值为b，则a﹣b的值为_______．15．设f（x）=，若f（f（1））=8则（x2﹣）m+4展开式中常数项为_______．16．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测：（1）b5=_______；（2）b2n﹣1=_______．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．复数z=（1﹣i）a2﹣3a+2+i（a∈R），（1）若z=，求|z|；（2）若在复平面内复数z对应的点在第一象限，求a的范围．18．某市教育局委托调查机构对本市中小学使用“微课掌上通”满意度情况进行调查．随机选择小学和中学各50所学校进行调查，调查情况如表：（1）从评分等级为1星级的学校中随机选取两所学校，恰有一所学校是中学的概率为，求整数x，y的值；（2）规定：评分等级在4星级及以上（含4星级）为满意，其它星级为不满意．完成下列2×2列联表并帮助教育局判断：能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为使用“微课掌上通”满意度与学校类型有关系？19．“莞马”活动中的α机器人一度成为新闻热点，为检测其质量，从一生产流水线上抽取20件该产品，其中合格产品有15件，不合格的产品有5件．（1）现从这20件产品中任意抽取2件，记不合格的产品数为X，求X的分布列及数学期望；（2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的分布列及数学期望．20．已知f（x）=lnx+ax2﹣ax+5，a∈R．（1）若函数f（x）在x=1处有极值，求实数a的值；（2）若函数f（x）在区间（0，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围．21．已知f（x）=ln（x+1）﹣（a∈R）．（1）求证：a≤1且x≥0时，f（x）≥0恒成立；（2）设正项数列{a n}满足a1=1，a n=ln（a n﹣1+1）（n≥2），求证：≤a n≤（n∈N*）．22．设f（x）=e x﹣ax2，g（x）=kx+1（a∈R，k∈R），e为自然对数的底数．（1）若a=1时，直线y=g（x）与曲线y=f′（x）相切（f′（x）为f（x）的导函数），求k的值；（2）设h（x）=f（x）﹣g（x），若h（1）=0，且函数h（x）在（0，1）内有零点，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑．1．复数z=i2+i的实部与虚部分别是（）A．﹣1，1 B．1，﹣1 C．1，1 D．﹣1，﹣1【考点】复数的基本概念．【分析】利用复数的幂运算以及复数的基本概念求解即可．【解答】解：复数z=i2+i=﹣1+i．复数的实部与虚部分别是：﹣1；1．故选：A．2．对具有线性相关关系的两个变量y与x进行回归分析，得到一组样本数据（x1，y1），（x2，y2）…（x n，y n），则下列说法中不正确的是（）A．若最小二乘法原理下得到的回归直线方程=0.52x+，则y与x具有正相关关系B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适D．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小说明拟合效果越好【考点】线性回归方程．【分析】可以用来衡量模拟效果好坏的几个量分别是相关指数，残差平方和和相关系数，只有残差平方和越小越好，其他的都是越大越好．【解答】解：若最小二乘法原理下得到的回归直线方程=0.52x+，b=0.52＞0，则y与x具有正相关关系，正确；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，正确；可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．故正确；相关指数R2取值越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故不正确．故选：D．3．向量的运算常常与实数运算进行类比，下列类比推理中结论正确的是（）A．“若ac=bc（c≠0），则a=b”类比推出“若•=•（≠），则=”B．“在实数中有（a+b）c=ac+bc”类比推出“在向量中（+）•=•+•”C．“在实数中有（ab）c=a（bc）”类比推出“在向量中（•）•=•（•）”D．“若ab=0，则a=0或b=0”类比推出“若•=0，则=或=”【考点】类比推理．【分析】对四个选项，利用向量的数量积的定义与性质，分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：由条件，得出（﹣）•=0，∴（﹣）与垂直，则=，不一定成立，故A不正确；向量的乘法满足分配律，故B正确；在向量中（•）•与共线，•（•）与共线，故C不正确；若•=0，则⊥， =或=不一定成立，故D不正确．故选：B．4．用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根【考点】反证法与放缩法．【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x2+ax+b=0没有实根．故选：A．5．已知随机变量ξ服从正态分布N（5，9），若p（ξ＞c+2）=p（ξ＜c﹣2），则c的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（5，9），得到曲线关于x=5对称，根据P（ξ＞c+2）=P（ξ＜c﹣2），结合曲线的对称性得到点c+2与点c﹣2关于点5对称的，从而解出常数c的值得到结果．【解答】解：随机变量ξ服从正态分布N（5，9），∴曲线关于x=5对称，∵P（ξ＞c+2）=P（ξ＜c﹣2），∴c+2+c﹣2=10，∴c=5，故选：B．6．已知具有线性相关关系的变量y与x之间的一组数据：时y的值为（）A．7.5 B．8.5 C．9.5 D．10.5【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于b的方程，解方程即可．求出b，从而估计当x=6时y的值．【解答】解：∵=3， =5，∴这组数据的样本中心点是（3，5）把样本中心点代入回归直线方程=x+0.5∴5=3+0.5，∴=1.5，当x=6时y=9+0.5=9.5．故选：C．7．若弹簧所受的力x＞1与伸缩的距离按胡克定律F=kl（k为弹性系数）计算，且10N的压力能使弹簧压缩10cm；为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置8cm处，则克服弹力所做的功为（）A．0.28J B．0.12J C．0.26J D．0.32J【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先求出F（x）的表达式，再根据定积分的物理意义即可求出．【解答】解：∵F=10N，x=10cm=0.1m∴k=100，∴W=∫100xdx=50x2|=0.32J，故选：D．8．若（3x+）n（n∈N*）的展开式中各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P+S=272，则函数f （x）=（3x+）n在（0，+∞）上的最小值为（）A．144 B．256 C．24D．64【考点】二项式定理的应用．【分析】由题意求得S和 P的值，根据P+S=272求得n的值，再利用基本不等式求得函数f（x）的最小值．【解答】解：由题意可得P=4n，S=2n，∴P+S=4n+2n=272，解得2n=16，∴n=4，在（0，+∞）上，函数f（x）=（3x+）n=（3x+）4≥=144，当且仅当x=时，等号成立，故函数f（x）=（3x+）n在（0，+∞）上的最小值为144，故选：A．9．若3位老师和3 个学生随机站成一排照相，则任何两个学生都互不相邻的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出两位男生不相邻包含的基本事件个数，由此能求出两位男生不相邻的概率．【解答】解：3位老师和3 个学生随机站成一排照相，基本事件总数n=A66=720，任何两个学生都互不相邻包含的基本事件个数m=A33A43=144，∴任何两个学生都互不相邻的概率P==．故选：C．10．经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取10件，设取得合格产品的件数为ξ，则P（ξ=k）取得最大值时k的值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】随机变量ξ～B（10，），P（ξ=k）=，由式子的意义知：概率最大也就是ξ最可能的取值．这和期望的意义接近，由此能求出p（ξ=k）取最大值时k的值．【解答】解：由题意，随机变量ξ～B（10，），∴P（ξ=k）=，由式子的意义知：概率最大也就是ξ最可能的取值．这和期望的意义接近．∵Eξ=10×=7.5，∴k=7或8可能是极值，P（ξ=7）==，P（ξ=8）==∴P（ξ=k）取最大值时k的值是7．故选：B．11．已知函数f（x）=在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，则b 的取值范围是（）A．[﹣8，﹣4+2） B．（﹣4﹣2，﹣4+2）C．（﹣4+2，8] D．（﹣4﹣2，﹣8]【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先利用导数研究在点（1，2）处的切线方程，然后作出函数图象，随着b减小时，半圆向下移动，当点A（﹣4，b）落在切线上时，在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，直到半圆与直线相切前，切线f（x）的图象都有三个公共点，只需求出零界位置的值即可．【解答】解：当x＞0时，f（x）=x2+1，则f′（x）=2x，∴f′（1）=2×1=2，则在点（1，2）处的切线方程为y=2x，当x≤0时，y=f（x）=+b，即（x+2）2+（y﹣b）2=4（y≥b）作出函数图象如右图随着b减小时，半圆向下移动，当点A（﹣4，b）落在切线上时，在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，即b=2×（﹣4）=﹣8，再向下移动，直到半圆与直线相切前，切线f（x）的图象有三个公共点，相切时与f（x）的图象有两个交点即=2，解得b=﹣4﹣2＜﹣8∴b的取值范围是（﹣4﹣2，﹣8]．故选：D．12．设函数f（x）=﹣ax+a，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＞1，则a的取值范围是（）A．（1，2] B．（1，] C．（1，] D．（1，2）【考点】特称命题．【分析】把存在唯一的整数x0，使得f（x0）＞1，转化为存在唯一的整数x0，使得，即．令g（x）=，h（x）=ax﹣a+1，求得分析g（x）的单调性，作g（x）=，h（x）=ax﹣a+1的图象，数形结合得到，则答案可求．【解答】解：f（x）=﹣ax+a，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＞1，即存在唯一的整数x0，使得，也就是存在唯一的整数x0，使得．令g（x）=，h（x）=ax﹣a+1，∵g′（x）=，∴g（x）=在（﹣∞，1]上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，又∵h（x）=ax﹣a+1是恒过点（1，1）的直线，∴作g（x）=，h（x）=ax﹣a+1的图象如下，则，即1．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．13．用0，2，4，8这四个数字能组成18 个没有重复数字的四位数．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】特殊元素优先安排，0不能在首位，先排0，再排其它，根据分步计数原理可得．【解答】解：因为首位不能为0，从2，4，8中选一个排在首位有3种方法，其它位置任意排，故有3A33=18个，故答案为：18．14．已知函数f（x）=3x﹣x3，当x=a时f（x）取得极大值为b，则a﹣b的值为﹣1 ．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求导数得到f′（x）=3﹣3x2，根据二次函数符号的判断便可判断导函数的符号，从而得出函数f （x）的极大值点和极大值，从而求出a﹣b的值．【解答】解：f′（x）=3﹣3x2；∴x＜﹣1时，f′（x）＜0，﹣1＜x＜1时，f′（x）＞0，x＞1时，f′（x）＜0；∴x=1时，f（x）取得极大值2；即a=1，b=2；∴a﹣b=﹣1．故答案为：﹣1．15．设f（x）=，若f（f（1））=8则（x2﹣）m+4展开式中常数项为15 ．【考点】二项式系数的性质；函数的值；定积分．【分析】利用分段函数的意义可得f（1），再利用微积分基本定理解得m．再利用二项式定理的通项公式即可得出．【解答】解：∵f（1）=ln1=0，∴f（f（1））=f（0）=0+3t2dt==m3﹣0，∴m3=8，解得m=2．的展开式的通项公式：T r+1==（﹣1）r x12﹣3r，令12﹣3r=0，解得r=4．∴（x2﹣）m+4展开式中常数项===15．故答案为：15．16．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测：（1）b5= 105 ；（2）b2n﹣1= ．【考点】归纳推理．【分析】（1）由题设条件及图可得出a n+1=a n+（n+1），由此递推式可以得出数列{a n}的通项为，a n=n（n+1），由此可列举出三角形数1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…，从而可归纳出可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除，由此规律即可求出b5；（2）由（1）中的结论即可得出b2n﹣1═（5n﹣1）（5n﹣1+1）．【解答】解：（1）由题设条件可以归纳出a n+1=a n+（n+1），故a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+…+2+1=n（n+1）由此知，三角数依次为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…由此知可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除，∴b5=105；（2）由于2n﹣1是奇数，由（I）知，第2n﹣1个被5整除的数出现在第n组倒数第二个，故它是数列{a n}中的第n×5﹣1=5n﹣1项，所以b2n﹣1═（5n﹣1）（5n﹣1+1）=．故答案为：105；．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．复数z=（1﹣i）a2﹣3a+2+i（a∈R），（1）若z=，求|z|；（2）若在复平面内复数z对应的点在第一象限，求a的范围．【考点】复数求模；复数的基本概念．【分析】（1）根据z=，确定方程即可求|z|；（2）利用复数的几何意义，即可得到结论．【解答】解 z=（1﹣i）a2﹣3a+2+i=a2﹣3a+2+（1﹣a2）i，（1）由知，1﹣a2=0，故a=±1．当a=1时，z=0；当a=﹣1时，z=6．（2）由已知得，复数的实部和虚部皆大于0，即，即，所以﹣1＜a＜1．18．某市教育局委托调查机构对本市中小学使用“微课掌上通”满意度情况进行调查．随机选择小学和中学各50所学校进行调查，调查情况如表：（1）从评分等级为1星级的学校中随机选取两所学校，恰有一所学校是中学的概率为，求整数x，y的值；（2）规定：评分等级在4星级及以上（含4星级）为满意，其它星级为不满意．完成下列2×2列联表并帮助教育局判断：能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为使用“微课掌上通”满意度与学校类型有关系？【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）由古典概型公式，分别求得评分等级为1星级的学校中随机选取两所学校总事件个数m及恰有一所学校是中学的事件个数n，P==，代入即可求得x和y的值；（2）根据所给数据，可得2×2列联表，求出K2，与临界值比较，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为使用满意与学校类型有关系．【解答】解：（1）因为从1星级的2+x的学校中随机选取2所学校，共有=种结果，…；其中恰有1所学校是中学的共有种结果，…；故=．解得：x=3，…；所以y=50﹣3﹣18﹣12﹣8=9…；（2）完成列2×2列联表：经计算K2的观测值：K2=≈5.769＞3.841 …；所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为使用满意与学校类型有关系．…；19．“莞马”活动中的α机器人一度成为新闻热点，为检测其质量，从一生产流水线上抽取20件该产品，其中合格产品有15件，不合格的产品有5件．（1）现从这20件产品中任意抽取2件，记不合格的产品数为X，求X的分布列及数学期望；（2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）随机变量X的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，可求X的分布列及数学期望；（2）合格机器人的件数可能是0，1，2，3，相应的不合格机器人的件数为3，2，1，0．所以ξ的可能取值为1，3，求出相应的概率，可求ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（1）随机变量X的可能取值为0，1，2 …；P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，所以随机变量X的分布列为：∴E（X）=0×+1×+2×=．…；（2）合格机器人的件数可能是0，1，2，3，相应的不合格机器人的件数为3，2，1，0．所以ξ的可能取值为1，3 …；由题意知：…；P（ξ=3）=+=…；所以随机变量ξ的分布列为：∴…；20．已知f（x）=lnx+ax2﹣ax+5，a∈R．（1）若函数f（x）在x=1处有极值，求实数a的值；（2）若函数f（x）在区间（0，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导数得到，根据f（x）在x=1处有极值便可得到f′（1）=0，从而可求出a的值，并可验证该值成立；（2）根据f（x）在区间（0，+∞）内单调递增便可得出f′（x）≥0恒成立，进而得出2ax2﹣ax+1≥0在（0，+∞）上恒成立，这样讨论a的值：a＜0，a=0，和a＞0这三种情况，对每种情况验证是否满足条件，从而求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），；∵f（x）在x=1处有极值，∴f′（1）=1+2a﹣a=0；解得：a=﹣1；此时；当0＜x＜1时f′（x）＞0，当x＞1时f′（x）＜0，符合题意；∴实数a的值为﹣1；（2）∵函数f（x）在区间（0，+∞）内单调递增；∴在（0，+∞）恒成立；即2ax2﹣ax+1≥0在（0，+∞）恒成立；当a＜0时，显然不符合题意；当a=0时，1≥0恒成立，符合题意；当a＞0时，要使恒成立；需，解得0＜a≤8；综上可知实数a的取值范围是[0，8]．21．已知f（x）=ln（x+1）﹣（a∈R）．（1）求证：a≤1且x≥0时，f（x）≥0恒成立；（2）设正项数列{a n}满足a1=1，a n=ln（a n﹣1+1）（n≥2），求证：≤a n≤（n∈N*）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调性，从而证出结论；（2）a=1时，在[0，+∞）内恒成立，在[0，3）内恒成立，由a1=1及a n=ln （a n﹣1+1）（n≥2）知0＜a n≤1，根据数学归纳法证明即可．【解答】证明：（1）…；当a≤1，x≥0时，f'（x）≥0恒成立…；此时函数f（x）在（0，+∞）内单调递增…；所以f（x）≥f（0）=0，得证…；（2）由（1）可知a=1时，在[0，+∞）内恒成立…；同理可证：在[0，3）内恒成立…；由a1=1及a n=ln（a n﹣1+1）（n≥2）知0＜a n≤1…下面用数学归纳法证明：当n=1时，，结论成立…；设当n=k时结论成立，即那么当n=k+1时，……即当n=k+1时有，结论成立，由此可知对任意n∈N*结论都成立，原不等式得证．…22．设f（x）=e x﹣ax2，g（x）=kx+1（a∈R，k∈R），e为自然对数的底数．（1）若a=1时，直线y=g（x）与曲线y=f′（x）相切（f′（x）为f（x）的导函数），求k的值；（2）设h（x）=f（x）﹣g（x），若h（1）=0，且函数h（x）在（0，1）内有零点，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由切线的方程，解得k的值；（2）利用等价转换，若函数h（x）在区间（0，1）内有零点，则函数h（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以h′（x）在（0，1）上应有两个不同的零点．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=e x﹣x2，f'（x）=e x﹣2x…设曲线y=f'（x）与直线y=g（x）的切点为（x0，kx0+1）∵切点在曲线y=f'（x）上，∴…又f''（x）=e x﹣2，由导数的几何意义知：…由此解得x0﹣+1=0 …设t（x）=xe x﹣e x+1，则t′（x）=xe x，当x＞0时，t′（x）=xe x＞0，t（x）递增；当x＜0时，t′（x）=xe x＜0，t（x）递减；∴t（x）≥t（0）=0，∴x0=0 …∴k=﹣1．…（2）h（x）=e x﹣ax2﹣kx﹣1由h（1）=0得：k=e﹣a﹣1又h（0）=0，且函数h（x）在区间（0，1）内有零点，∴函数h（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，即h′（x）=0在区间（0，1）内至少有两个实根，…h′（x）=e x﹣2ax﹣k，h''（x）=e x﹣2a∵x∈（0，1），∴e x∈（1，e）当时，h''（x）=e x﹣2a＞0，函数h'（x）在区间（0，1）单调递增，方程h'（x）=0在区间（0，1）内至多一个实根，不符合题意．当时，h''（x）=e x﹣2a＜0，函数h'（x）在区间（0，1）单调递减，方程h'（x）=0在区间（0，1）内至多一个实根，不符合题意．…当＜a＜时，令h''（x）＜0得：0＜x＜ln（2a），令h''（x）＞0得：x＞ln（2a），即函数h'（x）在区间（0，ln（2a））内单调递减，在区间（ln（2a），+∞）内单调递增∴h'（x）min=h'（ln（2a））=2a﹣2aln（2a）﹣k=3a﹣2aln（2a）﹣e+1…记H（x）=x﹣xlnx﹣e+1其中1＜x＜e，则，令H'（x）＞0得：1＜x＜，令H'（x）＜0得：＜x＜e，∴函数H（x）在（1，）内单调递增，在（，e）内单调递减…∴H（x）max=H（）=﹣ln﹣e+1=+1﹣e故H（x）＜0，也即h'（x）min＜0∵函数h（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，∴即解得：e﹣2＜a＜1符合＜a＜综上可知，实数a的取值范围是（e﹣2，1）…2016年9月12日。