二重积分的计算小结

二重积分的计算小结
一、知识要点回顾
1．二重积分的定义；
2.二重积分的几何意义及其物理模型。

二重积分
⎰⎰)
(σσd y x f ),(的几何意义就是以)(σ为底，以)(s 为顶的曲顶柱体的
体积，其物理模型就是一个曲顶柱体。

3.二重积分在直角坐标系下的计算
（1）若积分区域D 是由两条直线x=a,x=b,以及两条曲线y= φ1(x),y= φ2(x) (φ1(x)
≤φ2(x),a ≤x ≤b)所围成，则
dxdy y)f(x D ⎰⎰)
(, =⎰b
a
dx
dy y)f(x x x ⎰)
2(φφ
)
(1,
（2）若区域D 是由两条直线y=c,y=d 以及两条曲线x=φ1(y),x=φ2(y)(φ1(y)
≤φ2(y),
c ≤y ≤d)所围成，则
⎰⎰
=
D
y)dxdy f(x ,dx y)f(x dy d
c
y y ⎰
⎰
)
2()
1(φφ,
4.极坐标下二重积分的计算法
x=θcos r ,y=θsin r
如果区域D 是由从极点出发的两条射线αθ=，βθ=（α<β）和两条曲线
)(2),(1θθr r r r == （)(1θr <)(2θr ）所围成，则
dr rd )r f(r y)dxdy f(x D
D
θθθ⎰⎰
⎰⎰=sin ,cos ,
rdr )r f(r d r r ⎰⎰
=
β
α
θθθθθ)
(2)
(1sin ,cos
5．曲线坐标下二重积分的计算法
设函数),(),,(v u y y v u x x ==在直角坐标平面v O u '上的封闭区域D '上连续，有一阶连续偏导数，而且雅克比行列式
)
()()
()()
()()
()
()
,(),(v y u y v x u x v u y x J ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=
则
⎰⎰
=
D
y)dxdy f(x ,⎰⎰
D
dudv J v u y v u f(x )),(),,(
二．二重积分的计算举例
1.． 计算二重积分dxdy y y
D ⎰⎰sin ，其中D 为由直线x
y =与曲线2
y x =所围成的区域．
解：画出积分域如图所示 解方程组
{
2,
x y x y ==
解得图中的两个交点为)1,1(),0,0(，D 可表示为D=},
10|),{(2
y x y y x y
≤≤≤≤， 于是
.
1sin 1sin sin sin )(sin sin 1
10
102102-=-=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ydy y ydy dy y y y y dx y y dy dxdy y y y y D
图4
2.计算二重积分dxdy D
2
2
y
x y x ⎰⎰
++
2
2
)sin(π
的值，其中积分区域为}41|){(2
2
≤+
≤=y
x y x,D 。

解：由对称性可以只考虑第一象限的积分域 采用极坐标。

则积分区域变为
πθρθρ2≤≤≤≤=0,21|){(,D } 于是
4
)2
(4)sin(4
)
sin()sin(20
221
2
2
-=-===++
⎰⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰
θ
θπ
ρ
πρθθ
ρρρ
πρπ
π
π
d d d d d dxdy D
D
2
2
y
x y x
3，计算二重积分dxdy D
x
y x y e
⎰⎰+-的值的大小，其中D 是由x 轴，y 轴以及x+y=2所围成
的封闭区域。

解： 如图1，由题意，可设
x y v x y u +=-=, 则可得
2u v x -=
，2
u
v y += 图1
;
22;0;0=→=+-=→==→=v y x v u y v u x 由由由 图2 D
x
y
o 2
=+y x D '
u
v
o
v
u =v
u -=2=v
所以积分区域变为图2中的封闭区域，从而
=∂∂=v)(u y x,J ,)(
所以
e
e e e e e e vdv du v v v u dv dvdu
dxdy x y x
y D v
u
D 1
)120
21202121(-'-=--=-=-=
+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
4．设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他
当00,21,,2x
y x y y)f(x x ，求
dxdy y)f(x D
⎰⎰
,，其中}2|),{(2
2
x y x D y
x ≥+
=。

解：积分区域为圆
12
2)1(=+
-y
x 以外的部分
设图中阴影区域为 D 0=}2,21|),{(2
x y x x y x x
≤≤-≤≤
于是
20
4912)45()()()]2([2
10,,,3
5
2
1
3
4
2
2
1
22
2212
21
22
2
2
=
-=-=-=--==+=+=⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
-
--x x x x x x x x x
x x dx dx x dx x ydy
x
dx dxdy
ydxdy dxdy
y)f(x dxdy y)f(x dxdy
y)f(x x x D D D D D D D
,212
12
121
2
1-=-图6
5．计算二次积分
⎰
⎰⎰⎰
-----+=2
22
2
2
2
2
2
y R x R
R y y
x R
y dx
e
dy e
dx e
dy e
I ．
分析 若直接计算题目所给的二次积分，将首先遇到求2
x e
-的原函数的问题，它是无法
计算的，因此，应将二次积分先还原为二重积分，再根据积分区域的特点，选择适当的方法．
解 由所给的二次积分，我们得积分区域21D D D ⋃=，其中
12,0: :00y R y D D x x ⎧⎧≤≤⎪⎪≤≤⎨⎨
⎪⎪≤≤≤⎩⎩
D 是一个中心角为4π
，半径为R 的扇形（图5）．因此可以采用极坐
标计算，在极坐标系下，有
,
:420.D R ππθρ⎧⎪≤≤⎨≤≤⎪⎩
因此
).1(82
1
)42
(
22
2
2
22
00
24
)
(R R
R
D
D
y x
e e d e
d d d
e dxdy e I ----+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--
====⎰⎰⎰⎰⎰⎰πππ
ρρθθ
ρρρρπ
πρ
小结
㈠计算在直角坐标系下二重积分的值的过程中，应正确选择积分的形式，是先对X 积分还是先对Y 积分，选择正确的积分形式可以提高解题的效率和准确度。

㈡ 计算极坐标系下二重积分值的步骤： ① 首先把积分区域的边界方程用极坐标表示； ②确定θρ,的范围，即在极坐标系下表示积分区域；
③ 用θρθρsin ,cos 分别代换被积函数中的y x ,，并把面积元素用θρρd d 替代．
㈢ 计算二重积分时，要注意利用积分区域关于坐标轴的对称性，同时被积函数关于某
相应变量的奇偶性简化运算．
图5
．。