[推荐学习]2018_2019学年度九年级数学上册第二章一元二次方程2.2用配方法求解一元二次方程同
2.2 用配方法求解一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________
一．选择题（共10小题）
1．一元二次方程x 2﹣2=0的根是（ ）
A ．x=或x=﹣
B ．x=2或x=﹣2
C ．x=﹣2
D ．x=2
2．方程（x+1）2=4的解是（ ）
A ．x 1=﹣3，x 2=3
B ．x 1=﹣3，x 2=1
C ．x 1=﹣1，x 2=1
D ．x 1=1，x 2=3
3．已知2x 2+3与2x 2﹣4互为相反数，则x 的值为（ ）
A ．
B ．±
C ．
D ．
4．用配方法解方程x 2﹣x ﹣1=0时，应将其变形为（ ）
A ．（x ﹣）2=
B ．（x+）2=
C ．（x ﹣）2=0
D ．（x ﹣）2=
5．将一元二次方程x 2﹣4x ﹣6=0化成（x ﹣a ）2=b 的形式，则b 等于（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
6．把一元二次方程x 2﹣4x+1=0，配成（x+p ）2=q 的形式，则p 、q 的值是（
）
A ．p=﹣2，q=5
B ．p=﹣2，q=3
C ．p=2，q=5
D ．p=2，q=3
7．不论x ，y 取何实数，代数式x 2﹣4x+y 2﹣6y+13总是（ ）
A ．非负数
B ．正数
C ．负数
D ．非正数
8．已知关于x 的多项式﹣x 2+mx+4的最大值为5，则m 的值可能为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．5
9．若x 2+y 2+4x ﹣6y+13=0，则式子x ﹣y 的值等于（ ）
A ．﹣1
B ．1
C ．﹣5
D ．5
10．对二次三项式x 2﹣4x ﹣1变形正确的是（ ）
A ．（x+2）2﹣5
B ．（x+2）2+3
C ．（x ﹣2）2﹣5
D ．（x ﹣2）2+3
二．填空题（共6小题）
11．若（x ﹣1）2=4，则x= ．
12．如果关于x 的方程bx 2=2有实数解，那么b 的取值范围是 ．
13．方程x 2+2x ﹣1=0配方得到（x+m ）2=2，则m= ．
14．把方程x2﹣3=2x用配方法化为（x+m）2=n的形式，则m= ，n= ．15．用配方法解一元二次方程x2+2x﹣3=0 时，方程变形正确的是（填序号）①（x﹣1）2=2 ②（x+1）2=4 ③（x﹣1）2=1④（x+1）2=7．
16．若a为实数，则代数式a2+4a﹣6的最小值为．
三．解答题（共5小题）
17．用直接开平方法解方程．
（1）（2x﹣）2=8
（2）4x2﹣256=0；
（3）（x﹣1）2=．
18．配方法解方程．
（1）x2+4x=﹣3；
（2）2x2+x=0．
19．根据要求，解答下列问题：
（1）①方程x2﹣x﹣2=0的解为；
②方程x2﹣2x﹣3=0的解为；
③方程x2﹣3x﹣4=0的解为；
…
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2﹣9x﹣10=0的解为；
②请用配方法解方程x2﹣9x﹣10=0，以验证猜想结论的正确性．
（3）应用：关于x的方程的解为x1=﹣1，x2=n+1．
20．已知x2+y2﹣4x+6y+13=0，求x2﹣6xy+9y2的值．
21．请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．
x2+6x+5=x2+2•x•3+32﹣32+5=（x+3）2﹣4，
∵（x+3）2≥0
∴当x=﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4．
请根据上述方法，解答下列问题：
（Ⅰ）x2+4x﹣1=x2+2•x•2+22﹣22﹣1=（x+a）2+b，则ab的值是；
（Ⅱ）求证：无论x取何值，代数式x2+2x+7的值都是正数；
（Ⅲ）若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值．
参考答案
一．选择题（共10小题）1．A．2．B．3．A．4．D．5．D．6．B．7．A．8．B．9．C．10．C．
二．填空题（共6小题）
11．x=3或x=﹣1．
12．b＞0．
13．1．
14．﹣1、4．
15．②．
16．﹣10．
三．解答题（共5小题）
17．（1）开方得：2x﹣=±2，
解得：x1=，x2=﹣；
（2）方程变形得：x2=64，
解得：x1=8，x2=﹣8；
（3）方程变形得：（x﹣1）2=3，
开方得：x﹣1=±，
解得：x1=1+，x1=1﹣．
18．（1）方程化为：
x2+4x+4=﹣3+4，
（x+2）2=l，
x+2=±1，
x=﹣2±1，
∴x1=﹣l，x2=﹣3；
（2）方程化为：
x2+x=0，
x2+x+=，
=，
x+=±，
x=﹣±，
∴x1=0，x2=﹣．
19．①方程x2﹣x﹣2=0的解为 x1=﹣1，x2=2；
②方程x2﹣2x﹣3=0的解为 x1=﹣1，x2=3；
③方程x2﹣3x﹣4=0的解为 x1=﹣1，x2=4；
…
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2﹣9x﹣10=0的解为 x1=﹣1，x2=10；
②x2﹣9x﹣10=0，
移项，得
x2﹣9x=10，
配方，得
x2﹣9x+=10+，
即（x﹣）2=，
开方，得
x﹣=
x1=﹣1，x2=10；
（3）应用：关于x的方程x2﹣nx﹣（n+1）=0的解为x1=﹣1，x2=n+1．
故答案为：x1=﹣1，x2=2；x1=﹣1，x2=3；x1=﹣1，x2=4；x1=﹣1，x2=10；x2﹣nx﹣（n+1）=0．20．解：x2+y2﹣4x+6y+13=0，
x2﹣4x+4+y2+6y+9=0，
（x﹣2）2+（y+3）2=0，
解得：x=2，y=﹣3，
x2﹣6xy+9y2=（x﹣3y）2=[2﹣3×（﹣3）]2=121．
21．解：（Ⅰ）∵x2+4x﹣1=x2+2•x•2+22﹣22﹣1=（x+2）2﹣5=（x+a）2+b，
∴a=2，b=﹣5，
∴ab=2×（﹣5）=﹣10．
故答案是：﹣10；
（Ⅱ）证明：x2+2x+7=x2+2x+（）2﹣（）2+7=（x+）2+1．
∵（x+）2≥0，
∴x2+2x+7的最小值是1，
∴无论x取何值，代数式x2+2x+7的值都是正数；
（Ⅲ）2x2+kx+7=（x）+2•x•+（k）2﹣（k）2+7=（x+k）2﹣k2+7．
∵（x+k）2≥0，
∴（x+k）2﹣k2+7的最小值是﹣k2+7，
∴﹣k2+7=2，
解得k=±2．。
北师版九年级数学上册 第二章 一元二次方程 应用一元二次方程 第2课时 利用一元二次方程解决营销问题
(2)2018年丙类芯片的产量为3x＋400＝1600(万块)，设丙类芯片的产量 每年增加的数量为y万块，则1600＋1600＋y＋1600＋2y＝14400，解得y ＝3200，∴丙类芯片2020年的产量为1600＋2×3200＝8000(万块)，2018 年HW公司手机产量为 2800÷10%＝ 28000(万部)，由题意得400(1＋ m%)2＋2×400(1＋m%－1)2＋8000＝28000×(1＋10%)，设m%＝t，化 简得3t2＋2t－56＝0，解得t＝4或t＝－(舍去)，∴t＝4，即m%＝4， ∴m＝400.答：丙类芯片2020年的产量为8000万块，m的值为400
10．(教材P55习题1变式)某种文化衫，平均每天销售40件，每件盈利20元， 若每件降价1元，则每天可多售出10件．如果每天要盈利1080元，则每件应 降价__2_或__1_4__元．
11．(宜宾中考)某产品每件的生产成本为50元，原定销售价为65元，经市场 预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%. 若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x， 根据题意可列方程是____6_5_×__(_1_－__1_0_%__)_×__(_1_＋__5_%__)－__5_0_(_1_－__x_)_2＝__6_5_－__5_0____．
2．某电商平台上的一家食品旗舰店将进货单价为15元/千克的饼干按16元/ 千克出售时，每天可销售100千克，按市场规律，饼干每千克提价1元，其 销售量就减少5千克，如果此店每天销售这种饼干要获取利润270元，并且 销售量较高，则把饼干的出售价定为每千克( D ) A．20元 B．15元 C．16元 D．18元
50%)3＝128×287 ＝432＜500，答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次
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《2.3 用公式法求解一元二次方程(一)》练习一、基础过关1．用公式法解方程4x2﹣12x=3所得的解正确的是（）A．x=B．x=C．x=D．x=2．关于方程x2﹣2=0的理解错误的是（）A．这个方程是一元二次方程B．方程的解是C．这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D．这个方程可以用公式法求解3．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）=18 B．x2-3x+16=0 C．（x-1）（x-2）=18 D．x2+3x+16=04．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定5．下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=06．到2013底，我县已建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校2011年发放给每个经济困难学生450元，2013年发放的金额为625元．设每年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（）A．450（1+x）2=625 B．450（1+x）=625C．450（1+2x）=625 D．625（1+x）2=450二、综合训练7．已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为．8．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为．9．根的判别式内容：△=b2﹣4ac＞0⇔一元二次方程；△=b2﹣4ac=0⇔一元二次方程；此时方程的两个根为x1=x2= ．△=b2﹣4ac＜0⇔一元二次方程．△=b2﹣4ac≥0⇔一元二次方程．10．如果关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a的值为．11．如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为x m，根据条件，可列出方程：．12．关于x的一元二次方程x2+bx+2=0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数b 的值：b= ．三、拓展应用13．小红认为：当b2﹣4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是．请你举出反例说明小红的结论是错误的．14．如图，某旅游景点要在长、宽分别为20米、12米的矩形水池的正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的14．若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的16，求道路的宽．15．已知a、b、c为实数，且，求方程ax2+bx+c=0的根．16．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2=0．（1）若此方程的一个根为1，求m的值；（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．17．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．（1）当通道宽a为10米时，花圃的面积= ；（2）通道的面积与花圃的面积之比能否恰好等于3：5？如果可以，试求出此时通道的宽．18．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．参考答案一、基础过关1．D解：方程整理得：4x2﹣12x﹣3=0，这里a=4，b=﹣12，c=﹣3，∵△=144+48=192，∴x==，故选：D．2．B解：A、这个方程是一元二次方程，正确；B、方程的解是x=±，错误；C、这个方程可以化成一元二次方程的一般形式，正确；D、这个方程可以用公式法求解，正确；故选：B．3．C解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x-1）（x-2）=18，故选C．4．B解：在方程x2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根．故选B．5．B解：A、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；B、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；C、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；D、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；故选：B．6．A．解：设每年发放的资助金额的平均增长率为x，则2012年发放给每个经济困难学生450（1+x）元，2013年发放给每个经济困难学生450（1+x）2元，由题意，得：450（1+x）2=625．故选A．二、综合训练7．答案为：0解：∵x=（b2﹣4c＞0），∴x2+bx+c=（）2+b+c=++c===0．故答案为：0．8．答案为：（100-x）（80-x）=7644解：设道路的宽应为x米，由题意有（100-x）（80-x）=7644，故答案为：（100-x）（80-x）=76449．答案为：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；﹣；无解；有实数根．解：△=b2﹣4ac＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根；△=b2﹣4ac=0⇔一元二次方程有两个相等的实数根；此时方程的两个根为x1=x2=﹣．△=b2﹣4ac＜0⇔一元二次方程无解．△=b2﹣4ac≥0⇔一元二次方程有实数根．故答案为：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；﹣；无解；有实数根．10．答案为：﹣1或2．解：∵关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，∴△=0，即4a2﹣4（a+2）=0，解得a=﹣1或2．故答案为：﹣1或2．11．答案为：x2-35x+34=0．解：设小道进出口的宽度为xm，根据题意，得：30×20-20×2x-30x+2x•x=532，整理，得：x2-35x+34=0．故答案为：x2-35x+34=0．12．答案为3．解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+2=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣8＞0，∴b＞2或b＜﹣2，∴b为3，4，5等等，∴b为3（答案不唯一）．故答案为3．三、拓展应用13．解：如方程x2+5x+6=0，（x+2）（x+3）=0，∴x1=﹣2，x2=﹣3，小红认为：当b2﹣4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是．则x==，x=2和x=3，这与上面的因式分解法求得的方程的解不一致，故小红的结论是错误的．14．解：设道路的宽为x米，则可列方程：x（12-4x）+x（20-4x）+16x2=16×20×12，即：x2+4x-5=0，解得：x1=l，x2=-5（舍去）．答：道路的宽为1米15．解：∵+|b+1|+（c+3）2=0，∴a=1，b=﹣1，c=﹣3，原方程为x2﹣x﹣3=0，这里a=1，b=﹣1，c=﹣3，∴x=．16．解：（1）根据题意，将x=1代入方程x2+mx+m﹣2=0，得：1+m+m﹣2=0，解得：m=；（2）∵△=m2﹣4×1×（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4＞0，∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．17．解：（1）由图可知，花圃的面积为：（40-2×10）（60-2×10）=800（平方米）．故答案为：800；（2）根据题意得：60×40-（40-2a）（60-2a）=38×60×40，解得：a1=5，a2=45（舍去）．答：通道的面积与花圃的面积之比能等于3：5，此时通道的宽为5米．18．解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）△ABC是直角三角形．理由如下：∵方程有两个相等的实数根，∴△=（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形．。
推荐K12学习2018年秋九年级数学上册第2章一元二次方程2.3一元二次方程根的判别式素材新版湘教版
2.3 一元二次方程根的判别式素材一 新课导入设计情景导入置疑导入 归纳导入 类比导入悬念激趣我们学习了用公式法求解一元二次方程，它的一般步骤是什么？学生回答后课件展示，并强调每一步的注意事项：(1)把方程化为一般形式，进而确定a ，b ，c 的值．(注意符号)(2)求出b 2－4ac 的值．(先判别方程是否有根)(3)在b 2－4ac≥0的前提下，把a ，b ，c 的值代入求根公式，求出－b±b 2－4ac 2a的值，最后写出方程的根．接下来检验一下同学们的掌握情况：(1)x 2＋2x －2＝0；(2)(x －2)(1－3x)＝6.[说明与建议] 说明：帮助学生回忆一元二次方程及其解法，尤其是公式法解一元二次方程时，必须先检验根的判别式，判断方程是否有实数解，巩固所学知识的同时，感受数学问题的严谨性、规范性．建议：复习公式法求解一元二次方程时，强调必须先判断方程在实数范围内是否有解．素材二 教材母题挖掘44页例题不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：(1)3x 2＋4x －3＝0；(2)4x 2＝12x －9；(3)7y ＝5(y 2＋1)．【模型建立】一元二次方程的根的个数和Δ＝b 2－4ac 与0的大小关系有关，所以牢记如下结论是解决此问题的关键．①b 2－4ac >0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根．即：x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a； ②当b 2－4ac ＝0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根．即：x 1＝x 2＝－b2a； ③当b 2－4ac <0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实数根．反之亦成立．【变式变形】1．不解方程，判别关于x 的方程x 2－2kx ＋(2k －1)＝0的根的情况．[答案：Δ＝4(k －1)2≥0，故方程一定有实数根]2．已知方程x 2＋px ＋q ＝0有两个相等的实数根，则p 与q 的关系是__p 2＝4q __．3.[通州一模] 已知关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a －2＝0.(1)求证：无论a 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(2)当方程的一个根为－2时，求方程的另一个根．[答案：(1)根的判别式为：a 2－4a ＋8，变形为：(a －2)2＋4，不论a 取何值，判别式的值总大于0，故方程总有两个不相等的实数根 (2)0]4．[北京中考] 已知关于x 的方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0(m≠0)．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值．解：(1)证明：∵a＝m ，b ＝－(m ＋2)，c ＝2，∴Δ＝b 2－4ac ＝(m ＋2)2－8m ＝m 2＋4m ＋4－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2≥0，∴方程总有两个实数根． (2)∵x＝－b±b 2－4ac 2a ＝m ＋2±（m －2）22m ＝m ＋2±（m －2）2m， ∴x 1＝m ＋2＋m －22m ＝1，x 2＝m ＋2－m ＋22m ＝2m.∵方程的两个实数根都是整数， ∴2m是整数，∴m ＝±1或m ＝±2.又∵m 是正整数，∴m ＝1或m ＝2.素材三 考情考向分析[命题角度1] 利用b 2－4ac 判定一元二次方程根的情况利用b 2－4ac 的值的情况可以确定一元二次方程的解的情况，很多时候不用解方程就可以判断方程解的情况：b 2－4ac ＞0，方程有两个不相等的实数解；b 2－4ac ＝0，方程有两个相等的实数解；b 2－4ac ＜0，方程没有实数解．例 [自贡中考] 一元二次方程x 2－4x ＋5＝0的根的情况是( D )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根[命题角度2] 根据方程解的情况求解字母系数的值或取值范围利用方程根的情况与b 2－4ac 的值的对应关系列出含有字母系数的方程或不等式，从而确定字母系数的值或范围．在实际操作过程中，要特别注意二次项系数不能等于0这一限制条件．例 [中山中考] 关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( B ) A ．m>94 B ．m<94C ．m ＝94D ．m<－94素材四 教材习题答案P45练习1．一元二次方程x 2－x ＋1＝0的根的情况为( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根[答案] D2．不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：(1)x 2＋3x －1＝0；(2)x 2－6x ＋9＝0；(3)2y 2－3y ＋4＝0；(4)x 2＋5＝25x .解：(1)Δ＝9－4×(－1)＝13＞0，有两个不等实根．(2)Δ＝36－4×9＝0，只有一个实数根．(3)Δ＝9－4×2×4＝－23＜0，没有实数根．(4)Δ＝20－4×5＝0，只有一个实数根．P45习题2.31．一元二次方程3x 2－2x －1＝0的根的情况为( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根[答案]B2．不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：(1)3x 2－4x ＋1＝0；(2)3x 2－6x ＋1＝0；(3)x (x ＋8)＝16；(4)(x ＋2)(x －5)＝1.解：(1)Δ＝16－4×3＝4＞0，有两个不等实根．(2)Δ＝36－4×3＞0，有两个不等实根．(3)Δ＝64＋64＞0，有两个不等实根．(4)Δ＝9＋44＞0，有两个不等实根．3．不解方程，利用判别式判断方程x 2－(1＋23)x ＋3＋3＝0的根的情况．解：Δ＝(23＋1)2－4(3＋3)＝1.有两不等实根．4．先阅读下面的材料：对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．如果方程有两个不相等的实数根，那么Δ＞0；如果方程有两个相等的实数根，那么Δ＝0；如果方程没有实数根，那么Δ＜0.再解答下面的题目：当t 取什么值是，关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋t ＝2t －1，(1)有实数根；(2)没有实数根．解：Δ＝1－4(1－t )＝4t －3(1)当4t －3≥0，即t ≥34时有实数根． (2)当t ＜34时无实数根．素材五 图书增值练习专题一 一元二次方程根的判别式与三角形形状1．已知a 、b 、c 是三角形ABC 的三边长，且方程(c －b )x 2＋2(b －a )x ＋a －b ＝0有两个相等的实数根，那么这个三角形的形状如何？2．设a 、b 、c 是△ABC 的三边长，关于x 的方程x 2＋2bx ＋2c －a ＝0有两个相等的实数根，且方程3cx ＋2b ＝2a 的根为0.(1)求证：△ABC 为等边三角形；(2)若a 、b 为方程x 2＋mx －3m ＝0的两根，求m 的值．3． 已知：a 、b 、c 为△ABC 的三边长，当m >0时，关于x 的方程c (x 2＋m )＋b (x 2－m )ax m 2 ＝0有两个相等的实数根．求证：△ABC 为直角三角形．答案1．解：(2b －2a )2－4(a －b )(c －b )＝0，4a 2－4ab －4ac ＋4bc ＝0，(a －b )(a －c )＝0，∴a ＝b 或a ＝c ，∴△ABC 是等腰三角形．2．解：(1)证明：方程x 2＋2bx ＋2c －a ＝0有两个相等的实数根，∴(2b )2－4×(2c －a )＝0，即a ＋b ＝2c .方程3cx ＋2b ＝2a 的根为0，则2b ＝2a ，a ＝b ，∴2a ＝2c ，a ＝c ，∴a ＝b ＝c ，故△ABC 为等边三角形．(2)∵a 、b 相等，∴x 2＋mx －3m ＝0有两个相等的实根，∴m 2＋4×1×3m ＝0，解得m 1＝0，m 2＝－12.∵a 、b 为正数，∴m 1＝0(不合题意，合去)，故m ＝－12.3．证明：整理原方程c (x 2＋m )＋b (x 2－m )－2max ＝0.得cx 2＋cm ＋bx 2－bm －2max ＝0，(c ＋b )x 2－2max ＋cm －bm ＝0.∵方程有两个相等的实数根，∴(－2ma )2－4(c ＋b )(cm －bm )＝0，4ma 2－4(c 2m －bcm ＋bcm －b 2m )＝0，ma 2－c 2m ＋b 2m ＝0，∴m (a 2＋b 2－c 2)＝0.又∵m >0，∴a 2＋b 2－c 2＝0，∴a 2＋b 2＝c 2.又∵a 、b 、c 为△ABC 的三边长，∴△ABC 为直角三角形．素材六 数学素养提升《欧拉帮忙算鸡蛋》一天，欧拉去买鸡蛋。
最新北师版九年级初三数学上册《用配方法求解一元二次方程》试卷
2.2.1用配方法解一元二次方程同步训练一、选择题1.用配方法解方程x2+10x+9=0，配方后可得（）A. （x+5）2=16B. （x+5）2=1C. （x+10）2=91D. （x+10）2=1092.一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的解是（）A. x1=x2=1B. x1=1+ ，x2=﹣1﹣C. x1=1+ ，x2=1﹣D. x1=﹣1+ ，x2=﹣1﹣3.用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A. （x+1）2=6B. （x﹣1）2=6C. （x+2）2=9D. （x﹣2）2=94.一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A. （x+4）2=17B. （x+4）2=15C. （x﹣4）2=17D. （x﹣4）2=155.用配方法解方程-4x+3=0，下列配方正确的是（）A.=1B.=1C.=7D.=46.二次三项式-4x+7配方的结果是（）A.+7B.+3C.+3D.-17.用配方法把一元二次方程+6x+1=0，配成=q的形式，其结果是（）A.=8B.=1C.=10D.=48.对于代数式﹣x2+4x﹣5，通过配方能说明它的值一定是（）A.非正数B.非负数C.正数D.负数9.若将方程x2+6x=7化为（x+m）2=16，则m=________．10.一元二次方程x2+3﹣2 x=0的解是________．11.如果一个三角形的三边均满足方程，则此三角形的面积是________12.用配方法解方程3x2﹣6x+1=0，则方程可变形为（x﹣________）2=________．13.若将方程x2－8x＝7化为(x－m)2＝n，则m＝________.14.将变形为，则m+n=________15.解方程：x2﹣6x﹣4=0．（1）x2﹣6x﹣4=0 （2）x2－2x－3=0（3）x2+6x=1 （4）x2－4x+1=0（5）x2﹣2x=4 （6）x2+4x﹣2=0（7）（8）2x2﹣3x﹣3=018.如果a、b为实数，满足+b2－12b+36=0，求ab的值．答案解析部分一、2018-2019学年数学北师大版九年级上册2.2.1用配方法解一元二次方程同步训练<p align=left > 一 、选择题</p>1.【答案】A【考点】配方法解一元二次方程【解析】【解答】解：方程x2+10x+9=0，整理得：x2+10x=﹣9，配方得：x2+10x+25=16，即（x+5）2=16，故答案为：A．【分析】配方法的一般步骤：1、把常数项移到方程的右边；2、把二次项系数化为1；3、在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方。
九年级数学上册第二章一元二次方程知识点归纳(新版)北师大版
第二章一元二次方程1认识一元二次方程2用配方法求解一元二次方程3用公式法求解一元二次方程4用分解因式法求解一元二次方程*5 一元二次方程的根与系数的关系6 应用一元二次方程※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为ax 2bx c0 （a、b、c为常数， a≠ 0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。
．．．．．．※把ax2bx c 0 （a、b、c为常数， a≠ 0）称为一元二次方程的一般形式， a 为二次项系数； b 为一次项系数； c 为常数项。
※解一元二次方程的方法：①配方法< 即将其变为() 20的形式 >x mb b24ac②公式法 x2a（注意在找 abc 时须先把方程化为一般形式）③分解因式法把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。
（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）※配方法解一元二次方程的基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成1；③把常数项移到方程的右边；④两边加上一次项系数的一半的平方；⑤把方程转化成( x m) 20 的形式；⑥两边开方求其根。
※根与系数的关系：当b2-4ac>0 时，方程有两个不等的实数根；当 b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根；当 b2-4ac<0 时，方程无实数根。
※ 如果一元二次方程ax2bx c0 的两根分别为x1、x2，则有：x1 x2b x1 x2 c 。
a a※一元二次方程的根与系数的关系的作用：（1）已知方程的一根，求另一根；（2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的对称式的值，特别注意以下公式：① x12x22(x1x2 ) 22x1x2② 11x1 x2③x1x2x1 x2 (x1 x2 )2( x1x2 )24x1 x2④| x1x2 |(x1x2 )24x1x2⑤(| x1 | | x2 |)2( x1x2 )22x1 x2 2 | x1 x2 |⑥ x13x23( x1x2 ) 33x1x2 ( x1 x2 )⑦其他能用 x1x2或 x1x2表达的代数式。
【推荐精选】2018年秋九年级数学上册 第2章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 2.2.1 配方法 第3课时 用
(1)3x2－5x＝2；(2) x2－x－4＝0.
当堂检测，及时反馈学习效果.
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
在探究新知环节中，教师应加强引导和示范．学生接触新知识基础性差，所以教师教授解答过程和方法时，应给予学生必要的板书演示．
②[讲授效果反思]
第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
课题
第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
授课人
教
学
目
标
知识技能
掌握配方法解一元二次方程的步骤，会用配方法解一元二次方程．
数学思考
通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们的数学应用意识和能力．
问题解决
探讨：方程②应如何求解呢？
设计问题引人入境，激发学生探究的兴趣.
活动
二：
实践
探究
交流新知
【探究】用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
观察方程3x2＋18x＋24＝0，它与我们上一节课所解的方程有什么不同？你有什么想法？
先让学生回答这个方程与上一节课我们所解的方程有什么不同，再动员学生思考如何把这个方程转化为上一节课我们所解的方程类型，教师提醒后，找一位同学尝试板书，然后教师投影演示．
重点问题做到重点讲解：(1)化二次项系数为1；(2)添项：一次项系数一半的平方；(3)牢记解题的步骤．
③[师生互动反思]
从课堂交流和课堂检测来看，学生能够运用配方法解一元二次方程，并且效果很好．
④[习题反思]
好题题号_______________________________________
九年级数学上册第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法2.2.3因式分解法第2课时选用适当的方法
2018年秋九年级数学上册第2章一元二次方程2.2 一元二次方程的解法2.2.3 因式分解法第2课时选用适当的方法解一元二次方程练习（新版）湘教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第2章一元二次方程2.2 一元二次方程的解法2.2.3 因式分解法第2课时选用适当的方法解一元二次方程练习（新版）湘教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第2课时选用适当的方法解一元二次方程知｜识｜目|标通过回顾一元二次方程的解法，能根据方程的特征合理地选择适当的方法解一元二次方程．目标会选用合适的方法解一元二次方程例1 教材补充例题解方程x2－5x＝0最简便的方法是（)A．直接开平方法B．因式分解法C．配方法 D．公式法【归纳总结】根据方程的形式选择不同的方法解一元二次方程例2 教材例9针对训练用适当的方法解下列方程：（1）x2－3x＋1＝0; (2)（x－1)2＝3;（3)x2－3x＝0; (4）x2－2x＝4.【归纳总结】选择合适的方法解一元二次方程的“三点”注意1．一元二次方程的四种解法中，优先选择的顺序是直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法．2．无明显符合直接开平方法与因式分解法求解特征的一元二次方程一般优先考虑使用公式法求解．3．对于形式复杂的一元二次方程,一般不要急于化为一般形式，要仔细分析其结构特征，看能否用因式分解法或直接开平方法求解,若不能，再化为一般形式．知识点选择合适的方法解一元二次方程(1）在一元二次方程的四种解法中，公式法是适用性最广的，它能解任何一个有实数根的一元二次方程,因此公式法是解一元二次方程的万能钥匙，但是有时候计算量较大．(2）对于形式特殊的一元二次方程,应根据其特征选择合适的方法求解:①缺项（缺一次项或常数项)的一元二次方程都可以用因式分解法求解；②形如(x±m）2－n＝0的方程既可以用因式分解法求解，也可以用直接开平方法求解；(注意：能够用直接开平方法求解的一元二次方程都可以用因式分解法求解）③二次项系数为1,一次项系数为偶数的方程适合用配方法求解．方程(2x－3)2＝(3x－2)2可以采用哪种方法求解?并解这个方程．详解详析【目标突破】例1[答案] B例2[解析］方程（1)是一元二次方程的一般形式,适合用公式法来解；方程(2）的左边是一个完全平方的形式，适合用直接开平方法来解;方程(3)的左边可以分解因式,适合用因式分解法来解;方程（4)的一次项系数是偶数，故适合用配方法来解．解:(1)因为a＝1，b＝－3，c＝1，所以b2－4ac＝（－3）2－4×1×1＝5＞0,所以x＝错误!，所以原方程的根为x1＝错误!，x2＝错误!.(2)两边直接开平方，得x－1＝±错误!，所以原方程的根为x1＝1＋3，x2＝1－错误!.(3)左边分解因式，得x（x－3）＝0，所以x＝0或x－3＝0,所以原方程的根为x1＝0，x2＝3。
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第二章 一元二次方程1 认识一元二次方程2 用配方法求解一元二次方程3 用公式法求解一元二次方程4 用分解因式法求解一元二次方程*5 一元二次方程的根与系数的关系6 应用一元二次方程※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 为 常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。
※把02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。
※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为0)(2=+m x 的形式> ②公式法 aac b b x 242-±-= （注意在找abc 时须先把方程化为一般形式） ③分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。
（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）※配方法解一元二次方程的基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成1；③把常数项移到方程的右边；④两边加上一次项系数的一半的平方；⑤把方程转化成0)(2=+m x 的形式；⑥两边开方求其根。
※根与系数的关系：当b 2-4ac>0时，方程有两个不等的实数根；当b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b 2-4ac<0时，方程无实数根。
※如果一元二次方程02=++c bx ax 的两根分别为x 1、x 2，则有：ac x x a bx x =⋅-=+2121。
※一元二次方程的根与系数的关系的作用：（1）已知方程的一根，求另一根；（2）不解方程，求二次方程的根x 1、x 2的对称式的值，特别注意以下公式：①2122122212)(x x x x x x -+=+ ②21212111x x x x x x +=+ ③212212214)()(x x x x x x -+=-④21221214)(||x x x x x x -+=- ⑤||22)(|)||(|2121221221x x x x x x x x +-+=+⑥)(3)(21213213231x x x x x x x x +-+=+ ⑦其他能用21x x +或21x x 表达的代数式。
2018年九年级数学上2.2一元二次方程的解法教案新版湘教版
2018年九年级数学上2.2一元二次方程的解法教案新版湘教版2．2 一元二次方程的解法2．2.1 配方法教学目标【知识与技能】1．知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程．2．学会用直接开平方法解形如(ax＋b)2－k＝0(k≥0)的方程．3．理解“配方”是一种常用的数学方法，在用配方法将一元二次方程变形的过程中，让学生进一步体会化归的思想方法．【过程与方法】通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法．【情感态度】学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣．【教学重点】运用配方法解一元二次方程．【教学难点】把一元二次方程转化为形如(x＋n)2＝d(d≥0)的过程．教学过程一、情景导入，初步认知1．根据完全平方公式填空：(1)x2＋6x＋9＝( )2(2)x2－8x＋16＝( )2(3)x2＋10x＋( )2＝( )2(4)x2－3x＋( )2＝( )22．前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是什么？(消元、化二元一次方程组为一元一次方程)．由解二元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗？ 3．你会解方程x2＋6x－16＝0吗？你会将它变成(x ＋m)2＝n(n为非负数)的形式吗？试试看．如果是方程2x2＋1＝3x呢？【教学说明】学会利用完全平方知识填空，初步配方为后面学习打下基础．二、思考探究，获取新知1．解方程：x2－2500＝0.问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程？把方程写成x2＝2500这表明x是2500的平方根，根据平方根的意义，得 x＝2500或x＝－2500因此，原方程的解为x1＝50，x2＝－50【归纳结论】一元二次方程的解也是一元二次方程的根．2．解方程(2x＋1)2＝2解：根据平方根的意义，得2x＋1＝2或2x＋1＝－2因此，原方程的根为x1＝2－12，x2＝－2＋123．通过上面的两个例题，你知道什么时候用开平方的方法来解一元二次方程呢？【归纳结论】对于形如(x＋n)2＝d(d≥0)的方程，可直接用开平方法解．直接开平方法的步骤是：把方程变形成(x＋n)2＝d(d≥0)，然后直接开平方得x＋n＝和x＋n＝－，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解．4．解方程x2＋4x＝12我们已知，如果把方程x2＋4x＝12写成(x＋n)2 ＝d的形式，那么就可以根据平方根的意义来求解．那么，如何将左边写成(x＋n)2的形式呢？我们学过完全平方式，你能否将左边x2＋4x添上一项使它成为一个完全平方式．请相互交流．写出解题过程．【归纳结论】一般地，像上面这样，在方程x2＋4x ＝12的左边加上一次项系数的一半的平方，在减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方．配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了．这种解一元二次方程的方法叫作配方法．5．如何用配方法解方程25x2＋50x－11＝0呢？如果二次项系数为1，那就好办了！那么怎样将二次项的系数化为1呢？同伴之间可以相互交流．试着写出解题过程．6．通过上面配方法解一元二次方程的过程，你能总结用配方法解一元二次方程的步骤吗？【归纳结论】用配方法解一元二次方程的步骤：(1)把方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0；(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；(3)若方程的二次项系数不为1时，方程两边同时除以二次项系数a；(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．【教学说明】通过这一过程，学生发现能用直接开平方法求解的方程都可以转化成一般形式，一般形式的方程也能用配方法转化为可以直接开平方的形式，所以总结出解一元二次方程的基本思路是将一元二次方程转化为(x＋n)2＝d(d≥0)的形式．三、运用新知，深化理解1．见教材P33例3、P34例4.2．列方程(注：学生练习，教师巡视，适当辅导．)(1)x2－10x＋24＝0；(2)(2x－1)(x＋3)＝5；(3)3x2－6x＋4＝0.解：(1)移项，得x2－10x＝－24配方，得x2－10x＋25＝－24＋25，由此可得(x－5)2＝1，x－5＝±1，∴x1＝6，x2＝4.(2)整理，得2x2＋5x－8＝0.移项，得2x2＋5x＝8二次项系数化为1得x2＋52x＝4，配方，得x2＋52x＋(54)2＝4＋(54)2(x＋54)2＝8916，由此可得x＋54＝±894，x1＝－5＋894，x2＝－5－(3)移项，得3x2－6x＝－4二次项系数化为1，得x2－2x＝－43，配方，得x2－2x＋12＝－43＋12，(x－1)2＝－13因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x－1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根．3．解方程x2－8x＋1＝0分析：显然这个方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式．解：x2－8x＋1＝0移项得：x2－8x＝－1配方得：x2－8x＋16＝－1＋16即(x－4)2＝15两边开平方得：x－4＝±15∴x1＝4＋15，x2＝4－．用配方法将下列各式化为a(x＋h)2＋k的形式．(1)－3x2－6x＋1；(2)23y2＋13y＋2；(3)0.4x2－0.8x－1.解：(1)－3x2－6x＋1＝－3(x2＋2x－13)＝－3(x2＋2x＋12－12－13)＝－3[(x＋1)2－43]＝－3(x＋1)2＋4(2)23y2＋13y－2＝23(y2＋12y－3)＝23[ y2＋12y＋(14)2－(14)2－3]＝23[(y＋14)2－4916]＝23(y＋14)2－4924.(3)0.4x2－0.8x－1＝0.4(x2－2x－2.5)＝0.4[(x2－2x＋12)－12－2.5]＝0.4(x－1)2－【教学说明】通过练习，使学生能灵活运用“配方法”，并强化学生对一元二次方程解的认识．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．课后作业布置作业：教材“习题2.2”中第1、2、3题．教学反思在教学过程中，坚持由简单到复杂，由特殊到一般的原则，采用了观察对比，合作探究等不同的学习方式，充分发挥学生的主体作用，让学生主动探究发现结论，教师做学生学习的引导者，合作者，促进者，要适时鼓励学生，实现师生互动．同时，我认识到教师不仅仅要教给学生知识，更要在教学中渗透数学中的思想方法，培养学生良好的数学素养和学习能力，让学生学会学习．2．2.2 公式法教学目标【知识与技能】1．经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练． 2．会用公式法解简单系数的一元二次方程．【过程与方法】通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想．【情感态度】让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感．【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用．【教学难点】理解求根公式的推导过程．教学过程一、情景导入，初步认知1．用配方法解方程：(1)x2＋3x＋2＝0；(2)2x2－3x＋5＝0.2．由用配方法解一元二次方程的基本步骤知：对于每个具体的一元二次方程，都使用了相同的一些计算步骤，这启发我们思考，能不能对一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)使用这些步骤，然后求出解x的公式？【教学说明】这样做了以后，我们可以运用这个公式来求每一个具体的一元二次方程的解，取得一通百通的效果．二、思考探究，获取新知1．用配方法解方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 分析：前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax2＋bx＝－c因为a≠0，所以方程两边同除以a得：x2＋bax＝－ca配方，得：x2＋bax＋(b2a)2＝－ca＋(b2a)2即(x＋b2a)2＝b2－4ac4a2∵a≠0，∴4a20当b2－4ac≥0，b2－4ac4a2≥0∴x＋b2a＝±b2－4ac2a即x＝－b±b2－4ac2a∴x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a.当b2－4ac0时，方程无解．【归纳结论】由上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，将a、b、c代入式子 x＝－b±b2－4ac2a(b2－4ac≥0)就可求出方程的根．(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．【强调】用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：(1)将a、b、c的值代入公式时，一定要注意符号不能出错．(2)式子b2－4ac≥0是公式的一部分．【教学说明】让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)能否用配方法求出它的解？通过解方程发现归纳一元二次方程的求根公式．2．展示课本P36例5(1)，(2)，按课本方式引导学生用公式法解一元二次方程，并提醒学生在确定a，b，c的值时，先要将一元二次方程式化为一般形式，注意a，b，c的符号．3．引导学生完成P37例．你能总结出用公式法解一元二次方程的一般步骤吗？【归纳结论】首先要把原方程化为一般形式，从而正确地确定a，b，c的值；其次要计算b2－4ac的值，当b2－4ac≥0时，再用求根公式求解．三、运用新知，深化理解1．用公式法解下列方程．2x2＋3＝7x分析：用公式法解一元二次方程，需先确定a、b、c的值、再算出b2－4ac的值、最后代入求根公式求解．解：2x2－7x＋3＝0a＝2，b＝－7，c＝3∵b2－4ac＝(－7)2－4×2×3＝250∴x＝－b±b2－4ac2a＝7±252×2＝7±54即x1＝3，x2＝12.2．某数学兴趣小组对关于x的方程(m＋1)xm2＋1＋(m－2)x－1＝0提出了下列问题．(1)若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．(2)若使方程为一元一次方程m是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？分析：(1)要使它为一元二次方程，必须满足m2＋1＝2，同时还要满足(m＋1)≠0.(2)要使它为一元一次方程，必须满足∶①m2＋1＝1（m＋1）＋（m－2）≠0或②m2＋1＝0m －2≠0或③m＋1＝0m－2≠0解：(1)存在．根据题意，得：m2＋1＝2m2＝1 m＝±1当m＝1时，m＋1＝1＋1＝2≠0当m＝－1时，m＋1＝－1＋1＝0(不合题意，舍去) ∴当m＝1时，方程为2x2－1－x＝0a＝2，b＝－1，c＝－1b2－4ac＝(－1)2－4×2×(－1)＝1＋8＝9x＝－（－1）±92×2＝1±34x1＝1，x2＝－12.因此，该方程是一元二次方程时，m＝1，两根x1＝1，x2＝－12.(2)存在．根据题意，得：①m2＋1＝1，m2＝0，m＝0因为当m＝0时，(m＋1)＋(m－2)＝2m－1＝－1≠0 所以m＝0满足题意．②当m2＋1＝0，m不存在．③当m＋1＝0，即m＝－1时，m－2＝－3≠0所以m＝－1也满足题意．当m＝0时，一元一次方程是x－2x －1＝0，解得：x＝－1当m＝－1时，一元一次方程是－3x－1＝0解得x＝－13因此，当m＝0或－1时，该方程是一元一次方程，并且当m＝0时，其根为x＝－1；当m＝－1时，其一元一次方程的根为x＝－13.【教学说明】主体探究、探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．课后作业布置作业：教材“习题2.2”中第4题．教学反思通过复习配方法使学生会对一元二次方程的定义及解法有一个熟悉的印象．然后让学生用配方法推导一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解，并掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况．使学生的推理能力得到加强．2．2.3 因式分解法教学目标【知识与技能】能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程．能够根据一元二次方程的结构特点，灵活择其简单的方法．【过程与方法】通过比较、分析、综合，培养学生分析问题解决问题的能力．【情感态度】通过知识之间的相互联系，培养学生用联系和发展的眼光分析问题，解决问题，树立转化的思想方法．【教学重点】用因式分解法解一元二次方程．【教学难点】理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．教学过程一、情景导入，初步认知复习：将下列各式分解因式(1)5x2－4x(2)x2－4x＋4(3)4x(x－1)－2＋2x(4)x2－4(5)(2x－1)2－x2【教学说明】通过复习相关知识，有利于学生熟练正确将多项式因式分解，从而有利降低本节的难度．二、思考探究，获取新知1．解方程x2－3x＝0可用因式分解法求解方程左边提取公因式x，得x(x－3)＝0由此得x＝0或x－3＝0即x1＝0，x2＝3与公式法相比，哪种更简单？【归纳结论】利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2．用因式分解法解下列方程；(1)x(x－5)＝3x；(2)2x(5x－1)＝3(5x－1)；(3)(35－2x)2－900＝0.3．你能总结因式分解法解一元二次方程的一般步骤吗？【归纳结论】把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解．4．说一说：因式分解法适用于解什么形式的一元二次方程．【归纳结论】因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程．5．选择合适的方法解下列方程：(1)x2＋3x＝0；(2)5x2－4x－3＝0；(3)x2＋2x－3＝0.按课本方式引导学生用因式分解法解一元二次方程． 6．如何选择合适的方法解一元二次方程呢？【归纳结论】公式法适用于所有一元二次方程．因式分解法(有时需要先配方)适用于所有一元二次方程．配方法是为了推导出求根公式，以及先配方，然后用因式分解法．总之，解一元二次方程的基本思路都是：将一元二次方程转化成为一元一次方程，即降次，其本质是把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的左边的二次多项式分解成两个一次多项式的乘积，即ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1和x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根．【教学说明】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据．三、运用新知，深化理解1．用因式分解法解下列方程：(1)5x2＋3x＝0；(2)7x(3－x)＝4(x－3)．分析：(1)左边＝x(5x＋3)，右边＝0；(2)先把右边化为0，7x(3－x)－4(x－3)＝0，找出(3－x )与(x－3)的关系．解：(1)因式分解，得x(5x＋3)＝0，于是得x＝0或5x＋3＝0，x1＝0，x2＝－35；(2)原方程化为7x(3－x)－4(x－3)＝0，因式分解，得(x－3)(－7x－4)＝0，于是得x－3＝0或－7x－4＝0，x1＝3，x2＝－472．选择合适的方法解下列方程：(1)2x2－5x＋2＝0；(2)(1－x)(x＋4)＝(x－1)(1－2x)．分析：(1)题宜用公式法；(2)题中找到(1－x)与(x－1)的关系用因式分解法；解：(1)a＝2，b＝－5，c＝2，b2－4ac＝(－5)2－4×2×2＝9＞0，x＝5±92×2＝5±34，x1＝2，x2＝12(2)原方程化为(1－x)(x＋4)＋(1－x)(1－2x)＝0，因式分解，得(1－x)(5－x)＝0，即(x－1)(x－5)＝0，x－1＝0或x－5＝0，x1＝1，x2＝53．用因式分解法解下列方程：(1)10x2＋3x＝0；(2)7x(3－x)＝6(x－3)；(3)9(x－2)2＝4(x＋1)2.分析：(1)左边＝x(10x＋3)，右边＝0；(2)先把右边化为0，7x(3－x)－6(x－3)＝0，找出(3－x)与(x－3)的关系；(3)应用平方差公式．解：(1)因式分解，得x(10x＋3)＝0，于是得x＝0或10x＋3＝0，x1＝0，x2＝－310；(2)原方程化为7x(3－x)－6(x－3)＝0，因式分解，得(x－3)(－7x－6)＝0，于是得x－3＝0或－7x－6＝0，x1＝3，x2＝－67；(3)原方程化为9(x－2)2－4(x＋1)2＝0，因式分解，得[3(x－2)＋2(x＋1)][3(x－2)－2(x＋1)]＝0，即(5x－4)(x－8)＝0，于是得5x－4＝0或x－8＝0，x1＝45，x2＝．已知(a2＋b2)2－(a2＋b2)－6＝0，求a2＋b2的值．分析：若把(a2＋b2)看作一个整体，则已知条件可以看作是以(a2＋b2)为未知数的一元二次方程．解：设a2＋b2＝x，则原方程化为x2－x－6＝0. a＝1，b＝－1，c＝－6，b2－4ac＝12－4×(－6)×1＝25＞0，x＝1±252，∴x1＝3，x2＝－2.即a2＋b2＝3或a2＋b2＝－2，∵a2＋b 2≥0，∴a2＋b2＝－2不合题意应舍去，取a2＋b2＝3.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．课后作业布置作业：教材“练习题2.2”中第5、6、9、10题．教学反思这节课主要学习了用因式分解法解一元二次方程的概念及其解法，解法的基本思路是将一元二次方程转化为一元一次方程，而达到这一目的，我们主要利用了因式分解“降次”．在今天的学习中，要逐步深入、领会、掌握“转化”这一数学思想方法．。
九年级数学上册第二章一元二次方程《一元二次方程的解法(三)--公式法,因式分解法》知识讲解及例题演
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一元二次方程的解法（三）——公式法，因式分解法—知识讲解【学习目标】1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念,能熟练应用公式法解一元二次方程；2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3. 通过求根公式的推导,培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程,当时,.2。
一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式:．①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x的一元二次方程的步骤:①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值(要注意符号）；③求出的值；④若,则利用公式求出原方程的解；若,则原方程无实根.要点诠释:（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。