[推荐学习]2018_2019学年度九年级数学上册第二章一元二次方程2.2用配方法求解一元二次方程同

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北师版九年级数学上册第二章一元二次方程应用一元二次方程第2课时利用一元二次方程解决营销问题

(2)2018年丙类芯片的产量为3x＋400＝1600(万块)，设丙类芯片的产量每年增加的数量为y万块，则1600＋1600＋y＋1600＋2y＝14400，解得y ＝3200，∴丙类芯片2020年的产量为1600＋2×3200＝8000(万块)，2018 年HW公司手机产量为 2800÷10%＝ 28000(万部)，由题意得400(1＋ m%)2＋2×400(1＋m%－1)2＋8000＝28000×(1＋10%)，设m%＝t，化简得3t2＋2t－56＝0，解得t＝4或t＝－(舍去)，∴t＝4，即m%＝4， ∴m＝400.答：丙类芯片2020年的产量为8000万块，m的值为400
10．(教材P55习题1变式)某种文化衫，平均每天销售40件，每件盈利20元，若每件降价1元，则每天可多售出10件．如果每天要盈利1080元，则每件应降价__2_或__1_4__元．
11．(宜宾中考)某产品每件的生产成本为50元，原定销售价为65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%. 若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程是____6_5_×__(_1_－__1_0_%__)_×__(_1_＋__5_%__)－__5_0_(_1_－__x_)_2＝__6_5_－__5_0____．
2．某电商平台上的一家食品旗舰店将进货单价为15元/千克的饼干按16元/ 千克出售时，每天可销售100千克，按市场规律，饼干每千克提价1元，其销售量就减少5千克，如果此店每天销售这种饼干要获取利润270元，并且销售量较高，则把饼干的出售价定为每千克( D ) A．20元 B．15元 C．16元 D．18元
50%)3＝128×287 ＝432＜500，答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次

推荐K12学习2018届九年级数学上册第二章一元二次方程2.3用公式法求解一元二次方程一练习新版北师

《2.3 用公式法求解一元二次方程(一)》练习一、基础过关1．用公式法解方程4x2﹣12x=3所得的解正确的是（）A．x=B．x=C．x=D．x=2．关于方程x2﹣2=0的理解错误的是（）A．这个方程是一元二次方程B．方程的解是C．这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D．这个方程可以用公式法求解3．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）=18 B．x2-3x+16=0 C．（x-1）（x-2）=18 D．x2+3x+16=04．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定5．下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=06．到2013底，我县已建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校2011年发放给每个经济困难学生450元，2013年发放的金额为625元．设每年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（）A．450（1+x）2=625 B．450（1+x）=625C．450（1+2x）=625 D．625（1+x）2=450二、综合训练7．已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为．8．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为．9．根的判别式内容：△=b2﹣4ac＞0⇔一元二次方程；△=b2﹣4ac=0⇔一元二次方程；此时方程的两个根为x1=x2= ．△=b2﹣4ac＜0⇔一元二次方程．△=b2﹣4ac≥0⇔一元二次方程．10．如果关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a的值为．11．如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为x m，根据条件，可列出方程：．12．关于x的一元二次方程x2+bx+2=0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数b 的值：b= ．三、拓展应用13．小红认为：当b2﹣4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是．请你举出反例说明小红的结论是错误的．14．如图，某旅游景点要在长、宽分别为20米、12米的矩形水池的正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的14．若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的16，求道路的宽．15．已知a、b、c为实数，且，求方程ax2+bx+c=0的根．16．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2=0．（1）若此方程的一个根为1，求m的值；（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．17．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．（1）当通道宽a为10米时，花圃的面积= ；（2）通道的面积与花圃的面积之比能否恰好等于3：5？如果可以，试求出此时通道的宽．18．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．参考答案一、基础过关1．D解：方程整理得：4x2﹣12x﹣3=0，这里a=4，b=﹣12，c=﹣3，∵△=144+48=192，∴x==，故选：D．2．B解：A、这个方程是一元二次方程，正确；B、方程的解是x=±，错误；C、这个方程可以化成一元二次方程的一般形式，正确；D、这个方程可以用公式法求解，正确；故选：B．3．C解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x-1）（x-2）=18，故选C．4．B解：在方程x2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根．故选B．5．B解：A、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；B、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；C、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；D、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；故选：B．6．A．解：设每年发放的资助金额的平均增长率为x，则2012年发放给每个经济困难学生450（1+x）元，2013年发放给每个经济困难学生450（1+x）2元，由题意，得：450（1+x）2=625．故选A．二、综合训练7．答案为：0解：∵x=（b2﹣4c＞0），∴x2+bx+c=（）2+b+c=++c===0．故答案为：0．8．答案为：（100-x）（80-x）=7644解：设道路的宽应为x米，由题意有（100-x）（80-x）=7644，故答案为：（100-x）（80-x）=76449．答案为：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；﹣；无解；有实数根．解：△=b2﹣4ac＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根；△=b2﹣4ac=0⇔一元二次方程有两个相等的实数根；此时方程的两个根为x1=x2=﹣．△=b2﹣4ac＜0⇔一元二次方程无解．△=b2﹣4ac≥0⇔一元二次方程有实数根．故答案为：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；﹣；无解；有实数根．10．答案为：﹣1或2．解：∵关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，∴△=0，即4a2﹣4（a+2）=0，解得a=﹣1或2．故答案为：﹣1或2．11．答案为：x2-35x+34=0．解：设小道进出口的宽度为xm，根据题意，得：30×20-20×2x-30x+2x•x=532，整理，得：x2-35x+34=0．故答案为：x2-35x+34=0．12．答案为3．解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+2=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣8＞0，∴b＞2或b＜﹣2，∴b为3，4，5等等，∴b为3（答案不唯一）．故答案为3．三、拓展应用13．解：如方程x2+5x+6=0，（x+2）（x+3）=0，∴x1=﹣2，x2=﹣3，小红认为：当b2﹣4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是．则x==，x=2和x=3，这与上面的因式分解法求得的方程的解不一致，故小红的结论是错误的．14．解：设道路的宽为x米，则可列方程：x（12-4x）+x（20-4x）+16x2=16×20×12，即：x2+4x-5=0，解得：x1=l，x2=-5（舍去）．答：道路的宽为1米15．解：∵+|b+1|+（c+3）2=0，∴a=1，b=﹣1，c=﹣3，原方程为x2﹣x﹣3=0，这里a=1，b=﹣1，c=﹣3，∴x=．16．解：（1）根据题意，将x=1代入方程x2+mx+m﹣2=0，得：1+m+m﹣2=0，解得：m=；（2）∵△=m2﹣4×1×（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4＞0，∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．17．解：（1）由图可知，花圃的面积为：（40-2×10）（60-2×10）=800（平方米）．故答案为：800；（2）根据题意得：60×40-（40-2a）（60-2a）=38×60×40，解得：a1=5，a2=45（舍去）．答：通道的面积与花圃的面积之比能等于3：5，此时通道的宽为5米．18．解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）△ABC是直角三角形．理由如下：∵方程有两个相等的实数根，∴△=（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形．。

推荐K12学习2018年秋九年级数学上册第2章一元二次方程2.3一元二次方程根的判别式素材新版湘教版

2.3 一元二次方程根的判别式素材一新课导入设计情景导入置疑导入归纳导入类比导入悬念激趣我们学习了用公式法求解一元二次方程，它的一般步骤是什么？学生回答后课件展示，并强调每一步的注意事项：(1)把方程化为一般形式，进而确定a ，b ，c 的值．(注意符号)(2)求出b 2－4ac 的值．(先判别方程是否有根)(3)在b 2－4ac≥0的前提下，把a ，b ，c 的值代入求根公式，求出－b±b 2－4ac 2a的值，最后写出方程的根．接下来检验一下同学们的掌握情况：(1)x 2＋2x －2＝0；(2)(x －2)(1－3x)＝6.[说明与建议] 说明：帮助学生回忆一元二次方程及其解法，尤其是公式法解一元二次方程时，必须先检验根的判别式，判断方程是否有实数解，巩固所学知识的同时，感受数学问题的严谨性、规范性．建议：复习公式法求解一元二次方程时，强调必须先判断方程在实数范围内是否有解．素材二教材母题挖掘44页例题不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：(1)3x 2＋4x －3＝0；(2)4x 2＝12x －9；(3)7y ＝5(y 2＋1)．【模型建立】一元二次方程的根的个数和Δ＝b 2－4ac 与0的大小关系有关，所以牢记如下结论是解决此问题的关键．①b 2－4ac >0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根．即：x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a； ②当b 2－4ac ＝0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根．即：x 1＝x 2＝－b2a； ③当b 2－4ac <0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实数根．反之亦成立．【变式变形】1．不解方程，判别关于x 的方程x 2－2kx ＋(2k －1)＝0的根的情况．[答案：Δ＝4(k －1)2≥0，故方程一定有实数根]2．已知方程x 2＋px ＋q ＝0有两个相等的实数根，则p 与q 的关系是__p 2＝4q __．3.[通州一模] 已知关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a －2＝0.(1)求证：无论a 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(2)当方程的一个根为－2时，求方程的另一个根．[答案：(1)根的判别式为：a 2－4a ＋8，变形为：(a －2)2＋4，不论a 取何值，判别式的值总大于0，故方程总有两个不相等的实数根 (2)0]4．[北京中考] 已知关于x 的方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0(m≠0)．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值．解：(1)证明：∵a＝m ，b ＝－(m ＋2)，c ＝2，∴Δ＝b 2－4ac ＝(m ＋2)2－8m ＝m 2＋4m ＋4－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2≥0，∴方程总有两个实数根． (2)∵x＝－b±b 2－4ac 2a ＝m ＋2±（m －2）22m ＝m ＋2±（m －2）2m， ∴x 1＝m ＋2＋m －22m ＝1，x 2＝m ＋2－m ＋22m ＝2m.∵方程的两个实数根都是整数， ∴2m是整数，∴m ＝±1或m ＝±2.又∵m 是正整数，∴m ＝1或m ＝2.素材三考情考向分析[命题角度1] 利用b 2－4ac 判定一元二次方程根的情况利用b 2－4ac 的值的情况可以确定一元二次方程的解的情况，很多时候不用解方程就可以判断方程解的情况：b 2－4ac ＞0，方程有两个不相等的实数解；b 2－4ac ＝0，方程有两个相等的实数解；b 2－4ac ＜0，方程没有实数解．例 [自贡中考] 一元二次方程x 2－4x ＋5＝0的根的情况是( D )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根[命题角度2] 根据方程解的情况求解字母系数的值或取值范围利用方程根的情况与b 2－4ac 的值的对应关系列出含有字母系数的方程或不等式，从而确定字母系数的值或范围．在实际操作过程中，要特别注意二次项系数不能等于0这一限制条件．例 [中山中考] 关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( B ) A ．m>94 B ．m<94C ．m ＝94D ．m<－94素材四教材习题答案P45练习1．一元二次方程x 2－x ＋1＝0的根的情况为( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根[答案] D2．不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：(1)x 2＋3x －1＝0；(2)x 2－6x ＋9＝0；(3)2y 2－3y ＋4＝0；(4)x 2＋5＝25x .解：(1)Δ＝9－4×(－1)＝13＞0，有两个不等实根．(2)Δ＝36－4×9＝0，只有一个实数根．(3)Δ＝9－4×2×4＝－23＜0，没有实数根．(4)Δ＝20－4×5＝0，只有一个实数根．P45习题2.31．一元二次方程3x 2－2x －1＝0的根的情况为( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根[答案]B2．不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：(1)3x 2－4x ＋1＝0；(2)3x 2－6x ＋1＝0；(3)x (x ＋8)＝16；(4)(x ＋2)(x －5)＝1.解：(1)Δ＝16－4×3＝4＞0，有两个不等实根．(2)Δ＝36－4×3＞0，有两个不等实根．(3)Δ＝64＋64＞0，有两个不等实根．(4)Δ＝9＋44＞0，有两个不等实根．3．不解方程，利用判别式判断方程x 2－(1＋23)x ＋3＋3＝0的根的情况．解：Δ＝(23＋1)2－4(3＋3)＝1.有两不等实根．4．先阅读下面的材料：对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．如果方程有两个不相等的实数根，那么Δ＞0；如果方程有两个相等的实数根，那么Δ＝0；如果方程没有实数根，那么Δ＜0.再解答下面的题目：当t 取什么值是，关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋t ＝2t －1，(1)有实数根；(2)没有实数根．解：Δ＝1－4(1－t )＝4t －3(1)当4t －3≥0，即t ≥34时有实数根． (2)当t ＜34时无实数根．素材五图书增值练习专题一一元二次方程根的判别式与三角形形状1．已知a 、b 、c 是三角形ABC 的三边长，且方程(c －b )x 2＋2(b －a )x ＋a －b ＝0有两个相等的实数根，那么这个三角形的形状如何？2．设a 、b 、c 是△ABC 的三边长，关于x 的方程x 2＋2bx ＋2c －a ＝0有两个相等的实数根，且方程3cx ＋2b ＝2a 的根为0.(1)求证：△ABC 为等边三角形；(2)若a 、b 为方程x 2＋mx －3m ＝0的两根，求m 的值．3．已知：a 、b 、c 为△ABC 的三边长，当m >0时，关于x 的方程c (x 2＋m )＋b (x 2－m )ax m 2 ＝0有两个相等的实数根．求证：△ABC 为直角三角形．答案1．解：(2b －2a )2－4(a －b )(c －b )＝0，4a 2－4ab －4ac ＋4bc ＝0，(a －b )(a －c )＝0，∴a ＝b 或a ＝c ，∴△ABC 是等腰三角形．2．解：(1)证明：方程x 2＋2bx ＋2c －a ＝0有两个相等的实数根，∴(2b )2－4×(2c －a )＝0，即a ＋b ＝2c .方程3cx ＋2b ＝2a 的根为0，则2b ＝2a ，a ＝b ，∴2a ＝2c ，a ＝c ，∴a ＝b ＝c ，故△ABC 为等边三角形．(2)∵a 、b 相等，∴x 2＋mx －3m ＝0有两个相等的实根，∴m 2＋4×1×3m ＝0，解得m 1＝0，m 2＝－12.∵a 、b 为正数，∴m 1＝0(不合题意，合去)，故m ＝－12.3．证明：整理原方程c (x 2＋m )＋b (x 2－m )－2max ＝0.得cx 2＋cm ＋bx 2－bm －2max ＝0，(c ＋b )x 2－2max ＋cm －bm ＝0.∵方程有两个相等的实数根，∴(－2ma )2－4(c ＋b )(cm －bm )＝0，4ma 2－4(c 2m －bcm ＋bcm －b 2m )＝0，ma 2－c 2m ＋b 2m ＝0，∴m (a 2＋b 2－c 2)＝0.又∵m >0，∴a 2＋b 2－c 2＝0，∴a 2＋b 2＝c 2.又∵a 、b 、c 为△ABC 的三边长，∴△ABC 为直角三角形．素材六数学素养提升《欧拉帮忙算鸡蛋》一天，欧拉去买鸡蛋。

九年级数学上册第二章一元二次方程知识点归纳(新版)北师大版

第二章一元二次方程1认识一元二次方程2用配方法求解一元二次方程3用公式法求解一元二次方程4用分解因式法求解一元二次方程*5 一元二次方程的根与系数的关系6 应用一元二次方程※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为ax 2bx c0 （a、b、c为常数， a≠ 0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。

．．．．．．※把ax2bx c 0 （a、b、c为常数， a≠ 0）称为一元二次方程的一般形式， a 为二次项系数； b 为一次项系数； c 为常数项。

※解一元二次方程的方法：①配方法< 即将其变为() 20的形式 >x mb b24ac②公式法 x2a（注意在找 abc 时须先把方程化为一般形式）③分解因式法把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。

（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）※配方法解一元二次方程的基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成1；③把常数项移到方程的右边；④两边加上一次项系数的一半的平方；⑤把方程转化成( x m) 20 的形式；⑥两边开方求其根。

※根与系数的关系：当b2-4ac>0 时，方程有两个不等的实数根；当 b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根；当 b2-4ac<0 时，方程无实数根。

※ 如果一元二次方程ax2bx c0 的两根分别为x1、x2，则有：x1 x2b x1 x2 c 。

a a※一元二次方程的根与系数的关系的作用：（1）已知方程的一根，求另一根；（2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的对称式的值，特别注意以下公式：① x12x22(x1x2 ) 22x1x2② 11x1 x2③x1x2x1 x2 (x1 x2 )2( x1x2 )24x1 x2④| x1x2 |(x1x2 )24x1x2⑤(| x1 | | x2 |)2( x1x2 )22x1 x2 2 | x1 x2 |⑥ x13x23( x1x2 ) 33x1x2 ( x1 x2 )⑦其他能用 x1x2或 x1x2表达的代数式。

【推荐精选】2018年秋九年级数学上册第2章一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 2.2.1 配方法第3课时用

3．用配方法解下列方程：
(1)3x2－5x＝2；(2) x2－x－4＝0.
当堂检测，及时反馈学习效果.
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
在探究新知环节中，教师应加强引导和示范．学生接触新知识基础性差，所以教师教授解答过程和方法时，应给予学生必要的板书演示．
②[讲授效果反思]
第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
课题
第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
授课人
教
学
目
标
知识技能
掌握配方法解一元二次方程的步骤，会用配方法解一元二次方程．
数学思考
通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们的数学应用意识和能力．
问题解决
探讨：方程②应如何求解呢？
设计问题引人入境，激发学生探究的兴趣.
活动
二：
实践
探究
交流新知
【探究】用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
观察方程3x2＋18x＋24＝0，它与我们上一节课所解的方程有什么不同？你有什么想法？
先让学生回答这个方程与上一节课我们所解的方程有什么不同，再动员学生思考如何把这个方程转化为上一节课我们所解的方程类型，教师提醒后，找一位同学尝试板书，然后教师投影演示．
重点问题做到重点讲解：(1)化二次项系数为1；(2)添项：一次项系数一半的平方；(3)牢记解题的步骤．
③[师生互动反思]
从课堂交流和课堂检测来看，学生能够运用配方法解一元二次方程，并且效果很好．
④[习题反思]
好题题号_______________________________________

九年级数学上册第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法2.2.3因式分解法第2课时选用适当的方法

2018年秋九年级数学上册第2章一元二次方程2.2 一元二次方程的解法2.2.3 因式分解法第2课时选用适当的方法解一元二次方程练习（新版）湘教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第2章一元二次方程2.2 一元二次方程的解法2.2.3 因式分解法第2课时选用适当的方法解一元二次方程练习（新版）湘教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第2课时选用适当的方法解一元二次方程知｜识｜目|标通过回顾一元二次方程的解法，能根据方程的特征合理地选择适当的方法解一元二次方程．目标会选用合适的方法解一元二次方程例1 教材补充例题解方程x2－5x＝0最简便的方法是（)A．直接开平方法B．因式分解法C．配方法 D．公式法【归纳总结】根据方程的形式选择不同的方法解一元二次方程例2 教材例9针对训练用适当的方法解下列方程：（1）x2－3x＋1＝0; (2)（x－1)2＝3;（3)x2－3x＝0; (4）x2－2x＝4.【归纳总结】选择合适的方法解一元二次方程的“三点”注意1．一元二次方程的四种解法中，优先选择的顺序是直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法．2．无明显符合直接开平方法与因式分解法求解特征的一元二次方程一般优先考虑使用公式法求解．3．对于形式复杂的一元二次方程,一般不要急于化为一般形式，要仔细分析其结构特征，看能否用因式分解法或直接开平方法求解,若不能，再化为一般形式．知识点选择合适的方法解一元二次方程(1）在一元二次方程的四种解法中，公式法是适用性最广的，它能解任何一个有实数根的一元二次方程,因此公式法是解一元二次方程的万能钥匙，但是有时候计算量较大．(2）对于形式特殊的一元二次方程,应根据其特征选择合适的方法求解:①缺项（缺一次项或常数项)的一元二次方程都可以用因式分解法求解；②形如(x±m）2－n＝0的方程既可以用因式分解法求解，也可以用直接开平方法求解；(注意：能够用直接开平方法求解的一元二次方程都可以用因式分解法求解）③二次项系数为1,一次项系数为偶数的方程适合用配方法求解．方程(2x－3)2＝(3x－2)2可以采用哪种方法求解?并解这个方程．详解详析【目标突破】例1[答案] B例2[解析］方程（1)是一元二次方程的一般形式,适合用公式法来解；方程(2）的左边是一个完全平方的形式，适合用直接开平方法来解;方程(3)的左边可以分解因式,适合用因式分解法来解;方程（4)的一次项系数是偶数，故适合用配方法来解．解:(1)因为a＝1，b＝－3，c＝1，所以b2－4ac＝（－3）2－4×1×1＝5＞0,所以x＝错误!，所以原方程的根为x1＝错误!，x2＝错误!.(2)两边直接开平方，得x－1＝±错误!，所以原方程的根为x1＝1＋3，x2＝1－错误!.(3)左边分解因式，得x（x－3）＝0，所以x＝0或x－3＝0,所以原方程的根为x1＝0，x2＝3。

最新新编九年级数学上册第二章一元二次方程知识点归纳新版北师大

第二章一元二次方程1 认识一元二次方程2 用配方法求解一元二次方程3 用公式法求解一元二次方程4 用分解因式法求解一元二次方程*5 一元二次方程的根与系数的关系6 应用一元二次方程※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。

※把02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。

※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为0)(2=+m x 的形式> ②公式法 aac b b x 242-±-= （注意在找abc 时须先把方程化为一般形式） ③分解因式法把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。

（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）※配方法解一元二次方程的基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成1；③把常数项移到方程的右边；④两边加上一次项系数的一半的平方；⑤把方程转化成0)(2=+m x 的形式；⑥两边开方求其根。

※根与系数的关系：当b 2-4ac>0时，方程有两个不等的实数根；当b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b 2-4ac<0时，方程无实数根。

※如果一元二次方程02=++c bx ax 的两根分别为x 1、x 2，则有：ac x x a bx x =⋅-=+2121。

※一元二次方程的根与系数的关系的作用：（1）已知方程的一根，求另一根；（2）不解方程，求二次方程的根x 1、x 2的对称式的值，特别注意以下公式：①2122122212)(x x x x x x -+=+ ②21212111x x x x x x +=+ ③212212214)()(x x x x x x -+=-④21221214)(||x x x x x x -+=- ⑤||22)(|)||(|2121221221x x x x x x x x +-+=+⑥)(3)(21213213231x x x x x x x x +-+=+ ⑦其他能用21x x +或21x x 表达的代数式。

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2.2 用配方法求解一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________
一．选择题（共10小题）
1．一元二次方程x 2﹣2=0的根是（）
A ．x=或x=﹣
B ．x=2或x=﹣2
C ．x=﹣2
D ．x=2
2．方程（x+1）2=4的解是（）
A ．x 1=﹣3，x 2=3
B ．x 1=﹣3，x 2=1
C ．x 1=﹣1，x 2=1
D ．x 1=1，x 2=3
3．已知2x 2+3与2x 2﹣4互为相反数，则x 的值为（）
A ．
B ．±
C ．
D ．
4．用配方法解方程x 2﹣x ﹣1=0时，应将其变形为（）
A ．（x ﹣）2=
B ．（x+）2=
C ．（x ﹣）2=0
D ．（x ﹣）2=
5．将一元二次方程x 2﹣4x ﹣6=0化成（x ﹣a ）2=b 的形式，则b 等于（）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
6．把一元二次方程x 2﹣4x+1=0，配成（x+p ）2=q 的形式，则p 、q 的值是（
）
A ．p=﹣2，q=5
B ．p=﹣2，q=3
C ．p=2，q=5
D ．p=2，q=3
7．不论x ，y 取何实数，代数式x 2﹣4x+y 2﹣6y+13总是（）
A ．非负数
B ．正数
C ．负数
D ．非正数
8．已知关于x 的多项式﹣x 2+mx+4的最大值为5，则m 的值可能为（）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．5
9．若x 2+y 2+4x ﹣6y+13=0，则式子x ﹣y 的值等于（）
A ．﹣1
B ．1
C ．﹣5
D ．5
10．对二次三项式x 2﹣4x ﹣1变形正确的是（）
A ．（x+2）2﹣5
B ．（x+2）2+3
C ．（x ﹣2）2﹣5
D ．（x ﹣2）2+3
二．填空题（共6小题）
11．若（x ﹣1）2=4，则x= ．
12．如果关于x 的方程bx 2=2有实数解，那么b 的取值范围是．
13．方程x 2+2x ﹣1=0配方得到（x+m ）2=2，则m= ．
14．把方程x2﹣3=2x用配方法化为（x+m）2=n的形式，则m= ，n= ．15．用配方法解一元二次方程x2+2x﹣3=0 时，方程变形正确的是（填序号）①（x﹣1）2=2 ②（x+1）2=4 ③（x﹣1）2=1④（x+1）2=7．
16．若a为实数，则代数式a2+4a﹣6的最小值为．
三．解答题（共5小题）
17．用直接开平方法解方程．
（1）（2x﹣）2=8
（2）4x2﹣256=0；
（3）（x﹣1）2=．
18．配方法解方程．
（1）x2+4x=﹣3；
（2）2x2+x=0．
19．根据要求，解答下列问题：
（1）①方程x2﹣x﹣2=0的解为；
②方程x2﹣2x﹣3=0的解为；
③方程x2﹣3x﹣4=0的解为；
…
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2﹣9x﹣10=0的解为；
②请用配方法解方程x2﹣9x﹣10=0，以验证猜想结论的正确性．
（3）应用：关于x的方程的解为x1=﹣1，x2=n+1．
20．已知x2+y2﹣4x+6y+13=0，求x2﹣6xy+9y2的值．
21．请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．
x2+6x+5=x2+2•x•3+32﹣32+5=（x+3）2﹣4，
∵（x+3）2≥0
∴当x=﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4．
请根据上述方法，解答下列问题：
（Ⅰ）x2+4x﹣1=x2+2•x•2+22﹣22﹣1=（x+a）2+b，则ab的值是；
（Ⅱ）求证：无论x取何值，代数式x2+2x+7的值都是正数；
（Ⅲ）若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值．
参考答案
一．选择题（共10小题）1．A．2．B．3．A．4．D．5．D．6．B．7．A．8．B．9．C．10．C．
二．填空题（共6小题）
11．x=3或x=﹣1．
12．b＞0．
13．1．
14．﹣1、4．
15．②．
16．﹣10．
三．解答题（共5小题）
17．（1）开方得：2x﹣=±2，
解得：x1=，x2=﹣；
（2）方程变形得：x2=64，
解得：x1=8，x2=﹣8；
（3）方程变形得：（x﹣1）2=3，
开方得：x﹣1=±，
解得：x1=1+，x1=1﹣．
18．（1）方程化为：
x2+4x+4=﹣3+4，
（x+2）2=l，
x+2=±1，
x=﹣2±1，
∴x1=﹣l，x2=﹣3；
（2）方程化为：
x2+x=0，
x2+x+=，
=，
x+=±，
x=﹣±，
∴x1=0，x2=﹣．
19．①方程x2﹣x﹣2=0的解为 x1=﹣1，x2=2；
②方程x2﹣2x﹣3=0的解为 x1=﹣1，x2=3；
③方程x2﹣3x﹣4=0的解为 x1=﹣1，x2=4；
…
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2﹣9x﹣10=0的解为 x1=﹣1，x2=10；
②x2﹣9x﹣10=0，
移项，得
x2﹣9x=10，
配方，得
x2﹣9x+=10+，
即（x﹣）2=，
开方，得
x﹣=
x1=﹣1，x2=10；
（3）应用：关于x的方程x2﹣nx﹣（n+1）=0的解为x1=﹣1，x2=n+1．
故答案为：x1=﹣1，x2=2；x1=﹣1，x2=3；x1=﹣1，x2=4；x1=﹣1，x2=10；x2﹣nx﹣（n+1）=0．20．解：x2+y2﹣4x+6y+13=0，
x2﹣4x+4+y2+6y+9=0，
（x﹣2）2+（y+3）2=0，
解得：x=2，y=﹣3，
x2﹣6xy+9y2=（x﹣3y）2=[2﹣3×（﹣3）]2=121．
21．解：（Ⅰ）∵x2+4x﹣1=x2+2•x•2+22﹣22﹣1=（x+2）2﹣5=（x+a）2+b，
∴a=2，b=﹣5，
∴ab=2×（﹣5）=﹣10．
故答案是：﹣10；
（Ⅱ）证明：x2+2x+7=x2+2x+（）2﹣（）2+7=（x+）2+1．
∵（x+）2≥0，
∴x2+2x+7的最小值是1，
∴无论x取何值，代数式x2+2x+7的值都是正数；
（Ⅲ）2x2+kx+7=（x）+2•x•+（k）2﹣（k）2+7=（x+k）2﹣k2+7．
∵（x+k）2≥0，
∴（x+k）2﹣k2+7的最小值是﹣k2+7，
∴﹣k2+7=2，
解得k=±2．。