第一章 1.3.1正弦函数的图象与性质(一)

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1.3.1（一）
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1 跟踪训练2 在[0,2π]上，满足sin x≥ 的x的取值范围是( B ) 2 π 5π π A.0，6 B.6 ， 6 π 2π 5π C.6， 3 D. 6 ，π
答
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(2)如果要作出函数y＝sin
1.3.1（一）
x，x∈[－2π，0]上的图象，你认为
应找出哪些关键点？并作出大致图象．
答
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3 π 应找出(－2π，0)，－2π，1，(－π，0)，－2，－1，(0,0)
这五个关键点， 大致图象如下：
1.3.1（一）
小结
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作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作
图．“五点”即 y＝sin x 或 y＝cos x 的图象在一个最小正周期 内的最高点、最低点和与 x 轴的交点．“五点法”是作简图的 常用方法．
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跟踪训练1
1.3.1（一）
1 用“五点法”画出函数y＝ ＋sin x，x∈[0,2π]的 2
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1.3.1（一）
2．利用“五点法”作出y＝－1＋sin x (x∈[0,2π])的简图．
解 按五个关键点列表： x
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0 0
π 2 1
π 0
3π 2 －1
2π 0
sin x
－1＋sin x －1 0 －1 －2 －1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图所示)．
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⑤连线：用平滑的曲线将这些点依次从左到右连接起来，即得y＝ sin x，x∈[0,2π]的图象．
几何画板演示
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因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sin x， x∈[2kπ，2(k＋1)π)，k∈Z且k≠0的图象，与函数y＝sin x， x∈[0,2π)的图象的形状完全一致．于是我们只要将函数y＝sin x， x∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以 得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象．
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探究点二 五点法作正弦曲线
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(1)在精度要求不太高时，y＝sin x，x∈[0,2π]可以通过找出 π 3π (0,0)，2，1，(π，0)， 2 ，－1，(2π，0) 五个关键
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点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得正弦函数的简 图． 请你在所给的坐标系中画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象．
由图象可知方程 sin x＝lg x 的解有 3 个． 小结 三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较
简便地解决问题，这正是数形结合思想方法的应用．
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1－a π 跟踪训练 3 方程 sin x＝ 在 x∈[ ， π]上有两个实数解， 求 2 3 a 的取值范围．
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1.3.1（一）
1.3.1
【学习要求】
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正弦函数的图象与性质(一)
1．了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法． 2．掌握“五点法”画正弦曲线的步骤和方法，能用“五点 法”作出简单的正弦曲线． 【学法指导】 利用“五点法”作出正弦函数的图象是本节的重点，也是进一 步通过正弦函数图象研究正弦函数性质的基础和前提，“五点 法”作图的基本步骤和要领要熟练掌握.
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1.3.1（一）
1． 方程 x＝πsin x 的解的个数为
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( C ) D．无穷多
A．1
解析
B．2
C．3
x 在同一坐标系中作出函数 y＝ 及 y＝sin x 的图象如图 π
所示：
x 由图象 y＝π与 y＝sin x 有 3 个交点，所以方程 x＝πsin x 有 3 个解．
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1.3.1（一）
问题2 如何由y＝sin x，x∈[－2π，2π]的图象，得到y＝sin |x|， x∈[－2π，2π]的图象？
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答 如图所示，y＝sin x，x∈[－2π，2π]位于 y 轴右侧的图象 不动，再把 y 轴右侧的图象沿 y 轴翻折到 y 轴左侧，原来位于 y 轴左侧的图象去掉即可．概括为“右不动，右翻左”．
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－4≤x≤4 即 sin x>0 sin x>0 满足不等式组 2 16－x ≥0
1.3.1（一）
，
，作出 y＝sin x 的图象，如图所示．
结合图象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π)．
小结
一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得
到，同时要注意区间端点的取舍．
研一，作函数 y＝sin x 和 y＝lg x 的图象，根 据图象判断出方程 sin x＝lg x 的解的个数．
解
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建立坐标系 xOy， 先用五点法画出函数 y＝sin x， x∈[0,2π]
的图象，再依次向左、右连续平移 2π 个单位，得到 y＝sin x 1 的图象．描出点10，－1，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到 y＝lg x 的图象，如图所示．
填一填·知识要点、记下疑难点
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1．正弦函数图象的画法
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(1)几何法—借助三角函数线； (2)描点法—五点法． 函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上起关键作用的点有以下五 π 3 (0,0) ， 2，1 ， (π，0) ， 2π，－1 ， (2π，0) ． 个： (3)利用五点法作函数y＝Asin x(A>0)的图象时，选取的五个 3 π (0,0) ， 2，A ， (π，0) ， 2π，－A ， 关键点依次是： (2π，0) ．
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1－a π 解 设 y1＝sin x，x∈[ ，π]，y2＝ . 3 2 π y1＝sin x，x∈[3，π]的图象如图． 3 1－a 由图象可知，当 2 ≤ 2 <1，即－1<a≤1 π － 3时，y＝sin x，x∈[3， 1－a 1－a π]的图象与 y＝ 2 的图象有两个交点，即方程 sin x＝ 2 在 π x∈[ ，π]上有两个实数解． 3
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[典型例题]
1.3.1（一）
例 1 利用“五点法”作出函数 y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图．
解
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取值列表： x sin x 1－sin x 0 0 1 π 2 1 0 π 0 1 3π 2 －1 2 2π 0 1
描点、连线，如图所示．
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填一填·知识要点、记下疑难点
1.3.1（一）
2．正弦曲线的简单变换 (1)函数 y＝－sin x 的图象与 y＝sin x 的图象关于 x轴 对称；
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(2)函数 y＝sin x 与 y＝sin x＋k 图象间的关系． 当 k>0 时，把 y＝sin x 的图象向 上 平移 k 个单位得到函数 y＝sin x＋k 的图象； 当 k<0 时，把 y＝sin x 的图象向 下 平移 |k| 个单位得到函数 y＝sin x＋k 的图象.
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1.3.1（一）
探究点一
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几何法作正弦曲线
利用几何法作正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象的过程如下： ①作直角坐标系，并在直角坐标系y轴的左侧画单位圆，如图所 示． ②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确)．过单 π π 位圆上的各分点作 x轴 的垂线，可以得到对应于0， ， ， 6 3 π ，„，2π等角的正弦线． 2 ③找横坐标：把x轴上从0 到 2π (2π≈6.28)这一段分成12等份． ④找纵坐标：将 正弦 线对应平移，即可得到相应点的纵坐标．
简图． 解 取值列表如下：
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x sin x 1 ＋sin x 2 描点、连线，如图所示．
0 0 1 2
π 2 1 3 2
π 0 1 2
3 2π －1 1 － 2
2π 0 1 2
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例 2 求函数 f(x)＝lg sin x＋ 16－x2的定义域．
解 由题意，x
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探究点三 含绝对值的正弦函数的图象
1.3.1（一）
问题1 如何由y＝sin x，x∈[－2π，2π]的图象得到y＝|sin x|， x∈[－2π，2π]的图象？
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答
如图所示，y＝sin x，x∈[－2π，2π]位于 x 轴上方的图象保
持不变，把 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方即可．概括为 “上不动，下翻上”．
几何画板演示
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1.3.1（一）
1．正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的
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应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．
2．五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点 法作图有关的问题是高考常考知识点之一．
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1 log2 －1的定义域． sin x
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