高二数学两条直线的位置关系9
高二数学两条直线的位置关系及其判定人教版知识精讲
高二数学两条直线的位置关系及其判定人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：两条直线的位置关系及其判定二. 重点难点：1. 两条直线的位置关系（1）相交直线有且仅有一个公共点（2）平行直线在同一平面内，无公共点（3）异面直线不同在任何一个平面内，无公共点2. 平行公理3. 平行的判定（法一）平行公理（法二）中位线（法三）平行四边形4. 异面的判定反证法【典型例题】（一）平行直线[例1] 如图，正方体，E、F、G、H、M、N为各棱中点，求证：EFGHMN 为正六边形。
证：显然EF=FG=GH=HM=MN=NEE、F为中点，EF//BD∴EF//NG 确定平面同理，FG//EH确定平面与有三个不在同一条直线上三点E、F、G∴重合∴E、F、G、H、N五点共面同理E、F、G、H、M、N六点共面且EF//MH、FG//NM、EN//GH∴EFGHMN是正六边形[例2] 如图，E、F、G、H、M、N为四面体ABCD各棱中点，求证：EF、GH、MN三条线段交于一点且两两平分。
证明：∴EF、GH互相平分设同理EMFN∴EF、MN互相平分∴EF、GH、MN三条线交于一点且互相平分（二）异面直线证明[例1] 为异面直线，A、，C、。
求证：（1）AC、BD成异面直线；（2）AD、BC为异面直线。
证：（1）假设AC、BD非异面直线则存在平面过AC、BD即：AC、BD∴A、B、C、D∵A、B，C、D∴、与已知矛盾∴假设不成立∴AC、BD为异面直线（2）同理可证。
[例2] 不共面直线交于一点O，，求证：MN、PQ为异面直线。
证：假设MN、PQ为共面直线∴存在平面，过MN、PQ∴MN、PQ∴∴又∵，，；∴即共面∴与已知矛盾∴假设不成立∴原命题真（三）异面直线判断[例1] 如图正方体中，（1）与对角线成异面的直线的棱有多少条？（2）与AB成异面直线的棱有多少条？（3）与BD成异面直线的棱有多少条？（4）正方体12条棱中异面直线共有多少对？解：（1）6条：（2）4条：（3）6条：（4）24对：与AB异面的共4对，12条棱。
两条直线的位置关系与点到直线的距离(有答案精品绝对好)
两条直线的位置关系与点到直线的距离(20131126)讲义1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，特别地，当直线l 1、l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为平行．(2)两条直线垂直①如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.②如果l 1、l 2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l 1与l 2的关系为垂直．2．两直线相交交点：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解．3．三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 4.两条直线的夹角.设直线l 1的斜率为k 1，l 2的斜率为k 2，l 1到l 2的角为α，l 1与l 2的夹角为β，则tan 12121k k k k +-=α，tan 12121k k k k +-=β.一条规律与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：一般地，平行的直线方程设为Ax ＋By ＋m ＝0；垂直的直线方程设为Bx －Ay ＋n ＝0.两个防范(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．三种对称(1)点关于点的对称 点P (x 0，y 0)关于A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)．(2)点关于直线的对称设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点P ′(x ′，y ′)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ y ′－y 0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x 02＋b ，可求出x ′，y ′.特别说明:P (x 0，y 0)关于直线Ax +By +C =0的对称点是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--+---22002222002222)(,22)(B A BC ABx y B A B A AC ABy x A B . (3)直线关于直线的对称①若已知直线l 1与对称轴l 相交，则交点必在与l 1对称的直线l 2上，然后再求出l 1上任一个已知点P 1关于对称轴l 对称的点P 2，那么经过交点及点P 2的直线就是l 2；②若已知直线l 1与对称轴l 平行，则与l 1对称的直线和l 1分别到直线l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l 1的对称直线．例1 经过(2,0)A -，(5,3)B -两点的直线的斜率是____________，倾斜角是_______．考向一 两条直线平行与垂直的判定及应用【例2】►(1)已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则实数a ＝________.(2)“ab ＝4”是直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行的( )．A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件例3直线l 过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程是（ ）A ．3210x y +-=B ．3270x y ++=C ．2350x y -+=D ．2380x y -+=例4 已知过点(2,)A m -和点(,4)B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．8-C ．2D ．10【训练1】 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，求m 的值，使得：(1)l 1与l 2相交；(2)l 1⊥l 2；(3)l 1∥l 2；(4)l 1，l 2重合．考向二 两直线的交点【例5】►求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．【训练2】 直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段的中点为P (－1,2)，求直线l 的方程．考向三 距离公式的应用例6、求点)2,3(P -到下列直线的距离：（1）01y 4x 3=+-；（2）y=6；（3）y 轴。
两条直线的位置关系----夹角
解：设L1，L2，L3的斜率分别为k1 k2、k3，L1到L2的角是θ1，L2
L2
Y
L3
到L3的角是θ2 ，则
θ2
L1
k1
1 2 , k2
1
tan1
k2 k1 1 k1k2
1
1 2
1 1
1 2
3
O
X
θ1
tan 2
k3 k2 1 k3k2
2、两条直线的到角和夹角公式推导； 3、应用公式求两条直线的到角和夹角。
作业： 习题7 ·3 8，9
或θ=π-（α1－α2）=π+（α2－α1）
∴tanθ=tan（α2－α1）或tanθ=tan π+（α2－α1） =tan（α2－α1）
tan tan2 tan1 k2 k1 1 tan2 tan1 1 k1k2
直线L1到L2的角公式：
tan k2 k1
L1 L1
L2
是哪一条 呢？
A
练一练：
根据下列直线方程，在同一坐标系中作出直线L1， L2；并标出L1到L2和L2到L1的角；同时探求两角的 大小。 1、L1：y=x+1 L2:x=1
2、L1: y=x+1 L2: y= 3 x
L2
y
θ2 θ1
L1
y
θ1
θ2
L1
α1 1
α2
0
1
x
图一
α1 α2
0
练习：已知直线L1：A1x+B1y+C1=0和L2：A2x+B2y+C2=0 （B1≠0，B2≠0，A1A2+B1B2≠0）直线L1到直线L2
高二数学两条直线的位置关系试题答案及解析
高二数学两条直线的位置关系试题答案及解析1.已知点A（﹣2，4），B（4，2），直线l：ax﹣y+8﹣a=0，若直线l与直线AB平行，则a= _________．【答案】【解析】两直线平行斜率相等且截距不相等，计算得，答案为.【考点】直线平行的位置关系2.若直线与直线互相垂直，那么的值等于 ( )A．1B．C．D．【答案】D【解析】若直线垂直，则斜率之积为-1，即,故为D.【考点】直线垂直与直线方程.3.（1）推导点到直线的距离公式；（2）已知直线：和：互相平行，求实数的值.【答案】（1）详见解析；（2）或【解析】（1）设点，直线，过点做直线的垂线，垂足为，求出点的坐标，在直线上在取不同于点的一点，用两点间距离可求得，根据直角三角形中勾股定理可求得，即点到直线的距离。
（2）根据两直线平行斜率相等即可求出。
试题解析：（1）（略） 6分（2）∥，，解得1或-3.经检验均符合题意，故1或-3. 12分【考点】1点到线的距离公式；2两直线平行时斜率的关系。
4.若直线与直线平行，则实数( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因两直线平行，所以，解得。
故D正确。
【考点】两直线平行。
5.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．【答案】（1）（2）直线的方程为，切点坐标为【解析】（1）在点处的切线的斜率，切线的方程为；（2）设切点为，则直线的斜率为，直线的方程为：．又直线过点，，整理，得，，，的斜率，直线的方程为，切点坐标为【考点】直线与曲线相切问题及导数的几何意义点评：求曲线过某一点处的切线时，通常设出切点，利用切点坐标满足直线方程，曲线方程及曲线在切点处的导数值等于切线斜率找到关于切点的关系式即可求得切点6.已知直线的一个法向量为，且经过点，则直线的方程是．【答案】【解析】因为根据题意可知直线的一个法向量为,因此可知垂直于直线l 的直线斜率为，直线l的斜率为其负倒数，即为那么利用点斜式可知直线l的方程为=,变形可知为。
高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系-两条直线的夹角 课件
11.3 两条直线的夹角
我们已经学习了两直线的位置关系有 平行、重合和相交。当两条直线相交时， 用什么“量”来描述两条直线的相对位置 关系呢？
1、两条直线的夹角的定义
问题
2、求两条直线的夹角
系数确定直线的方程，方程确定直线及其位置， 所以可以利用方程系数来计算夹角。
例1
例2
例3
为你制造一些困难和障碍的人未必是你的敌人，把你从困境里拉出来的人未必是你的朋友。不要用眼前的利益得失看人，要看长远，所谓路遥 知马力，日久见人心！
身体健康，学习进步！ 漫无目的的生活就像出海航行而没有指南针。
合理安排时间，就等于节约时间。——培根 书都读得来的人，还怕有什么做不来的。 能说不能做，不是真智慧。 一分耕耘，一分收获。孩子们，你想明天收获幸福吗？那今天就努力学习吧。——刘玉春
小结
本节课学习了哪பைடு நூலகம்内容？
萤火虫的光点虽然微弱，但亮着便是向黑暗挑战。 小时候画在手上的表没有动，却带走了我们最好的时光。 你身边总有这样一种人：你成功了，他（她）当面恭喜你，暗地里妒嫉你；你失败了，他（她）当面安慰你，背地里笑话你。 通过云端的道路，只亲吻攀登者的足迹。 君子赠人以言，庶人赠人以财。——荀况 我的财富并不是因为我拥有很多，而是我要求的很少。 要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃 时间总会过去的，让时间流走你的烦恼吧！ 这个是世界上没有天才，所谓的天才只是比普通人多了百分之一的天赋。如果这个天赋运用不好，那么他就可能变成百分之十的累赘。 如果要给美好人生一个定义，那就是惬意。如果要给惬意一个定义，那就是三五知己、谈笑风生。 世上的事，不如己意者，那是当然的。 生命假如给予你的是一颗柠檬，不要抱怨，下工夫把它榨成一杯柠檬汁吧。 当你被压力压得透不过气来的时候，记住，碳正是因为压力而变成闪耀的钻石。 愚痴的人，一直想要别人了解他。有智慧的人，却努力的了解自己。
两条直线的位置关系(高二文科数学第一轮复习)
设直线l1 : x my 6 0和直线l2： (m 2) x 3 y 2m 0
1、充分考虑斜率是否存在，即B是否为0；分类讨论思想
2、 l1
l2 A1 A2 B1B2 0
7
课堂检测：
1、过A(-2,m)和B(m,4)的直线与2x-y+1=0平行,则m=（
1 平行； ２ 垂直;(3)相交
(1)注意斜率是否存在。
1 当a 0时，l1 : y x 2; l2 : x 1; 两直线相交 （1）解： 2 a 1 1 1 当a 0时，l1 : y x 2; l2 : y x ; 2 a a
a 1 1 1 即 ,2 当k1=k2，b1≠b2时， 2 a a
2015-2-6
10
(2)l1 : 3 x 4 y 5 0; l2 : 6 x 8 y 1 0
平行
(3)l1 : 3 x 4 y 5 0; l2 : 6 x 8 y 10 0 重合 (4)l1 : 2 x y 0; l2 : x 2 y 1 0 垂直
4
A.-8 B.0 C.2 D.10
B）
2、经过两条直线2x-3y+10=0和3x+4y-2=0的交点，且垂直
2x+3y-2=0 于直线3x-2y+4=0的直线方程是_______________________
1或-3 3、直线ax+(1-a)y=3与直线(a-1)x+(2a+3)y=2垂直,a=_____
课前演练： 1、已知点P(1,1)和直线l：3x+4y－20＝0，
3 x 4 y 7 0 则过点P且与l平行的直线方程为_________________；
考点35 高中数学-直线的位置关系-考点总结和习题
考点35直线的位置关系【命题趋势】此知识点常出现在圆锥曲线试题中的某一步，必须熟练掌握，有时高考也会单独出题，值得注意.（1）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.（2）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.（3）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.【重要考向】一、两直线平行与垂直的判断及应用二、两直线的相交与定点问题三、距离问题四、对称问题两直线平行与垂直的判断及应用斜截式→111222::l y k x b l y k x b =+=+一般式→11112222:0:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1l 与2l 相交12k k ≠12210A B A B -≠1l 与2l 垂直121k k =-12120A AB B +=1l 与2l 平行12k k =且12b b ≠1221122100A B A B B C B C -=⎧⎨-≠⎩或1221122100A B A B AC A C -=⎧⎨-≠⎩1l 与2l 重合12k k =且12b b =1221122112210A B A B A C A C B C B C -=-=-=【巧学妙记】1.1．（2021·全国高二课时练习）(多选)下列直线l 1与直线l 2平行的有（）A ．直线l 1经过点A (2，1)，B (-3，5)，直线l 2过点C (3，-3)，D (8，-7)B ．直线l 1经过点A (0，1)，B (-2，-1)，直线l 2过点C (3，4)，D (5，2)C．直线l 1经过点A (1，B (2，)，直线l 2的倾斜角为60°且过原点D ．直线l 1经过点A (0，2)，B (0，1)，直线l 2的斜率为0【答案】AC 【分析】直接利用两直线平行的条件进行判断.【详解】A 选项中，()375144====325385AB CD k k ---------，，且两直线不重合，故l 1//l 2；B 选项中，1142==1==12035AB CD k k -------，，∵AB CD k k ≠，∴两直线不平行；C选项中，233==tan 6021AB CD k k - ，且两直线不重合，故l 1//l 2；D 选项中，l 1斜率不存在，l 2的斜率为0，∴两直线不平行.故选：AC 【点睛】解析几何中判断直接利用两直线平行的方法:(1)若两直线斜率都不存在,两直线平行;(2)两直线的斜率都存在,且k 1=k 2,b 1≠b 2,则两直线平行;(3)若用一般式表示的直线,不用讨论斜率是否存在,只要A 1B 2=A 2B 1,B 1C 2≠B 2C 12.（2021·全国高三专题练习）已知2320a a -+=，则直线1l ：()30ax a y a +--=和直线2l ：()()623540a x a y a -+--+=的位置关系为（）A ．垂直或平行B ．垂直或相交C ．平行或相交D ．垂直或重合【答案】D 【分析】因为2320a a -+=，所以1a =或2a =；当1a =时，121k k ×=-则直线垂直，当2a =时，两直线重合.【详解】因为2320a a -+=，所以1a =或2a =.当1a =时，1l ：210x y +-=，2l ：4230--=x y ，112k =-，22k =所以121k k ×=-，则两直线垂直；当2a =时，1l ：220x y +-=，2l ：220x y +-=，则两直线重合.故选：D3.（2021·四川南充市·高二期末（理））“20a b +=”是“直线230ax y ++=和直线20x by ++=互相垂直”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】解：若0b ≠时，由230ax y ++=，得322ay x =--，则12a k =-，由20x by ++=，得12y xb b =--，则21k b=-，若两直线垂直，则121k k =-，则112a b ⎛⎫⎛⎫-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得20a b +=，若0b =时，20x by ++=可化为2x =-，0a =时，230ax y ++=可化为32y =-，此时直线2x =-与32y =-垂直，满足20a b +=，所以由20a b +=可得直线230ax y ++=和直线20x by ++=互相垂直，由直线230ax y ++=和直线20x by ++=互相垂直，可得20a b +=，所以“20a b +=”是“直线230ax y ++=和直线20x by ++=互相垂直”的充要条件，故选：C两直线的相交与定点问题对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，1l 与2l 的交点坐标就是方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解．（1）方程组有唯一解⇔1l 与2l 相交，交点坐标就是方程组的解；（2）方程组无解⇔1l ∥2l ；（3）方程组有无数解⇔1l 与2l 重合．有两种方法：（1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.（2）分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为零的形式，然后令含参数的项和不含参数的项分别为零，解方程组所得的解即为所求定点.【巧学妙记】4.（2021·全国高二课时练习）若直线5x＋4y－2m－1＝0与直线2x＋3y－m＝0的交点在第三象限，则实数m的取值范围是________．【答案】3 (,2 -∞-【分析】先联立两直线的方程，求得交点坐标，再根据交点在第三象限求解.【详解】由54210,230,x y mx y m+--=⎧⎨+-=⎩得23,72,7mxmy+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩所以两直线的交点坐标为232 (,)77m m+-.又此交点在第三象限，所以230,720,7mm+⎧<⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩解得m＜3 2-，所以实数m的取值范围是3 (,)2 -∞-.故答案为：3 (,)2 -∞-5.不论m 为何值，直线()()3121120m x m y -++-=过定点（）A ．11,2⎛⎫-⎪⎝⎭B ．()2,3C ．()2,3-D ．()2,0【答案】C 【分析】整理直线方程()()3121120m x m y -++-=得()()3232120m x y x y +--+=，故直线()()3121120m x m y -++-=过320x y +=与32120x y -+=的交点，联立方程求解即可得答案.【详解】解：整理直线方程()()3121120m x m y -++-=得：()()3232120m x y x y +--+=，故直线()()3121120m x m y -++-=过320x y +=与32120x y -+=的交点，联立方程32032120x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得2,3x y =-=，故直线()()3121120m x m y -++-=过定点()2,3-.故选：C.【点睛】本题考查直线系方程过定点问题，考查基本运算，是基础题.6.（2020·广东高三专题练习）已知直线(31)(1)20k x k y +-++=过定点M ，曲线:ln 3C y x x x =+，则过点M 的曲线C 的切线方程为__________．【答案】410x y --=【分析】首先求直线所过的定点，再根据导数的几何意义求曲线的切线方程.【详解】由(31)(1)20k x k y +-++=可得(3)20x y k x y -+-+=，令3020x y x y -=⎧⎨-+=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，所以点M 的坐标为(1,3)，显然点(1,3)M 在曲线:ln 3C y x x x =+上，因为ln 4y'x =+，所以过点M 的曲线C 的切线的斜率ln144k =+=，故所求切线的方程为34(1)-=-y x ，即410x y --=．故答案为:410x y --=．距离问题（1）平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离|P 1P 2|（2）点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d（3）两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d．【巧学妙记】7.（2021·全国）已知:(2)(12)430()l m x m y m m R ++-+-=∈过定点A ，则点A 到直线:1m x y +=的距离是（）A ．4B ．C ．2D【答案】B 【分析】先求出直线经过的定点，再求点到直线的距离.【详解】由题得22430,24(23)0x mx y my m x y x y ++-+-=∴+++--=，所以2+40230x y x y +=⎧⎨--=⎩，解之得1,2x y =-=-，所以(1,2)A --,所以点A 到直线:1m x y +==.故选：B 【点睛】方法点睛：定点问题：求直线或曲线经过的定点，常用分离参数法：一般可以根据需要选定参数R λ∈，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式2123(,)(,)(,)0f x y f x y f x y λλ++=，（一般地，(,)(1,2,3)i f x y i =为关于,x y 的二元一次关系式）由上述原理可得方程组123(,)0{(,)0(,)0f x y f x y f x y ===，从而求得该定点.8.（2020·南京师范大学附属扬子中学高一开学考试）已知直线:20l kx y k -+-=过定点M ，点(,)P x y 在直线210x y +-=上，则||MP 的最小值是（）A ．55B ．355C ．255D【答案】B 【分析】令直线l 的参数k 的系数等于零，求得定点M 的坐标，利用两点间的距离公式、二次函数的性质，求得||MP 的最小值．【详解】直线:20l kx y k -+-=，即(1)20k x y --+=，令1020x y -=⎧⎨-+=⎩解得12x y =⎧⎨=⎩故直线过定点(1,2)M ，点(,)P x y 在直线210x y +-=上，∴min ||MP 为点M 到直线的距离，min ||5MP ∴===，||MP 取得最小值为355，故选：B ．【点睛】本题主要考查直线经过定点问题，点到直线的距离公式的应用，考查了转化思想，属于中档题．9.（2021·河南焦作市·高一期末）已知直线()1:2230l x a y a +-+=，2:460l ax y ++=，a ∈R .（1）若1l 恒过定点M ，求点M 的坐标；（2）当12l l //时，求直线1l 与2l 之间的距离.【答案】（1）()3,3--；（2）924【分析】（1）将直线方程化简()2230x y a y -++=，解方程组30220y x y +=⎧⎨-=⎩即可；（2）根据直线平行求出参数的值，再根据平行直线的距离公式求解.【详解】（1）直线1l 的方程可化为()2230x y a y -++=.为了不受参数a 的影响，则需使30220y x y +=⎧⎨-=⎩，解得33x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线1l 恒过定点()3,3--；（2）当12l l //时，有()()28012620a a a a --=⎧⎪⎨--≠⎪⎩解得4a =.所以1:22120l x y ++=，2:4460l x y ++=，即2230x y ++=，符合题意；所以直线1l 与2l之间的距离4d ==.【点睛】此题考查求直线的定点，根据两条直线平行求参数的值，求平行直线之间的距离，关键在于熟练掌握相关公式进行化简计算.对称问题（1）中心对称：点(,)B x y 为点11(,)A x y 与22(,)C x y 的中点，中点坐标公式为121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩．（2）轴对称：若点P 关于直线l 的对称点为P'，则PP'l P P'l ⊥⎧⎨⎩直线与的中点在上．【巧学妙记】10.（2020·奉新县第一中学高二月考（理））设定点(3,1)A ，B 是x 轴上的动点，C 是直线y x =上的动点，则ABC 周长的最小值是（）A B ．C ．D【答案】B 【分析】作(3,1)A 关于y x =的对称点(1,3)A '，关于x 轴的对称点(3,1)A ''-，根据两点间线段最短，则A A '''的长即为所求.【详解】解：作出点(3,1)A 关于y x =的对称点(1,3)A '，关于x 轴的对称点(3,1)A ''-，连接A A '''，交直线y x =于点C ，交x 轴于点B ，如图，，则,AC A C AB A B '''==，ABC ∴周长的最小值为A A '''==.故选：B.【点睛】考查公理“两点间线段最短”的应用，基础题.11.（2021·全国高二课时练习）若直线1:(4)l y k x =-与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2过定点A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(2,4)-D ．(4,2)-【答案】B【分析】先求出l 1的定点，再利用点关于点的对称求出l 1的定点的对称点，该点即为所求点.【详解】直线1:(4)l y k x =-恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线1:(4)l y k x =-与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2恒过定点(0,2).【点睛】本题考查直线关于点对称的相关问题，利用对称性求解是解题的关键，属基础题.12.（2021·全国高二专题练习）直线2410x y --=关于0x y +=对称的直线方程为（）A ．4210x y --=B ．4210x y -+=C ．4210x y ++=D ．4210x y +-=【答案】A 【分析】利用点关于直线对称点的求法可求得直线2410x y --=上一点()00,P x y 关于直线0x y +=的对称点，代入直线2410x y --=中即可得到对称直线方程.【详解】设直线2410x y --=上一点()00,P x y 关于直线0x y +=对称点的坐标为(),P x y '，则0001022y y x x x x y y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪+=⎪⎩，整理可得：00x y y x =-⎧⎨=-⎩，2410y x ∴-+-=，即直线2410x y --=关于0x y +=对称的直线方程为：4210x y --=.故选：A.【点睛】方法点睛：本题考查直线关于对称轴的对称直线的求解，解决思路是将直线上一点坐标，利用其关于对称轴的对称点坐标表示出来，代入原直线即可，核心依然是求解点关于直线的对称点的求解.求解点(),M a b 关于直线y kx m =+的对称点(),M x y '的基本方法如下：①M 与M '连线与直线y kx m =+垂直，即1y bk x a -⋅=--；②MM '中点在直线y kx m =+上，即22y b x ak m ++=⋅+；③M 与M '到直线y kx m =+=；上述三个等量关系中任选两个构成方程组，即可求得对称点M '坐标.一、单选题1．若两直线()1:1320l a x y ---=与()2:120l x a y -++=平行，则a 的值为（）A ．2±B ．2C ．2-D ．02．已知点()0,4A ，()10B ,，动点P 在直线1x =-上，则||PA PB +的最小值是（）A ．3B ．4C ．5D ．63．设曲线2xy x =-在点()3,3处的切线与直线10ax y ++=平行，则a 等于（）A ．12B ．2C ．12-D ．2-4．若点P 是曲线2ln 1y x x =--上任意一点，则点P 到直线3y x =-的最小距离为（）A ．1B ．22CD ．25．对圆221x y +=上任意一点(),P x y ，若34349x y a x y -+---的值都与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是（）A ．5a ≤-B ．55a -≤≤C ．5a ≤-或5a ≥D ．5a ≥6．已知0a >，0b >，直线1:(4)10l x a y +-+=，2:220l bx y +-=，且12l l ⊥，则2112a a b+++的最小值为（）A ．2B ．4C ．45D ．957．已知集合(){},0A x y x ay a =+-=，()(){},2310B x y ax a y =++-=.若A B =∅ ，则实数a =（）A ．3B ．1-C ．3或1-D ．3-或1二、解答题8．已知直线1:(2)80l m x my ++-=与直线2:40,l mx y m R +-=∈．（1）若12l l //，求m 的值；（2）若点()1,P m 在直线2l 上，直线l 过点P ，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l 的方程．三、填空题9．点P 是f (x )＝x 2上任意一点，则点P 到直线y ＝x －1的最短距离是________．10．若直线1l ：220x ay +-=与直线2l ：0x y a -+=平行，则直线1l 与2l 之间的距离为______．11．点()0,1-到直线()1y k x =+距离的最大值为___________.12．已知a R ∈，b R ∈______．13．已知函数()2ln f x x x =+，点P 为函数()f x 图象上一动点，则P 到直线34y x =-距离的最小值为___________.(注ln 20.69≈)四、双空题14．若直线1:20++=l x y a 与直线2:30--=l ax y 平行，则实数a =______，直线1l 与2l 之间的距离为______．一、单选题1．（2021·全国高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（）A．1B ．2C ．D ．42．（2021·全国高考真题（文））点()3,0到双曲线221169x y -=的一条渐近线的距离为（）A ．95B ．85C ．65D ．453．（2020·浙江高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =图像上的点，则|OP |=（）A．222B ．4105C D 4．（2020·全国高考真题（文））点(0，﹣1)到直线()1y k x =+距离的最大值为（）A ．1B C D ．25．（2018·全国高考真题（文））已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为A B ．2C ．322D ．6．（2016·北京高考真题（文））圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为()A ．1B ．2C ．D ．7．（2016·北京高考真题（文））已知A （2,5），B （4,1）.若点P （x ,y ）在线段AB 上，则2x −y 的最大值为A ．−1B ．3C ．7D ．8二、双空题8．（2021·浙江高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，焦点1(,0)F c -，2(,0)F c (0)c >，若过1F 的直线和圆22212x c y c ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.9．（2020·北京高考真题）已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．三、填空题10．（2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．11．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.12．（2017·上海高考真题）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合{}1234,,,P P P P Ω=，点P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“”的点分布在P l 的两侧.用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧和另一侧的“”的点到P l 的距离之和.若过P 的直线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l =，则Ω中所有这样的P 为________四、解答题13．（2018·全国高考真题（文））设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：ABM ABN ∠=∠．一、单选题1．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（文））“直线240ax y ++=与直线()120x a y +-+=平行”是“1a =-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2021·全国高三其他模拟（理））若双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线与圆()2221x y +-=相切，则双曲线的渐近线方程是（）A ．y =B ．33y x =±C ．13y x=±D ．3y x=±3．（2021·四川攀枝花市·高三三模（文））过直线1y x =+上的点P 作圆()()22:211C x y -++=的两条切线1l ，2l ，若直线1l ，2l 关于直线1y x =+对称，则PC =（）．A B ．C ．D ．4．（2021·全国高三其他模拟）已知点()0,1A ，点B 在抛物线2y x =上，则AB 的最小值为（）A ．2B ．1C ．32D ．125．（2021·北京高三二模）过原点且倾斜角为45︒的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为（）A ．B ．3C ．D ．86．（2021·四川高三三模（理））圆2240x y y ++=的圆心到经过点()3,3M --的直线l 的l 的方程为（）A ．290x y +-=或230x y -+=B ．290x y ++=或230x y -+=C ．290x y ++=或230x y --=D ．290x y -+=或230x y -+=7．（2021·湖北省团风中学高三其他模拟）已知直线1l ：10x ay +-=，2l ：()2330a x y a ++-=，则“3a =-”是“12//l l ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2021·全国高三其他模拟）如图，在矩形ABCD 中，BC =，直线AC 的斜率为3，则直线BC 的斜率为（）A B ．32C ．233D ．9．（2021·全国高三其他模拟）已知函数()235f x x ax a =-+的图象在点()()1,1A f 处的切线与直线:320l x y -+=垂直，则()f x =（）A ．253x x +-B ．2513x x -+C ．253x x -+D ．2513x x +-二、多选题10．（2021·山东青岛市·高三三模）在平面直角坐标系中，()23,,8,8,7,0,2A t B m m C m O t ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为坐标原点，P 为x 轴上的动点，则下列说法正确的是（）A ．OA的最小值为2B ．若1,4t m ==，则ABC 的面积等于4C ．若1,4t m ==，则||||PA PB +的最小值为5D ．若()sin ,0,t θθπ=∈，且CA 与CB 的夹角0,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则(),5m ∞∈-三、填空题11．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三月考（文））已知直线1l ：()210ax a y +++=，2l ：20x ay ++=，a R ∈，若12//l l ，则a =___________.12．（2021·全国高三其他模拟）已知抛物线2:4C y x =的焦点F 到直线:l y b =+的，且直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，则AF BF +=___________.参考答案跟踪训练1．A 【分析】根据两直线平行的充要条件可得(1)(1)(3)10a a -+---⨯=，即可求a 的值.【详解】由题意知：(1)(1)(3)10a a -+---⨯=，整理得240a -=，∴2a =±，故选：A2．C 【分析】求得B 关于直线1x =-的对称点C ，利用两点间的距离公式求得||PA PB +的最小值.【详解】B 关于直线1x =-的对称点C 的坐标为()3,0-，则PB PC =，则||PA PB +的最小值是5AC ==.故选：C3．B 【分析】利用导数求出曲线2xy x =-在点()3,3处的切线的斜率，利用两直线平行可得出实数a 的值.【详解】对函数2x y x =-求导得()()222222x x y x x --'==---，由已知条件可得32x a y ='-==-，所以，2a =.故选：B.4．C 【分析】由已知可知曲线2ln 1y x x =--在点P 处的切线与直线3y x =-平行，利用导数求出点P 的坐标，利用点到直线的距离公式可求得结果.【详解】因为点P 是曲线2ln 1y x x =--任意一点，所以当点P 处的切线和直线3y x =-平行时，点P 到直线的3y x =-的距离最小，因为直线3y x =-的斜率等于1，曲线2ln 1y x x =--的导数12y x x'=-，令1y '=，可得1x =或12x =-（舍去），所以在曲线2ln 1y x x =--与直线3y x =-平行的切线经过的切点坐标为()1,0，所以点P 到直线3y x =-的最小距离为d ==.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查曲线上的点到直线距离的最小值的求解，解题的关键在于分析出曲线在点P 处的切线与直线平行，进而利用导数求解.5．A 【分析】将34349x y a x y -+---转化为34545359x y a x y -+---⎛⎫⎪⎝⎭，然后根据几何意义进行解题即可.【详解】3434934395545x y a x y x y a x y -+---+--⎛⎫= ⎪⎝-⎭-等价于圆221x y +=上任意一点(),P x y 到直线340x y a -+=和直线3490x y --=的距离的差的5倍，而距离之差与x ，y 无关，则直线340x y a -+=与圆相切或相离，且与直线3490x y --=位于圆的同侧，所以15a≥，即5a ≥或5a ≤-，由于直线340x y a -+=与直线3490x y --=位于圆221x y +=的同侧，所以5a ≤-故选：A.6．D 【分析】根据12l l ⊥得到240b a +-=，再将2112a a b+++化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.【详解】因为12l l ⊥，所以240b a +-=，即125a b ++=，因为0a >，0b >，所以10a +>，20b >，所以21111111211(12)1211212125512a b a a b a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=++=+⨯+++=+++ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭149211555⎛≥++=+= ⎝，当且仅当32a =，54b =时，等号成立．故选：D .【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7．A 【分析】将问题转化为“直线0x ay a +-=与直线()2310ax a y ++-=互相平行”，由此求解出a的取值.【详解】因为A B =∅ ，所以直线0x ay a +-=与直线()2310ax a y ++-=没有交点，所以直线0x ay a +-=与直线()2310ax a y ++-=互相平行，所以()1230a a a ⨯+-⨯=，解得1a =-或3a =，当1a =-时，两直线为：10x y -+=，10x y -+-=，此时两直线重合，不满足，当3a =时，两直线为：330x y +-=，3910x y +-=，此时两直线平行，满足，所以a 的值为3，故选：A.8．（1）1m =-，（2）10x y -+=或2y x =【分析】（1）由题意可知0m ≠，所以可得2814m m m +-=≠-，从而可求出m 的值；（2）将点()1,P m 的坐标代入直线2l 的方程中，求出m 的值，从而可得点P 的坐标，然后设出直线l 方程，利用两坐标轴上的截距之和为0，列方程可求出直线方程【详解】解：（1）因为12l l //，所以0m ≠，且2814m m m +-=≠-，由21m mm +=，得220m m --=，解得1m =-或2m =（舍去）所以1m =-，（2）因为点()1,P m 在直线2l 上，所以40m m +-=，得2m =，所以点P 的坐标为(1,2)，所以设直线l 的方程为2(1)y k x -=-（0k ≠），令0x =，则2y k =-，令0y =，则21x k=-，因为直线l 在两坐标轴上的截距之和为0，所以2120k k-+-=，解得1k =或2k =，所以直线l 的方程为10x y -+=或2y x =9．328【分析】先求直线y ＝x －1平行的f (x )＝x 2的切线的切点，设切点为(x 0，y 0)，根据导数的几何意义，求导可得f ′(x 0)＝2x 0＝1，利用距离公式即可得解.【详解】与直线y ＝x －1平行的f (x )＝x 2的切线的切点到直线y ＝x －1的距离最小．设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝2x 0＝1，∴x 0＝12，y 0＝14.即P 11(,)24到直线y ＝x －1的距离最短．∴d8.故答案为：328.10．2【分析】先根据直线1l 与2l 平行求出参数a ，再由两平行直线间的距离公式可得答案.【详解】∵直线1l 与2l 平行，∴2211a a-=≠-，解得2a =-，∴直线1l ：10x y --=，直线2l ：20x y --=，∴直线1l 与2l 之间的距离22d==．故答案为：211【分析】直线()1y k x =+恒过点()1,0A -，根据几何关系可得，点()0,1B -到直线()1y k x =+的距离为||AB .【详解】解：直线()1y k x =+恒过点()1,0A -，则点()0,1-到直线()1y k x =+的距离的最大值为点()1,0-到点A 的距离，∴点()0,1-到直线()1y k x =+距离的最大值为：d ==..12【分析】利用算术根的几何意义，把所求转化为两个图形上点的距离最小值即可作答.【详解】可看成点(),1a a -到点(),bb e的距离，而点(),1a a -的轨迹是直线1y x =-，点(),bb e的轨迹是曲线()xf x e=，则所求最小值可转化为曲线()xf x e =上的点到直线1y x =-距离的最小值，而曲线()x f x e =在直线1y x =-上方，平移直线1y x =-使其与曲线()xf x e =相切，则切点到直线1y x =-距离即为所求，设切点00(,)xx e ，()x f x e '=，由()001x f x e '==得00x =，切点为(0,1)则(0,1)到直线1y x =-距离d ==.【点睛】关键点睛：涉及多变量的算术根问题，利用算术根的几何意义转化为两个动点的距离是解题的关键.13．5【分析】求出导函数，利用导数的几何意义求出切线与已知直线平行时切点坐标，然后转化为求点到直线的距离即可求解．【详解】解：()12f x x x'=+，()0x >，与直线34y x =-平行的切线斜率132k x x==+，解得1x =或12x =，当1x =时，()11f =，即切点为()1,1，此时点P 到直线34y x =-的距离为105d ==；当12x =时，11ln 224f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即切点为11,ln 224⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时点P 到直线34y x =-的距离为(11ln 2114ln 2104405d --=，故答案为：5.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是结合图形分析，将原问题转化为函数()f x 图象上与已知直线平行的切线的切点到直线34y x =-的距离.14．2-【分析】根据直线平行的性质，斜率相等，求得参数a ，利用平行线间的距离公式求得距离.【详解】∵12l l ，∴2a =-，直线1:220l x y +-=，直线2:230l x y ++=，直线1l 与2l=故答案为：-2真题再现1．B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值.【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d ==解得：2p =(6p =-舍去).故选：B.2．A 【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：220169x y -=，即340±=x y ，结合对称性，不妨考虑点()3,0到直线340x y +=的距离：95d ==.故选：A.3．D【分析】根据题意可知，点P 既在双曲线的一支上，又在函数y =即可求出点P 的坐标，得到OP 的值．【详解】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P还在函数y =由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得2332x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==故选：D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．4．B 【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即可求得结果.【详解】由(1)y k x =+可知直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即为||AP =故选：B.【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.5．D 【详解】分析：由离心率计算出ba，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可．详解：e c a === 1ba∴=所以双曲线的渐近线方程为x y 0±=所以点（4，0）到渐近线的距离d==故选D点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题．6．C 【详解】试题分析：圆心坐标为(1,0)-，由点到直线的距离公式可知d ==，故选C.【考点】直线与圆的位置关系【名师点睛】点到直线（即）的距离公式记忆容易，对于知求，很方便.7．C 【详解】由题意得，线段AB 的方程：511(4)2924y x y x --=-⇒=-+-，24x ≤≤，∴22(29)494497x y x x x -=--+=-≤⨯-=，当4x =时等号成立，即2x y -的最大值为7.故选：C.【点睛】求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④导数法；⑤不等式法；⑥图象法．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．8【分析】不妨假设2c =，根据图形可知，122sin 3PF F ∠=，再根据同角三角函数基本关系即可求出12tan k PF F =∠=；再根据椭圆的定义求出a ，即可求得离心率．【详解】如图所示：不妨假设2c =，设切点为B ，12112sin sin 3AB PF F BF A F A∠=∠==，12tan PF F ∠==所以255k =,由21212,24PF k F F c F F ===，所以2855PF =，21255PF =，于是122PF a PF +==，即a =，所以5c e a ===．故答案为：255；55．9．()3,0【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，a =，b =，则3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x ±=，所以，双曲线C=.故答案为：()3,0.【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.10【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，3c ===，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===.11．4.【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【详解】当直线0x y +=平移到与曲线4y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P 到直线0x y +=的距离最小.由2411y x '=-=-，得)x =，y =，即切点Q ，则切点Q 到直线0x y +=4=，故答案为4．【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.12．1P 、3P 、4P 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示；则记为“▲”的四个点是A （0，3），B （1，0），C （7，1），D （4，4），线段AB ，BC ，CD ，DA 的中点分别为E ，F ，G ，H ，易知EFGH 为平行四边形，如图所示；设四边形重心为M （x ，y ），则0MA MB MC MD +++=，由此求得M （3，2），即为平行四边形EFGH 的对角线交于点2P ，则符合条件的直线P L 一定经过点2P ，且过点2P 的直线有无数条；由过点1P 和2P 的直线有且仅有1条，过点3P 和2P 的直线有且仅有1条，过点4P 和2P 的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是1P 、3P 、4P ．故答案为：1P 、3P 、4P ．13．（1）112y x =+或112y x =--；（2）见解析.【分析】（1）首先根据l 与x 轴垂直，且过点()20A ，，求得直线l 的方程为2x =，代入抛物线方程求得点M 的坐标为()2,2或()2,2-，利用两点式求得直线BM 的方程；（2）设直线l 的方程为2x ty =+，点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由斜率公式并结合韦达定理计算出直线BM 、BN 的斜率之和为零，从而得出所证结论成立.【详解】（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为2x =，可得M 的坐标为()2,2或()2,2-．所以直线BM 的方程为112y x =+或112y x =--；（2）设l 的方程为2x ty =+，()11,M x y 、()22,N x y ，由222x ty y x=+⎧⎨=⎩，得2240y ty --=，可知122y y t +=，124y y =-．直线BM 、BN 的斜率之和为()()()()()()()()21122112121212122244222222BM BNx y x y ty y ty y y y k k x x x x x x +++++++=+==++++++()()()()()()1212121224244202222ty y y y t tx x x x ++⨯-+⨯===++++，所以0BM BN k k +=，可知BM 、BN 的倾斜角互补，所以ABM ABN ∠=∠.综上，ABM ABN ∠=∠.【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与抛物线相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.模拟检测1．C 【分析】根据两直线平行得到2a =或1a =-，再利用充分必要条件的定义判断即可.【详解】当直线240ax y ++=与直线()120x a y +-+=平行,()1210a a ∴⨯--=，解得2a =或1a =-，当2a =，直线2240x y ++=和直线10x y ++=重合，舍去，所以1a =-.根据充分条件、必要条件的定义可得，“直线240ax y ++=与直线()120x a y +-+=平行”是“1a =-”的充分必要条件故选：C 2．A 【分析】根据双曲线的方程求出渐近线方程，然后由圆心到渐近线的距离等于圆的半径即可求解.【详解】解：圆()2221x y +-=的圆心()0,2，半径为1，双曲线的渐近线方程为1y x a=±．∵双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线与圆()2221x y +-=1相切，1=，解得213a =，∴双曲线的渐近线方程y =．故选：A ．3．B 【分析】由两条切线关于1y x =+对称可确定PC 与1y x =+垂直，可知所求即为圆心C 到直线1y x =+的距离，利用点到直线距离公式可求得结果.【详解】若直线12,l l 关于直线1y x =+对称，则两直线12,l l 与直线1y x =+的夹角相等，则PC 与1y x =+垂直，∴PC 等于圆心()2,1C -到直线1y x =+的距离，即PC ==．故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够根据两条切线关于1y x =+对称确定PC 与对称轴垂直，由此将所求距离转化为圆心到直线的距离.4．C 【分析】设点(),B x y ，利用两点间的距离公式以及二次函数配方求最值即可求解.【详解】设点(),B x y ，则AB ==2=≥，∴当12y =时，min 2AB =.故选：C.5．A 【分析】根据题意，求得直线的方程，根据圆的方程，可得圆心为（0,2），半径2r =，根据点到直线距离公式，可得圆心（0,2）到直线0x y -=的距离d ，代入公式，即可求得答案.【详解】由题意得：直线的斜率tan 451k =︒=，且直线过原点，所以直线的方程为0x y -=，圆的方程化为：22(2)4x y +-=，即圆心为（0,2），半径2r =，所以圆心（0,2）到直线0x y -=的距离==d ，所以直线被圆所截得弦长为==.故选：A 6．B 【分析】当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为()33y k x +=+，再根据距离公式解方程即可，当直线l 的斜率不存在时，不满足题意.【详解】当直线l 的斜率存在时，设经过点()3,3M --的直线l 的方程为()33y k x +=+，即330kx y k -+-=，所以圆2240x y y ++=的圆心()0,2-到直线l的距离为d ==解得：12k =-或2k =，所以直线l 的方程为290x y ++=或230x y -+=当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =-，此时圆心()0,2-到直线的距离为3，不满足题意；综上，直线l 的方程为290x y ++=或230x y -+=.故选：B 【点睛】本题考查圆的一般方程求圆心，点到直线的距离求参数，考查运算求解能力，是基础题.本。
备战高考数学复习考点知识与题型讲解61---两条直线的位置关系
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第61讲 两条直线的位置关系考向预测核心素养一是利用直线方程判定两条直线的位置关系；二是利用两条直线间的位置关系求直线方程；三是综合运用直线的知识解决诸如中心对称、轴对称等常见的题目，大部分都是客观题.直观想象、数学运算一、知识梳理1．两条直线的平行与垂直 (1)两条直线平行若l 1∥l 2，则l 1与l 2的倾斜角α1与α2相等，由α1＝α2，可得tan α1＝tan α2，即k 1＝k 2.因此，若l 1∥l 2，则k 1＝k 2．(2)两条直线垂直设两条直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(1，k 1)，b ＝(1，k 2)，于是l 1⊥l 2⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔1×1＋k 1k 2＝0，即k 1k 2＝－1.也就是说，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1．2．两条直线的交点坐标已知两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交，则交点P 的坐标是方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．三种距离点点距点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2点线距点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2线线距两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2常用结论1．两个充要条件(1)两条直线平行或重合的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.(2)两条直线垂直的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.2．三种直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B 1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.3．四种常用对称关系(1)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．(2)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．(4)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．二、教材衍化1．(人A选择性必修第一册P67习题2.2 T8(3)改编)已知直线l过点(0，3)，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )A ．x ＋y －2＝0 B.x －y ＋2＝0 C ．x ＋y －3＝0D.x －y ＋3＝0解析：选D.依题意得直线l 的斜率为1，又直线l 过点(0，3)，所以直线l 的方程为y －3＝1×(x －0)，即x －y ＋3＝0.2．(人A 选择性必修第一册P 79习题2.3 T 9改编)若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．解析：由⎩⎨⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.所以点(1，2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0， 即m ×1＋2×2＋5＝0，所以m ＝－9. 答案：－93．(人A 选择性必修第一册P 79习题2.3 T 7改编)两条平行直线l 1：2x ＋3y －8＝0，l 2：2x ＋3y －10＝0之间的距离为________．解析：因为l 1∥l 2，所以由两条平行直线间的距离公式得d ＝|－8－（－10）|22＋32＝21313. 答案：21313一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)若两直线的解析式组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( ) (3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.( ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、易错纠偏1．(忽略两直线平行的充要条件致误)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( )A ．2 B.－3 C ．2或－3D.－2或－3解析：选 C.直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或m ＝－3.故选C. 2．(距离公式使用不当致误)两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0之间的距离为( )A.235B.2310C ．7D.72解析：选D.由题意知a ＝6，直线3x ＋4y －12＝0 可化为6x ＋8y －24＝0， 所以两平行直线之间的距离为|11＋24|36＋64＝72.3．(忽略两直线垂直的充要条件致误)已知直线l 1：ax ＋y －4＝0和l 2：2x ＋ay ＋1＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝________．解析：因为l 1⊥l 2，则2a ＋a ＝0，所以a ＝0. 答案：04．(位置关系考虑不周全致误)已知点A (3，2)和B (－1，4)到直线ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则a 的值为________．解析：由点到直线的距离公式可得|3a ＋2＋1|a 2＋1＝|－a ＋4＋1|a 2＋1，解得a ＝12或a ＝－4. 答案：12或－4考点一 两条直线的位置关系(自主练透)复习指导：能根据斜率判定两条直线的位置关系．1．(多选)(链接常用结论1)(2022·重庆调研)已知直线l 1：x ＋my －1＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋3＝0，则下列说法正确的是( )A ．若l 1∥l 2，则m ＝－1或m ＝3B ．若l 1∥l 2，则m ＝3C ．若l 1⊥l 2，则m ＝－12D ．若l 1⊥l 2，则m ＝12解析：选BD.若直线l 1∥l 2，则3－m (m －2)＝0，解得m ＝3或m ＝－1，但m ＝－1时，两直线方程分别为x －y －1＝0，－3x ＋3y ＋3＝0即x －y －1＝0，两直线重合，只有m ＝3时两直线平行，A 错误，B 正确；若l 1⊥l 2，则m －2＋3m ＝0，解得m ＝12，C 错误，D 正确．2．经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( ) A ．6x －4y －3＝0 B.3x －2y －3＝0 C ．2x ＋3y －2＝0 D.2x ＋3y －1＝0解析：选A.因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝⎛⎭⎪⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0.3．已知三条直线2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－43，23 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－43，23，43C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫43，－23D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－43，－23，23解析：选D.由题意得直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0或4x ＋3y ＋5＝0平行，或者直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点．当直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0或4x ＋3y ＋5＝0平行时，m ＝23或m ＝－43；当直线mx －y －1＝0过2x －3y＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点时，m ＝－23.所以实数m 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－43，－23，23.4．(多选)(2022·葫芦岛协作校高二考试)已知A (1，2)，B (－3，4)，C (－2，0)，则( )A ．直线x －y ＝0与线段AB 有公共点 B ．直线AB 的倾斜角大于135°C ．△ABC 的边BC 上的中线所在直线的方程为y ＝2D ．△ABC 的边BC 上的高所在直线的方程为x －4y ＋7＝0 解析：选BCD.如图，因为k OA ＝2>1，k OB <0，所以直线x －y ＝0与线段AB 无公共点，A 错误；因为k AB ＝4－2－3－1＝－12>－1，所以直线AB 的倾斜角大于135°，B 正确；因为线段BC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，2，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＝2，C 正确；因为k BC ＝4－3＋2＝－4，所以BC 上的高所在直线的方程为y －2＝14(x －1)，即x －4y ＋7＝0，D 正确．(1)两条直线平行、垂直的判断方法 若已知两条直线的斜率存在．①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等． ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1. [提醒] 判断两条直线位置关系应注意： 〈1〉注意斜率不存在的特殊情况．〈2〉注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)由两条直线平行与垂直求参数的值的解题策略在解这类问题时，一定要“前思后想”．“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解．考点二 两条直线的交点与距离问题(多维探究)复习指导：1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．2．探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．角度1 两条直线的交点(1)对于任给的实数m ，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都通过一定点，则该定点的坐标为( )A ．(9，－4) B.(－9，－4) C ．(9，4)D.(－9，4)(2)经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线的方程为__________________．【解析】 (1)(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5即为m (x ＋2y －1)＋(－x －y ＋5)＝0，故此直线过直线x ＋2y －1＝0和－x －y ＋5＝0的交点．由⎩⎨⎧x ＋2y －1＝0，－x －y ＋5＝0得定点的坐标为(9，－4)．(2)由方程组⎩⎨⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－53，y ＝79，即交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，79.因为所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直， 所以所求直线的斜率为k ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋53，即4x －3y ＋9＝0.【答案】 (1)A (2)4x －3y ＋9＝0 角度2 距离问题已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P . (1)点A (5，0)到直线l 的距离为3，求直线l 的方程； (2)求点A (5，0)到直线l 的距离的最大值．【解】 (1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为 2x ＋y －5＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， 所以|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3，解得λ＝12或λ＝2.所以直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎨⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2，1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到直线l 的距离， 则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)． 所以d max ＝|PA |＝10.若将本例变为：直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点且到点A (1，0)和点B (3，4)的距离相等，求直线l 的方程．解：由⎩⎨⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0解得交点坐标为(2，1)．当AB ∥l 时，又k AB ＝2，所以直线l 的方程为y －1＝2(x －2)即2x －y －3＝0， 当l 过AB 中点时，又AB 的中点为(2，2)． 所以直线l 的方程为x ＝2.利用距离公式应注意的点(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |. (2)两条平行线间的距离公式要先把两条直线方程中x ，y 的系数化为相等再利用距离公式求解．|跟踪训练|1．(多选)已知直线l 1：2x ＋3y －1＝0和l 2：4x ＋6y －9＝0，若直线l 到直线l 1的距离与到直线l 2的距离之比为1∶2，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋3y －8＝0 B.4x ＋6y ＋5＝0 C ．6x ＋9y －10＝0 D.12x ＋18y －13＝0解析：选BD.设直线l ：4x ＋6y ＋m ＝0，m ≠－2且m ≠－9，直线l 到直线l 1和l 2的距离分别为d 1，d 2，由题知：d 1＝|m ＋2|16＋36，d 2＝|m ＋9|16＋36，因为d 1d 2＝12，所以2|m ＋2|16＋36＝|m ＋9|16＋36，即2|m ＋2|＝|m ＋9|，解得m ＝5或m ＝－133，即直线l 为4x ＋6y ＋5＝0或12x＋18y －13＝0.2．(多选)(2022·北京昌平区一中上学期期中)点(0，1)到直线y ＝k (x ＋1)的距离可能为( )A ．0 B.1 C. 2D. 3解析：选ABC.直线y ＝k ()x ＋1过点()－1，0，所以()0，1到直线y ＝k ()x ＋1的距离的最大值为()－1－02＋()0－12＝ 2.3．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为________．解析：因为36＝48≠－125，所以两条直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.答案：2910考点三 对称问题(思维发散)复习指导：对称问题的核心是点关于直线的对称问题，要把握两点，点M 与点N 关于直线l 对称，则线段MN 的中点在直线l 上，且直线l 与直线MN 垂直．(链接常用结论3)已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． 【解】 (1)设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.所以A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，所以M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ， 则由⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝3，所以N (4，3)．又因为m ′经过点N (4，3)，所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.在本例条件下，求直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．解：设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，因为P ′在直线l 上，所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0.对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解． (2)中心对称可以利用中点坐标公式，两点轴对称问题利用垂直和中点两个条件列方程解题．|跟踪训练|如图，已知A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．3 3 B.6 C.210D.2 5解析：选C.直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2，0)关于直线AB 的对称点为D (4，2)，关于y 轴的对称点为C (－2，0)，则光线经过的路程为|CD |＝62＋22＝210.[A 基础达标]1．(2022·哈师大附中模拟)已知直线l 1：ax ＋(a ＋2)y ＋1＝0, l 2：x ＋ay ＋2＝0, 其中a ∈R, 则“a ＝－3”是“l 1⊥l 2”的()A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A.直线l 1⊥l 2的充要条件是a ＋(a ＋2)a ＝0， 所以a (a ＋3)＝0，所以a ＝0或a ＝－3 .故选A.2．(2022·广州期末)若直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是()A ．－6＜k ＜－2 B.－5＜k ＜－3 C ．k ＜－6D.k ＞－2解析：选A.解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ＋3k ＋14，x －4y ＝－3k －2，得⎩⎨⎧x ＝k ＋6，y ＝k ＋2.因为直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，所以⎩⎨⎧k ＋6＞0，k ＋2＜0，解得－6＜k ＜－2.3．已知直线l ：ax ＋by ＋c ＝0与直线l ′关于直线x ＋y ＝0对称，则l ′的方程为()A ．bx ＋ay －c ＝0 B.ay －bx －c ＝0 C ．ay ＋bx ＋c ＝0 D.ay －bx ＋c ＝0解析：选A.在l 的方程中以－x 代替y ，以－y 代替x ，即得l ′的方程．直线ax ＋by ＋c ＝0关于直线x ＋y ＝0对称的直线l ′的方程是a (－y )＋b (－x )＋c ＝0，即bx ＋ay －c ＝0.4．(2022·亳州市质量检测)若动点M ()x 1，y 1，N ()x 2，y 2分别在直线x ＋y ＋7＝0与直线x ＋y ＋5＝0上移动，则MN 的中点P 到原点距离的最小值为()A ．2 3 B.3 3 C.3 2D.2 2解析：选C.由题意知，MN 的中点P 的轨迹为平行于两直线且到两直线距离相等的直线，故其方程为x ＋y ＋6＝0，所以P 到原点的距离的最小值为d ＝612＋12＝3 2. 5．(多选)(2022·宜昌市夷陵中学检测)已知直线l 的一个方向向量为u ＝(－36，12)，且l 经过点()1，－2，则下列结论中正确的是() A ．l 的倾斜角等于150° B ．l 在x 轴上的截距等于233C ．l 与直线3x －3y ＋2＝0垂直D ．l 与直线3x ＋y ＋2＝0平行解析：选CD.因为直线l 的一个方向向量为u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，12，所以直线l 的斜率为k ＝12－36＝－3，设直线的倾斜角为α(α∈[0°，180°))，则tan α＝－3，所以α＝120°，所以A错误；因为l经过点()1，－2，所以直线l的方程为y＋2＝－3(x－1)，令y＝0，则x＝－233＋1，所以l在x轴上的截距为－233＋1，所以B错误；因为直线3x－3y＋2＝0的斜率为33，直线l的斜率为－3，所以－3×33＝－1，所以l与直线3x－3y＋2＝0垂直，所以C正确；因为直线3x＋y＋2＝0的斜率为－3，直线l的斜率也为－3，且两直线截距不相等，故两直线平行，所以D正确．6．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为________．解析：过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，求得λ＝－45，故所求直线方程为x－3y＋4－45(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.答案：3x＋19y＝07．已知点P(m，n)是直线2x＋y＋5＝0上的任意一点，则（m－1）2＋（n＋2）2的最小值为________．解析：因为点P(m，n)是直线2x＋y＋5＝0上的任意一点，所以（m－1）2＋（n＋2）2的最小值为点(1，－2)到直线2x＋y＋5＝0的距离，即最小值为d＝|2－2＋5|22＋12＝ 5.所以（m－1）2＋（n＋2）2的最小值为 5.答案： 58．已知直线l1：ax＋y＋3a－4＝0和l2：2x＋(a－1)y＋a＝0，则原点到l1的距离的最大值是________；若l1∥l2，则a＝________．解析：直线l1：ax＋y＋3a－4＝0等价于a(x＋3)＋y－4＝0，则直线过定点A(－3，4)，当原点到l1的距离最大时，满足OA⊥l1，此时原点到l1的距离的最大值为|OA|＝（－3）2＋42＝5.若a ＝0，则两直线方程为y －4＝0和2x －y ＝0，不满足直线平行； 若a ＝1，则两直线方程为x ＋y －1＝0和2x ＋1＝0，不满足直线平行；当a ≠0且a ≠1时，若两直线平行，则a 2＝1a －1≠3a －4a ，由a 2＝1a －1得a 2－a －2＝0，解得a ＝2或a ＝－1. 当a ＝2时，a 2＝3a －4a，舍去， 当a ＝－1时，a 2≠3a －4a，成立，即a ＝－1. 答案：5 －19．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解：(1)因为l 1⊥l 2，所以a (a －1)－b ＝0. 又因为直线l 1过点(－3，－1)， 所以－3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2. (2)因为直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2， 所以直线l 1的斜率存在． 所以a b＝1－a .①又因为坐标原点到这两条直线的距离相等， 所以l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .②联立①②可得a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.10．已知四边形ABCD 为平行四边形，A (0，3)，B (4，1)，D 为边AB 的垂直平分线与x 轴的交点．(1)求点C 的坐标；(2)一条光线从点D 射出，经直线AB 反射，反射光线经过CD 的中点E ，求反射光线所在直线的方程．解：(1)如图，设AB 中点为M ，则M (2，2)， 由AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ， 可知k MD ·k AB ＝－1， 因为k AB ＝1－34－0＝－12，所以k MD ＝2， 所以直线MD 的方程为y －2＝2(x －2)，即y ＝2x －2. 令y ＝0，则x ＝1，所以D 点的坐标为(1，0)． 又因为四边形ABCD 为平行四边形，设C (a ，b )，因为＝，即(a －1，b )＝(4，－2)，所以a ＝5，b ＝－2，即点C 的坐标为(5，－2)．(2)由(1)知，直线AB 的方程为x ＋2y －6＝0， 如图，设点D 关于直线AB 的对称点为D ′(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，m ＋12＋2·n2－6＝0，整理可得⎩⎨⎧2m －n －2＝0，m ＋2n －11＝0，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝4，所以D ′(3，4)， 又因为CD 的中点E 的坐标为E (3，－1)，因此，反射光线所在直线D ′E 的方程为x ＝3.[B 综合应用]11．(多选)(2022·重庆市永川景圣中学月考)下列说法正确的是() A ．过点P ()1，2且在x ，y 轴截距相等的直线方程为x ＋y －3＝0 B ．直线y ＝3x －2在y 轴上的截距为－2 C ．直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角为60°D ．过点()－1，2且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为2x ＋y ＝0解析：选BD.过点P ()1，2且在x ，y 轴截距相等的直线方程为x ＋y －3＝0和y ＝2x ，A 错误；取x ＝0，y ＝－2，则直线y ＝3x －2在y 轴上的截距为－2，B 正确； 直线3x ＋y ＋1＝0的斜率为k ＝－3，倾斜角为120°，C 错误；垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程斜率为k ＝－2，过点()－1，2的直线方程为y ＝－2()x ＋1＋2＝－2x ，即2x ＋y ＝0，D 正确．12．(2022·山东省精英对抗赛)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点N ，则直线2x ＋3y －6＝0关于点N 对称的直线方程为()A ．2x ＋3y －12＝0 B.2x ＋3y ＋12＝0 C ．2x －3y ＋12＝0 D.2x －3y －12＝0解析：选B.由ax ＋y ＋3a －1＝0可得a (x ＋3)＋y －1＝0， 令⎩⎨⎧x ＋3＝0，y －1＝0，可得x ＝－3，y ＝1，所以N (－3，1)． 设直线2x ＋3y －6＝0关于点N 对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)． 则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)．所以所求直线方程为2x ＋3y ＋12＝0，故选B.13．(2022·宝鸡模拟)光线沿着直线y ＝－3x ＋b 射到直线x ＋y ＝0上，经反射后沿着直线y ＝ax ＋2射出，则有()A ．a ＝13，b ＝6B.a ＝－3，b ＝16C ．a ＝3，b ＝－16 D.a ＝－13，b ＝－6解析：选D.由题意，直线y ＝－3x ＋b 与直线y ＝ax ＋2关于直线y ＝－x 对称， 所以直线y ＝ax ＋2上的点(0，2)关于直线y ＝－x 的对称点(－2，0)在直线y ＝－3x ＋b 上，所以(－3)×(－2)＋b ＝0，所以b ＝－6，所以直线y ＝－3x －6上的点(0，－6)关于直线y ＝－x 的对称点(6，0)在直线y ＝ax ＋2上，所以6a ＋2＝0， 所以a ＝－13.14．(2022·乳山市第一中学月考)从点A (2，3)射出的光线沿与向量a ＝(8，4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在直线的方程为________．解析：点A ()2，3关于y 轴的对称点为()－2，3， 由于入射光线与a ＝(8，4)平行， 所以反射光线的斜率是－48＝－12，所以反射光线所在直线方程为y －3＝－12(x ＋2)，即x ＋2y －4＝0.答案：x ＋2y －4＝0[C 素养提升]15．已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2，2)．(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.解：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．因为方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，所以⎩⎨⎧2x －y －6＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2，故直线经过的定点为M (2，－2)．(2)证明：过点P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0. 但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0， 所以M 与Q 不可能重合，|PM |＝42， 所以|PQ |<42，故所证成立． 16.如图所示，m ，n ，l 是三条公路，m 与n 是互相垂直的，它们在O 点相交，l 与m ，n 的交点分别是M ，N ，且|OM |＝4，|ON |＝8，工厂A 在公路n 上，|OA |＝2，工厂B 到m ，n 的距离分别为2，4.货车P 在公路l 上．(1)要把工厂A ，B 的物品装上货车P ，问：P 在什么位置时，搬运工走的路程最少？ (2)P 在什么位置时，工厂B 搬运工与工厂A 搬运工走的路程差距最多？(假设货物一次性搬运完)解：以m ，n 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则有A (2，0)，B (－2，－4)，M (0，4)，N (－8，0)，故公路l 所在的直线方程为x －2y ＋8＝0.(1)P 在什么位置时，搬运工走的路程最少，即求|PA |＋|PB |的值最小时P 的位置． 设点A 关于直线l 的对称点A ′(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －2＝－2，m ＋22－2×n ＋02＋8＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－2，n ＝8，所以A ′(－2，8)． 又P 为直线l 上的一点，则|PA |＋|PB |＝|PA ′|＋|PB |≥|A ′B |，当且仅当B ，P ，A ′三点共线时等号成立，此时|PA |＋|PB |取得最小值|A ′B |，点P 就是直线A ′B 与直线l 的交点．联立⎩⎨⎧x ＝－2，x －2y ＋8＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝3，所以P (－2，3)．(2)由题意可知，原问题等价于求点P 的位置，使||PB |－|PA ||的值最大．A ，B 两点在直线的同侧，P 是直线上的点，则||PB |－|PA ||≤|AB |，当且仅当A ，B ，P 三点共线时等号成立，此时||PB |－|PA ||取得最大值|AB |，点P 即为直线l 与直线AB 的交点．又直线AB 的方程为y ＝x －2，由⎩⎨⎧y ＝x －2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝10，所以P (12，10)．。
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讨论
已知直线 l1 ： A1x+B1y+C1 = 0 ，
l2 ： A2x+B2y+C2= 0 （A1B1C1 ≠ 0 A2B2C2≠ 0 ）.
那么l1 ∥l2 的充要条件是什么？
答： l1 ∥l2
A1 B1 C1 = ≠ A2 B2 C2 .
例1.已知直线l1 ：2x －4y +7= 0， l2 ：x－2y +5 = 0 . 证明：l1 ∥l2 .
§7.3 两条直线的 位置关系
课件制作 邓小鸾
平面内两条不重合的直线的 位置关系有哪几种？
两条直线的倾斜角相等，这 两条直线的位置关系如何？
当直线 l1 和 l2 有斜截式方程
l1：y = k1 x +b 1
，l2： y
= k2 x +b 2 时
直线 l1 ∥l2 的充要条件是 k1 = k2 且 b 1 ≠b 2 .
证明：把两直线的方程写成斜截式
l1 ：y = x +
∵
1 2
7 4
，l2：y
= x+
1 2
5 2
.
k1 = k2 且 b 1 ≠b 2 .
l1 ∥l2
.
∴
例2.求过点 A（1，- 4）且与直线 2x+3y+5 = 0 平行的直线的方程.
解：已知直线的斜率是 – 2/3，又所求直 线与已知直线平行，所以它的斜率也是 – 2/3. 根据点斜式，得所求直线方程是
y＋4 = - 2/3（x－1），
即 2x＋3y＋10 = 0 .
思考
x－y－2 = 0平行，那么系数a = （ ）
A. - 3
C. - 3/2
B. - 6
D. 2/3
两直线 mx＋y－n =0和 x＋my＋1 =0 互相平行的条件是什么？
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壹起出京办差，这是整各婚事中，二十三小格唯壹心情舒畅の壹件事情。两位兄长虽然未能亲自参加二十三小格の婚礼，但是都送去咯贺礼，太 子妃和四福晋也出席咯宴席。二十三小格原本肚子里就窝着壹口气，又是对诸人没有太多の感觉那种人。在他の眼中，诸人，假如有也挺好，假 如没有也无所谓。因此单从对待诸人の态度这壹点上来看，他和王爷倒确实是壹对亲兄弟。他们不像太子和九小格，这两位小格对于诸人有超乎 寻常の偏爱，甚至可以说是荒淫无道。他们也不像十三小格，虽然与十三福晋夫妻恩爱，可是十三小格太有诸人缘咯。萨苏时时刻刻都能够感受 到来自四面八方、各式各样の诸人们投来の或仰慕、或欣赏、或赞叹，甚至是倾心の目光。这些诸人中，有些是名伶歌姬，有些则是待嫁姑娘の 娘亲额娘、七姑八姨。她们在向十三小格投去赞赏目光の同时，也会顺带着向十三福晋投去极不友善の目光。萨苏总是被这种氛围所包围，危机 感和紧迫感壹日重似壹日。他们更不像八小格，府里被厉害の八福晋看管得严严实实，但是八贝勒爷在外面怎么样，那木泰哪里能知道？哪里又 能管得咯呢？八福晋不过是外强中干、徒有虚表、掩耳盗铃罢咯。更何况她最后连自己の府里也没有真正地管得住，在四十七年の时候，八小格 の侍妾张氏和毛氏先后生下咯壹各小格――弘旺和壹各格格。面对木已成舟の情势，那木泰只得被迫接受这各事实，但是整整壹年，她都没有给 八小格好脸色。而这壹年正好发生咯“壹废太子”の事件，皇上震怒于八小格在朝中の威望如日俱增，大有威胁到他皇位の危险，于是当着各位 皇子の面，痛斥八小格の同时，迁怒于那木泰，连带着将八福晋也壹并训斥壹番，指责八小格历来受制于妻，其妻家母舅不但不教训她，还任其 嫉妒行恶，以致八小格至今仍未得子。实际上，皇上是被气糊涂咯，才说出这么令人难堪又违背事实の话。因为这各时候，八小格已经喜得壹子 壹女。但是连皇上都对那木泰の所做所为有所耳闻，并深恶痛绝，这实在是壹各危险の信号。而二十三小格却是和王爷壹样，是那种绝不会为咯 任何壹各诸人而忘记咯自己の宏图大业，也不会为咯任何壹各诸人而搞得后院鸡犬不宁の那种理智到极点の人。对他们而言，诸人，只是开枝散 叶、延续皇家血脉の工具而已，也许会有壹各、两各对上自己の心思，但这各诸人，壹定是自己府里明媒正娶の，绝不会在外面沾花惹草。真若 是在外面看上咯啥啊人，那壹定要先娶回府里再说，绝不能为咯壹各诸人而惹出啥啊祸端，那是最不值当の事情。第壹卷 第235章 塔娜塔娜の 进府，就像二十三小格以往娶妻纳妾壹模壹样，既没有引起啥啊轩然大波，也没有享受到啥啊专房之