高数第三章

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第三章
一、填空题

1．函数lnsinfxx在区间5,66上满足罗尔定理，则

2． 函数34fxx在区间0,1上满足拉格朗日中值定理，则
3．设函数2lnyxx，则它在x 处取得极小值。
4．设函数2ln1yxx，则它在其定义域, 内单调
5．设函数xyxe，则曲线的拐点坐标为
6．3231214yxxx的拐点是 __ .
7．a =______b=_______时，曲线32yaxbx的拐点是（1，2）.

8．曲线2cosyxx在区间[0,]2上的最大值为_____________
9. 曲线3()fxx的拐点是 ．
二、选择题
1．设在0,1上0fx，则0,1,10ffff或01ff几个
数的大小顺序为（ ）
A ()()()()1010ffffⅱ>>- B 1100ffff

C 1010ffff D 1010ffff
2． 设0000,0fxfxfx，则（ ）
A 0fx是fx的极大值 B 0fx是fx的极大值
C 0fx是fx的极小值 D 00,xfx是曲线yfx的拐点
3．fx二阶可导，0,0ff，已知x是fx的极值点，

cosgxfxx
则（ ）

A x是gx的极大值点 B x是gx的极小值点
C x不是gx的极大值点 D x是否为gx的极值点不定
2

4．fx二阶可导，0,0ff，已知x是fx的极值点，

cosgxfxx
则（ ）

A x是gx的极大值点 B x是gx的极小值点
C x不是gx的极大值点 D x是否为gx的极值点不定
5．设 0,0,ab则方程30xaxb的根为（ ）
A 有三个互异的实根 B 有两个互异的实根
C 只有一个正根 D 只有一个负根

6．函数5xfx在区间1,1上的最大值为（ ）

A15 B 0 C15 D 5
7．若函数()yfx在定义域内'''()0,()0,fxfx则()yfx ( )
A 单调增加且曲线是凸的 B单调减少且曲线是凸的
C 单调增加且曲线是凹的 D 单调减少且曲线是凹的

8．若函数()yfx在定义域内'''()0,()0,fxfx则有( )

A ()yfx单调增加且曲线是凸的 B ()yfx单调减少且曲线是凸的
C ()yfx单调增加且曲线是凹的 D ()yfx单调减少且是凹的
9. 函数()(1)4fxxx在[1,4]上满足罗尔定理中的=（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
10. 设函数()(1)(2)(3)(4)fxxxxx，则方程()0fx有（ ）
（A）一个实根 （B）二个实根 （C）三个实根 （D）无实根
11．若函数)(xfy在定义域内,0)(,0)('''xfxf则有( )

A． )(xfy单调增加且曲线是凸的 B． )(xfy单调减少且曲线是凸的
C． )(xfy单调增加且曲线是凹的 D． )(xfy单调减少且曲线是凹的
12. 函数lnyx在(0,)内（ ）
（A）单增且曲线是凸的 （B）单增且曲线是凹的
（C）单减且曲线是凸的 （D）单减且曲线是凹的

13. 0()0fx是函数()fx在0x点取得极值的（ ）
3

（A）充要条件（B）充分条件 （C）必要条件 （D）以上说法都不对
14. 函数()xfxxe在(0,)内是（ ）
（A）单调增加 （B）单调减少 （C）有増有减 （D）有界
三、解答题

1. 证明方程510xx只有一个正根。
2．求椭圆223xxyy上纵坐标最大和最小的点。
3.证明多项式33fxxxa在0,1上不可能有两个零点。
4．设1,xafxaax在,内的驻点为xa，问a为何值时，

xa

最小？并求出最小值。
5.设fx在0,1上连续，在0,1内可导，且10f，证明至少存在一点
0,1，使
0ff

6． 试求过曲线4xy上任意一点000,0xyx处的切线与两坐标轴围成的
三角形面积的值。
7.设fx在0,上连续，在0,内可导，证明至少存在一点0,，

使cotff。

8．试确定a值，使1sinsin33fxaxx在3x处有极值，指出它是极
大值还是极小值？并求此极值。
9.若fx可导，试证在其两个零点间一定有fxfx的零点。

10．在椭圆22221xyab的第一象限部分上求一点P，使该点处的切线、椭圆及
两坐标轴所围成图形的面积为最小，（其中0,0ab）。

如图：

11．证明：当x>0时，arctanln(1)1xxx

12．()fx在区间0,1上连续，在0,1内可导，且0f=1f=0，
证明：在内（0，1）至少存在一点，使0ff


00
,yxp
b

y

0
a
x
4

13.求函数)1ln(xxy的单调区间、极值及曲线的凹凸区间.
14．设某工厂生产某产品x单位的成本是32618cxxxx，收益是

9rxx
。问是否存在一个能取得最大利润的生产水平？如果存在找出这个生

产水平。

15．证明：当x>0时，sinln(1)1xxx

16. 若函数()fx在闭区间[,]ab上连续，在开区间(,)ab内可导，且
()()0fafb
。证明：至少有一点 (,)ab，使得()()0ff

17. 求函数329612yxxx的单调区间、极值及拐点.
18. 已知fx在[0，1]上连续，（0，1）内可导，且101ff，
证明：0,1使得2f
19. 求32()2912fxxxx的单调区间、极值及拐点.
20. 求函数3226187yxxx的单调区间、极值及拐点.

21. 设0ab，证明不等式
11(2,3,)()nnnnbaabnnba






.

22. 确定函数 32()29123fxxxx的单调区间．
23. 证明：当0x时，arctanln(1)1xxx．
24. 一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1000元时，公寓会全部租
出去，当月租金增加50元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月
需花费100元的维修费，试问房租定为多少可获得最大利润？

25. 求曲线3yx的拐点及凹或凸的区间．

26．已知0ba，证明不等式：lnabaababb．
27.求函数)1ln(xxy的单调区间、极值及曲线的凹凸区间.
28.证明方程0155xx在区间(1,2)内只有一个实根.