2015年清华大学金秋营数学进阶试题及解答
2015年北京大学优秀中学生体验营数学试题及答案
6、已知n∈N∗，求证：
7、已知a,b,c是三角形的三条边之长，k为实数，且ak+bk=ck，求证：k<0或k>1．
2015年北京大学优秀中学生体验营综合测试数学试题
参考答案
1、
2、( )
提示：利用余弦定理和三角形的三边关系．
3、
提示：齐次化，有
于是所求的最大值为 ．
4、f(x)=8x3−6x+1
提示：利用三倍角公式及1−2sin(3⋅100)=0构造．
5、
7、记
若c不为最大边，则由
得
于是k>1．综上，原命题得证．
2015年北京大学优秀中学生体验营综合测试数学试题
文科做前5题，理科做后5题，每题20分，满分100分．
1、设 ，求 的值．
2、已知D为三角形ABC的边BC上的一点，BD:DC=1:2，AB:AD:AC=3:k:1，求k的取值范围．
3、已知正实数a,b,c满足a+b+c=1，求 的最大值．
4、构造整系数多项式函数f(x)，使f(sin100)=0．
2015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小高组b卷)
2015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组B卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）计算：57.6×+28.8×﹣14.4×80+10．2．（10分）甲、乙、丙、丁四人共植树60棵．已知，甲植树的棵数是其余三人的二分之一，乙植树的棵数是其余三人的三分之一，丙植树的棵数是其余三人的四分之一，那么丁植树棵．3．（10分）某个三位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，加4是6的倍数，那么这个数最小为．4．（10分）贝塔星球有七个国家，每个国家恰有四个友国和两个敌国，没有三个国家两两都是敌国，对于一种这样的星球局势，共可以组成个两两都是友国的三国联盟．5．（10分）由四个互不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为106656，则这些四位数中最大的是，最小的是．6．（10分）如图，三角形ABC的面积为1，DO：OB＝1：3，EO：OA＝4：5，则三角形DOE的面积为．17．（10分）三个大于1000的正整数满足：其中任意两个数之和的个位数字都等于第三个数的个位数字，那么这3个数之积的末尾3位数字有种可能数值．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）8．（10分）将1234567891011的某两位的数字交换能否得到一个完全平方数？请说明理由．9．（10分）如图所示，从长、宽、高为15，5，4的长方体中切走一块长、宽、高为y，5，x的长方体（x，y为整数），余下部分的体积为120，求x和y．10．（10分）圆形跑道上等距插着2015面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了23圈，乙跑了13圈．不算起始点旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？11．（10分）两人进行乒乓球比赛，三局两胜制，每局比赛中，先得11分且对方少于10分者胜，10平后多得2分者胜．两人的得分总和都是31分，一人赢了第一局并且赢得了比赛，那么第二局的比分共有多少种可能？三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）12．（15分）如图所示，点M是平行四边形ABCD的边CD上的一点，且DM：MC＝1：2，四边形EBFC为平行四边形，FM与BC交于点G．若三角形FCG的面积与三角形2MED的面积之差为13cm2，求平行四边形ABCD的面积．13．（15分）设“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”四个成语中的每个汉字代表11个连续的非零自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数．如果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是21，则“行”可以代表的数最大是多少？32015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组B卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）计算：57.6×+28.8×﹣14.4×80+10．【分析】把算式中的28.8×变成57.6×，14.4×80变成57.6×20，然后根据乘法的分配律简算．【解答】解：57.6×+28.8×﹣14.4×80+10＝57.6×+57.6×﹣57.6×20+10＝57.6×（+﹣20）+10＝57.6×（20﹣20）+10＝57.6×0+10＝0+104＝102．（10分）甲、乙、丙、丁四人共植树60棵．已知，甲植树的棵数是其余三人的二分之一，乙植树的棵数是其余三人的三分之一，丙植树的棵数是其余三人的四分之一，那么丁植树13 棵．【分析】根据题意，甲植树的棵数占总数的，乙占总数的，丙占总数的，因此丁占总数的1﹣﹣﹣＝，再根据分数乘法的意义进一步解决问题．【解答】解：60×（1﹣﹣﹣）＝60×（1﹣﹣﹣）＝60×＝13（棵）答：丁植树13棵．故答案为：13．3．（10分）某个三位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，加4是6的倍数，那么这个数最小为122 ．【分析】是2的倍数就是偶数，我们发现加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，加4是6的倍数．也就是这个数除以3，4，5，6都是余2的．属于同余问题．【解答】解：一个偶数除以3，4，5，6以后余数都是25那么这个三位数减去2得到3、4、5、6的公倍数．3，4，5，6的最小公倍数：3×4×5＝120，120+2＝122．故答案为122．4．（10分）贝塔星球有七个国家，每个国家恰有四个友国和两个敌国，没有三个国家两两都是敌国，对于一种这样的星球局势，共可以组成7 个两两都是友国的三国联盟．【分析】用A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7这7个点代表七个国家，用虚线连接表示敌国关系，用实线连接表示友国关系．则每个国家连出2条虚线，4条实线．共7×2÷2＝7（条）虚线，其余为实线．首先说明这7个点必然由7条虚线依次连接为一个闭合回路．A2必与两个点连接虚线，不妨记为A1，A3，而A3必然再与一个点连接虚线，记为A4；A4虚线连接A5，否则剩下3个点互为敌国关系；A5虚线连接A6，否则剩下两个点无法由2条虚线连接；A6虚线连接A7，最后A7只能虚线连接A1．最终连线图如下．只要选出的三个点没有任何两个相邻则满足条件，有135，136，146，246，247，257，357，一共7种．（为了直观我们用1，2，3，4，5，6，7分别代表A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7）．【解答】解：用A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7这7个点代表七个国家，用虚线连接表示敌国关系，用实线连接表示友国关系．6，选出的三个点没有任何两个相邻则满足条件，有135，136，146，246，247，257，357，一共7种．（为了直观我们用1，2，3，4，5，6，7分别代表A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7），所以对于一种这样的星球局势，共可以组成7个两两都是友国的三国联盟．故答案为：7．5．（10分）由四个互不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为106656，则这些四位数中最大的是9421 ，最小的是1249 ．【分析】4位不重复的非零的数字共能组成24个数字，按照位值原则展开求和，我们要想找到最大最小值，就需要找到这四位数字的和，按照数字大小规律即可求解．【解答】解：设四个互不相同的数字为a，b，c，d，字母a开头的，+++++＝6000a+200（b+c+d ）+20（b +c+d ）+2（b+c+d）＝6000a+222（b+c+d）同样b开头的+++++＝6000b+200（a+c+d）+207（a+c+d）+2（a+c+d）＝6000b+222（a+c+d）c 开头+++++＝6000c+200（b+c+d）+20（b+c+d）+2（b+c+d）＝6000c+222（b+c+d）d 开头：++++＝6000d+200（a+b+c）+20（a+b+c）+2（a+b+c）＝6000d+222（a+b+c）6000a+222（b+c+d）+6000b+222（a+c+d）+6000c+222（b+c+d）+6000d+222（a+b+c）＝6000（a+b+c+d）+222（3a+3b+3c+3d）＝6666（a+b+c+d）＝106656∴a+b+c+d＝16若要使这四位数最大千位数字尽量大，个位最小．同时保证数字不能重复，所以千位9，个位1，十位数字是2．百位为16﹣9﹣1﹣2＝4．所以最大为9421．最小就是数字前小后大即可，即1249．故答案为：9421，1249．6．（10分）如图，三角形ABC的面积为1，DO：OB＝1：3，EO：OA＝4：5，则三角形DOE的面积为．8【分析】不难发现当高相同的时候，面积的比等于底边的比，这就是直线间的比例关系的应用．可以根据份数法求出△DOE的份数占总三角形面积的份数即可．【解答】解：依题意可知如图：设三角形DOE的面积为4x，由比例关系不难得出图中另三块的面积分别为5x，12x，15x，再设三角形DCE的面积为y，在△DBC中和△ABC 中，有．得y ＝．则△DOE 的面积为．∵△ABC的面积为1．9∴△DOE 的面积为．故答案为：．7．（10分）三个大于1000的正整数满足：其中任意两个数之和的个位数字都等于第三个数的个位数字，那么这3个数之积的末尾3位数字有 4 种可能数值．【分析】假设三个数的个位分别为a、b、c，那么根据条件“任意两个数之和的个位数字都等于第三个数的个位数字”可知这三个数可分为三种情况：（1）如果a、b、c都相等，则只能都为0；（2）如果a、b 、c中有两个相等；（3）．如果a、b、c都不相等；据此解答即可．【解答】解：设三个数的个位分别为a、b、c（1）如果a、b、c都相等，则只能都为0；（2）如果a、b、c中有两个相等，则有以下两种情况：①．a、a、c且a＜c，必有c+a＝10+，则c＝10，与c为数字矛盾；②．a、a、c且a＞c，则有c+a＝a，a+a＝10+，则a＝5，c＝0；（3）．如果a、b、c都不相等，设a＜b＜c，则c+b＝10+a，c+a＝10+，则c＝10，与c为数字矛盾；综上三个数的个位分别为0，0，0或0，5，5；（1）．如果都为0，则乘积末尾三位为000；10（2）．如果为0，5，5①．如果个位为0的数，末尾3位都为0，则乘积末尾三位为000；②．如果个位为0的数，末尾2位都为0，则乘积末尾三位为500或000；③．如果个位为0的数，末尾1位为0设末尾两位为c0，设另外两个末尾两位为a5，b5则×＝100ab+50（a+b）+，若（α+b）为奇数，则乘积的末两位为75；若（α+）为偶数，则乘积的末两位为25，再乘上c0，无论c为多少，末尾三位只有000，250，500，750这4种．综上所述，积的末尾三位有000，500，250，750这四种可能．故答案为：4．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）8．（10分）将1234567891011的某两位的数字交换能否得到一个完全平方数？请说明理由．【分析】因为数字交换不影响数字和，数字和是48，这个数是3的倍数，但不是9的倍数，所以不是完全平方数．【解答】解：不能得到完全平方数；因为数字交换不影响数字和，1234567891011的数字和是1+2+3+4+5+6+7+8+9+1+0+1+1＝48，某两位的数字交换后，数字和仍然是48，11这个数是3的倍数，但不是9的倍数，所以不是完全平方数．9．（10分）如图所示，从长、宽、高为15，5，4的长方体中切走一块长、宽、高为y，5，x的长方体（x，y为整数），余下部分的体积为120，求x和y．【分析】根据题意可的等量关系式：大长方体的体积﹣切掉的小长方体的体积＝余下部分的体积，然后根据长方体体积公式列出不定方程解答即可．【解答】解：根据题意可得，15×5×4﹣y×5×x＝120，化简可得：xy＝36，36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6，因为x，y为整数，且x＜4，y＜15，所以x＝3，y＝12．答：x＝3，y＝12．10．（10分）圆形跑道上等距插着2015面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了23圈，乙跑了13圈．不算起始点旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？12【分析】设每两面旗子间距离为1，即跑道周长为2015．因为时间一定，速度比等于圈数比（即路程比），因为v甲：v乙＝23：13，设v甲＝23x，v乙＝13x，甲要追上乙则需比乙多跑n圈，（23x﹣13x）t＝2015n，10x×t＝2015n，即甲追上乙时所花时间t ＝，则甲追上乙时，所走路程为23x ×；要恰好在旗子位置追上，则所走路程一定为整数，即n为偶数，然后根据n＝2，4，6，8，10（最多多跑10圈）解答即可．【解答】解：设每两面旗子间距离为1，即跑道周长为2015．因为v甲：v乙＝23：13，设v甲＝23x，v乙＝13x，甲要追上乙则需比乙多跑n圈，甲追上乙时所花时间为t，则（23x﹣13x）t＝2015n10x×t＝2015nt ＝，则甲追上乙时，所走路程为：23x ×，要恰好在旗子位置追上，则所走路程一定为整数，即n为偶数，所以n＝2，4，6，8，10（最多多跑23﹣13＝10圈）；即甲追上乙则需比乙多跑2，4，6，8，10圈时，正好在旗子位置追上，13综上所述，甲正好在旗子位置追上乙5次．答：甲正好在旗子位置追上乙5次．11．（10分）两人进行乒乓球比赛，三局两胜制，每局比赛中，先得11分且对方少于10分者胜，10平后多得2分者胜．两人的得分总和都是31分，一人赢了第一局并且赢得了比赛，那么第二局的比分共有多少种可能？【分析】为了便于说明，设赢的为甲，输的为乙．甲第一局获胜，如果第二局又胜则直接获胜总分一定比乙多不符合题意，所以甲第二局输第三局赢．由于每局最多相差2分获胜，所以甲第一、三局都赢，则一、三局至少会比乙多得2+2＝4分，所以乙第二局至少赢甲4分及以上，所以只能以11分取胜，否则不和比赛规则．然后讨论第二局的可能比分即可．【解答】解：设赢的为甲，输的为乙．甲第一局获胜，如果第二局又胜则直接获胜总分一定比乙多不符合题意，所以甲第二局输第三局赢．甲第一、三局都赢，则一、三局至少会比乙多得2+2＝4分，所以乙第二局至少赢甲4分及以上，所以只能以11分取胜．所以第二局的比分可以为：0：11，1：11，2：11，…7：11；共8种．（乙在第二局赢了多少分，甲都可以通过一、三局赢回多少分使两人总分相同，所以甲在第二局得分从0～7都可能；例如三局比分分别为20：18、0：11、11：2）答：第二局的比分共有8种可能．14三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）12．（15分）如图所示，点M是平行四边形ABCD的边CD上的一点，且DM：MC＝1：2，四边形EBFC为平行四边形，FM与BC交于点G．若三角形FCG的面积与三角形MED的面积之差为13cm2，求平行四边形ABCD的面积．【分析】想求出平行四边形的面积，就需要找到这个面积差13对应的面积份数．需要将这两个三角形建立关系．首先要知道在DEMBC中是沙漏模型，BCFGM也是沙漏模型，两个平行四边形的同底等高的，是面积相等的2个平行四边形．△BCF是平行四边形ABCD面积的一半．【解答】解：连接BD根据沙漏模型的对应边成比例可知：∵DE∥BC∴15旗开得胜∴令S△DEM＝a则S△CEM＝S△BDM＝2a，S△CBM＝4a∴S△BCF＝S BCE＝2+4＝6a∵MB∥CF∴∴∴∵S△GCF﹣S△DEM＝13∴∴a＝5s∵S△BCD＝S△BDM+S△BCM＝2a+4a＝6a∴S▱ABCD＝2×S BCD＝2×6a＝12a＝12×5＝60cm2答：平行四边形的面积是60cm216旗开得胜13．（15分）设“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”四个成语中的每个汉字代表11个连续的非零自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数．如果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是21，则“行”可以代表的数最大是多少？【分析】首先找出这些字的出现次数，注意重复的个数，然后表示出这11个数，再根据数字和为21，那么4个数字和就是84，在根据数字和一定时一个数字越大则另一个越小的关系找出最大值即可．【解答】解：经观察不难发现其中“一”，“言”，“举”，“知”，“行”，各出现两次，其它汉字只有一次．令这五个汉字所代表的数依次为a，b，c，d，e（均为正整数），设11个连续自然数为（x+1），（x+2），…（x+11），则（x+1）+（x+2）+…+（x+11）+a+b+c+d+e＝21×4，即11x+a+b+c+d+e＝18，则x＝0，且a+b+c+d+e＝1+2+3+4＝10时，e最大为8，11个数为1到11．可构造出“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”分别为“3，5，11，2”，“2，10，8，1”，“1，9，7，4”，“4，8，6，3”．综上所述：“行”可代表的数最大为8．17。
2015秋清华键
重点：一元一次方程(定义、解法、应用)
难点：一元一次方程的解法(步骤) 易错点：去分母时，不含有分母项易漏乘、解应用题时，不知道如何找等 量关系
第四章 图形认识实步 1.多姿多彩的图形 2.直线、射线、线段
3.角
4.课题实习----设计制作长方形形状的包装纸盒 重点：直线、射线、线段、角的认识、中点和角平分线的相关计算、余角和补 角，方位角等 难点：中点和角平分线的相关计算、余角和补角的应用 易错点：等量关系不会转化、审题不清
李昭晨：
学生基础还行，每次课上解题速度比较快， 作业也完成的不错。问题在于不喜欢接受更 多的方法，总觉得题目做出来就可以了，而 不想把一种题的多种思路都听懂，有好的基 础，但是需要更好的心态。
张欣然：
学生上课比较配合，作业完成的一般。目 前问题，计算还是容易错，说明做题的专注 力不够，有些问题弄懂了，但是没有更深层 的去总结，后期需要多自我总结。
初一下学期教学内容：
第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
相交线与平行线 实数 平面直角坐标系 二元一次方程组 不等式与不等式组 数据的收集、整理与描述
02
作业情况
姓 名
课 次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
彭天胤 高黎煜
李昭晨
张欣然 陈若佳 王裕文 赵玉磊 吴君哲
03
情况分析
第二章 整式的加减
1.整式
2.整式的加减 重点：单项式与多项式的概念及系数和次数的确定、同类项、整式加减 难点：单项式与多项式的系数和次数的确定、合并同类项 易错点：合并同类项、计算失误、整数次数的确定 中考必考：同类项、整数系数次数的确定、整式加减
清华数学试题及答案
清华数学试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个函数是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = |x| \)D. \( f(x) = \cos(x) \)答案：B2. 求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\) 的值是多少？A. 0B. 1C. \(\frac{1}{2}\)D. \(\infty\)答案：B3. 以下哪个矩阵是可逆的？A. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)B. \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)C. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)D. \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)答案：C4. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\) 的结果是多少？A. \(\frac{1}{3}\)B. \(\frac{1}{2}\)C. \(\frac{1}{4}\)D. \(\frac{1}{6}\)答案：A5. 以下哪个方程的解是 \(x = 2\)？A. \(x^2 - 4x + 4 = 0\)B. \(x^2 - 3x + 2 = 0\)C. \(x^2 - 5x + 6 = 0\)D. \(x^2 - 6x + 9 = 0\)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数 \(y = \ln(x)\) 的导数是 ________。
答案：\(\frac{1}{x}\)2. 向量 \(\vec{a} = (3, -2)\) 和 \(\vec{b} = (-1, 4)\) 的点积是 ________。
2015数学高中联赛试题及答案
2015数学高中联赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(2) \)的值。
A. -1B. -15C. 7D. 15答案：B2. 若\( a \)，\( b \)是方程\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)的两个根，求\( a^2 + b^2 \)的值。
A. 1B. 4C. 9D. 16答案：C3. 已知圆的方程为\( x^2 + y^2 = 9 \)，点P(1,2)在圆上，求过点P的切线方程。
A. \( y = x + 1 \)B. \( y = -x + 3 \)C. \( x + y - 3 = 0 \)D. \( x - y + 1 = 0 \)答案：C4. 若\( \sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \)，求\( \sin2\alpha \)的值。
A. 1B. \( \sqrt{2} \)C. -1D. -\( \sqrt{2} \)答案：A5. 已知等差数列\( \{a_n\} \)的首项为2，公差为3，求第10项的值。
A. 37B. 38C. 39D. 40答案：A6. 已知三角形ABC的三边长分别为3，4，5，求三角形ABC的面积。
A. 6B. 9C. 12D. 15答案：A二、填空题（每题5分，共20分）7. 若\( \log_{2}8 + \log_{4}16 = x \)，求\( x \)的值。
答案：38. 已知\( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{100} \)的和为S，求S的值。
答案：小于5但大于4.59. 若\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \)且\( x + y = 12 \)，求\( x \)和\( y \)的值。
2015年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2k 2 1 m2 ．②
由直线
AF1, l, BF1
的斜率
y1 , k, y2 x1 1 x2 1
依次成等差数列知，
y1 x1 1
y2 2k x2 1
，又
y1 kx1 m, y2 kx2 m ，所以 (kx1 m)(x2 1) (kx2 m)(x1 1) 2k(x1 1)(x2 1) ，化简并
棱两两异面的取法数为 4×2=8，故所求概率为 8 2 ． 220 55
2015A6、在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K (x, y) | ( x 3 y 6)( 3x y 6) 0 所对应的平
面区域（如图所示）的面积为
◆答案： 24 ★解析：设 K1 {(x, y) || x | | 3y | 6 0} ． 先考虑 K1 在第一象限中的部分，此时有 x 3y 6 ,故这些点
对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知， K1 对应的区
域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部．
同理，设 K2 {(x, y) || 3x | | y | 6 0} ，则 K2 对应
的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部．
由点集 K 的定义知，K 所对应的平面区域是被 K1 、K2
1 sin
cos4
cos 2 sin 2 sin
sin 2
(1 sin )(1 cos2 )
2 sin
cos2
2．
2015A 3、已知复数数列 zn 满足 z1 1，zn1 zn 1 ni (n 1,2,) ，其中 i 为虚数单位，zn 表
2011年清华大学金秋营数学试题及答案
y
k
n
=
k 0
a n, k x
n k
y (x+y)
k
an
1, k
an ,k
1
pan,k ,且 a k ,0 =a k,k =1
.
a n,k (2)
是以 p 为变元的整系数多项式
an
1 ,k
an,k
0
1
pan, k
1, k 2
=C 1 (a n =C 2 a n = =C
0 k 0
+pa n
1
1 1,k 1 )+C 1 (a n 1, k 1 +pa n 1, k
1 k
+C )p a n +
2 k
2
k ,2 +
+C k p an
k
k 1
an
k ,k
1 k 1
pa n
k ,1 +C
2 k 1
p an
k,2
+C k
k 1 k 1 1p
k, k
1 +C k 1
p+C
2 k 2
2
p +
+C
n k 1 n
p
n k 1
a n,k =1+C p+C
1 k
2 k 1
2
p +
)p
1,k 2
+C 2 pa n
2 1 ,k 1 +C 2
an
1, k
p
2
1 a n k 1,1 +C k
pa n
k
1, 2 +C
2 k
2015年决赛答案(数学一二年级)
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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2015年清华大学金秋营数学进阶试题
在清华大学金秋营比赛中，来自全国众多竞赛优秀学子获得了一等奖降至一本线、二等奖降60分、三等奖降40分的2016年自主招生降分优惠。
下面为清华大学数学金秋营数学进阶试题。
本试卷共六题，其中第1，2，3，4题每题15分，第5，6题每题20分．
1、给定正整数n，设实数a1,a2,⋯,a n；x1,x2,⋯,x n；y1,y2,⋯,y n满足
a⩽a i⩽b, i=1,2,⋯,n,
且
证明：
2、设凸五边形A1A2A3A4A5的面积为S，三角形△A5A1A2，△A1A2A3，△A2A3A4，△A3A4A5，△A4A5A1的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，证明：S1+S2+S3+S4+S5>S．
3、给定正整数n．设实数x1,x2,⋯,x n满足
,∀i≠j,|xi−xj|⩾1,
证明：所有n3个表达式x i x j+x k（其中1⩽i,j,k⩽n）至少能取到n(n−1)/2个不同的值．
4、设a,b,n与n!/a!b! 都是正整数，证明
a+b<n+1+2log2n.
5、给定正整数n．称集合{1,2,⋯,n}的子集族D是“向下封闭”的，如果它满足如下条件：如果A是子集族D的成员，B是A的子集，则B也是D的成员．对于“向下封闭”的子集族（集合的一个子集族是指由若干个的子集所构成的集合），求表达式
所能取到的最大值．
6．设p>5是素数且p≡1(mod4)．对于整数a，如果存在整数x使得
x2≡a(mod p),
则称a是“模p二次剩余的”．证明：对每个整数a，存在整数b, c，使得a=b+c且b, c都不是“模p二次剩余的”．
2015年清华大学金秋营数学进阶试题参考解答
【第1题】
【第2题】【第3题】
【第4题】
【第5题】
【第6题】。