22.3 第3课时 建立适当的坐标系解决实际问题
11 第3课时建立适当的坐标系解决实际问题
第二十二章二次函数22.3 实际问题与二次函数第3课时建立适当的坐标系解决实际问题典案三学案设计学习目标:1、体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值。
2、掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值。
学习重点:应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润。
学习难点:能够正确地应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润．特别是把握好自变量的取值范围对最值的影响。
学习过程:一、预备练习：1、如图所示的抛物线的解析式可设为，若AB∥x轴，且AB=4，OC=1，则点A 的坐标为，点B的坐标为；代入解析式可得出此抛物线的解析式为。
2、某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示。
现测得水面宽AB=4m，涵洞顶点O到水面的距离为1m，于是你可推断点A的坐标是，点B的坐标为；根据图中的直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数解析式可设为。
二、新课导学：例1、有座抛物线形拱桥(如图)，正常水位时桥下河面宽20m，河面距拱顶4m，为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水面在正常水位基础上上涨多少米时，就会影响过往船只航行。
例2、某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？例3、平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地视为抛物线，如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米、2.5米处，绳甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高版权均属于北京全品文化发展有限公司，未经本公司授权不得转载、摘编或利用其他方式版权均属于北京全品文化发展有限公司，未经本公司授权不得转载、摘编或利用其他方式是1.5米，请你算一算学生丁的身高。
三、课堂练习：1、河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所示的坐标系，其函数的解析式为y=2251x ，当水位线在AB 位置时，水面宽 AB = 30米，这时水面离桥顶的高度h 是（ ） A 、5米 B 、6米； C 、8米； D 、9米2、、一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m,拱高是2m.当水面下降1m 后,水面的宽度是多少?(结果精确到0.1m).3、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图,现测得，当水面宽AB ＝1.6 m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m ．这时，离开水面1.5 m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1 m ？4、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m ，顶部C 离地面高度为4．4m ．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m ，装货宽度为2．4m ．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．版权均属于北京全品文化发展有限公司，未经本公司授权不得转载、摘编或利用其他方式5、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m ，宽是2m ，抛物线可以用 表示.（1）一辆货运卡车高4m ，宽2m ，它能通过该隧道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？现实生活中，有许多物体是抛物线形状的，或物体运动的轨迹是抛物线型的，这类问题一般可以用二次函数的有关知识来解决．【要点梳理】例1.一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？答案：解：（1）由题意可知抛物线的顶点坐标（4，6），设抛物线的方程为y=a （x-4）2+6，又因为点A （0，2）在抛物线上，所以有2=a （0-4）2+6．所以a=41-． 因此有：y=41-(x-4)2+6．版权均属于北京全品文化发展有限公司，未经本公司授权不得转载、摘编或利用其他方式（2）令y=4，则有4=41-(x-4)2+6，解得2241+=x ，2242-=x ，|x 1-x 2|=24＞2，∴货车可以通过；（3）由（2）可知 21|x 1-x 2|=22＞2， ∴货车可以通过．练习：如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱桥离水面2m ，水面宽4m ，水面下降1m,水面宽度增加多少？ 答案：解：如图，建立直角坐标，可设这条抛物线为y=ax 2，把点（2，-2）代入，得-2=a ×22，解得21-=a ， ∴221x y -=， 当y=-3时，3212-=-x ，x=±6． ∴水面下降1m ，水面宽度增加（462-）m ．【课后盘点】1．一名男同学推铅球时，铅球行进中离地的高度y （m ）与水平距离之间的关系是21251233y x x =-++，那么铅球推出后落地时距出手地的距离是（ D ）版权均属于北京全品文化发展有限公司，未经本公司授权不得转载、摘编或利用其他方式A ．53米B ．4米C ． 8米D ．10米2．某幢建筑物，从10米高的窗口A 用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），（如图）如果抛物线的最高点Ｍ离墙1米，离地面403米，则水流下落点B 离墙距离OB 是（ B ）A ．2米B ．3米C ．4米D ．5米3．小明在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数23.54.9h t t =-（t 的单位：s ，h 的单位：m ）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（D ）（A ）0．71s （B ） 0．70s （C ）0．63s （D ）0．36s4．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m ，拱顶距水面4m ．（1）在如右图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的函数解析式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h （m ）时，桥下水面的宽度为d （m ），求出将d 表示h 的函数解析式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，•桥下水面宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时，就会影响过往船只在桥下顺利航行？答案：解：解：（1）设该抛物线的解析式是y=ax 2，结合图象，把（10，-4）代入，得100a=-4，251-=a ， 则该抛物线的解析式是2251x y -=． （2）当x=9时，则有24.392512-=⨯-=y ， 4+2-3.24=2.76（米）．所以水深超过2.76米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．5．某公园要建造一个如图1的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O 恰在水面中心，OA=0.81米，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上抛物线路径如图2所示．为使水流形状较为漂亮，设计成水流在与OA 距离为1米处达到距水面最大高度2.25米，如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？版权均属于北京全品文化发展有限公司，未经本公司授权不得转载、摘编或利用其他方式答案：解：根据题意建立如图所示的直角坐标系：可得二次函数的顶点坐标为（1，2.25），且图象过（0，0.81）点，∴y=a （x-1）2+2.25，∴0.81=a+2.25，∴a=-1.44，y=-1.44（x-1）2+2.25，当y=0时-1.44（x-1）2+2.25=0， 即144225)1(2=-x ， 解得x 1=2.25，x 2=-0.25＜0（舍去）．答：水池半径至少为2.25米．6．某跳水运动员进行10m 跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线为如图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员是在空中的最高处距水面1023m ，入手处距池边的距离为4m ；同时，运动员在距水面高度为5m 或5m 以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为335m ，问此次跳水会不会失误？•并通过计算说明理由；版权均属于北京全品文化发展有限公司，未经本公司授权不得转载、摘编或利用其他方式答案：解：（Ⅰ）在给定的直角坐标系下，设最高点为A ，入水点为B ．抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c ．由题意知：O 、B 两点的坐标依次为（0，0）、（2，-10），且顶点A 的纵坐标为32， 所以有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++=-=1024324402c b a a b ac c 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=0310625c b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=0223c b a ∵抛物线对称轴在y 轴右侧，∴ a b 2-＞0，又∵抛物线开口向下，∴a ＜0，b ＞0， 后一组解舍去．∴ 0,310,625==-=c b a ． ∴抛物线的解析式为 x x y 3106252+-=． （Ⅱ）由题意要使某次跳水不至于失误，那么运动员在空中调整好入水姿势时，距水面高度不小于5m ． 则应有y ≥-5．即53106252-≥+-x x ，解得 53425342+≤≤-x ∴运动员此时距池边的距离至多为5341225342+=++m ．8.如图，已知△ABC 的面积为5，点M 在AB 边上移动（点M 与A 、B 不重合），MN ∥BC ，MN 交AC 于点N ，连接BN ．设AM x AB=，MBN S y =△ （1）求y 关于x 的函数关系式，写出自变量x 的取值范围；（2）点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，设△MBN 与△EBF 的公共部分的面积为S ，试用含x 的代数式表示S ．（3）当第（2）问中的S ＝15时，试确定x 的值．（不必写出解题过程）版权均属于北京全品文化发展有限公司，未经本公司授权不得转载、摘编或利用其他方式 AB C F N ME答案：解：解：（1）∵MN ∥BC ，∴△AMN ∽△ABC∴S △AMN ：S △ABC =（ABAM ）2， 即S △AMN ：5=x 2，∵S △MBN ：S △AMN = 11-x， ∴S △MBN =-5x 2+5x∴y=-5x 2+5x （0＜x ＜1）；（2）∵E 、F 分别是边AB ，AC 的中点，∴FE ∥BC ∥MN ，①当0＜x ≤21时，△MBN 与△EBF 的公共部分的三角形与△MBN 相似， ∴y ：S=4（1-x ）2，∴xx S 445-=， ②当21＜x ＜1时，△MBN 与△EBF 的公共部分的三角形与△EBF 相似， ∴S ：S △BEF =4（1-x ）2，∵S △BEF=45， ∴S=5（1-x ）2；（3）当S= 51时，x=294或x=54．。
部编数学九年级上册22.3第3课时拱桥问题和运动中的抛物线含答案
第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线知识点：利用二次函数解决抛物线的问题，如隧道、大桥和拱门等，要恰当地建立平面直角坐标系，从而确定抛物线的解析式，然后利用抛物线的性质解决实际问题。
一、选择1．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）A ．y=-2x 2B ．y=2x 2C 、212y x =-D 、212y x =第1题 第2题 第3题 第4题2、有长24m 的篱笆，一面利用围墙围城如图中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的垂直于墙的一边长为xm ，面积是sm 2，则s 与x 的关系式是（ ）A 、2324s x x =-+B 、2224s x x =-+C 、2324s x x =--D 、2224s x x=-+米，则铅球运行路线的解析式为（ ）B 、y 、国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为A 、y=36（1-x ） B 、y=36（1+x ）C 、218(1)y x =+D 、218(1)y x =-7、如图，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 分别是边BC 和CD 上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E 、F 怎样动，始终保持AE ⊥EF ．设BE=x ，DF=y ，则y 是x 的函数，函数关系式是（ ）A 、1y x =+B 、1y x =-C 、21y x x =-+D 、21y x x =--第5题 第7题 第8题8、某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x 2+4x （单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）A 、4米B 、3米C 、2米D 、1米二、填空题厘米，面积随之增加平方厘米，米，现把它第10题 第13题 第14题 第15题3、二次函数2y ax bx c =++中，2b ac =，且x=0时y=4,则y 的最（大或小）值=4、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形，则这两个正方形的面积之和的最小值是5、如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如果他的出手处A 距地面OA 为1m ，球路的最高点为B （8,9），则这个二次函数的表达式为 ，小孩将球抛出约 米。
22.3.3建立适当坐标解决二次函数问题
2.一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,如图2,已知球在A处出手 时离地面20/9 m,与篮筐中心C的水平距离是7m,当球运行的水 平距离是4 m时,达到最大高度4m（B处）,设篮球运行的路线 为抛物线.篮筐距地面3m. ①问此球能否投中?
∴这条抛物线所表示的二 次函数为: y 0.5( x 2 )2 2 当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-1,这时有:
x1 2 6 , x2 2 6
∴这时水面的宽度为:
x2 x1 2 6 m
∴当水面下降1m时,水面宽 度增加了( 2 6 4 )m 返回
1 0.5( x 2 )2 2
例:某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽 AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车 欲通过大门,货物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽 车能否顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若不能, 请简要说明理由.
解：如图，以AB所在的直线为x轴， 以AB的垂直平分线为y轴，建立平面 直角坐标系. ∵AB=4 ∴A(-2,0) B(2,0) ∵OC=4.4 ∴C(0,4.4) 设抛物线所表示的二次函数为
3 0.5 x 2 x 6
解二 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线 的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系. 此时,抛物线的顶点为(0,2) ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
y ax2 2
当拱桥离水面2m时,水面宽4m 即:抛物线过点(2,0)
y ax2 4.4
4 a 4.4 0 a 1.1
∵抛物线过A(-2,0)
∴抛物线所表示的二次数为 y 1.1 x 2 4.4
当x 1.2时，y 1.1 1.2 2 4.4 2.816 2.7
推荐-九年级数学上册人教版22.3_实际问题与二次函数_第3课时探究3ppt课件
“二次函数应用”的思路 回顾上一节“最大利润”和本节“桥梁建筑”解决问题的 过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴 交流. 1.理解问题; 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系 3.用数学的方式表示出它们之间的关系; 4.做数学求解; 5.检验结果的合理性
练习：
河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，
∴汽车能顺利经过大门.
实际问题
抽象 转化
运用 数学问题 数学知识 问题的解决
解题步骤：
1.分析题意，把实际问题转化为数学问题，画出图形.
2.根据已知条件建立适当的平面直角坐标系.
3.选用适当的解析式求解.
4.根据二次函数的解析式解决具体的实际问题.
谢谢！
We are so hungry.How can we get to Italian restaurant?W e are in front of the cinema. Let’s go straight and turn left at the bookstore. Follow me. 加热高锰酸钾制取氧气的装置 适合用双氧水在二氧化锰作催化剂 条件下制取氧气吗？为什么？
y0.5x22
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:
10.5x22 x 6
这时水面宽度为 2 6m
∴当水面下降1m时,水面宽度增加了 (2 64)m
解法三:如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x
轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面
直角坐标系.
此时,抛物线的顶点为(2,2) ∴可设这条抛物线所表示
1根据题意建立适当的平面直角坐标系2把已知条件转化为点的坐标3合理设出函数解析式4利用待定系数法求出函数解析式5根据求得的解析式进一步分析判断并进行有关的计算
建立适当坐标系解决实际问题
22．3 实际问题与二次函数
第3课时 建立适当坐标系解决实际问题
1．(2016·日照)如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为 2 米时，水面宽度为 4 米，那么当水位下降 1 米后，水面的宽度为2__6__米．
2．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为 O，B，以点 O
∴抛物线的函数解析式为 y＝－215x2 (2)再过 20 h 就能到达桥面
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9．如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端 A 处弹跳到人梯 顶端椅子 B 处，其身体(看成一点)的路线是抛物线 y＝－35x2＋3x＋1 的 一部分．
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10．(2016·朝阳)为备战奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国 争光，如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高 度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C 点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最 高点G，建立如图所示的平面直角坐标系．
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8．如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20 m， 水位上升3 m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10 m.
(1)建立如图的坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)若洪水到来时水位以0.2 m/h的速度上升，从正常水位开始，再 过几小时就能到达桥面？
九年级数学上册第22章二次函数22.3实际问题与二次函数(3)建立适当坐标系学案(无答案)(新版)新人教版
22.3 实际问题与二次函数（3）-建立适当坐标系 一、温故知新 1.已知抛物线过点（-1，-1），（0，-2），（1,1） 求其解析式。
2.抛物线的顶点是（1,-4），过点A（2，-3），求其解析式。
二、学习新知 问题：如图为抛物线形的拱桥，当水面在L时，拱顶离水面2 m，水面宽 4 m，水面下降1 m时，水面宽度增加多少？ 分析：（若是你自己有思路就不要看分析，先自己试一试列一列） 1.求宽度增加多少需要什么数据？即先求什么？ 2.“拱顶离水面2m，水面宽4m”这句话能帮助你确定点的坐标是 ， 3.以 为原点，以 为y轴建
立平面直角坐标系，可设此抛物线 的解析式为 。 解：
归纳：用二次函数的知识解决现实生活中抛物线形实际问题的一般步骤： 1.把实际问题转化为数学问题， 2.建立适当的 ， 3.求出抛物线 ， 4.结合抛物线解决实际问题
三、巩固训练 1.有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m． （1）如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式； （2）设正常水位时桥下的水深为 2 m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 18 m．求水深超过多少 m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行．
2.有一抛物线形的立交拱桥，这个拱桥的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的图形放在坐标系中（如图所示）。若在离跨度中心M点5m处垂直竖立一铁柱支撑拱顶，这铁柱应取多长？
四、 拓展延伸
1.如图, 厂门的上方是一段抛物线,抛物线的顶点离地面的高度是3.8m。 (1)建立适当的直角坐标系，求抛物线的解析式 选做（2）一辆装满货物的卡车,宽为1.6m,高为2.6m,要求卡车的上端与门的距离不小于0.2m,这辆卡车能否通过厂门?
五、课堂小结 __________________________________
223 实际问题与二次函数(第3课时)(教案)
备课人：王 帅 审核人：胡哲 授课时间：2015年10月 日
一、新知探究 ： 3]：图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水 2 m 时，水面宽 4 m . 水面下降 1 m 水面宽度增加多少？ 想一想：二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．从而求出水面下降
1 m 时，水面宽度增加多少?
②可设这条抛物线表示的二次函数为：
【归纳】(1)用二次函数知识解决拱桥类的
实际问题一定要建立适当的直角坐标系．解题简便．
教学内容 课前预习：1.函数y=ax 2
条_______，它的______，对称轴是______，当时，开口向上，当a______O
抛物线y=2
1x 的顶点坐标是有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面20米，拱顶距离水面如图26-3-12所示的直角坐标系中，求（3）你学到了哪些思考问题的方法？1．能力培养
2．学案中课后作业部分．
22.3 实际问题与二次函数（第例3： 习题。
九年级数学上册22.3实际问题与二次函数(第3课时)教案新人教版(1)
实际问题与二次函数教学内容22.3 实际问题与二次函数（3）．教学目标1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．教学重点1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．2．将实际问题转化成二次函数问题．教学难点将实际问题转化成二次函数问题．教学过程一、导入新课复习二次函数y＝ax2的性质和特点，导入新课的教学．二、新课教学探究3 下图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4 m．水面下降1 m，水面宽度增加多少?教师引导学生审题，然后根据条件建立直角坐标系．怎样建立直角坐标系呢？因为二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．为解题简便,以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系．教师可让学生自己建立直角坐标系，然后求出二次函数的解析式．设这条抛物线表示的二次函数为y ＝ax 2．由抛物线经过点（2，－2),可得这条抛物线表示的二次函数为y ＝－21x 2． 当水面下降1m 时，水面宽度就增加26－4 m ．三、巩固练习 一个涵洞成抛物线形，它的截面如右图所示，现测得，当水面宽AB ＝1。
6 m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m ．这时，离开水面1。
5 m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1 m ？分析：根据已知条件，要求ED 的宽，只要求出FD 的长度．在如右图的直角坐标系中，即只要求出D 点的横坐标．因为点D 在涵洞所成的抛物线上,又由已知条件可得到点D 的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D 的横坐标．2．让学生完成解答，教师巡视指导．3．教师分析存在的问题，书写解答过程．解：以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴,建立直角坐标系．这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为 y ＝ax 2 （a ＜0） ①因为AB 与y 轴相交于C 点,所以CB ＝错误!＝0。