第6讲 群的同态
群的子结构与同态 高等代数知识点梳理
群的子结构与同态高等代数知识点梳理群的子结构与同态在高等代数中，群是一种重要的代数结构，它是一个集合，伴随着一种二元运算，满足一定的性质。
群的子结构和同态是群论中的重要概念，本文将对这两个知识点进行梳理和讨论。
一、群的子结构一个群G的子结构是指一个集合H，该集合是G的一个子集，并且在与G相同的二元运算下也构成一个群。
也就是说，H中的元素在乘法运算下封闭，并且存在单位元和逆元。
给定一个群G，如果H是G的一个子集，那么H被称为G的子群，记作H ≤ G。
子群的构成必须满足以下条件：1. H中的元素在G中也存在，即对于任意h∈H，有h∈G。
2. 子群H在G的乘法运算下封闭，即对于任意h1、h2∈H，有h1h2∈H。
3. 子群H含有单位元，即存在一个元素e∈H，满足对于任意h∈H，有he=eh=h。
4. 子群H中的元素存在逆元，即对于任意h∈H，存在一个元素h'∈H，使得hh'=h'h=e。
通过子群的构成，我们可以将群G分解为不同的子群，这种分解可以帮助我们更好地理解和研究群的性质和结构。
二、群的同态群同态是指两个群之间的映射，满足一定的性质。
给定两个群G和H，一个从G到H的映射f：G→H被称为一个群同态，如果它满足以下条件：1. 对于任意的g1、g2∈G，有f(g1g2) = f(g1)f(g2)。
即群的乘法运算在映射下保持不变。
2. 映射f保持单位元，即f(e_G) = e_H，其中e_G和e_H分别是G 和H的单位元。
3. 对于任意的g∈G，映射f(g)在H中存在逆元，即f(g)^-1存在于H中。
群的同态在群论中具有重要的应用，它能够帮助我们研究群之间的关系和结构。
三、群的子结构与同态的关系群的子结构和同态之间存在着紧密的联系。
对于一个群G和它的子群H，我们可以定义一个自然同态f：G→G/H，其中G/H是从G到H 的商群。
这个自然同态将群G映射到其子群H的陪集空间上。
同时，我们可以定义一个同态g：G→G/N，其中G/N是从G到H 的正规子群。
群同态基本定理与同构定理
在代数学中，同构定理是研究群论的重要工具。例如，可以利用同构定理来研究群的性质、结构以及 群之间的关系。
03
群同态基本定理与同构定 理的关系
两者之间的联系
01
群同态基本定理是同构定理的基础，它为同构定理提供了基本 的理论支持。
02
同构定理是群同态基本定理的推广，它把群同态基本定理中的
群推广到更一般的代数结构。
深入，人们发现非交换群在许多领域中也有着广泛的应用。因此，对非
交换群的同态基本定理的研究也变得十分重要。
定理的深化
精细的同态基本定理
在群同态基本定理的证明过程中，有一些关 键的步骤需要用到一些特殊的技巧和方法。 这些技巧和方法可以被称为精细的同态基本 定理。它们对于理解群的结构和性质具有重 要的意义。
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限群。无限群是指包含无限个元素的群，其运算并不一定满足封闭性，
因此需要更精细的处理方法。
02
从群到环和域
群同态基本定理的推广并不仅限于群，还可以将其推广到环和域等数学
对象。这些对象在代数学中被广泛研究，因此，对它们的同态基本定理
的研究也具有重要意义。
03
从交换群到非交换群
在最初的研究中，群同态基本定理主要关注的是交换群，但随着研究的
两者都是研究群的结构和性质的重要工具。
03
两者之间的区别
群同态基本定理主要关注的是有限群与其子群之间的映射关系，而同构定理则更注重不同代数结构之 间的映射关系。
群同态基本定理的证明方法相对简单，主要基于群的定义和性质，而同构定理的证明则更加复杂，需要 引入更多的代数工具。
在应用上，群同态基本定理主要用于解决有限群的问题，而同构定理则可以应用于更广泛的代数结构， 包括环、域、模等。
密码学数学基础第六讲 群(1)
例2 在群< Z , + >中，
30 = 0
在群 < Z3 , ⊕ >中，
20 = 0 23 = 2 ⊕ 2 ⊕ 2 = 0
2−3 = (2−1 )3 = 13 = 0
35 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15
3−5 = (3−1 )5 = (−3)5 = −15
定理1 中的幂运算性质如下： 定理 群<G，*>中的幂运算性质如下： ， 中的幂运算性质如下
四、子群及其如果H关于 的非空子集， 定义 设<G，*>为群，H是G的非空子集，如果 关于 ， 为群 G中的运算 构成群，则称 是G的子群，记作 H ≤ G。若H 中的运算*构成群 的子群， 中的运算 构成群，则称H是 的子群 的子群， 的真子集， 的真子群， 是G的子群，且是 的真子集，则称 是G的真子群，记 的子群 且是G的真子集 则称H是 的真子群 作H < G 。 例1 的子群。 nZ = {nZ | n ∈ N }是整数加群 < Z , + > 的子群。 的真子群。 当 n ≠ 1 时，nZ是Z的真子群。 是 的真子群 定义2 也是G的子群 的平凡子群。 定义 G和{e}也是 的子群，称为 的平凡子群。 和 也是 的子群，称为G的平凡子群
定理2 为群， ∈ ， 是整数， 定理 设<G，*>为群，a∈G，且|a|＝r。设k是整数， ， 为群 ＝。 是整数 当且仅当r|k。 则 a k = e当且仅当 。 定理3 为群， 与其逆元a 定理 设< G，*>为群，则群中任何元素 与其逆元 -1具 ， 为群 则群中任何元素a与其逆元 有相同的阶。 有相同的阶。
群论中的同态同构与正规子群
群论是数学中的一个重要分支，研究群的结构与性质。
在群论中，同态同构和正规子群是两个关键概念。
同态同构指的是两个群之间元素间的一种对应关系，保持群的操作性质。
具体来说，如果有两个群G和H，一个函数f：G→H被称为同态同构，如果对于任意的a，b∈G，f(a⋅b)=f(a)⋅f(b)。
这意味着同态同构将群G中的运算保持到群H中。
同时，同态同构还要满足以下几个条件：（1）f(eG)=eH，其中eG和eH分别是群G和H 的单位元；（2）f(a(-1))=f(a)(-1)，其中a^(-1)表示a在G中的逆元；（3）f是一个双射。
这些条件保证同态同构在保持群的结构与性质上是严格相等的。
正规子群是一个群的子群，具有特殊的性质。
一个群G的子群N被称为正规子群，如果对于任意的a∈G和n∈N，有a⋅n⋅a^(-1)∈N。
也就是说，一个正规子群在进行群操作后仍然保持在子群中。
正规子群在群论中是非常重要的，它们可以用来构造新的群，并研究群的结构。
同态同构和正规子群之间有一个重要的关系，即同态像的核与正规子群的关系。
同态像是指同态同构f的象f(G)，即f(G)={f(a)|a∈G}，这是群G的所有元素经过同态映射后得到的集合。
核是指同态同构f的零空间，即核(f)={a∈G|f(a)=eH}，其中eH是群H的单位元。
显然，核是群G的一个子群。
然而，当核是正规子群时，同态像更特殊。
事实上，正规子群是同态像的核的充分必要条件。
这个结论被称为同态基本定理。
同态基本定理是群论中的一个基本结果，它建立了同态同构与正规子群之间的联系。
通过同态基本定理，我们可以通过研究任意一个同态同构来研究它的核和同态像，进而深入理解群的结构与性质。
这在抽象代数学中起到了重要的作用，并且被广泛应用于各个领域，如数论、几何学以及密码学等。
总之，群论中的同态同构和正规子群是两个基本概念，同态同构将一个群的结构保持到另一个群中，而正规子群在群操作后仍然保持在子群中。
群同态基本定理与同构定理
同构定理的推广
群同态基本定理和同构定理在密码学中有着广泛的应用，如公钥密码体制的设计和安全性证明。
密码学中的应用
群同态基本定理和同构定理在算法设计中有一定的应用，如在图算法中判断图的性质和结构。
算法设计中的应用
群同态基本定理与同构定理在理论计算机科学中的应用
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xx年xx月xx日
群同态基本定理与同构定理
群同态基本定理同构定理群同态基本定理与同构定理的关系群同态基本定理与同构定理的扩展形式
contents
目录
01
群同态基本定理
群的定义
定义映射f
第一步，证明f是单射
第二步，证明f是满射
第三步，证明f是同态
群同态基本定理的证明方法
01
02
03
04
通过研究群的同态，可以确定群的结构。
例子
整数环、多项式环、矩阵环等。
环的定义
方法一
利用定义证明。证明两个环的加法和乘法运算相同，即可证明两个环同构。
方法二
利用同态基本定理证明。证明存在一个满同态映射，即可证明两个环同构。
同构定理的证明方法
在代数几何中，同构定理可以用来将一个代数簇的方程转化为另一个代数簇的方程，从而研究原代数簇的性质。
在更一般的条件下，群同态基本定理的结论仍然成立。例如，当群的阶数不固定时，定理仍然适用。
非阿贝尔群的情况
对于非阿贝尔群，群同态基本定理同样适用，但证明方法需要更为复杂的代数技巧。
群同态基本定理的推广
同构定理的推广形式
同构定理可以推广到更一般的群结构，如群的扩张、群的直和等。
无限群的情况
对于无限群，同构定理同样适用，但证明方法需要引入新的分析工具和技术。
群同态定义,单、满同态,同构
群同态定义,单、满同态,同构群同态定义，单、满同态，同构群与关于其不变子群的商群之间有某种联系，这种联系从代数角度来说，就是它们之间有某种相互联系的代数性质，或者可以建立某种对应关系.本节将介绍群与群之间的对应关系，这种对应关系保持某种代数性质.定义1 设是两个群，如果存在映射保持代数运算，即称是到的一个同态;如果同态还是满射，称是满同态; 如果同态还是单射，称是单同态;既是满同态又是单同态的同态称为同构，这时也称群与同构，记为，需要强调这个同构映射时，可记作;当时，同态映射称为自同态，同构映射称为自同构.需要说明的是:根据同态定义，在保持运算的等式中，左边式子的“?”是按照中的运算，而右边式子中的“?”是按照中的运算. 例1 设是两个群，是的单位元，令则0是到的一个同态，称其为零同态，这个同态在任意两个群之间都存在. 例2 设是虚数单位，令则是到的同态.例3 设是虚数单位，令.则按数的乘法构成一个群，并且是到的同态，(请读者验证) 是满同态. 例4设令注意是一般线性群，是到的同态,(请读者验证) 是单同态.今后,常用表示.例5 设是群，是的一个不变子群，由上节是关于的商群.令则是到的同态，并且是满同态.这个同态称为到其商群的自然同态，这是一个非常重要的同态，今后经常用到.例6 设是所有次单位根构成的群，其中是次本原单位根，令则是到模剩余类加群的同构映射，因此.我们知道，若是集合到的映射，是到的映射，则映射合成是到的映射. 这个事实对于群也同样成立.命题1 设是群到的同态，是群到的同态，则作为映射合成的是到的同态.证明:是到的映射, 又，故是到的同态.实际上我们还有如下性质:命题2(1)设是群到的单同态，是群到的单同态，则作为映射合成的是到的单同态;(2)设是群到的满同态，是群到的满同态，则作为映射合成的是到的满同态;(3)设是群到的同构，是群到的同构，则作为映射合成的是到的同构.命题3 设是群到群的同态，则(1) 的单位元在下的像是单位元;(2) 中元素的逆元在下的像;(3) 的子群在下的像是的子群，并且如果是限制在上的映射，则是到上的满同态.证明:(1) 故.(2)所以。
群的同态定理
群的同态定理同态基本定理设f:G→H为群同态,那么同态核Ker f◃G,且G/Ker f≃Im f.反过来如果K◃G,那么映射π:G→G/K,g↦gK是⼀个满同态且其同态核K erπ=K.我们把π称为⾃然同态.这个定理的证明是容易的,告诉我们的是正规⼦群和同态核可以认为是⼀样的,也就是说⼀个正规⼦群可以看做某个群同态的同态核,反之同态核⼀定是正规⼦群.与⾼等代数中线性变换在⼦空间上的限制类似,我们考虑群同态在⼦群上的限制：设f:G→G′是⼀个群同态,⽽H是G的⼦群,我们考虑f在H上的限制f|H,我们有如下的结论:第⼀同构定理设K◃G,H≤G,那么H/H∩K≃HK/K此处蕴含着H∩K◃H以及K◃HK.证明对于⾃然同态π:G→G/K,我们考虑π在H上的限制π|H,⾸要问题是要知道π(H)的结构,按照⾃然同态的定义显然有π(H):={hK:h∈H}=HK/K此处如果直接写成H/K是有问题的,因为K未必是H的⼦群,所以商群未必有意义.所以这⾥⽤HK来进⾏修正.并且显然K erπ|H=H∩K,从⽽根据同态基本定理可知H/H∩K≃HK/K从证明过程可以看出第⼀同构定理就是⾃然同态在⼦群上的限制得到的同态基本定理。
另⼀个问题如果K◃G我们希望清楚商群G/K的⼦群是什么形式的,设A是G/K的⼦群,那么A由⼀些左陪集构成,我们把A中左陪集的全体代表元构成的集合记作H,即H:={a:aK∈A},不难验证H构成G的⼦群且K⊂H.由于K◃G,那么K◃H,从⽽商群H/K有意义了,不难发现A=H/K.以上分析说明商群G/K的⼦群必形如H/K,其中H是G的包含K的⼦群.进⼀步的,如果H/K是G/K的正规⼦群，要求H也是G的正规⼦群,反过来是否成⽴呢?我们有如下的第⼆同构定理:设G是群,K◃G,⾃然同态π:G→G/K建⽴了群G的包含K的⼦群和商群G/K的⼦群之间的⼀⼀对应,并且把包含K的正规⼦群对应成G/K的正规⼦群.详⾔之：若K⊂H≤G等价于π(H)/K≤G/K;K⊂H◃G等价于π(H)/K◃G/K.进⼀步的有G/H≃(G/K)/(H/K)证明命∑1:={H≤G:K≤H≤G}即为G的包含K的⼦群的全体,∑2:={H/K:K◃H≤G}即为商群G/K的⼦群的全体,考虑映射f:∑1→∑2,H↦H/K我们来说明这是⼀个双射：⾸先如果H1/K=H2/K,那么∀h∈H1有hK∈H2/K⇒h∈H2⇒H1⊂H2,同理H2⊂H1,从⽽H1=H2,这说明f是单射;再来说明f是满射,对G/K的任意⼦群H/K,经过前⾯的分析我们知道必然有H≤G,这便说明了f是满的.综上可知这是⼀个⼀⼀映射.再者如果H∈∑1且H◃G,那么对任意的aK∈H/K以及gK∈G/K有gK⋅aK⋅(gK)−1=gag−1K∈H/K从⽽H/K◃G/K;反之如果H/K◃G/K,那么对任意的aK∈H/K,gK∈G/K(也就是a∈H,g∈G)有gK⋅aK⋅(gK)−1=gag−1K∈H/K⇒gag−1∈H,从⽽H◃G.最后再来说明最后⼀个同构的式⼦,仅需考虑同态ϕ:G/K→G/H,gK↦gH,⾸先需要说明的是这个定义是⽆⽭盾的,即若aK=bK,那么b−1a∈K⊂H⇒aH=bH.再者显然这是⼀个同态,根据同态基本定理有(G/K)/K erϕ≃G/H,⽽若gK∈K erϕ,那么gH=H⇒g∈H⇒K erϕ⊂H/K;另⼀⽅⾯若h∈H,那么ϕ(hK)=hH=H⇒hK∈Kerϕ⇒H/K⊂K erϕ,综上H/K=K erϕ.从⽽G/H≃(G/K)/(H/K)Processing math: 100%。
B_6_4_6.4-群的同态及同构
一、群的同态映射
◦ e e a a b b sr sr3 e e e a a b b sr sr3 e e e a a b b sr3 sr a a a e e sr sr3 b b a a a e e sr3 sr b b b b b sr3 sr e e a a b b b sr sr3 e e a a sr sr sr3 b b a a e e sr3 sr3 sr b b a a e e
一、群的同态映射
◦ e e r r3 s sr2 sr sr3 e e e r r3 s sr2 sr sr3 e e e r3 r sr2 s sr3 sr r r r3 e e sr sr3 sr2 s r3 r3 r e e sr3 sr s sr2 s s sr2 sr3 sr e e r3 r sr2 sr2 s sr sr3 e e r r3 sr sr sr3 s sr2 r r3 e e sr3 sr3 sr sr2 s r3 r e e
一、群的同态映射
定理6.4.1设σ是群(G,·)到代数系统(K,*)内的一个 同态映射， G′=σ(G) ，则 （1） (G′,*)是一个群， （2） (G′,*)的单位元1′就是(G,·)的单位元1的映像 σ(1) ， -1 -1 （3） 对任意a， s◦r◦r◦r
( {I, r, r2, r3, s, sr, sr2, sr3} ，◦ )是一个群 称为二面体群，记作D4或D8.
一、群的同态映射
◦ I r r2 r3 s sr sr2 sr3 I I r r2 r3 s sr sr2 sr3 r r r2 r3 I sr sr2 sr3 s r2 r2 r3 I r sr2 sr3 s sr r3 r3 I r r2 sr3 s sr sr2 s s sr3 sr2 sr I r3 r2 r sr sr s sr3 sr2 r I r3 r2 sr2 sr2 sr s sr3 r2 r I r3 sr3 sr3 sr2 sr s r3 r2 r I
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• 命题1.3.3 若 f
是群Ｇ到群Ｈ的一个同态, 则
•
f(eG)=eH ,
f(a－1) = f( a) －1 。
• 证明: a∈G, f(a) = f(eG a) = f(eG )f(a),等式两 端右f(a)的逆得 f(eG) = eH. • f(a－1) f( a)= f(a－1 a)= f(eG)=eH , • 故 f(a－1) = f( a) －1 。 ■
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• 定义 设 f 是群G到群H的一个映射,如果
• a,b∈G, f(ab)=f(a)f(b) [保持运算] • 则称 f 是Ｇ到Ｈ的一个同态（映射）． • 当是满射时，则称 f 是满同态，记 G～H； • 当是单射时，则称f是单同态； • 当是双射时，则称 f 是同构，记G≌H; • 当G=H时，则称 f 是G的自同态； • 何谓自同构？
第 6讲
群的同态
• 在平面几何学中,有两个非常熟悉的概念:全等 三角形和相似三角形. 请问: 这两个概念的思 想是什么? 通过比较进行分类 • 全等三角形具有完全相同的几何性质和数量 关系; 相似三角形具有相似的几何性质和数 量关系. • 问题: 比较的实质是什么?如何用数学语言来描述? • 比较的实质就是在两个事物之间建立一个对 应, 若能使相互对应的元素具有相同或相似的 属性, 就可以说这两个事物是一样的或相似的.
2014-9-7
3
• 命题1.3.4 (同态核)
• ker(f)={a∈G： f(a)=eH} G 。
• 证明: a,b∈ ker(f), f(a)=eH , f(b)=eH, 于是, • f(ab)= f(a) f(b)=eH ab∈ ker(f). • 由命题1.3.2得 f(a－1) = f( a) －1 = eH－1 = eH 。 • 因而 a －1 ∈ ker(f), 根据判定定理知 ker(f)G。 ■
• h=g. 所以, f 是单射, G与f(G)=H同构. ■
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7
• 注: 两个同构的群具有完全一样的运算性质,
其代数结构也完全一样.
• 代数学中主要是研究运算的一般性质, 而对承
载运算的集合是不注意的.
• 同构的群作为代数运算系统被看作是一样的. • Cayley定理告诉我们: • 第一,只需要研究变换群就可以了; • 第二,每个抽象群都有具体的模型.
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• 例. 域Ｆ上的N维向量空间Ｖ上的全体可逆线性变换 之集GLn(V)关于变换的合成运算构成一个群, 且与 GLn(F)同构. • 因为,两个可逆线性变换的合成还是可逆线性变换, 且可逆线性变换的逆变换还是可逆线性变换, 即, ∈GLn(V) 有 Nhomakorabea•
∈GLn(V), 且 -1 ∈GLn(V),
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4
• 命题1.3.5 (同态像)
• Im( f )= f(G)={f(a): a∈G} H.
• 证明: a,b∈ Im( f ), 有 x,y∈G使 f(x)=a, f(y)=b, 于是 •
•
ab= f(x) f(y)= f(xy) ∈ Im(f).
a－1 = f(x) －1 = f(x －1) ∈ Im( f ).
• 所以, GLn(V)是SV的子群, 因而是群.
• 给定V的一个基X, ∈GLn(V), 记关于基X 的矩 阵为f(), 在高等代数中已经证明, f 是群 GLn(V)到 群 GLn(F)的双射, 且保持运算. ■
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• 例.
• 对数函数log是乘法群R+到加群R的同构. • 设n是非零整数, 则 kkn 是加群Z到生成子 群 n={kn: kZ}=nZ的同态. • A|A|是 GLn(F)到乘法群F*的同态. ■
得 x＝ y．
• 令
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H={Ig: g∈G}，则Ｈ是SG的子群。
6
• 根据命题1.3.5, 其证明蕴涵于下面的证明.
• 2、验证同构映射 f :
• g,h∈G, x∈G,
G ＳG,
f(g)= Ig.
• Igh(x)=gh(x)=g(h(x))=Ig(Ih(x))=(IgIh)(x). • 故Igh =IgIh, 即 f(gh) = f(g) f(h). f 是同态映射. • 若 f(h) = f(g), 即 Ih = Ig, 于是, Ih(e) = Ig(e)
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• 根据判定定理知 Im( f )G。 ■
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5
• Cayley定理 每个抽象群必与某个变换群同构． • 证明：设Ｇ是任一群． • １、构造变换群
• g∈G, 令 Ig:G G, Ig(x)=gx, 则
Ig∈SG.
• Ig是满射: 每个 x∈G在Ig下都有原像g-1x; • Ig是单射: 若Ig(x)= Ig(y), 即gx＝gy，由消去律