基本不等式高考题练习 菁优网
基本不等式题型练习含答案
基本不等式题型练习含答案题目1：解不等式2x + 5 > 9。
解答1： 2x + 5 > 9 首先，将不等式两边都减去5。
2x > 4 然后，将不等式两边都除以2。
x > 2 所以，不等式的解集为x > 2。
题目2：解不等式3 - 2x ≤ 7。
解答2： 3 - 2x ≤ 7 首先，将不等式两边都减去3。
-2x ≤ 4 然后，将不等式两边都除以-2。
注意，因为除以负数会改变不等号的方向，所以需要将不等号反转。
x ≥ -2 所以，不等式的解集为x ≥ -2。
题目3：解不等式4x + 3 < 19。
解答3： 4x + 3 < 19 首先，将不等式两边都减去3。
4x < 16 然后，将不等式两边都除以4。
x < 4 所以，不等式的解集为x < 4。
题目4：解不等式5 - 3x > 8。
解答4： 5 - 3x > 8 首先，将不等式两边都减去5。
-3x > 3 然后，将不等式两边都除以-3。
注意，因为除以负数会改变不等号的方向，所以需要将不等号反转。
x < -1 所以，不等式的解集为x < -1。
题目5：解不等式2x - 1 ≤ 5x + 3。
解答5： 2x - 1 ≤ 5x + 3 首先，将不等式两边都减去2x。
-1 ≤ 3x + 3 然后，将不等式两边都减去3。
-4 ≤ 3x 最后，将不等式两边都除以3。
-4/3 ≤ x 所以，不等式的解集为x ≥ -4/3。
题目6：解不等式4 - 2x ≥ 10 - 3x。
解答6： 4 - 2x ≥ 10 - 3x 首先，将不等式两边都加上3x。
4 + x ≥ 10 然后，将不等式两边都减去4。
x ≥ 6 所以，不等式的解集为x ≥ 6。
题目7：解不等式2(3x + 1) > 4x + 6。
解答7： 2(3x + 1) > 4x + 6 首先，将不等式两边都展开。
基本不等式 基础练习题
解：∵a＞b＞0，ab=1∴a﹣b＞0 ∴
=
当且仅当a﹣b=
时取等号 故答案为
点评： 本题主要考查了基本不等式的应用和转化化归的数学思 想，注意不等式成立的条件（一正二定三相等）
15．（2014•江西一模）设x、y均为正实数，且
解：∵x∈（0，3）， ∴函数y=
+
≥
=3，当且仅当
，即x=1时取等号． ∴函数y=
+
的最小值为3． 故答案为：3．
点评： 本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于基础题．
7．（2015•杭州一模）已知实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+2y的最大
值为 2 ．
考点：
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解答：
，代入要求的式子，由基本不等式可得． 解：∵xy=1，∴y=
∴x2+2y2=x2+
≥2
=2
，
当且仅当x2=
，即x=±
时取等号， 故答案为：2
点评： 本题考查基本不等式，属基础题． 10．（2014•德州一模）若正数x，y满足2x+y﹣3=0，则
的最小值为 3 ．
考点： 专题： 分析：
解答：
，
∵x，y∈R+，
∴4x+y=
+ ≥3
=6，当且仅当x=
，y=4时取等号． ∴4x+y的最小值为6． 故答案为：6．
点评： 本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．
9．（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为 2
高中数学基本不等式习题
高二数学（必修5）不等式测试题一、选择题：1、若R c b a ∈,,，且b a >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．c b c a -≥+B ．bc ac >C ．02>-ba c D ．0)(2≥-cb a2、函数)12lg(21)(-+-=x xx f 的定义域为 （ ）A ．),21(+∞B ．)2,21(C ．)1,21(D ．)2,(-∞3、已知01<<-a ，则 （ ） A ．a aa 2212.0>⎪⎭⎫ ⎝⎛> B ．aaa ⎪⎭⎫ ⎝⎛>>212.02C ．a a a22.021>>⎪⎭⎫ ⎝⎛ D ．aaa 2.0212>⎪⎭⎫ ⎝⎛>4、不等式21≥-xx 的解集为（ ）A ．)0,1[-B ．),1[∞+-C ．]1,(--∞D ．),0(]1,(∞+--∞6、已知正数x 、y 满足811xy+=，则2x y +的最小值是 （ ）Ａ．18 Ｂ．16 C ．8 D ．107、下列命题中正确的是 ( )A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且B ．当0>x ，21≥+xx C ．当20πθ≤<，θθsin 2sin +的最小值为22 D ．当xx x 1,20-≤<时无最大值9、在约束条件024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35x ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是 （ ）A ．[6,15]B ．[7,15]C ．[6,8]D ．[7,8]二、填空题11、设y x ,满足,404=+y x 且,,+∈R y x 则y x lg lg +的最大值是 。
12、已知变量y x ,满足约束条件1≤y x +≤4,－2≤y x -≤2。
若目标函数(0)z ax y a =+>仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为___________.13、设a ＞0，且a ≠1，函数f (x )=a lg （x 2 －2a +1）有最小值,则不等式log a (x 2－5x +7) ＞0的解集为___________.14、某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x =_______ 三、解答题15、已知a , b 都是正数，并且a ≠ b ，求证：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 216、关于x 的不等式2680kx kx k -++<的解集为空集，求实数k 的取值范围.17、已知正数y x ,满足12=+y x,求yx 11+的最小值有如下解法：解：∵12=+y x 且0,0>>y x .∴242212)2)(11(11=⋅≥++=+xy xyy x y x y x∴24)11(min =+yx. 判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确解法．19、制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能出的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元？才能使可能的盈利最大？18、已知函数3222)(a b x a ax x f -++=，当)6()2(∞+--∞∈，， x 时，0)(<x f ；当)62(，-∈x 时，0)(>x f 。
基本不等式套卷 菁优网
基本不等式测试题一、选择题（共7小题，每小题4分，满分28分）1．（4分）已知x为正数，下列求极值的过程正确的是（）A．B．C．D．2．（4分）若a+b=1，恒有（）A ．B．C．a2b2≤16 D．以上均不正确3．（4分）（2009•天心区校级模拟）若x＞0，y＞0且，则xy有（）A ．最大值64 B．最小值C．最小值D．最小值644．（4分）a＞b＞0则的最小值（）A ．1 B．2 C．3 D．45．（4分）（2010春•沈阳校级期中）已知x2+y2=1，则（1﹣xy）（1+xy）有（）A．最大值，最小值1 B．最大值1，最小值C．最小值，无最大值D．最大值1，无最小值6．（4分）（2009•山东模拟）下列函数中，最小值为4的是（）A．B．（0＜x＜π）C．D．y=log3x+4log x37．（4分）已知x，y∈R+，x+y=p，xy=s，有下列命题其中正确命题的序号是（）A．如果s是定值，那么当且仅当x=y时p的值最大B．如果s是定值，那么当且仅当x=y时p的值最小C．如果p是定值，那么当且仅当x=y时s的值最大D．如果p是定值，那么当且仅当x=y时s的值最小二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）8．（5分）x＜0，当x=地，y=4﹣2x﹣的最小值．9．（5分）0＜x＜，当x=时，y=的最大值．10．（5分）某种汽车购车时费用为10万元，每年保险、养路、汽油费用9千元；汽车的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量逐年增加，则这种汽车最多使用的报废最合算？（即使用多少年的年平均费用最少）注：计算总维修费可用：．11．（5分）（2009•东城区二模）设x，y∈R+，x+y+xy=3，则x+y的最小值．12．（5分）（2014秋•东海县校级月考）的最小值是．13．（5分）将一块边长为42cm的正方形铁皮剪去四个角（四个全等的小正方形）做成一个无盖铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为cm．14．（5分）某工厂生产机器产品第二年比第一年增长的百分率P1，第三年比第二年增长的百分率为P2，第四年比第三年增长的百分率为P3，设年平均增长率为P，且P1+P2+P3为定值，则P的最大值为．三、解答题（共8小题，满分0分）15．①已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求的最小值．②0＜x＜2，求y=x（2﹣x）的最大值．16．求半径为R的球的内接圆柱的体积的最大值，且求出圆柱体积最大时的底面半径．17．已知f（x）=（4a﹣3）x+b﹣2a，x∈[0，1]，若f（x）≤2恒成立，求t=a+b的最大值18．例1．x、y、a、b∈R+，a、b为常数，且，求x+y的最小值．19．若直角三角形的内切圆半径为1，求其面积的最小值．20．利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．21．（2012春•雨城区校级期中）某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（如图），由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造间价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价．22．（2010春•双峰县校级月考）在某两个正数x，y之间，若插入一个正数a，使x，a，y 成等比数列；若插入两个正数b，c，使x，b，c，y成等差数列，求证：（a+1）2≤（b+1）（c+1）．2011年高三数学复习（第5章不等式）：5.3 基本不等式参考答案与试题解析一、选择题（共7小题，每小题4分，满分28分）1．（4分）已知x为正数，下列求极值的过程正确的是（）A．B．C．D．考点：基本不等式．专题：常规题型．分析：根据基本不等式的性质，依次分析选项，等号成立的条件（必须使各部分可以相等，即等式有解），可得答案．解答：解：根据基本不等式的性质，依次分析选项可得，A、原不等式是三项式，当且仅当x2=2x=时，等号成立，解可得，x无解，原不等式不成立，B、与A类似，要使原不等式成立，必须有2=x=成立．解可得x无解，故B错误；C、y=2+x+，先求（x+）的最小值，进而求y的最小值，符合基本不等式，正确；D、原不等式是三项相乘的形式，必须有x=1﹣x=1﹣2x，分析得无解，故D错误；故选C．点评：本题考查基本不等式的性质与运用，正确运用公式要求“一正、二定、三相等”，三者缺一不可．2．（4分）若a+b=1，恒有（）A ．B．C．a2b2≤16 D．以上均不正确考点：基本不等式．分析：利用基本不等式和不等式的性质进解答：解：∵a+b=1，∴1=（a+b）2=a2+b2+2ab≥2ab+2ab=4ab，当且仅当a=b=时取等号，∴ab，故选A．点评：本题考查了基本不等式的应用，是高考考查的重点内容之一，对于基本不等式不仅要熟练掌握其结构特征，还要掌握其变形公式及公式的逆用，特别是不等式成立的条件及等号成立的条件．3．（4分）（2009•天心区校级模拟）若x＞0，y＞0且，则xy有（）A ．最大值64 B．最小值C．最小值D．最小值64考点：基本不等式．专题：计算题．分析：和定积最大，直接运用均值不等式≥，就可解得xy的最小值，注意等号成立的条件．解答：解：因为x＞0，y＞0所以≥⇒xy≥64当且仅当x=4，y=16时取等号，故选D点评：本题考查了均值不等式，定理的使用条件为一正二定三相等，利用基本不等式可求最值，和定积最大，积定和最小．4．（4分）a＞b＞0则的最小值（）A ．1 B．2 C．3 D．4考点：基本不等式在最值问题中的应用．分析：本题可为三个数的和，将变为a﹣b+b+，用基本不等式求出最小值．解答：解：∵=a﹣b+b+≥=3，等号当且仅当a﹣b=b=时成立'故应选C．点评：本题考查三元的基本不等式公式，在人教A版本上是超纲内容．答题都答题时先确认自己学过相关公式否..5．（4分）（2010春•沈阳校级期中）已知x2+y2=1，则（1﹣xy）（1+xy）有（）A．最大值，最小值1 B．最大值1，最小值C．最小值，无最大值D．最大值1，无最小值考点：基本不等式在最值问题中的应用．分析：已知和是定值，凑式子为积形式，利用基本不等式求最值解答：解：（1﹣xy）（1+xy）=1﹣x2y2∵x2+y2=1∴x2y2≤（）2=当且仅当x2=y2=取等号∴1﹣x2y2≥又∵x2y2≥0∴1﹣x2y2≤1∴（1﹣xy）（1+xy）的最小值为，最大值为1故选项为B．点评：考查基本不等式a2+b2≥2ab的使用条件是a，b是任意实数，a+b≥2使用条件a，b都是正数．6．（4分）（2009•山东模拟）下列函数中，最小值为4的是（）A ．B．（0＜x＜π）C ．D．y=log3x+4logx3考点：基本不等式．专题：证明题．分析：通过给变量取特殊值，举反例可得选项A、D不正确，故可排除掉．对于选项B，使用基本不等式时，等号成立的条件不具备，故排除．剩下的一个选项可用基本不等式进行证明．解答：解：当x＜0时，＜0，故选项A显然不满足条件．当0＜x＜π时，sinx＞0时，≥4，当且仅当sinx=2时取等号，而sinx=2不可能，故有y＞4，故选项B不满足条件．当log3x＜0时，y=log3x+4logx3＜0，故选项D不满足条件．∵e x＞0，∴e x+≥2=4，当且仅当e x=2时，等号成立，故只有C满足条件，点评：本题考查基本不等式的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．7．（4分）已知x，y∈R+，x+y=p，xy=s，有下列命题其中正确命题的序号是（）A ．如果s是定值，那么当且仅当x=y时p 的值最大B ．如果s是定值，那么当且仅当x=y时p 的值最小C ．如果p是定值，那么当且仅当x=y时s 的值最大D ．如果p是定值，那么当且仅当x=y时s 的值最小考点：基本不等式．分析：利用均值不等式及其变形进行解答．解答：解：∵x，y∈R+，x+y=p，xy=s，∴p=x+y≥2=2①，，当且仅当x=y时取等号；∴如果s是定仅当x=y时p的值最小，故A错误，B正确；由①得，s≤=，当且仅当x=y时取等号；∴如果p是定值，那么当且仅当x=y时s的值最大，故C正确，D错误．故答案为B、C．点评：应用基本不等式时，要熟练掌握不等式成立的条件与重要不等式的变形．二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）8．（5分）x＜0，当x=﹣地，y=4﹣2x﹣的最小值4+2．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由题意利用基本不等式求出﹣2x﹣的最小值，并求出取最小知时的x的值，再求出y的最小值．解答：解：∵x＜0，∴﹣2x＞0，﹣＞0，由基本不等式得，﹣2x﹣≥2，当且仅当2x=时取等号，即x=±，由x＜0得，x=﹣；∴当x=﹣时，y有最小值4+2．故答案为：﹣，4+2．点评：本题考查了利用基本不等式求函数的最小值，注意三个条件即：一正二定三相等．9．（5分）0＜x＜，当x=时，y=的最大值．考点：函数的最值及其几何意义；函数的值域．专题：计算题．分析：令t=x（1﹣4x）=﹣4x2+x=﹣4（x﹣）2+\frac{1}{16}，则y=，当x=时，t有最大值为，故所求式子最大值为解答：解：因为函数t=x（1﹣4x）=﹣4x2+x=﹣4（x﹣）2+，∴x=时，t有最大值为：，∴y=有最大值为：点评：换元法，转化为求t的最大值，然后配方求t最大值，进而求出y的最大值．10．（5分）某种汽车购车时费用为10万元，每年保险、养路、汽油费用9千元；汽车的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量逐年增加，则这种汽车最多使用10的报废最合算？（即使用多少年的年平均费用最少）注：计算总维修费可用：．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题．分析：先列出用x年汽车每年的平均费用函数，再利用基本不等式求最值即可．解答：解：用x年汽车的总费用为100+9x+=100+10x+x2千元，故用x年汽车每年的平均费用为y==30千元=3万元．当且仅当，即x=10时=成立．故答案为：10点评：本题考查函数的应用问题、利用基本不等式求最值等知识，难度不大．11．（5分）（2009•东城区二模）设x，y∈R+，x+y+xy=3，则x+y的最小值2．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；换元法．分析：首先由等式x+y+xy=3，可得到x+y=3﹣xy，又根据基本不等式即有3﹣xy，可设，得到到关于t的不等式t2+2t﹣3≥0，求最小的解，即可得到答案．解答：解：因为：x，y∈R+，x+y+xy=3，则x+y=3﹣xy．又根据基本不等式有x+y．即有3﹣xy．，设＞则有不等式t2+2t﹣3≤0解得0＜t≤1．则x+y≥2故答案为2．点评：此题主要考查基本不等式的应用，其中涉及到变量代换思想．题目计算量小但覆盖的2个重要的知识点，属于中档题目．12．（5分）（2014秋•东海县校级月考）的最小值是．考点：基本不等式．分析：先将化为形式，但是不能直接用基本不等式求最值，因为等号取不到，可采用导数判单调性求最值．解答：解：，，则t≥2，则y′=≥0，所以在[2，+∝）上是增函数，所以在[2，+∝）上的最小值是2+=故答案为：点评：本题主要考查利用基本不等式求最值，利用基本不等式求最值时要注意等号是否能取到，容易出错．13．（5分）将一块边长为42cm的正方形铁皮剪去四个角（四个全等的小正方形）做成一个无盖铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为7cm．考点：基本不等式；函数的表示方法；函数的最值及其几何意义．专题：应用题．分析：首先由题意建立起无盖铁盒的体积函数，变形成为（42﹣2x）•（42﹣2x）•4x，分析得到其“和”是定值，联想到利用基本不等式利用求最值，当且仅当a=b=c时取等．解答：解：设剪去的小正方形的边长为xcm，则无盖铁盒体积V=（42﹣2x）2•x．所以：V=（42﹣2x）2•x=•（42﹣2x）•（42﹣2x）•4x=•3≤•[]3=•283，当且仅当42﹣2x=4x时，即x=7时取得最大值．故答案为：7．点评：此题主要考查利用基本不等式求最值在实际问题中的应用．前提是“一正二定三相等”，需通过变形技巧，得到“和”或“积”为定值的情形．然后应用不等式即可．14．（5分）某工厂生产机器产品第二年比第一年增长的百分率P1，第三年比第二年增长的百分率为P2，第四年比第三年增长的百分率为P3，设年平均增长率为P，且P1+P2+P3为定值，则P的最大值为．考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题．分析：按每一年的增长率计算第4年的产量，再按平均增长率计算第4年的产量，两种方法计算的结果相等，得到等式，再利用基本不等式求P的最大值．解答：解：设工厂产量为1，由题意知，1（1+p1）（1+p2）（1+p3）=1（1+p）3，∴1（1+p）3≤（）3，∴1+p≤，∴p的最大值为；故答案为．点评：本题考查利用基本不等式解决应用问题．三、解答题（共8小题，满分0分）15．①已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求的最小值．②0＜x＜2，求y=x（2﹣x）的最大值．考点：基本不等式；函数的最值及其几何意义．专题：计算题．分析：①由题意知=（a+b）（）=．由此可知的最小值．②由题意知y=x（2﹣x），由此可知y=x（2﹣x）的最大值．解答：解：①∵a＞0，b＞0，且a+b=1，∴=（a+b）（）=．∴的最小值是4．②∵0＜x＜2，∴y=x（2﹣x），∴y=x（2﹣x）的最大值是1．点评：本题考查不等式的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．16．求半径为R的球的内接圆柱的体积的最大值，且求出圆柱体积最大时的底面半径．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是棱柱、棱锥、棱台的体积，为求出圆柱体积最大时的底面半径，我们可以设圆柱体的底面半径为r，进而根据截面圆半径、球半径、球心距满足勾股定理，我们可以用R与r表示出圆柱的高，进而得到其体积的表达式，然后结合导数的性质，即可得到圆柱体积最大时的底面半径的值．解答：解：设圆柱体的底面半径为r，则球心到底面的高（即圆柱高的一半）为d，则d=，则圆柱的高为h=2则圆柱的体积V=πr2h=2πr2，设=t，则r2=R2﹣t2，V=2πt（R2﹣t2），V′=﹣6πt2+2πR2=﹣6π（t2﹣），当t2=时，V′=0，当t2＞时，V′＜0，当t2＜时，V′＞0，所以当t2=时圆柱的体值，此时R2﹣r2=，即r=R，因此当底面半径为时圆柱体积取最大值．点评：若球的截面圆半径为r，球心距为d，球半径为R，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，即R2=r2+d217．已知f（x）=（4a﹣3）x+b﹣2a，x∈[0，1]，若f（x）≤2恒成立，求t=a+b的最大值考点：函数最值的应用．专题：计算题．分析：比较新颖，利用函数的单调性建立a，b的关系，通过线性规划的知识解决最值问题．解答：解：根据题意，，由线性规划知识知，当，值．∴t=a+b的最大值为点评：本题考查了以函数恒成立为载体，利用线性规划知识求最值．18．例1．x、y、a、b∈R+，a、b为常数，且，求x+y的最小值．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题．分析：把代入x+y=（x+y）×1中化简整理后，根据均值不等式，求得x+y的最小值．解答：解：∵∴x+y=（x+y）×1=（x+y）•（）=a+b++≥a+b+2=a+b+2（当且仅当时等号成立）∴x+y的最小值为a+b+2点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．本题巧妙的利用了x+y=（x+y）×1，拼凑出了均值不等式的形式，达到了解题的目的．19．例2．若直角三角形的内切圆半径为1，求其面积的最小值．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题．分析：根据直角三角形内切圆的半径为1设，三边长为1+x，1+y，x+y，利用勾股定理求得x和y的关系式，根据均值不等式可求得xy的范围，进而利用面积公式求得三角形面积的表达式，进而根据xy的范围求得三角形面积的最小值．解答：解：设三边长为1+x，1+y，x+y，则（x+y）2=（1+x）2+（1+y）2，x+y+1=xy∵x+y≥2∴xy≥2+1∴xy≥3+2（当且仅当x=y时等号成立）∵面积S=（1+x）（1+y）=（x+y+xy+1）=xy≥3+2点评：本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，要熟练记忆基本不等式及其变形．20．利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；转化思想．分析：将，当x=0时，y=0，当x≠0时，=，当x＞0时，0＜y≤，当x＜0时，﹣≤y＜0，可以得出﹣≤y≤，得出最值即可，同理对进行变行求最值．解答：解：（1）当=0时，y=0，当x≠0时，=，用基本不等式若x＞0时，0＜y≤，若x＜0时，﹣≤y＜0，综上得，可以得出﹣≤y≤，∴的最值是﹣与．（2）=∵0＜x＜1∴1＜x+1＜2∴=≤等号当且仅当x=成立．综上，的最值是﹣与．当0＜x＜1时，的最大值是．点评：本题通过构造形式用基本不等式求最值，训练答题都观察、化归的能力．21．（2012春•雨城区校级期中）某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（如图），由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造间价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价．考点：函数的最值及其几何意义．专题：应用题．分析：由题意设污水池长为x米，则宽为米，表示出总造价y，然后利用基本不等式的性质进行求解．解答：解：设污水池长为x米，则宽为米，于是总造价为y=400（2x+×2）+248×2×+80×200=800（x+）+16000∴（x+≥2=36，当且仅当x=18时等号成立但x∉（0，16））由解得，12.5≤x≤16，而=x+在[12.5，16]上为减函数，∴f（x）=x+≥16+=16+，这时x=16，∴y≥800（16+）+16000=45000元，即最低造价为45000元．点评：此题是一道实际应用题，考查了函数的最值及其几何意义，解题的关键是利用不等式的性质进行放缩．22．（2010春•双峰县校级月考）在某两个正数x，y之间，若插入一个正数a，使x，a，y 成等比数列；若插入两个正数b，c，使x，b，c，y成等差数列，求证：（a+1）2≤（b+1）（c+1）．考点：基本不等式；等差数列与等比数列的综合．专题：证明题．分析：根据某两个正数x，y之间，若插入一个正数a，使x，a，y成等比数列，得到，在根据插入两个x，b，c，y成等差数列，得到b=，c=，从而将原不等式转化为关于x，y的关系式，再利用基本不等式即可解答：解：∵x，a，y成等比数列∴a2=xy∵a＞1∴∵x，b，c，y成等差数列∴b﹣x=c﹣b=y﹣c即b=，c=∴（b+1）（c+1）=（）=∵x＞0，y＞0∴≥=（a+1）2即：（a+1）2≤（b+1）（c+1）．点评：本题考查了基本不等式，等差数列与等比数列的综合，属于基础题．参与本试卷答题和审题的老师有：danbo7801；jj2008；minqi5；xintrl；wdnah；caoqz；gongjy；wdlxh；xiaolizi；zlzhan；geyanli；zhwsd；zhiyuan；733008（排名不分先后）菁优网2015年8月19日。
基本不等式高考题练习 菁优网
基本不等式高考题练习一．选择题（共15小题）1．（2014•重庆）若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（）A ．6+2B．7+2C．6+4D．7+42．（2013•福建）若2x+2y=1，则x+y的取值范围是（）A ．[0，2]B．[﹣2，0]C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]3．（2013•山东）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A ．0 B．1 C．D．34．（2012•陕西）小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（）A ．a＜v＜B．v=C．＜v＜D．v=5．（2011•重庆）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A ．B．4 C．D．56．（2011•重庆）若函数f（x）=x+（x＞2），在x=a处取最小值，则a=（）A ．1+B．1+C．3 D．47．（2010•重庆）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A ．3 B．4 C．D．8．（2010•四川）设a＞b＞c＞0，则的最小值是（）A ．2 B．4 C．D．59．（2009•重庆）已知a＞0，b＞0，则的最小值是（）A ．2 B．C．4 D．510．（2006•浙江）“a＞b＞0”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不允分也不必要条件11．（2005•福建）下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值12．（2005•福建）设a，b∈R，a2+2b2=6，则a+b的最小值是（）A ．﹣2B．﹣C．﹣3 D．﹣13．（2004•湖北）若＜＜0，则下列不等式①a+b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④+＞2中，正确的不等式有（）A ．0个B．1个C．2个D．3个14．（2004•山东）a2+b2=1，b2+c2=2，c2+a2=2，则ab+bc+ca的最小值为（）A ．﹣B．﹣C．﹣﹣D．+15．（2003•北京）函数f（x）=的最大值是（）A ．B．C．D．二．填空题（共14小题）16．（2014•陕西）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为_________ 17．（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为_________．18．（2014•辽宁）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，﹣+的最小值为_________．19．（2013•上海）设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为_________．20．（2013•天津）设a+b=2，b＞0，则当a=_________时，取得最小值．21．（2011•湖南）设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为_________．22．（2010•安徽）若a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是_________（写出所有正确命题的编号）．①ab≤1；②；③a2+b2≥2；④a3+b3≥3；⑤．23．（2010•山东）已知x，y∈R+，且满足，则xy的最大值为_________．24．（2008•江苏）设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则的最小值是_________．25．（2007•山东）已知函数y=log a（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中最小值为_________．26．（2005•重庆）若x2+y2=4，则x﹣y的最大值是_________．27．（2001•北京）已知sin2α+sin2β+sin2γ=1（α、β、γ均为锐角），那么cosαcosβcosγ的最大值等于_________．28．已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最大值是_________．29．（2004•重庆）已知，则xy的最小值是_________．三．解答题（共1小题）30．（2014•河南）若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．基本不等式高考题练习参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2014•重庆）若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（）A ．6+2B．7+2C．6+4D．7+4考点：基本不等式；对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算法则可得＞0，a＞4，再利用基本不等式即可得出解答：解：∵3a+4b＞0，ab＞0，∴a＞0．b＞0∵log4（3a+4b）=log2，∴log4（3a+4b）=log4（ab）∴3a+4b=ab，a≠4，a＞0．b＞0∴＞0，∴a＞4，则a+b=a+=a+=（a﹣4）++7+7=4+7，当且仅当a=4+2取等号．故选：D．点评：本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质，属于中档题．2．（2013•福建）若2x+2y=1，则x+y的取值范围是（）A ．[0，2]B．[﹣2，0]C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：根据指数式的运算性质结合基本不等式可把条件转化为关于x+y的不等关系式，进而可求出x+y的取值范围．解答：解：∵1=2x+2y≥2•（2x2y），变形为2x+y≤，即x+y≤﹣2，当且仅当x=y时取等号．则x+y的取值范围是（﹣∞，﹣2]．故选D．点评：利用基本不等式，构造关于某个变量的不等式，解此不等式便可求出该变量的取值范围，再验证等号是否成立，便可确定该变量的最值，这是解决最值问题或范围问题的常用方法，应熟练掌握．3．（2013•山东）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A ．0 B．1 C．D．3考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：依题意，当取得最大值时x=2y ，代入所求关系式f（y）=+﹣，利用配方法即可求得其最大值．解答：解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x ，y ，z 均为正实数，∴==≤=1（当且仅当x=2y时取“=”），∴=1，此时，x=2y．∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2，∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1．∴的最大值为1．故选B．点评：本题考查基本不等式，由取得最大值时得到x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题．4．（2012•陕西）小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（）A ．a＜v＜B．v=C．＜v＜D．v=考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题．分析：设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S，则v==及0＜a＜b，利用基本不等式及作差法可比较大小解答：解：设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S则v==∵0＜a＜b∴a+b＞0∴∵v﹣a===∴v＞a综上可得，故选A点评：本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用，比较法中的比差法在比较大小中的应用．5．（2011•重庆）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A ．B．4 C．D．5考点：基本不等式．专题：计算题．分析：利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值．解答：解：∵a+b=2，∴=1∴=（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）故选C点评：本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．6．（2011•重庆）若函数f（x）=x+（x＞2），在x=a处取最小值，则a=（）A ．1+B．1+C．3 D．4考点：基本不等式．专题：计算题．分析：把函数解析式整理成基本不等式的形式，求得函数的最小值和此时x的取值．解答：解：f（x）=x+=x﹣2++2≥4当x﹣2=1时，即x=3时等号成立．∵x=a处取最小值，∴a=3故选C点评：本题主要考查了基本不等式的应用．考查了分析问题和解决问题的能力．7．（2010•重庆）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A ．3 B．4 C．D．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用代入已知条件，化简为函数求最值．解答：解：考察基本不等式，整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4故选B．点评：此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．8．（2010•四川）设a＞b＞c＞0，则的最小值是（）A ．2 B．4 C．D．5考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题．分析：先把整理成，进而利用均值不等式求得原式的最小值．解答：解：==≥0+2+2=4当且仅当a﹣5c=0，ab=1，a（a﹣b）=1时等号成立如取a=，b=，c=满足条件．故选B点评：本题主要考查了基本不等式的应用．主要口考查了运用基本不等式求最值的问题．9．（2009•重庆）已知a＞0，b＞0，则的最小值是（）A ．2 B．C．4 D．5考点：基本不等式．分析：a＞0，b＞0，即，给出了基本不等式使用的第一个条件，而使用后得到的式子恰好可以再次使用基本不等式．解答：解：因为当且仅当，且，即a=b时，取“=”号．故选C．点评：基本不等式a+b，（当且仅当a=b时取“=”）的必须具备得使用条件：一正（即a，b都需要是正数）二定（求和时，积是定值；求积时，和是定值．）三等（当且仅当a=b时，才能取等号）10．（2006•浙江）“a＞b＞0”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不允分也不必要条件考点：基本不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：为基本的不等式，成立的充要条件为a，b∈R且a≠b，故只要判“a＞b＞0”和“a，b∈R且a≠b”的关系即可．解答：解：由a＞b＞0能推出；但反之不然，因此平方不等式的条件是a，b∈R且a≠b．故选A点评：本题考查平方不等式和充要条件，属基础题．11．（2005•福建）下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值考点：基本不等式．分析：本题中各选项都是利用基本不等式求最值，注意验证一正、二定、三相等条件是否满足即可．A中不满足“正数”，C中“=”取不到．解答：解：A中，当0＜x＜1时，lgx＜0，lgx+≥2不成立；由基本不等式B正确；C中“=”取不到；D中x﹣在0＜x≤2时单调递增，当x=2时取最大值．故选B点评：本题主要考查利用基本不等式求最值的三个条件，一正、二定、三相等，在解题中要牢记．12．（2005•福建）设a，b∈R，a2+2b2=6，则a+b的最小值是（）A ．﹣2B．﹣C．﹣3 D．﹣考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题；函数思想．分析：首先分析由式子a2+2b2=6，可以考虑设成包含三角函数的参数方程，然后代入a+b化简求值，再根据三角函数的最值问题求解即可得到答案．解答：解：因为a，b∈R，a2+2b2=6故可设．θ⊊R．则：a+b=，再根据三角函数最值的求法可直接得到a+b的最小值是﹣3．故选C．点评：此题主要考查参数方程求最值的思想．对于此类题目如果应用基本不等式行不通的时候，可以考虑参数方程的方法，有一定的技巧性，属于中档题目．13．（2004•湖北）若＜＜0，则下列不等式①a+b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④+＞2中，正确的不等式有（）A ．0个B．1个C．2个D．3个考点：基本不等式．分析：由＜＜0，判断出a，b的符号和大小，再利用不等式的性质及重要不等式判断命题的正误．解答：解：∵＜＜0，∴b＜a＜0，∴a+b＜0＜ab，故①正确．∴﹣b＞﹣a＞0，则|b|＞|a|，故②错误．③显然错误．由于，，∴+＞2=2，故④正确．综上，①④正确，②③错误，故选C．点评：本题考查不等式的性质，基本不等式的应用，判断b＜a＜0 是解题的关键．14．（2004•山东）a2+b2=1，b2+c2=2，c2+a2=2，则ab+bc+ca的最小值为（）A ．﹣B．﹣C．﹣﹣D．+考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题．分析：先把题设中的三个等式联立可求得a，b和c，再把它们的值代入所求代数式，即可得解．解答：解：∵b2+c2=2，c2+a2=2，∴b2+c2=c2+a2∴b2=a2又a2+b2=1，所以当a=b=，c=﹣时ab+bc+ca有最小值为：×+×（﹣）+×（﹣）=﹣，ab+bc+ca的最小值为﹣，故选B．点评：本题解题的关键是通过已知条件求得a，b和c值，然后代入即可．15．（2003•北京）函数f（x）=的最大值是（）A ．B．C．D．考点：基本不等式；函数的最值及其几何意义．专题：计算题．分析：把分母整理成=（x﹣）2+进而根据二次函数的性质求得其最小值，则函数f（x）的最大值可求．解答：解：∵1﹣x（1﹣x）=1﹣x+x2=（x﹣）2+≥，∴f（x）=≤，f（x）max=．故选D点评：本题主要考查了基本不等式的应用，二次函数的性质．解题的关键把分母配方成一元二次函数的形式．二．填空题（共14小题）16．（2014•陕西）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：根据柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决．解答：解：由柯西不等式得，（ma+nb）2≤（m2+n2）（a2+b2）∵a2+b2=5，ma+nb=5，∴（m2+n2）≥5∴的最小值为故答案为：点评：本题主要考查了柯西不等式，属于中档题．17．（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．解答：解：∵xy=1，∴y=∴x2+2y2=x2+≥2=2，当且仅当x2=，即x=±时取等号，故答案为：2点评：本题考查基本不等式，属基础题．18．（2014•辽宁）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，﹣+的最小值为﹣2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：首先把：4a2﹣2ab+4b2﹣c=0，转化为=，再由柯西不等式得到|2a+b|2，分别用b表示a，c，在代入到﹣+得到关于b的二次函数，求出最小值即可．解答：解：∵4a2﹣2ab+4b2﹣c=0，∴=由柯西不等式得，[][]=|2a+b|2故当|2a+b|最大时，有∴∴﹣+===，当b=时，取得最小值为﹣2．故答案为：﹣2点评：本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于难题．19．（2013•上海）设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为[，+∞）．考点：基本不等式．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：由题设数a＞0，若9x+对一切正实数x成立可转化为（9x+）min≥a+1，利用基本不等式判断出9x+≥6a，由此可得到关于a的不等式，解之即可得到所求的范围解答：解：常数a＞0，若9x+≥a+1对一切正实数x成立，故（9x+）min≥a+1，9x+≥6a又9x+≥6a，当且仅当9x=，即x=时，等号成立故6a≥a+1，解得a≥故答案为[，+∞）点评：本题考查函数的最值及利用基本不等式求最值，本题是基本不等式应用的一个很典型的例子20．（2013•天津）设a+b=2，b＞0，则当a=﹣2时，取得最小值．考点：基本不等式．专题：压轴题；数形结合；不等式的解法及应用．分析：由于a+b=2，b＞0，从而=，（a＜2），设f（a）=，（a＜2），画出此函数的图象，结合导数研究其单调性，即可得出答案．解答：解：∵a+b=2，b＞0，∴=，（a＜2）设f（a）=，（a＜2），画出此函数的图象，如图所示．利用导数研究其单调性得，当a＜0时，f（a）=﹣+，f′（a）==，当a＜﹣2时，f′（a）＜0，当﹣2＜a＜0时，f′（a）＞0，故函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数，∴当a=﹣2时，取得最小值．同样地，当0＜a＜2时，得到当a=时，取得最小值．综合，则当a=﹣2时，取得最小值．故答案为：﹣2．点评：本题考查导数在最值问题的应用，考查数形结合思想，属于中档题．21．（2011•湖南）设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为9．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：对展开，利用基本不等式即可求得其最小值．解答：解：∵x，y∈R，且xy≠0，∴=1+4+≥5+2=9当且仅当时等号成立，∴的最小值为9．故答案为9．点评：此题是个基础题．考查利用基本不等式求最值，注意正、定、等，考查学生利用知识分析解决问题的能力和计算能力．22．（2010•安徽）若a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是①，③，⑤（写出所有正确命题的编号）．①ab≤1；②；③a2+b2≥2；④a3+b3≥3；⑤．考点：基本不等式．专题：压轴题；分析法．分析：首先对于此类填空题需要一个一个判断，用排除法求解，对于命题②④直接用特殊值法代入排除，其他命题用基本不等式代入求解即可判断．解答：解：对于命题①ab≤1：由，命题①正确；对于命题②：令a=1，b=1时候不成立，所以命题②错误；对于命题③a2+b2≥2：a2+b2=（a+b）2﹣2ab=4﹣2ab≥2，命题③正确；对于命题④a3+b3≥3：令a=1，b=1时候不成立，所以命题④错误；对于命题⑤：，命题⑤正确．所以答案为①，③，⑤．点评：此题主要考查基本不等式的求解问题，对于此类判断命题真假的题目，包含知识点较多需要一个一个分析，容易出错，属于中档题目．23．（2010•山东）已知x，y∈R+，且满足，则xy的最大值为3．考点：基本不等式．专题：压轴题．分析：本题为利用基本不等式求最值，可直接由条件出发，求解．解答：解：因为x＞0，y＞0，所以（当且仅当，即x=，y=2时取等号），于是，，xy≤3．故答案为：3点评：本题主要考查了用基本不等式解决最值问题的能力，属基本题．24．（2008•江苏）设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则的最小值是3．考点：基本不等式．分析：由x﹣2y+3z=0可推出，代入中，消去y，再利用均值不等式求解即可．解答：解：∵x﹣2y+3z=0，∴，∴=，当且仅当x=3z时取“=”．故答案为3．点评：本小题考查了二元基本不等式，运用了消元的思想，是高考考查的重点内容．25．（2007•山东）已知函数y=log a（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中最小值为8．考点：基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用．专题：压轴题．分析：根据对数函数的性质，可以求出A点，把A点代入一次函数y=mx+n，得出2m+n=1，然后利用不等式的性质进行求解．解答：解：∵函数y=log a（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，可得A（2，1），∵点A在一次函数y=mx+n的图象上，∴2m+n=1，∵m，n＞0，∴2m+n=1≥2，∴mn≤，∴（）==≥8（当且仅当n=，m=时等号成立），故答案为8．点评：此题主要考查的对数函数和一次函数的性质及其应用，还考查的均值不等式的性质，把不等式和函数联系起来进行出题，是一种常见的题型．26．（2005•重庆）若x2+y2=4，则x﹣y的最大值是．考点：基本不等式．专题：数形结合．分析：因为x2+y2=4表示圆心在原点，半径为2的圆，令x﹣y=b，则可表示直线，数形结合可使问题得到解决．解答：解：令b=x﹣y，则b是直线y=x﹣b在y轴上的截距的相反数，∵该直线与圆x2+y2=4有公共点，∴当直线与圆相切于第四象限时，截距取到最小值，∵，∴b=2或b=﹣2（舍去），∴b的最大值为2．故答案为2．点评：以已知圆方程为条件，求关于Ax+By的一次式的最值可转化为求直线b=Ax+By的截距的最值．27．（2001•北京）已知sin2α+sin2β+sin2γ=1（α、β、γ均为锐角），那么cosαcosβcosγ的最大值等于．考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题．分析：根据同角三角函数基本关系，sin2α+sin2β+sin2γ=1⇒cos2α+cos2β+cos2γ=2；进而由基本不等式的性质，可得cos2α+cos2β+cos2γ≥3，将cos2α+cos2β+cos2γ=2代入，化简可得答案．解答：解：∵sin2α+sin2β+sin2γ=1，∴3﹣（cos2α+cos2β+cos2γ）=1．∴cos2α+cos2β+cos2γ=2≥3．∴cos2αcos2βcos2γ≤（）3．∴cosαcosβcosγ≤==．答案：点评：本题考查基本不等式的性质与运用，正确运用公式要求“一正、二定、三相等”，解题时要注意把握和或积为定值这一条件．28．已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最大值是．考点：基本不等式．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：由已知条件变形后，利用完全平方式将变形后的式子代入得到b、c是某一方程的两个实数根，利用根的判别式得到有关a的不等式后确定a的取值范围．解答：解：∵a+b+c=0，a2+b2+c2=1，∴b+c=﹣a，b2+c2=1﹣a2，∴bc=•（2bc）=[（b+c）2﹣（b2+c2）]=a2﹣∴b、c是方程：x2+ax+a2﹣=0的两个实数根，∴△≥0∴a2﹣4（a2﹣）≥0即a2≤∴﹣≤a≤即a的最大值为故答案为：．点评：本题考查了函数最值问题，解决本题的关键是利用根的判别式得到有关未知数的不等式，进而求得a的取值范围．29．（2004•重庆）已知，则xy的最小值是15．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由题意知，由此可知答案．解答：解：∵，∴，∴xy≥15．答案：15．点评：本题考查基本不等式的性质，解题时要认真审题，仔细解答．三．解答题（共1小题）30．（2014•河南）若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．考点：基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥4，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（Ⅱ）根据ab≥4及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．解答：解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）由（1）可知，2a+3b≥2=2≥4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．点评：本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．31。
高中试卷-2.2 基本不等式 练习(1)(含答案)
第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2等式性质与不等式性质（共2课时）（第1课时）一、选择题1．（2019·内蒙古集宁一中高一期末）下列不等式一定成立的是（ ）A ．a b2B ．a b 2≤C ．x +1x ≥2D ．x 2+1x 2≥2【答案】D【解析】当a ,b ,x 都为负数时，A,C 选项不正确.当a ,b 为正数时，B 选项不正确.根据基本不等式，有x 2+1x 2≥=2，故选D.2．（2019山东师范大学附中高一期中）已知x ＞0，函数9y x x=+的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】∵x ＞0，∴函数96y x x =+³=，当且仅当x=3时取等号，∴y 的最小值是6．故选：C ．3.（2019广东高一期末）若正实数a ，b 满足a +b =1，则下列说法正确的是( )A ．ab 有最小值14BC ．1a +1b 有最小值4D ．a 2+b 2【答案】C【解析】∵a >0，b >0，且a +b =1；∴1=a +b ≥∴ab ≤14；∴ab 有最大值14，∴选项A 错误；=a +b =1+1+=2，∴B 项错误.1a+1b ==1ab ≥4，∴1a +1b 有最小值4，∴C 正确；a 2+b 2=(a +b )2―2ab =1―2ab ≥1―2×14=12,∴a 2+b 2的最小值是12，不是∴D 错误．4．（2019·柳州市第二中学高一期末）若x >―5，则x +4x 5的最小值为（ ）A ．-1B ．3C ．-3D ．1【解析】x +4x5=x +5+4x 5―5≥2×2―5=―1，当且仅当x =―3时等号成立，故选A.5．（2019吉林高一月考）若()12f x x x =+- (2)x >在x n =处取得最小值，则n =（ ）A ．52B ．3C ．72D ．4【答案】B 【解析】：当且仅当时,等号成立;所以,故选B.6．（2019·广西桂林中学高一期中）已知5x 2³,则f(x)= 24524x x x -+-有A ．最大值B ．最小值C ．最大值1D ．最小值1【答案】D【解析】()()()2211112122222x f x x x x -+éù==-+³=ê--ëû当122x x -=-即3x =或1（舍去）时， ()f x 取得最小值1二、填空题7．（2019·宁夏银川一中高一期末）当1x £-时，1()1f x x x =++的最大值为__________.【答案】-3.【解析】当1x £-时，()11[(1)111f x x x x x =+=--+--++又1(1)21x x -+-³+，()11[(1)1311f x x x x x =+=--+--£-++,故答案为：-38．（2019·上海市北虹高级中学高一期末）若0m >，0n >，1m n +=，且41m n+的最小值是___.【答案】9【解析】∵0m >，0n >，1m n +=，4()5414519n m m n m n m n m n æö\+=++=+++=ç÷èø…,当且仅当12,33n m == 时“=”成立，故答案为9.9．（2019·浙江高一期末）已知0a >，0b >，若不等式212ma b a b+³+恒成立，则m 的最大值为【答案】9.【解析】由212m a b a b +³+得()212m a b a b æö£++ç÷èø恒成立，而()212225a b a b a b b a æö++=++ç÷èø5549³+=+=，故9m £，所以m 的最大值为9.10．（2019·浙江高一月考）设函数24()(2)(0)f x x x x x=-++>．若()4f x =，则x =________．【答案】2【解析】因为2(2)0y x =-³，当2x =时，取最小值；又0x >时，44y x x=+³=，当且仅当06（，），即2x =时，取最小值；所以当且仅当2x =时，24()(2)f x x x x=-++取最小值(2)4f =.即()4f x =时，2x =.故答案为2三、解答题11．（2016·江苏高一期中）已知a ＞0，b ＞0，且4a ＋b ＝1，求ab 的最大值；（2）若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求3x ＋4y 的最小值；（3）已知x ＜54，求f （x ）＝4x －2＋145x -的最大值；【答案】（1）的最大值；（2）的最小值为5；（3）函数的最大值为【解析】（1）,当且仅当,时取等号，故的最大值为（2），当且仅当即时取等号（3）当且仅当,即时,上式成立,故当时,函数的最大值为.12．（2019·福建高一期中）设0,0,1a b a b >>+= 求证：1118a b ab++³ 【答案】可以运用多种方法。
高考数学《基本不等式》真题练习含答案
高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ， 得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ） ，∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ） ＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。
基本不等式(同步检测)(含解析)—2024-2025学年高一上学期数学必修第一册
2.2 基本不等式（同步检测）一、选择题1.(多选)已知实数a ，b ，下列不等式一定正确的有( )A.a ＋b 2≥abB.a ＋1a ≥2C.|ab ＋ba|≥2 D.2(a 2＋b 2)≥(a ＋b)22.(多选)下列条件可使b a ＋ab ≥2成立的是( )A .ab>0 B.ab<0C .a>0，b>0D.a<0，b<03.若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A.2B.2C.22D.44.将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A.6.5 m B.6.8 m C.7 mD.7.2 m5.“ab ＜a 2＋b 22”是“a ＞b ＞0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值为（ ）A.2B.3C.22D.237.如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( )A .ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一B .ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一C .ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一D .ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一8.已知a>1，则a ＋12，a ，2a a ＋1三个数的大小顺序是( )A.a＋12<a<2aa＋1B.a<a＋12<2aa＋1C.2aa＋1<a<a＋12D.a<2aa＋1≤a＋129.若－4<x<1，则y＝x2－2x＋22x－2( )A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值－1D.有最大值－1二、填空题10.已知x＞3，则x＋4x－3的最小值为________11.设x＞0，则函数y＝x＋22x＋1－32的最小值为________12.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2．13.二十大报告中提到：“我国制造业规模稳居世界第一”．某公司为提高产能，购买一批新型设备，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转______年时，年平均利润最大，最大值是______万元．三、解答题14.设a，b，c都是正数，求证：b＋ca＋c＋ab＋a＋bc≥6．15.已知a，b，c都是正数，且abc＝1，证明：1a＋1b≥2c．16.已知正数x，y满足4x＋y－xy＋8＝0．求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．参考答案及解析：一、选择题1.CD 解析：当a＜0，b＜0时，a＋b2≥ab不成立；当a＜0，时，a＋1a≥2不成立；因为|a b＋b a|＝|a b|＋|b a|≥2，故C正确；因为2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，故D正确．故选CD．2.ACD 解析：当且仅当ba＝ab>0，即a，b同号时等号成立．故选ACD．3.C 解析：由ab＝1a＋2b≥22ab，得ab≥22，当且仅当1a＝2b时取“＝”．4.C 解析：设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则12ab＝2，所以ab＝4，l＝a＋b＋a2＋b2≥2ab＋2ab＝4＋22≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，所以选7 m最合理．5.B 解析：∵a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，∴ab＜a2＋b22⇒a≠b，a，b∈R，∴充分性不成立．∵a＞b＞0⇒a2＋b2＞2ab，∴必要性成立．故选B．6.A 解析：∵x＋y＋xy＝3，∴y＋1＝4x＋1，∴x＋y＝x＋1＋4x＋1－2≥2(x＋1)4x＋1－2＝2，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝y＝1时取等号．故选A．7.A 解析：由a＋b≥2ab可知ab≤4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，又cd≤(c＋d2)2，故c＋d≥4，当且仅当c＝d＝2时等号成立，∴c＋d≥ab．故选A．8.C 解析：当a，b是正数时，2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22，令b＝1，得2aa＋1≤a≤a＋12．又a>1，即a≠b，故上式不能取等号，故选C．9.D 解析：y＝x2－2x＋22x－2＝12[(x－1)＋1x－1]，又∵－4<x<1，∴x－1<0．∴－(x－1)>0．故y＝－12[－(x－1)＋1－(x－1)]≤－1．当且仅当x－1＝1x－1，即x＝0时等号成立．故选D．二、填空题10.答案：7解析：∵x＞3，∴x－3＞0，4x－3＞0．∴x＋4x－3＝x－3＋4x－3＋3≥2(x－3)·4x－3＋3＝7，当且仅当x－3＝4x－3，即x＝5时，x＋4x－3取得最小值7．11.答案：0 解析：y＝x＋22x＋1－32＝(x＋12)＋1x＋12－2≥2(x＋12)·1x＋12－2＝0，当且仅当x＋1 2＝1x＋12，即x＝12时等号成立．所以函数的最小值为0．12.答案：25 解析：设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y m2，则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)m，则y＝x(10－x)≤[x＋(10－x)2]2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，y取最大值25．13.答案：5，8 解析：每台机器运转x年的年平均利润为yx＝18－(x＋25x)，且x＞0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．三、解答题14.证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，所以ba＋ab≥2，ca＋ac≥2，cb＋bc≥2，所以(b a＋a b)＋(c a＋a c)＋(c b＋b c)≥6，当且仅当b a＝a b，c a＝a c，c b＝b c，即a＝b＝c时，等号成立，所以b＋ca＋c＋ab＋a＋bc≥6．15.证明：因为a，b，c都是正数，且abc＝1，所以c＝1 ab．所以1a＋1b≥21ab＝2c，当且仅当1a＝1b，即a＝b＝1c时取等号．故1a＋1b≥2c成立．16.解：(1)由题意知x，y为正数，xy－8＝4x＋y≥24xy＝4xy，当且仅当4x＝y，即x＝1＋3，y＝4＋43时等号成立，则(xy)2－4xy－8≥0，解得xy≥2＋23或xy≤2－23(舍去)，所以xy≥(2＋23)2＝16＋83，即xy的最小值为16＋83．(2)由题意知x，y为正数，4x－xy＝－y－8，故x＝y＋8 y－4，因为x＞0，y＞0，所以y＞4，则x＋y＝y＋8y－4＋y＝y＋12y－4＋1＝(y－4)＋12y－4＋5．因为y＞4，y－4＞0，12y－4＞0，(y－4)＋12y－4＋5≥43＋5，即x＋y≥43＋5，当且仅当y－4＝12y－4，即y＝4＋23时等号成立．所以x＋y的最小值为5＋43．。
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基本不等式高考题练习一．选择题（共15小题）1．（2014•重庆）若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（）A ．6+2B．7+2C．6+4D．7+42．（2013•福建）若2x+2y=1，则x+y的取值范围是（）A ．[0，2]B．[﹣2，0]C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]3．（2013•山东）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A ．0 B．1 C．D．34．（2012•陕西）小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（）A ．a＜v＜B．v=C．＜v＜D．v=5．（2011•重庆）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A ．B．4 C．D．56．（2011•重庆）若函数f（x）=x+（x＞2），在x=a处取最小值，则a=（）A ．1+B．1+C．3 D．47．（2010•重庆）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A ．3 B．4 C．D．8．（2010•四川）设a＞b＞c＞0，则的最小值是（）A ．2 B．4 C．D．59．（2009•重庆）已知a＞0，b＞0，则的最小值是（）A ．2 B．C．4 D．510．（2006•浙江）“a＞b＞0”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不允分也不必要条件11．（2005•福建）下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值12．（2005•福建）设a，b∈R，a2+2b2=6，则a+b的最小值是（）A ．﹣2B．﹣C．﹣3 D．﹣13．（2004•湖北）若＜＜0，则下列不等式①a+b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④+＞2中，正确的不等式有（）A ．0个B．1个C．2个D．3个14．（2004•山东）a2+b2=1，b2+c2=2，c2+a2=2，则ab+bc+ca的最小值为（）A ．﹣B．﹣C．﹣﹣D．+15．（2003•北京）函数f（x）=的最大值是（）A ．B．C．D．二．填空题（共14小题）16．（2014•陕西）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为_________ 17．（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为_________．18．（2014•辽宁）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，﹣+的最小值为_________．19．（2013•上海）设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为_________．20．（2013•天津）设a+b=2，b＞0，则当a=_________时，取得最小值．21．（2011•湖南）设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为_________．22．（2010•安徽）若a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是_________（写出所有正确命题的编号）．①ab≤1；②；③a2+b2≥2；④a3+b3≥3；⑤．23．（2010•山东）已知x，y∈R+，且满足，则xy的最大值为_________．24．（2008•江苏）设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则的最小值是_________．25．（2007•山东）已知函数y=log a（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中最小值为_________．26．（2005•重庆）若x2+y2=4，则x﹣y的最大值是_________．27．（2001•北京）已知sin2α+sin2β+sin2γ=1（α、β、γ均为锐角），那么cosαcosβcosγ的最大值等于_________．28．已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最大值是_________．29．（2004•重庆）已知，则xy的最小值是_________．三．解答题（共1小题）30．（2014•河南）若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．基本不等式高考题练习参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2014•重庆）若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（）A ．6+2B．7+2C．6+4D．7+4考点：基本不等式；对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算法则可得＞0，a＞4，再利用基本不等式即可得出解答：解：∵3a+4b＞0，ab＞0，∴a＞0．b＞0∵log4（3a+4b）=log2，∴log4（3a+4b）=log4（ab）∴3a+4b=ab，a≠4，a＞0．b＞0∴＞0，∴a＞4，则a+b=a+=a+=（a﹣4）++7+7=4+7，当且仅当a=4+2取等号．故选：D．点评：本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质，属于中档题．2．（2013•福建）若2x+2y=1，则x+y的取值范围是（）A ．[0，2]B．[﹣2，0]C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：根据指数式的运算性质结合基本不等式可把条件转化为关于x+y的不等关系式，进而可求出x+y的取值范围．解答：解：∵1=2x+2y≥2•（2x2y），变形为2x+y≤，即x+y≤﹣2，当且仅当x=y时取等号．则x+y的取值范围是（﹣∞，﹣2]．故选D．点评：利用基本不等式，构造关于某个变量的不等式，解此不等式便可求出该变量的取值范围，再验证等号是否成立，便可确定该变量的最值，这是解决最值问题或范围问题的常用方法，应熟练掌握．3．（2013•山东）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A ．0 B．1 C．D．3考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：依题意，当取得最大值时x=2y ，代入所求关系式f（y）=+﹣，利用配方法即可求得其最大值．解答：解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x ，y ，z 均为正实数，∴==≤=1（当且仅当x=2y时取“=”），∴=1，此时，x=2y．∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2，∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1．∴的最大值为1．故选B．点评：本题考查基本不等式，由取得最大值时得到x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题．4．（2012•陕西）小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（）A ．a＜v＜B．v=C．＜v＜D．v=考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题．分析：设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S，则v==及0＜a＜b，利用基本不等式及作差法可比较大小解答：解：设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S则v==∵0＜a＜b∴a+b＞0∴∵v﹣a===∴v＞a综上可得，故选A点评：本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用，比较法中的比差法在比较大小中的应用．5．（2011•重庆）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A ．B．4 C．D．5考点：基本不等式．专题：计算题．分析：利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值．解答：解：∵a+b=2，∴=1∴=（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）故选C点评：本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．6．（2011•重庆）若函数f（x）=x+（x＞2），在x=a处取最小值，则a=（）A ．1+B．1+C．3 D．4考点：基本不等式．专题：计算题．分析：把函数解析式整理成基本不等式的形式，求得函数的最小值和此时x的取值．解答：解：f（x）=x+=x﹣2++2≥4当x﹣2=1时，即x=3时等号成立．∵x=a处取最小值，∴a=3故选C点评：本题主要考查了基本不等式的应用．考查了分析问题和解决问题的能力．7．（2010•重庆）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A ．3 B．4 C．D．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用代入已知条件，化简为函数求最值．解答：解：考察基本不等式，整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4故选B．点评：此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．8．（2010•四川）设a＞b＞c＞0，则的最小值是（）A ．2 B．4 C．D．5考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题．分析：先把整理成，进而利用均值不等式求得原式的最小值．解答：解：==≥0+2+2=4当且仅当a﹣5c=0，ab=1，a（a﹣b）=1时等号成立如取a=，b=，c=满足条件．故选B点评：本题主要考查了基本不等式的应用．主要口考查了运用基本不等式求最值的问题．9．（2009•重庆）已知a＞0，b＞0，则的最小值是（）A ．2 B．C．4 D．5考点：基本不等式．分析：a＞0，b＞0，即，给出了基本不等式使用的第一个条件，而使用后得到的式子恰好可以再次使用基本不等式．解答：解：因为当且仅当，且，即a=b时，取“=”号．故选C．点评：基本不等式a+b，（当且仅当a=b时取“=”）的必须具备得使用条件：一正（即a，b都需要是正数）二定（求和时，积是定值；求积时，和是定值．）三等（当且仅当a=b时，才能取等号）10．（2006•浙江）“a＞b＞0”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不允分也不必要条件考点：基本不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：为基本的不等式，成立的充要条件为a，b∈R且a≠b，故只要判“a＞b＞0”和“a，b∈R且a≠b”的关系即可．解答：解：由a＞b＞0能推出；但反之不然，因此平方不等式的条件是a，b∈R且a≠b．故选A点评：本题考查平方不等式和充要条件，属基础题．11．（2005•福建）下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值考点：基本不等式．分析：本题中各选项都是利用基本不等式求最值，注意验证一正、二定、三相等条件是否满足即可．A中不满足“正数”，C中“=”取不到．解答：解：A中，当0＜x＜1时，lgx＜0，lgx+≥2不成立；由基本不等式B正确；C中“=”取不到；D中x﹣在0＜x≤2时单调递增，当x=2时取最大值．故选B点评：本题主要考查利用基本不等式求最值的三个条件，一正、二定、三相等，在解题中要牢记．12．（2005•福建）设a，b∈R，a2+2b2=6，则a+b的最小值是（）A ．﹣2B．﹣C．﹣3 D．﹣考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题；函数思想．分析：首先分析由式子a2+2b2=6，可以考虑设成包含三角函数的参数方程，然后代入a+b化简求值，再根据三角函数的最值问题求解即可得到答案．解答：解：因为a，b∈R，a2+2b2=6故可设．θ⊊R．则：a+b=，再根据三角函数最值的求法可直接得到a+b的最小值是﹣3．故选C．点评：此题主要考查参数方程求最值的思想．对于此类题目如果应用基本不等式行不通的时候，可以考虑参数方程的方法，有一定的技巧性，属于中档题目．13．（2004•湖北）若＜＜0，则下列不等式①a+b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④+＞2中，正确的不等式有（）A ．0个B．1个C．2个D．3个考点：基本不等式．分析：由＜＜0，判断出a，b的符号和大小，再利用不等式的性质及重要不等式判断命题的正误．解答：解：∵＜＜0，∴b＜a＜0，∴a+b＜0＜ab，故①正确．∴﹣b＞﹣a＞0，则|b|＞|a|，故②错误．③显然错误．由于，，∴+＞2=2，故④正确．综上，①④正确，②③错误，故选C．点评：本题考查不等式的性质，基本不等式的应用，判断b＜a＜0 是解题的关键．14．（2004•山东）a2+b2=1，b2+c2=2，c2+a2=2，则ab+bc+ca的最小值为（）A ．﹣B．﹣C．﹣﹣D．+考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题．分析：先把题设中的三个等式联立可求得a，b和c，再把它们的值代入所求代数式，即可得解．解答：解：∵b2+c2=2，c2+a2=2，∴b2+c2=c2+a2∴b2=a2又a2+b2=1，所以当a=b=，c=﹣时ab+bc+ca有最小值为：×+×（﹣）+×（﹣）=﹣，ab+bc+ca的最小值为﹣，故选B．点评：本题解题的关键是通过已知条件求得a，b和c值，然后代入即可．15．（2003•北京）函数f（x）=的最大值是（）A ．B．C．D．考点：基本不等式；函数的最值及其几何意义．专题：计算题．分析：把分母整理成=（x﹣）2+进而根据二次函数的性质求得其最小值，则函数f（x）的最大值可求．解答：解：∵1﹣x（1﹣x）=1﹣x+x2=（x﹣）2+≥，∴f（x）=≤，f（x）max=．故选D点评：本题主要考查了基本不等式的应用，二次函数的性质．解题的关键把分母配方成一元二次函数的形式．二．填空题（共14小题）16．（2014•陕西）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：根据柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决．解答：解：由柯西不等式得，（ma+nb）2≤（m2+n2）（a2+b2）∵a2+b2=5，ma+nb=5，∴（m2+n2）≥5∴的最小值为故答案为：点评：本题主要考查了柯西不等式，属于中档题．17．（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．解答：解：∵xy=1，∴y=∴x2+2y2=x2+≥2=2，当且仅当x2=，即x=±时取等号，故答案为：2点评：本题考查基本不等式，属基础题．18．（2014•辽宁）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，﹣+的最小值为﹣2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：首先把：4a2﹣2ab+4b2﹣c=0，转化为=，再由柯西不等式得到|2a+b|2，分别用b表示a，c，在代入到﹣+得到关于b的二次函数，求出最小值即可．解答：解：∵4a2﹣2ab+4b2﹣c=0，∴=由柯西不等式得，[][]=|2a+b|2故当|2a+b|最大时，有∴∴﹣+===，当b=时，取得最小值为﹣2．故答案为：﹣2点评：本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于难题．19．（2013•上海）设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为[，+∞）．考点：基本不等式．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：由题设数a＞0，若9x+对一切正实数x成立可转化为（9x+）min≥a+1，利用基本不等式判断出9x+≥6a，由此可得到关于a的不等式，解之即可得到所求的范围解答：解：常数a＞0，若9x+≥a+1对一切正实数x成立，故（9x+）min≥a+1，9x+≥6a又9x+≥6a，当且仅当9x=，即x=时，等号成立故6a≥a+1，解得a≥故答案为[，+∞）点评：本题考查函数的最值及利用基本不等式求最值，本题是基本不等式应用的一个很典型的例子20．（2013•天津）设a+b=2，b＞0，则当a=﹣2时，取得最小值．考点：基本不等式．专题：压轴题；数形结合；不等式的解法及应用．分析：由于a+b=2，b＞0，从而=，（a＜2），设f（a）=，（a＜2），画出此函数的图象，结合导数研究其单调性，即可得出答案．解答：解：∵a+b=2，b＞0，∴=，（a＜2）设f（a）=，（a＜2），画出此函数的图象，如图所示．利用导数研究其单调性得，当a＜0时，f（a）=﹣+，f′（a）==，当a＜﹣2时，f′（a）＜0，当﹣2＜a＜0时，f′（a）＞0，故函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数，∴当a=﹣2时，取得最小值．同样地，当0＜a＜2时，得到当a=时，取得最小值．综合，则当a=﹣2时，取得最小值．故答案为：﹣2．点评：本题考查导数在最值问题的应用，考查数形结合思想，属于中档题．21．（2011•湖南）设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为9．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：对展开，利用基本不等式即可求得其最小值．解答：解：∵x，y∈R，且xy≠0，∴=1+4+≥5+2=9当且仅当时等号成立，∴的最小值为9．故答案为9．点评：此题是个基础题．考查利用基本不等式求最值，注意正、定、等，考查学生利用知识分析解决问题的能力和计算能力．22．（2010•安徽）若a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是①，③，⑤（写出所有正确命题的编号）．①ab≤1；②；③a2+b2≥2；④a3+b3≥3；⑤．考点：基本不等式．专题：压轴题；分析法．分析：首先对于此类填空题需要一个一个判断，用排除法求解，对于命题②④直接用特殊值法代入排除，其他命题用基本不等式代入求解即可判断．解答：解：对于命题①ab≤1：由，命题①正确；对于命题②：令a=1，b=1时候不成立，所以命题②错误；对于命题③a2+b2≥2：a2+b2=（a+b）2﹣2ab=4﹣2ab≥2，命题③正确；对于命题④a3+b3≥3：令a=1，b=1时候不成立，所以命题④错误；对于命题⑤：，命题⑤正确．所以答案为①，③，⑤．点评：此题主要考查基本不等式的求解问题，对于此类判断命题真假的题目，包含知识点较多需要一个一个分析，容易出错，属于中档题目．23．（2010•山东）已知x，y∈R+，且满足，则xy的最大值为3．考点：基本不等式．专题：压轴题．分析：本题为利用基本不等式求最值，可直接由条件出发，求解．解答：解：因为x＞0，y＞0，所以（当且仅当，即x=，y=2时取等号），于是，，xy≤3．故答案为：3点评：本题主要考查了用基本不等式解决最值问题的能力，属基本题．24．（2008•江苏）设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则的最小值是3．考点：基本不等式．分析：由x﹣2y+3z=0可推出，代入中，消去y，再利用均值不等式求解即可．解答：解：∵x﹣2y+3z=0，∴，∴=，当且仅当x=3z时取“=”．故答案为3．点评：本小题考查了二元基本不等式，运用了消元的思想，是高考考查的重点内容．25．（2007•山东）已知函数y=log a（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中最小值为8．考点：基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用．专题：压轴题．分析：根据对数函数的性质，可以求出A点，把A点代入一次函数y=mx+n，得出2m+n=1，然后利用不等式的性质进行求解．解答：解：∵函数y=log a（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，可得A（2，1），∵点A在一次函数y=mx+n的图象上，∴2m+n=1，∵m，n＞0，∴2m+n=1≥2，∴mn≤，∴（）==≥8（当且仅当n=，m=时等号成立），故答案为8．点评：此题主要考查的对数函数和一次函数的性质及其应用，还考查的均值不等式的性质，把不等式和函数联系起来进行出题，是一种常见的题型．26．（2005•重庆）若x2+y2=4，则x﹣y的最大值是．考点：基本不等式．专题：数形结合．分析：因为x2+y2=4表示圆心在原点，半径为2的圆，令x﹣y=b，则可表示直线，数形结合可使问题得到解决．解答：解：令b=x﹣y，则b是直线y=x﹣b在y轴上的截距的相反数，∵该直线与圆x2+y2=4有公共点，∴当直线与圆相切于第四象限时，截距取到最小值，∵，∴b=2或b=﹣2（舍去），∴b的最大值为2．故答案为2．点评：以已知圆方程为条件，求关于Ax+By的一次式的最值可转化为求直线b=Ax+By的截距的最值．27．（2001•北京）已知sin2α+sin2β+sin2γ=1（α、β、γ均为锐角），那么cosαcosβcosγ的最大值等于．考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题．分析：根据同角三角函数基本关系，sin2α+sin2β+sin2γ=1⇒cos2α+cos2β+cos2γ=2；进而由基本不等式的性质，可得cos2α+cos2β+cos2γ≥3，将cos2α+cos2β+cos2γ=2代入，化简可得答案．解答：解：∵sin2α+sin2β+sin2γ=1，∴3﹣（cos2α+cos2β+cos2γ）=1．∴cos2α+cos2β+cos2γ=2≥3．∴cos2αcos2βcos2γ≤（）3．∴cosαcosβcosγ≤==．答案：点评：本题考查基本不等式的性质与运用，正确运用公式要求“一正、二定、三相等”，解题时要注意把握和或积为定值这一条件．28．已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最大值是．考点：基本不等式．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：由已知条件变形后，利用完全平方式将变形后的式子代入得到b、c是某一方程的两个实数根，利用根的判别式得到有关a的不等式后确定a的取值范围．解答：解：∵a+b+c=0，a2+b2+c2=1，∴b+c=﹣a，b2+c2=1﹣a2，∴bc=•（2bc）=[（b+c）2﹣（b2+c2）]=a2﹣∴b、c是方程：x2+ax+a2﹣=0的两个实数根，∴△≥0∴a2﹣4（a2﹣）≥0即a2≤∴﹣≤a≤即a的最大值为故答案为：．点评：本题考查了函数最值问题，解决本题的关键是利用根的判别式得到有关未知数的不等式，进而求得a的取值范围．29．（2004•重庆）已知，则xy的最小值是15．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由题意知，由此可知答案．解答：解：∵，∴，∴xy≥15．答案：15．点评：本题考查基本不等式的性质，解题时要认真审题，仔细解答．三．解答题（共1小题）30．（2014•河南）若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．考点：基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥4，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（Ⅱ）根据ab≥4及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．解答：解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）由（1）可知，2a+3b≥2=2≥4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．点评：本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．31。