动量定理

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工程实际中的动力学问题
舰载飞机在发动机和弹射器推力 作用下从甲板上起飞
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工程实际中的动力学问题
若已知推力和跑道可能长 度，则需要多大的初速度和 一定的时间间隔后才能达到飞 离甲板时的速度。 若已知初速度、一定的 时间间隔后飞离甲板时的速 度，则需要弹射器施加多大 推力，或者确定需要多长的 跑道。
y B A ω O φ D x
(a)
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已知： 曲柄OA长 l ，质量是 m1，并以角速度ω绕定轴 O 转动。
规尺BD长2l ，质量是 2m1 ，两滑块的质量都是 m2 。
解法一: 整个机构的动量等于曲柄OA、规尺BD、 滑块B 和D的动量的矢量和，即
y vB B ω O
vA
A E D
C
p = pOA + pBD + pB + pD
轮1,2皆为匀质圆盘,质量为m1、 m2，半径为r1 、 r2，胶带为匀质，质量为m。
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例 一直径为D, 质量m1的匀质圆盘，在水平面内以 匀角速度w绕O轴转动。一质量为m2的小球M，在通 过O轴的直径槽内以L=kt(k为常量)的规律运动，则 瞬时t系统的动量的大小为 。
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例画椭圆的机构由匀质的曲柄 OA ，规尺 BD 以及滑块B 和 D 组成( 图 a)，曲柄与规尺的中点 A 铰接。已知规尺长2l ， 质量是 2m1 ；两滑块的质量都是 m2 ；曲柄长 l ，质量是 m1 ， 并以角速度ω绕定轴 O 转动。试求当曲柄 OA 与水平成角φ时整♦ 没有位置属性
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2. 质点系动量的计算
质点系的质心 C 的矢径表达式可写为
∑miri = m rC
当质点系运动时，它的质心一般也是运动的，将上式两端对时间求导 数，即得 投影到各坐标轴上有
p = ∑mivi= mvC
px = ∑mivix = mvCx py = ∑miviy = mvCy pz = ∑miviz =mvCz
p y m1vE cos (2m1 )v A cos m2vB
m1
l w cos ( 2m1 )lw cos m2 2lw cos 2
y vB B ω O
5 ( m1 2m2 )lw cos 2
所以，系统的动量大小为
vA
A E D
C
p

p p
5
经典力学的重要性
在工程中，应用经典力学中的牛顿三定律，研究和解决 一般机械运动问题都能得到足够精确的结果。其原因是当 物体的速度远小于光速时，物体的运动对于质量、时间和 空间的影响是微不足道的。 经典力学是现代制造业（包括一切机械、土木建筑、 交通运输、道路工程等现代工业制造业）的基础，甚至最 尖端的技术，如人造卫星、航天飞机的运动规律也没有超 出经典力学的范围。
系统的动量在坐标轴 x，y 上的投影分别为：
vE
φ
vD
x
px m1vE sin (2m1 )v A sin m2vD
l m1 w sin ( 2m1 )lw sin m2 2lw sin 2 5 ( m 2m )lw sin
2
1 2
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系统的动量在 y 轴上的投影为：
注意：三定律的适用条件和范围。
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惯性参考系
上述三个定律适用的参考系称为惯性参考系。
今后，如无特别说明，我们取与地球固连的坐标系为惯性参考 系；以牛顿三定律为基础的力学，称为经典力学。在此范畴，质量、 空间和时间是“绝对”的，与运动没有关系，但近代物理已经证明， 质量、时间和空间都与物体的运动速度有关，只是当物体的运动速 度远小于光速时，物体的运动对质量、时间和空间的影响是微不足 道的。
4
动力学发展历史
现代力学包括经典力学、相对论力学和量子力学。
经典力学指牛顿力学，是现代力学在宏观、低速情况下 的特例。 爱因斯坦（A.Einstein）提出的相对论，其内容包括狭 义相对论和广义相对论。 波动力学和矩阵力学统称为量子力学，它们是量子力学 协调的、等价的数学表达。
我们主要学习经典力学的内容。
？
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11.1 动量与冲量
动 冲 量 量
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1. 动量的定义 （1） 质点的动量 质点的质量与速度矢的乘积，是物体机械运动强弱
的一种度量。记为mv。 动量为矢量，方向与质点速度的方向一致。 （2） 质点系的动量 质点系内各质点的动量的矢量和。用 p 表示，即
p mi vi
i
动量矢量
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牛顿定律
质点动力学的基础是牛顿三定律。
第一定律（惯性定律） 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。 不受力作用的质点（包括受平衡力系作用的质点）， 不是处于静止状态，就是保持其原有的速度（包括大小 和方向）不变，这种性质称为惯性。 第一定律反映质点具有惯性，并以其质量来度量惯性。
说明两个基本概念：质点都有惯性，即保持原来运动状态的性质； 力是改变质点运动状态的原因。（定性）
m aa ＝ F
由运动学知：
aa ＝ ae ＋ar ＋ ac
（加速度各符号意义与运动学一致！） 将上述加速度关系代入
牛顿第二定律，即：
m ( ae ＋ar ＋ ac ) ＝ F
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非惯性坐标系情形*
移项处理后得：
m ar ＝ F ＋ Qe ＋ Qc
其中：
Qe ＝ －mae 称为牵连惯性力 Qc ＝ －mac 称为哥氏惯性力
23
第
11
章
动量定理
24
动力学普遍定理是动力学的主要内容，它包括： 动量定理、动量矩定理和动能定理，恰当选用这些 定理可以解决许多工程中的动力学问题。
动量
动量定理
力
力矩 功
动量矩
动能
动量矩定理 动能定理
25
11.1 动量与冲量 11.2 动量定理和冲量定理
11.3 质心运动定理
26
几个实际问题
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非惯性坐标系情形*
牛顿运动定律只适用于惯性坐标系，然而，有时我们必须在非惯
性系中观察研究质点的运动。如图所示： oxyz ----- 惯性坐标系
o ´x ´ y ´ z
´ -----
非惯性坐标系，它相对于惯性系作加
速运动，同时质点 M 在非惯性系中运动。
18
非惯性坐标系情形*
根据牛顿第二定律：
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工程实际中的动力学问题
v1
F
v2
棒球在被球棒 击打后，其速度 的大小和方向发 生了变化。如果 已知这种变化即 可确定球与棒的 相互作用力。
10
工程实际中的动力学问题
载人飞船的交会与对接
v2 v1
B A
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工程实际中的动力学问题
航空航天器 的姿态控制
12
工程实际中的动力学问题
高速列车的振动问题
上式就是以矢量形式表示
的非惯性坐标系中质点运 动微分方程（也称为相对
运动微分方程）。
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非惯性坐标系情形*
m ar ＝ F ＋ Q e ＋ Q c
可以看出： 质点相对于非惯性坐标系运动的微分方程式与质点相对 于惯性坐标系的微分方程式形式相同，但除作用在质点上的 合力F 之外，还要加上牵连惯性力Qe 和哥氏惯性力Qc 。 换句话说，非惯性坐标系中的观察者，要用牛顿定律描述 动力学现象时，应该作某些修正，即：除了作用在质点上的 “真实力”F 以外，还必须加上“假想力” Qe 和 Qc 。 下边看几种特殊情况。
宇航员在太空拔河，开始静止。若 A的力气大于B的力气，谁胜谁负
？
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几个实际问题
蹲在磅秤上的人站起来时磅秤指 示数会不会发生的变化
？
28
几个实际问题
偏心转子电动机工 作时为什么会左右 运动；
这种运动有什么规 律；
？
会不会上下跳动；
29
几个实际问题
台式风扇放置在光滑的台 面上的台式风扇工作时，会 发生什么现象
2.质点系：由有限或无限个有着一定 联系的质点组成的系统。
自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。 非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。
刚体是质点系的一种特殊情形，其中任意两个质点间的距离保持不 变，也称为不变的质点系。
2
动力学分类
质点系动力学
质点动力学
质点动力学是质点系动 力学的基础。
其中曲柄OA的动量pOA=m1vE ,大小是
ω O
vE
φ E
vD
y
pOA = m1vE = m1lω/2
其方向与vE一致，即垂直于OA并顺着ω的转
向(图 b)
ω O
pBD+pB+pD
B pOA φ A D x
(b)
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因为规尺和两个滑块的公共质心在 点 A，它们的动量表示成 p´= pBD + pB + pD = 2(m1 + m2)vA 由于动量 KOA 的方向也是与 vA 的方向 一致，所以整个椭圆机构的动量方向
y vB B ω O
vA
A D x
vE
φ E
vD
y
pBD+pB+pD
与 vA 相同，而大小等于 1 p pOA p m1lw 2(m1 m2 )lw 2 1 (5m1 4m2 )lw 2
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本篇叙述的动力学即矢量动力学，矢量动力学也称作牛 顿力学， 是以牛顿动力学基本定律为基础，经过数学演绎， 推导出动力学普遍定理。
动力学普遍定理包括：动量定理、动量矩定理、动能定理。
这三个定理从不同侧面揭示了质点、质点系总体的运动变化与其 受力之间的关系。 具体学习以下主要内容： ◆普遍定理：动量定理、动量矩定理、动能定理（重点内容）； ◆达朗伯原理：动静法（重点内容）； ◆虚位移原理