动量定理解决连续流体问题
动量定理中的流体模型
动量定理是物理学中的一个重要定理，它描述了物体的动量变化与作用力之间的关系。
在许多实际应用中，动量定理可以用于解决流体动力学问题，特别是在涉及到流体运动的情况。
在流体动力学中，流体模型是一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解流体的运动规律。
在动量定理中，流体模型通常指的是将流体视为连续介质，即流体是由无数个微小粒子组成的。
这种模型假设流体具有连续的物理性质，如密度、速度和压力等。
通过使用流体模型，我们可以将复杂的流体运动问题简化为一系列的微分方程，从而更容易地求解。
在流体动力学中，常见的流体模型有欧拉模型和有限差分模型等。
欧拉模型是一种基于欧拉方程的流体模型，它假设流体的密度、速度和压力等物理性质是时间、空间和流速的函数。
有限差分模型则是一种基于有限差分法的流体模型，它通过对流体区域的离散化，将流体的运动过程转化为一系列离散方程，从而更好地模拟流体运动。
对于流体模型的动量定理，我们需要考虑流体中的各个物体的相互作用。
这些相互作用可以表现为作用于物体上的力和作用于流体上的反作用力。
由于流体是连续的，所以流体的动量变化是由物体与流体的相互作用引起的。
在这个过程中，流体的动量定理起着关键作用。
动量定理的基本形式是：作用在物体上的力等于物体动量的变化率。
对于流体模型，这个定理可以表述为：作用于流体上的力等于流体质点的动量变化率。
这意味着，当流体受到外力作用时，流体的动量会发生改变，而这个改变量等于作用在流体上的力与时间间隔的乘积。
在实际应用中，流体模型的动量定理可以用于解决许多实际问题。
例如，在航空航天领域，飞机和火箭的飞行需要精确的计算流体动力学模型来预测气流的流动和阻力。
在水利工程中，工程师需要使用流体模型来模拟水流和波浪的运动，以评估水坝、河流改道等工程的可行性。
在化学工程中，流体模型的动量定理也被广泛应用，例如在管道输送、传热和燃烧等领域。
总之，流体模型的动量定理在许多实际应用中发挥着重要作用。
暑假专题复习：高中物理【流体模型解析】有题有知识点!
1、流体问题"流体"一般是指液体流、气体流等，质量具有连续性。
涉及有求解质量、体积和力等问题。
2、两类问题①连续流体类问题对于该类问题流体运动,可沿流速v的方向选取一段柱形流体作微元设在极短的时间Δt内通过某一横截面积为S的柱形流体的长度为Δl,如图所示。
设流体的密度为ρ则在Δt的时间内流过该截面的流体的质量Δm=ρSΔl=ρSvΔt根据动量定理得：FΔt=ΔmΔv分两种情况:(1)作用后流体微元停止，有Δv=-v，则F=-ρSv2(2)作用后流体微元以速率v反弹，有Δv=-2v，则F=-2ρSv2②连续微粒类问题"微粒"一般是指电子流、尘埃等，质量具有独立性，通常给出单位体积内的粒子数n：（1）建立"柱状"模型，沿运动速度v0的方向选取一段微元，柱体的横截面积为S；（2）微元研究，作用时间△t内的一段柱体的长度为v0△t，对应的体积为△V=S v0△t，则微元内的粒子数N=nS v0△t（3）先应用动量定理研究单个粒子，建立方程，再乘以N计算。
例题1．如图所示，一根横截面积为S的均匀带电长直橡胶棒沿轴线方向做速度为v的匀速直线运动。
棒单位长度所带电荷量为﹣q，则由于棒的运动而形成的等效电流大小和方向（）A．vq，方向与v的方向相反B．vqS，方向与v的方向相反C．，方向与v的方向相反D．，方向与v的方向相同解析：棒沿轴线方向以速度v做匀速直线运动时，每秒通过的距离为v米，每秒v米长的橡胶棒上电荷都通过直棒的横截面，每秒内通过横截面的电量大小为：Q＝q•v根据电流的定义式为：I＝，t＝1s，得到等效电流为：I＝qv．由于棒带负电，则电流的方向与棒运动的方向相反，即与v的方向相反。
故A正确，BCD错误。
故选：A。
2．打开水龙头，水顺流而下，仔细观察将会发现在流下的过程中，连续的水流柱的直径是逐渐减小的．设出水口方向竖直向下的水龙头直径为1cm，g取10m/s2．如果测得水在出水口处的速度大小为1m/s，则距出水口75cm处水流柱的直径为（）A．1cmB．0.5cmC．0.75cmD．0.25cm解析：设水在水龙头出口处速度大小为v1，水流到距出水口75cm 处的速度v2，由代入数据解得v2＝4m/s，设极短时间为△t，在水龙头出口处流出的水的体积为V1＝v1△t①水流进接水盆的体积为V2＝v2△t•②由V1＝V2得v1△t•＝v2△t•代入解得d2＝1cm故选：A。
3动量定理流体问题
3动量定理流体问题动量定理在流体问题中的应用是解决质量连续变动问题的基本思路。
首先，我们可以建立“柱体”模型，选择一段柱形流体沿流速方向，通过某一横截面积为S的流体长度为Δl，流体的密度为ρ，那么在Δt时间内通过该截面的流体的质量为Δm＝ρSΔl＝ρSvΔt。
其次，当所取时间Δt足够短时，我们可以采用微元法，即以一微小段为研究对象的方法。
最后，我们可以应用动量定理，即流体微元所受的合外力的冲量等于微元动量的增量，即F合Δt＝Δp。
解答质量连续变动问题的具体步骤是应用动量定理分析连续体相互作用问题的方法是微元法。
具体步骤为：首先，确定一小段时间Δt内的连续体为研究对象；其次，写出Δt内连续体的质量Δm与Δt的关系式；然后，分析连续体的受力情况和动量变化；最后，应用动量定理列式、求解。
举个例子，当飞船进入宇宙微粒尘区时，为了保持飞船速度不变，我们需要增加飞船的牵引力。
假设有一宇宙飞船，它的正面面积为S＝0.98 m2，以v＝2×103m/s的速度进入宇宙微粒尘区，尘区每1 m3空间有一微粒，每一微粒平均质量m＝2×10－4g，若要使飞船速度保持不变，飞船的牵引力应增加多少？由于飞船速度保持不变，因此增加的牵引力应与微粒对飞船的作用力相等。
只要求出时间t内微粒的质量，再由动量定理求出飞船对微粒的作用力，即可得到飞船增加的牵引力。
时间t内附着到飞船上的微粒质量为M＝m·S·vt，设飞船对微粒的作用力为F，由动量定理得Ft＝Mv＝mSvt·v，即F＝mSv2，代入数据解得F＝0.784 N，由牛顿第三定律得，微粒对飞船的作用力为0.784N，故飞船的牵引力应增加0.784 N。
另外，还有一个例子是一艘小船在静水中由于风力的推动作用做匀速直线运动，船体的迎风面积S＝1 m2，风速v1＝10 m/s，船速v2＝4 m/s，空气密度ρ＝1.29kg/m3.小船在匀速前进时船体受到的平均风力大小为多少？根据动量定理，我们可以求出小船受到的风力大小为46.4 N。
动量定理在流体问题上的应用.pptx
vt
陨石的质量为：
S
m Svt
由动量定理得：
Ft m v
F Sv2
由牛顿第三定律，飞船 所受阻力：
F F Sv2 因此推力 F推 Sv2
例三、一艘帆船在静水中由于风力的推动做匀速直线运 动，帆面的面积为S，风速为v1，船速为v2（v2﹤v1）， 空气密度为ρ，帆船在匀速前进时帆面受到的平均风力 大小为多少？（设空气碰到帆后随帆一起运动）
F
F1
F2
3m 2L
g 2t 2
当： t 2L g
F 3mg
动量定理在流体问题 上的应用
精品文档
例一、高压采煤水枪出水口的截面积为S，水的射速为
v，射到煤层上后，水速度为零，若水的密度为ρ，求
水对煤层的冲力。
Δt时间内冲到煤层上的
水的体积为
V Svt 这些水的质量为：
m Svt
由动量定理得：
vt
S
Ft m0 v
F Sv2
由牛顿第三定律，水对 煤层的冲力为：
F F Sv2
例二、最大截面S＝5m2的一艘宇宙飞船，以速度v＝
10km/s在太空中航行时，进入静止的、密度ρ＝2×10－5
kg/m3的微陨石云中。如果微陨石与飞船相撞时都附着
在飞船上，要使飞船维微
例四、一质量为m，长为L的柔软绳自由悬垂，下端恰 与一台秤秤盘接触。某时刻放开柔软绳上端，求台秤的 最大示数。（重力加速度大小为g）
0—t时间内静止在台秤上的 绳子的长度为
L1
1 2
gt
2
质量为：
m1
m
L1 L
对台秤的压力为：
应用动量定理分析流体问题
应用动量定理分析流体问题分析流体模型的思路(1)在极短时间Δt内，取一小段柱体作为研究对象，小柱体的体积ΔV＝v SΔt；(2)小柱体的质量Δm＝ρΔV＝ρv SΔt；(3)小柱体的动量变化量大小Δp＝Δm v＝ρv2SΔt；(4)应用动量定理FΔt＝Δp，列方程计算；(5)结合牛顿运动定律进行综合分析。
典例2021年7月25日台风“烟花”登陆舟山普陀区。
台风“烟花”登陆时的最大风速为38 m/s。
如图所示，某高层建筑顶部广告牌的尺寸为高5 m、宽20 m，空气密度ρ＝1.2 kg/m3，空气吹到广告牌上后速度瞬间减为0，则该广告牌受到的最大风力约为()A. 1.7×104 NB. 1.7×105 NC. 2.7×104 ND. 9.0×104 NB解析：广告牌的面积S＝5×20 m2＝100 m2，设Δt时间内吹到广告牌上的空气质量为Δm，则有Δm＝ρS vΔt，以风速的方向为正方向，根据动量定理有－FΔt＝0－Δm v＝0－ρS v2Δt，解得广告牌对空气的最大作用力的大小为F＝ρS v2，代入数据得F＝1.7×105 N，根据牛顿第三定律得，广告牌受到的最大风力大小约为1.7×105 N，故B正确。
2．(应用动量定理处理“流体冲击力问题”)如图所示为清洗汽车用的高压水枪。
设水枪喷出的水柱直径为D，水流速度为v，水柱垂直汽车表面，水柱冲击汽车后水的速度变为0。
手持高压水枪操作，进入水枪的水流速度可忽略不计，已知水的密度为ρ。
下列说法正确的是()A. 高压水枪单位时间内喷出的水的质量为ρπv D 2B. 高压水枪单位时间内喷出的水的质量为14ρv D 2 C. 水柱对汽车的平均冲力为14ρv 2D 2 D. 当高压水枪喷口的出水速度变为原来的2倍时，喷出的水对汽车的压强变为原来的4倍D 解析：高压水枪单位时间内喷出的水的质量等于单位时间内喷出的水柱的质量，即m 0＝ρV ＝ρπ⎝ ⎛⎭⎪⎫D 22·v ＝14πρv D 2，故A 、B 错误；设水柱对汽车的平均冲力为F ，由动量定理得F Δt ＝m Δv ，即F Δt ＝14πρv D 2Δt v ，解得F ＝14πρv 2D 2，故C 错误；高压水枪喷出的水对汽车产生的压强p ＝F S ＝14πρv 2D 214πD 2＝ρv 2，则当高压水枪喷口的出水速度变为原来的2倍时，喷出的水对汽车的压强变为原来的4倍，故D 正确。
应用动量定理分析流体问题模型
应用动量定理分析流体问题模型发布时间：2022-05-12T02:19:50.027Z 来源：《教育学》2021年11月总第267期作者：黄承军[导读] 应用动量定理分析求解流体的连续相互作用问题，常见问题有以下两类，连续流体类问题，连续微粒类问题，两种解题的方法相似，一般需构建柱体或方体微元模型，利用微元法求解。
福建省沙县第一中学365500应用动量定理分析求解流体的连续相互作用问题，常见问题有以下两类，连续流体类问题，连续微粒类问题，两种解题的方法相似，一般需构建柱体或方体微元模型，利用微元法求解。
一、连续流体类问题“流体”一般是指液体流、气体流等，质量具有连续性。
对于该类问题流体运动，可沿流速v的方向选取一段柱形流体作微元，设在极短的时间Δt内通过某一横截面积为S的柱形流体的长度为Δl。
设流体的密度为ρ，则在Δt的时间内流过该截面的流体的质量Δm=ρSΔl=ρSvΔt，根据动量定理，流体微元所受的合外力的冲量等于该流体微元动量的增量，即FΔt=ΔmΔv，分两种情况：1.作用后流体微元停止，有Δv=-v，代入上式有F=-ρSv2。
2.作用后流体微元以速率v反弹，有Δv=-2v，代入上式有F=-2ρSv2。
例1：(2020?海南高考真题)太空探测器常装配离子发动机，其基本原理是将被电离的原子从发动机尾部高速喷出，从而为探测器提供推力，若某探测器质量为490Kg，离子以30km/s的速率(远大于探测器的飞行速率)向后喷出，流量为3.0×10-3g/s，则探测器获得的平均推力大小为( )A．1.47N B．0.147N C．0.09N D．0.009N 解析：对离子，根据动量定理有而Δm=3.0×10-3×10-3Δt解得F=0.09N，故探测器获得的平均推力大小为0.09N，故选C。
二、连续微粒类问题“微粒”一般是指电子流、尘埃等，质量具有独立性，通常给出单位体积内的粒子数n：1.建立“柱状”模型，沿运动速度 v0的方向选取一段微元，柱体的横截面积为S。
用动量定理解析流体问题
用动量定理解析流体问题作者：柯岩来源：《理科考试研究·高中》2012年第02期高中物理习题中常出现求解与连续物相关的问题，这类问题又称流体问题.通常液体流、电子流、光子流、气体流等被广义地视为“流体”，而电子流、光子流、气体流可统称为粒子流，对于液体流，选取质量为m的液柱为研究对象；对于运动粒子流，通常是以体积元ΔV=Δt·v·S的体积内的个粒子为研究对象，从而把问题转化成用动量定理来求解.学生解决这类问题时不善于建立模型，普遍感到困难.一、气体流例1某地强风的风速为v，设空气的密度为ρ，如果将通过横截面积为S的气体的动能全部转化为电能，其电功率多大？解析风可视为连续流动的空气.首先在风速方向上选取一段空气气柱微元为研究对象，在Δt时间内流过横截面S的空气质量Δm=ρSvΔt(1)Δt时间内流过S截面的空气的动能Ek=12Δmv2(2)依题意，电功率P=EkΔt(3)由(1)(2)(3)式得P=12ρSv3.二、液体流例2采煤中常用水流将煤层击碎而把煤采下，现有一采煤用的水枪，从枪口射出的高速水流速度为v.设水的密度为ρ，水流垂直射向煤层表面，试求煤层表面可能受到的最大压强.分析设水枪枪口横截面积为S，在Δt时间内射出的质量m=ρ·SvΔt.在水流撞击煤层表面后反溅的速度大小、方向有多种可能，而水流动量变化的最大的要属水流撞击后以原速反溅的情形.设煤层对水的平均作用力为F，取F方向为正方向，根据动量定理有F·Δt=mv2-mv1=ρSvΔt·v-(-ρSvΔt·v).得F=2ρSv2.由牛顿第三定律知煤层受到水流的作用力大小为F′=2ρSv2，故煤层表面受到的最大压强p=F′S=2ρSv2S=2ρv2.三、宏观颗粒流例3图1是米店自动称米装置示图.现如果要称米M千克，那么台称称量达到M千克(未计容器质量)时，自动装置能立即在米出口处切断米流，这种称米方法准确吗？为什么？分析设米在出口处的初速度为零，米的流量为m kg/s，米下落过程中做自由落体运动，落到台秤上称量值为M时距容器内米的上表面的距离为h，运用运动学公式有v2=2gh,v=2gh.应用动量定理求出此时米流对称盘面的作用力为F，取Δt时间内落入容器的米流为研究对象，有F·Δt=Δm·v.而ΔmΔt=m,F=m·2gh.此时台秤的称量值M、容器中所装米的质量m1与米流对称的作用力F满足Mg=m1g+F.若能证明空中米流(此时还有高度为h的米流尚未入容器)的质量m2满足m2=Fg，即说明这种称米方法正确.设最上面米粒落到容器的时间为t，有m2=m·t，而h=12gt2.解得m2=m·2hg=m2ghg=Fg.可见，这种称米方法正确.四、电子流例4图2为阴极射线管示意图.由阴极K产生的热电子(初速度为零)经电压加速后，打在阳极A板上.若A板附近单位体积内的电子数为N，电子打到A板上即被吸收.求电子打击A板过程中A板受到的压强.解设电子到达A板时的速度为v，电子质量为m.电子加速过程中由动能定理得eU=12mv2(1)在靠近A板处沿电子流方向取一横截面积为S、长度为vΔt的电子流柱体微元.因为所取Δt极小，所以微元中各电子的速度均可认为等于电子打击A板时的速度v，则时间Δt内打到A板上的电子数为NSvΔt，由动量定理得FΔt=(NSvΔt)mv(2)由(1)、(2)两式及牛顿第三定律得A板所受压力F′=2eUNS(3)由(3)式及压强定义得A板所受压强p=2eUN.五、光子流例5科学家设想在未来的航天事业中用太阳帆来加速星际宇宙飞船，按照近代光的粒子说，光由光子组成，飞船在太空中张开太阳帆，使太阳光垂直射到太阳帆上，太阳帆面积为S，太阳帆对光的反射率为100%，设太阳帆上每单位面积每秒到达n个光子，每个光子的动量为p，如飞船总质量为m.求：(1)飞船加速度的表达式.(2)若太阳帆面对阳光一面是黑色的，情况又如何？解析(1)设经过时间t，则在时间t内射到太阳帆上的光子数N=nSt①对光子由动量定理得Ft=NP-N(-P)②对飞船由牛顿运动定律得F=ma③由以上三式解得飞船的加速度为a=2nSPm.(2)若太阳帆面对阳光的一面是黑色的，则对光子由动量定理得ft=0-N(-P)④由①③④得a=nSPm.六、物体流例6一挺机枪每分钟能发射216颗子弹，每颗子弹质量m为50 g，子弹出口时的速度为1000 m/s，则机枪手抵住机枪的作用力为多大？解析可把子弹流近似当做流体，取Δt时间内射出的子弹流为研究对象，它的总质量为M，有M=21660×Δt×m.设机枪对子弹流的作用力为F，运用动量定量可得F·Δt=Mv，F=MvΔt=216×Δt×mv60×Δt=21660×0.05×1000 N=180 N.由牛顿第三定律可知，子弹流对机枪的作用力为180 N.所以，为使机枪处于平衡状态，机枪手抵住机枪的作用力应为180 N.小结以上是六类变质量(或连续流体)问题，对这类问题的处理，一般要选取一段时间的流体为研究对象，然后表示出所选研究对象的质量，分析它的受力及动量的变化，根据动量定理列方程求解.链接训练1.国产水刀——超高压数控万能水切割机以其神奇的切割性能在北京国际展览中心举行的第五届国际机床展览会上引起轰动，它能切割40 mm厚的钢板、50 mm厚的大理石等材料.水刀是将普通的水加压，使其从口径为0.2 mm的喷嘴中以800 ～1000 m/s的速度射出的水射流.我们知道，任何材料承受的压强都有一定限度，下表列出了一些材料所能承受的压强限度.A橡胶5×107 PaB花岗石1.2×108 Pa～2.6×108 PaC铸铁8.8×108 PaD工具钢6.7×108 Pa设想有一水刀的水射流横截面积为S，垂直入射的速度v=800 m/s，水射流与材料接触后，速度为零，且不附着在材料上，水的密度ρ=1×103 kg/m3，则此水刀不能切割上述哪些材料？2.一宇宙飞船以速度v=1.0×104 m/s在密度为ρ=2.0×10-5 kg/m3的微陨石云中飞行，如果飞船的最大正截面积S=5.0 m2，且近似地认为微陨石与飞船碰撞后都附着在飞船上，则飞船受到微陨石的平均作用力为多大？参考答案1.以射到材料上的水量Δm为研究对象，以其运动方向为正方向，由动量定理得pSΔt=-ρSvΔt·v，p=-ρv2=-6.4×108 Pa.由表中数据可知，不能切割C、D.2.以飞船为参照系，则微陨石流以v=1.0×104 m/s的速度撞击飞船上.设在极短时间Δt内附到飞船上的陨石流的质量为m，则m=ρ·Δv=ρ·S·Δt·v，对这部分陨石流应用动量定理，设飞船对它的作用力为F.F·Δt=mv，F=mvΔt=ρSvΔt·vΔt=ρSv2=2.0×10-5×5.0×(1.0×104)2=1.0×104 N.由牛顿第三定律知，飞船受到微陨石流的平均作用力为1.0×104 N.。
【高考速递】突破31 用动量定理解决连续流体的作用问题-2019高三物理一轮微专题热点突破(Word版含解析)
突破31 用动量定理解决连续流体的作用问题通常情况下应用动量定理解题，研究对象为质量一定的物体，它与其他物体只有一次相互作用，我们称之为“单体作用”。
这类题目对象明确、过程清楚，求解不难。
而对于流体连续相互作用的这类问题，研究对象不明，相互作用的过程也较复杂，求解有一定难度。
1．流体作用模型对于流体运动，可沿流速v 的方向选取一段柱形流体，设在极短的时间Δt 内通过某一横截面S 的柱形流体的长度为Δl ，如图所示．设流体的密度为ρ，则在Δt 的时间内流过该截面的流体的质量为Δm ＝ρS Δl ＝ρSv Δt ，根据动量定理，流体微元所受的合外力的冲量等于该流体微元动量的增量，即F Δt ＝Δm Δv ，分两种情况：(1)作用后流体微元停止，有Δv ＝－v ，代入上式有F ＝－ρSv 2；(2)作用后流体微元以速率v 反弹，有Δv ＝－2v ，代入上式有F ＝－2ρSv 2. 2．微粒类问题 微粒及其特点通常电子流、光子流、尘埃等被广义地视为“微粒”，质量具有独立性，通常给出单位体积内粒子数n分析步骤(1)建立“柱体”模型，沿运动的方向选取一段微元，柱体的横截面积为S(2)微元研究，作用时间Δt 内一段柱形流体的长度为Δl ，对应的体积为ΔV ＝Sv0Δt ，则微元内的粒子数N ＝nv0S Δt(3)先应用动量定理研究单个粒子，建立方程，再乘以N 计算【典例1】某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M 的卡通玩具稳定地悬停在空中．为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S 的喷口持续以速度v 0竖直向上喷出；玩具底部为平板(面积略大于S )；水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开．忽略空气阻力．已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g .求：(1)喷泉单位时间内喷出的水的质量；(2)玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度．【答案】：(1)ρv 0S (2)v 202g －M 2g 2ρ2v 20S2【解析】：(1)设Δt时间内，从喷口喷出的水的体积为ΔV，质量为Δm，则Δm＝ρΔV ①ΔV＝v0SΔt ②由①②式得，单位时间内从喷口喷出的水的质量为Δm＝ρv0S. ③Δt(2)设玩具悬停时其底面相对于喷口的高度为h，水从喷口喷出后到达玩具底面时的速度大小为v.对于Δt【典例2】有一宇宙飞船，它的正面面积S = 0.98m2，以v = 2×103 m/s的速度飞入一宇宙微粒尘区，此尘区每立方米空间有一个微粒，微粒的平均质量m = 2×10﹣7 kg，要使飞船速度保持不变，飞船的牵引力应增加多少？（设微粒与飞船外壳碰撞后附于飞船上）。
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以N计算
[例 2] 宇宙飞船在飞行过程中有很多技术问题需要解 决，其中之一就是当飞船进入宇宙微粒尘区时如何保持速度 不变的问题。假设一宇宙飞船以 v＝2.0×103 m/s的速度进入 密度 ρ＝2.0×10－6 kg/m3 的微粒尘区，飞船垂直于运动方向上 的最大截面积 S＝5 m2，且认为微粒与飞船相碰后都附着在飞 船上，则飞船要保持速度 v 不变，所需推力多大？
[反思领悟]
对于流体及微粒的动量连续发生变化这类问题，关键是 应用微元法正确选取研究对象，即选取很短时间 Δt 内动量发 生变化的那部分物质作为研究对象，建立“柱状模型”：研 究对象分布在以 S 为截面积、长为 vΔt 的柱体内，质量为 Δm ＝ρSvΔt，分析它在 Δt 时间内动量的变化情况，再根据动量定 理求出有关的物理量。
到达玩具底面时的速度大小为 v。对于 Δt 时间内喷出的水，由能量守
恒得21(Δm)v2＋(Δm)gh＝21(Δm)v02
④
在 h 高度处，Δt 时间内喷射到玩具底面的水沿竖直方向的动量变
化量的大小为 Δp＝(Δm)v
⑤
设水对玩具的作用力的大小为 F，根据动量定理有 FΔt＝Δp ⑥
由于玩具在空中悬停，由力的平衡条件得 F＝Mg
3 建立方程，应用动量定理研究这段柱状流体
[例 1] (2016·全国卷Ⅰ)某游乐园入口旁有一喷泉，喷出 的水柱将一质量为 M 的卡通玩具稳定地悬停在空中。为计算 方便起见，假设水柱从横截面积为 S 的喷口持续以速度 v0 竖 直向上喷出；玩具底部为平板(面积略大于 S)；水柱冲击到玩 具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周 均匀散开。忽略空气阻力。已知水的密度为 ρ，重力加速度大 小为 g。求
(1)喷泉单位时间内喷出的水的质量； (2)玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度。
[解析] (1)设 Δt 时间内，从喷口喷出的水的体积为 ΔV，质量为
Δm，则 Δm＝ρΔV
①
ΔV＝v0SΔt
②
由①②式得，单位时间内从喷口喷出的水的质量为
ΔΔmt ＝ρv0S。
③
(2)设玩具悬停时其底面相对于喷口的高度为 h，水从喷口喷出后
[解析] 设飞船在微粒尘区飞行 Δt 时间，则在这段时间内 附着在飞船上的微粒质量 Δm＝ρSvΔt，
微粒由静止到与飞船一起运动，微粒的动量增加， 由动量定理 Ft＝Δp 得 FΔt＝Δmv＝ρSvΔtv， 所以飞船所需推力 F＝ρSv2＝2.0×10－6×5×(2.0×103)2N ＝40 N。
⑦
联立③④⑤⑥⑦式得 h＝v20g2－2ρM2v20g2S2。
⑧
(二)微粒类“柱状模型”问题
微粒及 其特点
通常电子流、光子流、尘埃等被广义地视为“微 粒”，质量具有独立性，通常给出单位体积内粒 子数n
建立“柱状模型”，沿运动的方向选取一段微元， 1
柱体的横截面积为S
微元研究，作用时间Δt内一段柱形流体的长度为 分析 步骤 2 Δl，对应的体积为ΔV＝Sv0Δt，则微元内的粒子
动量定理解决连续流体问题
(一)流体类“柱状模型”问题
流体及 通常液体流、气体流等被广义地视为“流体”， 其特点 质量具有连续性，通常已知密度ρ
建立“柱状模型”，沿流速v的方向选取一段柱形 分 1 流体，其横截面积为S 析
微元研究，作用时间Δt内的一段柱形流体的长度 步2
为Δl，对应的质量为Δm＝ρSvΔt 骤