等腰三角形(讲义)

等腰三角形
考点一、等腰三角形的特征和识别
⑴等腰三角形的两个_____________相等（简写成“________________”）
⑵等腰三角形的_________________、_________________、_________________互相重合（简称为“________________”）
特别的：（1）等腰三角形是___________图形.
（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应__________.
⑶如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的________也相等（简称为“____________________”） 特别的：
（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形． （2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形． （3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形． （4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．
典例1、如图，△ABC 中，AB=AC=8，D 在BC 上，过D 作DE ∥AB 交AC 于E ，DF∥AC
交AB 于F ，则四边形AFDE 的周长为______ 。

2、 如图，△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC 与∠ACB ，EF 过D
且EF ∥BC ，若AB = 7，BC = 8，AC = 6，则△AEF 周长为( ) A. 15 B . 14 C. 13 D. 18
3、 如图,点B 、D 、F 在AN 上,C 、E 在AM 上，且AB=BC=CD=ED=EF,∠A=20o
,则∠FEB=____度．
4、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的一个底角的度数是_____________
5、△ABC 中， DF 是AB 的垂直平分线，交BC 于D ，EG 是AC 的垂直平分线，交BC 于E ，若∠DAE=20°，则∠BAC 等于 °
N
M F
E C D B A F
E
D A B C
A
B
C
D
G
F
E
6、从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于
7、已知，在△ABC 中，∠ACB=90°，点D 、E 在直线AB 上，且AD=AC ，BE=BC ，则∠DCE = 度.
8、如图：在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC ， DE ⊥AB 于点E, DF ⊥AC 于点F 。

试说明DE=DF 。

9、如图,E 在△ABC 的AC 边的延长线上，D 点在AB 边上，DE 交BC 于点F ，DF=EF ，BD=CE.求证：△ABC 是等腰三角形.
10、已知：如图，△ABC 中，∠ACB 的平分线交AB 于E ，EF ∥BC 交AC 于点F ，交∠ACB 的外角平分线于点G ．试判断△EFC 的形状，并说明你的理由．
F
E
D
C B
A
11、如图，△ABC 中，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝CB ，AD 、BC 的延长线相交于G ，CE ⊥AG 于E ，CF ⊥AB 于F.
（1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）； （2）选择（1）中你所写出的一组相等线段，说明它们相等的理由.
考点二、等边三角形的特征和识别
⑴等边三角形的各____相等，各____相等并且每一个角都等于________ ⑵三个角相等的三角形是__________三角形
⑶有一个角是60°的____________三角形是等边三角形
特别的：等边三角形的中线、高线、角平分线_________________________________________ 典例1、下列推理中，错误的是 ( ) A ．∵∠A ＝∠B ＝∠C ，∴△ABC 是等边三角形 B ．∵AB ＝AC ，且∠B ＝∠C ，∴△ABC 是等边三角形 C ．∵∠A ＝60°，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形 D ．∵AB ＝AC ，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形
2、如图，等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，
垂足为M 。

求证：M 是BE 的中点。

3、已知△ABC 是等边三角形，分别在AC 、BC 上取点E 、F ，且AE=CF ，BE 、AF 交于点D ，则∠BDF ＝ _________度
A
B
C
D
E
M
D
A
F 4、如图，点P是等边△ABC内一点，点P到三边的距离分别为PE、PF、PG，等边△ABC的高为AD，
求证：PE+PF+PG=AD
如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF•的形状是（）
A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
变式题：如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，FE⊥BC,DF⊥AC,
ED⊥AB,垂足分别为点E,F,D,求证：△DEF为等边三角形。

如图，B、C、D在一直线上，ΔABC、ΔADE是等边三角形，若CE＝15cm，CD＝6cm，
则AC＝_____，∠ECD＝_____．
5、如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下六个结论：①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP; ⑤∠AOB=60°;⑥CO平分∠AOE.其中不正确的有（）个
A．0 B．1 C．2 D．3
F
E
A
B
P
第10题
O
Q
P
D
B
A
乙O
D C B A F
E C B A
考点三、30°所对的直角边是斜边的一半 典例
1、如图，是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直 于横梁AC ，AB=8m ，∠A=30°，则DE 等于（ ）
A ．1m
B ．2m
C ．3m
D ．4m 2、如图：△ADC 中，∠A = 15°，∠D=90°，B 在AC 的垂直平分线上，AB =34，则CD = ( )
A. 15 B . 17 C. 16 D. 以上全不对
3、一张折叠型方桌如图甲，其主视图如图乙，已知AO=BO=40cm ，C0=D0=30 cm ，现将桌子放平，两条桌腿叉开的角度∠AOB 刚好为120°，求桌面到地面的距离是多少？
4、如图，AB=AC ，DE⊥AB 于E ，DF⊥AC 于F ，∠BAC=120o
，BC=6，则DE+DF= 5、在ABC △中，120AB AC A =∠=︒，，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，交AB 于点E ．如果1DE =，求BC 的长
如图，已知：在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AB 的垂直平分线交AB 于E ， 交BC 于F . 求证：CF=2BF.
已知：如图，△ACD 是等边三角形，AE⊥CD 于E ，AB ⊥AC ，AC ＝AB ，AE 、BD 相交于O. 求证：BC=2OD.
A B D C E D C B A F
E C B 第4题图 甲 O
E
D
C
B
A。