第二十二讲(晶体的各向异性 )
晶体各向异性和各向同性
晶体各向异性和各向同性
各向异性：晶体的各向异性即沿晶格的不同方向，原子排列的周期性和疏密程度不尽相同，由此导致晶体在不同方向的物理化学特性也不同，这就是晶体的各向异性。
晶体的各向异性具体表现在晶体不同方向上的弹性模量、硬度、断裂抗力、屈服强度、热膨胀系数、导热性、电阻率、电位移矢量、电极化强度、磁化率和折射率等都是不同的。
各向异性作为晶体的一个重要特性具有相当重要的研究价值。
常用密勒指数来标志晶体的不同取向。
各向同性：指物体的物理、化学等方面的性质不会因方向的不同而有所变化的特性，即某一物体在不同的方向所测得的性能数值完全相同。
亦称均质性。
物理性质不随量度方向变化的特性。
即沿物体不同方向所测得的性能，显示出同样的数值。
如所有的气体、液体（液晶除外）以及非晶质物体都显示各向同性。
例如，金属和岩石虽然没有规则的几何外形，各方向的物理性质也都相同，但因为它们是由许多晶粒构成的，实质上它们是晶体，也具有一定的熔点。
由于晶粒在空间方位上排列是无规则的，所以金属的整体表现出各向同性。
晶体中的各向异性
2 结晶生长的微观描述
如图 1 所示，晶体生长体系的组成从溶液相到晶相经历了三个区间，即液相区、过渡相区与晶相区。在
液相区， 溶质与溶剂以离子水平均匀混合。晶体的
组成原子在溶液中通过彼此之间很强的化学键相互键
合，从而形成众多的生长单元 （ 离子、分子或 团 簇） 。
在过渡相区，生长单元经扩散逐步接近晶体，在靠近晶
（ 1． State Key Laboratory of Rare Earth Resource Utilization，Changchun Institute of Applied Chemistry，Chinese Academy of Sciences， Changchun 130022，China； 2． School of Chemical Engineering，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China）
人工晶体学报
JOURNAL OF SYNTHETIC CRYSTALS
Vol． 41 Supplement August，2012
晶体中的各向异性研究
孙丛婷1，2 ，李克艳2 ，宋术岩1 ，薛冬峰1，2
（ 1． 中国科学院长春应用化学研究所稀土资源利用国家重点实验室，长春 130022； 2． 大连理工大学化工学院，大连 116024）
此，有效地设计表面键合环境有利于调节各向异性生
长形态。在 Cu2 O 结晶过程中，EDTA 被证实起到了还 原剂和螯合剂的双重作用 。 ［12，13，20］ EDTA 的浓度决定
了 Cu2 O 生长过程中的控制步骤。在高 Cu（ II） / EDTA
浓度比的结晶条件下，Cu2 O 的结晶习性主要受到反应 图 3 控制，结晶环境中的 EDTA Fig． 1 Schematics of three phase zone
材料科学基础第2章
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2.3.1 固溶体
固溶体(solid solution) ：
合金组元通过溶解形成一种成分和性能均匀的、 且结构与组元之一相同的固相称为固溶体。
➢ 固溶体的最大特点是保持溶剂的晶体结构。
➢ 与固溶体晶格相同的组元为溶剂，一般在合金中 含量较多；另一组元为溶质，含量较少。
✓ 各向异性：由于在不同方向上的原子排列的紧密程 度不同使晶体在不同方向上的物理、化学和力学性 能不同。而一般整个晶体不显示各向异性，称为伪 等向性。
✓ 晶粒：组成晶体的结晶颗粒。 ✓ 多晶体：凡由两颗以上晶粒组成的晶体一般金属都
是多晶体。。
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晶粒
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Байду номын сангаас
多相合金
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(3)按溶质原子在溶剂中的分布特点分类 无序固溶体：溶质原子在溶剂中任意分布, 无规律性。
有序固溶体：溶质原子按一定比例和有规 律分布在溶剂晶格的点阵或间隙里。
(4)按基体类型分类： 一次固溶体：以纯金属为基形成的固溶体。
二次固溶体：以化合物为基形成的固溶体。
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13
固溶体的两种类型（置换和间隙）
中间相可以用分子式来大致表示其组成。
合金相的性质由以下三个因素控制: （1）电化学因素(电负性或化学亲和力因素)
电负性—化学亲和力越大越容易形成化合物，电负性 相近的元素容易形成固溶体。
（2）原子尺寸因素 △r=（rA－rB)/rA △r越大，越易形 成中间相。 △r越小，越易形成固溶体
（3）原子价因素(电子浓度因素): C电子=[A(100－x) ＋Bx]/100 C越大，越易形成
磁晶各向异性PPT课件
示为： H
d
x
N
xM
x
H
d
y
N
yM
y
H
d
z
N
zM
z
NxNy Nz 1
在CGS单位值中
NaNbNc4
如果磁性体不是椭球形状，即使在均匀外场中，磁化
也是不均匀的，这时退磁场的大小和方向随位置而变，很
2难021/用3/7 退磁因子来表C示HEN。LI
23
旋转椭球的极限情况：
abc
Na
Nb
Nc
1 3
易轴
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20
三.形状各向异性
一、退磁场
当铁磁体由于磁化，在表面具有面磁极( 荷 )或体磁极( 荷 )时，在铁磁
体内将产生与磁化强度方向相反的退磁场 Hd 。若磁性体磁化是均匀的，则
退磁场也是均匀的，且与磁化强度成比例而方向相反，因此：
H d N M
N 称作退磁因子，它的大小与M无关，只依赖于样品的几 何形状及所选取的坐标，一般情况下它是一个二阶张量。
• 自发磁化:在未加外磁场时,铁磁金 属内部的自旋磁矩已经自发地排向 了同一方向的现象.
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磁畴
磁畴
铁磁性材料所以能使磁化强度显著增大， 在于其中存在着磁畴（Domain）结构
在未受到磁场作用时，磁畴方向是无规的， 因而在整体上净磁化强度为零
每个磁矩方向一致的区域就称为一个磁畴。 不同的磁畴方向不同，两磁畴间的区域就
A<0时，反平行排列。
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铁磁性的起源----直接交换相互作用
原子间距离太远，表现孤立原子特性
固体物理各章节知识点详细总结
3.1 一维晶格的振动
3.1.1 一维单原子链的振动
1. 振动方程及其解 (1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为
a，原子质量为m。
模型 运动方程
试探解
色散关系
波矢q范围 B--K条件
波矢q取值
一维无限长原子链，m，a，
n-2 n-1 n mm
n+1 n+2
a
..
m x n x n x n 1 x n x n 1
x M 2 n x 2 n 1 x 2 n 1 2 x 2 n
..
x m 2n1 x 2 n 2 x 2 n 2 x 2 n 1
x
Aei2n1aqt
2 n1
x
Bei2naqt
2n
相隔一个晶格常数2a的同种原子，相位差为2aq。
色散关系
2co as q A M 22B0 m 22A 2co as q B0
a h12 h22 h32
由
2π Kh
d h1h2h3
2π
d K 得： h1h2h3
h1h2h3
简立方：a 1 a i,a 2 aj,a 3 a k ,
b12πa2a3 2πi
Ω
a
b22πa3a1 2πj
Ω
a
b32πa1a2 2πk
Ω
a
b1 2π i a
b2 2π j a
2π b3 k
2n-1
2n
2n+1
2n+2
M
m
质量为M的原子编号为2n-2 、2n、2n+2、···
质量为m的原子编号为2n-1 、2n+1、2n+3、···
晶体的光学各向异性
4.1.1
1.
（1）.把一个标量与一个或者多个矢量以等式的形式关 联起来，等式的关联系数（即关联因子；下同）就是张量。
（2）.把一个标量与一个张量以等式的形式关联起来， 其中的关联因子就是张量。
（3）.把一个矢量与一个或者多个矢量以等式的形式关 联起来，其中的关联因子就是张量。
A1' A2'
a11 a21
A3'
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
A1 A2 A3
其分量变换公式为:
Ai' aij Aj
i, j=1, 2, 3
3.
一个二阶张量［Tij］，如果有Tij=Tji，称为对称张
按照爱因斯坦求和规则：若在同一项中下标重复两次，则 可自动地按该下标求和，将上式简化为
可以看出：如果pi=TTi是jqj张量，i则,jp=矢1,量2的, 某3 坐标分(4量-不5仅) 与q
矢量的同一坐标分量有关，还与其另外两个分量有关。
如果矢量p与两个矢量u和v相关，其一般关系式为：
p T : uv
4.1.2
由电磁场理论已知，介电常数ε 是表征介质电学特性的
参量。在各向同性介质中，电位移矢量D与电场矢量E满足如
下关系：
D 0 r E
在此，介电常数ε =ε 0ε r是标量，电位移矢量D与电场
矢量E的方向相同，即D矢量的每个分量只与E矢量的相应分量
线性相关。对于各向异性介质(例如晶体)，D和E间的关系为:
分量表示式为：
pi=Tijkujvk i, j, k=1, 2, 3 式中，T为三阶张量，它包含27个张量元素，其矩阵形式为：
晶体各向异性和各向同性名词解释
晶体各向异性和各向同性名词解释一、各向异性(isotropicity)在晶体中，当光线穿过该晶体时，传播方向发生改变的现象。
这种因晶体对光线的折射率与入射角度之间的关系不同而导致的光路方向改变称为光的双折射现象，用光的偏振方向作标记，将其定义为：入射光和偏振光沿传播方向垂直相交时，则产生光的双折射现象。
晶体各向异性：①晶体的光学性质(crystal optical properties)是由其对不同波长的光的折射率不同决定的。
如果晶体具有各向异性，则光在通过该晶体时将发生两次折射，从而使光路的前进方向不断改变，即出现了双折射现象。
②晶体的各向异性是由于晶体对光的折射率不同引起的。
③通常情况下，晶体的折射率比空气的折射率大。
④人造多晶体的组成单元只能是各向异性的，但晶体的取向不必完全与某一个特定方向平行。
⑤在非均质体系中，由于相界面的各向异性，光线经过这些界面时也会发生反射和折射。
⑥当晶体的厚度远小于光波波长时，可近似地看作一个具有各向同性的光学介质。
1。
晶体的各向异性6。
位错(dislocation)位错是晶体材料中的一类缺陷，是原子、离子或分子在三维空间中呈周期性重复排列时，受到外力(切应力)作用，晶体中的一部分原子或离子的运动受到限制而产生的局部应力场，位错不仅限于单晶材料，而且在多晶体材料中也存在。
金属材料中的位错一般称为位错线或位错胞。
在单晶材料中，位错是按一定规律排列的，这种规律称为位错的胞状结构或位错环。
位错的特征是：它是一段受限制的高阶有序结构，在形状上为细长的线状，或为球状、片状等;在数量上为单态或群态;在能量上表现出饱和性和各向异性。
7。
孪晶(twinning)金属晶体中，若晶体微小变形后，产生一个不协调的两相变形，该两相变形互相抵消，使晶体变形处又恢复到不产生变形的原始状态。
这种现象称为孪生。
金属材料中的孪晶按形成原因可分为：滑移孪晶，有错位相和同晶孪晶两种;回复孪晶，有滑移孪晶转变为回复孪晶和回复孪晶转变为滑移孪晶两种;孪生，有滑移孪晶转变为孪生和孪生转变为滑移孪晶两种。
晶体结构 (讲义)
第一章晶体结构§1.1 引言§1.2 晶体的特征●长程有序／外形规则／各向异性§1.3 空间点阵学说●基元／结点／格点／重复单元／子晶格§1.4 晶体结构的数学描述及晶系举例●三矢／晶系举例／晶列、晶面指数§1.5 半导体的晶体结构●金刚石／闪锌矿／岩盐／纤锌矿§1.6 倒格子与布里渊区●周期函数的级数展开／状态空间的几何表示／倒格子的概念／举例／波矢空间与布里渊区§1.2 晶体的特征（附件0）┌单晶体┌晶体┤固体（半导体）┤└多晶体│└非晶体（非晶态固体）●晶体：具有规则结构的固体长程有序──晶体中的原子（分子）至少在远大于其分子线度的范围内是按照一定的规律周期性排列的。
晶体举例：金属、岩盐、水晶、金刚石、白宝石、陶瓷材料●非晶体：不具有规则结构的固体短程有序──非晶态固体中原子（分子）的排列没有明确的周期性，其内部结构的有序性仅仅表现在分子线度内。
非晶体举例：玻璃、橡胶、塑料、白蜡“过冷液体”──无确定熔点●单晶体？多晶体？●单晶体：所有原子（分子）都按照统一的规则排列的晶体特征：有一定外形，且其外形呈现出高度的对称性，物理性质各向异性凸多面体，晶面解理，解理面，解理性晶带（a-1-c-2），晶棱(晶面交线)，带轴，晶轴单晶体举例：水晶、岩盐、金刚石●多晶体：由许多微细单晶体组成的晶体其原子（分子）在整个晶体中不按统一的规则排列特征：无一定外形，物理性质各向同性多晶体举例：各种金属、各种陶瓷材料→组成金属的小晶粒的线度为μｍ量级故金属至少在μｍ量级的范围内有序●理想晶体（完整晶体）：结构完全规则的晶体●近乎完整的晶体：在规则（排列）的背景中尚存在微量不规则性的晶体晶体中的微量不规则性──缺陷天然杂质或人为掺杂缺陷的两重性：纯 Fe ＋微量 C →钢白宝石＋微量铬离子→红宝石（Al2O3）（Cr+3）p-n结注：铬（gè）§1.3 空间点阵学说──主要概念与基本内容（附件1）●正确反映了晶体内在结构“长程有序”的特征⑴基元，晶体的周期性结构，周期●基元：组成晶体的最小基本单元┌─可以由一个或多个原子组成│├─可以由同种或异种原子组成│└─基元的等同性●晶体结构：由特定的基元沿空间三个不同的方向各按一定的距离周期性地平移而构成每一平移距离＝周期⑵结点，点阵，布喇菲点阵●结点：基元的抽象仅限于考察晶体结构的周期性特征可不涉及基元内部组成的具体情况可把基元抽象为一点可选取基元中任何一点代表基元──抽象表示基元的点子＝结点基元中结点的任意性基元间结点的一致性●结点的总体─→点阵／布喇菲点阵●空间点阵：晶体结构的一种抽象模型─┬──└→由一些相同的点子在空间有规则地作周期性排列的无限分布点子的总体＝点阵●点阵是晶体周期性结构的抽象：结点在点阵中周期性排列的情况≡基元在晶体中周期性排列的情况≡基元中任一原子（离子）在晶体中周期性排列的情况⑶格点，晶格，布喇菲格子●通过点阵中的结点，可以作：许多平行的直线族和平行的晶面族┌─点阵成为网格│└─网格化的点阵＝晶格●在晶格中，“结点”改称“格点”●格点的总体─→布喇菲格子──┬──└→布喇菲点阵的同义语●网格化描述：更形象地了反映晶体结构的周期性⑷重复单元，最小重复单元，原胞，晶胞（附件1）●晶格：许许多多、完全相同的、以格点为顶点的平行六面体的堆砌●平行六面体与格点的关系：顶点都在格点上内部表面→可有格点，也可无格点棱上●重复单元：任一符合上述定义的平行六面体●最小重复单元：内部、表面、棱上均无格点●原胞（布喇菲原胞）：棱上无格点内部、表面可有可无○由任一格点向与之相邻的三个格点分别引出三条线段,以此三条线段为边所确定的平行六面体。
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晶体宏观物理性能随空间方向变 化的理论依据
➢ 理论依据：空间中任何的转动都可以依据欧拉转动定理
（Euler’s rotation theorem)用三个欧拉角来 描述。
➢ 称操作（对称变换）：能使某一图形作有规律重复操作或变换。 保持晶体内任意两点之间距离不变，把晶体移到与原始位置不能 区别的位置上的操作，经过对称操作后，晶体的所有性质不变
晶体的对称性与对称操作
➢ 进行对称操作时所凭借的几何元素称对称素，晶体只 有为数不多的几种对称素，这些对称素组合而产生的 对称类型也是有限的；
物理性能随空间方向变化（例）
• 3m，以铌酸锂为例
0
0 0 0 d15 2d 22
d 22 d 22 0 d15 0
0
d31 d31 d33 0
0
0
物理性能随空间方向变化（例）
➢ d33
物理性能随空间方向变化（例）
➢ d31
➢ 对称操作
晶体的对称性与对称操作
晶体的对称性与对称操作
晶体的物理性质
晶体的物理性质是晶体本身所固有的一种属 性，晶体的物理性质大多是各向异性的，而这些 物理量可以用张量来表征。
➢ 张量的定义：其是一种物理量，在坐标变换时， 只改变表达形式，不改变物理本质。
在三维实空间，用3n个分量来表征的物理量称n阶张量，故有： 1. 零阶张量（标量，一个分量） 2. 一阶张量（三个分量；矢量） 3. 二阶张量（九个分量） 4. 三阶张量（二十七个分量）……
三角晶系 立方晶系
晶轴上的周期 abc abc abc a=bc a=bc
晶轴间的夹角 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ90
==90， 90 ===90 ===90
==90， =120
a=b=c a=b=c
==90 ===90
晶体的对称性与对称操作
思考： 以上关系如何推导
晶体的物理性质
➢ 张量空间变换
Di ij E j Ei a ji E j '
Di ij E j ij atj Et ' Di ' aij D j Dp ' api Di apiij atj Et '
pt '
晶体的物理性质
对于多阶张量，同理仍有以下关系：
➢ 设直接的坐标变换为：x' Ax ，则：
A=BCD
晶体宏观物理性能随空间方向变 化的理论依据
cos sin 0
B sin cos 0
0
0 1
cos sin 0
D sin cos 0
0
0 1
1 C 0
0
思考：意义 以及重要性
晶体的物理性质
➢ 坐标变换
设原坐标系统为Z1Z2Z3，新坐标系统为 Z1' Z2 ' Z3'
其满足如下关系（正交坐标系）：
Z1' a11Z1 a12Z2 a13Z3 Z2 ' a21Z1 a22Z2 a23Z3 Z3' a31Z1 a32Z2 a33Z3
晶体的物理性质
在直角坐标系中，坐标变换矩阵中元素应满足：
ai21 ai22 ai23 1 a12i a22i a32i 1
a11a12 a21a22 a31a32 0 a11a21 a12a12 a13a23 0
晶体的物理性质
aik a jk akiakj ij
Z1' a11 a12 a13 Z1 Z2 ' a21 a22 a23 Z2 Z3' a31 a32 a33 Z3
晶体的物理性质
将上式写成张量形式：
Zi ' aij Z j aij Z j
注意其简写形式
晶体的物理性质
➢ 标量：没有方向性的物理量，用一个与任何参考轴无 关的简单数来确定T．W．V．U．S．ρ（密 度）．C（比热）
➢ 矢量：有确定方向和大小的物理量，共有三个分量
E (E1, E2 , E3 ) P (P1, P2 , P3 ) D (D1, D2 , D3 )
晶体的物理性质
晶体的压电性质
晶体的各向异性
晶体的对称性与对称操作
• 晶体的结构是以一个抽象的几何图形代 表的一组原子，这种几何图形具有一定 的对称性，这种对称性就称为晶体的宏 观对称性，如果深入到晶体结构内部， 研究以空间点阵方式无限分布的各种质 点的分布规律，这种对称性称晶体的微 观对称性。
晶体的对称性与对称操作
➢ 对称元素：对称操作所依赖的几何元素（点、轴、 面），宏观对称的对称元素是旋转轴和旋转——反演 轴，包括对称中心和对称面；微观对称的对称元素是 平移，滑移反射面和螺旋轴；
➢ 宏观对称素：对称中心（i）；对称面（m）
晶体的对称性与对称操作
晶体的对称性与对称操作
晶系名称 三斜晶系 单斜晶系 正交晶系 四方晶系 六角晶系
➢ 微观对称：晶体在微观研究中作为一个周期性的不连续的结构所 表现出来的对称，经过对称操作后晶体中每一点都移动到具有相 同电子密度的另一点，微观对称的对称元素是平移，滑移反射面 和螺旋轴；
➢ 宏观对称：晶体在宏观观察（宏观物理性质测试）中作为一个均 匀的连续的各向异性的物体所表现出来的对称，经过对称操作后 晶体宏观物理性质不变，宏观对称的对称元素是旋转轴和旋转— —反演轴（包括对称中心和对称面）；
➢ 二阶张量：由九个分量所确定，二阶张量把两个矢量 联系起来
例如：
Di ij E j
11 12 13 ij 21 22 23
31 32 33
是一个二阶张量
➢ 三阶张量：27个分量组成。三阶张量可把矢量和二阶 张量联系起来。例电场强度与应力的关系即压电效应用 三阶张量的压电系数
Z Z'
Z (Z') Z''
Y
Y'
X (X ')
Y
Y''
X' (X'') X
Y'
晶体宏观物理性能随空间方向变 化的理论依据
➢ 设xyz绕z轴旋转的坐标变换矩阵为D，则
Dx
➢ 设绕 轴转动的变换矩阵为C，则
' C
➢ 最后绕 '轴的变换矩阵为B，则
x' B '
0
cos sin
0
sin
cos
物理性能随空间方向变化（例）
• 4mm 以钛酸钡晶体为例：
0 0 0 0 d15 0
0
0
0 d15 0 0
d31 d31 d33 0 0 0
物理性能随空间方向变化（例）
➢ d33
物理性能随空间方向变化（例）
➢ d31
➢ 欧拉角：是三个连续转动的角度，三次转动可以给出三
个转动矩阵。根据绕不同坐标轴的不同转动次 序，在实际应用中有一些惯例。
➢ “x惯例”：对于坐标系xyz,首先绕z轴逆时针旋转 角，得
到新坐标系 ；再绕 轴逆时针旋转 角，得 到坐标系 ；最后再绕 轴逆时针旋转 角，此时得到坐标系x’y’z’。
晶体宏观物理性能随空间方向变 化的理论依据
j
同时新坐标系统也可由原坐标系统表示如下：
Z1' a11 a21 a31 Z1 Z2 ' a12 a22 a32 Z2 Z3' a13 a23 a33 Z3
Zi ajiZ j ' ajiZ j '
j
P i d ijk T jk
➢ 四阶张量：81个分量。
Sij sijklTkl
Tij cijkl S kl
晶体的物理性质
诺埃曼原理：晶体对称性与晶体宏观物理性质是有联系的， 即：晶体的任一物理性质所拥有的对称元素，必须包含晶 体所属晶类的对称元素。也就是，晶体的宏观物理性质可 以而且经常具有比晶类更高的对称性。