小学数学简便运算和巧算
小学数学简便运算和巧算
一、数的加减乘除有时可以运用运算定律、性质、或数量间的特殊关系进性较快的运算这就是简便运算。
（一）其方法有：
一：利用运算定律、性质或法则。
(1) 加法：交换律，a+b=b+a, 结合律，(a+b)+c=a+(b+c).
(2) 减法运算性质：a-(b+c)=a-b-c, a-(b-c)=a-b+c, a-b-c=a-c-b,
(a+b)-c=a-c+b=b-c+a.
(3):乘法：利用运算定律、性质或法则。
交换律，a×b=b×a, 结合律，（a×b）×c=a×(b×c),
分配率，（a+b）×c=a×c+b×c, (a-b)×c=a×c-b×c.
(4)除法运算性质：
a÷(b×c)=a÷b÷c, a÷（b÷c)=a÷b×c, a÷b÷c=a÷c÷b,
(a+b)÷c=a÷c+b÷c, (a-b)÷c=a÷c-b÷c.
前边的运算定律、性质公式很多是由于去掉或加上括号而发生变化的。其规律是同级运算中，加号或乘号后面加上或去掉括号，。后面数值的运算符号不变。
例1:283+52+117+148=（283+117）+（52+48）=400+200=600（运用加法交换律和结合律）。减号或除号后面加上或去掉括号，后面数值的运算符号要改变。
例2：657-263-257=657-257-263=400-263=147.（运用减法性质，相当加法交换律。）
例3：195-（95+24）=195-95-24=100-24=76 （运用减法性质）
例4; 150-(100-42)=150-100+42=50+42=92. (同上)
例5：（+125）×8=×8+125×8=6+1000=1006. (运用乘法分配律))
例6：（）×8=125××8=1000-2=998. (同上)
例7：（）÷=÷。（运用除法性质）
例8: (450+81)÷9=450÷9+81÷9=50+9=59. (同上，相当乘法分配律)
例9： 375÷（125÷）=375÷125*=3*=. (运用除法性质)
例10：÷（0。6×）=÷÷=7÷=20. (同上)
例11：12×125××8=(125×8)×(12×=1000×3=3000(运用乘法交换律和结合
律)
例12: (175+45+55+27)-75=175-75+(45+55)+27=100+100+27=227(运用加法性质
和结合律）
例13：（48×25×3）÷8=48÷8×25×3=6×25×3=450. (运用除法性质, 相
当加法性质)
（5）和、差、积、商不变的规律。
1：和不变：如果a+b=c,那么，（a+d）+(b-d)=c,
2: 差不变：如果 a-b=c, 那么，（a+d）-(b+d)=c, (a-d)-(b-d)=c
3: 积不变：如果a*b=c, 那么,(a*d)*(b÷d)=c,
4: 商不变：如果 a÷b=c, 那么，（a*d）÷(b*d)=c, (a÷d)÷(b÷d)=c.
例14：+=（）+（+）=+1=（和不变）
例15：3576-2997=（3576+3）-（2997+3）=3579-3000=579（差不变）
例16：×+×36=×64+×36=×(64+36)=×100=746.(积不变和分配律）
例17: ÷ =*4)÷*4)=49÷1=49. (商不变)。
二：拆数法：
（1）凑整法，19999+1999+198+6=（19999+1）+(1999+1)+(198+2)+2 =22202 (2)利用规律，×+××
=×+×+× 1992×-2005×=1992×2005×(10000+1)-2005×1992×
(10000+1)=0
三：利用基准数：2072+2052+2062+2042+2083=（2062x5）+10-10-20+21=10311
四：改变顺序，重新组合。
（1）：（215+357+429+581）-（205+347+419+571）=215+357+429+58-571
=（215-205）+（429-419）+（357-347）+（581-571）=40
（2）：（378×5×25）×(4×÷=378×5×25×4×÷=(378÷×(25×4)x(5×
=100x100x4=40000
，
五：1：求等差连续自然数的和。当加数个数为奇数时，有：和=中间数x个数。当加数个数为偶数时，有：和=（首+尾）x个数的一半。
(1):3+6+9+12+15=9*5=45, (2):1+2+3+4+……+10=(1+10)*10÷2=55.
2:求分数串的和。因为1/n-1/n+1=1/n(n+1), 1/n+1/n+1=n+(n+1)/[n(n+1)].所以：
（1）：
1/42+1/56+1/72+1/90+1/110=1/6-1/7+1/7-1/8+1/8-1/9+1/9-1/10+1/10-1/11
=1/6-1/11=5/66
（2）：5/6-7/12+9/20-11/30+13/42-15/56+。。。。。。+41/400-43/460 =（1/2+1/3）-（1/3+1/4）+（1/4+1/5）-（1/5+1/6）+（1/6+1/7）-（1/7+1/8）
。。。。。。+（1/20+1/21）-（1/21+1/22）=1/2-1/22=5/11
3：变形约分法。求：（+++）÷（12+23+34+45）的值。因为分母各项是分子各项的10倍。所以有：原式=
六：设数法：求（1++）*（++）-（1+++）*（+）
的值。设a=+ . b=++.原式=（1+a）*b-(1+b)*a
=b+ab-a-ab=b-a=++-+=.
（二）：巧算的方法：除运用上面所说的简便方法外，最重要的是抓住题目（特
别是应用题）中的数量关系，充分利用逻辑推理，变解法不明为解法明确，把一
般问题转化为特殊问题，以小见大，以少见多，以简驭繁。从而达到巧算的目的。一：利用数的整除特征和某些特殊规律。
特殊问题来求解。重在一个“巧”。
（1）：一个三位数连续写两次得到的六位数一定能被7、11、13整除。为什麽
解;六位数abcabc=abc×1000+abc=abc×1001. 1001=7×13×11.
六位数abcabc必能被7、11、13整除。
（2）：六位数865abc能被3、4、5整除，当这个数最小时，a,b,c各是数字几
解：因为该数能被4,5整除,b,c必都是零，要使该数能被3整除，它各位数字和应能
被3整除，a只能是2。所以a,b,c分别是2 ,0 ,0。
（3）：化简：（1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1）÷（888888×888888） =8×8÷(888888×888888)=1÷（111111×111111）=1/.
(因为：11*11=121,111*111=12321,1111*1111=1234321,所以。。。。。。 )
二：估算法：求：a=1÷(1/1992+1/1993+1/1994+……+1/2003)的整数部分。
解：用一般通分求他得值太繁琐，可巧用“放缩法”估算。
假定除数部分各加数都是1/1992，则a=1÷(12/1992)=166。
若除数部分各加数都是1/2003，则a=1÷(12/2003)=166+11/12
所以它的整数部分是166。
三：正难则反法。直接求解困难时，换个角度从反面求解。
（1）：除了本身，合数7854321的最大因数是多少一般想法是将其分解质因
数求之，但
这个数很大，做起来很繁琐。
巧解：先求它的最小因数，再通过“除”求它的最大因数。因为该数各位数字和能被3
整除，所以这个数的最小因数是3，最大因数是：7854321÷3=261807。
（2）：某厂人数在90----110之间，做工间操排队时，站3列正好；站5列少2人；站
7列少4人，这厂有多少人
解：按所给数值正面求解很难，若换个角度从反面做，把它转化为：
该厂工人站
3列多3人；站5列多3人；站7列多3人求这厂人数的问题。即求
比3，5,7的
最小公倍数多3的数是多少。【3,5,7】=105， 105+3=108人。这厂有108人。
四：慎密的逻辑推理：
（1）：幼儿园的小朋友分饼干，每人分5块，则差27块。每人分4块，正好分完。这个
幼儿园有多少小朋友分了多少饼干
解：一般用方程法：设有x个小朋友。5x-4x=27, x=27. 饼干为：27×4=108块。
巧解：每人分4块，正好分完，每人多分一块（5块）差27块，说明小朋友
为：27÷1=27个，饼干为：27×4=108块
(2):某商店有两个柜台，甲台比乙台的磁带少120盒，各卖出164盒后，乙剩下的是甲
剩下的3倍，求原来两台各有多少盒磁带
一般用方程法：设甲剩x台，乙剩3x台. (3x+164)-(x+164)=120,
x=60,3x=180.
甲原有：60+164=224盒，乙原有180+164=344盒。
推理巧解：因为卖出的数量相等，所以卖出后甲仍比乙少120盒，乙是甲的3倍，
这就转化为差倍问题了。120÷（3-1）=60。60×3=180.
甲原有：60+164=224盒，乙原有：180+164=344盒
(3):甲乙两人进行骑车比赛，当甲骑到全程的7/8时，乙骑到全案程6/7，这时两人相
距140米。如果两人的速度不变，当甲骑到终点时，两人相距多少
解：一般方法：7/8:6/7=49:÷（7/8-6/7）=7840 ，7840:x=49:48, x=7680 7840-7680=160米
推理巧解思路：直接求甲到终点时比乙多走多少米。甲走7/8时比乙多走140米
甲走1/8时比乙多走140/7=20米。所以甲走8/8（全程）时，
比乙多走140+20=160米
（4）：求分母为40以内所有自然数的真分数的和。1/2+（1/3+2/3）+
（1/4+2/4+3/4）
+（1/5+2/5+3/5+4/5）+。。。。。。+39/40
解：用通分法求和很繁琐。通过分析数量关系可知，每个加数乘以2，可顺次得到1、2
、3、4/。。。。。。39。所以，(20×39)÷2=390 即为所求。（5）：一正方形，当竖边减少20%，横边增加2米时，得到的长方形面积与原
正方形面积相等，求原正方形面积。
解：一般思路：因为正方形面积=边长×边长。所以应先求边长。
. 用方程解：设正方形边长为一个单位长度，则面积为一个单位面积。长方形的
宽为：1×(1-20%)=80%个单位长度，长为：一个单位面积÷80%个单位长度=
个单位长度，与2米对应的单位长度为：=个单位长度。所以正方
形边长（一个单位长度）=2÷=8米，正方形面积=8x8=64平方米。很繁琐。
巧解思路：因竖边减少20%，在原图形上减少的面积与后来因横边增
加2米，增
加的面积相等。所以设原正方形边长为x米，则：
20%x × x=80%x ×2 x=8米。正方形面积=8×8=64平方米.
（6）：某班有40名学生，考数学时有2人缺考，这38人平均分数是89，这2名学生
补考后，两人的平均成绩比全班40人的平均成绩多分，这两人的平均成绩
是多少
解：一般从求平均数的共识考虑，用方程解：设这两人的平均成绩
为x,则：
x-(89*38+2x)÷40=, x=99.
推理巧解（抓住平均就是移多补少的实质）。这两人的平均分数比全班平均分
数多分，把×2=19补给38名学生，每人增加分，所以这两人平
均
分数为：89++=99。
五：注意一般解法的特殊形式：
（1）：求平均数的一般方法:公式法，平均数=总数量÷总份数。但当份数
相等时，
巧解法：平均数=（第一份数量+第二份数量+。。。。。。+第n份数量）
÷份数。
如：某人晨练，第一个5分钟的速度是100米/分，第二个5分钟的速度是110米/分，
求他这10分钟内的平均速度
一般解法：平均数=（100×5+110×5）÷(5+5)=105米/分
因为“份数”相同，可巧解：平均数=（100+110）÷2=105米/分。（2）：甲（带着一条狗）乙两人同时从相距100千米的两地出发相向而行，甲
速度为6千米/小时，乙速为4千米/小时，狗速为10千米/小时，狗碰到乙时就掉头朝甲走来，碰到甲时又朝乙跑去。。。。。。直到甲乙两人相遇。这狗走
了多少米
解：若分段求出狗与甲、与乙、与甲、与乙。。。。。。相遇时走的路程，
再加起来是很困难的。
一般巧解方法是：从整体考虑，狗走的时间就是甲乙相遇用的时间，
所以狗走的时间
=100÷（4+6）=10小时，狗走的路程=10×10=100千米.
这还不算巧，更巧的方法是：从题意可知：甲乙速度和=狗速，并且走的时间相同，所以，甲乙共走的路程就=狗走的路程=100千米。
总的来看，“巧解”就是在一题多解情况下的最佳选择。
（三）总练习题（用简便方法计算1--16题，用多种方法计算17--30题，并指出最巧方法。
17—30题只给出巧解答案。）
（1）925-28-72+75 （2）（64×125)÷(16×28) (3)÷25 (4) 55
× 55/56 (5)+++
(6)1÷（55555×55555）（11×11=121, 111×111=12321, 1111×1111=1234321......)
(7)18×5/7-5×4/7 (8)999×222+333×334 (9)××÷×÷4) (10)×64+×65
（11）*[÷] (12)43*+860* (13)(9+2/7+7+2/9)÷(5/7+5/9)
(14)1/2+1/6+1/12+1/20+1/30 （15）（1+1/2+1/3+。。。。。。+1/1999）×（1/2+1/3+1/4+。。。。。。
+1/2000）-(1+1/2+1/3+......+1/2000)×
(1/2+1/3+1/4......+1/1999)
（15）4327-98 （16）求：5+10+15+20+。。。。。。+200的和
（17）比较9/10和11/12的大小。（提示：有比较分子、比较分母、比较
与1的差、比较它们的倒数、变成整数比较和用真分数特点比较等方法。但最巧的比较方法是用“规律”比较：分子分母都相差 1时，分母大的分数大。）（18）比较：2222221/2222223和3333331/3333334的大小。（提示：巧法
是先比较他们与1的差。）
（19）某厂工人植树，若每人植5棵，剩50棵，若每人植6棵，差40棵。这厂有多少工人他们共植多少棵树
巧解：由题意可知，每人多种1棵，就多种50+40=90棵，所以这场工人有90÷1=90人，共植5*90+50=500棵。
（20）张老师用216元买钢笔奖励学生，若每支便宜1元，可多买3支，钢笔原价是多少
巧解：因为总价=单价×数量，所以把216分解成两个数相乘有2和108 、3和72 、4和54 、6和36 、8和27 、 9和24。根据题意，从后两组数可知每支笔原价是9元。
（21）王华和李明在银行都有存款，原来王比李少1/6，每人捐出20元后，李比王多25%，两人原来存款各是多少
巧解：由王比李少1/6可知；李存款是他两存款差的6倍，由李比王多25%可知，捐出20元后李存歀是他两存款差的5倍，捐款前后“差”不变，
李捐出20元后，自己的钱变成“差”的5倍，所以“差”是20元。
李原有钱为20*6=120元。王原有钱120-20=100元。
(22)甲乙两消防队共有338人，从甲队调出1/3，从乙队调出1/7的和是78人，甲乙两队各有多少人
巧解：假设甲乙调出的人数都扩大到3倍，则共调出78×3=234，原消防队只剩乙队的4/7，所以原乙消防队有：（338-234）÷4/7=182人，原甲队有338-182=156人。
（23）猴吃桃，第一天吃了全部的1/9，第二天吃余下的1/8，第三天吃又余下的1/7。。。。。。。第八天吃余下的1/2，第九天吃了一个正好吃完，原
有桃多少个
巧解：从题意可知：每天都吃了总数的1/9，（第二天吃8/9×1/8=1/9,第三天吃7/9*1/7=1/9......),所以桃子总数为：1÷1/9=9个。
(24)妈妈给上衣缝纽扣，若每天缝15件，比规定日期晚2天，每天缝18件，就可提前3天，这批上衣是多少件
巧解：按工程问题做：（2+3）÷（1/15-1/18）=450件。
（25）：一架飞机的燃料最多可用6小时，飞机去时顺风，速度为1500千米/小时，返回时逆风，速度为1200千米/小时，飞机最多飞出多远就要往回飞
巧解：按工程问题（相遇问题）思路来解答。按题意转化为往返多少
千米用6小时。6÷（1/1500+1/1200）=4000千米。
（26）：某人卖商品，第一天按11元/个的利润卖出10个，第二天是五一，按5元/个的利润卖出11个，两天卖出的总价（营业总额）相同，求该商品
的进价
巧解：因为总价=（利润+进价）×个数。第一天利润为11×10=110元，第二天若卖10个，利润为5×10=50元，总额少60元，多卖出一个，利润仅为5×11=55元，第二天少得利润 60-5=55元，所以，一件商品的进价为55元。
（27）一农民死前立遗嘱：要把17头牛分给三个儿子，大儿子得1/2，二儿子得1/3，三儿子得1/9，（不得杀或卖）三个儿子不会分，你应如何分巧解：17不是2 、3 、9的倍数，不能安分率分配，应把三个分率
看成分牛时每人得的份数。1/2:1/3:1/9=9:6:2，所以：
17÷（9+6+2）=1头，三个儿子分别应分：9头，6头，2头。
另一巧解方法是：三个分率的分母最小公倍数是18，可以18头牛为单位“1”，进行分配。18×1/2=9,18×1/3=6,18× 1/9=2
(28)学校买进一批白色、彩色粉笔，白色是彩色的3倍，开学后平均每周用36盒白色的、8盒彩色的。几周后，白色的用完，彩色的还剩 36盒，原来购进白、彩粉笔各多少盒
巧解：因为白是彩的3倍，若每周按比例白36盒，彩12盒使用，則同时用完，现在每周少用彩笔12-8=4盒，可见用了36÷4=9周，所以白色粉笔为：36×9=324盒，彩色粉笔为：8×9+36=108盒。
（29）前六（2），若甲、乙速度不变，狗速变为15千米/小时，甲乙两人相遇时，狗跑了多少千米
巧解：因为狗与两人运动时间相同，所以，路程和时间成正比.
x/100=15/10, x=150千米。
（30）某蓄水池长、宽、深分别为10米、8米、3米。一进水管以小时使水深达米的速度往池内放水，多少时间可放满水池
巧解：思路：水深达到3米，就满池了。因为放水速度不变，所以水
深与时间成正比， 3/=x/ x=6小时。或3÷（÷）=6小时。
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文中不妥之处，诚请指正。谢谢。加法类似）：交换律，a*b=b*a, 结合律，（a*b）*c=a*(b*c),
分配率，（a+b）xc=ac+bc, (a-b)×c=ac-bc.
(4) 除法运算性质：（与减法类似），a÷(b×c)=a÷b÷c, a÷（b÷c)=a÷bxc, a÷b÷c=a÷c÷b,
(a+b)÷c=a÷c+b÷c, (a-b)÷c=a÷c-b÷c.前边的运算定律、性质公式很多是由于去掉或加上括号而发生变化的。其规律是同级运算中，加号或乘号后面加上或去掉括号，。后面数值的运算
符号不变。
例1:283+52+117+148=（283+117）+（52+48）=400+200=600。（运用加法交换律和结合律）。减号或除号后面加上或去掉括号，后面数值的运算符号要改变。
例2： 657-263-257=657-257-263=400-263=147.（运用减法性质，相当加法交
换律。）
例3： 195-（95+24）=195-95-24=100-24=76 （运用减法性质）
例4; 150-(100-42)=150-100+42=50+42=92. (同上)
例5：（+125）×8=×8+125×8=6+1000=1006. (运用乘法分配律))
例6：（）×8=125××8=1000-2=998. (同上)
例7：（）÷=÷。（运用除法性质）
例8: (450+81)÷9=450÷9+81÷9=50+9=59. (同上，相当乘法分配律)
例9： 375÷（125÷）=375÷125*=3*=. (运用除法性质)
例10：÷（0。6×）=÷÷=7÷=20. (同上)
例11： 12×125××8=(125×8)×(12×=1000×3=3000. (运用乘法交换律和结合律)
例12: (175+45+55+27)-75=175-75+(45+55)+27=100+100+27=227. (运用加法性质和结合律）
例13：（48×25×3）÷8=48÷8×25×3=6×25×3=450. (运用除法性质, 相当加法性质)
（5）和、差、积、商不变的规律。
1：和不变：如果a+b=c,那么，（a+d）+(b-d)=c,
2: 差不变：如果 a-b=c, 那么，（a+d）-(b+d)=c, (a-d)-(b-d)=c
3: 积不变：如果a*b=c, 那么,(a*d)*(b÷d)=c,
4: 商不变：如果 a÷b=c, 那么，（a*d）÷(b*d)=c, (a÷d)÷(b÷d)=c.
例14： +=（）+（+）=+1=,。（和不变）
例15： 3576-2997=（3576+3）-（2997+3）=3579-3000=579。（差不变）
例16：×+×36=×64+×36=×(64+36)=×100=746.(积不变和分配律）
例17: ÷ =*4)÷*4)=49÷1=49. (商不变)。
二：拆数法：
（1）凑整法，19999+1999+198+6=（19999+1）
+(1999+1)+(198+2)+2 =22202
(2)利用规律，×+×
×
=×+×+×
2. 1992×-2005×=1992×2005×(10000+1)-2005×1992×(10000+1)=0
三：利用基准数：2072+2052+2062+2042+2083=（2062x5）+10-10-20+21=10311 四：改变顺序，重新组
合。
（1）：（215+357+429+581）-（205+347+419+571）=215+357+429+58-571
=（215-205）+（429-419）+（357-347）+（581-571）=40 （2）：（378×5×25）×(4×÷=378×5×25×4×÷=(378÷×(25×4)x(5×
=100x100x4=40000
，
五：1：求等差连续自然数的和。当加数个数为奇数时，有：和=中间数x 个数。当加数个数为偶数时，有：和=（首+尾）x个数的一半。
(1):3+6+9+12+15=9*5=45, (2):1+2+3+4+……+10=(1+10)*10÷2=55.
2:求分数串的和。因为1/n-1/n+1=1/n(n+1),
1/n+1/n+1=n+(n+1)/[n(n+1)].所以：
（1）：
1/42+1/56+1/72+1/90+1/110=1/6-1/7+1/7-1/8+1/8-1/9+1/9-1/10+1/10-1/11
=1/6-1/11=5/66
（2）：5/6-7/12+9/20-11/30+13/42-15/56+。。。。。。+41/400-43/460 =（1/2+1/3）-（1/3+1/4）+（1/4+1/5）-（1/5+1/6）+（1/6+1/7）-（1/7+1/8）
。。。。。。+（1/20+1/21）-（1/21+1/22）=1/2-1/22=5/11 3：变形约分法。求：（+++）÷（12+23+34+45）的值。因为分母各项是分
子各项的10倍。所以有：原式=
六：设数法：求（1++）*（++）-（1+++）*（+）
的值。设a=+ . b=++.原式=（1+a）*b-(1+b)*a
=b+ab-a-ab=b-a=++-+=. （二）：巧算的方法：除运用上面所说的简便方法外，最重要的是抓住题目（特
别是应用题）中的数量关系，充分利用逻辑推理，变解法不明为解法明确，把一
般问题转化为特殊问题，以小见大，以少见多，以简驭繁。从而达到巧算的目的。一：利用数的整除特征和某些特殊规
律。
特殊问题来求解。重在一个“巧”。
（1）：一个三位数连续写两次得到的六位数一定能被7、11、13整除。为什麽？
解;六位数abcabc=abc×1000+abc=abc×1001. 1001=7×13×11.
六位数abcabc必能被7、11、13整除。
（2）：六位数865abc能被3、4、5整除，当这个数最小时，a,b,c各是数
字几？
解：因为该数能被4,5整除,b,c必都是零，要使该数能被3整除，它各位数字和应能
被3整除，a只能是2。所以a,b,c分别是2 ,0 ,0。
（3）：化简：（1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1）÷（888888×888888）
=8×8÷(888888×888888)=1÷（111111×111111）=1/.
(因为：
11*11=121,111*111=12321,1111*1111=1234321,所以。。。。。。 )
二：估算法：求：a=1÷(1/1992+1/1993+1/1994+……+1/2003)的整数部分。
解：用一般通分求他得值太繁琐，可巧用“放缩法”估算。
假定除数部分各加数都是1/1992，则a=1÷(12/1992)=166。
若除数部分各加数都是1/2003，则a=1÷
(12/2003)=166+11/12
所以它的整数部分是166。
三：正难则反法。直接求解困难时，换个角度从反面求解。
（1）：除了本身，合数7854321的最大因数是多少一般想法是将其分解
质因数求之，但
这个数很大，做起来很繁琐。
巧解：先求它的最小因数，再通过“除”求它的最大因数。因为该数各位数字和能被 3
整除，所以这个数的最小因数是3，最大因数是：7854321÷
3=261807。
（2）：某厂人数在90----110之间，做工间操排队时，站3列正好；站5列少2人；站
7列少4人，这厂有多少人？
解：按所给数值正面求解很难，若换个角度从反面做，把它转化为：该厂工人站
3列多3人；站5列多3人；站7列多3人求这厂人数的问题。即求
比3，5,7的
最小公倍数多3的数是多少。【3,5,7】=105， 105+3=108人。这厂有108人。
四：慎密的逻辑推理：
（1）：幼儿园的小朋友分饼干，每人分5块，则差27块。每人分4块，正好分完。这个
幼儿园有多少小朋友分了多少饼干？
解：一般用方程法：设有x个小朋友。5x-4x=27, x=27. 饼干为：27×4=108块。
巧解：每人分4块，正好分完，每人多分一块（5块）差27块，说明小朋友
为：27÷1=27个，饼干为：27×4=108块
(2):某商店有两个柜台，甲台比乙台的磁带少120盒，各卖出164盒后，乙剩下的是甲
剩下的3倍，求原来两台各有多少盒磁带？
一般用方程法：设甲剩x台，乙剩3x台.
(3x+164)-(x+164)=120, x=60,3x=180.
甲原有：60+164=224盒，乙原有180+164=344盒。
推理巧解：因为卖出的数量相等，所以卖出后甲仍比乙少
120盒，乙是甲的3倍，
这就转化为差倍问题了。120÷（3-1）=60。60×3=180.
甲原有：60+164=224盒，乙原有：180+164=344盒
(3):甲乙两人进行骑车比赛，当甲骑到全程的7/8时，乙骑到全案程6/7，这时两人相
距140米。如果两人的速度不变，当甲骑到终点时，两人相距多少？
解：一般方法：7/8:6/7=49:÷（7/8-6/7）=7840 ，7840:x=49:48, x=7680
7840-7680=160米
推理巧解思路：直接求甲到终点时比乙多走多少米。甲走7/8时比乙多走140米
甲走1/8时比乙多走140/7=20米。所以甲走8/8（全程）时，
比乙多走140+20=160米
（4）：求分母为40以内所有自然数的真分数的和。1/2+（1/3+2/3）+（1/4+2/4+3/4）
+（1/5+2/5+3/5+4/5）+。。。。。。+39/40
解：用通分法求和很繁琐。通过分析数量关系可知，每个加数乘以2，可顺次得到1、2
、3、4/。。。。。。39。所以，(20×39)÷2=390 即为所求。
（5）：一正方形，当竖边减少20%，横边增加2米时，得到的长方形面积与
原正方形面积相等，求原正方形面积。
解：一般思路：因为正方形面积=边长×边长。所以应先求边长。
. 用方程解：设正方形边长为一个单位长度，则面积为一个
单位面积。长方形的
宽为：1×(1-20%)=80%个单位长度，长为：一个单位面积÷80%个单位长度=
个单位长度，与2米对应的单位长度为：=个单位长度。所以正方
形边长（一个单位长度）=2÷=8米，正方形面积=8x8=64平方米。很繁琐。
巧解思路：因竖边减少20%，在原图形上减少的面积与后来因横边增加2米，增
加的面积相等。所以设原正方形边长为x米，则：
20%x × x=80%x ×2 x=8米。正方形面积=8×8=64平方米.
（6）：某班有40名学生，考数学时有2人缺考，这38人平均分数是89，这2名学生
补考后，两人的平均成绩比全班40人的平均成绩多分，这两人的平均成绩
是多少？
解：一般从求平均数的共识考虑，用方程解：设这两人的平均成绩为x,则：
x-(89*38+2x)÷40=, x=99.
推理巧解（抓住平均就是移多补少的实质）。这两人的平均分数比全班平均分
数多分，把×2=19补给38名学生，每人增加分，所以这两人平均
分数为：89++=99。
五：注意一般解法的特殊形式：
（1）：求平均数的一般方法:公式法，平均数=总数量÷总份数。但当份数
相等时，
巧解法：平均数=（第一份数量+第二份数量+。。。。。。+第n份数量）
÷份数。
如：某人晨练，第一个5分钟的速度是100米/分，第二个5分钟的速度是110米/分，
求他这10分钟内的平均速度
一般解法：平均数=（100×5+110×5）÷(5+5)=105米/分
因为“份数”相同，可巧解：平均数=（100+110）÷2=105米/分。
（2）：甲（带着一条狗）乙两人同时从相距100千米的两地出发相向而行，
甲速度为6千米/小时，乙速为4千米/小时，狗速为10千米/小时，狗碰到乙时就掉头朝甲走来，碰到甲时又朝乙跑去。。。。。。直到甲乙两人相遇。这
狗走了多少米？
解：若分段求出狗与甲、与乙、与甲、与乙。。。。。。相遇时走
的路程，再加起来是很困难的。
一般巧解方法是：从整体考虑，狗走的时间就是甲乙相遇用的时间，所以狗走的时间
=100÷（4+6）=10小时，狗走的路程=10×10=100千米.