最新高一数学《平面向量》期末练习题及答案
平面向量练习题及答案
平面向量练习题及答案一、选择题1. 设向量a和向量b是两个不共线的向量，若向量c=2向量a-3向量b，向量d=向量a+4向量b，那么向量c和向量d的夹角的余弦值是（）A. 1/2B. -1/2C. 0D. 12. 若向量a和向量b的模长分别为3和4，且它们的夹角为60°，则向量a和向量b的点积是（）A. 6B. 12C. 15D. 183. 已知向量a=（1，2），向量b=（3，4），则向量a和向量b的向量积的大小是（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题4. 若向量a=（x，y），向量b=（2，-1），且向量a与向量b共线，则x=______，y=______。
5. 向量a=（3，4），向量b=（-1，2），则向量a和向量b的夹角的正弦值是______。
三、计算题6. 已知向量a=（2，3），向量b=（4，-1），求向量a和向量b的点积。
7. 已知向量a=（-1，3），向量b=（2，-4），求向量a和向量b的向量积。
8. 已知向量a=（1，0），向量b=（2，3），求向量a在向量b上的投影。
四、解答题9. 设向量a=（1，-1），向量b=（2，3），求证向量a和向量b不共线。
10. 已知向量a=（x，y），向量b=（1，1），若向量a和向量b的点积为6，求x和y的值。
答案：1. B2. C3. B4. 2，-15. 根号下（（3+4）的平方-（3*(-1)+4*2）的平方）除以（5*根号下2）6. 向量a和向量b的点积为：2*4+3*(-1)=57. 向量a和向量b的向量积为：(3*(-4)-4*2)i-(2*3-1*4)j=-20i+2j8. 向量a在向量b上的投影为：(向量a·向量b)/向量b的模长^2 * 向量b = (1*2+0*3)/(2^2+3^2) * 向量b = (2/13) * (2，3)9. 证：假设向量a和向量b共线，则存在实数k使得向量a=k向量b。
平面向量专题练习(带答案详解)
平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。
3 B。
2 C。
1 D。
02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。
-4 B。
-1 C。
1 D。
43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。
1 B。
5/3 C。
3/5 D。
7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。
-4 B。
-2 C。
2 D。
45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。
充分必要条件 B。
必要不充分条件 C。
充分不必要条件 D。
既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。
$\frac{8}{3}$ B。
$\frac{26}{9}$ C。
$\frac{2}{3}$ D。
$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{6}$ B。
$\frac{\pi}{4}$ C。
$\frac{\pi}{3}$ D。
$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。
18 B。
高一数学平面向量专项练习题
高一数学平面向量专项练习题1．已知平面向量a ，b 的夹角为23π，2a =，1b =，则a b ⋅=（ ）A ．1B ．1-CD ．2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB AC ⋅uu u r uu u r等于( )A ．－16B ．－8C ．8D ．16 3．已知,a b 是不共线的向量，且5,28,3()AB a b BC a b CD a b =+=-+=-，则（ ）. A ．A ，B ，D 三点共线B ．A ，B ，C 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线 D ．A ，C ，D 三点共线4．已知圆心为O ，半径为1的圆上有不同的三个点,,A B C ，其中0OA OB ⋅=，存在实数,λμ满足0OC OA uOB λ++=，则实数,λμ的关系为A ．221λμ+=B ．111λμ+= C ．1λμ= D ．1λμ+=5．已知向量(1,2),(1,3)a b =-=，则||a b -=（ ）A B ．2 C D 6．若1a b ==r r ，(2)a b a +⊥，则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．30B ．60C ．120D ．1507．在△ABC 中，若AB 2BC -2=AB AC ⋅，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形8．在ABC ∆中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM AB AC λμ=+，则λμ+等于（ ）A ．12B ．23C ．16D ．139．若()2,4,a b a b a ==+⊥,则a 与b 的夹角为( )A ．23πB ．3πC ．43πD ．π10．已知非零向量a ，b 的夹角是60°，a b =，a ⊥(λa -b )，则λ=A ．12B ．1C ．32D ．211．如图，在ABC 中，AD AB ⊥，3BC BD =，||1AD =，则AC AD ⋅=（ ）A ．B ．2C ．3D 12．已知12,e e 是两个单位向量，且夹角为3π，则12e te +与12te e +数量积的最小值为（ ）A ．32-B ．6-C ．12D ．313．已知向量a,b r r 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．014．在ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+uuu r uu u r uuu r ，则λμ+=A ．2B ．2-C ．12D ．12- 15．在边长为2的正ABC ∆中，设2BC BD =，3CA CE =，则AD BE ⋅=（ ） A ．-2 B ．-1 C ．23- D ．83- 16．已知20a b =≠，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦17．两个非零向量,a b 满足||||2||a b a b a +=-=，则向量b 与a b -夹角为（ ） A ．56π B ．6π C ．23π D ．3π 18．AB 是半径为1的圆O 的直径，P 是圆O 上一点，Q 为平面内一点，且1233BQ BP AB =-，1AQ AB ⋅=，则BQ BP ⋅的值为（ ） A ．12 B ．1 CD ．5219．已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且•••PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的( )（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）A ．重心外心垂心B ．重心外心内心C ．外心重心垂心D ．外心重心内心20．已知1e ，2e 是不平行的向量，设12a e ke =+，12b ke e =+，则a 与b 共线的充要条件是实数k 等于________．21．已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且1a =，12b ⎛= ⎝⎭r ，则(2)a b b +⋅=________． 22．已知正方形ABCD 的边长为4，2AE AB =，则AC DE ⋅=__________． 23．已知平面向量,a b 满足3a =，2b =，3a b ⋅=-，则2a b += . 24．已知||1a =，()a b a +⊥，则⋅=a b _________.25．在等腰梯形ABCD 中，2DC AB =，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，记DA a =，DC b =，若用,a b 表示DF ，则DF =________.26．在ABC ∆中，4AC =，3BC =，30ACB ∠=︒，点E 为边AC 的中点，2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则CA CB ⋅=______；CD BE ⋅=______.27．在ABC ∆中，D 为AB 的中点，点O 满足2CO OD =，OA OB ⊥，若10AB =，则AC BC ⋅=___________。
(word版)高一数学平面向量练习题(含答案)
平面向量练习题一、单选题（本大题共7小题，共35.0分） 1. 已知向量a ⃗ =(m,1)，b ⃗ =(−1,2)，若，则a ⃗ 与b ⃗ 夹角的余弦值为( )A. −2√1313B. 2√1313C. −6√1365D. 6√13652. 已知向量a ⃗ =(x 2,x +2),b ⃗ =(−√3,−1),c ⃗ =(1,√3)，若a ⃗ //b ⃗ ，则a⃗ 与c ⃗ 夹角为( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π63. 下列命题中正确的是( )A. 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线向量，则A,B,C,D 四点共线；B. 若a ⃗ //b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ ，则a⃗ //c ⃗ ； C. 不相等的两个向量一定不平行； D. 两个相等向量的模相等．4. 已知|b ⃗ |=3，a ⃗ 在b ⃗ 上的投影向量为12b ⃗ ，则a ⃗ ·b ⃗ 的值为( )A. 3B. 92C. 2D. 125. 在等腰三角形ABC 中，AB =AC =√5，BC =2，若P 为边BC 上的动点，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=( ) A. 2 B. 4 C. 8D. 06. 非零向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12，则ΔABC 为( ) A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形D. 等边三角形7. 如图所示，在ΔABC 中，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点P 是BN 上一点，若m AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数m 的值为( ) A. 13 B. 19 C. 1 D. 2二、多选题（本大题共6小题，共30.0分）8. 下列命题中，正确的是( )A. 对于任意向量a ⃗ ，b ⃗ 有||a ⃗ +b ⃗ |≤|a ⃗ |+|b ⃗ |B. 若a ⃗ ·b ⃗ =0，则a ⃗ =0或b ⃗ =0C. 对于任意向量a ⃗ ，b ⃗ 有|a ⃗ ·b ⃗ |≤|a ⃗ ||b ⃗ |D. 若a ⃗ ，b ⃗ 共线，则a⃗ ⋅b ⃗ =±|a ⃗ ||b ⃗ | 9. 设向量a ⃗ =(k,2),b⃗ =(1,−1)，则下列叙述错误的是( ) A. 若k <−2，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为钝角 B. |a⃗ |的最小值为2 C. 与b ⃗ 垂直的单位向量为(√22,√22)D. 若|a ⃗ |=2|b ⃗ |，则k =2√2或−2√210. 设向量a ⃗ =(2,0),b ⃗ =(1,1)，则( )A. |a ⃗ |=|b⃗ | B. 与b ⃗ 同向的单位向量是(12,12) C. (a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗D. a ⃗ 与b ⃗ 的夹角是π4．11. 已知向量m⃗⃗⃗ =(1,0)，n ⃗ =(12,12)，则( ) A. |m ⃗⃗⃗ |=√2|n ⃗ | B. (m⃗⃗⃗ −n ⃗ )// n ⃗ C.D. m⃗⃗⃗ 与n ⃗ 的夹角为π4 12. 下列说法错误的是( )A. 若a ⃗ //b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ ，则a⃗ //c ⃗ B. 若a ⃗ //b ⃗ ，则存在唯一实数λ使得a ⃗ =λb ⃗C. 两个非零向量a ⃗ ，b ⃗ ，若|a ⃗ −b ⃗ |=|a ⃗ |+|b ⃗ |，则a ⃗ 与b ⃗ 共线且反向D. 已知a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(1,1)，且a ⃗ 与a ⃗ +λb ⃗ 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−53,+∞)13. 已知点O 为△ABC 所在平面内一点，且AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则下列选项正确的是A. AO ⃗⃗⃗⃗⃗=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 直线AO 必过BC 边的中点 C. S △AOB ︰S △AOC =3︰2D. |OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，且OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√13第II 卷（非选择题）三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）14. 在四边形ABCD 中，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,4)，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,6)，则四边形ABCD 的面积是________．15. 已知a ⃗ ，b ⃗ 是两个不共线的向量，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +k b ⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +3b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ −b ⃗ ，若A ，B ，D 三点共线，则实数k = .16. 已知非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，则|a ⃗ +b ⃗||a ⃗ −b ⃗ |= ．17. 设向量m ⃗⃗⃗ =2a ⃗ −3b ⃗ ，n ⃗ =4a ⃗ −2b ⃗ ，p ⃗ =3a ⃗ +2b⃗ ，试用m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 表示p ⃗ ，p⃗ = ． 四、解答题（本大题共9小题，共108.0分）18. 已知向量a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ 是同一平面内的三个向量，其中a⃗ =(1,−1) (Ⅰ)若|c ⃗ |=3√2，且c ⃗ //a ⃗ ，求向量c ⃗ 的坐标； (Ⅱ)若b ⃗ 是单位向量，且，求a ⃗ 与b ⃗ 的夹角θ．19. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=1，(a ⃗ +b ⃗ )⋅(2a ⃗ −b ⃗ )=8．(1)求a ⃗ 与b ⃗ 的夹角θ; (2)求|a ⃗ +b ⃗ |.20. 在直角梯形ABCD 中，已知AB //CD ，∠DAB =90°，AB =6，AD =CD =3，对角线AC 交BD 于点O ，点M 在AB 上，且OM ⊥BD ．(1)求AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗ 的值； (2)若N 为线段AC 上任意一点，求AN ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．21. 已知a ，b ，c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且△ABC 的面积S =14c 2．(Ⅰ)记m ⃗⃗⃗ =(2c,1)，n ⃗ =(2a −√2b,cosB)，若m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ． (i)求角C ，(ii)求ab 的值；(Ⅱ)求ab 的取值范围．22. 已知a ⃗ =(1,0)，b ⃗ =(2,1)．(1)当k 为何值时，k a ⃗ −b ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 共线⋅ (2)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +3b ⃗ ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．23. 已知向量a ⃗ =(−3,2)，b ⃗ =(2,1)，c⃗ =(3,−1)，t ∈R ． (1)求|a ⃗ +t b ⃗ |的最小值； (2)若a ⃗ −t b ⃗ 与c⃗ 共线，求t 的值．24. 设e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 是不共线的非零向量，且，b ⃗ =e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗(1)若，求λ,μ的值；(2)若e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 是互相垂直的单位向量，求a⃗ 与b ⃗ 的夹角θ．25. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，BM =23BC ，AN =14AB ．(1)试用向量a ⃗ ，b ⃗ 来表示DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)AM 交DN 于O 点，求AO ∶OM 的值．26. 已知O 为直线AB 外一点，(1)若OC ⃗⃗⃗⃗⃗=34OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：A 、B 、C 三点共线；(2)若O 为坐标原点，A(2,−3)，B(8,1)，判断△OAB 的形状，并给予证明．答案和解析1.【答案】B【解答】解：设a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ 依题意，a ⃗ −2b ⃗ =(m +2,−3)， 由，则(a ⃗ −2b ⃗ )·b ⃗ =0，即−m −2−6=0，解得m =−8，则a ⃗ =(−8,1)，a ⃗ ·b ⃗ =−8×(−1)+1×2=10， |a ⃗ |=√(−8)2+12=√65，|b ⃗ |=√(−1)2+22=√5． 所以cosθ=a ⃗ ·b ⃗ |a ⃗ |·|b⃗ |=10√65×√5=2√1313， 故选B ．2.【答案】A本题主要考查用数量积表示两个向量的夹角，两个向量的夹角公式，属于基础题． 由题意可得a →与 b →反向，故a →与c →的夹角即为−b →与c →的夹角，利用两个向量的夹角公式求解即可． 【解答】解：∵向量a →=(x 2,x +2)，b →=(−√3,−1)，c →=(1,√3)，若a →//b →，则a →与b →反向， ∴a →与c →的夹角即为−b →与c →的夹角，设为θ， ∴cosθ=−b ⃗ ·c ⃗|b ⃗ |·|c ⃗ |=−−√3−√32×2=√32， ，∴θ=π6，即a →与c →的夹角为π6．故选A ．3.【答案】D【解答】A 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线时，A ，B ，C ，D 四点不一定共线，判定A 错误， B 中，a ⃗ //b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ 中，若b ⃗ =0⃗ ，则不成立，B 错误， C 中，零向量的方向不确定，因此人们规定它可以与任何向量平行，则C 错误， D 中，两个相等向量的模是一定相等的，D 正确．4.【答案】B本题主要考查向量的数量积，投影向量，向量的模，属于基础题．根据题意得到|a ⃗ |cos⟨a ⃗⃗⃗ ,b ⃗ ⟩=12|b ⃗ |即可． 【解答】解：因为a ⃗ 在b ⃗ 上的投影向量为12b ⃗ ， 所以|a⃗ |cos⟨a ⃗⃗⃗ ,b ⃗ ⟩=12|b ⃗ |， 又因为|b ⃗ |=3所以a ⃗ ·b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos⟨a ⃗ ,b ⃗ ⟩=12|b⃗ |2=12×32=92， 故选B ．5.【答案】C解题的关键设AD 是等腰三角形ABC 的高，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，利用勾股定理求出AD 的长即可． 【解答】解：设AD 是等腰三角形ABC 的高，则AD =√5−1=2， 故AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=8， 故选C ．6.【答案】D本题考查向量的数量积的应用，考查三角形的判断，属于基础题．利用向量的数量积为0可得到等腰三角形，利用向量的数量积求出∠BAC =60°，得到等边三角形． 【解答】解：∵非零向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0， ∴|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，三角形是等腰三角形． 又因为cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12，且0°⩽<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >⩽180°， 所以∠BAC =60°， 所以三角形是等边三角形． 故选D ．本题考查了平面向量基本定理，属于基础题．根据向量的加法以及三点共线的向量表示列式即可解答． 【解答】解：因为AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以3m AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3m AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为B ，P ，N 三点共线，所以3m +23=1，解得m =19． 故选B ．8.【答案】ACD本题主要考查向量的三角不等式，向量的数量积概念及运算，属于基础题． 根据向量的三角不等式，向量的数量积概念及运算，结合选项依次分析判断即可． 【解答】解：对于A ，对任意向量a ⃗ ，b ⃗ ，有|a ⃗ +b ⃗ |≤|a ⃗ |+|b ⃗ |， 当且仅当a⃗ 与b ⃗ 共线时取等号，故A 正确； 对于B ，若a ⃗ ·b ⃗ =0，则a ⃗ =0⃗ 或b ⃗ =0⃗ 或a ⃗ ⊥b ⃗ ，故B 错误； 对于C ，对任意向量a ⃗ ，b ⃗ ，因为a ⃗ ·b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >≤|a ⃗ ||b ⃗ |， 当且仅当a ⃗ 、b ⃗ 同向共线时取等号，故C 正确； 对于D ，若向量a ⃗ ，b ⃗ 共线，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为0°或180°， 有a ⃗ ·b ⃗ =±|a ⃗ |·|b ⃗ |，故D 正确． 故选ACD ．9.【答案】CD本题考查了单位、零、共线、相反、相等向量的概念，向量的模，向量的夹角，平面向量共线的充要条件，向量的数量积和平面向量的坐标运算，属于中档题．利用向量的夹角，结合向量数量积的坐标运算和平面向量共线的充要条件，对A 进行判断，利用向量模的坐标运算，对B 与D 进行判断，利用共线、单位向量和向量模的坐标运算对C 进行判断，从而得结论． 【解答】解：对于A 、因为向量a ⃗ =(k,2),b ⃗ =(1,−1)， 所以当k <−2时，a ⃗ ·b ⃗ =k −2<0且−k −2≠0， 即a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为钝角 ，因此A 正确；对于B 、因为|a ⃗ |=2+4≥2，所以|a ⃗ |的的最小值为2，因此B 正确； 对于C 、设与b ⃗ 垂直的单位向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y )且|m ⃗⃗⃗ |=1， 所以x −y =0且√x 2+y 2=1，解得{x =√22y =√22或{x =−√22y =−√22, 因此与b ⃗ 垂直的单位向量为(√22,√22)或(−√22,−√22)，所以C 不正确；对于D 、因为|a ⃗ |=2|b ⃗ |，所以√k 2+4=2√2，解得k =2或−2，所以D 不正确； 故选CD ．10.【答案】CD本题考查向量的坐标计算，关键是掌握向量模长公式，夹角公式，垂直的判定方法以及单位向量的概念，属于基础题．根据题意由向量的坐标计算公式依次分析选项，验证选项中结论是否成立，即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，∵a ⃗ =(2,0)，b ⃗ =(1,1)，∴|a ⃗ |=√22+02=2，|b ⃗ |=√12+12=√2． |a ⃗ |≠|b ⃗ |． 故选项A 错误;对于B ，令c ⃗ =(12,12)，则|c ⃗ |=√(12)2+(12)2=√22， 由单位向量的定义知与b ⃗ 同向的单位向量不可能是(12,12)．故选项B 错误;对于C ，∵a ⃗ =(2,0)，b ⃗ =(1,1)， ∴a ⃗ −b ⃗ =(1,−1)，故(a ⃗ −b⃗ )·b ⃗ =1×1+(−1)×1=0，．故选项C 正确;对于D ，∵a ⃗ =(2,0)，b ⃗ =(1,1)， ∴cos <a ⃗ ，b ⃗ >=√22+0√12+12=√22， 又∵<a ⃗ ，，∴a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为．故选项D 正确． 所以选CD ．11.【答案】ACD本题主要考查向量的模、向量的坐标运算、向量的夹角、向量平行的判断及向量垂直的判断，根据题意逐项进行判断即可得到结果． 【解答】解：A ．|m ⃗⃗⃗ |=√12+02=1,|n ⃗ |=√(12)2+(12)2=√22，因此|m ⃗⃗⃗ |=√2|n ⃗ |，所以A 正确；B .m ⃗⃗⃗ −n ⃗ =(12,−12)，因此12×12−(−12)×12=1≠0，所以m ⃗⃗⃗ −n ⃗ 与n ⃗ 不平行，所以B 错误；C .(m ⃗⃗⃗ −n ⃗ )·n ⃗ =12×12+(−12)×12=0，所以(m ⃗⃗⃗ −n ⃗ )⊥n ⃗ ，所以C 正确； D .m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ =1×12+0×12=12，则cos <m⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ·n⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=121×√22=√22， 因此，所以D 正确．故选ACD ．12.【答案】ABD本题考查了共线向量及零向量，考查向量的坐标运算，属于基础题． 对各选项逐一判定正误，即可得到答案． 【解答】解：对于A ：两个向量a ⃗ ，b ⃗ ，如果b ⃗ =0⃗ ，则a ⃗ //b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ ， 则a⃗ ，c ⃗ 不一定为共线向量，故错误； 对于B ：若a ⃗ //b ⃗ ，则a ⃗ =λb ⃗ ，如果a ⃗ =b ⃗ =0⃗ ，则实数λ不唯一，故错误； 对于C ：两个非零向量a ⃗ ，b ⃗ ，若|a ⃗ −b ⃗ |=|a ⃗ |+|b ⃗ |，可得(a ⃗ −b ⃗ )2=(|a ⃗ |+|b ⃗ |)2，即−2a ⃗ ·b ⃗ =2|a ⃗ ||b ⃗ |，cosθ=−1，则两个向量的夹角为π，则a ⃗ 与b ⃗ 共线且反向，故正确；对于D ：已知a⃗ =(1,2)，b ⃗ =(1,1)， 所以a ⃗ +λb ⃗ =(1+λ,2+λ)， 因为a ⃗ 与a ⃗ +λb ⃗ 的夹角为锐角，可得且a ⃗ 与a ⃗ +λb⃗ 不同向， 即{1+λ+2(2+λ)>0,2(1+λ)≠2+λ，解得且λ≠0，故错误，故说法错误的是ABD ． 故选ABD ．13.【答案】ACD本题考查平面向量的线性运算及相关知识，属于难题．A 项直接由平面向量的线性运算即可，其余选项由AO⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，取BC 的中点为M ，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，再取AB 的中点N ，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则2NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +4OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，即NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则N ，M ，O 三点共线，连接AO ，交BC 于点Q ，结合图像依次判断即可． 【解答】解：对于A 项，由AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 得， AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +2(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AO ⃗⃗⃗⃗⃗ )+3(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AO ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0⃗ ， 得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故A 项正确; 再由AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 得 AO⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 取BC 的中点为M ， 则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 再取AB 的中点N ，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则2NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +4OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，即NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则N ，M ，O 三点共线，连接AO ，交BC 于点Q ，如图所示：则直线AO 必过BC 边的中点，是错误，故B 项错误;对于C 项，因为△OMQ ∽△ACQ ， 得MQCQ =OM AC =14，又因为BM =CM ， 则BQ CQ =64=32， 则S △AOBS△AOC=12AO×ℎ112AO×ℎ2=ℎ1ℎ2=BQ CQ=32.故C 项正确;对于D 项，若|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，且，则OM ⊥BC ，即AC ⊥BC ，如图所示：则OM =√22，得AC =4OM =2√2， 在中，QC =45MC =2√25，得AQ =√AC 2+QC 2=√8+825=4√135， 在中，MQ =15MC =√210，得OQ =√OM 2+MQ 2=√12+2100=√135， 则AO =AQ +OQ =4√135+√135=√13，即|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√13.故D 项正确．故答案为ACD ．14.【答案】30本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积以及向量的模，属于基础题．根据向量的加减运算和向量的数量积的运算，得到四边形ABCD 为矩形，再根据向量的模的计算得到，矩形的长和宽，即可求出面积． 【解答】解：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,4)，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,6)， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4×3−2×6=0，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,6)=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−2)=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ //AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴四边形ABCD 为矩形，∵|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√42+(−2)2=√20，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32+62=√45， ∴四边形ABCD 的面积为√20×√45=30， 故答案为：30．15.【答案】−8本题考查向量共线、平面向量的基本定理以及向量的加减运算，A ，B ，D 三点共线，可得存在实数λ，使得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用平面向量的基本定理即可得出． 【解答】解：∵CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +3b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ −b ⃗ ，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a ⃗ −3b ⃗ +2a ⃗ −b ⃗ =a ⃗ −4b ⃗ ． 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +k b ⃗ ，且A ，B ，D 三点共线， ∴一定存在实数λ，使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴2a ⃗ +k b ⃗ =λ(a ⃗ −4b ⃗ )，∴{λ=2,k =−4λ,∴k =−8． 故答案为−8．16.【答案】√3本题考查向量的概念及几何表示，向量的模，向量的线性运算，属于中档题． 设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗ ，由|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，得△OAB 为正三角形，设其边长为1，计算可得． 【解答】解：如图，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗ ． ∵|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |， ∴BA =OA =OB ．∴△OAB 为正三角形，设其边长为1，则|a ⃗ −b ⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，|a ⃗ +b ⃗ |=2×√32=√3． ∴|a ⃗ +b⃗ ||a ⃗ −b⃗ |=√31=√3．故答案为√3．17.【答案】−74m⃗⃗⃗ +138n⃗ 设p ⃗ =x m ⃗⃗⃗ +y n ⃗ ，则3a ⃗ +2b ⃗ =x(2a ⃗ −3b ⃗ )+y(4a ⃗ −2b ⃗ )=(2x +4y)a ⃗ +(−3x −2y)b ⃗根据向量相等求出x ，y ，这样可以求出p ⃗ ． 【解答】解：设p⃗ =x m ⃗⃗⃗ +y n ⃗ ， 则3a ⃗ +2b ⃗ =x(2a ⃗ −3b ⃗ )+y(4a ⃗ −2b ⃗ )=(2x +4y)a ⃗ +(−3x −2y)b ⃗ ， 得{2x +4y =3,−3x −2y =2,解得{x =−74,y =138.所以p⃗ =−74m ⃗⃗⃗ +138n⃗ ． 18.【答案】解：(1)设c ⃗ =(x,y)，由|c ⃗ |=3√2，且c ⃗ //a ⃗ ， 得{y +x =0x 2+y 2=18, 所以{x =−3y =3或{x =3y =−3, 故c⃗ =(−3,3)，或c ⃗ =(3,−3)． (2)因为|b ⃗ |=1，且a ⃗ ⊥(a ⃗ −2b ⃗ )，所以a ⃗ ⋅(a ⃗ −2b ⃗ )=0，即a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ =0，所以2−2a ⃗ ⋅b ⃗ =0，a ⃗ ⋅b ⃗ =1， cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=√22， 因为夹角所以a ⃗ 与b ⃗ 的夹角θ=π4．【解析】本题考查向量的坐标的求法，考查向量的夹角的求法，考查向量平行、向量垂直、向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．(1)设c ⃗ =(x,y)，由|c ⃗ |=3√2，且c ⃗ //a ⃗ ，列出方程组，能求出向量c ⃗ 的坐标； (2)由|b ⃗ |=1，且a ⃗ ⊥(a ⃗ −2b ⃗ )，得2−2a ⃗ ⋅b ⃗ =0，a ⃗ ⋅b ⃗ =1，由此能求出a ⃗ 与b ⃗ 的夹角．19.【答案】解：(1)因为(a ⃗ +b ⃗ )⋅(2a ⃗ −b ⃗ )=8，所以7+2cosθ=8， 所以cosθ=12． 因为0∘≤θ≤180∘， 所以θ=60∘．(2)|a ⃗ +b ⃗ |2=(a ⃗ +b ⃗ )2=a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2，因为|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos60∘=2×1×12=1， 所以|a ⃗ +b ⃗ |2=4+2+1=7， 所以|a ⃗ +b ⃗ |=√7．20.【答案】解：(1)因为∠DAB =90°，所以以A 为坐标原点，AB 、AD 分别为x 、y 轴，建立平面直角坐标系如下图：因为AB //CD ，AB =6，AD =CD =3， 所以A (0,0)，B (6,0)，C (3,3)，D (0,3)． 又因为对角线AC 交BD 于点O ， 所以由AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3t,3t )，即O (3t,3t )，因此DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3t,3t −3)，DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,−3)， 而DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以−3×3t −6×(3t −3)=0，解得t =23， 因此O (2,2)．又因为点M 在AB 上，所以设M (m,0)， 因此OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −2,−2)，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,3)， 而OM ⊥BD ，所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−6(m −2)−6=0， 解得m =1，即M (1,0)，因此AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，而BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,3)， 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−6， 即AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为−6； (2)因为N 为线段AC 上任意一点，所以由(1)知：可设N (n,n )(0⩽n ⩽3)(包括端点)， 因此AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(n,n )，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(n −1,n )， 所以AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n (n −1)+n 2=2n 2−n ． 因为函数y =2n 2−n 的图象开口上，对称轴为n =14， 而0⩽n ⩽3，所以函数y =2n 2−n 的值域为[−18,15]，即AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[−18,15]．21.【答案】解：(Ⅰ)(i)由m⃗⃗⃗ //n ⃗ 得：，，，，∵B ∈(0,π)，所以sinB ≠0， 得：，∴C =π4; (ii)由S =14c 2，得：，∴√2ab =c 2，又由余弦定理得：a 2+b 2−√2ab =c 2，联立得：a 2+b 2−2√2ab =0， 得：a 2b2−2√2ab+1=0，∴ab =√2±1， 故：ab 的值为√2−1或√2+1； (Ⅱ)由a 2+b 2−2abcosC =c 2，；得：，当且仅当C =π4时取等；∴a 2+b 2−2√2ab ⩽0，∴a 2b2−2√2ab+1⩽0，得：√2−1⩽ab ⩽√2+1． 故：ab 的取值范围为[√2−1,√2+1]．22.【答案】解：(1)k a ⃗ −b ⃗ =k(1,0)−(2,1)=(k −2,−1)，a ⃗ +2b ⃗ =(1,0)+2(2,1)=(5,2)．因为k a ⃗ −b ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 共线， 所以2(k −2)−(−1)×5=0， 解得k =−12．(2)因为A ，B ，C 三点共线，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，即2a ⃗ +3b ⃗ =λ(a ⃗ +m b ⃗ )， 所以{2=λ,3=mλ, 解得m =32．23.【答案】解：(1)∵a ⃗ =(−3,2)，b ⃗ =(2,1)， ∴a ⃗ +t b⃗ =(2t −3,t +2)， ∴|a ⃗ +t b ⃗ |=√(2t −3)2+(t +2)2=√5t 2−8t +13(t ∈R)，∴当t =45时，|a ⃗ +t b ⃗ |的最小值为7√55，(2)∵a ⃗ −t b ⃗ =(−3−2t,2−t)，c ⃗ =(3,−1)，a ⃗ −t b ⃗ 与c ⃗ 共线， ∴(−3−2t)×(−1)=3(2−t)， ∴t =35．24.【答案】解：(1)λa ⃗ +μb ⃗ =λ(e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ )+μ(e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗ )=(λ+μ)e 1⃗⃗⃗ +(3μ−2λ)e 2⃗⃗⃗ ，∵4e 1⃗⃗⃗ −3e 2⃗⃗⃗ =λa⃗ +μb ⃗ ， ∴{λ+μ=4,3μ−2λ=−3,∴λ=3，μ=1．(2)a ⃗ ⋅b ⃗ =(e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ )⋅(e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗ )=e 1⃗⃗⃗ 2+e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ −6e 2⃗⃗⃗ 2=−5，l a ⃗ l =√(e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ )2=√e 1⃗⃗⃗ 2−4e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +4e 2⃗⃗⃗ 2=√5， |b ⃗ |=√(e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗ )2=√e 1⃗⃗⃗ 2+6e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +9e 2⃗⃗⃗ 2=√10， ∴cosθ=a ⃗ ⋅b⃗ |a|⃗⃗⃗⃗ |b ⃗ |=5×10=−√22， 又∵θ∈[0,π]， ∴θ=3π4．25.【答案】解：(1)∵AN =14AB ，∴AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =14a ⃗ ，∴DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14a ⃗ −b ⃗ ；∵BM =23BC ，∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23b ⃗ ，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +23b ⃗ ； (2)D ，O ，N 三点共线，则DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，存在实数λ，使DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14λa ⃗ −λb ⃗ ， ∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ +14λa ⃗ −λb ⃗=14λa ⃗ +(1−λ)b ⃗ ， 同理，A ，O ，M 三点共线，存在μ，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =μAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μa ⃗ +23μb ⃗ ， ∴{14λ=μ1−λ=23μ, 解得λ=67，μ=314，∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =314AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1114AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AO ：OM =3：11．26.【答案】(1)证明：∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴34OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −34OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −14OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +1BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗得：BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3AC⃗⃗⃗⃗⃗ ． 又BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点C ，所以A 、B 、C 三点共线． (2)解：△ABC 为直角三角形． 证明：∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−3)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,1)， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,1)−(2,−3)=(6,4)． ∴OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×6−3×4=0， 则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即△ABC 为直角三角形．。
(完整版)高中数学平面向量习题及答案
第二章 平面向量一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是( )． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝( )． A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1) B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22) C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝( )． A ．EF ＋EDB ．EF －DEC ．EF ＋ADD ．EF ＋AF7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )．(第1题)A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB ＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF(第10题)二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x ＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋m b)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O 是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c ＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．参考答案一、选择题 1．B解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y )，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，α OA ＝(3α，α)，β OB ＝(－β，3β)，又αOA ＋β OB ＝(3α－β，α＋3β)，∴ (x ，y )＝(3α－β，α＋3β)，∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x ，又α＋β＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，∴(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴ a 2＝b 2，即|a |＝|b |．∴|a |2＝2|a ||b |cos θ＝2|a |2cos θ．解得cos θ＝21． ∴ a 与b 的夹角是3π． 5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ， ∴ DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．(第6题)(第1题)7．C解析：由(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72． 而|b |＝4，a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2|a |， ∴ |a |2－2|a |－96＝－72，解得|a |＝6． 8．D解析：由 OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA , 即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ， ∴ O 是△ABC 的三条高的交点． 9．C解析：∵AD ＝AB ＋BC ＋D C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |． ∴ 四边形ABCD 为梯形． 10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量． 二、填空题 11．－32． 解析：A ，B ，C 三点共线等价于AB ，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又 A ，B ，C 三点共线，∴ 5(4－k )＝－7(－k －4)，∴ k ＝－32． 12．－1．解析：∵ M (－1，3)，N (1，3)， ∴ MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB ) ＝－(CA )2 ＝－2CA ＝－25．思路2：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°， ∴ cos ∠CAB ＝CA AB＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0， BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16， CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9． ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25． 14．323． 解析：a ＋m b ＝(3＋2m ，4－m )，a －b ＝(1，5)． ∵ (a ＋m b )⊥(a －b )，∴ (a ＋m b )·(a －b )＝(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0 m ＝323． 15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交AC 于D(第13题)点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又 OA ＋OC ＝－OB ，∴ OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ，∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形． 三、解答题 17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP ＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)． AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵ AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．DF ＝(47，2)． 解析：∵ A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)， AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点， ∴ AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)． 又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴ F 是AD 的中点， ∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)． (第18题)19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ． ∴ AF ·ED ＝(a ＋21b )·(b －21a )＝21b 2－21a 2＋43a ·b ． 又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴ a 2＝b 2，a ·b ＝0． ∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴ |2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ． 又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin 3π)＝8sin (θ－3π)，最大值为8， ∴ |2a －b |2的最大值为16，∴|2a －b |的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b |表示2a ，b 终点间的距离．|2a |＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ |的最大值为直径的长为4．(第19题)。
高中数学平面向量测试题及答案
高中数学平面向量测试题及答案一、选择题1、下列哪一组向量是平行向量？A. (3，4)与(4，3)B. (3，4)与( - 4，- 3)C. (3，4)与( - 4，9)D. (3，4)与(7，8)2、下列哪一组向量是共线向量？A. (1，2)与(2，3)B. (1，1)与(2，2)C. (1，2)与( - 2，4)D. (1， - 1)与( - 2，2)3、下列哪一组向量是垂直向量？A. (1，2)与(2，1)B. (3，4)与(4，3)C. ( - 3，4)与(4， - 3)D.平面向量是数学中的一个重要概念，是解决许多实际问题的重要工具。
以下是一些经典的平面向量测试题，可以帮助大家了解和评估自己的平面向量水平。
给出平面向量的基本概念和性质，包括向量的表示、向量的模、向量的加法、减法和数乘等。
给出一个向量的坐标表示，包括在直角坐标系中的表示和在极坐标系中的表示。
给定两个向量 a和 b，求它们的数量积、夹角和模长。
给定一个向量 a，求它的单位向量、零向量和负向量。
给定一个平面向量场，求其中的平行向量、共线向量和线性无关向量。
给定一个三维平面向量场，求其中的法向量和切线向量。
给定一个向量的模长和夹角，求这个向量的坐标表示。
给定两个三维向量 a和 b，求它们在空间中的位置关系，如平行、共线和垂直等。
给定一个平面向量 a和一个非零向量 b，求 a和 b的垂直平分面和a和 b的中垂线。
给定一个向量的正交分解和极坐标表示，求这个向量的直角坐标表示和极坐标表示。
以上是平面向量经典测试题的一些例子，这些题目可以帮助大家巩固平面向量的基本概念和性质，提高解决实际问题的能力。
解释：平面向量是由两个数值和一个字母组成的，其中字母表示向量的方向，而数值表示向量的模长。
选项A符合这个要求，而其他选项都不符合。
解释：平面向量的基本运算包括加法、减法和数乘，而D选项中的“数乘和加法”实际上是包含了这三种运算，因此不是平面向量的运算。
高一数学(平面向量期末复习答案
第一课时：向量的概念及其几何运算【知识梳理】1. 向量的有关概念：向量的概念、向量的模（或长度、相等向量、相反向量、平行向量（共线向量）： 加法：物理背景、三角形法则、平行四边形法则。
减法：三角形法则 向量的数乘运算的定义 1. 向量加法的运算性质（1）a ＋b=b ＋a ；（2）(a ＋b)＋c ＝a ＋(b ＋c)；（3）若a 与b 为相反向量，则a ＋b ＝0；（4）若b ＋c ＝a ，则c ＝a －b ；（5）|a ±b|≤|a|＋|b|()，|a ±b|≥||a|－|b||(何时取到等号)； （6）向量加法的多边形法则 2.向量数乘的运算性质(1) λ(μa)=(λμ) a ； (2) (λ＋μ) a =λa ＋μa ；(3) λ(a ＋b)=λa ＋λb ； 3向量的数量积a ²b=|a||b|cos θ.：向量的夹角定义及其范围、内积物理背景（做功）、投影、内积的几何意义4、.向量中重要定理（1）一维向量共线定理：向量a （a ≠0）与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b =λa . （2）平面向量基本定理：若e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a ＝λ1e 1＋λ2e 2.一个不得不知道的定理：设o 是平面上任意一点，C 点在直线AB 上的条件：存在实数λ μ使1,=++=μλμλ且O B O A O C【课前基础训练】1．两个非零向量相等当且仅当_____________（ A ）（A ）长度相等且方向相同 （B ）长度相等且方向不同 （C ）长度不相等且方向相同 （D ）长度不相等且方向不同2．设O 是正△ABC 的中心，则向量,,是 （C ） （A ）有相同起点的向量 （B ）平行向量（C ）模相等的向量 （D ）相等向量 3．=-+AD BC AB（D ）（A ） （B ）CD （C ） （D ）4．已知非零向量，满足关系式：||||-=+，那么向量，应满足的条件是 （ D ） （A ）方向相同 （B ）方向相反 （C ）模相等 （D ）互相垂直 5．向量的加法满足交换律：=+b a ；结合律：=++)( ； 6．设a 表示“向西走3公里”，b 表示“向南走3公里”，则b a +表示 ； 7．边长为1的正方形ABCD 中，若 a AB =，b BC =，c AC =，则=+-||c b a 2 ；8．已知52-=，25=，则=b 425- a ；9．若c b a +=，则)(2)3(2)2(3b a b c b a +-+-+= a - ；10．与是同一平面不共线的向量，k +与3-共线，则实数k = 31- ； 【范例分析】例1在三角形ABC 中，设a = =,已知43,41==,试以,为基底表示向量a b 4321-例2 已知在三角形ABC 中，平面上点o 满足=++，求证:O 是三角形ABC 的重心例3 在平行四边形ABCD 中，M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BD=3BN ，试推断点M 、N 、C 是否共线？并说明理由.【课后作业】 一． 1．若O 是△ABC 内一点，OC OB OA ++＝0，则O 是△ABC 的 （ D ）（A ）内心 （B ）外心 （D ）重心 （C ）垂心 2．若O 为□ABCD 的中心，14e AB =，26e BC =，则1223e e -等于（B ）（A ） （B ）BO （C ） （D ）3．如图，D ，E 分别为△ABC 的边BC ，CA 上的中点，且a BC =，b CA =，则=DE（A ）b a 2121+ （B ）b a 2121-（C ）2121+- （D ）2121--9．如图，△ABC 中D 为BC 边的中点，E 是AB 上一点，且AE BE 2=，设=，b CA =，则=DE （C ）（A ）3232+ （B ）6132+ （C ）b a 3261+ （D ）b a 3267+8．21,e e 为平面向量的一组基底，21924e e a -=，211855e e b +-=，则与的关系为（ D ） （A ）共线，且同向 （B ）不一定共线 （C ）平行，可能相等 （D ）共线，且异向二．填空题13．已知||a = 6，||b = 8，||b a -= 10，则||b a += 10 ；14．若点P 是△ABC 的外心，且PB PA +＝PC ，则△ABC 的内角C = 120度 ．17．向量a 与b 不共线，设-=3，32+=，若存在实数x ，y 使得x －y q =b a -，则=),(y x ⎪⎭⎫⎝⎛111,115 ； 19．若21,e e 是平面向量的一组基底，0)1(2))(1(121=-++--e y e e y x ，则=),(y x ()1.12 ． 20．如图，已知向量，，求作：（1）+；（2）-．2-=21．如图，在△ABC 中，a AB =，b BC =，AD 为BC 边的中线，G 为△ABC 的重心， 求向量AG ． 3132+第二课时 平面向量的坐标运算及数量积.【数量积的运算性质】 （1）a ²b ＝b ²a ；（2）(λa)²b ＝λ(a ²b)＝a ²(λb)；（3）(a ＋b)²c ＝a ²c ＋b ²c ；（4）a ⊥b a ²b ＝0；（5）a 2＝|a|2；（6）|a ²b|≤|a||b|；（6）b a b a ⋅∙=θcos（7）bba a ∙=θcos ab C【向量的坐标表示】（1） 设i 、j 是与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若a ＝xi ＋yj ，则a ＝(x ，y) （2） 若点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则 ＝(x 2－x 1，y 2－y 1). （3） 向量的坐标运算设向量a=(x1，y1),b=(x2，y2),则 （1）a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)； （2）a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)； （3）λa ＝(λx 1，λy 1)； （4）a ²b ＝x 1x 2＋y 1y 2；（5）向量a ，b(b ≠0)共线1221y x y x =⇔ ； （6）a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0； （7）|a| 2121y x += ；（8）222221212121cos y x y x y y x x ba ba +∙++=⋅∙=θ【课前基础训练】1．若向量的始点坐标为)1,3(，终点坐标为)3,1(--，则向量的坐标为 （ D ） （A ）)3,1(-- （B ）)4,4( （C ）)2,4(-- （D ）)4,4(--2．下列向量为单位向量的是 （C ）（A ）+= （B ）)21,21(= （C ）)sin ,(cos αα= （D ）)23,1(-=3．下列向量共线的是 （ C ） （A ）)3,2(=，)6,4(-=（B ）i a 3=，3=（C ）)6.3,3(-=，)6.0,21(-=（D ）)1,0(=，)0,2(=4．设A ，B ，C 三点共线，且它们的纵坐标分别是2，5，10，则λ=中实数λ的值（A ）83 （B ）38 （C ）83- （D ）38- （C ）5.给出下面四个命题：①长度相等方向相反的向量叫做相反向量；②同一平面内有两个不共线非零向量b a ,，则b a ,所在平面内的任一向量均可以唯一表示成),(R b a ∈+μλμλ；③∥⇔存在唯一实数λ，使=λa ； 其中正确的命题是（A ）（A ）①②（B ）①③（C ）②③ （D ）①②③6．若)4,3(-=，)12,5(=，则a 与b 的夹角的余弦值为（ B ）（A ）6563 （B ）6533 （C ）6533- （D ）6563-7．给定两个向量)4,3(=，)1,2(-=，且)(x +⊥)(-，则x 等于 （C ）（A ）23 （B ）223 （C ）323 （D ）4238．下列三个命题：（1）0=+BA AB ； （2）=-； （3）c b a )(⋅是向量，其中真命题的个数是（ C ） （A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3【范例分析】例1 已知向量a 、b 满足：|a|=4，且a ²(a －b)=12，求向量b 在a 方向上的投影. 1例2 已知非零向量a 、b 满足： (a －b)⊥b ，且(a ＋2b)⊥(a －2b)，求向量a 与b 的夹角.60度例3 已知向量a 、b 、c 两两之间的夹角为120°，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，求向量a ＋b ＋c 与a的夹角.150°例4 设向量a 、b 不共线，已知,2kb a AB +=,b a BC +=,2b a CD -=且A 、B 、D 三点共线，求实数k 的值1-例5 设e 为单位向量，且向量a ≠e ，若对任意实数t ，不等式|a －te|≥|a －e|恒成立，求证：(a －e)⊥e.例6 已知向量a 、b 满足：|a|=4，|b|=3，(2a －3b)²(2a ＋b)=61，当t ∈[0，1]时，求tb a +的取值范围[]4,32例7设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a ，4b －2c ，2(a －c ），d 的有向线段首尾相接能构成四边形，求向量d 的坐标.()6,2--例8：已知向量),2,1(),1,3(-==O B O A 且//,⊥求向量的坐标()6,11例9 已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－4， 3)，求向量a 在b 方向上的投影.51例10 设向量a 与b 的夹角为θ，已知 a ＋b ＝(2，－8)，a －b ＝(－8，16)，求cos θ的值.6563-例11 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，—4)，5=c ，若25)(=∙+c b a ，求向量a 与c 的夹角 120°例12 已知点A(0，1)，B(0，—1),C(1,0),O 为坐标原点，动点P 满足2)(2=∙，求向量OP 与OC 的夹角的取值范围⎪⎭⎫ ⎝⎛6,0π向量综合练习一、选择题1．已知36||=a ，1||=b ，9-=⋅b a ，则a 与b 的夹角是 （ D ）（A ）30° （B ）45° （C ）135° （D ）150°2．对于向量，和实数λ，给出下列结论：①a =||；②||||||b a b a ≤⋅；③)()(b a b a ⋅=⋅λλ．其中正确结论的个数为（ D ）（A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）33．已知||= 2，向量a 在单位向量方向上的投影为3-，则向量a 与的夹角为（ D ） （A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150° 4．若=，且A （2 ，y ），B （－3 ，2），=（x ，1），则有（ B ）（A ）x = －1，y = －1（B ）x = －5，y = 1（C ）x = 5，y = －1 （D ）x = －5，y = 35．在△ABC 中，=（2 ，3），=（1 ，21-），则B cos = （ A ）（A ）651-（B ）21（C ）651 （D ）21-6.已知点A 、B 的坐标分别为（2，-2），（4，3），向量m 的坐标为（2k -1,7）,且AB m //则k 的取值范围为 （C ）（A ）109- （B ）109 （C ）1019- （D ）10197．有下列三个命题①0=++CA BC AB ；②c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)(；③()()22492323b a b a b a -=-⋅+其中，是真命题的有 （ D ）（A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）①②③二、填空题1．若)4,3(-=a ，)2,5(=b ，则+= ()6.2 ；-= ()2,8- ； 2．点)3,4(M 关于点)3,5(-N 的对称点L 的坐标 ()9,6- ；3．△ABC 顶点为)3,2(A ，)2,3(--B ，重心为)1,1(G ，则C 点的坐标为 ()2,4 ； 4．点P 在平面上作匀速直线运动，速度是每秒)5,2(=v ，当t = 0时，P 在)2,6(--处，则t = 5时，点P 的坐标为 ()23,4 ；5．在△ABC 中，设)7,3(A ，)5,2(-B ，若AC ，BC 的中点都在坐标轴上，则C 点的坐标为 ()7,2-或()5,3-- ．6．||= 5，||= 8，且与的夹角为150°，则⋅= -； 7．若3||||||=-==，则⋅= 23 ；8．若)1,1(=a ，)1,2(-=b ，则⋅= 1 ；b a ⋅-)2(= -2 ；9．已知)3,1(-=，)2,0(=，则a 在b10．已知)2,(λ=a ，)1,2(-=b ，且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是 ()+∞,1 ．11．已知O （0 ，0）和A （6 ，3）两点，若点P 在直线OA 上，且OP PA 2=，又P 是OB 的中点，则点B 的坐标是 ()2,4 ；12．已知b a m +=2，b a n 2+=，则b a 22-= )(2n m - （用向量，表示）； 13．已知=（3 ，3），=（1 ，0），则⋅-)2(= 1 ；14．已知3,52-=⋅==b a ，则=-|2|b a _6________；15．已知||a = 2，||b = 1，a ，的夹角为60°，又m 3+=，m -=2，且c ⊥，则实数m 的值是 -1或6 ．16． 已知三个力)4,3(1=F ，)5,2(2-=F ，),(3y x F =的合力为零，求3F 的坐标____()1,5-____． 三、解答题1．已知点A （―1 ，―4），B （5 ，2），线段AB 上的三等分点依次是1P ，2P ，求1P ，2P 点的坐标．()2.11-P ()0,32P2．已知单位向量与的夹角为60°求证：)2(-⊥i ．3．已知两点)2,4(-A ，)4,4(-B ，（1）求方向与AB 一致的单位向量；⎪⎭⎫⎝⎛-53,54（2）过)1,1(C 作向量CD 与AB 共线，且||=4，求D 点坐标．⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-57,521517,511HUO4．如果向量a 与b ，c 的夹角都是45°，而c ⊥b ，且1||||||===c b a ，求)()2(+⋅-的值．22-5．已知8||=a 6||=b ，a 与b 的夹角<a ,b >＝60°求)2()(b a b a -⋅+．32-6．设-=2，23+=，37=，求证A ，B ，C 三点共线．7．已知||a = 4，||b = 3，b a ⋅ = 6，求b a +的模．378．已知△ABC中，A（2 ，－1），B（3 ，2），C（－3 ，－1），BC边上的高AD，求点D和AD的坐标．()1,1()2,1-9．△ABC中，A（－1 ，－4），B（5 ，2），C（3 ，4），求证△ABC是直角三角形，并求△ABC的面积．12。
高中数学平面向量测试题及答案
平面向量测试题一、选择题：1。
已知ABCD 为矩形,E 是DC 的中点，且−→−AB =→a ，−→−AD ＝→b ，则−→−BE ＝（ ） （A ） →b +→a 21 （B ） →b －→a 21 (C ） →a ＋→b 21 (D) →a －→b 212．已知B 是线段AC 的中点，则下列各式正确的是（ )（A) −→−AB ＝－−→−BC （B ） −→−AC ＝−→−BC 21(C ） −→−BA ＝−→−BC （D ） −→−BC ＝−→−AC 213．已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ，−→−AE ＝→b ，则−→−BC ＝（ ） （A ）)(21→→-b a （B ） )(21→→-a b （C ） →a ＋→b 21 (D ） )(21→→+b a4．设→a ,→b 为不共线向量，−→−AB ＝→a +2→b ,−→−BC ＝－4→a －→b ，−→−CD ＝ －5→a －3→b ,则下列关系式中正确的是 ( ）(A ）−→−AD ＝−→−BC （B)−→−AD ＝2−→−BC （C ）−→−AD ＝－−→−BC（D ）−→−AD ＝－2−→−BC5．将图形F 按→a ＝（h ，k ）(其中h 〉0，k 〉0)平移，就是将图形F( ） （A ） 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。
（B ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。
（C ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。
(D) 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。
6．已知→a ＝()1,21，→b ＝(),2223-，下列各式正确的是（ )(A) 22⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛→→b a (B ） →a ·→b ＝1 （C ） →a ＝→b （D ） →a 与→b 平行 7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量,且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线,则k 的值是（ ） （A ） 1 (B ） －1 (C) 1± (D ） 任意不为零的实数8．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ,且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） （A) 矩形 （B ） 菱形 （C) 直角梯形 （D ） 等腰梯形9．已知M （－2,7）、N(10，－2)，点P 是线段MN 上的点，且−→−PN ＝－2−→−PM ,则P 点的坐标为( ）（A ） (－14,16）（B ） （22，－11）（C ） （6，1） （D) （2，4）10．已知→a ＝(1，2)，→b ＝（－2,3），且k →a +→b 与→a －k →b 垂直，则k ＝（ ) (A) 21±-（B ） 12±（C ） 32±（D) 23±11．把函数2)sin(3--=πx y 的图象经过按→a 平移得到x y sin =的图象，则→a ＝（ ）（A) ()2,3π-（B) ()2,3π（C ） ()2,3--π（D) ()2,3-π12．△ABC 的两边长分别为2、3，其夹角的余弦为31 ，则其外接圆的半径为（ ） （A ）229（B ）429（C ）829（D ）922二、填空题：13．已知M 、N 是△ABC 的边BC 、CA 上的点，且−→−BM ＝31−→−BC ，−→−CN ＝31−→−CA ，设−→−AB＝→a ，−→−AC ＝→b ，则−→−MN ＝ 14．△ABC 中，C A B cos sin sin =,其中A 、B 、C 是△ABC 的三内角，则△ABC 是三角形。
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平面向量一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1、下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ）A ．)0,0(=a ρ)2,1(-=b ρ B ．)2,1(-=a ρ )4,2(-=b ρC ．)5,3(=a ρ )10,6(=b ρD ．)3,2(-=a ρ)9,6(=b ρ2、若ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，且a AB =，b AD =，则BE = ( )A ．a b 21+B ．a b 21- Ｃ．b a 21+ Ｄ．b a 21- 3、若向量a r 与b r 不共线，0a b ⋅≠r r ，且()a a b c a a b⋅=-⋅r r rr r r r ，则向量a r 与c r的夹角为 （ ） A ．π2B ．π6C ．π3D ．04、设，是互相垂直的单位向量，向量m 3)1(-+=，m )1(-+=，)()(-⊥+,则实数m 为（ ）A ．-2B ．2 Ｃ．21-Ｄ．不存在 5、在四边形ABCD 中，b a AB 2+=，b a BC --=4，b a CD 35--=，则四边形ABCD 的形状是（ ）A ．长方形B ．平行四边形 Ｃ．菱形 Ｄ．梯形 6、下列说法正确的个数为（ ）（1）)()()(λλλ⋅=⋅=⋅； （2）||||||⋅=⋅； （3）⋅+⋅=⋅+)( （4）)()(⋅⋅=⋅⋅； （5）设,,为同一平面内三个向量，且c 为非零向量，b a ,不共线，则b ac a c b )()(⋅-⋅与垂直。
A ．2 B. 3 C. 4 D. 57、在边长为1的等边三角形ABC 中，设=，=，=，则⋅+⋅+⋅的值为 （ A ．23 B ．23- Ｃ．0 Ｄ．3 8、向量a =（-1，1），且a 与a +2b 方向相同，则b a ⋅的范围是 （ ）A ．（1，+∞）B ．（-1，1） Ｃ．（-1，+∞） Ｄ．（-∞，1） 9、在△OAB 中，OA =（2cos α，2sin α），OB =（5cos β，5sin β），若OB OA ⋅=-5，则S △OAB = （ ） A ．3 B ．23Ｃ．35 Ｄ．23510、若非零向量a 、b 满足||||=-，则 （ ）A. |2||2|b a b ->B. |2||2|b a b -<C. |2||2|b a a ->D. |2||2|b a a -< 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
11、若向量)4,3(-=a ρ，则与a ρ平行的单位向量为________________ ，与a ρ垂直的单位向量为______________________。
12、已知)3,2(=a ρ，)4,3(-=b ρ，则)(b a ρρ-在)(b a ρρ+上的投影等于___________ 。
13、已知三点(1,2),(2,1),(2,2)A B C -， ,E F 为线段BC 的三等分点，则AE AF ⋅u u u r u u u r＝_____．14．设向量a ρ与b ρ的夹角为θ，定义a ρ与b ρ的“向量积”：a ⨯ρ是一个向量，它的模θsin ||||||⋅⋅=⨯b a b a ρρρρ.若)3,1(),1,3(=--=b a ρρ，则=⨯||b a ρρ .三、解答题：本大题共6小题，共80分。
15．（本小题满分12分）设向量=（3，1），=（-1，2），向量⊥，∥，又+=，求OD 。
16．（本小题满分12分）已知向量(3,4),(6,3),(5,3)OA OB OC x y =-=-=---u u u r u u u r u u u r．（Ⅰ）若点,,A B C 能构成三角形，求,x y 满足的条件；（Ⅱ）若ABC ∆为等腰直角三角形，且B ∠为直角，求,x y 的值． 17、（本小题满分14分）已知A(2,0)，B(0,2)，C(cos α,sin α)，(0<α<π)。
（1）若7||=+OC OA （O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角； （2）若BC AC ⊥，求tan α的值。
18、（本小题满分14分）如图，O ，A ，B 三点不共线，2=，OB OD 3=，设a OA =，b OB =。
（1）试用,表示向量；（2）设线段AB ，OE ，CD 的中点分别为L ，M ， N ，试证明L ，M ，N 三点共线。
19、（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量(1,2)a =-， 又点(8,0),(,),(sin ,)(0)2A B n t C k t πθθ≤≤(1)若,AB a ⊥u u u r且|||AB OA =u u u r u u u r，求向量OB uuu r ；(2)若向量AC uuu r 与向量a 共线，当4>时，且sin t θ取最大值为4时，求OA OC •u u u r u u u v20、（本小题满分14分）已知向量33(cos ,sin ),(cos ,sin )2222x x a x x b ==-r r ，且[0,]2x π∈，求：（1）a b ⋅r r 及||a b +r r ；（2）若()2||f x a b a b λ=⋅-+r r r r 的最小值为32-，求实数λ的值。
平面向量测试题参考答案一、选择题：（每小题5分） DBAAD BBCDA二、填空题：（每小题5分） 11、)54,53(;)54,53(-- )53,54(;)53,54(-- 12、526-13、 3 14、 2三、解答题：本大题共6小题，共80分。
15．解： 设=（x ,y ），∵OB OC ⊥，∴0=⋅OB OC ，∴2y – x =0，①又∵∥，=（x +1，y-2），∴3( y-2) – (x +1)=0，即：3y – x-7=0，② 由①、②解得，x =14，y=7，∴OC =（14，7），则OD =OC -OA =（11，6）。
16、解：（Ⅰ） 若点,,A B C 能构成三角形，则这三点不共线，(3,1),AB =u u u rQ(2,1),AC x y =--u u u r∴3(1)2y x -≠-，∴,x y 满足的条件为31y x -≠ （Ⅱ）(3,1),AB =u u u r Q (1,)BC x y =---u u u r，若B ∠为直角，则AB BC ⊥u u u r u u u r， ∴3(1)0x y ---=，又||||AB BC =u u u r u u u r ，∴22(1)10x y ++=，再由3(1)y x =--，解得03x y =⎧⎨=-⎩或23x y =-⎧⎨=⎩．17、解：⑴∵)sin ,cos 2(αα+=+OC OA ，7||=+OC OA ，∴7sin )cos 2(22=++αα，∴21cos =α． 又),0(πα∈，∴3πα=，即3π=∠AOC ，又2π=∠AOB ，∴与的夹角为6π． ⑵)sin ,2(cos αα-=，)2sin ,(cos -=αα， 由⊥，∴0=⋅， 可得21sin cos =+αα， ①∴41)sin (cos 2=+αα，∴43cos sin 2-=αα， ∵),0(πα∈，∴),2(ππα∈，又由47cos sin 21)sin (cos 2=-=-αααα，ααsin cos -＜0， ∴ααsin cos -＝－27，②由①、②得471cos -=α，471sin +=α，从而374tan +-=α．18、解：(1)∵B ，E ，C 三点共线，∴OE =x OC +(1-x )OB =2 x a ρ+(1-x )b ，①同理，∵A ，E ，D 三点共线，可得，=y a ρ+3(1-y)，②比较①，②得，⎩⎨⎧-=-=)1(31,2y x y x 解得x=52， y=54,∴=b ρ5354+。
（2）∵2b a +=，103421b a OM +==，232)(21ba +=+=， 10126OM +=-=，102OM +=-=， ∴6=，∴L ，M ，N 三点共线。
19、解: (1)(8,),820AB n t AB a n t =-⊥∴-+=u u u r u u u rQ又222|||,564(3)5OB AB n t t =∴⨯=-+=u u u u r u u u r Q ,得8t =± (24,8)OB ∴=u u u r 或(8,8)OB =--u u u r(2)(sin 8,)AC k t θ=-u u u rAC u u u rQ 与a 向量共线, 2sin 16t k θ∴=-+232sin (2sin 16)sin 2(sin )4k t k k k θθθθ=-+=--+Q4,104k k ∴>∴>>,∴当sin 4k θ=时，sin t θ取最大值为32k由324k =，得8k =，此时,(4,8)6OC πθ==u u ur(8,0)(4,8)32OA OC ∴•=•=u u u r u u u v20、解：（1）33cos cos sin sin cos 22222x x x xa b x ⋅=-=r r||a b +=r r2|cos |x ===又0cos ]2,0[≥∴∈x x π从而||2cos a b x +=r r（2）2()cos 24cos 2cos 4cos 1f x x x x x λλ=-=--12)(cos 222---=λλx由于[0,]2x π∈ 故0cos 1x ≤≤①当0λ<时，当且仅当cos 0x =时，()f x 取得最小值1-，这与题设矛盾 ②当01λ≤≤时，当且仅当cos x λ=时，()f x 取得最小值221λ--，由23122-=--λ及01λ≤≤得12λ=③当1λ>时，当且仅当cos 1x =时，()f x 取得最小值14λ-，由3142λ-=-，得58λ=与1λ>矛盾综上所述，12λ=即为所求。