逻辑学第四章模态推理
逻辑学第四章模态推理
Mp 下反对 M¬p
模态六角对当关系
1.矛盾关系：Lp与M¬p、L¬p与Mp、p与¬p 2.反对关系：Lp与L¬p、Lp与¬p、L¬p与p 3.下反对关系：Mp与M¬p、p与M¬p、
¬p与Mp 4.差等关系：Lp与Mp、Lp与p、p与Mp
L¬p与M¬p、L¬p与¬p、¬p与M¬p
二、模态对当关系推理
2.模态命题种类 ①必然模态命题 模态算子：必然、必定、一定…… 命题形式：Lp（□p)、L¬p(□ ¬p) ②可能模态命题 模态算子：可能、或许、…… 命题形式：Mp(◊p)、M¬p(◊ ¬p) p是实然命题
5.模态六角对当关系
Lp p
反对 矛盾
L¬p ¬p
矛盾关系推理：12个有效式 反对关系推理：6个有效式 下反对关系推理：6个有效式 差等关系推理： 12个有效式
习题
1.甲：明天必然下雨。 乙：明天可能不下雨。
第二天果然下雨。 甲：我说对了，你错了。 乙：你没有说对，我也没有说错。
谁对谁错，为什么？ 2.下列推理形式中有效的是（ ）。 (1) M¬p┣ ┫¬Lp (2) p┣ ┫ L¬p (3) LP┣ ┫ P (4) ¬p┣ Mp (4) (5) Lp ┣ ¬p
三、规范模态命题及其推理
1.规范模态命题 ①广义模态和狭义模态 ②规范模态命题定义及种类
必须命题模态词：必须、应当、应该…… 命题形式：Op、O¬p（禁止p） 允许命题模态词：允许、可以、容许…… 命题形式：Pp、P¬p
④规范命题的真假问题
a.规范命题没有真值。 b.规范对当关系类似于真值对当关系。“真”
相当于“成立”，“假”相当于“不成立”。 c.真值对当关系：一命题真或假制约着另一命
题的真或假。 规范对当关系：一命题的成立或不成立制约 着另一命题的成立或不成立。
【逻辑】模态判断
【逻辑】模态判断假⾔命题（⼀）假⾔命题假⾔命题是断定事件之间的条件关系的复合命题。
1.事件p是事件q的充分条件是指：有p⼀定有q2.事件p是事件q的必要条件是指：⽆p⼀定⽆q如果您需要更多关于MBA⽅⾯的资料，请联系王灿⽼师：135****0544充分条件假⾔命题1.充分条件:事件p是事件q的充分条件是指：有p⼀定有q2.联结词：“如果……那么……”、“只要……就……”等3.p称为q的充分条件的⼀般形式：如果p，那么q （简记为：p?q）（其中p为前件，q为后件。
）例：如果笔试成绩200分以上，则获得奖学⾦。
以上为真，则1.笔试成绩不到200分能推出什么？2.获得了奖学⾦能推出什么？必要条件假⾔命题1.必要条件:事件p是事件q的必要条件是指：⽆p⼀定⽆q2.联结词：“只有…才”、“必须”，“不可或缺”、“除⾮…否则不…”等。
3. p称为q的必要条件的⼀般形式:只有p才q （简记为：p←q）（其中p为前件，q为后件。
1.如果P那么Q. 何时为假？2.如果P那么Q. 的等价命题是什么？3..如果P那么Q. 何时为假？的推理规则是什么？只有努⼒才能考上清华。
它的推理形式是怎样的？⼀．⽤“→”表⽰下⾯的命题的关系。
1.如果A,那么B.2.有A,就不会有B.3.只要B，就A.4.没有A,就没有B.5.所有A都是B6.只有B，才A.7.B是A 的基础。
8.要想A必须B.9.除⾮A,否则不B. 10.除⾮A,否则B.11. A, 除⾮B. 12.不B，就不A.1..美国射击选⼿埃蒙斯是赛场上的“倒霉蛋”。
在2004 年雅典奥运会男⼦步枪决赛中，他在领先对⼿3 环的情况下将最后⼀发⼦弹打在别⼈靶上，失去即将到⼿的奖牌。
然⽽，他却得到美丽的捷克姑娘卡特琳娜的安慰、最后赢得了爱情。
这真是应了⼀句俗语：如果赛场失意，那么情场得意。
如果这句俗语是真的，以下哪项陈述⼀定是假的？A．赛场和情场皆得意。
B．赛场和情场皆失意。
模态逻辑的推理规则和证明方法
模态逻辑的推理规则和证明方法模态逻辑是一种专门研究命题含有模态词的推理规则和证明方法的逻辑系统。
模态逻辑主要研究命题的可能性、必然性、推断和推理等问题，以及与经典逻辑的关系。
本文将介绍模态逻辑的基本概念和常用的推理规则和证明方法。
一、模态逻辑的基本概念1. 模态词模态词是指用于表示可能性、必然性、可能真或必然真等概念的词语，如“可能”，“必然”，“或许”等。
模态词可以分为“必然性”和“可能性”两大类别。
2. 推理规则推理规则是指用于进行命题推理的基本规则，它们描述了命题在逻辑上的相互关系和推导转换的合法性。
在模态逻辑中，常用的推理规则有必然推理规则、可能推理规则、非必然推理规则等。
3. 证明方法证明方法是指用于证明模态逻辑命题成立或推导出结论的方法。
常见的证明方法包括形式证明、条件证明、反证法等。
二、模态逻辑的推理规则1. 必然推理规则必然推理规则描述了命题在必然性逻辑上的推导关系。
其中包括必然条件推理规则和必然蕴含推理规则。
- 必然条件推理规则：如果P必然蕴含Q，且P成立，则可以推导出Q成立。
- 必然蕴含推理规则：如果P必然蕴含Q，且Q成立，则可以推导出P成立。
2. 可能推理规则可能推理规则描述了命题在可能性逻辑上的推导关系。
其中包括可能条件推理规则和可能蕴含推理规则。
- 可能条件推理规则：如果P可能蕴含Q，且P成立，则可以推导出Q可能成立。
- 可能蕴含推理规则：如果P可能蕴含Q，且Q成立，则可以推导出P可能成立。
3. 非必然推理规则非必然推理规则描述了命题在非必然性逻辑上的推导关系。
其中包括非必然条件推理规则和非必然蕴含推理规则。
- 非必然条件推理规则：如果P非必然蕴含Q，且P成立，则可以推导出Q可能成立。
- 非必然蕴含推理规则：如果P非必然蕴含Q，且Q成立，则可以推导出P可能成立。
三、模态逻辑的证明方法1. 形式证明形式证明是一种使用推理规则和逻辑步骤来证明模态逻辑命题的方法。
它通常基于公理系统或证明系统进行推导，以确定给定命题的正确性。
大学模态逻辑教案
大学模态逻辑教案大学模态逻辑教案一、教学目标1.了解模态逻辑的概念与重要性。
2.掌握各种模态表达式的符号表示法。
3.掌握经典命题逻辑的基本知识，如语言、符号、公式、语义等概念。
4.能够运用模态逻辑及其推理方法，分析、评价和应用实际问题。
二、教学内容1.模态逻辑的概念与分类2.模态表达式的符号表示法3.常用的模态词及其意义4.经典命题逻辑的基本概念及推理方法5.模态逻辑的应用实例三、教学过程1.模态逻辑的概念与分类模态逻辑是研究推理中涉及到特殊的语气词（即模态词）和它们的语义关系的逻辑学。
它强调推理中对事实可能性和必然性的判断，属于形式逻辑学的一个分支。
其中，常见的模态词有必须、可能、不一定、可能不等等。
2.模态表达式的符号表示法在模态逻辑中，用符号表示可能性和必然性的方式，通常称为模态表达式。
常用的符号表示法如下：必须：□可能：◇否定：¬3.常用的模态词及其意义常见的模态词有必须、可能、不一定等。
具体解释如下：必须：表示某个命题在任何情况下都是真的，即必然成立。
例如：□P表示P是必须成立的。
可能：表示某个命题在某些情况下是真的，即有可能成立。
例如：◇P表示P是可能成立的。
不一定：表示某个命题真假情况无法确定，即不一定成立。
例如：□¬P表示P不一定成立。
4.经典命题逻辑的基本概念及推理方法经典命题逻辑是一种推理方法，将陈述的判断视为真或假，然后进行逻辑推理。
其概念如下：命题：陈述一个完整的判断，认为它有意义并且可以被分类为真或假。
公式：由命题符号和逻辑符号构成，用来表示命题的逻辑关系。
语义：指的是一个公式的真值，即其是真还是假。
推理方法：通过逻辑规则推导出命题间的逻辑关系，从而得到新的命题判断。
5.模态逻辑的应用实例模态逻辑可以应用于多种实际问题，如：1. 知识表示与推理：模态逻辑可以帮助我们表示知识和进行推理，以便更好地理解、分析和解决问题。
2. 人工智能系统：模态逻辑在人工智能系统中得到了广泛应用，如机器翻译、自动推理等。
逻辑学第四章
[例3]某甲必然不是诉讼当事人， 所以，某甲不可能是诉讼当事人。 [例4]某甲可能是这个案件的作案人， 所以，某甲不必然不是这个案件的作案人。 总之，根据模态命题的矛盾关系，可以由其 中一个命题为真推知另一命题为假，也可由其中 一个命题为假，推知另一命题为真。 2、差等关系对当推理 差等关系对当推理是指利用模态命题间的差 等关系进行的推理。差等关系是指□p和◇p、 □p和◇p之间的真假关系。
[例4] 某甲可能不是原告的法定代理人。 [例5] 他的行为可能是无因管理，也可能是不 当得利。 [例6] 故意杀人或故意伤害致人毙命必然会受 到法律的严惩。 表达模态命题必须有模态词，模态命题都含有 “必然”或“可能”等模态词。模态词有时在命题 联结项之前，有时在主项之前，有时在谓项之后。 这主要是根据所表达的内容和表达习惯来定。如[例 1]还可以表述为：“必然凶手有作案时间”，或者 “凶手有作案时间，这是必然的”。又如[例4]还可 以表述为：“可能某甲不是原告的法定代理人”， 或者“某甲不是原告的法定代理人是可能的”。一 般来说，在分析模态命题的形式时，将模态词放在 命题变项p、q……的前面。在模态逻辑中，用符号 “□”或“L”表示“必然”，用符号“◇”或“M” 表示“可能”。本课采用“□”
2、必然命题 必然命题就是陈述事物情况的必然性的命题。必然 命题又可分为必然肯定命题和必然否定命题。 [例5] 客观事物必然发展变化。 [例6] 法律必然有阶级性。 [例7] 社会主义革命的胜利必然不以人的意志为转移。 [例8] 无效合同必然不受法律保护。 [例5]、[例6] 是必然肯定命题。必然肯定命题是反映 事物情况必然存在的命题。它可以用公式表示为“S必 然是P”或“S是P是必然的”，用符号表示为“□P”。 [例7]、[例8] 是必然否定命题。必然否定命题是反映 事物情况必然不存在的命题。它可以用公式表示为“□ ﹁P”。
逻辑基本知识—模态命题及其推理
在逻辑中，“必然”、“可能”、“不可能”等叫做“模态词”，包含模态词的命题叫做“模态命题”。
“必然p”、“不可能p”（必然⾮p）、“可能p”和“可能⾮p”之间的真假关系，类似于直⾔命题A、E、I、O之间的真假关系。
根据四种模态命题之间的逻辑关系(真假关系)，便可构成⼀系列简单的模态命题的直接推理。
Ⅰ、根据模态命题⽭盾关系的直接推理1.必然p,推出并⾮可能⾮p；2.并⾮必然p，推出可能⾮p；3.可能⾮p，推出并⾮必然p；4.并⾮可能⾮p，推出必然p；5.必然⾮p，推出并⾮可能p；6.并⾮必然⾮p，推出可能p；7.可能p，推出并⾮必然⾮p；8.并⾮可能p，推出必然⾮p；上述1式，可举例如下：正义必然战胜邪恶，所以，并⾮正义可能不能战胜邪恶(即：正义不可能不能战胜邪恶)。
上述3式，可举例如下：⽕星上可能没有⽣物，所以，并⾮⽕星上必然有⽣物(即⽕星上不必然有⽣物)。
Ⅱ、根据模态命题反对关系的直接推理1.必然p，推出并⾮必然⾮p。
例如：蔑视辩证法是必然要受到惩罚的，所以，蔑视辩证法并⾮必然不受到惩罚的。
2.必然⾮p，推出并⾮必然p。
例如：侵略战争必然是⾮正义战争，所以，侵略战争并⾮必然是正义战争。
Ⅲ、根据模态命题下反对关系的直接推理1.并⾮可能p，推出可能⾮p。
例如：某君不可能吸烟，所以，某君可能不吸烟。
2.并⾮可能⾮p，推出可能p。
例如：⼩王不可能不会游泳，所以，⼩王可能会游泳。
Ⅳ、根据模态命题差等关系的直接推理1.必然p，推出可能p；例如：甲队必然得冠军，所以，甲队可能得冠军。
2.并⾮可能p，推出并⾮必然p；例如⼄队不可能得冠军，所以，⼄队不必然得冠军。
3.必然⾮p，推出可能⾮p；4.并⾮可能⾮p，推出并⾮必然⾮p。
■最近⼀段时期，有关要发⽣地震的传⾔很多。
⼀天傍晚，⼩明问在院⾥乘凉的爷爷：“爷爷，他们都说明天要地震了。
”爷爷说：“根据我的观察，明天不必然地震”。
⼩明说，“那您的意思是明天肯定不会地震了。
模态逻辑的概念与研究
模态逻辑的概念与研究模态逻辑是哲学和数理逻辑研究中的一个重要分支，主要研究与特定语义标记有关的命题逻辑推理模式。
在逻辑学中，模态逻辑是一种扩展了传统命题逻辑的形式系统，通过引入一种或多种模态操作符来表示可能性、必然性、知识和信念等概念。
本文将讨论模态逻辑的定义和基本原理，以及其在哲学和人工智能领域的应用。
一、模态逻辑的定义模态逻辑是一种通过添加模态操作符来扩展命题逻辑的形式系统。
模态操作符表示的是一种特定的语义标记或陈述的修饰。
常见的模态操作符包括可能性操作符（◊）、必然性操作符（□）和信念操作符（B）。
这些操作符可以用来表示可能性、必然性、知识、信念、时间和行动等概念。
二、模态逻辑的基本原理模态逻辑的基本原理可以总结为以下几点：1. 可能性公理：模态逻辑中的可能性操作符（◊）满足可靠性、反自反性和传递性等性质。
可靠性表示任何命题都可能是真的；反自反性表示任何真命题都是可能的；传递性表示如果一个命题可能是真的，那么它的逻辑后继也可能是真的。
2. 必然性公理：模态逻辑中的必然性操作符（□）满足真可排序和保真性等性质。
真可排序表示任意两个真命题可以同时成立；保真性表示必然性操作符的后继必然是真的。
3. 知识公理：模态逻辑中的知识操作符（K）满足真可排序、保真性和知识的传递性等性质。
知识的传递性表示如果一个命题是已知的，那么它的逻辑后继也是已知的。
三、模态逻辑的应用1. 哲学领域：模态逻辑在哲学领域中被广泛应用，特别是在形而上学和认识论方面。
模态逻辑的概念可以帮助人们分析和理解世界的可能性和必然性。
比如，人们可以用模态逻辑来探讨自由意志和宿命论之间的关系，以及道德责任和道德义务的逻辑基础。
2. 人工智能领域：模态逻辑在人工智能领域中有广泛应用。
通过使用模态逻辑，人工智能系统可以表示和推理关于世界的不同可能状态和必然性。
比如，人工智能系统可以使用模态逻辑来推理和规划机器人的行动，以及模拟和理解人类的信念和知识。
模态逻辑—模态命题和推理
二、规范命题的分类
必须型规范命题，也称为义务性规范或强制性规范命题.
允许型规范命题，也称为授权性规范命题 禁止型规范命题，（可不列为一种单独类型）
三、对当关系（指“规范”妥当或不妥当的关 系）
¬OA ↔ P ¬A ¬ P¬A ↔ OA
¬P A ↔ O¬ A ¬O¬ A ↔P A
OA →P A
O¬ A→P¬A
在逻辑上把包含模态词“可能”、“必然”等命题叫做模态命题。 模态命题分为四类： 必然命题；必然p；□p。 必然非命题；必然﹁p；□﹁p。 可能命题；可能p; ◇p。 可能非命题。可能﹁p; ◇﹁p。
真值模态对当推理是根据真值模态命题对当关系 所进行的演绎推理。
例如，根据 ¬ ◊ p ↔ □¬p 有
下面那句话与王见明说的意思相似？
A.这次考试老师不可能不出那种难题。 B.这次考试老师必定不出那种难题了。 C.这次考试老师可能不出那种难题了。 D.这次考试老师不可能出那种难题了。 E.这次考试老师不一定不出那种难题。
（二）复合真值模态命题推理 复合真值模态命题推理是根据复合真值模态命题 之间的等值关系或蕴含关系而进行的演绎推理。 例如，根据 □（pΛq） ↔ □pΛ□q 便有 甲胜诉而乙败诉，这是必然的； 所以，甲必然胜诉，而乙必然败诉。
练习2：在市场预测中，专家说：明年电脑不降 价是不可能的。
以下哪项和专家说的同真？
A.明年电脑一定降价。 B.明年电脑可能降价。 C.不可能预测明年电脑是否降价。 D.明年电脑可能不降价。 E.明年电脑一定不降价。
练习3：不可能所有的错误都能避免。 以下哪项最接近于上述断定的含义？
A. 所有的错误必然都不能避免。 B. 所有的错误可能都不能避免。 C. 有的错误可能不能避免。 D. 有的错误必然不能避免。
模态逻辑概述
模态逻辑概述Ps：本文整理编辑---论文文库工作室（QQ1548927986）：毕业论文写作与发表模态逻辑，或者叫(不很常见)内涵逻辑，是处理用模态如“可能”、“或许”、“可以”、“一定”、“必然”等限定的句子的逻辑。
模态逻辑可以用语义的“内涵性”来描述其特征: 复杂公式的真值不能由子公式的真值来决定的。
允许这种决定性的逻辑是“外延性的”，经典逻辑就是外延性的例子。
模态算子不能使用外延语义来形式化: “乔治·布什是美国总统”和“2 + 2 = 4”是真的，但是“乔治·布什必然是美国总统”是假的，而“2 + 2 = 4 是必然的”是真的。
形式模态逻辑使用模态判决算子表示模态。
基本的模态算子是和。
(有时分别使用“L”和“M”)。
它们的意义依赖于特定的模态逻辑，但它们总是以相互定义的方式来定义:真势模态在真势模态逻辑(就是说必然性和可能性的逻辑)中表示必然性，而表示可能性。
所以Jones 有兄弟是“可能的”，当且仅当Jones “没”有兄弟是“非必然的”。
句子被认定为∙可能的如果它“可能”为真(不管实际上是真是假);∙必然的如果它“不可能”为假;∙偶然的如果它“不是”必然为真，就是说，可能为真可能为假。
偶然的真理是“实际上”为真，但“可能曾经不是”的真理。
其他模态认识模态逻辑最经常用来谈论所谓的“真势模态”: “...是必然的”或者“....是可能的”，这些模态(包括形而上学模态和逻辑模态)最容易混淆于认识模态(来自希腊语episteme, 知识):“...确实是真的” 和“...(对给定的可获得的信息)或许是真的”。
在普通的话语中这两种模态经常用类似的词来表达；下列对比可能有所帮助:一个人Jones 可以合理的“同时”说出: (1)“我确信大脚怪不可能存在”，还有(2)“大脚怪存在的确是可能的”。
Jones 通过(1)表达的意思是，对于给定的所有可获得的信息，大脚怪存在与否是没有疑问的。
第四章模态、规范逻辑 逻辑学
一、模态命题 1、定义： 模态命题就是陈述事物情况的可能 性或必然性的命题。
第一节 模态推理
在模态命题的语言表达形式中，都含有“必然” 或“可能”这两种模态词。 例如： 客观规律必然不以人的意志为转移。 （“必然”居于命题之中） 客观规律不以人的意志为转移是必然的。 （“必然”后置） 不可能所有的错误都能避免。（“可能” 前置）
第一节 模态推理
2、模态命题的种类 （1）必然肯定命题 必然肯定命题就是陈述事物情况必 然存在的命题。 例如：任何事物都必然包含有矛盾。 语言形式结构： “必然P”。 符号形式结构： 模态词“必然”， 可以表达为 Lp
第一节 模态推理
(2)必然否定命题 必然否定命题就是陈述事物情况必 然不存在的命题。 例：客观规律必然不以人的意志为 转移。 语言形式结构：“必然非P”。 符号形式结构：L ┑ p
第一节 模态推理
4、下反对关系对当推理 模态命题间的下反对关系指 Mp和M ┑ p 间的真假制约关系。 Mp → ┑ M ┑ p M ┑ p → ┑ Mp 可见，Mp和M ┑ p间具有反对关系，它们 不可同假，但可同真。因此，根据下反对关系， 可由某一命题为假推知另一个命题为真，但不 能由某一命题为真推知另一命题的真假。
2、差等关系对当推理 模态命题间的矛盾关系指 Lp和Mp、 L ┑ p和M ? p之间的真假制约关系。 （ 1）Lp和Mp间的真假制约关系 Lp → Mp ┑ Mp → ┑ Lp
第一节 模态推理
（2）L ┑ p和M ┑ p间的真假制约关系 L┑p→ M┑p ┑M┑p→┑L┑p 可见，根据模态命题的差等关系，可以 由必然命题为真推出可能命题为真；由 可能命题为假推知必然命题为假。反过 来，不正确。
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差 矛盾
差
等
等
Pp
下反对 P¬p
逻辑学第四章模态推理
3.模态命题中的模态词和否定词
①模态词在命题的前面、中间和然要受惩罚。
Lp
犯罪要受惩罚是必然的。
②在模态词前面的否定词是否定整个模态命题。
今天不可能下雨。 ¬ Mp
③在模态词后面的否定词是否定整个实然命题命题。 如：
今天可能不下雨。 M¬p
¬p与Mp 4.差等关系：Lp与Mp、Lp与p、p与Mp
L¬p与M¬p、L¬p与¬p、¬p与M¬p
二、模态对当关系推理
矛盾关系推理：12个有效式 反对关系推理：6个有效式 下反对关系推理：6个有效式 差等关系推理： 12个有效式
习题
1.甲：明天必然下雨。 乙：明天可能不下雨。
第二天果然下雨。 甲：我说对了，你错了。 乙：你没有说对，我也没有说错。
今天不必然不下雨 ¬ L¬ p
4.模态对当关系
反对
Lp
L¬p
差 矛盾 差
等
等
Mp
M¬p
下反对
5.模态六角对当关系
Lp p
反对 矛盾
L¬p ¬p
Mp 下反对 M¬p
模态六角对当关系
1.矛盾关系：Lp与M¬p、L¬p与Mp、p与¬p 2.反对关系：Lp与L¬p、Lp与¬p、L¬p与p 3.下反对关系：Mp与M¬p、p与M¬p、
谁对谁错，为什么？ 2.下列推理形式中有效的是（ ）。 (1) M¬p┣ ┫¬Lp (2) p┣ ┫ L¬p (3) LP┣ ┫ P (4) ¬p┣ Mp (4) (5) Lp ┣ ¬p
三、规范模态命题及其推理
1.规范模态命题 ①广义模态和狭义模态 ②规范模态命题定义及种类
必须命题模态词：必须、应当、应该…… 命题形式：Op、O¬p（禁止p） 允许命题模态词：允许、可以、容许…… 命题形式：Pp、P¬p
④规范命题的真假问题
a.规范命题没有真值。 b.规范对当关系类似于真值对当关系。“真”
相当于“成立”，“假”相当于“不成立”。 c.真值对当关系：一命题真或假制约着另一命
题的真或假。 规范对当关系：一命题的成立或不成立制约 着另一命题的成立或不成立。
③规范对当关系
Op 反对 O ¬p （禁止p）