概率论期末复习试题三
概率论期末复习试题
复习试题第一章 概率的计算1、袋中有4个白球，7个黑球，从中任意取一个球．则取出白球的概率为114． 2、设A 、B 是随机事件，()7.0=A P ，()3.0=-B A P ，求()AB P ＝ ．3 假设()0.4,P A =()0.7P A B = ，若A 与B 互斥，则()________P B =； 4.已知0403().,().,P A P B ==06().P B A ⋃=。
则()P A B -= 0.3 .5、甲、乙两人相约8—12点在预定地点会面。
先到的人等候另一人30分钟后离去，则甲、乙两人能会面的概率为______15646.有两批同类型的产品各有12件和10件，在每一批产品中有一件次品，无意之中将第一批产品中（12件）的一件产品混入了第二批产品中，现在从第二批产品中随机抽取一件，问取出的产品为次品的概率是多少？7．在第一台机器上生产一级品零件的概率是0.4，二在第二台机器上生产一级品零件的概率是0.9．试求在第一台机器上生产两个零件，在第二台机器生产三个零件，所有零件全是一级品的概率？8、商店销售一批空调共10 台，其中有3台次品，但是已经售出两台。
试求从剩下的空调中，任取一台是正品的概率？9、有两批产品：第一批20件，其中有5件特级品：第二批12件，其中有2件特级品，现从第一批中任取2件混入第二批中，再从混合后的第二批中抽取2件.试求所抽2件都是特级品的概率。
第二章 随机变量及其概率分布1、设离散型随机变量X 的分布律为{},(1,2,,)(1)aP X k k N k k ===+ ，则a =__________1N N+ 2. 设随机变量X 的分布率为{}4a P X k ==，（1, 2, 3, 4k =），则常数a =__________.3.随机变量2(,)X N μσ ，随σ增大，概率{}P X μσ-<的值将会 不变 . 5已知离散型随机变量X 的分布律为:(0)0.2,(1)0.3,P X P X ====(2)0.3P X ==，(3)0.1,P X a ==+则a ＝ 0.1 ．6、设随机变量X 的分布率为求||1W X =-的分布律和分布函数．第三章 两个随机变量及其联合分布1. 设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从(0,1)N ，则{}P X Y ≤=______________________.2已知随机变量X 与Y 相互独立且都服从正态分布1(,)2N μ，如果1{1}2P X Y +≤=，则μ=12．已知01{}P XY ==，求（1）max(,)Z X Y =的分布律．（2）求1X 和2X 的联合分布律；（3）问1X 和2X 是否独立？并说明理由。
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设A、B为两个事件，且P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，则P(A∪B)等于（）A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7参考答案：D2. 设随机变量X的分布函数为F(x)，若F(x)是严格单调增加的，则X的数学期望（）A. 存在且大于0B. 存在且小于0C. 存在且等于0D. 不存在参考答案：A3. 设X～N(0,1)，以下哪个结论是正确的（）A. P(X<0) = 0.5B. P(X>0) = 0.5C. P(X=0) = 0.5D. P(X≠0) = 0.5参考答案：A4. 在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则连续n次试验成功的概率为（）A. p^nB. (1-p)^nC. npD. n(1-p)参考答案：A5. 设随机变量X～B(n,p)，则X的二阶矩E(X^2)等于（）A. np(1-p)B. npC. np^2D. n^2p^2参考答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设随机变量X～N(μ,σ^2)，则X的数学期望E(X) = _______。
参考答案：μ2. 若随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。
参考答案：f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))3. 设随机变量X、Y相互独立，且X～B(n,p)，Y～B(m,p)，则X+Y～_______。
参考答案：B(n+m,p)4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0，则X、Y的相关系数ρ = _______。
参考答案：ρ = 05. 设随机变量X～χ^2(n)，则X的期望E(X) = _______，方差Var(X) = _______。
参考答案：E(X) = n，Var(X) = 2n三、计算题（每题10分，共40分）1. 设随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，求X+Y的概率密度函数f(x)。
(完整word版)《概率论与数理统计》期末考试试题及答案
)B =________________.3个,恰好抽到),(8ak ==(24)P X -<= 乙企业生产的50件产品中有四、(本题12分)设二维随机向量(,)X Y 的联合分布律为\01210.10.20.120.10.2Y X a 试求: (1) a 的值; (2)X 与Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立?为什么?五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为(),01,2,12,0,.x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他 求()(),E X D X一、填空题(每小题3分,共30分) 1、ABC 或AB C 2、0.6 3、2156311C C C 或411或0.3636 4、1 5、136、2014131555kX p 7、1 8、(2,1)N -二、解 设12,A A 分别表示取出的产品为甲企业和乙企业生产,B 表示取出的零件为次品,则由已知有 1212606505121101(),(),(|),(|)1101111011605505P A P A P B A P B A ======== .................. 2分 (1)由全概率公式得112261511()()(|)()(|)1151155P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯= ............................................ 7分 (2)由贝叶斯公式得22251()()5115()1()115P A P B A P A B P B ⨯=== ................................................................................. 12分三、(本题12分)解 (1)由概率密度的性质知 340391()21224x f x dx kxdx dx k +∞-∞⎛⎫=+-=+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰故16k =. ..................................................................................................................................................... 3分 (2)当0x ≤时,()()0xF x f t dt -∞==⎰;当03x <<时, 2011()()612xxF x f t dt tdt x -∞===⎰⎰; 当34x ≤<时, 320311()()223624x x t F x f t dt tdt dt x x -∞⎛⎫==+-=-+- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰;当4x ≥时, 34031()()2162x t F x f t dt tdt dt -∞⎛⎫==+-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰;故X 的分布函数为220,01,0312()123,3441,4x x x F x x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩.......................................................................................... 9分(3) 77151411(1)22161248P X F F ⎧⎫⎛⎫<≤=-=-=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭....................................................................... 12分四、解 (1)由分布律的性质知 01.0.20.10.10.a +++++= 故0.3a = .................................................................................................................................................... 4分(2)(,)X Y 分别关于X 和Y 的边缘分布律为0120.40.30.3X p ........................................................................................................................ 6分120.40.6Y p .................................................................................................................................. 8分(3)由于{}0,10.1P X Y ===,{}{}010.40.40.16P X P Y ===⨯=,故 {}{}{}0,101P X Y P X P Y ==≠== 所以X 与Y 不相互独立. ............................................................................................................................ 12分 五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为(),01,2,12,0,.x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他求()(),E X D X .解 2131223201011()()d d (2)d 1.33x E X xf x x x x x x x x x +∞-∞⎡⎤⎡⎤==+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ ................................ 6分122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=⎰⎰⎰................................................................... 9分 221()()[()].6D XE X E X =-= ........................................................................................................ 12分一、填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = P( A ∪B) =2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ；3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： 没有任何人的生日在同一个月份的概率4、已知随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,020,2x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩, 则常数A= ,分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ；5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律： ；6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2Y X =的密度函数()Y y ϕ；3）(21)E X -；2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1）1/4,||,02,(,)0,y x x x y ϕ<<<⎧=⎨⎩其他求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ；2） 问X 与Y 是否独立？是否相关？计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ1、（10分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。
概率论期末复习题库答案
概率论期末复习题库答案一、选择题1. 某随机事件的概率为0.6，那么它的对立事件的概率为：A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 无法确定答案：A2. 假设事件A和事件B是互斥的，且P(A) = 0.3，P(B) = 0.2，那么P(A∪B)等于：A. 0.5B. 0.4C. 0.3D. 0.2答案：B3. 如果一个骰子连续投掷两次，求至少出现一次6的概率：A. 1/6B. 5/6C. 2/3D. 1/3答案：B二、填空题1. 随机变量X服从标准正态分布，那么P(X ≤ 0) = _______。
答案：0.52. 如果随机变量X的期望值为2，方差为4，那么P(X = 4) =_______。
答案：无法直接给出，需要更多信息3. 事件A发生的概率为0.3，事件B发生的概率为0.4，且P(A∩B) = 0.1，那么事件A和B是________。
答案：既不互斥也不独立三、简答题1. 什么是条件概率？请给出条件概率的公式。
答案：条件概率是指在已知一个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率的公式为：\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]其中，\( P(A|B) \) 是在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，\( P(A \cap B) \) 是事件A和事件B同时发生的概率，\( P(B) \) 是事件B发生的概率。
2. 什么是大数定律？请简要说明其含义。
答案：大数定律是概率论中的一个基本概念，它描述了随机事件在大量重复试验中表现出的稳定性。
具体来说，大数定律指出，随着试验次数的增加，随机事件的相对频率会越来越接近其真实概率。
四、计算题1. 假设有一个装有红球和蓝球的袋子，其中红球有5个，蓝球有3个。
如果从袋子中随机抽取一个球，求抽到红球的概率。
答案：抽到红球的概率 \( P(\text{红球}) \) 可以通过以下公式计算：\[ P(\text{红球}) = \frac{\text{红球的数量}}{\text{总球数}} = \frac{5}{5+3} = \frac{5}{8} \]2. 假设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求X=2的概率。
概率论期末必考题
P57，习题10
甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球，乙袋中有10只
01
白球，6只红球，9只黑球，现从两袋中各取一球，求两
球颜色相同的概率。
P 解：3 分 别1 求0 出 同7 取白 、6 红 、1 黑5 球 的概9率 ，2 再0 相7加即可
P(C) 1 P(A2B3) P(A3B2) P(A3B3) 10.20.7 0.70.20.70.7 0.23
P113，习题16
P ( A) P{3B} P{1G 2B} 1 3 1 1
8 8 2 抽查一个家庭，考察两个事件，：至多有一个女孩 ；：男女
孩子都有。假设男女的出生率都是50%。试证：对3个孩子之家
解 ： 依 题 意P ， 产(品A 通)过 验 收C 可 能5 1的 情C 况 为13：5C5 0C1450.751
C2 40
C2 40
N!
N
P( Ai
Aj )
(N 2)! N!
1 N(N
1)
,
i j
P( A1A2 A3...AN )
1 N!
P( A1 A2 ... AN )
C
1 N
1 N
C
2 N
N
(
1 N
1)
...
(1)
N
1
C
N N
1 N!
解则1“：至设12少有...一个(士1)兵N拿1 到N1自! 己的枪”的概率为：
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概率论与数理统计期末试题与详细解答
《概率论与数理统计》期末试卷一、填空题（每题4分，共20分）1、假设事件A 和B 满足1)(=A B P ，则A 和B 的关系是_______________。
2、设随机变量)(~λπX ，且{}{},21===X P X P 则{}==k X P _____________。
3、设X 服从参数为1的指数分布，则=)(2X E ___________。
4、设),1,0(~),2,0(~N Y N X 且X 与Y 相互独立，则~Y X Z -=___________。
5、),16,1(~),5,1(~N Y N X 且X 与Y 相互独立，令12--=Y X Z ，则=YZ ρ____。
二、选择题（每题4分，共20分）1、将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ）A 、323B 、83C 、161D 、812、随机变量X 和Y 的,0=XY ρ则下列结论不正确的是（ ） A 、)()()(Y D X D Y X D +=- B 、a X +与b Y -必相互独立 C 、X 与Y 可能服从二维均匀分布 D 、)()()(Y E X E XY E =3、样本nX X X ,,,21 来自总体X ，,)(,)(2σμ==X D X E 则有（ ）A 、2i X )1(n i ≤≤都是μ的无偏估计 B 、X 是μ的无偏估计C 、)1(2n i X i ≤≤是2σ的无偏估计D 、2X 是2σ的无偏估计 4、设nX X X ,,,21 来自正态总体),(2σμN 的样本，其中μ已知，2σ未知，则下列不是统计量的是（ ） A 、ini X ≤≤1min B 、μ-X C 、∑=ni iX 1σ D 、1X X n -5、在假设检验中，检验水平α的意义是（ ） A 、原假设0H 成立，经检验被拒绝的概率 B 、原假设0H 不成立，经检验被拒绝的概率 C 、原假设0H 成立，经检验不能拒绝的概率D 、原假设0H 不成立，经检验不能拒绝的概率三、计算题（共28分）1、已知离散型随机变量的分布律为求：X 的分布函数，（2）)(X D 。
某大学概率论与数理统计期末考试试题3详细解答
1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为解：3.0)(=+B A B A P 即)(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+=所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P .2、已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.（20分）解：设A =‘任取一产品，经检验认为是合格品’ B =‘任取一产品确是合格品’则（1） ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+0.90.950.10.020.857.=⨯+⨯= （2） ()0.90.95(|)0.9977()0.857P AB P B A P A ⨯===. 3、已知连续型随机变量X 的分布函数为),(,arctan )(∞-∞∈+=x x B A x F ，求（1）常数A 和B ，（2）)11(<<-X p ，（3）概率密度)(x f 。
（20分）4、已知随机变量),(Y X 的分布律为（20分）问：（1）当βα,为何值时，X 和Y 相互独立。
（2）求{}12>=Y X P 。
5、设随机变量X 服从)1,0(N 分布，求随机变量Xe Y =的概率密度函数。
（10分）6、向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X 和纵坐标Y 相互独立，且均服从2(0,2)N 分布. 求（1）命中环形区域22{(,)|12}D x y x y =≤+≤的概率；（2）命中点到目标中心距离Z =的数学期望.（20分）解： （1）{,)}(,)DP X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰2222288111248x y r De dxdy erdrd πθππ+--==⋅⎰⎰⎰⎰2221122888211()8r r red ee e ----=--=-=-⎰；（2）22818x y EZ E e dxdy π+-+∞-∞-∞==⎰⎰22228801184r r rerdrd e r dr πθπ--+∞+∞==⎰⎰⎰222888r r r reedr dr +∞---+∞+∞-∞=-+==⎰1、（10分）将3粒黄豆随机地放入4个杯子，求杯子中盛黄豆最多为一粒的概率八分之三（20分）设随机变量X 的概率密度为1,02,()0,.ax x f x +≤≤⎧=⎨⎩其它求（1）常数a ； （2）X 的分布函数()F x ； （3）(13).P X <<3、（10分）设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，求随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为)(y f Y2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______.答案：161-e解答：λλλλλ---==+==+==≤e X P e eX P X P X P 2)2(,)1()0()1(2由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22即 0122=--λλ 解得1=λ，故161)3(-==e X P3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案：04,()()0,.Y Y X y f y F y f <<'===⎩其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤==-因为~(0,2)X U，所以(0X F =，即()Y X F y F = 故04,()()0,.Y Y X y f y F y f <<'===⎩其它另解 在(0,2)上函数2y x =严格单调，反函数为()h y =所以04,()0,.Y X y f y f <<==⎩其它4． 设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________.答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=-解答：2(1)1(1)P X P X ee λ-->=-≤==，故 2λ={min(,)1}1{min(,)1}P X Y P X Y ≤=->1(1)(1)P X P Y =->> 41e -=-.5． 设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,0,10,)1()(x x x f θθ 1->θ.n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________.答案：1111ln ni i x n θ==-∑解答： 似然函数为111(,,;)(1)(1)(,,)nn n i n i L x x x x x θθθθθ==+=+∏1ln ln(1)ln nii L n xθθ==++∑1ln ln 01ni i d L nx d θθ==++∑解似然方程得θ的极大似然估计为1111ln ni i x n θ==-∑.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是 （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则AC 与B 也独立.（C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立.（D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立. （ ）答案：（D ）.解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）.事实上由图可见A 与C 不独立.2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为 （A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-.（C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ. （ ）答案：（A ）解答： ~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选（A ）.3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+.（C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =. （ ）解答：由不相关的等价条件知，0y x cov 0xy =⇒=），（ρ ()+2cov x y D X Y DX DY -=+（，） 应选（B ）.4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβ若,X Y 独立，则,αβ的值为（A ）21,99αβ==. （A ）12,99αβ==.（C ） 11,66αβ== （D ）51,1818αβ==. （ ）解答： 若,X Y 独立则有(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======1121()()()3939αβαα=+++=+ ∴29α=， 19β= 故应选（A ）.5．设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本，则下列结论中正确的是（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. （ ）答案：（A ） 解答：1EX μ=，所以1X 是μ的无偏估计，应选（A ）.三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02， 求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设A =‘任取一产品，经检验认为是合格品’ B =‘任取一产品确是合格品’则（1） ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+0.90.950.10.020.857.=⨯+⨯= （2） ()0.90.95(|)0.9977()0.857P AB P B A P A ⨯===.四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设X 为途中遇到红灯的次数， 求X 的分布列、分布函数、数学期望和方差.解：X 的概率分布为3323()()()0,1,2,3.55kkkP X k C k -===即01232754368125125125125XPX 的分布函数为0,0,27,01,12581(),12,125117,23,1251, 3.x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪≥⎪⎩263,55EX =⨯=231835525DX =⨯⨯=.五、（10分）设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤ 上服从均匀分布. 求（1）(,)X Y 关于X 的边缘概率密度；（2）Z X Y =+的分布函数与概率密度.（1）(,)X Y 的概率密度为2,(,)(,)0,.x y Df x y ∈⎧=⎨⎩其它22,01()(,)0,X x x f x f x y dy +∞-∞-≤≤⎧==⎨⎩⎰其它（2）利用公式()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞=-⎰其中2,01,01(,)0,x z x x f x z x ≤≤≤-≤-⎧-=⎨⎩其它2,01, 1.0,x x z ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它. 当 0z <或1z >时()0Z f z = 01z ≤≤时 00()222z zZ f z dx x z ===⎰故Z 的概率密度为2,01,()0,Z z z f z ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.Z 的分布函数为200,00,0,()()2,01,01,1, 1.1,1z z Z Z z z f z f y dy ydy z z z z z -∞<⎧<⎧⎪⎪⎪==≤≤=≤≤⎨⎨⎪⎪>⎩>⎪⎩⎰⎰或利用分布函数法10,0,()()()2,01,1, 1.Z D z F z P Z z P X Y z dxdy z z ⎧<⎪⎪=≤=+≤=≤≤⎨⎪⎪>⎩⎰⎰20,0,,01,1, 1.z z z z <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩2,01,()()0,Z Z z z f z F z ≤≤⎧'==⎨⎩其它.六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X 和纵坐标Y 相互独立，且均服从2(0,2)N 分布. 求（1）命中环形区域22{(,)|12}D x y x y =≤+≤的概率；（2）命中点到目标中心距离Z =的数学期望.1）{,)}(,)DP X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰2222288111248x y r De dxdy erdrd πθππ+--==⋅⎰⎰⎰⎰2221122888211()8r r red ee e ------=-=-⎰；（2）22818x y EZ E edxdy π+-+∞-∞-∞==⎰⎰22228801184r r rerdrd e r dr πθπ--+∞+∞==⎰⎰⎰222888r r rre e dr dr+∞---+∞+∞-∞=-+==⎰七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm）2~(,)X Nμσ，今抽取容量为16的样本，测得样本均值10x=，样本方差20.16s=. （1）求μ的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设2:0.1Hσ≤（显著性水平为0.05）.（附注）0.050.050.025(16) 1.746,(15) 1.753,(15) 2.132,t t t===2220.050.050.025(16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.χχχ===解：（1）μ的置信度为1α-下的置信区间为/2/2(((X t n X t nαα--+-0.02510,0.4,16,0.05,(15) 2.132X s n tα=====所以μ的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）（2）2:0.1Hσ≤的拒绝域为22(1)nαχχ≥-.221515 1.6240.1Sχ==⨯=，20.05(15)24.996χ=因为220.052424.996(15)χχ=<=，所以接受H.。
概率论期末试题及答案
概率论期末试题及答案在概率论的学习过程中，期末试题是评估学生对该学科知识理解和应用的重要方式。
本文将给出一份概率论的期末试题及答案，以供参考。
试题将按照适当的格式整理，确保排版整洁美观，语句通顺，全文表达流畅，同时符合阅读体验的要求。
试题一：概率基础1. 已知事件A发生的概率为0.4，事件B发生的概率为0.6，求事件A和事件B同时发生的概率。
2. 一桶中装有6个红色球和4个蓝色球，从中随机抽取2个球，求这2个球颜色相同的概率。
3. 掷一颗骰子，点数为1至6的概率各为1/6。
连续投掷两次，求两次投掷结果和为7的概率。
试题二：概率分布1. 某商品的销售量服从正态分布N(150, 25)，计算销售量在120至180之间的概率。
2. 某批产品的质量服从均匀分布U(60, 80)，求产品质量小于75的概率。
3. 甲、乙两个小组分别进行同一项任务，甲组平均完成时间为4小时，标准差为0.5小时；乙组平均完成时间为3.8小时，标准差为0.3小时。
求完成时间小于4.2小时的概率。
试题三：条件概率1. 假设事件A和事件B是相互独立的，已知P(A)=0.3，P(B)=0.4，求P(A|B)和P(B|A)。
2. 某城市的天气预报根据历史数据和气象模型给出，根据预报可以推测出降雨的概率。
已知天气预报准确率为80%，预报为有降雨的概率为30%，求实际发生降雨的概率。
3. 从一批产品中随机抽取一件进行检验，已知该批产品中次品率为5%，已检一件产品为次品，求该件产品来自次品批次的概率。
试题四：随机变量1. 设随机变量X服从指数分布Exp(λ)，已知λ=0.1，求P(X≥2)。
2. 设随机变量X服从均匀分布U(20, 40)，求X的期望值E(X)和方差Var(X)。
3. 设随机变量X服从正态分布N(60, 16)，求P(X>70)和P(50≤X≤80)。
试题五：大数定律和中心极限定理1. 设随机变量X服从参数为p的二项分布B(n,p)，当n=200，p=0.4时，根据大数定律，计算X的期望值E(X)和方差Var(X)。
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一、选择题1、袋中有红、黄、黑色球各一个，有放回的抽取三次，求“三次未抽到黑球”的 事件的概率（） Ａ、127 Ｂ、827 Ｃ、29 Ｄ、89答案：Ｂ111222111222A=C C C C C C 8P A ==.2727设“三次未抽到黑球”，基本总数为，所以（）2、设Ｐ（ＡＢ）＝０，则（）。
Ａ、Ａ和Ｂ不相容 Ｂ、P （Ａ－B ）=P （Ａ） Ｃ、P （A ）=0或P （B ）=0 D 、Ａ和Ｂ独立 答案：B由概率的性质知：若Ｐ（ＡＢ）＝０，则Ｐ（Ａ－Ｂ）＝Ｐ（Ａ）－Ｐ（ＡＢ） ＝Ｐ（Ａ）－０＝Ｐ（Ａ）．3X -1357C 2c 4c 8c 16c 1637178A B CD 3716817、已知随机变量只能取1,0,1,2四个值，相应的概率依次为，，，，则常数等于（）、、、、答案：135737=1=12c 4c 8c 16c 16c37c=16+++由概率的性质知：，即，解得：X F x =A+Barctanx -11A B C 1 D 02x π∞<<+∞4、设随机变量的分布函数为（）（），则系数A 为（）、、、、答案：BF -=F +=A+B -=112{A=B=2A+B =2πππ∞∞⇒由于（）0，（）1，可知（）0，（）15、设（X ，Y ）的分布律为X Y1 2 31 1/6 1/9 1/18 21/3 a 1/9则a 为（）A 1２１２、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ、９３３答案：B∑ｉｊｉ，ｊ由分布律的性质ｐ＝１，可知１１１１１２＋＋＋＋ａ＋＝１，解得ａ＝６９１８３９９2222π≤6、设随机变量（Ｘ，Ｙ）服从二维正态分布Ｎ（0,0,１0，１0，0），其概率密度为ｘ＋ｙ－１200f （ｘ，ｙ）＝ｅ，200则Ｐ｛ＸＹ｝为（）１Ａ、１ Ｂ、２Ｃ、０ Ｄ、－１答案：B.≤≤≤由于Ｐ｛ＸＹ｝＋Ｐ｛Ｘ＞Ｙ｝＝１，且由正态分布图形的对称性，知Ｐ｛ＸＹ｝＝Ｐ｛Ｘ＞Ｙ｝，１故Ｐ｛ＸＹ｝＝２7X Y (y 5)e ,52,01(x){(y)={120,0,E XY A B C D y x x f f -->≤≤=、设和相互独立，概率密度分别为，，其它其它则（）为（）。
、1 、4 、2 、3答案：B1(y 5)0510E(XY)=E X E Y =x *22*6 4.3z=y-5E(XY)=E X E Y =x *2*E z+2=*+ 4.3xdx ye dyxdx +∞--===⎰⎰⎰方法一: 由独立性。
（）*（）方法二：令，则（）*（）（5）（15）8、下列命题中错误的是（） （A ）若X~P(λ),则E(X)=D(X)=λ;（B ）若X 服从参数为λ的指数分布，则1(X)(X)E D λ==；（C ）若X~B(1，θ),则E(X)=θ,D(X)=θ(1-θ);（D ）若X 服从区间[a,b]上的均匀分布，则222a ab b (X )3E ++=。
答案：（B ）2(X)D(X)=E λλ=，2+2X D i λλλ∑∑∑9、已知总体Ｘ服从［0，］上的均匀分布（未知），Ｘ，Ｘ，．．．，Ｘ为Ｘ的样本，则（）．１２ｎｎ１（Ａ）Ｘ－是一个统计量；ｉｎｉ＝１（Ｂ）ＸＸ是一个统计量；１２ｎ１（Ｃ）Ｘ－Ｅ（Ｘ）是一个统计量；ｉｎｉ＝１ｎ１（Ｄ）－（Ｘ）是一个统计量ｎｉ＝１答案：（Ｂ）样本的任一不含总体分布未知参数的函数称为该样本的统计量。
2a,1221,2221111-a 1,2a 2,110a z (n),t (n),F n n a A z (n)z (n);(B)(n)(n);1(C)t (n)t (n D F n F n a a a a a a a a a χχχχ---=-=-=-、对于给定的正数（0<a<1）,设（,n ）分别是标准正态分布，（）,t(n),F(n n )分布的上分位点，则下面结论中不正确的是（）（） ）； （）（n ）=（n ）答案：（Ｂ）二、填空题1AB C AC 、化简（）（），结果为：_________答案：AB C AC =AB(B )A(B)C AC ABC AC ABC ACA C C C ====（）（）（）111,(B |A),(A |B),P(A)=432P P B ==2、已知P(A)=则______答案：111P(AB)=P(A)P(B|A)=*4312(AB)P(B)P(A |B),(AB)1/121P(B)(A |B)1/261111(A)P(A)P(B)(AB)46123P P P P B P ======+-=+-=由于，又所以，于是3X 2(x 3)-14f x =e -2Y=~N x π+∞<<+∞⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽、设随机变量的概率密度为（） （）则（0,1）.答案：3X 2=-3= 2.X-Y=~N 3XY=~N 2σσ+μμ+由正态分布的概率密度知，,又（0,1），所以（0,1）.4X 0x<0F x ={sin ,0x /2,1,/2A=P{|X|</6}=.A x x πππ≤≤>⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽、设随机变量的分布函数为， （） 则，答案：11;2F x F =F A=22F x x=P{X=}=066P{|X|<}=P{-<x<}=P{-<x }666661=F()-F(-)=.662πππππππππππ⇒≤由分布函数（）的有连续性，有（+0）（） 1.因（）在处连续，故，于是有：5.若（X,Y ）的分布律如图所示，则a ，b 应满足的条件是________，若X 与Y 独立，则a=_____________，b=____________. Y X1 2 3 1 1/6 1/9 1/18 21/3 a b答案：i j 121a ;;.39911111,a+b=1691831a+b=3ij b p +==++++∑，由分布律的性质知即，则。
又因Ｘ与Ｙ相互独立，即Ｐ｛Ｘ＝ｉ，Ｙ＝ｊ｝＝Ｐ｛Ｘ＝ｉ｝Ｐ｛Ｙ＝ｊ｝，则ａ＝Ｐ｛Ｘ＝２，Ｙ＝２｝＝Ｐ｛Ｘ＝２｝Ｐ｛Ｙ＝２｝１１１１１２ ＝（＋ａ）（＋ａ＋ｂ）＝（＋ａ）（＋）＝，９３９３３９ｂ＝Ｐ｛Ｘ＝３，Ｙ＝２｝＝Ｐ｛Ｘ＝３｝Ｐ｛Ｙ＝２｝１１ ＝（＋ｂ）（＋ａ＋ｂ） １８３解得：１ｂ＝９______６、设二维随机变量（Ｘ，Ｙ）的概率密度函数为：－（２ｘ＋ｙ）ｃｅ， ｘ＞０，ｙ＞０ｆ（ｘ，ｙ）＝｛，０， 其它 则常数ｃ＝．答案：∞∞∞∞∞∞∞⎰⎰⎰⎰＋＋－－＋＋－（２ｘ＋ｙ）－２ｘ＋０００ｃ＝２由ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝１求常数ｃ，即１ｃｅｄｘｄｙ＝ｃ＊（－ｅ）｜２ｃ ＝＝１，得ｃ＝２.２22XY 17X~N Y~N =,2Z ρ-⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽、已知（1,3），（0,4），相关系数ＸＹ设Ｚ＝＋，则的数学期望为。
３２答案：13X Y 111E Z =E(+)=E X (Y)32323E =（）（）+12n 8X X a {X }a n ⎽⎽⎽⎽⎽⎽、设，，...,X 为随机变量序列，为常数，则依概率收敛于是指.答案：0,lim {|}P n εε∀>≥→∞Ｘ－ａ｜＝０ｎ 9、A 、B 二个事件互不相容，1.0)(,8.0)(==B P A P ，则=-)(B A P ． 答案： A 、B 互不相容，则P (AB )=0，P (A –B )=P (A )–P (AB )=0.810、对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为7.0,5.0,4.0，则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为 ．答案： 设A 、B 、C 分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”，则三次射击中恰有一次击中目标可表示为C B A C B A C B A ++，即有P (C B A C B A C B A ++)=P (A ))()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P ++=0.36三、解答题1、甲、乙、丙3人同向一飞机射击，设击中飞机的概率分别是0.4，0.5，0.7。
如果只有1人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.2；如果有2人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.6；如果是3人击中飞机，则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率。
解：123i 1123123123123123123123212,,i i==A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A 设分别表示甲、乙、丙击中飞机，B 表示有个人击中飞机（1,2,3），则P(B )=P()+P()+P()P()P()P()+P()P()P()+P()P()P() =0.4*0.5*0.3+0.6*0.5*0.3+0.6*0.5*0.7 =0.36P(B )=P(31231231231231233123123B=A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A )+P()+P()=P()P()P()+P()P()P()+P()P()P() =0.4*0.5*0.3+0.4*0.5*0.7+0.6*0.5*0.7=0.41P(B )=P()=P()+P()+P() =0.4*0.5*0.7=0.14设“飞机被击落”，由全112233P(B)=P(B )P(B|B )P(B )P(B|B )P(B )P(B|B ) =0.36*0.2+0.41*0.6+0.14*1=0.458++概率公式，有2、甲、乙两人先后从52张牌中各抽取13张，求甲或乙拿到4张A 的概率。
（1）甲抽后不放回，乙再抽； （2）甲抽后将牌放回，乙再抽。
解：假设A={甲拿到4张A}，B={乙拿到4张A}，所求为P （A B ）（1）由于是不放回抽样，故A 、B 互斥。
91399484835481313131352523952C 2P A B =P A +P B =C C C C C C C +=（）（）（）(2)由于是有放回抽样，故A 、B 相容。
9999999484848484848481313131313131352525252525252C C 2C P AB =P A +P B P A B =C C C C C C C C C C C +-=-（）（）（）-（） 3、设随机变量X 的分布律为X -2 -1 0 1 3 Pi1/5 1/6 1/5 1/15 11/30试求Y=X 2的分布律。
解：由题意知Pi 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 X -2 -1 0 1 3 X 24 1 0 1 9所以X 2 0 1 4 9 Pi1/5 7/30 1/5 11/300,04X f (x){232,0Y=X+x x x x e x <=-≥ 、设随机变量的密度为， 求23的密度函数解：31'Y=2X+323,,,220,3f (y){32()332(),32y y x x x y Y y y e y -=+==<=---≥由，有则由概率密度求解定理即得5、在一箱子中装有12只开关，其中2只次品。