概率论期末复习知识点

知识点第一章 随机事件与概率本章重点：随机事件的概率计算． 1．**事件的关系及运算 (1) (或)．(2) 和事件： ；（简记为）．(3) 积事件： ，（简记为或)．(4) 互不相容：若事件A 和B 不能同时发生，即 (5) 对立事件： ．(6) 差事件：若事件A 发生且事件B 不发生，记作(或) ．(7) 德摩根（De Morgan ）法则：对任意事件A 和B 有, .2． **古典概率的定义 古典概型：．几何概率·3．**概率的性质 (1) ．(2) (有限可加性) 设n 个事件两两互不相容，则有．(3)．(4) 若事件A ，B 满足，则有A B ⊂B A ⊃A B ⋃12n A A A ⋃⋃⋃1nii A =AB 12nA A A ⋂⋂⋂12nA A A 1nii A =AB φ=A A B -AB A B A B ⋃=⋂A B A B ⋂=⋂()A n A P A n ==Ω中所含样本点的个数中所含样本点的个数()A P A =的长度（或面积、体积）样本空间的的长度（或面积、体积）()0P φ=1,2,,nA A A 121()()nn i i P A A A P A =⋃⋃⋃=∑()1()P A P A =-A B ⊂,．(5) ．(6) (加法公式) 对于任意两个事件A ，B ，有.对于任意n 个事件，有.4．**条件概率与乘法公式.乘法公式：.5．*随机事件的相互独立性事件A 与B 相互独立的充分必要条件一：，事件A 与B 相互独立的充分必要条件二：．对于任意n 个事件相互独立性定义如下：对任意一个，任意的，若事件总满足，则称事件相互独立．这里实际上包含了个等式．6．*贝努里概型与二项概率设在每次试验中，随机事件Ａ发生的概率，则在n 次重复独立试验中．，事件Ａ恰发生次的概率为，7．**全概率公式与贝叶斯公式 贝叶斯公式：()()()P B A P B P A -=-()()P A P B ≤()1P A ≤()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-1,2,,nA A A 111111()()()()(1)()nnn i i i j i j k n i i j ni j k ni P A P A P A A P A A A P A A -=≤<≤≤<<≤==-+-+-∑∑∑()(|)()P AB P A B P B =()()(|)()(|)P AB P A P B A P B P A B ==()()()P AB P A P B =(|)()P A B P A =1,2,,n A A A 2,,k n =11k i i n≤<<≤1,2,,nA A A 11()()()k k i i i i P A A P A P A =1,2,,nA A A 21nn --()(01)P A p p =<<k ()(1),0,1,,kn k n n P k p p k nk -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭如果事件两两互不相容，且，，，则．第二章 一维随机变量及其分布本章重点：离散型和连续性随机变量的分布及其概率计算．概率论主要研究随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布． 1．**离散型随机变量及其分布律分布律也可用下列表格形式表示：2．*概率函数的性质 (1)，(2)．3．*常用离散型随机变量的分布 (1) 0—1分布，它的概率函数为，其中，或1，．(2) 二项分布，它的概率函数为，其中，，．(４)** 泊松分布，它的概率函数为1,2,,nA A A 1ni i A ==Ω()0i P A >1,2,,i n =1()(|)(|),1,2,,()(|)k k k niii P A P B A P A B k nP A P B A ===∑(),1,2,,,.i i p P X a i n ===n a np 0i p ≥1,2,,,;i n =11ii p∞==∑(1,)B p 1()(1)i i P X i p p -==-0i =01p <<(,)B n p ()(1)in in P X i p p i -⎛⎫==- ⎪⎝⎭0,1,2,,i n =01p <<()P λ，其中，，．．4．*二维离散型随机变量及联合概率二维离散型随机变量的分布可用下列联合概率函数来表示：其中，．5．*二维离散型随机变量的边缘概率 设为二维离散型随机变量，为其联合概率（），称概率为随机变量的边缘分布律，记为并有，称概率为随机变量Y 的边缘分布率，记为，并有=.6．随机变量的相互独立性 ．设为二维离散型随机变量，与相互独立的充分必要条件为多维随机变量的相互独立性可类似定义．即多维离散型随机变量的独立性有与二维相应的结论．7．*随机变量函数的分布设是一个随机变量，是一个已知函数，是随机变量的函数，它也是一个随机变量．对离散型随机变量，下面来求这个新的随机变量的分布．设离散型随机变量的概率函数为则随机变量函数的概率函数可由下表求得()!iP X i e i λλ-==0,1,2,,,i n =0λ>(,)X Y (,),,1,2,,i j ij P X a Y b p i j ====0,,1,2,,1ij ijijp i j p≥==∑∑(,)X Y ijp ,1,2,i j =()(1,2,)i P X a i ==X ip .(),1,2,i i ij jp P X a p i ====∑()(1,2,)j P Y b j ==.jp .jp (),1,2,j ij iP Y b p j ===∑(,)X Y X Y ,,1,2,.ij i j p p p i j ==对一切X ()g x ()Y g X =X X Y X n a np Y g =但要注意，若的值中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，同时把对应的概率相加．第三章 连续型随机变量及其分布本章重点：一维及二维随机变量的分布及其概率计算,边缘分布和独立性计算． 1．*分布函数随机变量的分布可以用其分布函数来表示，．2．分布函数的性质 (1) (2);由已知随机变量的分布函数，可算得落在任意区间内的概率 ．3．联合分布函数二维随机变量的联合分布函数． 4．联合分布函数的性质 (1) ；(2)，；(3)．5．**连续型随机变量及其概率密度设随机变量的分布函数为，如果存在一个非负函数，使得对于任一实数，有()n g a ()i g a ip ()F x 0()1;F x ≤≤()0,()1lim lim x x F x F x →-∞→+∞==X ()F x X (,]a b (,)X Y 0(,)1F x y ≤≤(,)0,(,)0lim lim x y F x y F x y →-∞→-∞==(,)0,(,)1lim lim x x y y F x y F x y →-∞→+∞→-∞→+∞==121222211211(,)(,)(,)(,)(,)P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=--+X ()F x ()f x x ()()F x P X x =<()()()P a X b F b F a ≤<=-(,)(,)F x y P X x Y x =<<成立，则称X 为连续型随机变量，函数称为连续型随机变量的概率密度． 6．**概率密度及连续型随机变量的性质 （１） （２）；（３）；（4）设为连续型随机变量，则对任意一个实数c ，； (5) 设是连续型随机变量的概率密度，则有＝．7．**常用的连续型随机变量的分布 (1) 均匀分布，它的概率密度为其中，．(2) 指数分布，它的概率密度为其中，． (3) 正态分布，它的概率密度为，其中，，当时，称为标准正态分布，它的概率密度为，标准正态分布的分布函数记作，即()()xF x f x dx-∞=⎰()f x X ()f x ()0;f x ≥()1f x dx +∞-∞=⎰()()F x f x '=X ()0P X c ==()f x X ()()()()P a X b P a X b P a X b P a X b <<=≤<=≤≤=<≤()baf x dx⎰(,)R a b 1,;()0,a x b f x b a⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其余.)a b -∞<<<+∞()E λ,0;()0,x e x f x λλ-⎧>=⎨⎩其余.0λ>2(,)N μσ22()2(),x f x x μσ--=-∞<<+∞,0μσ-∞<<+∞>0,1μσ==(0,1)N 22(),x f x x -=-∞<<+∞()x Φ，当出时，可查表得到；当时，可由下面性质得到．设，则有；．８．**二维连续型随机变量及联合概率密度对于二维随机变量(X ，Y)的分布函数，如果存在一个二元非负函数，使得对于任意一对实数有成立，则为二维连续型随机变量，为二维连续型随机变量的联合概率密度． ９．**二维连续型随机变量及联合概率密度的性质 (1) ；(2)；’(3) 在的连续点处有;(4) 设为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域有．1０，**二维连续型随机变量的边缘概率密度设为二维连续型随机变量的联合概率密度，则的边缘概率密度为；的边缘概率密度为22()t xx dt -Φ=⎰0x ≥()x Φ0x <()x Φ()1()x x Φ-=-Φ2~(,)X N μσ()()x F x μσ-=Φ()()()b a P a X b μμσσ--<≤=Φ-Φ(,)F x y (,)f x y (,)x y (,)(,)xyF x y f s t dtds-∞-∞=⎰⎰(,)X Y (,)f x y (,)0,,f x y x y ≥-∞<<+∞(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰(,)f x y 2(,)(,)F x y f x y x y∂=∂∂(,)X Y D ((,))(,)DP X Y D f x y dxdy∈=⎰⎰(,)X Y (,)f x y X ()(,)X f x f x y dy+∞-∞=⎰Y．11．常用的二维连续型随机变量 (1) 均匀分布如果在二维平面上某个区域G 上服从均匀分布，则它的联合概率密度为(2) 二维正态分布如果的联合概率密度则称服从二维正态分布，并记为.如果，则，，即二维正态分布的边缘分布还是正态分布． 12．**随机变量的相互独立性 ．，那么，称随机变量与相互独立．设为二维连续型随机变量，则与相互独立的充分必要条件为如果．那么，与相互独立的充分必要条件是．第四章 随机变量的数字特征本章重点：随机变量的期望。