高中数学必修1_人教A版_第一章_1-1

描述：例题：描述：高中数学必修1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第一章 集合与函数概念 1.1 集合一、学习任务1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．2. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集（不要求证明集合的相等关系、包含关系）；了解全集与空集的含义．3. 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解给定集合的一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；会用 图表示集合的关系及运算．二、知识清单集合的概念 集合中元素的性质 元素和集合的关系空集的概念常见的数集及其记法 集合的分类集合的表示法包含关系、子集与真子集 集合相等n元集合的子集个数 交、并、补集运算 集合基本运算的维恩图示三、知识讲解1.集合的概念一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（set）（或集）．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（element）．集合通常用英语大写字母 ，，， 来表示，它们的元素通常用英语小写字母 ， ，， 来表示．2.集合中元素的性质集合中元素的性质包括：集合中元素的确定性Venn A B C ⋯a b c ⋯判断下面的语句能否确定一个集合，能构成集合的，写出其中的元素．（1）小于 的所有正偶数；（2）方程 的实数解．解：（1）能构成集合，其中的元素有 ，，，；（2）能构成集合，其中的元素有 ，．10−1=0x 22468−11描述：例题：描述：例题：子集对于两个集合 ， ，如果集合 中任意一元素都是集合 中的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合 为集合 的子集（subset），记作 （或 ），读作“ 包含于 ”（或“ 包含 ”）．我们规定： 空集是任何集合的子集．也就是说，对任意集合 ，都有 ．真子集如果集合 是集合 的子集，并且存在集合 中的元素 满足 ，称集合 是集合 的真子集（proper subset），记作 （或 ）．维恩图我们常用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合．用这种图形可以形象地表示出集合之间的关系，这种图形通常叫做维恩（Venn）图．9.集合相等如果集合 是集合 的子集，并且集合 是集合的子集，此时集合 与集合 中的元素是一样的，因此集合 与集合 相等，记作 ．A B A B A B A ⊆B B ⊇A A B B AA ∅⊆A AB B x x ∉A A B A ⫋B B ⫌A 写出集合 分别有哪些子集，哪些真子集？解： 的子集有：，，，，，，，．的真子集有：，，，，，，．{a ,b ,c }{a ,b ,c }∅{a }{b }{c }{a ,b }{a ,c }{b ,c }{a ,b ,c }{a ,b ,c }∅{a }{b }{c }{a ,b }{a ,c }{b ,c }已知 ，，，且 ，求实数 的取值范围．解：由题意可知 ．因为 且 ，所以方程 有根且根是集合 中的元素．①当 时， ，所以 ．当 时，，符合题意．当 时，，这时 不是 的子集，不符合题意．②当 时，方程 有两个不相等的根，由 知， 和 是方程的两个根，由韦达定理，得 ，所以 ．这时 ，符合题设条件 ，且 ．由①②可得 或 ．A ={x | −2x −8=0}x 2B ={x | +ax +−12=0}x 2a 2B ⊆A B ≠∅a A ={4,−2}B ⊆A B ≠∅+ax +−12=0x 2a 2A Δ=0Δ=−4(−12)=−3+48=0a 2a 2a 2a =±4a =4B ={x | +4x +4=0}={−2}x 2a =−4B ={x | −4x +4=0}={2}x 2B A Δ>0+ax +−12=0x 2a 2B ⊆A −424+(−2)=−a a =−2B ={x | −2x −8=0}={4,−2}x 2B ⊆A B ≠∅a =4a =−2A B B A A B A B A =B 已知集合 ， ，若 ，求 的值．解：因为 ， ， ，所以 ，解得 或 ．当 时，集合 ， ， ，满足题意；当 时，不满足题意，舍去．综上所述， ．P ={1,a −1,2}Q ={−2a +2,1,a −1}a 2P =Q a P ={1,a −1,2}Q ={−2a +2,1,a −1}a 2P =Q −2a +2=2a 2a =0a =2a =0P ={1,−1,2}Q ={2,1,−1}P =Q a =2a =0集合 ， ，试证明 ．证明：设 ，则 ，且 ．X ={x | x =2n +1,n ∈Z }Y ={y | y =4k ±1,k ∈Z }X =Y ∈X x 0=2+1x 0n 0∈Z n 0描述：例题：描述：例题：10.n元集合的子集个数如果一个集合含有 个元素，那么我们称它为 元集合，一个 元集合的子集个数为 ，真子集个数为 ．特别地，空集有 个子集，有 个真子集．11.交、并、补集运算并集一般地，由属于集合 或者属于集合 的所有元素组成的集合，称为 与 的并集（union set），记作 （读作“ 并 ”'），即．交集一般地，由属于集合 并且属于集合 的所有元素组成的集合，称为 与 的交集（intersection set），记作 （读作“ 交 ”'），即．补集一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有对象，那么就称这个集合为全集（universe set），通常记为 ．对于一个集合 ，由全集 中不属于集合 的所有元素组成的集合称为集合 相对于全集 的补集（complementary set），简称为集合 的补集（补），记作 ．证明：设 ，则 ，且 ．①若 是偶数，可设 ，且 ，则 ，所以 ；②若 是奇数，可设 ， ，则 ，所以 ．所以不论 是奇数还是偶数，都有 ，所以 ．又设 或 ， ．所以 ， ， ，又因为 ， ，所以 ，所以 ．综上所述 ．∈X x 0=2+1x 0n 0∈Z n 0n 0=2m n 0m ∈Z =4m +1x 0∈Y x 0n 0=2m −1n 0m ∈Z =2(2m −1)+1=4m −1x 0∈Y x 0n 0∈Y x 0X ⊆Y =4+1y 0k 0=4−1y 0k 0∈Z k 0=4+1=2⋅(2)+1y 0k 0k 0=4−1=2(2−1)+1y 0k 0k 0∈Z k 02∈Z k 02−1∈Z k 0∈X y 0Y ⊆X X =Y n (n ∈N )n n 2n −12n 10集合 的子集个数是（ ）A． B． C． D．解：AM ={1,2,3,4,5}32311615集合 的真子集的个数是（ ）A． B． C． D．解：C集合 中有三个元素 ，， ，则其真子集的个数为 ．A ={x |−1<x <3,x ∈N }3478A 012−1=723求满足条件 的集合 的个数．解： 共 个： ，，，，，， ．{1,2}⊆A ⫋{1,2,3,4,5}A 7{1,2}{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}A B A BA ∪B A B A ∪B ={x x ∈A ,或x ∈B }∣A B A B A ∩B A B A ∩B ={x x ∈A ,且x ∈B }∣U A U A A U A A ∁U 已知全集 ，集合 ，，则 为（ ）A． B． C． D．U ={0,1,2,3,4}A ={1,2,3}B ={2,4}(A )∪B ∁U {1,2,4}{2,3,4}{0,2,4}{0,2,3,4}A ={0,4}∁(A )∪B ={0,2,4}∁描述：例题：12.集合基本运算的维恩图示集合的交集、并集、补集运算可以借助韦恩图来表示运算对象与运算结果，这种表示方法称为集合基本运算的韦恩图示（Venn图）．解：，，所以．{1,2,4}{2,3,4}{0,2,4}{0,2,3,4}A ={0,4}∁UB ={2,4}(A )∪B ={0,2,4}∁U 集合 ， ，则 （ ）A． B． C． D．解：B因为 ， ，所以 ．P ={x ∈Z | 0≤x <3}M ={x ∈R | ≤9}x 2P ∩M ={1，2}{0，1，2}{x | 0≤x <3}{x | 0≤x ≤3}P ={0,1,2}M ={−3≤x ≤3}P ∩M ={0,1,2}已知集合 ，集合 ．（1）求当 时， ， ；（2）若 ，求实数 的取值范围．解：（1）当 时， ，所以 ，．（2）由 得 ，则有 解得 即 ，所以，实数 的取值范围为 ．A ={x | −3≤x ≤2}B ={x | 1−m <x <3m −1}m =3A ∩B A ∪B A ∪B =A m m =3B ={x | −2<x <8}A ∩B ={x |−2<x ≤2}A ∪B ={x | −3≤x <8}A ∩B =A A ⊆B {1−m <−3,3m −1>2,{m >4,m >1,m >4m m >4下列表示图形中阴影部分的是（ ）A． B． C．D．解：A．(A ∪C )∩(B ∪C )(A ∪B )∩(A ∪C )(A ∪B )∩(B ∪C )(A ∪B )∩C高一（2）班共有 名同学，参加物理竞赛的同学有 名，参加数学竞赛的同学有 名，且已知有 名同学两科竞赛都没有参加，问：只参加数学竞赛而不参加物理竞赛的同学有多少名？解：设参加物理竞赛的同学组成集合 ，参加数学竞赛的同学组成集合 ，并设两科竞赛都参加的同学组成的集合 中有 个元素，则各部分人数分布如图，则，解得 ，所以 ，即只参加数学竞赛而不参加物理竞赛的同学有 名．5036395A B A ∩B x (36−x )+x +(39−x )+5=50x =3039−x =99U M。