2019年数学人教A版选修2-3优化练习：第2章 章末检测 Word版含解析
数学人教A版选修2-3优化练习第二章 章末检测 Word版含解析
章末检测时间：分钟满分：分一、选择题(本大题共个小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．袋中装有大小相同的只球，上面分别标有，在有放回的条件下依次取出两球，设两球号码之和为随机变量，则所有可能值的个数是 ( )．．．．解析：“有放回”的取和“不放回”的取是不同的，故的所有可能取值有、、、、、、、、共种．答案：．某产品有件，其中有次品件，现从中任取件，则其中至少有一件次品的概率约是( )．．．．解析：＝－≈，故选.答案：．已知离散型随机变量的分布列如下：则其数学期望()等于( )．．．＋．解析：由分布列的性质得＝－－＝，所以()＝×＋×＋×＝.答案：．已知甲投球命中的概率是，乙投球命中的概率是，假设他们投球命中与否相互之间没有影响．如果甲、乙各投球次，则恰有人投球命中的概率为( )解析：记“甲投球次命中”为事件，“乙投球次命中”为事件.根据互斥事件的概率公式和相互独立事件的概率公式，所求的概率为＝()＋()＝()()＋()()＝×＋×＝.答案：．设随机变量ξ～()，又η＝ξ，则(η)和(η)分别为( )和和和和解析：因为随机变量ξ～()，所以(ξ)＝×＝.(ξ)＝××＝，又∵η＝ξ，∴(η)＝(ξ)＝，(η)＝(ξ)＝.答案：．已知离散型随机变量等可能取值，…，，若(≤≤)＝，则的值为( )．．．．解析：由已知的分布列为(＝)＝，＝，…，，所以(≤≤)＝(＝)＋(＝)＋(＝)＝＝，＝.答案：．已知，为随机变量，且＝＋，若()＝，()＝，则，可能的值分别为( )．．．．解析：由()＝(＋)＝()＋＝＋＝，把选项代入验证，可知选项满足．答案：．从中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数之和为偶数”，事件为“取到的两数均为偶数”，()＝( )解析：∵()＝＝，()＝＝，∴()＝＝.答案：．已知随机变量～(，σ)．若(>)＝，则(≤≤)＝( )．．．．解析：因为随机变量～(，σ)，所以正态曲线关于直线＝对称．又(>)＝，所以(≤≤)＝－(>)＝－＝.答案：．盒中有只相同形状的螺丝钉，其中有只是坏的，现从盒中随机地抽取个，那么概率是的事件为( )．恰有只是坏的．只全是好的．恰有只是好的．至多只是坏的解析：设ξ＝表示取出的螺丝钉恰有只为好的，则(ξ＝)＝(＝)，∴(ξ＝)＝，(ξ＝)＝，(ξ＝)＝，(ξ＝)＝.故选.答案：．设样本数据，，…，的均值和方差分别为和，若＝＋(为非零常数，＝，…，)，则，，。
高中数学人教A版选修2-2优化练习：第二章 章末优化总结 Word版含解析
章末检测(二)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．根据偶函数定义可推得“函数f (x )＝x 2在R 上是偶函数”的推理过程是( ) A ．归纳推理 B ．类比推理 C ．演绎推理D ．非以上答案解析：根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C. 答案：C2．下面四个推理不是合情推理的是( ) A ．由圆的性质类比推出球的有关性质B ．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C ．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D ．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的解析：A 是类比推理，B 、D 是归纳推理，C 不是合情推理． 答案：C3．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以a 2>0”，你认为这个推理( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．是正确的解析：这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a 是实数”，结论是“a 2>0”．显然结论错误，原因是大前提错误．答案：A4．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (6)>52，f (8)>3，f (10)>72，观察上述结果，可推测出一般结论为( )A ．f (2n )＝n ＋22B ．f (2n )>n ＋22C ．f (2n )≥n ＋22D ．f (n )>n2解析：观察所给不等式，不等式左边是f (2n )，右边是n ＋22，故选B.答案：B5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，…，可归纳猜想出S n 的表达式为( )A.2n n ＋1B.3n －1n ＋1C.2n ＋1n ＋2D.2n n ＋2解析：由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2，∴a 2＝13，S 2＝43；又1＋13＋a 3＝32a 3，∴a 3＝16，S 3＝32＝64；又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85；……由S 1＝22＝2×11＋1，S 2＝43＝2×22＋1，S 3＝64＝2×33＋1，S 4＝85＝2×44＋1，…，可以猜想S n ＝2nn ＋1.答案：A6．如果两个数之和为正数，则这两个数( ) A ．一个是正数，一个是负数 B ．两个都是正数 C ．至少有一个是正数 D ．两个都是负数解析：这两个数中至少有一个数是正数，否则，若这两个数都不是正数，则它们的和一定是非正数，这与“两个数之和为正数”相矛盾．答案：C7．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n －1＝2⎝⎛⎭⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立解析：因为假设n ＝k (k ≥2为偶数)，故下一个偶数为k ＋2，故选B. 答案：B8．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n 2(n 2＋1)3时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k －1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D.13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] 解析：当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2…＋22＋12，当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边应添加的式子为(k ＋1)2＋k 2. 答案：B9.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋1解析：如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则F (－c,0)，B (0，b )，A (a,0)．∴FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )． 又∵FB →⊥AB →，∴FB →·AB →＝b 2－ac ＝0. ∴c 2－a 2－ac ＝0.∴e 2－e －1＝0.∴e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故应选A.答案：A10．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式左边的变化情况为( )A ．增加12(k ＋1)B ．增加12k ＋1＋12(k ＋1)C ．增加1(k ＋1)＋(k ＋1)，减少1k ＋1D ．增加12(k ＋1)，减少1k ＋1解析：当n ＝k 时，不等式的左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ，当n ＝k ＋1时，不等式的左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)，所以1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)－(1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k )＝1(k ＋1)＋(k ＋1)－1k ＋1，所以由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式的左边增加1(k ＋1)＋(k ＋1)，减少1k ＋1.答案：C11．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列{a n }的第2 012项与5的差，即a 2 012－5＝( )A ．2 018×2 012B ．2 018×2 011C ．1 009×2 012D ．1 009×2 011解析：由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n ＝1时，a 1＝2＋3＝12×(2＋3)×2；n ＝2时，a 2＝2＋3＋4＝12×(2＋4)×3……由此我们可以推断：a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝12×[2＋(n ＋2)]×(n ＋1)∴a 2 012－5＝12×[2＋(2 012＋2)]×(2 012＋1)－5＝1 008×2 013－5＝1 009×2 011，故选D.答案：D12．语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好．”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，并且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的．问满足条件的最多有多少学生( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：假设A 、B 两个同学的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩高的同学比另一个同学“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾．因此，没有任意两个同学数学成绩是相同的．同理，没有任意两个同学语文成绩是相同的．因为语文、数学两学科成绩各有3种，因而同学数量最大为3.即 3位同学成绩分别为(优秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，优秀)时满足条件．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y <2，则x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x ，y 都大于1”．答案：x ，y 都大于114．已知f (x )＝xe x ，定义f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′，n ∈N.经计算f 1(x )＝1－x e x ，f 2(x )＝x －2e x ，f 3(x )＝3－xe x ，…，照此规律，则f n (x )＝________.解析：观察各个式子，发现分母都是e x ，分子依次是－(x －1)，(x －2)，－(x －3)，(x －4)，…，括号前是(－1)n ，括号里是x －n ， 故f n (x )＝(－1)n (x －n )e x .答案：(－1)n (x －n )e x15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．解析：由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．即T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．答案：T 8T 4 T 12T 816．在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O -LMN ，如果用S 1、S 2、S 3表示三个侧面面积，S 表示截面面积，那么类比得到的结论是________．解析：类比如下：正方形⇔正方体；截下直角三角形⇔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方⇔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和⇔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S 2＝S 21＋S 22＋S 23.证明如下：如图，作OE ⊥平面LMN ，垂足为E ，连接LE 并延长交MN 于F ，连接NE ，ME ，OF .∵LO ⊥OM ，LO ⊥ON ，∴LO ⊥平面MON ， ∵MN ⊂平面MON ，∴LO ⊥MN ，∵OE ⊥MN ，∴MN ⊥平面OFL ，∴S △OMN ＝12MN ·OF ，S △MNE ＝12MN ·FE ，S △MNL ＝12MN ·LF ，OF 2＝FE ·FL ，∴S 2△OMN ＝(12MN ·OF )2＝ (12MN ·FE )·(12MN ·FL )＝S △MNE ·S △MNL ，同理S 2△OML ＝S △MLE ·S △MNL ，S 2△ONL ＝S △NLE ·S △MNL ，∴S 2△OMN ＋S 2△OML ＋S 2△ONL ＝(S △MNE ＋S △MLE ＋S △NLE )·S △MNL ＝S 2△MNL ，即S 21＋S 22＋S 23＝S 2.答案：S 2＝S 21＋S 22＋S 23三、解答题(本大题共6小题，共74分，必要的解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)设a ，b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 证明：要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立， 即需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立． 又因a ＋b >0，故只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立， 即需证a 2－2ab ＋b 2>0成立， 即需证(a －b )2>0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立． 由此命题得证．18．(本小题满分12分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2；(2)已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m . 证明：(1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ， ∴lga ＋b 2≥lg ab ，∴lg a ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b2. (2) ∵m ＞0，∴1＋m ＞0.所以要证原不等式成立， 只需证(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)， 即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立，故原不等式得证． 19. (本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．证明：(1)任取x 1、x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1且ax 1>0， ∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0，又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)， 于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． (2)设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1.∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根．20．(本小题满分12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解析：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.21．(本小题满分13分) 设数列a 1，a 2，…，a n ，…中的每一项都不为0.证明{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N *，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1.证明：先证必要性．设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立．若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1 ＝1d ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1a 1－1a n ＋1＝a n ＋1－a 1da 1a n ＋1＝na 1a n ＋1. 再证充分性． (直接证法)依题意有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＋1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2.② ②－①得1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2－n a 1a n ＋1，在上式两端同乘a 1a n ＋1a n ＋2，得a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2.③ 同理可得a 1＝na n －(n －1)a n ＋1(n ≥2)，④ ③－④得2na n ＋1＝n (a n ＋2＋a n )， 即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，⑤又由①当n ＝2时，得等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3，两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，知a 3－a 2＝a 2－a 1，故⑤对任意n ∈N *均成立．所以{a n }是等差数列．22．(本小题满分13分)(2014·高考北京卷)对于数对序列P ：(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，…，(a n ，b n )，记T 1(P )＝a 1＋b 1，T k (P )＝b k ＋max{T k －1(P )，a 1＋a 2＋…＋a k }(2≤k ≤n )，其中max{T k －1(P )，a 1＋a 2＋…＋a k }表示T k －1(P )和a 1＋a 2＋…＋a k 两个数中最大的数．(1)对于数对序列P ：(2,5)，(4,1)，求T 1(P )，T 2(P )的值；(2)记m 为a ，b ，c ，d 四个数中最小的数，对于由两个数对(a ，b )，(c ，d )组成的数对序列P ：(a ，b )，(c ，d )和P ′：(c ，d )，(a ，b )，试分别对m ＝a 和m ＝d 两种情况比较T 2(P )和T2 (P′)的大小；(3)在由五个数对(11,8)，(5,2)，(16,11)，(11,11)，(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论)．解析：(1)T1(P)＝2＋5＝7，T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7,6}＝8.(2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}．当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b.因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)．当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b.因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)．所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立．(3)数对序列P：(4,6)，(11,11)，(16,11)，(11,8)，(5,2)的T5(P)值最小，T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52.。
高中数学人教A版选修2-3 章末综合测评1 Word版含答案.doc
章末综合测评(一) 计数原理(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·银川一中检测)C910＋C810等于()A．45B．55C．65 D．以上都不对【解析】C910＋C810＝C110＋C210＝55，故选B.【答案】 B2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有()A．10种B．20种C．25种D．32种【解析】5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25＝32种，故选D.【答案】 D3．在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为()A．140 B．240C．360 D．800【解析】由(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，知(x＋1)5的展开式中x的系数为C45，常数项为1，(x＋2)5的展开式中x的系数为C45·24，常数项为25.因此原式中x 的系数为C45·25＋C45·24＝240.【答案】 B4．某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有()A．16种B．36种C．42种D．60种【解析】分两类．第一类：同一城市只有一个项目的有A34＝24种；第二类：一个城市2个项目，另一个城市1个项目，有C23·C24·A22＝36种，则共有36＋24＝60种．【答案】 D5．(2016·广州高二检测)5人站成一排，甲乙之间恰有一个人的站法有() A．18种B．24种C．36种D．48种【解析】首先把除甲乙之外的三人中随机抽出一人放在甲乙之间，有3种可能，甲乙之间的人选出后，甲乙的位置可以互换，故甲乙的位置有2种可能，最后，把甲乙及其中间的那个人看作一个整体，与剩下的两个人全排列是A33＝6，所以3×2×6＝36(种)，故答案为C.【答案】 C6．关于(a－b)10的说法，错误的是()A．展开式中的二项式系数之和为1 024B．展开式中第6项的二项式系数最大C．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小【解析】由二项式系数的性质知，二项式系数之和为210＝1 024，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的．【答案】 C7.图1(2016·潍坊高二检测)如图1，用五种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F 六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共()A．1 240种B．360种C．1 920种D．264种【解析】由于A和E或F可以同色，B和D或F可以同色，C和D或E可以同色，所以当五种颜色都选择时，选法有C13C12A55种；当五种颜色选择四种时，选法有C45C13×3×A44种；当五种颜色选择三种时，选法有C35×2×A33种，所以不同的涂色方法共C13C12A55＋C45C13×3×A44＋C35×2×A33＝1 920.故选C.【答案】 C8．某计算机商店有6台不同的品牌机和5台不同的兼容机，从中选购5台，且至少有品牌机和兼容机各2台，则不同的选购方法有() 【导学号：97270029】A．1 050种B．700种C．350种D．200种【解析】分两类：(1)从6台不同的品牌机中选3台和从5台不同的兼容机中选2台；(2)从6台不同的品牌机中选2台和从5台不同的兼容机中选3台．所以不同的选购方法有C36C25＋C26C35＝350种．【答案】 C9．设(1－3x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值为()A．29B．49C．39D．59【解析】由于a0，a2，a4，a6，a8为正，a1，a3，a5，a7，a9为负，故令x＝－1，得(1＋3)9＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝|a0|＋|a1|＋…＋|a9|，故选B.【答案】 B10．(2016·山西大学附中月考)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A．60 B．48C．36 D．24【解析】在长方体中，对每一条棱都有两个面(侧面或底面)和一个对角面(对不在同一个面上的一对互相平行的棱的截面)与它平行，可构成3×12＝36个“平行线面组”，对每一条面对角线，都有一个面与它平行，可组成12个“平行线面组”，所以“平行线面组”的个数为36＋12＝48，故选B.【答案】 B11．(2016·吉林一中高二期末)某同学忘记了自己的QQ号的后六位，但记得QQ号后六位是由一个1，一个2，两个5和两个8组成的，于是用这六个数随意排成一个六位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的QQ号最多尝试次数为() A．96 B．180C．360 D．720【解析】由这6个数字组成的六位数个数为A66A22A22＝180，即最多尝试次数为180.故选B.【答案】 B12．设(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋a n x n，若a1＋a2＋…＋a n＝63，则展开式中系数最大项是()A．15x3B．20x3C．21x3D．35x3【解析】令x＝0，得a0＝1，再令x＝1，得2n＝64，所以n＝6，故展开式中系数最大项是T4＝C36x3＝20x3.故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．某科技小组有女同学2名、男同学x名，现从中选出3名去参加展览．若恰有1名女生入选时的不同选法有20种，则该科技小组中男生的人数为________．【解析】由题意得C12·C2x＝20，解得x＝5.【答案】 514．(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是________．【解析】(1.05)6＝(1＋0.05)6＝C06＋C16×0.05＋C26×0.052＋C36×0.053＋…＝1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…≈1.34.【答案】 1.3415．(2015·山东高考)观察下列各式：C01＝40；C03＋C13＝41；C 05＋C 15＋C 25＝42；C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43；……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝________.【解析】 观察每行等式的特点，每行等式的右端都是幂的形式，底数均为4，指数与等式左端最后一个组合数的上标相等，故有C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝4n －1.【答案】 4n －1 16．(2014·安徽高考)设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图2所示，则a ＝________.图2【解析】 由题意知A 0(0,1)，A 1(1,3)，A 2(2,4)．故a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4.由⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式的通项公式知T r ＋1＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a r (r ＝0,1,2，…，n )．故C 1n a ＝3，C 2n a 2＝4，解得a ＝3.【答案】 3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知⎩⎪⎨⎪⎧ C x n ＝C 2x n ，C x ＋1n ＝113C x －1n ，试求x ，n 的值. 【导学号：97270030】【解】 ∵C x n ＝C n －x n ＝C 2x n ，∴n －x ＝2x 或x ＝2x (舍去)，∴n ＝3x .由C x ＋1n ＝113C x －1n ，得n ！(x ＋1)！(n －x －1)！＝113·n ！(x －1)！(n －x ＋1)！， 整理得3(x －1)！(n －x ＋1)！＝11(x ＋1)！(n －x －1)！，3(n －x ＋1)(n －x )＝11(x ＋1)x .将n ＝3x 代入，整理得6(2x ＋1)＝11(x ＋1)，∴x ＝5，n ＝3x ＝15.18．(本小题满分12分)利用二项式定理证明：49n ＋16n －1(n ∈N *)能被16整除．【证明】 49n ＋16n －1＝(48＋1)n ＋16n －1＝C 0n ·48n ＋C 1n ·48n －1＋…＋C n －1n ·48＋C n n ＋16n －1＝16(C 0n ·3×48n －1＋C 1n ·3×48n －2＋…＋C n －1n ·3＋n )． 所以49n ＋16n －1能被16整除．19．(本小题满分12分)一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？【解】 (1)将取出4个球分成三类情况：①取4个红球，没有白球，有C 44种；②取3个红球1个白球，有C 34C 16种；③取2个红球2个白球，有C 24C 26种，故有C 44＋C 34C 16＋C 24C 26＝115种．(2)设取x 个红球，y 个白球，则⎩⎨⎧ x ＋y ＝5，0≤x ≤4，2x ＋y ≥7，0≤y ≤6，故⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝3或⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝4，y ＝1. 因此，符合题意的取法共有C 24C 36＋C 34C 26＋C 44C 16＝186种． 20．(本小题满分12分)设(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，求下列各式的值：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a10；(2)a6.【解】(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－1)10＝1.(2)a6即为含x6项的系数，T r＋1＝C r10(2x)10－r·(－1)r＝C r10(－1)r210－r·x10－r，所以当r＝4时，T5＝C410(－1)426x6＝13 440x6，即a6＝13 440.21．(本小题满分12分)有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)排成前后两排，前排3人，后排4人；(2)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾；(3)全体站成一排，女生必须站在一起；(4)全体站成一排，男生互不相邻．【解】(1)共有A77＝5 040种方法．(2)甲为特殊元素．先排甲，有5种方法，其余6人有A66种方法，故共有5×A66＝3 600种方法．(3)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A44种方法，再将4名女生进行全排列，有A44种方法，故共有A44×A44＝576种方法．(4)(插空法)男生不相邻，而女生不做要求，所以应先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A35种方法，故共有A44×A35＝1 440种方法．22．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|1<log2x<3，x∈N*}，B＝{4,5,6,7,8}．(1)从A∪B中取出3个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？(2)从集合A中取出1个元素，从集合B中取出3个元素，可以组成多少个无重复数字且比4 000大的自然数？【解】由1<log2x<3，得2<x<8，又x∈N*，所以x为3,4,5,6,7，即A＝{3,4,5,6,7}，所以A∪B＝{3,4,5,6,7,8}．(1)从A∪B中取出3个不同的元素，可以组成A36＝120个三位数．(2)若从集合A中取元素3，则3不能作千位上的数字，有C35·C13·A33＝180个满足题意的自然数；若不从集合A中取元素3，则有C14C34A44＝384个满足题意的自然数．所以，满足题意的自然数的个数共有180＋384＝564.。
数学人教A版选修2-3优化练习第二章 2.2 2.2.1 条件概率 Word版含解析
[课时作业][组基础巩固]．已知()＝，()＝，则()等于( )解析：由()＝得()＝()·()＝×＝.答案：．抛掷一枚质地均匀的骰子所得点数的样本空间为Ω＝{}，令事件＝{}，＝{}，则()等于( )解析：∵∩＝{}，∴()＝.又∵()＝，∴()＝＝.答案：．为考察某种药物预防疾病的效果，科研人员进行了动物试验，结果如下表：解析：在服药的前提下，未患病的概率＝＝.答案：．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了次后还能继续使用的概率是，开关了次后还能继续使用的概率是，则已经开关了次的电视机显像管还能继续使用到次的概率是( )．．．．解析：记“开关了次后还能继续使用”为事件，记“开关了次后还能继续使用”为事件，根据题意，易得()＝，()＝，则()＝，由条件概率的计算方法，可得()＝＝＝.答案：．某种动物活到岁的概率是，活到岁的概率是，则现龄岁的这种动物活到岁的概率是()．．．．解析：记事件表示“该动物活到岁”，事件表示“该动物活到岁”，由于该动物只有活到岁才有活到岁的可能，故事件包含事件，从而有()＝()＝，所以现龄岁的这种动物活到岁的概率为()＝＝＝.答案：．设，为两个事件，若事件和同时发生的概率为，在事件发生的条件下，事件发生的概率为，则事件发生的概率为．解析：∵()＝，()＝，∴()＝.∴()＝.答案：.如图，是以为圆心，半径为的圆内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用表示事件“豆子落在正方形内”，表示事件“豆子落在扇形(阴影部分)内”，则()＝.解析：因为()表示事件“豆子落在正方形内”的概率，为几何概型，所以()＝＝.()＝＝＝.由条件概率计算公式，得()＝＝＝.答案：．从混有张假钞的张百元钞票中任意抽出张，将其中张放在验钞机上检验发现是假钞，则第张也是假钞的概率为．解析：设事件表示“抽到张都是假钞”，事件为“张中至少有一张假钞”．所以为()．而()＝，()＝，∴()＝＝.答案：．设某种动物能活到岁的概率为，能活到岁的概率为，现有一只岁的这种动物，问它能活到岁的概率是多少？解析：设事件为“能活到岁”，事件为“能活到岁”，则()＝，()＝，而所求概率为()，由于⊆，故＝，于是()＝＝＝＝，所以一只岁的这种动物能活到岁的概率是.．任意向轴上()这一区间内掷一个点，问：()该点落在区间内的概率是多少？()在()的条件下，求该点落在内的概率．解析：由题意知，任意向()这一区间内掷一点，该点落在()内哪个位置是等可能的，令＝，。
2019年高中数学人教A版选修2-3练习：综合学业质量标准检测2 Word版含解析
综合学业质量标准检测时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2016·福州高二检测)某机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为y ＝45x ＋a ，若某儿童记忆能力为12，则他的识图能力为导学号 51124764( C )A ．9.2B ．9.8C ．9.5D ．10[解析] ∵x －＝14(4＋6＋8＋10)＝7；y －＝14(3＋5＋6＋8)＝5.5，∴样本的中心点坐标为(7,5.5)， 代入回归方程得：5.5＝45×7＋a ^，∴a ^＝－0.1. ∴y ^＝0.8x －0.1，当x ＝12时，y ^＝0.8×12－0.1＝9.5，故选C ．2．(2016·四川理，2)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为导学号 51124765( A )A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20i x 4D ．20i x 4[解析] (x ＋i)6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r i r (r ＝0,1,2，…，6)，令r ＝2，得含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4，故选A ．3．若随机变量ξ～N (－2,4)，则ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取值的概率导学号 51124766( C )A ．(2,4]B ．(0,2]C．[－2,0) D．(－4,4][解析]此正态曲线关于直线x＝－2对称，∴ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在[－2,0)上取值的概率．4．设A＝37＋C27·35＋C47·33＋C67·3，B＝C17·36＋C37·34＋C57·32＋1，则A－B的值为导学号51124767(A)A．128 B．129C．47D．0[解析]A－B＝37－C17·36＋C27·35－C37·34＋C47·33－C57·32＋C67·3－1＝(3－1)7＝27＝128，故选A．5．独立性检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系，则在H0成立的情况下，P(k2≥6.635)＝0.010表示的意义是导学号51124768(D)A．变量X与变量Y有关系的概率为1%B．变量X与变量Y没有关系的概率为99.9%C．变量X与变量Y没有关系的概率为99%D．变量X与变量Y有关系的概率为99%[解析]由题意知变量X与Y没有关系的概率为0.01，即认为变量X与Y有关系的概率为99%.6．(2016·四川理，4)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为导学号51124769(D)A．24 B．48C．60 D．72[解析]由题意，可知个位可以从1,3,5中任选一个，有A13种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A44种方法，所以奇数的个数为A13A44＝3×4×3×2×1＝72，故选D．7．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为导学号51124770(C)A．360 B．520C．600 D．720[解析] 当甲、乙两人中只有一人参加时，有C 12·C 35·A 44＝480种方法；当甲、乙两人都参加时，有C 22·C 25(A 44－A 22A 23)＝120种方法．由分类加法计数原理知，不同的发言顺序共有480＋120＝600种，故选C ．8．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X (单位：分)的数学期望为导学号 51124771( A )A ．0.9B ．0.8C ．1.2D ．1.1[解析] X 的取值为0、1、2， P (X ＝0)＝(1－0.4)(1－0.5)＝0.3，P (X ＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5， P (X ＝2)＝0.4×0.5＝0.2，∴E (X )＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9. 9．(2016·长沙二模)二项式(x －1x)6的展开式中常数项为导学号 51124772( B ) A ．－15 B ．15 C ．－20D ．20[解析] 二项式(x －1x )6的展开式的通项是T r ＋1＝C r 6·x 6－r ·(－1x)r ＝C r 6·(－1)r ·x 6－32r ，令6－32r ＝0，得r ＝4.因此，二项式(x －1x)6的展开式中的常数项是C 46·(－1)4＝15，故选B ． 10．某中学拟从4个重点研究性课题和6个一般研究性课题中各选2个课题作为本年度该校启动的课题项目，若重点课题A 和一般课题B 至少有一个被选中的不同选法种数是k ，那么二项式(1＋kx 2)6的展开式中x 4的系数为导学号 51124773( C )A ．50000B ．52000C ．54000D ．56000[解析] A 、B 均未被选中的种数有C 23C 25＝30，∴k ＝C 24C 26－30＝60.在(1＋60x 2)6展开式中，T r ＋1＝C r 6(60x 2)r ，令r ＝2，得T 3＝C 26602x 4＝54000x 4.故选C ．11．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是导学号 51124774( B )A ．18125B ．36125C ．44125D ．81125[解析] 每次取到红球的概率为35，所求概率为C 12×35×25×35＝36125.故选B ． 12．已知0<a <1，方程a |x |＝|log a x |的实根个数为n ，且(x ＋1)n ＋(x ＋1)11＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 10(x ＋2)10＋a 11(x ＋2)11，则a 1等于导学号 51124775( B )A ．－10B ．9C ．11D ．－12[解析] 作出y ＝a |x |(0<a <1)与y ＝|log a x |的大致图象如图所示，所以n ＝2.故(x ＋1)n ＋(x ＋1)11＝(x ＋2－1)2＋(x ＋2－1)11，所以a 1＝－2＋C 1011＝－2＋11＝9.故选B ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．某校1000名学生的某次数学考试成绩X 服从正态分布，其密度函数曲线如图所示，则成绩X 位于区间(52,68]的人数大约是__682__.导学号 51124776[解析] 由题图知X ～N (μ，σ2)， 其中μ＝60，σ＝8，∴P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝P (52<X ≤68)＝0.6826. ∴人数为0.6826×1000≈682.14．随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝1.1，则D (X )＝__0.49__.导学号 51124777[解析] p ＝1－⎝⎛⎭⎫15＋310＝12，E (X )＝1.1＝0×15＋1×12＋310x ，解得x ＝2，所以D (X )＝15×(0－1.1)2＋12×(1－1.1)2＋310×(2－1.1)2＝0.49.15．(2016·临沂高二检测)如图所示，A 、B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X ，则P (X ≥8)＝ 45.导学号 51124778[解析] 由已知X 的取值为7,8,9,10.∵P (X ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (X ＝8)＝C 22C 11＋C 22C 12C 35＝310， P (X ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25， P (X ＝10)＝C 22C 11C 35＝110.∴X 的概率分布列为：∴P (X ≥8)＝P (X ＝8)＋＝310＋25＋110＝45. 16．一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点O (0,0)出发，沿向上或向右方向爬至点(m ，n )，(m ，n ∈N *)，记可能的爬行方法总数为f (m ，n )，则f (m ，n )＝ C m m ＋n .导学号 51124779[解析] 从原点O 出发，只能向上或向右方向爬行，记向上为1，向右为0，则爬到点(m ，n )需m 个0和n 个1.这样爬行方法总数f (m ，n )是m 个0和n 个1的不同排列方法数．m个0和n 个1共占m ＋n 个位置，只要从中选取m 个放0即可．∴f (m ，n )＝C m m ＋n .(例如f (3,4)＝C 37其中0010111表示从原点出发后，沿右右上右上上上的路径爬行．) 三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？(列出算式即可)导学号 51124780(1)任何2名女生都不相邻，有多少种排法？ (2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？ (3)男生甲、乙、丙顺序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？[解析] (1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A 66·A 47种不同排法．(2)解法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A 99种排法，若甲不在末位，则甲有A 18种排法，乙有A 18种排法，其余有A 88种排法，综上共有(A 99＋A 18A 18·A 88)种排法．解法二：甲在首位的共有A 99种，乙在末位的共有A 99种，甲在首位且乙在末位的有A 88种，因此共有(A 1010－2A 99＋A 88)种排法．(3)10人的所有排列方法有A 1010种，其中甲、乙、丙的排序有A 33种，其中只有一种符合题设要求，所以甲、乙、丙顺序一定的排法有A 1010A 33种．(4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有12A 1010种排法．18．(本题满分12分)已知(x －12x)n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列.导学号 51124781(1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中所有整式项．[解析] (1)T r ＋1＝C r n ·(x )n －r ·(12x )r·(－1)r ， ∴前三项系数的绝对值分别为C 0n ，12C 1n ，14C 2n ， 由题意知C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ， ∴n ＝1＋18n (n －1)，n ∈N *，解得n ＝8或n ＝1(舍去)， ∴T k ＋1＝C k 8·(x )8－k ·(－12x)k＝C k 8·(－12)k ·x 4－k,0≤k ≤8， 令4－k ＝0得k ＝4，∴展开式中的常数项为T 5＝C 48(－12)4＝358. (2)要使T k ＋1为整式项，需4－k 为非负数，且0≤k ≤8，∴k ＝0,1,2,3,4. ∴展开式中的整式项为：x 4，－4x 3,7x 2，－7x ，358.19．(本题满分12分)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.导学号 51124782(1)求p 0的值；(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有 P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826， P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9974.)(2)某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于p 0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？[解析] (1)由于随机变量X 服从正态分布N (800,502)，故有μ＝800，σ＝50，P (700<X ≤900)＝0.9544. 由正态分布的对称性，可得p 0＝P (X ≤900)＝P (X ≤800)＋P (800<X ≤900) ＝12＋12P (700<X ≤900)＝0.9772. (2)设A 型、B 型车辆的数量分别为x 、y 辆，则相应的营运成本为1600x ＋2400y 依题意，x 、y 还需满足x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，P (X ≤36x ＋60y )≥p 0由(1)知，p 0＝P (X ≤900)，故P (X ≤36x ＋60y )≥p 0等价于36x ＋60y ≥900.于是问题等价于求满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .且使目标函数z ＝1600x ＋2400y 达到最小的x ，y .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1600x ＋2400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1600x ＋2400y 在y 轴上截距z2400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆．20．(本题满分12分)(2015·全国卷Ⅰ文，15)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值导学号 51124783表中w i ＝x i ，w ＝18∑i ＝1w i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： (ⅰ)年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ⅱ)年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑ni ＝1 (u i －u )(v i －v )∑ni ＝1(u i －u )2，α^＝v －β^u . [解析] (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2) 令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d ^＝∑i ＝18(w i －w )(y i －y )∑i ＝18(w i －w )2＝108.81.6＝68， c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x .(3)(ⅰ)由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值z ^＝0.2×576.6－49＝66.32. (ⅱ)根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．21．(本题满分12分)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.导学号 51124784(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？[解析] (1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A ，则事件A 包含有“X ＝0”，“X ＝2”，“X ＝3”三个两两互斥的事件， 因为P (X ＝0)＝(1－23)×(1－25)＝15，P (X ＝2)＝23×(1－25)＝25，P (X ＝3)＝(1－23)×25＝215，所以P (A )＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1115，即这2人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X 1，都选择方案乙所获得的累计得分为X 2，则X 1、X 2的分布列如下：所以E (X 1)＝0×19＋2×49＋4×49＝83，E (X 2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125.因为E (X 1)>E (X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．22．(本题满分12分)(2017·全国卷Ⅰ理，19)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2).导学号 51124785(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在第一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.997 4,0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.[解析] (1)解：抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X ～B (16,0.002 6)．因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8. X 的数学期望EX ＝16×0.002 6＝0.041 6.(2)解：①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由x ＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检测，剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02.因此μ的估计值为10.02.i ＝116x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134，剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09.。
2019-2020学年数学人教A版选修2-3优化练习：第二章 2.2 2.2.3 独立重复试验与二项分布 Word版含解析.doc
[课时作业] [A 组 基础巩固]1．某一试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 次独立重复试验中，A 发生k 次的概率为( ) A ．1－p k B ．(1－p )k p n －kC ．(1－p )kD ．C k n (1－p )k pn －k解析：A 发生的概率为p ，则A 发生的概率为1－p ，n 次独立重复试验中A 发生k 次的概率为C k n (1－p )k pn －k. 答案：D2．某人参加一次考试，4道题中答对3道为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率约为( ) A ．0.18 B ．0.28 C ．0.37D ．0.48解析：P ＝C 34×0.43×(1－0.4)＋C 44×0.44＝0.179 2≈0.18.答案：A3．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是( ) A ．0.216 B ．0.36 C ．0.432D ．0.648解析：甲获胜有两种情况，一是甲以2∶0获胜，此时p 1＝0.62＝0.36；二是甲以2∶1获胜，此时p 2＝C 12×0.6×0.4×0.6＝0.288，故甲获胜的概率p ＝p 1＋p 2＝0.648. 答案：D4．若随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，则P (ξ＝k )最大时，k 的值为( ) A ．5 B ．1或2 C ．2或3D ．3或4解析：依题意P (ξ＝k )＝C k 5×⎝⎛⎭⎫13k ×⎝⎛⎭⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5. 可以求得P (ξ＝0)＝32243，P (ξ＝1)＝80243，P (ξ＝2)＝80243， P (ξ＝3)＝40243，P (ξ＝4)＝10243，P (ξ＝5)＝1243.故当k ＝1或2时，P (ξ＝k )最大． 答案：B5．一个学生通过某种英语听力测试的概率是12，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n 的最小值为( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：由1－C 0n⎝⎛⎭⎫1－12n >0.9，得⎝⎛⎭⎫12n <0.1， ∴n ≥4. 答案：C6．连续掷一枚硬币5次，恰好有3次正面向上的概率为________．解析：正面向上的次数ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，12，所以P (ξ＝3)＝C 35·⎝⎛⎭⎫123·⎝⎛⎭⎫122＝10×132＝516. 答案：5167．设X ～B (2，p )，若P (X ≥1)＝59，则p ＝________.解析：∵X ～B (2，p )，∴P (X ＝k )＝C k 2p k (1－p )2－k，k ＝0,1,2. ∴P (X ≥1)＝1－P (X <1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 02p 0(1－p )2＝1－(1－p )2.∴1－(1－p )2＝59，结合0≤p ≤1，解得p ＝13.答案：138．甲、乙两人投篮命中的概率分别为p 、q ，他们各投两次，若p ＝12，且甲比乙投中次数多的概率恰好等于736，则q 的值为________．解析：所有可能情形有：甲投中1次，乙投中0次；甲投中2次，乙投中1次或0次． 依题意有：C 12p (1－p )·C 02(1－q )2＋C 22p 2[C 02(1－q )2＋C 12q (1－q )]＝736，解得q ＝23或q ＝103(舍去)． 答案：239．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是14，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？(结果保留两位有效数字)解析：1小时内5台机床需要照管相当于5次独立重复试验1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率P 5(0)＝⎝⎛⎭⎫1－145＝⎝⎛⎭⎫345,1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率P 5(1)＝C 15×14×⎝⎛⎭⎫1－144，所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为P ＝1－[P 5(0)＋P 5(1)]≈0.37.10．甲、乙两人各射击一次击中目标的概率分别是23和34，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响． (1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率． 解析：设“甲、乙两人各射击一次目标击中分别记为A 、B ”，则P (A )＝23，P (B )＝34.(1)甲射击4次，全击中目标的概率为 C 44P 4(A )[1－P (A )]0＝⎝⎛⎭⎫234＝1681.所以甲射击4次至少1次未击中目标的概率为 1－1681＝6581. (2)甲、乙各射击4次，甲恰好击中2次，概率为 C 24P 2(A )·[1－P (A )]2＝6×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫132＝827.乙恰好击中3次，概率为C 34P 3(B )·[1－P(B )]1＝2764. 故所求概率为827×2764＝18.[B 组 能力提升]1．10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，直到第n 次才取得k (k ≤n )次红球的概率为( ) A ．(110)2(910)n －kB ．(110)k (910)n －kC ．C k －1n －1(110)k (910)n －kD ．C k －1n －1(110)k －1(910)n －k解析：由题意知10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，每一次的抽取是相互独立的，得到本实验符合独立重复试验，直到第n 次才取得k (k ≤n )次红球，表示前n －1次取到k －1个红球，第n 次一定是红球．根据独立重复试验的公式得到P ＝C k －1n －1(110)k·(910)n －k ，故选C. 答案：C2．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率是( )A ．(12)5B ．C 25(12)5C ．C 35(12)3D ．C 25C 35(12)5解析：质点P 移动5次相当于5次独立重复试验，若移动5次后位于点(2,3)处，则恰有2次向右移动，3次向上移动．故所求概率为C 25(12)3(12)2＝C 25(12)5. 答案：B3．甲、乙、丙三人在同一办公室工作，办公室内只有一部电话机，经该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率分别是12，14，14，在一段时间内共打进三个电话，且各个电话之间相互独立，则这三个电话中恰有两个是打给乙的概率是________．解析：恰有两个打给乙可看成3次独立重复试验中，“打给乙”这一事件发生2次，故其概率为C 23⎝⎛⎭⎫142·34＝964. 答案：9644．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是________．解析：∵P 4(1)≤P 4(2)，∴C 14·p (1－p )3≤C 24p 2(1－p )2,4(1－p )≤6p ，∴0.4≤p ≤1.答案：[0.4,1]5．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min.(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率． (2)这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min 的概率．解析：(1)设“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A ，因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为P (A )＝⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－13×13＝427. (2)设“这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min ”为事件B ，“这名学生在上学路上遇到k 次红灯”的事件为B k (k ＝0,1,2)． 则由题意，得P (B 0)＝⎝⎛⎭⎫234＝1681，P (B 1)＝C 14⎝⎛⎭⎫131⎝⎛⎭⎫233＝3281， P (B 2)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝2481.由于事件B 等价于 “这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”， 所以事件B 的概率为P (B )＝P (B 0)＋P (B 1)＋P (B 2)＝89.6．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{}a n ：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1， 第n 次摸到红球，1， 第n 次摸到白球，如果S n 为数列{}a n 的前n 项和，求S 7＝3的概率．解析：由S 7＝3知，在7次摸球中有2次摸到红球，5次摸到白球，而每次摸到红球的概率为23，摸到白球的概率为13，则S 7＝3的概率为C 27×(23)2×(13)5＝28729.。
数学·选修2-3(人教A版)练习章末评估验收(二) Word版含解析
答案：
．已知某离散型随机变量服从的分布列如下表所示，则随机变量的方差()等于()
解析：由＋＝得＝，所以()＝×＋×＝，()＝×＋×＝.
答案：
．投掷枚硬币，至少有一枚出现正面的概率是()
解析：(至少有一枚正面)＝－(三枚均为反面)＝－＝.
答案：
章末评估验收
(时间：分钟 满分：分)
一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
．设随机变量ξ等可能取值，，，…，，如果(ξ＜)＝，那么＝()
．．．．
解析：因为(ξ＜)＝＝，所以＝.
答案：
．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()
．某产品件，其中有次品数件，现从中任取件，则其中至少有一件次品的概率是()
．．
．．
解析：所求的概率为－＝－＝ .
答案：
．在比赛中，如果运动员胜运动员的概率是，那么在五次比赛中运动员恰有三次获胜的概率是()
解析：所求概率为×＝.
答案：
．已知随机变量ξ服从正态分布(，)，则(ξ＋)与(ξ＋)的值分别为()
解析：(敌机被击中)＝－(甲未击中敌机)(乙未击中敌机)＝－(－)(－)＝－＝.
答案：
．一盒子中装有只产品，其中只一等品，只二等品，从中取产品两次，每次任取只，做不放回抽样．设事件为“第一次取到的是一等品”，事件为“第二次取到的是一等品”，则()＝．
解析：由条件知，()＝，()＝＝，
所以()＝＝.
答案：
．，．， ．， ．，
解析：由已知(ξ)＝，(ξ)＝，得(ξ＋)＝(ξ)＋＝，(ξ＋)＝(ξ)＝.
高中数学人教A版选修2-3 章末综合测评3 Word版含答案
章末综合测评(三)统计案例(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．下列说法中错误的是( )．如果变量与之间存在着线性相关关系，则我们根据试验数据得到的点(，)(＝，…，)将散布在某一条直线的附近．如果两个变量与之间不存在着线性关系，那么根据它们的一组数据(，)(＝，…，)不能写出一个线性方程．设，是具有相关关系的两个变量，且关于的线性回归方程为＝＋，叫做回归系数．为使求出的线性回归方程有意义，可用统计检验的方法来判断变量与之间是否存在线性相关关系【解析】任何一组(，)(＝，…，)都能写出一个线性方程，只是有的不存在线性关系．【答案】.如图所示，有组数据，去掉哪组数据后(填字母代号)，剩下的组数据的线性相关性最大( )图．．．．【解析】由题图易知，，，四点大致在一条直线上，而点偏离最远，故去掉点后剩下的数据的线性相关性最大．【答案】．在一次试验中，当变量的取值分别为，，，时，变量的值分别为，则与的回归曲线方程为( ) 【导学号：】＝＋＝＋＝＋＝－【解析】由数据可得，四个点都在曲线＝＋上．【答案】．有下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；②用相关指数来刻画回归的效果，值越大，说明模型的拟合效果越好；③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．其中正确命题的个数是( )．．．．【解析】①选用的模型是否合适与残差点的分布有关；对于②③，的值越大，说明残差平方和越小，随机误差越小，则模型的拟合效果越好．【答案】．观察下列各图，其中两个分类变量，之间关系最强的是( )【解析】在四幅图中，图中两个深色条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强．【答案】．在×列联表中，下列哪两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大( )与与。
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章末检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．袋中装有大小相同的5只球，上面分别标有1,2,3,4,5，在有放回的条件下依次取出两球，设两球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能值的个数是 ( ) A ．25 B ．10 C ．9D ．5解析：“有放回”的取和“不放回”的取是不同的，故X 的所有可能取值有2、3、4、5、6、7、8、9、10共9种． 答案：C2．某产品有40件，其中有次品3件，现从中任取2件，则其中至少有一件次品的概率约是( ) A ．0.146 2 B ．0.153 8 C ．0.996 2D ．0.853 8解析：P ＝1－C 237C 240≈0.146 2，故选A.答案：A3．已知离散型随机变量X 的分布列如下：则其数学期望E (X )等于( ) A ．1 B ．0.6 C ．2＋3mD ．2.4 解析：由分布列的性质得m ＝1－0.5－0.2＝0.3， 所以E (X )＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4. 答案：D4．已知甲投球命中的概率是12，乙投球命中的概率是35，假设他们投球命中与否相互之间没有影响．如果甲、乙各投球1次，则恰有1人投球命中的概率为( ) A.16 B.14 C.23D.12解析：记“甲投球1次命中”为事件A ，“乙投球1次命中”为事件B .根据互斥事件的概率公式和相互独立事件的概率公式，所求的概率为P ＝P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝12×⎝⎛⎭⎫1－35＋⎝⎛⎭⎫1－12×35＝12. 答案：D5．设随机变量ξ～B (5,0.5)，又η＝5ξ，则E (η)和D (η)分别为( ) A.252和254 B.52和54 C.252和1254D.254和1254解析：因为随机变量ξ～B (5,0.5)， 所以E (ξ)＝5×0.5＝2.5.D (ξ)＝5×0.5×0.5＝1.25，又∵η＝5ξ， ∴E (η)＝5E (ξ)＝252，D (η)＝25D (ξ)＝1254.答案：C6．已知离散型随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，若P (1≤X ≤3)＝15，则n 的值为( )A ．3B ．5C ．10D ．15 解析：由已知X 的分布列为P (X ＝k )＝1n ，k ＝1,2,3，…，n ，所以P (1≤X ≤3)＝P (X ＝1)＋P (X＝2)＋P (X ＝3)＝3n ＝15，n ＝15.答案：D7．已知X ，Y 为随机变量，且Y ＝aX ＋b ，若E (X )＝1.6，E (Y )＝3.4，则a ，b 可能的值分别为( ) A ．2,0.2 B ．1,4 C ．0.5,1.4D ．1.6,3.4解析：由E (Y )＝E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ＝1.6a ＋b ＝3.4，把选项代入验证，可知选项A 满足． 答案：A8．从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，事件A 为“取到的两个数之和为偶数”，事件B 为“取到的两数均为偶数”，P (B |A )＝( ) A.18B.14C.25D.12解析：∵P (A )＝C 22＋C 23C 25＝410，P (AB )＝C 22C 25＝110， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝14.答案：B9．已知随机变量X ～N (0，σ2)．若P (X >4)＝0.02，则P (0≤X ≤4)＝( ) A ．0.47 B ．0.52 C ．0.48D ．0.98解析：因为随机变量X ～N (0，σ2)，所以正态曲线关于直线x ＝0对称． 又P (X >4)＝0.02，所以P (0≤X ≤4)＝0.5－P (x >4)＝0.5－0.02＝0.48. 答案：C10．盒中有10只相同形状的螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为( )A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．至多2只是坏的解析：设ξ＝k 表示取出的螺丝钉恰有k 只为好的，则P (ξ＝k )＝C k 7C 4－k 3C 410(k ＝1,2,3,4)，∴P (ξ＝1)＝130，P (ξ＝2)＝310，P (ξ＝3)＝12，P (ξ＝4)＝16.故选C.答案：C11．设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( ) A ．1＋a,4 B ．1＋a,4＋a C ．1,4D ．1,4＋a解析：y ＝x 1＋a ＋x 2＋a ＋x 3＋a ＋…＋x 10＋a10＝10x ＋10a 10＝x ＋a ＝1＋a .s 2＝110×[x 1＋a －(1＋a )]2＋[x 2＋a －(1＋a )]2＋…＋[x 10＋a －(1＋a )]2＝(x 1－1)2＋(x 2－1)2＋…＋(x 10－1)210＝4. 答案：A12．一批电阻的阻值ξ服从正态分布N (1 000,52)(单位：Ω)．今从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为1 001 Ω和982 Ω，可以认为( ) A ．甲、乙两箱电阻均可出厂 B ．甲、乙两箱电阻均不可出厂 C ．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 D ．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂 解析：∵μ＝1 000，σ＝5， ∴(μ－σ，μ＋σ)＝(995,1 005)， (μ－2σ，μ＋2σ)＝(990,1 010)， (μ－3σ，μ＋3σ)＝(985,1 015)，又1 001∈(μ－σ，μ＋σ)，而982不属于任一个区间，故C 正确． 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)13．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p ，若此人未能通过的科目数ξ的均值是2，则p ＝________.解析：因为通过各科考试的概率为p ，所以不能通过考试的概率为1－p ，易知ξ～B (6,1－p )， 所以E (ξ)＝6(1－p )＝2，解得p ＝23.答案：2314．将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k ＋1次正面的概率，那么k 的值为________．解析：由题意，C k 5·(12)5＝C k ＋15·(12)5，所以k ＝2. 答案：215．某厂生产的灯泡能用1 000小时的概率为0.8，能用1 500小时的概率为0.4，则已用1 000小时的灯泡能用到1 500小时的概率是________．解析：设灯泡能用1 000小时为事件A ，能用1 500小时为事件B ，则P (A )＝0.8，P (AB )＝P (B )＝0.4，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.40.8＝0.5.答案：0.516. 一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上一面出现的数之积的数学期望是________． 解析：设ξ表示向上一面出现的数之积(ξ＝0,1,2,4)，则P (ξ＝1)＝13×13＝19，P (ξ＝2)＝C 12×13×16＝19，P (ξ＝4)＝16×16＝136，P (ξ＝0)＝C 23×12×12＝34，∴E (ξ)＝1×19＋2×19＋4×136＋0×34＝49. 答案：49三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)某跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率是失败的概率的4倍，且每次试跳成功与否相互之间没有影响．(1)求该跳高运动员试跳三次，第三次才成功的概率； (2)求该跳高运动员在三次试跳中恰有两次试跳成功的概率．解析：设该跳高运动员在一次试跳中成功的概率为p ，则失败的概率为1－p .依题意有p ＝4(1－p )，解得p ＝45.(1)由于每次试跳成功与否相互之间没有影响，所以该跳高运动员试跳三次中第三次才成功的概率为(1－p )2p ＝⎝⎛⎭⎫152×45＝4125.(2)该跳高运动员的三次试跳可看成三次独立重复试验，故该跳高运动员在三次试跳中恰有两次成功的概率为p 1＝C 23⎝⎛⎭⎫452×15＝48125. 18．(12分)实力相当的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛)．试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．解析：甲、乙两队实力相当，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12.记事件A为“甲打完3局就能取胜”，记事件B 为“甲打完4局才能取胜”，记事件C 为“甲打完5局才能取胜”．则甲打完3局取胜的概率为P (A )＝C 33×⎝⎛⎭⎫123＝18. 甲打完4局才能取胜的概率为P (B )＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×12×12＝316. 甲打完5局才能取胜的概率为 P (C )＝C 24×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫122×12＝316.19．(12分)一接待中心有A 、B 、C 、D 四部热线电话，已知某一时刻电话A 、B 占线的概率均为 0.5，电话C 、D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有ξ部电话占线，试求随机变量ξ的概率分布列和数学期望． 解析：ξ的可能取值为0,1,2,3,4. P (ξ＝0)＝0.52×0.62＝0.09，P (ξ＝1)＝C 12×0.52×0.62＋C 12×0.52×0.4×0.6＝0.3，P (ξ＝2)＝C 22×0.52×0.62＋C 12×0.52×C 120.4×0.6＋C 22×0.52×0.42＝0.37， P (ξ＝3)＝C 22×0.52×C 120.4×0.6＋C 12×0.52×C 22×0.42＝0.2，P (ξ＝4)＝0.52×0.42＝0.04.于是得到随机变量ξ的概率分布列为所以E (ξ)＝0×0.09＋20．(12分)某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X (单位：分)近似服从正态分布N (50,102)，求他在(30,60]分内赶到火车站的概率． 解析：∵X ～N (50,102)， ∴μ＝50，σ＝10.∴P (30<X ≤60)＝P (30<X ≤50)＋P (50<X ≤60) ＝12P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＋12P (μ－σ<X ≤μ＋σ) ＝12×0.954 4＋12×0.682 6＝0.818 5. 即他在(30,60]分内赶到火车站的概率是0.818 5.21．(13分) (2016年高考全国甲卷)某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：(1)(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．解析：(1)设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A，P(A)＝1－P(A)＝1－(0.30＋0.15)＝0.55.(2)设续保人保费比基本保费高出60%为事件B，P(B|A)＝P(AB)P(A)＝0.10＋0.050.55＝311.(3)设本年度所交保费为随机变量X.平均保费E(X)2a×0.05＝0.255a＋0.15a＋0.25a＋0.3a＋0.175a＋0.1a＝1.23a，∴平均保费与基本保费比值为1.23.22．(13分)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：(1)(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x 为表中10个命中次数的平均数．从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数．比较E (X )与x 的大小．(只需写出结论)解析：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5. (2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”， 事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”，则C ＝A B ∪A B ，A ，B 独立． 根据投篮统计数据，P (A )＝35，P (B )＝25.P (C )＝P (A B )＋P (A B )＝35×35＋25×25＝1325.所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.(3)E (X )＝x .。