材料力学(II)第二章 材料力学 孙训方
材料力学 孙训方
材料力学孙训方材料力学是研究物质在受力作用下产生形变和破坏的学科，是力学的一个重要分支。
材料力学主要研究的对象是材料，包括金属、塑料、陶瓷、复合材料等各种类型的材料。
材料力学研究的内容主要有拉伸、压缩、剪切、弯曲等力学性能以及材料的破坏机理等方面。
拉伸是材料中最常见的受力情况之一。
当外部力作用于材料上时，会产生拉伸力，使材料发生形变。
拉伸的目的是研究材料在正应力作用下的性能，如弹性模量、屈服强度和断裂强度等。
拉伸试验可以通过测量材料的长度和直径的变化来计算形变和应力，从而得到应力-应变曲线，从中可以推导出材料的性能指标。
压缩是材料受力的另一种情况。
当外部力作用于材料上时，会产生压缩力，使材料发生压缩形变。
压缩试验可以测量材料在正应力作用下的性能，如弹性模量和抗压强度等。
与拉伸试验类似，压缩试验也可以得到应力-应变曲线来分析材料的性能。
剪切是材料在受到平行于其截面方向的两个相对方向的力作用下发生的形变。
剪切力会使材料发生剪切变形，从而产生剪应力。
材料的剪切性能可以通过剪切试验来研究，常用的剪切试验方法有剪切强度试验和剪切模量试验。
弯曲是材料受到外力使其产生弯曲现象。
弯曲试验可以测量材料在受到弯矩作用下的性能，如抗弯强度和弹性模量等。
弯曲试验可以通过测量材料的挠度和应力来计算材料的性能参数。
材料破坏机理的研究是材料力学中的重要内容之一。
材料在受到外力作用时，可能会发生破坏，如断裂、塑性变形、蠕变等。
破坏机理的研究可以帮助我们了解材料的强度极限和在不同应力条件下的变形行为。
材料力学是工程领域中不可或缺的学科，广泛应用于材料的设计、加工和使用过程中。
通过对材料力学的研究，可以更好地理解材料的力学性能，为制造各类产品提供科学依据，提高产品的性能和可靠性。
材料力学(孙训方课件)
2--2截面处截取的分离体如图（c）
Y qL Q q( x a) 0 Q2 q x 2 a qL
2 2
qL
1
2
q
剪力等于梁保留一侧横 向外 力的代数和。外力对截 面的 形心顺时针为正。
( Fi ) 0 , 1 qLx2 M 2 q( x 2 a ) 2 0 2 1 M 2 q( x 2 a ) 2 qLx 2 2
A
O
x
B
M ( ) Px P(R Rcos ) PR(1 cos ) (0 )
Q( ) P 1 Psin (0 ) N ( ) P (0 ) 2 Pcos
③根据方程画内力图
M图 R P
A
O +
x
每一段的内侧点、驻点（Q=0点）
qa A B Q a
q
a
C x
BA段： Q BA qa；M BA 0； Q AB qa；M AB qa 2
若载荷、剪力、弯矩三图上下对齐，则下图函数的 增量等于上图的面积。
简易作图法: 利用内力和外力的几何关系、图形的突变规律及 面积增量关系（或特殊点的内力值）作图的方法。
[例4-4-1] 用简易作图法画下列各图示梁力图。
qa A B C a a 特殊点: q 解: 利用内力和外力的关系及
特殊点的内力值来作图。
§4–3 剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
Q Q ( x)
M M ( x)
剪力方程 弯矩方程
2. 剪力图和弯矩图：
剪力图
孙训方材料力学第五版课后习题答案详解之欧阳体创编
第二章轴向拉伸和压缩2-12-22-32-42-52-62-72-82-9下页2-1 试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。
（a）解：；；（b）解：；；Microsoft Corporation时间：2021.02.03 创作：欧阳体孙训方材料力学课后答案[键入文档副标题]lenovo[选取日期]（c）解：；。
(d)解：。
返回2-2 试求图示等直杆横截面1-1，2-2和3-3上的轴力，并作轴力图。
若横截面面积，试求各横截面上的应力。
解：返回2-3 试求图示阶梯状直杆横截面1-1，2-2和3-3上的轴力，并作轴力图。
若横截面面积，，，并求各横截面上的应力。
解：返回2-4 图示一混合屋架结构的计算简图。
屋架的上弦用钢筋混凝土制成。
下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，其截面均为两个75mm×8mm的等边角钢。
已知屋面承受集度为的竖直均布荷载。
试求拉杆AE和EG横截面上的应力。
解：=1）求内力取I-I分离体得（拉）取节点E为分离体，故（拉）2）求应力75×8等边角钢的面积A=11.5 cm2(拉)（拉）返回2-5(2-6) 图示拉杆承受轴向拉力，杆的横截面面积。
如以表示斜截面与横截面的夹角，试求当，30，45，60，90时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示其方向。
解：返回2-6(2-8) 一木桩柱受力如图所示。
柱的横截面为边长200mm的正方形，材料可认为符合胡克定律，其弹性模量E=10 GPa。
如不计柱的自重，试求：（1）作轴力图；（2）各段柱横截面上的应力；（3）各段柱的纵向线应变；（4）柱的总变形。
解：（压）（压）返回2-7(2-9) 一根直径、长的圆截面杆，承受轴向拉力，其伸长为。
试求杆横截面上的应力与材料的弹性模量E。
解：2-8(2-11) 受轴向拉力F作用的箱形薄壁杆如图所示。
已知该杆材料的弹性常数为E，，试求C与D两点间的距离改变量。
解：横截面上的线应变相同因此返回2-9(2-12) 图示结构中，AB为水平放置的刚性杆，杆1，2，3材料相同，其弹性模量E=210GPa，已知，，，。
孙训方材料力学第五版课后习题答案详解之欧阳音创编
第二章 轴向拉伸和压缩2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-7 2-8 2-9 下页 2-1 试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。
（a ）解：；；（b ）解：；；（c ）解：；。
(d)解：。
返回Microsoft Corporation时间：2021.03.11创作：欧阳音孙训方材料力学课后答案[键入文档副标题]lenovo [选取日期]2-2 试求图示等直杆横截面1-1，2-2和3-3上的轴力，并作轴力图。
若横截面面积，试求各横截面上的应力。
解：返回2-3 试求图示阶梯状直杆横截面1-1，2-2和3-3上的轴力，并作轴力图。
若横截面面积，，，并求各横截面上的应力。
解：返回2-4 图示一混合屋架结构的计算简图。
屋架的上弦用钢筋混凝土制成。
下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，其截面均为两个75mm×8mm的等边角钢。
已知屋面承受集度为的竖直均布荷载。
试求拉杆AE和EG横截面上的应力。
解：=1）求内力取I-I分离体得（拉）取节点E为分离体，故（拉）2）求应力75×8等边角钢的面积A=11.5 cm2(拉)（拉）返回2-5(2-6) 图示拉杆承受轴向拉力，杆的横截面面积。
如以表示斜截面与横截面的夹角，试求当，30，45，60，90时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示其方向。
解：返回2-6(2-8) 一木桩柱受力如图所示。
柱的横截面为边长200mm的正方形，材料可认为符合胡克定律，其弹性模量E=10 GPa。
如不计柱的自重，试求：（1）作轴力图；（2）各段柱横截面上的应力；（3）各段柱的纵向线应变；（4）柱的总变形。
解：（压）（压）返回2-7(2-9) 一根直径、长的圆截面杆，承受轴向拉力，其伸长为。
试求杆横截面上的应力与材料的弹性模量E。
解：2-8(2-11) 受轴向拉力F作用的箱形薄壁杆如图所示。
已知该杆材料的弹性常数为E，，试求C 与D两点间的距离改变量。
校园网材料力学版孙训方课后习题答案
第二章轴向拉伸和压缩2-1试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。
（a）解：；；（b）解：；；（c）解：；。
(d) 解：。
返回2-2 试求图示等直杆横截面1-1，2-2和3-3上的轴力，并作轴力图。
若横截面面积，试求各横截面上的应力。
解：2-3试求图示阶梯状直杆横截面1-1，2-2和3-3上的轴力，并作轴力图。
若横截面面积，，，并求各横截面上的应力。
解：2-4 图示一混合屋架结构的计算简图。
屋架的上弦用钢筋混凝土制成。
下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，其截面均为两个75mm×8mm的等边角钢。
已知屋面承受集度为的竖直均布荷载。
试求拉杆AE和EG横截面上的应力。
解：=1）求内力取I-I分离体得（拉）取节点E为分离体，故（拉）2）求应力75×8等边角钢的面积A=11.5 cm2(拉)（拉）2-5(2-6)图示拉杆承受轴向拉力，杆的横截面面积。
如以表示斜截面与横截面的夹角，试求当，30，45，60，90时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示其方向。
解：2-6(2-8) 一木桩柱受力如图所示。
柱的横截面为边长200mm的正方形，材料可认为符合胡克定律，其弹性模量E=10 GPa。
如不计柱的自重，试求：（1）作轴力图；（2）各段柱横截面上的应力；（3）各段柱的纵向线应变；（4）柱的总变形。
解：（压）（压）2-7(2-9)一根直径、长的圆截面杆，承受轴向拉力，其伸长为。
试求杆横截面上的应力与材料的弹性模量E。
解：2-8(2-11)受轴向拉力F作用的箱形薄壁杆如图所示。
已知该杆材料的弹性常数为E，，试求C与D两点间的距离改变量。
解：横截面上的线应变相同因此2-9(2-12) 图示结构中，AB为水平放置的刚性杆，杆1，2，3材料相同，其弹性模量E=210GPa，已知，，，。
试求C点的水平位移和铅垂位移。
解：（1）受力图（a）（2）变形协调图（b）因，故=（向下）（向下）为保证，点A移至，由图中几何关系知；第三章扭转3-1 一传动轴作匀速转动，转速，轴上装有五个轮子，主动轮Ⅱ输入的功率为60kW，从动轮，Ⅰ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ依次输出18kW，12kW,22kW和8kW。
材料力学(孙训方版全套课件)
§3 可变形固体的性质及基本假设
一、连续性假设
内容：认为物体在其整个体积内毫无空隙地充满了物质，其 结构是密实的。 无空隙
二、均匀性假设
内容：认为物体内任一点处取出的体积单元,其力学性质（主 要是弹性性质）都是一样的。
有利于建立数学模型
单元体的力学性质能代表整个物体 的力学性能。
三、材料的各向同性假设
F
1 3F
2 2F
4KN
2KN
A 1B
2C
F
4KN
2F
2KN
5KN
例题 2.3
F F
2F
2F
2F
例题 2.4
图示砖柱，高h=3.5m，横截面面积 A=370×370mm2，砖砌体的容重γ=18KN/m 柱顶受有轴向压力F=50KN，试做此砖柱的轴力 图。
50
G Ay
F
F
y
n
n
FNy
F Ay FNy 0
从内力集度最大处开始。)
F1
F2
应力就是单位面积
上的内力?
F3 Fn
F1
ΔFQy
ΔFQz ΔA
F2
DF dF p lim
DA0 DA dA
lim DFN dFN
DA DA0 dA
lim DFQ dFQ
DA DA0 dA
垂直于截面
DF
的应力称为
“ 正应力”
ΔFN
C
A
例题
2.8
计算图示结构BC和CD杆横截面上的正应力值。
已知CD杆为φ28的圆钢，BC杆为φ22的圆钢。
D
E A 1m
以AB杆为研究对像
材料力学(孙训方课件)
1 即: E
或 :
弹性定律是材料力学等固体力学中的一个非常重要的定律。一般认 为它是由英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来的，所以通常叫做胡 克定律。
例 2-4-1 小变形放大图与位移的求法。
1、怎样画小变形放大图？
ym
N CD LCD
变形线如红线 : 2 ym LCD LAB LCD
3 PL 2 5 PL 19PL 4 EA 3 12EA 36EA
a, 求作用点B的位移。 例2 4 6 水平刚杆由斜拉杆 CD拉住，如图
a
A
a
、 EA L C 60 B
N(x)
0 N ( x) p
0
A
轴力引起的正应力 —— ： 在横截面上均匀分布。
3. 危险截面及最大工作应力： 危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。
危险点：应力最大的点。
N ( x) max max( ) A( x)
4. 公式的应用条件：
直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定 的距离。
§2–1 轴向拉压的概念及实例
一、概念
轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。
轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向 缩扩。 轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。 轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。
力学模型如图
P
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
P
P
轴向压缩，对应的力称为压力。
：求各杆的变形量△Li ，如图；
A
L1
B L2 C P
△ L1
：变形图严格画法，图中弧线； ：变形图近似画法，图中弧之切线
材料力学(II)第二章-材料力学-孙训方
加。
30
1. 当Fs<F<Fu (Fu为整个C 截面上的＝s时的荷载)时。
随F的增加，max＝s(M=Ms)的截面由C截面向左、右两侧 扩展，塑性区向中性轴处扩展，弹性区的高度为2ys(图b)， C截面的弯矩为
h/2 ys y h 2 ys2 M 2 ( s b d y) y sb d y y b( ) s ys ys 4 3 0
gs
(d)
d
T
假设，其g 的变化规律如图d所示。根
据图b所示的~g关系， 的分布规律如 图e所示，即靠近边缘处已进入塑性状
s
态，其余部分仍处于弹性状态。设弹 性区的直径为ds。取dA=2pd，扭矩 为
d /2 πd s3 T s 2 π 2 s d ds / 2 16 π s 4d 3 d s3 (2) 48
得 2. 求 St、Sc
y 70 mm
1 70 50 37104 mm3 2 Sc 50 250 70 250 70 / 2 81104 mm3 S t 160 5070 50 / 2 50 70 50
3. 求 Mu
M u sWs s St Sc 235 37104 81104 277.3 kN m
的应力增加，直到1、2杆也发生屈服(1=2=s)，整个结构屈
服，从而丧失承载能力。这种状态称为极限状态，相应的荷 载为极限荷载，用Fu表示。令FN1= FN2 = FN3 =s A，由结点A 的平衡方程得
Fu s A1 2 cos
极限荷载和屈服荷载的比值为
(5)
Fu 1 2 cos Fs 1 2 cos3
式中，St、Sc分别表示受拉区和受压区面积对中性轴z的静矩，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
材料力学(II)第二章材料力学孙训方
材料力学孙训方
材料力学Ⅱ 电子教案
第二章考虑材料塑性的极限分析
第二章考虑材料塑性的极限分析__167;2-1 塑性材料简化的应力-应变曲线
__167;2-2 拉压杆系的极限荷载 __167;2-3 等直圆杆扭转时的极限扭矩
__167;2-4 梁的极限弯矩 __183; 塑性铰
材料力学孙训方
材料力学Ⅱ 电子教案
第二章考虑材料塑性的极限分析
__167;2-1 塑性材料简化的应力—应变曲线图a所示为低碳钢拉伸时
的应力—应变曲线，bc表示
be b s
卸载规律。
工程中有时要考虑材料塑性来计算构件的承载能力，低碳钢等塑性材料
p
c
在应力超过比例极限后，应力和应变为非线性关系，使分析极为复杂。
为了简化计
o
p e(a)
材料力学孙训方
材料力学Ⅱ 电子教案
第二章考虑材料塑性的极限分析
算，工程中把低碳钢等塑性材料的拉伸、压缩时的应力—应变关系简化为图b 所示的曲线。
即认为材料屈服前服从胡克定律，屈服后不考虑强化，拉伸和压缩时材料的屈服极限和弹性模量分别相等。
该曲线称为弹性─理想塑性模型，这种
材料称为弹性─ 理
想塑性材料(通常简称为理想弹塑性材料)。
同样，也可将塑性材料的 -g曲线简化为图c所示的曲线。
s s(b)3
b
s
gs(c)
g
材料力学孙训方
材料力学Ⅱ 电子教案
第二章考虑材料塑性的极限分析
__167;2-2 拉压杆系的极限荷载图a所示的静定结构中，各杆的材料相同，其应力—应变关系如图b所示。
随着载荷增加，当其中任一杆横截面上的应力达到屈服极限时，该结构成为几何可变的机构，丧失承载能力。
可见静定拉压杆系结构，考虑材料的塑性，也不能提高结构的承载能力。
超静定杆系结构见下例。
B
C
s
A s
F(a)4
(b)
材料力学孙训方
材料力学Ⅱ 电子教案
第二章考虑材料塑性的极限分析
例2-1 图a所示超静定杆系结构中，三杆的材料相同， - 关系如图b所示，弹性模量为E。
三杆的横截面积均为A。
试
分析当荷载F逐渐增加时三杆的应力和结点A位移的变化情况。
l
(a)5
(b)
材料力学孙训方
材料力学Ⅱ 电子教案
第二章考虑材料塑性的极限分析
解： (1) 应力1. 当F 较小时，三杆均处于弹性工作状态，解此超静
定结构，得到三杆的轴力，除以其横截面面积后得三杆的应力分别为
1 2
A 1 2 cos 3
F cos2
(1)
F 3 A 1 2 cos3
(2)
F
可见
3 1 2
(c)6
材料力学孙训方
材料力学Ⅱ 电子教案
第二章考虑材料塑性的极限分析
2. F增加到Fs时，3杆首先屈服，1、2杆仍处于弹性工作状态。
Fs 称为屈服载荷。
令 3= s,F =Fs。
由(2)式得
Fs s A 1 2 cos3
(3)
由于FN3=σsA,使超静
定结构成为静定结构，荷载还可以继续增加，由结点A的平衡方程，得1、2杆的轴力为
FN1 FN 2应力为7
Fs s A 2 cos (4)
Fs / A s 1 2 2 cos
材料力学孙训方
材料力学Ⅱ 电子教案
第二章考虑材料塑性的极限分析
3. 继续增加荷载，3杆的应力保持 3= s不变，1、2杆
的应力增加，直到1、2杆也发生屈服( 1= 2= s),整个结构屈服，从而丧失承载能力。
这种状态称为极限状态，相应的荷载为极限荷载，用Fu表示。
令FN1= FN2 = FN3 = s A,由结点A 的平衡方程得
Fu s A 1 2 cos 极限荷载和屈服荷载的比值为
(5)
Fu 1 2 cos Fs 1 2 cos3
当 =45__176;时，Fu/Fs=1.41,即考虑材料塑性将使结构的承载能力提高1.41倍。
8
材料力学孙训方
材料力学Ⅱ 电子教案
第二章考虑材料塑性的极限分析
(2) A点的位移 1. F=Fs时， 3= s ,3杆屈服，1、2杆仍处于弹性工作状态，由图d可得A点的位移为1
3
2
A l 2
l1
l3
s l3
s A l EA
(6)
A (d) 2. 继续增加荷载，3杆的应力 3= s保持不变，增加部分的荷载将由1、2杆承担，使1、2杆的弹性变形不断增加，直到1、2杆刚刚出现塑性变形，A
点的位移为9
材料力学孙训方
材料力学Ⅱ 电子教案
第二章考虑材料塑性的极限分析
u l1
cos
EA cos 2
s Al
(7)
b a
外力F和A点位移Δ之间的关系，如图e所示。
F_lt;Fs时，结构的刚
度由三根杆组成，F≥Fs时，3杆屈服，结构的刚度由1, 2杆组成，所以Oa 和ab的斜率不同。
(e)
材料力学孙训方
材料力学Ⅱ 电子教案
第二章考虑材料塑性的极限分析
由于一次超静定杆系结构中，存在一个多余约束的杆 (例如，例2-1中的3杆)当某一杆发生塑性变形时，结构成
为静定结构，还可以继续承载，直到结构中另外的杆发生塑性变形，使结构丧
失承载能力，达到极限状态。
l
(a)11
材料力学孙训方
材料力学Ⅱ 电子教案
第二章考虑材料塑性的极限分析
__167;2-3 等直圆杆扭转时的极限扭矩图a所示圆截面杆，其 -g 的关系如图b所示。
本节讨论等直圆杆极限扭矩及扭转残余应力问题。
材料力学孙训方
材料力学Ⅱ 电子教案
第二章考虑材料塑性的极限分析
Ⅰ. 极限扭矩 (1) 由塑性材料制成的受扭
so
圆截面杆，一般把 ma_= s(图c)作为破坏条件，并以此建立强度条件。
边缘屈服时的扭矩称为屈服扭矩，并用Ts表示，其值为π d3 Ts s 16 (1)
sd (c)
Ts
仅当 ma_= s时，圆杆不会发生明显的屈服变形，扭矩还可以继续增加。
13 材料力学孙训方
材料力学Ⅱ 电子教案
第二章考虑材料塑性的极限分析。