资料数学

第八章 多元函数微分法及其应用典型例题分析客观题例1 下列命题中正确的是( ) (A)),(lim lim 00y x f y y x x →→与),(lim ),(),(00y x f y x y x →等价； (B) 函数在点),(00y x 连续,则极限),(lim),(),(00y x f y x y x →必定存在；(C)p xf ∂∂与p yf ∂∂都存在,则),(y x f 在点),(00y x 必连续；(D)),(y x f 在0p 点沿任何方向→u 的方向导数存在,则),(y x f 在点),(00y x 必连续. 答案 B例2若二元函数),(y x f z =在点),(000y x P 处的两个偏导数x z ∂∂，yz ∂∂存在，则（ ）（A ）),(y x f 在0P 点连续； （B ）),(0y x f z =在0P 点连续；（C ）dy yz dx xz dz P P 0∂∂+∂∂=； （D ）A ，B ，C 都不对.答案 B解题思路 偏导数),(00y x xz ∂∂存在意味着一元函数),(0y x f z =在点0x x =可导,所以),(0y x f z =在0P 点连续.但是多元函数在某一点存偏导数在,即使是存在所有偏导数,也不能推出函数在该点的连续性.更不能推出函数在该点可微.例3 如),(y x f 在点),(00y x 不可微, 则下列命题中一定不成立的是（ ） (A)),(y x f 在点),(00y x 不连续；(B)),(y x f 在点),(00y x 沿任何方向v ϖ的方向导数不存在； (C)),(y x f 在点),(00y x 两个偏导数都存在且连续；(D)),(y x f 在点),(00y x 两个偏导数存在且至少有一个不连续. 答案 C解题思路 四个选项中只有C 是函数),(y x f 在点),(00y x 可微的充分条件.所以由),(y x f 在点),(00y x 不可微这一条件推出),(y x f 在点),(00y x 两个偏导数不可能都存在且连续.例4 下列哪一个条件成立时能够推出),(y x f 在),(00y x 点可微,且全微分0=df ？（ ）(A) 在点),(00y x 两个偏导数0,0='='y x f f (B)),(y x f 在点),(00y x 的全增量22yx y x f ∆+∆∆∆=∆,(C)),(y x f 在点),(00y x 的全增量2222)sin(yx y x f ∆+∆∆+∆=∆(D) ),(y x f 在点),(00y x 的全增量22221sin )(yx y x f ∆+∆∆+∆=∆答案：D解题思路 当D 中的条件成立时,有01sin 1lim lim2200),(00=∆∆∆=∆∆=∂∂→∆→∆xx x x f xf x x y x01sin 1lim lim2200),(00=∆∆∆=∆∆=∂∂→∆→∆yy y y f yfx y y x又不难看出,当0,0→∆→∆y x 时,),(y x f 在点),(00y x 的全增量22221sin )(y x y x f ∆+∆∆+∆=∆与2122)(y x ∆+∆相比是高阶无穷小,因此),(y x f 在),(00y x 点可微,且全微分0=∂∂+∂∂=dy yfdx x f df . 注释 在求偏导数),(00y x xf∂∂时,0=∆y,),(),(0000y x f y x x f f -∆+=∆.例5 (97103) 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在点)0,0(处( )连续且偏导数存在.A 不连续但偏导数存在.B 不连续但偏导数存在.C 不连续且偏导数存在.D答案C解题思路 由于当0=x 或者0=y时,0),(≡y x f ,所以000,lim 0)0,0()0,(lim )0,0(00=--=--=∂∂→→x x f x f x f x x 0000lim 0)0,0(),0(lim )0,0(00=--=--=∂∂→→x y f y f y f x y 于是两个偏导数都存在.但是),(y x f 在点)0,0(不连续,这是因为,当y x =时,212lim ),(lim220)0,0(),(==→→x x y x f x y x当y x -=时,212lim ),(lim220)0,0(),(-=-=→→x x y x f x y x因此当动点),(y x 沿不同射线,y x y x -==,趋近于原点时,),(y x f 趋向于不同的值,因而),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在,从而),(y x f 在点)0,0(不连续.例6 设xy y x f =),(,则在)0,0(点( )(A) 连续,但偏导数不存在；(B) 偏导数存在,但不可微； (C) 可微；(D) 偏导数存在且连续. 答案：B解题思路 显然设xy y x f =),(,在)0,0(的两个偏导数都等于零.如果xy y x f =),(,在)0,0(可微,则0)0,0(=df ,从而y x df y x f ∆∆=-∆),(与22y x ∆+∆相比较是高阶无穷小.但是,当y x ∆=∆时,全增量||y x f ∆∆=∆||x ∆=与自变量改变量),(x x ∆∆的长度22y x ∆+∆=||2x ∆相比不是高阶无穷小.例7 设函数),(y x f 在点)0,0(处的偏导数3)0,0(='x f ，1)0,0(='y f ，则下列命题成立的是（ ）(A) dy dx df +=3)0,0(；(B)函数),(y x f 在点)0,0(的某邻域内必有定义；(C)曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在点)0,0(处的切向量为k i ϖϖ3+；(D)极限),(lim )0,0(),(y x f y x →必存在.答案：C 解题思路 偏导数)0,0(x f '和)0,0(y f '只能推出函数f 在直线0=x 和0=y 上有定义,并且一元函数)0,(x f 和),0(y f 分别在点0=x 与0=y 存在导数.偏导数存在既不能推出函数f 在点)0,0(可微.也推不出极限),(lim )0,0(),(y x f y x →存在,甚至不能推出f 在点)0,0(的某邻域内有定义.因此选项D B A ,,都是不正确的.曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 是zOx 平面上的一条曲线)0,(x f z =,该曲线在0,0==z x 处的斜率等于3)0,0(='x f ,所以在点)0,0(处的切向量为k i ϖϖ3+.例8 通过曲面:S 3=+-+z y x exyz上点)1,0,1(的切平面（ ）（A ）通过y 轴； （B ）平行于y 轴； （C ）垂直于y 轴； （D ）A ，B ，C 都不对. 答案 B 解题思路 令3),,(-+-+=z y x e z y x F xyz .则S 在其上任一点M 的法向量为)(grad M F M zF y F x F ),,(∂∂∂∂∂∂=.于是S 在点M )1,0,1(的法向量为 )1,0,1()1,1,1()1,0,1(=+-+xyz xyz xyz xye xze yze .因此, 切平面的方程为0)1()1(=-+-z x . S 在)1,0,1(的法向量垂直于y 轴,从而切平面平行于y 轴.但是由于原点不在切平面,故切平面不含y 轴.非客观题8．1 多元函数的极限与连续例1 求函数22222arcsin yx x xy x x y z ---++=的定义域。

解xyarcsin的定义域是： ||||1x y xy≤≤即，0≠x 22222yx x xy x ---+的定义域是： x y x x 222<+≤故所求函数的定义域为：⎪⎩⎪⎨⎧≠≤<+≤0||||222x x y x y x x 例2 若22),(y x y x f x y-=+，求),(y x f解 设u y x =+，v xy =, 则 v uvy v u x +=+=1,1 于是 vv u v uv v u v u f +-=+-+=1)1()1()1(),(222即yy x y x f +-=1)1(),(2 )1(-≠y例3 利用二重极限定义证明极限 0lim 222200=+-→→y x y x xy y x 分析：因为 12222≤+-y x y x ，所以对于任意正数ε,为了使 ε≤-+-02222y x y x xy ,只须 ε≤||xy .又因为22222y x y x y x xy +<+≤= 故只须 ε<+22y x ， 即ε<+22y x 。

于是可取 εδ= ,只要δ<+22y x ,就有ε≤-+-02222y x y x xy 。

因此0lim 222200=+-→→y x y x xy y x 证明 对于任意正数ε, ， 取εδ=，则当 δ<-+-<22)0()0(0y x 时 ， 即εδ=<+222y x 时恒有ε<+≤≤+-=-+-2222222222 xy 0y x yx y x xy y x y x xy 因此 0lim 222200=+-→→y x y x xy y x . 例4 证明极限 02lim2200=+→→y x xyy x 不存在分析：根据二元函数极限的定义，所谓二重极限 ),(lim 00y x f y x →→存在，是指点),(y x p 以任意方式趋于点),(000y x p 时，函数),(y x f 都趋近于某个常数A 。

因此，要想证明),(y x f 的二重极限不存在，只要点p 以某一特殊方式趋于点0p 时，),(y x f 不趋于A ；或者当p 以两种不同方式趋于点0p 时，),(y x f 趋于不同的值就可以了。

证明 考虑点),(y x 沿直线kx y =趋向于点)0,0(时，则有：22220220012.2lim 2limk kx k x kx x y x xy x y x +=+=+→→→ 该极限的值不是一个确定常数，它随着直线kx y =的斜率k 的变化而变化。

例如，当k 等于0时，02lim2200=+→→y x xyy x ; 当k 等于1时，12lim 2200=+→→y x xy y x 因此极限2202limy x xyy x +→→不存在。

例5 求下列极限（1）2203)ln(limy x e x y y x ++→→（2）22limy xy x yx y x +-+∞→∞→（3）)(22)(lim y x y x ey x +-∞→∞→+（4）22)(lim 220y x y x y x +→→（5）yx x x ay x +-→∞→2)211(lim解(1）2ln 3234ln lim )ln(lim )ln(lim2203032203==++=++→→→→→→y x e x y x e x y x y y x y y x (2）由不等式 xy y x 222≥+，得01102222→+=+≤+-+=-+-+y x xy y x y xy x y x y xy x y x （∞→x ，∞→y ）所以 0lim22=+-+∞→∞→y xy x yx y x(3）因为对充分大的0>A ，当A x >，A y >时，有2x e x >，2y e y >于是，有011110)(2222)(22→+<⋅+⋅=+=-+++-yx y x x y y x y x e e e y e e x e e y x ey x（∞→x ，∞→y ） 所以 0)(lim )(22=++-∞→∞→y x y x ey x（4）由不等式 4)(22222y x y x +≤，得)ln(4)(0)ln(222222222y x y x y x y x ++≤-+又因为 0ln lim 41)ln(4)(lim202222200==+++→→→t t y x y x t y x所以 1lim )(lim 0)ln(002200222222===++→→→→e e y x y x y xy x y x y x（5）21212)21(2])211[(lim )211(lim )211(lim 2-+⋅--→∞→-⋅+⋅-→∞→+→∞→=-=-=-e x x x yx xx ay x y x x x a y x yx x ay x 例6 讨论下列函数在点)0,0(处的累次极限及二重极限（1）2222),(yx y x y x f +-= （2）22222)(),(y x y x y x y x f -+= （3）yx y x y x f 1sin 1sin)(),(+= 解（1）1lim ),(lim lim 22000-=-=→→→yy y x f y x y1lim ),(lim lim 22000==→→→xx y x f x y x因为)1()1()1()1(lim ),(lim ),(lim 2222220000k k x k x k kx x f y x f x x kx y x +-=+-==→→→=→ 所以， ),(lim 0y x f y x →→不存在。