第2课时 参数方程
人教版高中数学选修4-4课件：2.1曲线的参数方程 第二课时.2
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【解析】(1)选D.xy=1,x取非零实数,而A,B,C中的x的
范围不符合要求.
(2)①把y=sinθ代入方程,得到 于是x2=4(1-sin2θ)=4cos2θ,
x2 sin2 1， 4
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即x=±2|cosθ|,由于θ具有任意性,sinθ与cosθ的
t
2，(t为参数)化为普通方程为________.
【解析】消去y参 2数t 方程 x 中t2，的参数t,
得到普通方程为y2=4x. y 2t
答案:y2=4x
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【知识探究】 探究点 参数方程和普通方程的互化 1.同一曲线的参数方程是否唯一? 提示:求曲线的参数方程,关键是灵活确定参数,由于参 数不同,同一曲线的参数方程也会有差异,但是一定要 注意等价性.
(θ为参数)
x 2cos,
y 1 2பைடு நூலகம்in
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【解析】选D.圆x2+(y+1)2=2的圆心坐标为C(0,-1),半
径为
2
,所以它的参数方程为 x
2cos,
(θ为参
数).
y 1 2sin,
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2.参数方程
x
(为参数) .
(1)3x+4y=3cosθ+4sinθ+4=4+5sin(θ+φ),
其中 tan 且34φ, 的终边过点(4,3).
因为-5≤5sin(θ+φ)≤5,所以-1≤4+5sin(θ+φ)≤9,
所以3x+4y的最大值为9,最小值为-1.
高中数学参数方程
突破点一
突破点二
课时达标检测
参数方程
结束
4．[考点二]设直线
l
的参数方程为xy＝＝43＋＋ttscions
α， α
(t 为参数，α
为倾斜角)，圆 C 的参数方程为xy＝＝－1＋1＋2co2ssiθn，θ (θ 为参数)．
(1)若直线 l 经过圆 C 的圆心，求直线 l 的斜率；
(2)若直线 l 与圆 C 交于两个不同的点，求直线 l 的斜率的取
1．解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题，其一般思 路如下：
第一步，把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程；
第二步，根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题．
2．当直线经过点 P(x0，y0)，且直线的倾斜角为 α，求直线 与圆锥曲线的交点、弦长问题时，可以把直线的参数方程设成
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α
1解题时，易将直线与圆的极坐标方程混淆.要熟练掌 握特殊直线、圆的极坐标方程的形式.
2应用解析法解决实际问题时，要注意选取直角坐标 系还是极坐标系，建立极坐标系要注意极点、极轴位置的 选择，注意点和极坐标之间的“一对多”关系.
突破点一
突破点二
课时达标检测
参数方程
结束
3求曲线方程，常设曲线上任意一点 Pρ，θ，利用 解三角形的知识，列出等量关系式，特别是正弦、余弦 定理的应用.圆的参数方程常和三角恒等变换结合在一 起，解决取值范围或最值问题.
(t 为参数)，交点 A，B 对应的参数分别为 t1，
t2，计算时把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求
出 t1＋t2，t1·t2，得到|AB|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1·t2.
参数方程和普通方程的互化
(t为参数)
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利用参数思想解题
已知 x、y 满足 x2＋(y－1)2＝1，求： (1)3x＋4y 的最大值和最小值； (2)(x－3)2＋(y＋3)2 的最大值和最小值.
【思路探究】 设圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值和最 小值问题来解决．
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【自主解答】 由圆的普通方程x2＋(y－1)2＝1得圆的参数方程为
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(2)(x－3)2＋(y＋3)2 ＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2 ＝26＋8sin θ－6cos θ ＝26＋10sin(θ＋φ)．
其中tan φ＝－34， 且φ的终边过点(4，－3)． ∵－10≤10sin(θ＋φ)≤10， ∴16≤26＋10sin(θ＋φ)≤36， 所以(x－3)2＋(y＋3)2的最大值为36，最小值为16.
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探究2 将参数方程化为普通方程时，常用的方法有哪些？
【提示】 (1)代入法．先由一个方程中求出参数的表达式(用直角坐标变 量表示)，再代入另一个方程．教科书例3(1)用的就是代入法．
(2)利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．教科书例3(2)就用此法．例
如对于参数方程xy＝ ＝aatt－＋11tt csions
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[再练一题] 1．设y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程是________． 【解析】 把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0得x＝1＋4tt2，y＝14＋t2t2，
∴参数方程为xy＝＝114＋ ＋4tt2tt22，
(t为参数)．
【答案】
x＝1＋4tt2 y＝14＋t2t2
课时作业13：第2课时 参数方程
第2课时 参数方程1.已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数). (1)求曲线C 的普通方程；(2)经过点P ⎝⎛⎭⎫1，12(平面直角坐标系xOy 中的点)作直线l 交曲线C 于A ，B 两点，若P 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程.解 (1)由曲线C 的参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ＝x 2，sin θ＝y ，所以cos 2θ＋sin 2θ＝⎝⎛⎭⎫x 22＋y 2＝1，所以曲线C 的普通方程为x 24＋y 2＝1. (2)设直线l 的倾斜角为θ1，则直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ1，y ＝12＋t sin θ1(t 为参数)， 代入曲线C 的直角坐标方程，得(cos 2θ1＋4sin 2θ1)t 2＋(2cos θ1＋4sin θ1)t －2＝0，所以t 1＋t 2＝－2cos θ1＋4sin θ1cos 2θ1＋4sin 2θ1，由题意知t 1＝－t 2， 所以2cos θ1＋4sin θ1＝0，得k ＝－12， 所以直线l 的方程为x ＋2y －2＝0.2.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：x 23＋y 24＝1，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ(2cos θ－sin θ)＝6.(1)试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 1的参数方程；(2)在曲线C 1上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值.解 (1)由条件得ρ(2cos θ－sin θ)＝2ρcos θ－ρsin θ＝6，将ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入上式得2x －y －6＝0，∴直线l 的直角坐标方程为2x －y －6＝0.由⎩⎨⎧x 3＝cos θ，y 2＝sin θ， 得⎩⎨⎧ x ＝3cos θ，y ＝2sin θ， ∴曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数). (2)设点P 的坐标(3cos θ，2sin θ)，则点P 到直线l 的距离为d ＝|23cos θ－2sin θ－6|5＝⎪⎪⎪⎪4sin ⎝⎛⎭⎫π3－θ－65， ∴当sin ⎝⎛⎭⎫π3－θ＝－1，即θ＝5π6时， d max ＝|4＋6|5＝25， 此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－32，1. 3.(2019·四川省名校联盟模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的方程为ρ2(cos 2θ＋4sin 2θ)＝4，过点P (2,1)的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数).(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |的值，并求定点P 到A ，B 两点的距离之积.解 (1)由⎩⎨⎧ x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，消去参数t ，得直线l 的普通方程为x －y －1＝0.由ρ2(cos 2θ＋4sin 2θ)＝4，得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋4y 2－4＝0.(2)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，代入x 2＋4y 2－4＝0，得5t 2＋122t ＋8＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－1225，t 1t 2＝85. ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝⎝⎛⎭⎫－12252－4×85＝825， |P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝85. 所以|AB |的值为825，定点P 到A ，B 两点的距离之积为85.4.在平面直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 经过点A (－2,1).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为1ρ＝ρ＋2sin θ3. (1)写出曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 有两个不同的交点M ，N ，求|AM |＋|AN |的取值范围.解 (1)由1ρ＝ρ＋2sin θ3，得ρ2＋2ρsin θ＝3. 将⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ代入上式中， 得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＋2y －3＝0.(2)将l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)代入C 的方程x 2＋y 2＋2y －3＝0， 整理得t 2－4(cos α－sin α)t ＋4＝0.因为直线l 与曲线C 有两个不同的交点，所以Δ＝42(cos α－sin α)2－42>0，化简得cos αsin α<0.又0≤α<π，所以π2<α<π，且cos α<0，sin α>0. 设方程的两根为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝4(cos α－sin α)<0，t 1t 2＝4>0，所以t 1<0，t 2<0， 所以|AM |＋|AN |＝－(t 1＋t 2)＝4(sin α－cos α)＝42sin ⎝⎛⎭⎫α－π4. 由π2<α<π，得π4<α－π4<3π4，所以22<sin ⎝⎛⎭⎫α－π4≤1， 从而4<42sin ⎝⎛⎭⎫α－π4≤42，即|AM |＋|AN |的取值范围是(4,42].5.已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 1上的点按坐标变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝32x ＋23，y ′＝3y ＋2得到曲线C 2，以原点为极点、x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.(1)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若直线θ＝π4(ρ∈R )与曲线C 1交于M ，N 两点，与曲线C 2交于P ，Q 两点，求|PQ ||MN |的值. 解 (1)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)，消去参数α，得x 24＋y 23＝1. 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴3ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝12，即曲线C 1的极坐标方程为ρ2(3＋sin 2θ)＝12.又由已知⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝32x ＋23，y ′＝3y ＋2，得⎩⎨⎧ x ＝23(x ′－23)，y ＝13(y ′－2)，代入x 24＋y 23＝1，得(x ′－23)29＋(y ′－2)29＝1， ∴曲线C 2的直角坐标方程为(x －23)2＋(y －2)2＝9.(2)将θ＝π4代入ρ2(3＋sin 2θ)＝12，得ρ2＝247，∴ρ＝±2427，∴|MN |＝4427. 又直线的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝22t ，y ＝22t (t 为参数)，代入(x －23)2＋(y －2)2＝9，整理得t 2－22(3＋1)t ＋7＝0，分别记P ，Q 两点对应的参数为t 1，t 2，则⎩⎨⎧ t 1＋t 2＝22(3＋1)，t 1·t 2＝7， ∴|PQ |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝243＋1，∴|PQ ||MN |＝243＋14427＝1683＋4212.。
第2课时 参 数 方 程
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
∵90°<α<180°，∴当 2α＝270°，即 α＝135°时，|PA|·|PB| 有最小值．
∴直线方程为x＝3－
22t， (t
为参数)，化为普通方程即
x＋y
y＝2＋
2 2t
－5＝0.
【答案】 x＋y－5＝0
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
(2)(2018·福建八校模拟)已知在平面直角坐标系xOy中，直线
π 当 θ＝ 2 时，|AB|取得最小值，最小值为 2.
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
授人以渔
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
题型一 参数方程化为普通方程
把下列参数方程化为普通方程．
x＝ (1)y＝2
t， 1－t(t
为参数)；
x＝sinθ， (2)y＝cos2θ (θ
为参数，θ∈[0，2π])．
A．直线 x＋2y－2＝0 B．以(2，0)为端点的射线 C．圆(x－1)2＋y2＝1 D．以(2，0)和(0，1)为端点的线段
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
答案 D 解析 将曲线的参数方程化为普通方程得 x＋2y－2＝ 0(0≤x≤2，0≤y≤1)．
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
4．已知直线xy＝ ＝xy00＋ ＋abtt，(t 为参数)上两点 A，B 对应的参数
值是 t1，t2，则|AB|等于( ) A．|t1＋t2|
B．|t1－t2|
C. a2＋b2|t1－t2|
D.
|t1－t2| a2＋b2
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
高中数学 第二章 参数方程 第2节 第2课时 双曲线、抛物线的参数方程教学案 新人教A版选修4-4-
第2课时 双曲线、抛物线的参数方程[核心必知]1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ，规定参数φ的取值X 围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b tan φ，y ＝a sec φ．2．抛物线的参数方程 (1)抛物线y2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt ，t ∈R ．(2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．[问题思考]1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？提示：参数φ是点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角(称为点M 的离心角)，而不是OM 的旋转角．2．如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置？提示：如果x 对应的参数形式是a sec φ，那么焦点在x 轴上； 如果y 对应的参数形式是a sec φ，那么焦点在y 轴上．3．假设抛物线的参数方程表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p tan 2α，y ＝2ptan α.那么参数α的几何意义是什么？提示：参数α表示抛物线上除顶点外的任意一点M ，以射线OM 为终边的角．在双曲线x 2－y 2＝1上求一点P ，使P 到直线y ＝x 的距离为 2.[精讲详析] 此题考查双曲线的参数方程的应用，解答此题需要先求出双曲线的参数方程，设出P 点的坐标，建立方程求解．设P 的坐标为(sec φ，tan φ)，由P 到直线x －y ＝0的距离为2得|sec φ－tan φ|2＝2得|1cos φ－sin φcos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ| 平方得1－2sin φ＋sin 2φ＝4(1－sin 2φ)， 即5sin 2φ－2sin φ－3＝0. 解得sin φ＝1或sin φ＝－35.sin φ＝1时，cos φ＝0(舍去)． sin φ＝－35时，cos φ＝±45.∴P 的坐标为(54，－34)或(－54，34)．——————————————————参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的，因而曲线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解过程，特别是涉及到最值、定值等问题的计算时，用参数方程可将代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识处理．1．求证：等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶点． 证明：设双曲线为x 2－y 2＝a 2，取顶点A (a ，0)，弦B ′B ∥Ox ，B (a sec α，a tan α)，那么B ′(－a sec α，a tan α)．∵k B ′A ＝a tan α－a sec α－a ，k BA ＝a tan αa sec α－a，∴k B ′A ·k BA ＝－1.∴以BB ′为直径的圆过双曲线的顶点．连接原点O 和抛物线2y ＝x 2上的动点M ，延长OM 到P 点，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明它是何曲线．[精讲详析] 此题考查抛物线的参数方程的求法及其应用．解答此题需要先求出抛物线的参数方程并表示出M 、P 的坐标，然后借助中点坐标公式求解．设M (x 、y )为抛物线上的动点，P (x 0，y 0)在抛物线的延长线上，且M 为线段OP 的中点，抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4t ，y 0＝4t 2， 变形为y 0＝14x 20，即x 2＝4y .表示的为抛物线．——————————————————在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x ，y 表示成关于参数的函数)，然后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标2．抛物线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t (t 为参数)，设O 为坐标原点，点M 在抛物线C 上，且点M 的纵坐标为2，求点M 到抛物线焦点的距离．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t得y 2＝2x ，即抛物线的标准方程为y 2＝2x . 又∵M 点的纵坐标为2， ∴M 点的横坐标也为2. 即M (2，2)．又∵抛物线的准线方程为x ＝－12.∴由抛物线的定义知|MF |＝2－(－12)＝2＋12＝52.即点M 到抛物线焦点的距离为52.如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)的右顶点和右焦点，求该椭圆上的点到双曲线渐近线的最大距离．[精讲详析] 此题考查椭圆及双曲线的参数方程，解答此题需要先将双曲线化为普通方程并求得渐近线方程，然后根据条件求出椭圆的参数方程求解即可．∵x 216－y 29＝1，∴右焦点(5，0)，右顶点(4，0)．设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1，∴a ＝5，c ＝4，b ＝3.∴方程为x 225＋y 29＝1.设椭圆上一点P (5cos θ，3sin θ)， 双曲线一渐近线为3x －4y ＝0，∴点P 到直线的距离d ＝|3×5cos θ－12sin θ|5＝3|41sin 〔θ－φ〕|5(tan φ＝54)．∴d max ＝3415.——————————————————对于同一个方程，确定的参数不同， 所表示的曲线就不同，当题目条件中出现多个字母时，一定要注明什么是参数，什么是常量，这一点尤其重要．3．(某某高考)两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R )，它们的交点坐标为______________．解析：由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤π)得x 25＋y 2＝1(y ≥0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )得x ＝54y 2.联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 2＝1，x ＝54y2那么5y 4＋16y 2－16＝0，解得y 2＝45或y 2＝－4(舍去)，那么x ＝54y 2＝1.又y ≥0，所以其交点坐标为(1，255)．答案：(1，255)本课时的考点是双曲线或抛物线的参数方程与普通方程的互化．某某高考以抛物线的参数方程为载体考查抛物线定义的应用，属低档题．[考题印证](某某高考)抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt ，(t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .假设|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，那么p ＝________．[命题立意] 此题考查抛物线的参数方程与普通方程的互化及抛物线定义的应用． [解析] 由题意知，抛物线的普通方程为y 2＝2px (p >0)，焦点F (p 2，0)，准线x ＝－p2，设准线与x 轴的交点为A .由抛物线定义可得|EM |＝|MF |，所以△MEF 是正三角形，在Rt △EFA 中，|EF |＝2|FA |，即3＋p2＝2p ，得p ＝2.答案：2一、选择题1．以下参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|t |，y ＝tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝cos2tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1＋cos 2t 1－cos 2tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t解析：选D 注意参数X 围，可利用排除法．普通方程x 2－y ＝0中的x ∈R ，y ≥0.A 中x ＝|t |≥0，B 中x ＝cos t ∈[－1，1]，故排除A 和B.而C 中y ＝2cos 2t 2sin 2t ＝cot 2t ＝1tan 2t ＝1x 2，即x 2y ＝1，故排除C.2．以下双曲线中，与双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec θ，y ＝tan θ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )A.y 23－x 29＝1B.y 23－x 29＝－1C.y 23－x 2＝1 D.y 23－x 2＝－1 解析：选B 由x ＝3sec θ得，x 2＝3cos 2θ＝3〔sin 2θ＋cos 2θ〕cos 2θ＝3tan 2θ＋3， 又∵y ＝tan θ，∴x 2＝3y 2＋3，即x 23－y 2＝1.经验证可知，选项B 合适．3．过点M (2，4)且与抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝4t 只有一个公共点的直线有( )条( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2y ＝4t 得y 2＝8x .∴点M (2，4)在抛物线上．∴过点M (2，4)与抛物线只有一个公共点的直线有2条．4．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t－2－t，y ＝2t ＋2－t(t 为参数)表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的上支 C ．双曲线下支 D ．圆解析：选B 将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，得：x 2－y 2＝(2t －2－t )2－(2t ＋2－t )2＝－4，即y 2－x 2＝4.又注意到2t>0，2t＋2－t≥22t ·2－t＝2，即y ≥2. 可见与以上参数方程等价的普通方程为：y 2－x 2＝4(y ≥2)．显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支．二、填空题5．(某某高考)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．解析：代入法消参，得到圆锥曲线的方程为y 2＝4x ，那么焦点坐标为(1，0)． 答案：(1，0)6．抛物线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t(t 为参数)设O 为坐标原点，点M 在C 上运动(点M 与O 不重合)，P (x ，y )是线段OM 的中点，那么点P 的轨迹普通方程为________．解析：抛物线的普通方程为y 2＝2x ，设点P (x ，y )，点M 为(x 1，y 1)(x 1≠0)，那么x 1＝2x ，y 1＝2y .∵点M 在抛物线上，且点M 与O 不重合， ∴4y 2＝4x ⇒y 2＝x .(x ≠0) 答案：y 2＝x (x ≠0)7．双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α(α为参数)的两焦点坐标是________．解析：双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α(α为参数)的标准方程为y 236－x 212＝1，焦点在y 轴上，c 2＝a 2＋b 2＝48. ∴焦点坐标为(0，±43)． 答案：(0，±43)8．(某某高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t(t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，那么曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析：由⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝ t ，得y ＝x ，又由⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，得x 2＋y 2＝2. 由⎩⎨⎧y ＝x ，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， 即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1，1)． 答案：(1，1) 三、解答题9．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，A 、B 是双曲线同支上相异两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P (x 0，0)，求证：|x 0|>a 2＋b 2a.证明：设A 、B 坐标分别为(a sec α，b tan α)，(a sec β，b tan β)，那么中点为M (a2(sec α＋sec β)，b2(tan α＋tan β))，于是线段AB 中垂线方程为y －b2(tan α＋tan β)＝－a 〔sec α－sec β〕b 〔tan α－tan β〕[x －a2(sec α＋sec β)]．将P (x 0，0)代入上式，∴x 0＝a 2＋b 22a(sec α＋sec β)．∵A 、B 是双曲线同支上的不同两点， ∴|sec α＋sec β|>2.∴|x 0|>a 2＋b 2a.10．过点A (1，0)的直线l 与抛物线y 2＝8x 交于M 、N 两点，求线段MN 的中点的轨迹方程．解：设抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)，可设M (8t 21，8t 1)，N (8t 22，8t 2)， 那么k MN ＝8t 2－8t 18t 22－8t 21＝1t 1＋t 2. 又设MN 的中点为P (x ，y )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 21＋8t 222，y ＝8t 1＋8t 22.∴kAP＝4〔t 1＋t 2〕4〔t 21＋t 22〕－1. 由k MN ＝k AP 知t 1·t 2＝－18，又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4〔t 21＋t 22〕，y ＝4〔t 1＋t 2〕， 那么y 2＝16(t 21＋t 22＋2t 1t 2)＝16(x 4－14)＝4(x －1)．∴所求轨迹方程为y 2＝4(x －1)．11．圆O 1：x 2＋(y －2)2＝1上一点P 与双曲线x 2－y 2＝1上一点Q ，求P 、Q 两点距离的最小值．解：设Q (sec θ，tan θ)，|O 1P |＝1， 又|O 1Q |2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4) ＝2tan 2θ－4tan θ＋5 ＝2(tan θ－1)2＋3.当tan θ＝1，即θ＝π4时，|O 1Q |2取最小值3，此时有|O 1Q |min ＝ 3. 又|PQ |≥|O 1Q |－|O 1P | ∴|PQ |min ＝3－1.。
2019-2020年高考总复习数学课件：第十章 第3讲 第2课时 参数方程
(t 为参数)；过点 P(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的
参数方程为xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsions
α， α，
此时|t|表示参数 t 对应的点 M(x，
y)到定点 M0(x0，y0)的距离.
1.(2015 年广东)在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极
点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C1 的极坐标方程为
(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ，3sin θ)到 l 的距离为
d＝
5 5 |4cos
θ＋3sin
θ－6|.
则|PA|＝sind30°＝2 5 5|5sin(θ＋α)－6|，其中 α 为锐角，且
tan α＝43.
当 sin(θ＋α)＝－1 时，|PA|取得最大值，最大值为225 5；
当
方法二，直线 l 的普通方程为 y＝x＋2. 由xy2＝＋x9＋y22＝，9 消去 y，得 10x2＋36x＋27＝0. 于是Δ ＝362－4×10×27＝216>0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝－158<0，x1x2＝2170>0.所以 x1<0，x2<0. 故|PA|＋|PB|＝ 1＋12|x1－0|＋ 1＋12|x2－0|＝ 2|x1＋x2|＝ 18 2 5.
ρ(cos
θ＋sin
θ)＝－2，曲线
C2
的参数方程为
x＝t2， y＝2 2t
(t 为
参数)，则 C1 与 C2 交点的直角坐标为__(_2_，__－__4_)__.
解析：曲线 C1 的直角坐标方程为 x＋y＝－2，曲线 C2 的普
通方程为 y2＝8x，由yx2＋＝y8＝x －2， 得
高二数学之人教版高中数学选修4-4课件：第二讲一第2课时圆的参数方程
y＝1＋2tt2，
1 所以 y＝(1－x2)2，y2＝1－x2，
所以 x2＋y2＝1.
答案：D
4．已知圆的普通方程 x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，则它 的参数方程为__________________．
解析：由 x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，
得(x＋1)2＋(y－3)2＝1.
令 x＋1＝cos θ，y－3＝sin θ，
θ， θ
θ∈0，π2都表示同一圆．(
)
(4)圆的参数方程为xy＝＝2－si2n＋θ2cos
θ， (θ
为参数)，则
圆心坐标为(－2，0)．( )
x＝5sin 解析：(1)参数方程
θ， 消参后得到
x2＋y2＝
y＝5cos θ
25 ， 可 以 表 示 圆 ， 不 过 此 时 参 数 θ 的 几 何 意 义 与
审题指导：(1)先将圆的参数方程化为普通方程，然 后和直线方程联立方程组，解得交点的直角坐标，再化为 直角坐标．
(2)利用点到直线的距离公式求出距离，然后利用三 角函数知识求最值或结合圆的性质求最值．
[规范解答] (1)直线 l：y＝x＋4，圆 C：x2＋(y－2)2
＝4，(1 分)
y＝x＋4，
4
x＝4cos 的圆，而
y＝4sin
θθ，θ∈0，π2表示以原点为圆心，半径
为 4 的圆的一部分，故不正确．
(4)由圆的参数方程知圆心为(－2，0)，故正确． 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．圆(x－1)2＋y2＝4 上的点可以表示为( ) A．(－1＋cos θ，sin θ) B．(1＋sin θ，cos θ) C．(－1＋2cos θ，2sin θ) D．(1＋2cos θ，2sin θ) 解析：由圆的方程知圆心为(1，0)，半径为 2，故由
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(t 为参数)；
3x－y＋5－ 3＝0
2 x＝sinθ， y ＝ 1 － x (|x|≤1) (2) (θ 为参数，θ∈[0,2π])． 2 y＝cos θ
x－12 y＋22 例 2、实数 x，y 满足 ＋ ＝1，试求 x－y 的最大值与最小值，并指 16 9 出何时取得最大值与最小值．
思考：如何利用 t 的几何意义求直线上任两点 M1、M2 的距离？（写出表达 式）
M 1 M 2 t1 t 2 (t1 t 2 ) 4t1t 2
2
探究展示
考点3参数方程与普通方程的互化 例 1、把下列参数方程化为普通方程．
x＝1＋1t， 2 (1) 3 y＝5＋ t 2
21 19 当 x＝ ，y＝－ 时，x－y 的最大值为 8 5 5 11 1 当 x＝－ ，y＝－ 时，x－y 的最小值为－2 5 5
例3(2015河北唐山一模)已知椭圆C: (1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程; (2)设A(1,0),若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等,求 点P的坐标.
达标检测
对点训练4 (2015河北保定一模)已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方 = 4 + ������cos������, 程为 ������ ( t 为参数 , α 为倾斜角 ), 曲线 C 的极坐标方程为 ������ = 2 + ������sin������ ρ=4cos θ(其中坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,取相同单位长度). (1)写出曲线C的直角坐标方程; (2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M,N,设P(4,2),求|PM|+|PN|的取值范 围.
������������ ������
������������ + ������ =1 ,直线 l:
������ = -������ + ������������, (t 为参数). ������ = ������ ������ + ������
对点训练3 已知直线l的参数方程为 (t为参数),圆C的参数方程 ������ = 4cos������, 为 ������ = 4sin������ (θ为参数). (1)求直线l和圆C的普通方程; (2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.
归纳延伸
直线与圆锥曲线的参数方程的应用 (1)根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下常用结论： ①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为 t1，t2，则弦长 l＝|t1－t2|； ②定点 M0 是弦 M1M2 的中点⇒t1＋t2＝0； t1＋t2 ③设弦 M1M2 中点为 M， 则点 M 对应的参数值 tM＝ (由此可求|M2M|及中 2 点坐标)． (2)圆锥曲线的参数方程主要应用于设圆锥曲线上的点，从而讨论最值或距离 等问题.
2 2
x a sec x2 y2 (3)双曲线 2－ 2＝1(a>0,b>0)的参数方程为 ______(θ 为参数) a b y2 b tan x＝2pt 2 (4)抛物线 y ＝2px(p>0)的参数方程为 (t 为参数),参数 t 表示 y＝2pt 抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线斜率的倒数 __________________________________________________.
������ = ������-2������, ������ = -4������
精讲点拨
考点4极坐标方程及参数方程的应用 ������ = ������cos������, 例4(2015课标全国Ⅱ,理23)在直角坐标系xOy中,曲线C1: ������ = ������sin������, (t为参数,t≠0),其中 0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2 ������ cos θ. (1)求C2与C3交点的直角坐标; (2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.
课后作业：及时完成考点规范练67 预习作业：10.1随机抽样
选修4－4
坐标系与参数方程 参数方程
第2课时
考
纲
要
求
1、了解曲线的参数方程的意义；
2、掌握直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线的参数方程并能灵活运用；
3、理解直线与圆的参数的几何意义。
要点回顾
x＝a＋rcosθ 1．圆锥曲线的参数方程 (1)圆心为(a，b),半径为 r 的圆的参数方程为__________( y＝b＋rsinθ 为参数) x＝acosθ x y (2)椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的参数方程为________________(参数方程 x＝x0＋tcosα 过点 M(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为___________ y＝y0＋tsinα (t 为参数)，其中 t 表示直线上以定点 M0 为起点，任意一点 M(x，y)为终点的 → → M M 向上 ；当 t<0 数量 有向线段M0M的____,即 t=_______ 。当 t>0 时，M0M的方向______ 0 → 重合 ，反之亦然 向下 ；当 t＝0 时，M 与 M0________ 时，M0M的方向______