九年级中考数学复习课件第4单元 数学文化——赵爽弦图
数学文化与三角函数(解析版)
页 25五、数学文化与三角函数
例54. 第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如
图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形
的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan
θ＋π
4＝
________.
【解析】 依题意得大、小正方形的边长分别是1,5，
于是有5sinθ－5cosθ＝1
0
2，
即有sinθ－cosθ＝1
5.
从而(sinθ＋cosθ)2
＝2－(sinθ－cosθ)2
＝49
25，则sinθ＋cosθ＝7
5，
因此sinθ＝4
5，cosθ＝3
5，tanθ＝4
3，
故tan
θ＋π
4＝tanθ＋1
1－tan
θ＝－7
例
55. 秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面
积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四
约之，为实一为从陽，开平方得积.”
如果把以上这段文字写成公式就是
页
262
222
221
42acb
Sac
+−
=−
，其中
,,abc是
ABC的内角
,,ABC的对边为.若
sin2sincosCAB=，且
22
2bc+=，则
ABC面积
S的最大值为________.
【解析】
sin2sincosCAB
= ，222
22
2cos2
2acb
caBaabab
ac+−
====
又
22
2bc+
=，
22
2ac=−，
22
2222
2222
)211
(
4242acbc
Saccc
+−
=−=−−
2
224
1541
2
44555
16c
cc
=−=−−+
24
5c=时，
ABC面积
S
的最大值为5
5.
故答案为：
5
5
例
56. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书
画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图是折扇的示意图，
以“赵爽弦图”为模型的考题
以“赵爽弦图”为模型的考题
韩传林
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2017(000)007
【总页数】2页(P9-10)
【作 者】韩传林
【作者单位】山东省宁阳第一中学
【正文语种】中 文
勾股定理是刻画直角三角形特征的重要定理,它的发现、验证、应用蕴含着丰富的文化价值.最早对勾股定理进行证明的是1 700多年前汉代数学家赵爽,他绘制了极富创意的弦图,后人称之为“赵爽弦图”(如图1),采用“出入相补”原理使得勾股定理不证自明.定理的证明体现出来的“形数统一”的思想方法,具有科学创新的重大意义.
下面列举几道以“赵爽弦图”为模型的考题.
例1 在如图1所示的赵爽弦图中,如果小正方形的面积为4,大正方形的面积为100,直角三角形中较小的锐角为α,则________.
分析 由题意知小正方形的边长为2,大正方形的边长为10.设直角三角形中较小直角边长为x,根据图形可得较长直角边长为x+2,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解可得x的值,从而求出2条直角边的长度.运用正切函数定义得出tan α的值,然后利用二倍角的正切函数公式得出关于tan(α/2)的方程,求出方程的解即可求出tan(α/2)的值,进而变形所求式化为关于cos(α/2)、sin(α/2)的“齐二次式”后,再分子、分母同除以cos2(α/2)化为tan(α/2)的式子得解.
解 由题意知小正方形的边长为2,大正方形的边长为10.设直角三角形中较小直角边长为x,则有(x+2)2+x2=102,解得x=6.所以较长直角边的边长为x+2=8.所以
又由解得舍去),则所以
此题属于解三角形的题型,涉及的知识有:勾股定理、正方形的性质、锐角三角函数定义以及二倍角的正切函数公式,在求出tan(α/2)的值后,应根据α/2为锐角,对其值作出合理的取舍.
例2 如图2所示，4个全等的直角三角形有一个角为30°,顶点B1、B2、B3…、Bn和C1、C2、C3…、Cn分别在直线和x轴上,则前n个阴影正方形的面积和为________.
高中数学文化情景题专题2 赵爽弦图 (以赵爽弦图为背景的高中数学考题题组训练)解析版
【高中数学数学文化鉴赏与学习】
专题2 赵爽弦图
（以赵爽弦图为背景的高中数学考题题组训练）
一、单选题
1．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现有六种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（ ）
A．420 B．1020 C．1180 D．1560
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分步乘法原理计数，先涂中间小正方形，然后四个直角三角形按顺序涂色，注意相对的直角三角形颜色是否相同分类即可.
【详解】
第一步中间小正方形涂色，有6种方法，剩下5种颜色涂在四个直角三角形中，就按图中所示1234的顺序，1有5种方法，2有4种方法，3有4种方法，但要分类：与1相同和与1不相同，然后确定4的方法数，
所以所求方法数为654(1433)1560.
故选：D.
2．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设2DFFA，若213AB，则DF的长为（ ）
A．2 B．3 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正三角形和全等三角形的性质得DBAF，再运用余弦定理可求得DF的长.
【详解】
由题可知：在DEF中，3EDA，则23ADB，
不妨设2DFk，由2DFAF知，AFk，则3ADk，
又因为AFC△与BDA全等，所以DBAFk，
由余弦定理可知：22222231cos2232kkABADBDABADBADBDkk，
解得2213ABk，而213AB，所以2k，所以4DF.
故选：D.
3．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成一个大的正方形．某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2，若BD＝1，且三个全等三角形的面积和与小正三角形的面积之比为94，则△ABC的面积为（ ）
数学文化之赵爽弦图
赵爽弦图
中国最早的一部数学著作—《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话:
周公问:“我听说您对数学非常精通，我想请教一下:天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢?”商高回答说:“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识.其中有一条原理:当直角
三角形的一条直角边“勾”等于3，另一条直角边“股”等于4的时候，那么它的斜边“弦”就必定是5.这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的啊.”
我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(图1)．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．
2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣.不但因为这个定理重要、基本，还
因为这个定理贴近人们的生活实际.以至于古往今来，下至平明百姓，上至帝王总统都愿意探讨、研究它的证明，新的证法不断出现.下面介绍几种用来证明勾股定理的图形，
你能根据这些图形及提示证明勾股定理吗？
传说中毕达哥拉斯的证法（图1）
提示：（1）中拼成的正方形与（2）中拼成的正方形面积相等.
2.弦图的另一种证法（图2）提示：以斜边为边长的正方形的面积+4个三角形的面积=外正方形的面积.
3.美国第20任总统詹姆斯加菲尔德的证法（图3）提示：3个三角形的面积之和=梯形的面积
.
润物细无声——以无理数为例谈数学文化的渗透
舞 囊 ■豳日团匪重目
影．数学符号威力巨大、魅力无穷．它是数学中特殊的 文字，记录和传递着丰富的数学信息；它也是无声的 音符，在人们的心灵深处激荡出美妙的乐章；它更是 深奥严谨的数学理论的源泉之一，滋润着文明之花． 引领学生探寻数学符号的来源，能使他们的思维更 加敏捷、严谨和深刻． 探访历史数学名题。领略数学思想方法的魅力． 在数学活动课上，可以根据学生掌握数学知识的程 度，适当地介绍数学史上的一些名题，或者在讲解某 一定理时，穿插介绍历史名证． 勾股定理的证明有着丰富无比的文化内涵，可 以给学生许多启发，其中赵爽的弦图证法和欧几里 得证法最为典型．赵爽在《勾股圆方图注》中用几何方 法严格证明了勾股定理，反映出我国几何研究不仅 在应用方面有过辉煌成就，而且在理论方面也曾有 一席之地． 案例：勾股定理名证欣赏． 赵爽的弦图证法：如图１，其中每个直角三角形称
（ｂ－ａ） ＝ｃ ，化简后得 ＋６ ＝ｃ ． 图１ 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识． 他充分运用了直角三角形易于移补的特点，给出了 简洁、直观的证法，其相应的几何思想是图形经移、 补、凑、合而面积不变．这种思想后来发展为李冶的 “演段术”，不仅反映了我国传统文化中追求直观、实 用的倾向，而且其展示的割补原理和数形结合的思 想让我们看到我国传统文化的精髓，对我们继承和 发扬传统文化起着潜移默化的熏陶作用．我们要安排 足够的时间，让学生动手进行拼、凑、补等实践活动， 深入理解割补原理，体会我国传统文化中寓理于算 的风格． 而欧几里得证法给我们展示的是西方数学文化 传统的另一侧面，即严谨的逻辑和理性的推理．具体 的欧几里得证法如下： 在直角三角形ＡＢＣ各边上向外作正方形（如图 ２），连结ＣＤ，ＦＢ．因为ＡＣ＝ＡＦ，ＡＢ＝ＡＤ，／＿ＦＡＢ＝ ／ＣＡＤ，所以ＡＦＡＢ￣ＡＣＡＤ．作 ＣＬ／／ＡＤ． Ｆ 因为Ｓ ＡＦＡＢ￣－１ ＦＡ×ＡＣ＝ ｓ娜，Ｓ ｍ １ＡＤ ｘ ＤＬ＝ ５～，所以．ｓ舭 同理可 图２ 证Ｓ脒 Ｓ皿衄．所以ＡＢ ＝ＢＣ２＋Ａ ｃ２，即ｃ ＝ ＋ｂ ． 比较赵爽证法和欧几里得证法可知，赵爽证法 是建立在一种不证自明、形象直观的原理上，即“出 入相补”原理．他的证明过程可以借助实物进行操 作，使现实问题数学化，最终达到对数学定理的意 义建构．而欧几里得证法则完全脱离实物的支撑，给 我们展示的是对数学美和数学理性的追求．它在更 高层次上使学生的思维得到锻炼．对这种证法的介 绍，可以采用数学“再创造”原理，分析它的探索过 程，使证明思路逐渐显露出来，最终完成对公理化 演绎体系结构的深刻理解． （作者单位：江苏省常州市武进区湖塘实验中学）
“弦图”曼妙景尽在横格中——2012年山东省滨州市中考数学一道压轴题的溯源与改进
２０１３年１月 考纲点睛 “弦图”曼 尽在横格中 ——２Ｏ１２年山东省滨州市中考数学一道压轴题的溯源与改进 ⑩山东省滨州市北镇中学初中部邢成云 ⑩山东省滨州市北镇中学 刘丽凤 我们知道，赵爽的“弦图（或勾股圆方图）”是由四个 全等的直角三角形围成的，赵爽利用它巧妙地证明了勾 股定理，其证法之优美、精巧，令人叹为观止，它是证明勾 股定理最著名的证法之一，特别是“弦图”一图蕴含两种 证法更是举世无双．“弦图”是证明勾股定理的无字经典 阐释，充分体现了我国古代的数学文明和数学文化，故此 “弦图”有资格成了２００２年国际数学家大会的会标，这是 中国人的智慧与骄傲．殊不知，近几年的中考中赵爽“弦 图”备受青睐，关于它的创新题不断涌现，形成靓丽的中 考景观．现撷今年滨州市一道弦图与横格的联袂题作一 评析，供各位同仁指正． 一、试题回放 （２０１２年山东省滨州市第２５题）如图１，ｚ。，Ｚ ，如，厶是一 组平行线，相邻２条平行线间的距离都是１个单位长度，正 方形ＡＢＣＤ的４个顶点Ａ， ，ｃ，Ｄ都在这些平行线上．过 ｅｇａ 作ＡＦ上ｆ，于点Ｆ，交ｆ２于点日，过点＿ｃ作ＣＥ上ｆ２于点Ｅ，交ｚ 于 点Ｇ． （１）求证：ＡＡＤＦ￣ＡＣＢＥ． （２）求正方形ＡＢＣＤ的面积． （３）如图２，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行 线间的距离依次为ｈ ，ｈ２，ｈ ，试用ｈ。，ｈ ，ｈ，表示正方形 ＡＢＣＤ的面积．ｓ．
Ｃ 图１ Ｃ 图２ 二、答案展示 证明：（１）在ＲｔＡＡＦＤ和Ｒｔ△Ｃ肋中， 因：￣ＡＤ＝ＢＣ，Ａ ＣＥ， 所以Ｒｔ△Ａ Ｒｔ△ＣＥＢ． （２）因为／＿．ＡＢＨ＋／ ＝９０。，／＿ＡＢＨ＋Ａ．ＢＡＨ＝９０。， 所以 ＣＢＥ＝ 鲋日． 又因￣ＡＢ＝ＢＣ， Ａ ＝ ＣＥＢ＝９０。， 所以△ＡＢＨ △ＢＣＥ． 同理可得，ＡＡ Ａ ＣＥ ＡＣＤＧ △ １ 所以５正方形ＡＢ∞ ４．ｓ△ 雠 ｓ正方形删 ＝４×÷￣２ｘｌ＋ｌｘｌ＝５． 《直线和圆的位置关系》这一节中，因为这个结论的 证明相对比较容易，所以教材采取了这样描述：“根据直 线和圆相交、相切、相离的定义容易得到直线Ｚ与Ｅ）Ｏ相交 §ｄ（ｒ；直线Ｚ与６３０相切甘ｄ＝ｒ；直线ｚ与ｏＤ相离§ｄ＞ｒ”，没 有明确提出验证的要求．如果教师因为教材中没有明确 提出验证结论的要求和这个结论显而易见而认为不需要 证明，那么长此以往，就会让学生形成这样的认识：观察、 实验得到的结论都是正确的，无需验证．这对学生的发展 是有百害而无一益的．我们都清楚：有时眼睛会欺骗我 们，观察、实验得到的不一定正确，不完全归纳得到的结 论也不一定正确，数学中，要说明一个命题正确，必须给 出证明．因此，从学生发展的角度出发，在教学过程中，教 师要注意根据学生的认知特点，将他们的直接感受与推 理论证相结合，在学生观察、实验、探究得出结论后，引导 学生进行推理论证，帮助学生将感性认识提升为理性思 考，从而逐步帮助学生养成严谨的思维习惯和科学的精神． 教学中，不能被“显而易见”所迷惑，要积极挖掘其中 的内涵，找到本质，从而引领学生更好的发展． 参考文献： １．人教版《义务教育课程标准实验教科书・数学（７－９ 年级）》修订版介绍．圆 初中版中。 擞・