2013-2019高考文科数学分类汇编-第八章题型89 旋转体的表面积、体积与球面距离

题型89 旋转体的表面积、体积与球面距离2013年1.（2013湖北文16）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时， 用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一 尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸．（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）2014年1.（2014陕西文5）将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（ ）.A.4πB.3πC.2πD.π2.（2014福建文3）以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）A.2πB.πC.2D.13.（2014湖北文10）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是 我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也. 又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似 公式2136V L h ≈. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3. 那么，近似公式 2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）. A ．227B ．258 C ．15750D ．3551134.（2014江苏8）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且1294S S =，则12VV 的值是 ．2015年1.(2015 全国1卷文6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）. A. 14斛 B.22斛C. 36斛D. 66斛1. 解析 由l r α=，得816332lr α===.21116320354339V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.3201.62229÷≈.故选B. 2.（2015山东文9）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）. A.223πB.423πC. 22πD. 42π2.解析 由题意，可知等腰直角三角形的斜边长为22，斜边上的高为2，所形成的几何体为以2为底面半径，2为高的两个相同的圆锥组成的组合体，所以所求体积()2142π2=2π22=33V V =⨯⨯⨯⨯圆锥.故选B. 3.（2015江苏9）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 ． 3. 解析 原的总体积为()()22154283V =⨯π⨯⨯+π⨯⨯1963π=，设新的半径为r ， 故变化后体积()()221'483V r r =⨯π⨯⨯+π⨯⨯22819633r ππ==，计算得27r =，从而7r =．2016年1.（2016上海文19）将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图所示，长为，长为，其中与在平面的同侧. （1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线与所成的角的大小.1.解析 （1）由题意可知，圆柱的母线长，底面半径. 圆柱的体积， 圆柱的侧面积.（2）设过点的母线与下底面交于点，则， 所以或其补角为与所成的角.由长为，可知， 由长为，可知，， 所以异面直线与所成的角的大小为.2017年1.（2017全国3文9）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）. A ．π B ．3π4C ．π2D ．π41.解析 由圆柱的外接球半径公式可知，2222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即22112r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得234r =，所以圆柱的体积234V r h ππ==.故选B. 评注 球类问题是近几年高考的一个热点，也是难点.解此类问题，关键在于根据几何体选111AAO O 1OO »AC 56π¼11A B 3π1B C 11AAO O 11O B OC 1l =1r =2211V r l =π=π⨯⨯=π22112S rl =π=π⨯⨯=π1B B 11O B OB ∥COB ∠11O B OC ¼11A B 3π1113AOB AO B π∠=∠=»AC56π56AOC π∠=2COB AOC AOB π∠=∠-∠=11O B OC 2πAA1A A 1择对应的公式套用即可快速求得结果.2018年1.（2018全国1文5）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ） A．B ．12πC．D ．10π1.解析 由过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，可知圆柱的高为，所以该圆柱的表面积为22π2π12πS =⨯⨯+=.故选B.2.（2018全国Ⅱ文16）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所 成角为30︒，若SAB △的面积为8，则该圆锥的体积为__________． 解析 设圆锥母线长为l ，因为SA SB ⊥，所以21122SAB S SA SB l =⋅⋅=△，又因为8SAB S =△，所以4l =.在Rt SAO △中，30SAO ∠=o ，所以2SO =，AO =，故圆锥体积21π8π3V OA SO =⋅⋅=.2019年1.（2019天津文12若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.1.解析 由题可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，由勾股定理得，正四棱锥的高为2.因为圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，则圆柱的上底面直径为底面正方1.所以该圆柱的体积为2112V Sh ⎛⎫==π⨯= ⎪⎝⎭题型90 几何体的外接球与内切球2013年1. （2013辽宁文10） 已知三棱柱111-ABC A B C 的6个顶点都在球O 的球面 上，若2AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（ ）.A.B. C. 132D. 2. (2013天津文10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为9π2，则正方 体的棱长为 .2014年1.（2014大纲文10）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）. A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π2015年1.（2015新课标2文10）已知A ，B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=o ，C 为该球面上的动点.若三棱锥O ABC ﹣体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ）. A.36π B. 64π C. 144π D. 256π1. 解析 根据题意，可得图如下， 当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥OABC ﹣的体积最大，则可设球O 的半径为R ， 此时21132O ABC C AOB V V R R --==⨯⨯=31366R =， 故6R =，则球O 的表面积为24π144πS R ==. 故选C ．2016年1.（2016全国甲文4）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ). A.12π B.32π3C.8πD.4π 1.A 解析 设球的半径为，由题意得，正方体的边长2，故体对角线，所以.故选A.2.（2016全国丙文11）在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球.若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA = 则V 的最大值是（ ）.A.4πB.9π2 C.6π D.32π32.B 解析 如图所示，假设在直三棱柱中，有一个球与平面，平面，平面相切，其俯视图如图所示.设其球的半径为，则且，得.因此，直三棱柱内球的半径最大值为，则.故选B.3.（2016上海文10）已知ABC △的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于.3. 解析 不妨设，则，故，因此.2017年1.（2017全国3文9）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球r 2r ==r =2412S r =π=π111ABC A B C -11ABB A 11BCC B 11AAC C 1r 16822,11(6810)22ABC ABC S r C ⨯⨯===⨯++△△123r AA = (3)2r (3)233max 4439πππ3322V r ⎛⎫=== ⎪⎝⎭33,5,7a b c ===2221cos 22a b c C ab +-==-sin C =2sin c R C ==B ACC 1B 1A 1CBA面上，则该圆柱的体积为（ ）. A ．π B ．3π4C ．π2D ．π41.解析 由圆柱的外接球半径公式可知，2222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即22112r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得234r =， 所以圆柱的体积234V r h ππ==.故选B. 评注 球类问题是近几年高考的一个热点，也是难点.解此类问题，关键在于根据几何体选择对应的公式套用即可快速求得结果.2.（2017全国1文16）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径，若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为 .2.解析 取SC 的中点O ，即球心.联结OA ，OB ， 因为SA AC =，SB BC =，所以,OA SC OB SC ⊥⊥.因为平面SAC ⊥平面SBC ，OA ⊂平面SAC ，平面SAC I 平面SBC SC =，所以OA ⊥平面SBC .设OA r =，3111123323A SBC SBC V S OA r r r r -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△9=，解得3r =，所以球的表面积为2436r π=π.3.（2017全国2文15）长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 .3.解析 球的直径是长方体的体对角线，所以2R =24π14πS R ==. 4.（2017天津文11）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .4.解析 设正方体的边长为a ，则1862=a ，3=a ，又2323==a R ，所以34932V R =π=π. 5.（2017江苏6）如图所示，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下面及母线均相切．记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是 ．5.解析 设球O 的半径为r ，由题意212V r r =π⋅，3243V r =π，所以1232V V =．2018年1.（2018全国Ⅲ文12）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为 等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ）. A ．123B ．183C ．243D ．543解析设ABC △的中心为1O ，则1OO ⊥平面ABC .当1O ，O ，D 三点共线时，1DO ⊥平面ABC ，三棱锥-D ABC 的体积最大，此时11DO DO OO =+.由93ABC =△得，6AB BC AC ===，13623AO =⨯=.则22112OO R AO =-=，故16DO =.所以()-max 19361833D ABC V =⨯⨯=. 故选B. 2.（2018上海17）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2. （1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO =，OA ，OB 是底面半径，且90AOB ∠=o ，M 为线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.解析 （1）由题意得圆锥的高为224223OP =-=， 故圆锥的体积218π2233π33V =⨯⨯=. （2）如图所示，取OA 中点N ，联结MN ，PN ，OM ， 则PMN ∠为异面直线PM 与OB 所成角，112MN OB ==. 在OAB △中，因为90AOB ∠=o ，2OA OB ==，所以22AB =，2OM =.在Rt POM △中，()22421832PM =+==.O O 1O 2在Rt PON △中，PN =在PMN △中有222PN MN PM +=，因此PN MN ⊥， 所以tan PMN ∠=arctan PMN ∠=即异面直线PM 与OB 所成的角为.。