北师大版九年级上册数学第二章：一元二次方程复习与练习巩固
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第二章:一元二次方程复习与练习巩固
知识点1 一元二次方程的定义：
只含有
个未知数x的
方程，并且都可以化成ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
知识点2 一元二次方程的解法：
⑴ 法 ；⑵ 法；⑶公式法，求根公式为 ；
⑷ 法.在这四种方法中首先考虑 方法；如果不能求解则用 方法
知识点43一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由________来判定．
我们把 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“ ”来表示．
（1）当b2-4ac________0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当b2-4ac________0时，方程有两个相等的实数根；
（3）当b2-4ac________0时，方程没有实数根．
知识点4 一元二次方程的根与系数的关系
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=________，x1x2=________.
2221xx________
2111xx=________ (x1-x2）2=________
知识点5 一元二次方程的应用
几何问题，增长率问题，营销问题
练习：
1、当m 时，关于x的方程(m－1)12mx+5+mx=0是一元二次方程.
2、方程(m2－1)x2+(m－1)x+1=0，当m 时，是一元二次方程；当m 时，是一元一次方程.
3、将一元二次方程x2-2x-2=0化成(x+a)2=b的形式是 ；此方程的根是 .
4、解下列一元二次方程
(1) 4x2－16x+15=0 (用配方法) (2)x2－5x＋2＝0；(用公式法)
(3) 9－x2=2x2－6x(用分解因式法) (4) (x＋1)(2－x)=1 (选择适当的方法)
5.设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，则m2+3m+n= ．
6.已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根，则+= ． 2
7.关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x12+x22=8，求m的值．
8. 在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6 m2，已知床单的长是2 m，宽是1.4 m，求花边的宽度．
9.新新商场以16元/件的价格购进一批衬衫，根据市场调查，如果以20元/件的价格销售，每月可以售出200件；而这种衬衫的售价每上涨1元就少卖10件.现在商场经理希望销售该种衬衫月利润为1350元，而且，经理希望用于购进这批衬衫的资金不多于1500元，则该种衬衫该如何定价？此时该进货多少？
10.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=6m，AC=8m，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速运动，已知点P移动的速度是20cm/s，点Q移动的速度是10cm/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的85？
11.为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2014年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2016年底三年累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
(1)求每年市政府投资的增长率；
(2)若这两年内的建设成本不变，求到2016年底共建设多少万平方米廉租房．
北师大版数学九年级上册第二章各节练习题含答案
第二章 一元二次方程
2.1 认识一元二次方程 同步练习题
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A．x2＋1x＝0 B．(x－1)2＝(x＋3)(x－2)＋1
C．x＝x2 D．ax2＋bx＋c＝0
2．方程(m－1)x2＋mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为( )
A．任何实数 B．m≠0
C．m≠1 D．m≠－1
3．方程2(x＋2)＋8＝3x(x－1)的一般形式为________________，二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________．
4．把下列关于x的一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)3x2＝5x－3；
(2)(x＋2)(x－2)＋3x＝4.
5．设一个奇数为x，与相邻奇数的积为323，所列方程正确的是( )
A．x(x＋2)＝323 B．x(x－2)＝323
C．x(x＋1)＝323 D．x(x－2)＝323或x(x＋2)＝323
6．(1)一块长方形菜地的面积是150 m2，如果它的长减少5 m，那么菜地就变成正方形，若设原菜地的长为x m，则可列方程为________________________________________________；
(2)已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列方程为__________________.
7．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式．
(1)正方体的表面积为36，求正方体的边长x；
(2)在新春佳节到来之际，九(6)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了1 980张，求九(6)班的同学人数x.
8．已知长方形宽为x cm，长为2x cm，面积为24 cm2，则x最大不超过( ) A．1 B．2 C．3 D．4
北师大版九年级上册数学 第二章 一元二次方程 习题练习二(附答案)
北师大版九年级上册数学 第二章 一元二次方程 习题练习二（附答案）
一、选择题
1.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
A．B．C．且D．且
2.一元二次方程𝑥2−2𝑥=0的解为（ ）
A．𝑥1=𝑥2=2
B．𝑥1=0，𝑥2=2
C．𝑥1=0，𝑥2=−2
D．𝑥1=𝑥2=0
3.独山县开展关于精准扶贫、精准扶贫的决策部署以来，某贫困户2014年人均纯收入为2620元，经过帮扶到2016年人均纯收入为3850元，设该贫困户每年纯收入的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是( )
A． 2620(1﹣x)2＝3850
B． 2620(1+x)＝3850
C． 2620(1+2x)＝3850
D． 2620(1+x)2＝3850
4.关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0 的常数项是0，则m的值（ ）
A． 1 B． 1或2 C． 2 D．
5.用配方法解方程，配方后可得
A．
B．
C．
D． 6.方程的解是（ ）
A． x=0 B． x=-1 C． x1=0，x2=-1 D． x1=0，x2=1
7.已知x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，且满足x1+x2﹣3x1x2=5，那么b的值为（ ）
A． 4 B． ﹣4 C． 3 D． ﹣3
8.小华在解一元二次方程x2-x=0时，只得出一个根x=1，则被漏掉的一个根是（ ）
A． x=4 B． x=3 C． x=2 D． x=0
二、填空题
9.一元二次方程x2﹣x＋a＝0的一个根是2，则a的值是_____．
北师大版九年级数学上册 第二章 一元二次方程练习题含答案
北师大版九年级数学上册 第二章 一元二次方程 2.1.1 一元二次方程
同步练习题
1．(3分)下列方程是一元二次方程的是( )
A．x2－1＝y B．6x2＝5 C．x2＝1x D．3x3－4x2－1＝0
2．若关于x的方程(k＋1)x2＋2kx－3＝0是一元二次方程，则k的取值范围是( )
A．任意实数 B．k≠－1 C．k＞－1 D．k＞0
3. 将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化为一元二次方程的一般形式，正确的是( )
A．4x2－4x＋5＝0 B．3x2－8x－10＝0
C．4x2＋4x－5＝0 D．3x2＋8x＋10＝0
4. 用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( )
A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6 C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6
5. 下列方程中一定是关于x的一元二次方程的是( )
A．ax2＋bx＋c＝0 B．x－1x＝0 C．2x＋3＝2x(x－1) D．x2＋2x＝x2－1
6. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是( )
A．100(1＋x)2＝81 B．100(1－x)2＝81 C．100(1－x%)2＝81 D．100x2＝81
7．在一次九年级学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次．若设参加此会的学生为x名，据题意可列方程为( )
A．x(x＋1)＝253 B．x(x－1)＝253 C．2x(x－1)＝253 D．x(x－1)＝253×2 8. 若方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝________．
北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程(解析版)
第二章一元二次方程
一、单选题
1 .下列各方程中，一定是关于X的一元二次方程的是（ ）
A. 2x2+3=2x （5+x） B, ax2+c=0
C. （a+1）炉+6升1=0 D. （^2+l） x2- 3x+l=0
【答案】D
【解析】
4.*+3=M5+、）整理得，10x-3=0,故不是一元二次方程；
B.当a=0时，。炉+。=0不是一元二次方程：
C.当a=-l时，（什1濡+6升1=0不是一元二次方程：
D. aa2>0,二届+1 翔,匚d+lM -3x+l = 0 是一元二次方程：
故选D.
2.关于工的一元二次方程（。-1）/+»/_] = 0的一个根是0,则。值为（ ）
A. 1 B. -1 C. 1 或—1 D. i
【答案】B
【解析】
把0代入原方程，再根据原方程是一元二次方程，得到关于a的方程及不等式，解之即可.
解：根据题意得：
解得：a=-\.
故选：B.
3 .下列说法不正确的是()
A.方程工2=%有一根为0
B.方程/一1=0的两根互为相反数
C.方程(x-l)2-l = 0的两根互为相反数
D.方程N—x + 2 = 0无实数根
【答案】C
【解析】 解：A./=x，移项得：x2—x = 0,因式分解得：x(x-l)=0,解得x=0或x=l,所以有一根为0,此
选项正确;
B. ?-1 = 0,移项得：W=i,宜接开方得：x=l或x=-l,所以此方程的两根互为相反数，此选项正确:
C. *-1)2-1 = 0,移项得：(X -1>=1,直接开方得：x-l=l或解得x=2或x=0,两根不互
为相反数，此选项错误:
D./ 7+2 = 0,找出a=l, b=-l, c=2,则二=l-8=-7V0,所以此方程无实数根，此选项正确.
所以说法错误的选项是C.
故选C.
4 .用配方法解一元二次方程2/—3x —1=0,配方正确的是().
A. 3 工一一
4) 17
北师大版九年级数学第二章一元二次方程的应用
一元二次方程的应用
【学习目标】
1. 通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤；
2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.
【要点梳理】
要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤
1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
2.解决应用题的一般步骤：
审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
答(写出答案，切忌答非所问).
要点进阶：
列方程解实际问题的三个重要环节：
一是整体地、系统地审题；
二是把握问题中的等量关系；
三是正确求解方程并检验解的合理性.
要点二、一元二次方程应用题的主要类型
1.数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、
千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字
只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用
其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位
数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：
100c+10b+a.
(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.
如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.
几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.
如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.
2.平均变化率问题
北师大版九年级数学上册第二章《一元二次方程》训练试题和答案
第1页（共15页）
九上专题训练《一元二次方程》含答案
一．选择题（共8小题）
1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．2x2﹣+1＝0 B．（x+2）（2x﹣1）＝2x2
C．5x2﹣1＝0 D．ax2+bx+c＝0
2．用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝16 B．（x+3）2＝16 C．（x﹣3）2＝7 D．（x﹣3）2＝2
3．利用求根公式求的根时，a，b，c的值分别是（ ）
A．5，，6 B．5，6， C．5，﹣6， D．5，﹣6，﹣
4．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣2 B．k≥﹣2且k≠﹣1 C．k≥2 D．k≤﹣2
5．a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式a3+2a2+2018的值是（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
6．若（a2+b2﹣3）2＝25，则a2+b2＝（ ）
A．8或﹣2 B．﹣2 C．8 D．2或﹣8
7．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（ ）
A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5
8．《代数学》中记载，形如x2+10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（ ）
A．6 B．3﹣3 C．3﹣2 D．3﹣
二．填空题（共5小题）
9．用公式法解方程2x2﹣7x+1＝0，其中b2﹣4ac＝ ，x1＝ ，x2＝ ．
北师大版九年级数学上册 第二章 一元二次方程练习题含答案 2
北师大版九年级数学上册 第二章 一元二次方程 2.1.1 一元二次方程
同步练习题
1．(3分)下列方程是一元二次方程的是( )
A．x2－1＝y B．6x2＝5 C．x2＝1x D．3x3－4x2－1＝0
2．若关于x的方程(k＋1)x2＋2kx－3＝0是一元二次方程，则k的取值范围是( )
A．任意实数 B．k≠－1 C．k＞－1 D．k＞0
3. 将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化为一元二次方程的一般形式，正确的是( )
A．4x2－4x＋5＝0 B．3x2－8x－10＝0
C．4x2＋4x－5＝0 D．3x2＋8x＋10＝0
4. 用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( )
A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6 C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6
5. 下列方程中一定是关于x的一元二次方程的是( )
A．ax2＋bx＋c＝0 B．x－1x＝0 C．2x＋3＝2x(x－1) D．x2＋2x＝x2－1
6. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是( )
A．100(1＋x)2＝81 B．100(1－x)2＝81 C．100(1－x%)2＝81 D．100x2＝81
7．在一次九年级学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次．若设参加此会的学生为x名，据题意可列方程为( )
A．x(x＋1)＝253 B．x(x－1)＝253 C．2x(x－1)＝253 D．x(x－1)＝253×2 8. 若方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝________．
北师大版九年级上册第二单元一元二次方程根与系数的关系复习讲义
共 页 第 页 1 教学内容 一元二次方程根与系数的关系
教学目标 掌握韦达定理的应用
教学重点 换元法与韦达定理的理解和应用
教学难点 韦达定理的变形
复习回顾
1、一元二次方程的一般式：20 (0)axbxca，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
2、一元二次方程的解法
（1） 直接开平方法 （也可以使用因式分解法）
①2()(0)axbcc 解为：axbc
（2） 因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法
如：20(,0)()0axbxabxaxb 此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为0
290(3)(3)0xxx 230(3)0xxxx
3(21)5(21)0(35)(21)0xxxxx
注意：提取整个因式的方法非常常见，解题的过程中一定要认真观察。
22694(3)4xxx 2241290(23)0xxx
24120(6)(2)0xxxx 225120(23)(4)0xxxx
十字相乘法非常实用，注意在解题的过程中多考虑。
（3） 配方法
①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：
②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：
22220 (0)()0 ()()022bbbaxbxcaaxxcaxacaaa
222224()()2424bbbbacaxcxaaaa
示例： 22221111210(4)10(2)2102222xxxxx
数学北师大版九年级上册一元二次方程复习[4页]
一元二次方程
例1．下列方程中是一元二次方程的有（ ）
①、29y； ②、32y=8 ③、3(1)(31)yyyy； ④、24x-x-1=0；
A、①②③④ B、①③ C、①② D、①④
考点1：概念及一般形式：
（1）概念：含有 个未知数，且含未知数的项的最高次数为 的 方程。
（2）一般形式： 。其中二次项系数是
，一次项系数是 ，常数项是 。
针对练习：
1．关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当k
时，是一元二次方程．当k 时，是一元一次方程．
2．若方程0)1(1axxaa是一元二次方程，则a 。
3．将方程52)32(2xxx化为一般形式为 ；其中二次项系数是 ，一次项是 ，常数项是 。
例2. 若一元二次方程022mmxmx的一个根为0，则m 。
考点2：一元二次方程的解及解法
（1）一元二次方程的解——使得方程成立的未知数的 。
（2）其解法有： 、 、 和 。其中求根公式是 。
针对练习：
1.若n是关于x的方程02nmxx的一个根（0n），则nm 。
2. 用适当方法解下列方程：
（1）08)5(42x （2）22)2(4)1(xx
（3）2422xx （4）24)3)(2(xx
北师大版九年级上册 第二章 《一元二次方程》实际应用：利润问题 同步练习
《一元二次方程》实际应用：利润问题
1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的减价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降1元，商场平均每天可多售出5件．若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？这时应进货多少件？
2．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每每次下降的百分率相同
（1）求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
3．一家水果店以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．
（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是多少斤（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出260斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？
4．中秋节来临之前，某超市以每盒80元的价格购进了1000盒月饼，第一周以每盒168元的价格销售了300盒，第二周如果单价不变，预计仍可售出300盒，该超市经理为了增加销量，决定降价，据调查，单价每降低1元，可多售出10盒，但最低每盒要赢利30元，第二周结束后，该超市将对剩余的月饼一次性赔钱甩卖，此时价格为70元/盒．
（1）若设第二周单价降低x元，则第二周的单价是 ，销量是 ；
（2）经两周后还剩余月饼 盒；
（3）若该超市想通过销售这批月饼获利51360元，那么第二周的单价应是多元？
5．某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克．