八年级数学上册专题(十五) 分式方程的解法
1 解：x＝－2
x－2 16 4 (6) － ＝1＋ . x＋2 x2－4 x －2
解：x＝－2，检验：当x＝2时，x＋2＝0， 所以x＝－2不是原方程的解，原方程无解
类型二：解分式方程(特殊型)(选用) A．两边通分巧解分式方程 1 1 1 1 2．解方程： － ＝ － . x－4 x－5 x－7 x－8
解：x＝2
1 3 x＋3 (3) － ＝2 ； x－1 x＋1 x －1
1 解：x＝3
2＋x 16 (4) ＋ 2 ＝－1； 2－x x －4
解：解得x＝2.检验：当x＝2时，(x＋2)(x－2)＝0，
所以x＝2不是原方程的解，原方程无解
2x＋2 x＋2 x2－2 (5) x － ＝2 ； x－2 x －2x
解：x＝6
B．裂项相消巧解分式方程 1 1 3．(阿凡题 1070287)(1)解方程： ＋ x（x＋1） （x＋1）（x＋2） 1 1 ＋ ＝ ； （x＋2）（x＋3） x＋3
1 1 1 1 1 1 1 解：原方程变形为x－ ＋ － ＋ － ＝ . x＋1 x＋1 x＋2 x＋2 x＋3 x＋3 1 2 整理得x－ ＝0，去分母得 x＋3－2x＝0，解得 x＝3. x ＋3 经检验，x＝3 是原分式方程的解
B．分式方程无解 x－1 m 5．若关于 x 的分式方程 ＝ 无解，求 m 的值． x－5 10－2x
解：去分母得－2(x－1)＝m，∵分式方程无解，
∴x＝5是－2(x－1)＝m的解，∴m＝－8
m 2m－x－1 6．已知关于 x 的分式方程 － 2 ＝0 无解，求 m 的值． x＋1 x ＋x
解：去分母得 mx－2m＋x＋1＝0，分两种情况讨论： 1 ①分式方程有增根，得 x＝0 或 x＝－1，将 x＝0，x＝－1 分别代入得 m＝2 或 m＝0；②方程 mx－2m＋x＋1＝0，即(m＋1)x＝2m－1 无解，∴m＋1＝0 且 1 2m－1≠0，∴m＝－1.综上 m＝2或 m＝0 或 m＝－1
八年级上册人教版数学
第十五章 分式
专题(十五)
分式方程的解法
类型一：解分式方程(常规型) 解分式方程，去分母时防止漏乘常数项； 防止出现符号错误；注意勿忘检验． 1．解下列0； x－1 x －1
解：x＝0
3 x (2)(2016· 仙桃) ＝ －1 ； x＋1 x－1
1 1 1 3 (2)解方程： ＋ ＋ ＝ . x（x＋3） （x＋3）（x＋6） （x＋6）（x＋9） 2x＋18
11 1 1 1 1 1 1 1 3 解：原方程变形为3(x－ )＋ 3 ( － )＋3( － )＝ . x＋3 x＋3 x＋6 x＋6 x＋9 2x＋18 1 1 9 整理得x－ ＝ ，去分母得 2(x＋9)－2x＝9x，解得 x＝2. x＋9 2（x＋9） 经检验，x＝2 是原分式方程的解
C．分式方程的解为正数(负数等) x＋m 3m 7．(2016· 潍坊)若关于 x 的方程 ＋ ＝3 的解为正数， x－3 3－x 求 m 的取值范围．
解：去分母得 x＋m－3m＝3(x－3)，整理得 2x＝9－2m， 9－2m 9－2m 9－2m 9 3 解得 x＝ 2 ，由题意得 2 ＞0 且 2 ≠3，解得 m＜2且 m≠2
类型三：分式方程解的讨论 A．分式方程的增根(使最简公分母为 0 的根叫增根) k－1 1 k 4．已知关于 x 的方程 2 ＋ 2 ＝ 2 有增根求 k 的值． x －x x ＋x x －x
解：去分母得x＋1＋k(x－1)＝(k－1)(x＋1)，∵分式方程有增根， ∴增根为x＝0或x＝1或x＝－1，将x＝0代入得，k＝1， 将x＝1代入得，k＝2，将x＝－1代入得，k＝0. 综上所述k＝1或k＝0或k＝2时，有增根
人教版数学八年级上册15.3分式方程的解法(教案)
1.教学重点
（1）理解分式方程的定义：重点强调分式方程的形式特点，即方程中包含有分母，且分母不为零，让学生充分理解这一核心内容。
举例：如方程2/x = 3/(x+1)，其中x≠0。
（2）掌握分式方程的解法：包括消元法、代入法、加减法等，特别是消元法在求解分式方程中的应用。
举例：消元法求解方程2/x = 3/(x+1)：
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解分式方程的基本概念。分式方程是指含有分母的方程，它是代数方程的一种特殊形式。分式方程在解决实际问题时具有重要作用，能够帮助我们处理比例、速率、百分比等问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设小明和小红的糖果总数为10个，要平均分给两人，我们可以建立分式方程x/2 = 10，其中x表示每人应得的糖果数。通过解这个方程，我们可以得到答案。
2.提升学生的数学建模素养：使学生能够将实际问题抽象为分式方程模型，并运用所学方法求解，从而提高解决实际问题的能力；
3.增强学生的数学运算能力：让学生熟练掌握分式方程的消元、代入、加减等解法，培养他们准确、迅速地进行数学运算的能力。
这些核心素养目标与新教材的要求相符，旨在帮助学生形成系统的数学知识体系，提高数学思维品质和解决问题的综合能力。
难点解析：代入法中，学生可能会遇到以下困难：
-不清楚应该将哪个表达式代入另一个表达式中；
-在代入过程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，容易忽视方程中的限制条件（如分母不为零）；
-计算过程中可能因粗心导致错误。
（3）分式方程在实际问题中的应用：学生需要学会将实际问题抽象为分式方程，并正确求解。
难点解析：实际问题抽象为分式方程时，学生可能会遇到以下问题：
人教版八年级数学上册第十五章分式方程解轮船顺逆水航行问题
100 千米所用时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等，江水的流 速为多少？
路程（千米）
速度（千米 / 时） 时间（小时）
顺水航行
逆水航行
时间
48 x4 48 x4
等量关系：顺流用时 + 逆流用时 =5 （小时）
例 2 轮船在顺水中航行 30 千米的时间与在逆水中航行 20 千米所用的时
间相等，已知水流速度为 2 千米／时，求船在静水中的速度。
分析：此题的等量关系很明显：顺水航行 30 千米的时间 = 逆水中航行 20
30千米
20千米
千米的时间，即
=
．设船在静水中的速度为 x 千米
顺水航行速度 逆水航行速度
／时，又知水流速度，于是顺水航行速度、逆水航行速度可用未知数表示，问题
可解决．
解： 设船在静水中速度为 x 千米／时，则顺水航行速度为 ( x 2) 千米／时，
逆水航行速度为 (x 2) 千米／时，依题意，得
30 20
=
，解得 x 10 ．
7 、小芳在一条水流速度是 0.01m/s 的河中游泳，她在静水中游泳的速度是 0.39m/s, 而出发点与河边一艘固定小艇间的距离是 60m, 求她从出发点到小艇来 回一趟所需的时间。
8、志勇是小芳的邻居，也喜欢在该河中游泳，他记得有一次出发点与柳树间来 回一趟大约用了 2.5min ，假设当时水流的速度是 085m/s ，那么出发点与柳树间的距离大约是多少？
9、一艘轮船在静水中的最大航速为 30 千米 / 时，它沿江以最大航速顺流航 行 100 千米所用的时间与以最大航速逆流航行 60 千米所用的时间相等， 问： 江水的流速为多少？设江水的流速为 x 千米 / 时，则可列方程
八年级数学上册第十五章分式基础知识点归纳总结(带答案)
八年级数学上册第十五章分式基础知识点归纳总结单选题1、若数a使关于x的分式方程2x−1+a1−x=4的解为正数，则a的取值正确的是（）A．a<6且a≠2B．a>6且a≠1C．a<6D．a>6答案：A分析：表示出分式方程的解，由解为正数确定出a的范围即可．解：分式方程整理得：2x−1−ax−1=4，去分母得：2−a＝4x−4，解得：x＝6−a4，由分式方程的解为正数，得到6−a4>0，且6−a4≠1，解得：a<6且a≠2．故选：A．小提示：此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．2、若关于x的分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根，则m的值为（）A．2B．3C．4D．5答案：D分析：根据分式方程有增根可求出x=3，方程去分母后将x=3代入求解即可.解：∵分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根，∴x=3，去分母，得m+4=3x+2(x−3)，将x=3代入，得m+4=9，解得m=5．故选：D．小提示：本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键．3、若把分式2x x+y 中的x 和y 同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）A ．扩大到原来的3倍B ．扩大到原来的6倍C ．缩小为原来的13D ．不变 答案：D分析：根据分式的基本性质即可求出答案．解：∵2×3x 3x+3y =2×3x 3(x+y )=2xy x+y ，∴把分式2x x+y 中的x 和y 同时扩大为原来的3倍，则分式的值不变，故选：D ．小提示：本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．4、计算x x+1+1x+1的结果是（ ）A ．x x+1B ．1x+1C ．1D ．−1答案：C分析：根据同分母分式的加法法则，即可求解．解：原式=x+1x+1=1， 故选C ．小提示：本题主要考查同分母分式的加法法则，掌握”同分母分式相加，分母不变，分子相加“是解题的关键．5、若a +b =5，则代数式（b 2a ﹣a ）÷（a−b a ）的值为（ ）A ．5B ．﹣5C ．﹣15D ．15 答案：B分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．∵a +b =5，∴原式=b 2−a 2a ⋅a a−b =−(a+b )(a−b )a ⋅a a−b =−(a +b )=−5， 故选：B ．小提示：考查分式的化简求值，掌握减法法则以及除法法师是解题的关键，注意整体代入法在解题中的应用．6、某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品，已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同.若设乙工人每小时搬运x件电子产品，可列方程为()A．300x =200x+30B．300x−30=200xC．300x+30=200xD．300x=200x−30答案：C分析：乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运(x+30)件电子产品，根据300÷甲的工效= 200÷乙的工效，列出方程即可．乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运(x+30)件电子产品，依题意得：300x+30=200x，故选C．小提示：本题考查了分式方程的应用，弄清题意，根据关键描述语句找到合适的等量关系是解决问题的关键．.7、若关于x的分式方程2x−a −3x=0的解为x=3，则常数a的值为（）A．a=2B．a=−2C．a=−1D．a=1答案：D分析：根据题意将原分式方程的解x=3代入原方程求出a的值即可．解：∵关于x的分式方程2x−a −3x=0解为x=3，∴23−a−1=0，∴2=3−a，∴a=1，经检验，a=1是方程23−a−1=0的解，故选：D．小提示：本题主要考查了利用分式方程的解求参数，熟练掌握相关方法是解题关键．8、解方程2x−13=x+a2−1时，小刚在去分母的过程中，右边的“-1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为x=2，则方程正确的解是（ ）A ．x =−3B ．x =−2C ．x =13D ．x =−13答案：A分析：先按此方法去分母，再将x=-2代入方程，求得a 的值，然后把a 的值代入原方程并解方程．解：把x =2代入方程2（2x -1）=3（x +a ）-1中得：6=6+3a -1，解得：a =13，正确去分母结果为2（2x -1）=3（x +13）-6， 去括号得：4x -2=3x +1-6，解得：x =-3．故选：A小提示：本题考查了一元一次方程的解的定义以及解一元一次方程．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．9、下列运算正确的是( )A ．2a +3b =5abB ．(−ab)2=a 2bC ．a 2⋅a 4=a 8D ．2a 6a 3=2a 3答案：D分析：根据合并同类项法则，同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方以及单项式除以单项式法则解答． 解：A 、2a 与3b 不是同类项，不能合并，故本选项错误；B 、原式=a 2b 2，故本选项错误；C 、原式=a 6，故本选项错误；D 、原式=2a 3，故本选项正确．故选D ．小提示：本题考查了同底数幂的乘法的性质与同类项合并同类项法则，熟练掌握性质和法则是解题的关键．10、下列分式中是最简分式的是（ ）A ．2x 2B ．42xC ．x−1x 2−1D ．x−1(x−1)2答案：A分析：一个分式的分子分母无公因式或公因数叫最简分式，四个选项逐个分析排除，只有选项A是最简分式，选项B、C、D中分子分母分别有公因数2、公因式x−1、公因式x−1，都不是最简分式．选项A不能约分，是最简分式；选项B中分子分母有公因数2，可约分，不是最简分式；选项C中x−1x2−1=x−1(x+1)(x−1)，分子分母有公因式x−1，可约分，不是最简分式；选项D中分子分母有公因式x−1，可约分，不是最简分式；故选：A．小提示：本题主要考查了最简分式的概念，最简分式指的是分子分母无无公因式或公因数的分式，有时需要将分子分母进行因式分解再判断．填空题11、计算2m−2−mm−2的结果是 ____．答案：−1分析：根据分式的减法法则即可得．解：原式=2−mm−2=−(m−2) m−2=−1，所以答案是：−1．小提示：本题考查了分式的减法，熟练掌握运算法则是解题关键．12、若实数m使得关于x的不等式组{2x>23x<m+1无解，则关于y的分式方程yy−1=4−m2y−2的最小整数解是_________．答案：2分析：先求出每个不等式的解集，然后根据不等式组无解求出m的取值范围，再解分式方程从而确定y的取值范围即可得到答案．解：解不等式2x>2得：x>1，解不等式3x <m +1得：x <m+13， ∵不等式组无解，∴m+13≤1，∴m ≤2；y y −1=4−m 2y −2去分母得2y =4−m ，解得y =4−m 2，∵m ≤2，∴4−m ≥2∴y =4−m 2≥1，又∵y −1≠0，∴y >1，∴y 的最小整数解为2，所以答案是：2小提示：本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，解分式方程，熟知相关计算法则是解题的关键．13、方程22x−1+x 1−2x =1的解是________．答案：x ＝1分析：原方程去分母得到整式方程，求解整式方程，最后检验即可．解：22x−1+x 1−2x =1， 22x−1﹣x 2x−1＝1， 方程两边都乘2x ﹣1，得2﹣x ＝2x ﹣1，解得：x ＝1，检验：当x ＝1时，2x ﹣1≠0，所以x ＝1是原方程的解，即原方程的解是x＝1，所以答案是：x＝1．小提示：本题考查了解分式方程，把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键，注意解分式方程不一定要检验．14、若|a|=2，且(a−2)0=1，则2a的值为_______．##0.25答案：14分析：根据绝对值的意义得出a=±2，根据(a−2)0=1，得出a−2≠0，求出a的值，即可得出答案．解：∵|a|=2，∴a=±2，∵(a−2)0=1，∴a−2≠0，即a≠2，∴a=−2，∴2a=2−2=1．4所以答案是：1．4小提示：本题主要考查了绝对值的意义，零指数幂有意义的条件，根据题意求出a=−2，是解题的关键．15、用科学记数法将﹣0.03896保留两位有效数字为____．答案：﹣3.9×10﹣2分析：先根据科学记数法表示该数，再保留两个有效数字即可．解：﹣0.03896＝﹣3.896×10﹣2≈﹣3.9×10﹣2，所以答案是：﹣3.9×10﹣2．小提示：此题考查了科学记数法的表示方法，有效数字的概念，正确理解各知识点是解题的关键．解答题16、为推动家乡学校篮球运动的发展，某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的学校．实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了20元，结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球，每个篮球的原价是多少元？答案：每个篮球的原价是120元．分析：设每个篮球的原价是x 元，则每个篮球的实际价格是（x ﹣20）元，根据“该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球”列出方程并解答．解：设每个篮球的原价是x 元，则每个篮球的实际价格是（x ﹣20）元，根据题意，得12000x ＝10000x−20．解得x ＝120．经检验x ＝120是原方程的解．答：每个篮球的原价是120元．小提示：本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．17、若a ，b 为实数，且(a−2)2+|b 2−16|b+4=0，求3a ﹣b 的值． 答案：2分析：根据题意可得{a −2=0b 2−16=0b +4≠0，解方程组可得a,b,再代入求值.解：∵(a−2)2+|b 2−16|b+4=0，∴{a −2=0b 2−16=0b +4≠0，解得{a =2b =4， ∴3a ﹣b=6﹣4=2．故3a ﹣b 的值是2．小提示：本题考核知识点：分式性质，非负数性质.解题关键点：理解分式性质和非负数性质.18、阅读材料：对于非零实数a ，b ，若关于x 的分式(x−a)(x−b)x 的值为零，则解得x 1＝a ，x 2＝b ．又因为(x−a)(x−b)x =x 2−(a+b)x+ab x=x +ab x ﹣（a +b ），所以关于x 的方程x +ab x ＝a +b 的解为x 1＝a ，x 2＝b ． (1)理解应用：方程x 2+2x =3+23的解为：x 1＝ ，x 2＝ ；(2)知识迁移：若关于x 的方程x +3x ＝5的解为x 1＝a ，x 2＝b ，求a 2+b 2的值；(3)拓展提升：若关于x 的方程4x−1＝k ﹣x 的解为x 1＝t +1，x 2＝t 2+2，求k 2﹣4k +2t 3的值． 答案：(1)3，23；(2)19；(3)12． 分析：（1）根据题意可得x =3或x =23；（2）由题意可得a +b =5，ab =3，再由完全平方公式可得a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =19；（3）方程变形为x -1+4x−1=k -1，则方程的解为x -1=t 或x -1=t 2+1，则有t （t 2+1）=4，t +t 2+1=k -1，整理得k =t +t 2+2，t 3+t =4，再将所求代数式化为k 2-4k +2t 3=t （t 3+t ）+4t 3-4=4（t 3+t ）-4=12．（1）解：∵x +ab x =a +b 的解为x 1=a ，x 2=b ，∴x 2+2x =x +2x =3+23的解为x =3或x =23，所以答案是：3，23；（2）解：∵x +3x =5，∴a +b =5，ab =3，∴a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =25-6=19； （3）解：4x−1=k -x 可化为x -1+4x−1=k -1，∵方程4x−1=k -x 的解为x 1=t +1，x 2=t 2+2，则有x -1=t 或x -1=t 2+1，∴t （t 2+1）=4，t +t 2+1=k -1， ∴k =t +t 2+2，t 3+t =4， k 2-4k +2t 3=k （k -4）+2t 3=（t+t2+2）（t+t2-2）+2t3=t4+4t3+t2-4=t（t3+t）+4t3-4=4t+4t3-4=4（t3+t）-4=4×4-4=12．小提示：本题考查了分式方程的解，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键．。
八年级数学上册第十五章分式方法专题巧用分式方程的解求字母的值或取值范围习题新人教版
6
6
②当 2m＋1≠0 时，x＝－
.若－
＝3，分母为 0，此时方程无解，
2m＋1
2m＋1
3
6
解得 m＝－ ；若－
＝0，分母为 0，此时方程无解，但无 m 的值与之对应．
2
2m＋1
1
3
2m＋x
2
综上所述，当 m＝－ 或 m＝－ 时，关于 x 的分式方程
－1＝ 无解．
2
2
x－3
x
类型三 利用分式方程的解的取值范围求字母的值或取值范围
x＞ 7 .
a－3
∴－1≤
<0，解得－4≤a＜3，即整数 a＝－4，－3，－2，－1，0，1，2.分
7
a＋1
a＋1
式方程去分母，得 x＋a－2＝3x－3，解得 x＝
.∵x＝
为整数，且 x≠1，
2
2
∴a＝－3 或－1，∴所有满足条件的整数 a 的值之和为－3－1＝－4.
3
1
∴若这个分式方程有解，m 的取值范围是 m≠±1，且 m≠－ .
3
2m－x
3.若关于x的分式方程
＋1＝ 无解，求m的值.
−1
（x＋3）（x－1）
2m－x
x
2m－3
解：分式方程
＋1＝
去分母、整理，得 x＝
.
（x＋3）（x－1）
x－1
2
若分式方程无解，则 x＝1 或 x＝－3.
2m－3
5
当 x＝1 时，
5.若关于x的分式方程
－1＝
的解为非负数，求k的取值
−3
（x－3)(x－1）
范围.
解：分式方程去分母，得 x(x－1)－(x－3)(x－1)＝k，去括号、合并
初中数学人教版八年级上册分式方程的解法
一、探究实际问题
如果设江水流速为v km /h,则轮船顺流航行90km
90
60
所用时间为 30 v 逆流航行60km所用间 30 v ，
由方程
90 60 30 v 30 v
可解出v的值。
1、归纳分式方程的概念： 分母中含有未知数的方程。
2、巩固练习 下列各式哪些是分式方程？
(1)
90 60 30 v 30 v
（最简公分母为0）
2、本节课用到的数学思想： 化归思想 、程序化思想和建模思想
1.
2 4 x 1 x2 1
5
1
2.
0
x2 x x2 x
90
(3)
1
30 v
(5) x 1 1 2
哪些是整式方程？
(2)
30 v 30 v
90
60
(4) 90(30 v) 60(30 v)
(6) 5 7 x x2
(7)
1 x5
10 x2 25
(8)
5 1 0
x 3 x 1
二、探究分式方程的解法
1. 求探究实际问题的解
90 60 30 v 30 v
第十五章 分式
15.3 分式方程（第一课时）
1.了解分式方程的概念。 2.会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单
分式方程，体会化归思想和程序化思想。 3.了解需要对分式方程的解进行检验的原因。
利用去分母的方法解分式方程。
了解用去分母的方法解分式方程产生增根 的原因。
一、探究实际问题
问题：一艘轮船在静水中的最大航速为 30km /h,它以最大航速沿江顺流航行90km 所用时间，与以最大航速逆流航行60km所 用时间相等，江水的流速为多少？
八年级上册数学15.3第1课时分式方程及其解法
方法
如何把它转化为整式方程呢？
去分母
怎样去分母？
把方程的两边乘各分母的最简公分母
在方程两边乘什么样的式子才 能把每一个分母都约去？
(30+v)(30-v)
探索新知
知识点2 分式方程的解法
90 60 30 v 30 v
解：方程两边乘(30+v)(30-v)，得
90(30-v)=60(30+v).
一元一次方程：
指只含有一个未知数，未知数的最高次数
为1且两边都为整式的等式.
二元一次方程：
指含有两个未知数，并且含有未知数的项
的次数都是1的整式方程.
两者都是整式方程. 方程里面所有的未知数都出现在分子上，分 母只是常数而没有未知数.
复习导入
练一练
解方程: x 2 2x 3 1.
4
6
解：去分母，得3(x+2)-2(2x-3)=12.
a
x x 1
.
探索新知
判断一个式子是否为分式方程的注意事项 （1）分式方程必须满足的条件：①是方程；②含有分母；③分 母中含有未知数.三者缺一不可. （2）分母中含有字母的方程不一定是分式方程，如关于x的方程 x 2 x(m为非0常数）, 分母中虽然含有字母m，但m不是未知数，
m
所以该方程是整式方程.
课堂练习
1.下列关于x的方程，是分式方程的是（ B ）
4
A．
3
x
x
2
5
x
B．
3
1
x
1Leabharlann 2 xC．πx 1 8
x
D． 2x 1 x 75
2．方程 1 1 x 1去分母后的结果正确的是( C )
八年级数学上册《分式方程的解法》教案、教学设计
二、学情分析
八年级学生在数学学习上已具备了一定的基础，对整式方程的解法有较好的掌握。但在面对分式方程时，可能会因为分母不为零的条件、解法的多样性等问题感到困惑。此外，学生在解决实际问题时，可能难以将问题转化为分式方程，需要教师在教学过程中给予引导。
4.反馈与指导：针对学生的练习情况，给予及时反馈和指导，帮助学生纠正错误，提高解题能力。
（五）总结归纳
在总结归纳环节，我将引导学生进行以下思考：
1.分式方程解法的要点：总结分式方程解法的步骤和关键点，加深学生的记忆。
2.解题策略：讨论解题过程中遇到的问题及解决方法，提高学生的解题策略。
3.情感态度与价值观：强调数学学习的重要性，激发学生对数学的热爱，培养学生的自信心。
-能够将实际问题抽象成分式方程，并熟练运用所学的解法求解。
2.过程与方法方面的重难点：
-学生在解题过程中，对解题策略的选择和运用。
-学生在小组合作中，如何有效沟通、分享解题思路。
-学生对解题规律的总结，以及逻辑思维和抽象思维能力的培养。
3.情感态度与价值观方面的重难点：
-培养学生对分式方程解法的兴趣，克服对数学学习的恐惧心理。
3.提出问题：通过提问方式引导学生思考，如“整式方程与分式方程有什么区别和联系？”、“分式方程的解法有哪些？”等问题，激发学生的探究欲望。
（二）讲授新知
在讲授新知环节，我将按照以下步骤进行：
1.分式方程的定义：讲解分式方程的定义，强调分母不为零的条件。
2.解法讲解：详细讲解交叉相乘法、通分法等解分式方程的方法，并通过示例进行演示。
人教版八年级数学上册第十五章 分式知识点总结和题型归纳
人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和题型归纳分式知识点总结和题型归纳第一部分分式的运算一）分式的定义及有关题型考查分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子A/B为分式。
例1：下列代数式中是分式的有：(x- y)/(2x+ y)，π/(2x- y)，(x+ y)/(a+ b)。
考查分式有意义的条件：分式有意义：分母不为0 (B≠0)分式无意义：分母为0 (B=0)例1：当x有何值时，下列分式有意义：1) (x-4)/(13x2-6x)2) 2/x3) 2/(x-4)4) (x+4|x|-3x+2)/(x-1)5) x/(x2-2x-3)考查分式的值为的条件：分式值为：分子为A且分母不为0 (A/B) 例1：当x取何值时，下列分式的值为0.1) (x-1)/(x+3)2) |x|-23) (x2-2x-3)/(x-5)(x+6)例2：当x为何值时，下列分式的值为零：1) 5-|x-1|/(x+4)2) (25-x2)/(x-6)(x+5)考查分式的值为正、负的条件：分式值为正或大于0：分子分母同号 (A/B>0) 分式值为负或小于0：分子分母异号 (A/B<0) 例1：(1) 当x为何值时，分式4/(8-x)为正；2) 当x为何值时，分式5-x/(5+x)为负；3) 当x为何值时，分式(x-2)/(x+3)为非负数.例2：解不等式|x|-2≤(x+1)/(x+5)考查分式的值为1，-1的条件：分式值为1：分子分母值相等 (A/B=1)分式值为-1：分子分母值互为相反数 (A+B=0)例1：若分式|x-2|/(x+2)的值为1，-1，则x的取值分别为3和-1.思维拓展练题：1、若a>b>0,a2＋b2－6ab=0，则(a+b)/(a-b)=9/5.2、一组按规律排列的分式：-b/2.5/b。
-8/b。
11/b。
则第n 个分式为(3n-1)/b。
人教版数学八年级上册15.分式方程的解的情况专题课课件
能解决根据分式方程根的情况，确定字母的值或取
值范围.
理解分式方程可能无解的原因.
“去分母法”解分式方程的步骤
1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2.解这个整式方程.
3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方
程的解是原分式方程的解，否则须舍去。
无解，则m的值为 ( D )
A ）
5.已知关于x的分方程
的解是非负数，则m的取值范围是
（C ）
A.m＞2
B.m≥2
6.若分式方程
C.m≥2且m≠3
D.m＞2且m≠3
有增根，则k=_______．
解：去分母得：2（x-2）+1-kx=-1，
整理得：（2-k）x=2，
∵分式方程有增根，
∴x-2=0，2-x=0，
解得
1
x
2.
1
1
x x 1) 0.
检验：把 x 代入 （
2
4
1
所以原方程的解为 x
2.
例1 关于x的方程
a＜－1且a≠－2
的解是正数，则a的取值范围是____________．
解析：去分母得2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1，
∵关于x的方程
的解是正数，
∴x＞0且x≠1，
解得：x=2，
把x=2代入（2-k）x=2得：k=1．
4.写出原方程的根.
简记为：“一化二解三检验”.
用框图的方式总结为：
分式方程
去分母
整式方程
解整式方程
x =a
x =a是分式 否
方程的解
x =a
八年级数学上册 分式方程的解法 人教版
解得: x=1
检验：当x=1时，(x-1)(x+2) ＝0 ,因此x＝1不 是原方程的解.
所以，原分式方程无解
备选练习
解下列方程：
(1) 5 7 x x2
解：方程两边乘x(x-2)，得: 5(x-2)=7x 解得: x=-5 检验：当x=-5时，x(x-2) ≠0
所以，原分式方程的解为 x＝-5
①
30v 30v
方程①有何特点？
方程①中含有分式，并且分母中含有未知 数，像这样的方程叫做分式方程.
你还能举出一个分式方程的例子吗？
练习
判断下列各式哪些是分式方程?
(1)xy5; (2)x22y-z; (3)1;
5
3
x
(4) y 0; (5)12x5
x5
x
（1）（2）是整式方程； （3）是分式；
约去分母，得： 90（30－v）＝60（30+ v）
解这个整式方程，得：v＝6
所以江水的流速为6 km/h.
解分式方程的过程，实质上是将方程的两边 乘同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整 式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分 式的最简公分母.
解方程：
1 10 x 5 x2 25
怎样才能拿得起？王国维《人间词话》中曾提出，古今之成大事业者，须经过三重境界。这三重境界体现的正是儒家精神，所以正是路径所在。 第一重境界是“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”。登上高楼，远眺天际，正是踌(chóu)躇(chú)满志，志存高远，高瞻远瞩，一腔抱负。人生，志向决定方向，格局决定高度；小溪只能入湖，大河则能入海。所以做事，要先立心中志向；成事，要先拓胸中格局。
如何才能放得下？唐代禅宗高僧青原行思曾提出参禅的三境界，那正是路径所在。 第一重境界是“看山是山，看水是水”。人之最初，比如年少之时，心思是简单的，看到什么就是什么，别人说什么就相信什么。这样看待世界当然是简单而粗糙的，所看到的往往只是表面。但同时，正是因为简单而不放在心上，于是不受其困扰，这就是放下的心境。只是还太脆弱，容易被现实击碎。 第二重境界是“看山不是山，看水不是水”。人随着年龄渐长，经历的世事渐多，就发现这个世界的问题越来越多、越来越复杂，经常是黑白颠倒、是非混淆，无理走遍天下、有理寸步难行，好人无好报、恶人活千年。这时人是激愤的，不平的，忧虑的，怀疑的，警惕的，复杂的。于是人不愿意再轻易地相信什么，容易变得争强好胜、与人比较、绞尽脑汁、机关算尽，永无满足的一天。大多数人都困在这一阶段，虽然纠结、挣扎、痛苦，这却恰恰是顿悟的契机。因为看到了，才能出来；经历了，才能明白。 第三重境界是“看山还是山，看水还是水”。那些保持住本心、做得到忍耐的人，等他看得够了，经得多了，悟得深了，终于有一天豁然顿悟，明白了万般只是自然，存在就有存在的合理性，生会走向灭，繁华会变成寂寞，那些以前认为好的坏的对的错的，都会在规律里走向其应有的结局，人间只是无常，没有一定。这个时候他就不会再与人计较，只是做自己，活在当下之中。任你红尘滚滚，我自清风朗月；面对世俗芜杂，我只一笑了之。这个时候，就是放下了。