因式分解经典讲义(精)
因式分解讲义
因式分解讲义【例1】33228273654.x y x y xy +++【例2】222499181212.a b c bc ca ab ++--+【例3】66.a b -【例4】()()2222ab c d a b cd---【例5】()()()333333.a b b c c a a b c ++++++++【例6】4242422424242222.a b b c c a a b b c c a a b c ++++++【例7】444222222222.a b c a b b c c a ---+++【例8】已知a 、b 、c 为三角形的三条边，且222433720.a ac c ab bc b ++--+=求证：2b a c=+【例9】()()()()245610123x x x x x ++++-【例10】()()211a b ab +-+【例11】()44444a a ++-【例12】将198551-分解为三个大于1005的因数相乘.【知1】余数定理：x c -除()f x 时，所得的余数为().f c （其中()f x 为整系数多项式）【知2】多项式的有理根：有理根p c =的分子p 是常数项0a 的因数，而q 是首项系数n a 的因数.【例1】323648.x x x +++【例2】()()()()3232232.l m x l m n x l m n x m n +++-+---+【例3】4325121797.x x x x +++-【例4】42 1.x px px p +++-【知3】待定系数法分解四次式：设为()()22x ax b x cx d ++++，解系数对应的方程组.【例1】43 2.x x --【例2】43222 1.x x x -++【例3】证明42631;1x x x x +-+-均在整系数多项式范围内不可约.【知4】对称式：一个关于多个（字母）变量的多项式，交换其中两个任意变量，多项式不发生改变。
因式分解专题复习讲义
因式分解专题复习【知识回顾】1、下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ）（A ）()b a b a 222-=- （B ）()()1112-+=-m m m（C ）()12122+-=+-x x x x （D ）()()()()112+-=+-b ab a b b a a 2、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）A.()21a a a a +=+ B. ()23131a a a a +=++－ C.()2242( 2)x y x y x y =+－－ D. ()33()a b b a -=－－一、提公因式法（1）提公因式法： ()ab ac a b c +=+①提取的公因式应是各项系数的最大公因数（系数都是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。
②当某一项全部提出时，括号内加1；③当第一项系数为负数时，一般提取此负号。
【例题辨析】1、把多项式－8a 2b 3c ＋16a 2b 2c 2－24a 3bc 3分解因式，应提的公因式是( )A.－8a 2bcB. 2a 2b 2c 3C.－4abcD. 24a 3b 3c 32、20032002)2()2(-+-因式分解后是( ).A.22002B.–2C.–22002D.–13、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ）A 、－a 、B 、))((b x x a a ---C 、)(x a a -D 、)(a x a --二、公式法1、平方差公式：2、完全平方公式：【例题辨析】1、下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（ ）（A ）42+a （B ）22-a （C ）42+-a （D ）42--a2、下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是( )．（A ）4x 2－1 （B ）4x 2＋4x+1 （C ）x 2－xy ＋y 2 D ．x 2－x ＋12[ 3、把多项式2288x x -+分解因式，结果正确的是（ ）A ． ()224x -B ．()224x -C ．()222x -D ．()222x + 4、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。
初中因式分解讲义
初中因式分解讲义因式分解是初中数学中相当重要的一个概念，它是解决多项式问题的关键步骤。
通过因式分解，我们可以将一个多项式拆分成更简单的乘积形式，从而更好地理解和解决问题。
本讲义将介绍初中因式分解的基本方法和应用，帮助同学们系统地学习和掌握这一知识点。
一、因式分解的基本概念因式分解是指将一个多项式拆分成若干个乘积形式的过程。
在因式分解中，我们将多项式中的每一个项称为因式，拆分后的乘积形式称为因式分解式。
因式分解的结果应满足两个条件：1）拆分后的每个因式之积等于原多项式；2）每个因式都不能再进行继续拆分。
二、因式分解的基本方法1. 公因式提取法公因式提取法是指将多项式的公因式提取出来，并将多项式拆分成公因式与括号内的乘积形式。
通过公因式提取法，我们可以简化多项式的计算过程和展开过程。
举例说明：多项式7x+14可以进行公因式提取，提取公因式7后，原多项式可以写成7(x+2)，这就是因式分解的结果。
2. 分组分解法分组分解法是指将多项式的项进行适当的分组，然后利用公式或特定规律进行因式分解。
举例说明：多项式x²+xy+2x+2y可以进行分组分解，将x²+xy作为一组，并将2x+2y作为另一组。
然后，在第一组中提取公因式x，第二组中提取公因式2，最终得到因式分解式为x(x+y)+2(x+y)，即(x+2)(x+y)。
三、因式分解的应用因式分解在初中数学中有广泛的应用。
下面我们介绍几个典型的应用场景。
1. 最大公因数和最小公倍数在求最大公因数和最小公倍数的过程中，因式分解是非常有帮助的方法。
通过将两个数分别进行因式分解，然后提取公因式并相乘，我们可以得到它们的最大公因数；同时，将两个数进行因式分解，然后取分解式的所有因子的乘积，我们可以得到它们的最小公倍数。
2. 方程的解法在解一元二次方程和一元三次方程时，因式分解也经常被使用。
通过将方程进行因式分解，可以将原方程转化成更简单的乘积形式，从而更容易求解。
讲义1：因式分解
七年级上：数学提高班辅导讲义1：因式分解【知识要点】1、因式分解：把一个多项式化为几个多项式的形式，叫做把这个多项式分解因式。
（因式分解和整式乘法是互逆的变形）2、因式分解方法：提公因式法、运用公式法、十字相乘法、分组分解法3、因式分解的结论是整式的乘法；小括号内多项式的首项为正；因式分解要分解彻底；【基础自测】1、下列各式中，从左到右的变形，是因式分解的有：（ ）A ．2132132x x x x x ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭B ．()()243223x x x x x --=+--C ．221(1)(1)1a a a a -+=-+=-D ． ()222ab ab ab b -=-2、能用平方差公式分解因式的是（ ）A ．()22x y ---B ．224x y --C ．24x y -D ． ()22a b --+ 3、能用完全平方公式分解因式的是（ ）①222x xy y +-，②2224x xy y -+，③244x xy y -+，④2269a ab b -+-A ．1个B ．2个C ． 3个D ．0个4、下列各因式分解正确的是（ ）A ．()2222n n n n a a b a b a a b -+=-B ．()2222x ax a x a --+=--C ．()()()()245a b a b a b a a b -++-=-D ． ()()4242222a b b a b b a b b -=+- 5、276x x ++、243x x ++、265x x ++的公因式是__________________6、2440x x k -+是一个完全平方式，那么k ＝_________7、多项式29x mx ++是一个完全平方式，则m = 。
8、()()22251x mx n x x --=+-，则m ＝__________，n ＝____________ 9、计算：（―2）26＋（―2）27＝______________【例题选讲】因式分解：1、32233111248x y x y x y -+- 2、 2111218n n n n a b a b +++-3、44128x y -4、 ()229()16a b a b +--5、23108x x +-6、2(21)6(12)9x x -+-+7、22244x x y y ---8、22(2)(2)(24)(2)x y x y x y x y ---+++9、2212366368x xy y x y -+-++10、223625101a b b ---【拓展探究】1、计算：44119-2、如果()()223150a a -+-=，那么2a =___________________3、因式分解：4244a a a -+-4、已知2510x x -+=，求（1）221x x +，（2）441x x +的值5、因式分解：376x x -+ 4224x x y y ++6、因式分解：22621012x xy y x y ---+-【小试牛刀】因式分解：1、2322318129x y x y x y --+2、321113912x x x +-3、2144n n n aa a ++++ 4、212215n n n a ab a b ++--5、()()1210x x x ++--6、221227x xy y ++7、22221x y x y --+ 8、22944a ab b -+-9、632ax ay bx by +-- 10、22318318x xy y x y ---+11、若a －1是25a a m ++的因式，则m ＝__________________。
因式分解讲义(适合0基础的)
因式分解知识网络详解：因式分解的基本方法：1、提公因式法——如果多项式的各项有公因式，首先把它提出来。
2、运用公式法——把乘法公式反过来用，常用的公式有下列五个：平方差公式()()22a b a b a b -=+-； 完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±； 3、分组分解法——适当分组使能提取公因式或运用公式。
要灵活运用“补、凑、拆、分”等技巧。
4、十字相乘法——))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 【课前回顾】1．下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ）（A ）()b a b a 222-=-（B ）()()1112-+=-m m m（C ）()12122+-=+-x x x x （D ）()()()()112+-=+-b ab a b b a a2．把多项式－8a 2b 3＋16a 2b 2c 2－24a 3bc 3分解因式，应提的公因式是()，（A ）－8a 2bc （B ）2a 2b 2c 3（C ）－4abc （D ）24a 3b 3c 33．下列因式分解中，正确的是（）（A ）()63632-=-m m m m （B ）()b ab a a ab b a +=++2（C ）()2222y x y xy x --=-+-（D ）()222y x y x +=+4．下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（）（A ）42+a （B ）22-a （C ）42+-a （D ）42--a5．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是()．（A ）4x 2－1（B ）4x 2＋4x －1（C ）x 2－xy ＋y 2D ．x 2－x ＋6．若942+-mx x 是完全平方式，则m 的值是（）（A ）3（B ）4（C ）12（D ）±12 经典例题讲解：提公因式法：提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。
它的理论依据就是乘法分配律例：22x y xy -()()p x y q y x ---()()x a b y a b +-+变式练习：1．多项式6a 3b 2－3a 2b 2－21a 2b 3分解因式时，应提取的公因式是()A.3a 2bB.3ab 2C.3a 3b 2D.3a 2b 22．如果()222332x y mx x n -+=--，那么（）A ．m=6，n=yB ．m=-6，n=yC ．m=6，n=-yD ．m=-6，n=-y3．()()222m a m a -+-，分解因式等于（）A ．()()22a m m --B ．()()21m a m --C ．()()21m a m -+D ．以上答案都不能4．下面各式中，分解因式正确的是()A.12xyz －9x 2.y 2=3xyz(4－3xy)B.3a 2y －3ay+6y=3y(a 2－a+2)C.－x 2+xy －xz=－x(x 2+y －z)D.a 2b+5ab －b=b(a 2+5a)5．若a+b=7,ab=10,则22ab b a +的值应是（）A ．7B ．10C ．70D ．176.因式分解1．6x 3－8x 2－4x2．x 2y(x －y)+2xy(y －x)3.()()x m ab m x a +-+4.()()()x x x --+-212运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式： 平方差：)b a )(b a (b a 22-+=-完全平方：222)b a (b 2ab a ±=+±立方和：)b ab a )(b a (b a 2233+-+=+立方差：)b ab a )(b a (b a 2233++-=- 例1.把下列各式分解因式：（1）x 2－4y 2（2）22331b a +- （3）22)2()2(y x y x +--(4)442-+-x x例2．（1）已知2=+b a ，利用分解因式，求代数式222121b ab a ++的值 （2）已知0136422=+--+b a b a ，求b a +。
因式分解-讲义
因式分解(一)-一般方法多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．1．(2)x10+x5-2；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+323．3．(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．4、(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2= ；(2)x2-y2+5x+3y+4= ；(3)xy+y2+x-y-2= ；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2= ;(5)2x2-7xy-22y2-5x+35y-3= .因式分解(二)--求根法分解因式我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例1 分解因式：x3-4x2+6x-4．例2 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；(2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；(2)x4+5x3+15x-9．。
因式分解讲义精讲
教育教学讲义 学员姓名： 年 级： 学科教师： 上课时间：辅导科目：数学 课时数：2 课 a因式分解 教学目标 讲解因式分解的三种方法1提取公因式法2用乘法公式因式分解3特殊的因式分解教学内容课前检测知识梳理6.1 Q 式今解谁能以最快速度求：当a=101 , b=99时，聲・*的值？概念•像这样,把一个多巩式化成几个整式的积的形式叫因式分解.有时■也把这一过程叫分解因式•下列代数式变形中，哪些足因武分解？哪些不是？为什么？①左边是多项式f 右边是整式；②右边是整式的乘积的形式・a( <a+l ) =a?+a;1 }; (a+b ) ( d —b )=^—62;決一bT ( a+5 ) ( a —b ) • 2十2a 十 1=( a+L )3运算运算 1・填空(整式乘法，因式分解) 2・这两种运算是什么关系？(互逆)图示表示：2譏3)3).例2；把下列各式分解因武：(1 ) am+im ：(2) a 2-底因式分解・ 3・解决问题•(1 > Ja( O+2 ) (3 > x J -4= (x*2 ) < x-2 );(5 ) &一 (7) zzA 2—( b —2 > ； (9) (2 ) 3a 2+6a=3a( a+2 ):(4 ) x 2—4+3x= ( x4-2、( x —2 ) +3客; (6)x 2-4+3x=( x-h4)(x-1 );(8 ) | J 2=X 2^-2^4(10 )元-4= ( +2)( y/~x~-2 )• 尤耳2+⑴公因式的系数应取各项系数的最大公约数(当系数是整数时)⑵字母取各项的相同字母，且各字母的指数取最低次幕(3)系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。
一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以宜接利用公式法分解因式。
例1、分解因式：(1) x2-9；(2) 9x2-6x+l.二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。
因式分解经典讲义(精)
第二章 分解因式【知识要点】1．分解因式（1）概念：把一个________化成几个___________的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
（2）注意：①分解因式的实质是一种恒等变形，但并非所有的整式都能因式分解。
②分解因式的结果中，每个因式必须是整式。
③分解因式要分解到不能再分解为止。
2．分解因式与整式乘法的关系整式乘法是____________________________________________________； 分解因式是____________________________________________________； 所以，分解因式和整式乘法为_______关系。
3．提公因式法分解因式（1）公因式：几个多项式__________的因式。
（2）步骤：①先确定__________，②后__________________。
（3）注意：①当多项式的某项和公因式相同时，提公因式后该项变为1。
②当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号。
4．运用公式法分解因式（1）平方差公式：_________________________ （2）完全平方公式：_________________________注：分解因式还有诸如十字相乘法、分组分解法等基本方法，做为补充讲解内容。
【考点分析】考点一：利用提公因式法分解因式及其应用 【例1】分解因式：（1）3241626m m m -+- （2）2()3()x y z y z +-+（3）2()()()x x y x y x x y +--+ （4）(34)(78)(1112)(78)a b a b a b a b --+--解析：（1）题先提一个“-”号，再提公因式2m ；（2）题的公因式为y z +；（3）题的公因式为()x x y +； （4）题的公因式为78a b -。
答案：（1）22(2813)m m m --+； （2）()(23)y z x +-；（3）2()xy x y -+； （4）22(78)a b -。
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第一章分解因式【知识要点】1 .分解因式(1)概念：把一个化成几个的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
(2 )注意：①分解因式的实质是一种恒等变形，但并非所有的整式都能因式分解。
②分解因式的结果中，每个因式必须是整式。
③分解因式要分解到不能再分解为止。
2•分解因式与整式乘法的关系整式乘法是_____________________________________________________ ___分解因式是_____________________________________________________ ___所以，分解因式和整式乘法为________ 系。
3•提公因式法分解因式(1 )公因式：几个多项式____________ 因式。
(2 )步骤：①先确定____________,②后____________________ 。
(3)注意：①当多项式的某项和公因式相同时，提公因式后该项变为1。
②当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提出“”号。
4•运用公式法分解因式(1 )平方差公式：_____________________________(2 )完全平方公式：____________________________注：分解因式还有诸如十字相乘法、分组分解法等基本方法，做为补充讲解内容。
【考点分析】考点一：利用提公因式法分解因式及其应用【例1】分解因式：【随堂练习】1 .分解因式：,、小34“23小22（1） 2x y 10x y 2x y32(1) 4m 16m 26 m(2) 2x(y z) 3(y z)2(3)x(x y)(x y) x(x y)(4)(3a 4b)(7a 8b) (11a 12b)(7a 8b)号，再提公因式 2m ；（ 2）题的公因式为 y z ；(3) 题的公因式为 x(x y) ;答案：(1) 2m(2m 28 »m13)；(3)2xy(x y);【例:2】(1 ）已知x y 5, xy 6 ,(2 ?）已知ba 6,ab7,解析：(1) 题：2x2y 2 x y 22xy(x（2）题：a|2bab2a b(a答案：(1) 60(2)42（4）题的公因式为7a 8b 。
（2）（y z ）（2x 3）；2（4）2（7a 8b ）。
求2x 2y 2xy 2的值。
求a2b ab 2的值。
y ），所以考虑整体代入求该代数式的值; (2) (m n)(m n) (n m)(m 2n)解析：（1）题先提一个解析：（1）题：原式从整体看符合平方差公式，所以整体套用平方差公式;2 2 2 2（2）题：p q （p ） （q ），所以符合平方差公式，此题注意分解完全。
2 2答案：(1) (4x 1)(2x 3); (2) (p q )(p q)(p q)。
(3) (2x 3y)(a b) (3x 2y)(a b)3 2 2 2 2(4) x (x 2) x (2 x) x (x 2)2 •不解方程组2x2y 12，求(2x y)3(2x y)2(x 3y)的值x 2y 11注：（1）公因式应按“系数大（最大公约数），字母同，指数低”的原则来选取。
（2） 当多项式的某项和公因式相同时，提公因式后该项 变为1，而不是没有。
（3） 当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提岀 “ ”号。
（4） 利用分解因式 整体代入往往应用于代数式的求值问题。
考点二：利用平方差公式分解因式及其应用 【例3】分解因式:(1) (3x 1)2 (x 2)24 4(2) p q(1(2) 20082 2007 2009 9992.同的情况，再利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解，最后凑出除数。
7122 712141212 2121136 6(6 ) 66 6 6 (6 1) 6 g35 6 gl40712所以36 6能被140整除。
【随堂练习】1 .分解因式:2 2(2) 9x (a b) y (b a)2•利用分解因式说明：257 512能被60整除.解析：（1）题：原式中每一个因式符合平方差公式, 可以借助分解因式简化计算。
原式 （1 1 5)(1 6 5 5 61 5)(1 7 1 1 -)(1 ) (1 6 6 199 201 200 200 （2）题：先化简， 再使用平方差公式。
原式 20082(2008 1)(2008 1)(20082 1) 9992 220082 129992(1 999)(1 999)答案：（1）鬻；(2) 998000。
【例5】利用因式分解说明:解析：对于符号相反的二项式,1 )(1 200 5 200 9992 99800071236 6能被140整除。
我们考虑使用平方差公式。
1200)201 250 此种题型应先将两项化为底数相(1) ax 4a注：（1）平方差公式的结构特征是：二项式，两项都是平方项，且两项符号相反;（2） 公式中的a,b 可以是具体数，也可以是代数式；（3） 在运用平方差公式的过程中，有时需要变形。
考点三：利用完全平方公式分解因式及其应用 【例6】（1）分解因式：abx22abxy aby 21 2（2） 已知一x 2bx 36是完全平方式，求 b 的值。
4（3） 计算：9999 9999 19999.解析： （1）题：原式要先提取公因式，再利用完全平方差公式进行分（2）题：此种题型考察完全平方公式的特征，中间项是首尾两项底数积的2倍（或其相反数）x 3y 3，整体代入求值。
【随堂练习】1 . (1)分解因式： 2(a b) (a b)21（2）若多项式a 2（k 1）ab 9b 2能运用完全平方差公式进行因式分解，求k 的值。
(3)题：9999 99992 19999 9999 2 9999 12(9999 1)108。
2答案：（1） ab （x8(3) 101 12 【例7】（四川•成都）已知y -x 1，那么—x 23 3 22xy 3y 2的值是____________ 1(x3y ）2，再将y -x 1变形为3(3)1999 1999 2000 19992. （1）已知：a b 5, ab 3，求代数式 a b 2a b ab 。
1 2 2（2）当s t —时，求代数式s 2st t 的值。
2注：（1 ）完全平方公式的结构特征是：三项式，首尾两项分别为两个数的平方，中间项是两个底数积的2倍（或其相反数）；（2）公式中的a,b 可以是具体数，也可以是代数式；考点四：综合利用各种方法分解因式及其应用【例8】分解因式:解析：（1 ）、（2 ）题都应先利用完全平方公式，再利用平方差公式进行因式分解。
2 2答案：（1） （3m 2n ） （3m 2n ） ； （2） （a 2 c ）（a 2 c ）。
一 1 2 1 2 1 2【例9】（福建•漳州）给出三个多项式： x 2 2x 1,— x 2 4x 1 - x 2 2x ，请选择你2 2 2最喜欢的两个多项式进行加减运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解。
解析：本题是一道开放题，只要所得整式可以因式分解。
本题可任取两个多项式进行加法运1 2 1 2 2(1)81m472m 2n 216n 42 2(2) a 4a 4 c算再因式分解。
如：2x 1) ( x 4x 1) x 6x x(x 6)【例10】已知a,b,c分别是三角形ABC的三边，试证明(a2 b2 c2) 4a2b2 0解析：已知a,b,c分别是三角形ABC的三边，可以想到利用三角形的三边关系，再由不等式的左边是平方差形式，可想到利用平方差公式分解因式。
/2「2 2、/2「2/2「2 2 2 . 2 2(a b c ) 4a b (a b c 2ab)(a b c 2ab)2 2 2 2a b c a b c(a b c)(a b c)(a b c)(a b c)由三角形三边关系可知，上式的前三个因式大于0,而最后一个因式小于0,则有:/ 2 ,2 2 Z 2(a b c ) 4a b 0【随堂练习】1 .分解因式：2 2、2 2 2 4 2(1) (x y ) 4x y (2) a 6a 272. (2009，吉林)在三个整式：x2 2xy, y2 2xy, x2中，请你任意选出两个进行加(或减)法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解。
注：分解因式的一般步骤可归纳为：“一提、二套、三查”。
一提：先看是否有公因式，如果有公因式，应先提取公因式；二套：再考察能否运用公式法分解因式；运用公式法，首先观察项数，若为二项式，则考虑用平方差公式；若为三项式，则考虑用完全平方公式。
三查：分解因式结束后，要检查其结果是否正确，是否分解彻底【巩固提高】 」、选择题1 .下列从左到右的变形中，是分解因式的有（2•下列多项式能分解因式的是（3•下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（2 2 24. a 、b c 是△ABC 的三边，且a b cA 、直角三角形B 、等腰三角形C 、等腰直角三角形D 、等边三角形25 •如果9 xkx 25是一个完全平方式，那么 k 的值是（） A 、15 B 、5 C 、30 D 、3026 .已知多项式2x bx c 分解因式为2（x 3）（ x 1），则b,c 的值为（ ）A 、b 3,c1 B 、b 6, c2 C 、b 6, c4 D 、b 4, c 622x y7 •已知2x3xy y 0（ xy 0），贝U 的值是（）y x1 1 12①(x 1)(x 2) x x 2 ②9 (3 x)(3 x)③ ab a b 1 (a 1)(b 1)2④ a 4 a (a 2)(a 2)⑥(y 1)(y 3)(3 y)(y 1)⑦1 = a(a 丄)aA 、x 2yB 、x 21 D 、x 24xx 2 2xy yC 、a 2 14ab 49b 2 ab ac bc ，那么△ ABC 的形状是（A、2或2B、2C、2D、 2 或22 2 22 3 28 •若(p q) (q p) (q p) E ，则 E 是()A 、1 q pB 、qp C 、1 p q D 、1 q p 9.已知二次三项式x 2bx c 可分解为两个一次因式的积 （x）（x ），下面说法中错误的是（)A 、若 b 0,c 0,则、 同取正号；B 、若 b 0,c 0,则、 同取负号；C 、若 b 0,c 0,则、 异号，且负的一个数的绝对值较大；D 、若 b 0,c 0,则、异号，且负的一个数的绝对值较大。
10 •已知 a 2002x 2003 , b 2002x 2004 , c 2002x 2005 ,则多项式 a 2 b 2 c 2ab beca 的值为（）A 、0B 、1C 、2D 、3二、填空题511.分解因式：m 4m = ___________________________ . 12 •在括号前面填上“ + ”或“―”号，使等式成立：（y x ）2 _（x y ）2213 •若x mx 9是一个完全平方式，则 m 的值是 ____________________ ；222a b 14 .已知：ab 0,a ab 2b 0，那么 ---------------- 的值为_______________ .2a b4 2 2 2 2 415 . △KBC 的三边满足a b c a c b 0 ,则AABC 的形状是 _______________________ .16.观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是 _____________________ ....2 217 .右 x yx y (x y) A ，贝U A = ____________n2 n 118 •分解因式：x a b y(b a)_______________________ .（第16题图）2 219 •若a 2a b 6b 10 0,2 2 2 2 2.y )(x y 1)12,则(x y )13 2 213220 •若(x三、解答题21.分解因式:(1) 8a 3b 212ab 3c 6a 3b 2c(2) 8a(x a) 4b(a x) 6c(x a)5 3 3 5(3) x y x y(4) 4(a b)2 16(a b)24 4 (5) m 16n 2 2(6) 9(m n) 16(m n)3(7) 5m(x y)210n(y x)3(8) 2x 22xa b 2，ab 2，求一a b a b ab 的值22 •先分解因式，再求值：已知222 2 2 2 2 223 •设 a i 3 1 , a 2 5 3 , , a n (2n 1) (2n 1) (n 为大于零的自然数)探究a n 是否为8的倍数，并用文字语言表达你所得到的结论。