4曲线运动

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第四章曲线运动第三节圆周运动的基本概念和规律

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知识点二匀速圆周运动
保持不变的圆周运动． 1．定义：线速度大小____________ 2．性质：向心加速度大小不变，方向____________ 时刻变化，是变加速曲线运动．大小不变，方向始终与速度方向垂直 3．条件：合力____________ 且指向圆心．
2017/7/29
►
2017/7/29
变式题如图 18－5 所示，两段长均为 L 的轻质线共同系住一个质量为 m 的小球，另一端分别固定在等高的 A、 B 两点， A、B 两点间距也为 L.现使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点时速率为 v，两段线中张力恰好均为零；若小球到达最高点时速率为 2v，则此时每段线中张力大小为( A．2 3mg B. 3mg C．3mg D．4mg )
2017/7/29
2017/7/29
[答案] C
[解析] 在松手前，甲、乙两小孩做圆周运动的向心力均由静摩擦力及拉力的合力提供，且静摩擦力均达到了最大静摩擦力．因为这两个小孩在同一个圆盘上转动，故角速度 ω 相同，设此时手中的拉力为 F，则对甲： fm－F＝mω2R 甲，对乙： F＋fm＝mω2R 乙．当松手时，F＝0，乙所受的最大静摩擦力小于所需要的向心力，故乙做离心运动，然后落入水中；甲所受的静摩擦力变小，直至与它所需要的向心力相等，故甲仍随圆盘一起做匀速圆周运动，选项 C 正确．
2017/7/29
[点评] 解决圆周运动问题的基本步骤： (1)审清题意，确定研究对象； (2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等； (3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，并确定向心力的来源； (4) 根据牛顿第二定律列方程； (5)求解，必要时进行讨论．

题型四曲线运动问题(1)——2023届高考物理高频题型专项训练

题型四曲线运动问题（1）——2023届高考物理高频题型专项训练1.2020年受“新冠肺炎”的影响，全国人民自愿居家隔离。

小豆在家和爸爸玩“套圈”游戏，第一次扔在小黄人正前M点，不计空气阻力。

第二次扔之前小豆适当调整方案，则小豆可能仍中的措施是( )A.小豆在原处，仅增加扔套圈的水平初速度B.小豆在原处，仅减小水平扔出套圈时的高度C.小豆沿小黄人与M点连线方向后退，仅增加人和小黄人之间的距离D.小豆在原处，降低扔套圈的高度和扔套圈的水平初速度2.2022年北京冬奥会之后，我国各地掀起了滑冰运动的热潮，在水平滑冰场上沿规定的圆形滑道做圆周运动是一项基础训练。

如图所示，运动员从圆形滑道上的A点开始蹬地加速，到达B点时获得速度05m/sv=，然后保持速度大小不变继续做圆周运动。

已知运动员的质量（含装备）为50kg，做圆周运动的半径为5m。

不考虑空气阻力和冰刀与冰面间的摩擦力，不计人体倾斜对半径和速度的影响，取210m/sg=，下列说法正确的是( )A.运动员从A点加油到B点的过程中，冰面对运动员做的功为625JB.运动员做匀速圆周运动时处于平衡状态C.运动员到达B点后做匀速圆周运动需要的向心力大小为250ND.保持匀速圆周运动时，运动员的倾角（身体与冰面的夹角）为60°3.极限运动是结合了一些难度较高，且挑战性较大的组合运动项目的统称，如图所示的雪板就是极限运动的一种。

图中AB是助滑区、BC是起跳区、DE是足够长的着陆坡（认为是直线斜坡）。

极限运动员起跳的时机决定了其离开起跳区时的速度大小和方向。

忽略空气阻力，运动员可视为质点。

若运动员跳离起跳区时速度大小相等，速度方向与竖直方向的夹角越小，则运动员( )A.飞行的最大高度越大B.在空中运动的加速度越大C.在空中运动的时间越短D.着陆点距D 点的距离一定越远4.固定的足够长斜面顶端有一个质量为m 、电荷量为q 的带正电荷的小球，以速度0v 平抛。

【名师讲解】高三物理一轮复习：四曲线运动,万有引力与航天(53张PPT)

小船渡河问题、绳拉物体问题和各种抛体运动
（如平抛等）都是典型实例。复习圆周运动问题
时，要认真分析向心力的来源，确定向心力是解
决圆周运动问题的关键。万有引力定律及其应用
是高考的热点内容，常以天体问题或人类航天技术为背景考查其相关知识。
四、高考命题趋向
第一节一、知识要点
1、曲线运动
曲线运动，运动的合成分解
（1）曲线运动的方向：做曲线运动的物体在某一点(或某一时刻)的速度方向是在曲线的这一点的切线方向．
（2）曲线运动的性质由于曲线运动的速度方向不断变化，所以曲线运动一定是变速运动，一定存在加速度．（3）物体做曲线运动的条件物体所受合外力（或加速度）的方向与它的速度方向不在同一直线上． ①如果这个合外力是大小和方向都恒定的，即所受的力为恒力，物体就做匀变速曲线运动，如平抛运动． ②如果这个合外力大小恒定，方向始终与速度垂直，物体就匀速圆周运动．做
二、巩固训练
【练习1】． (教学案第107页练习1)我国嫦娥一号探月卫星经过无数人的协作和努力，终于在2007年10月24日晚6点05 分发射升空。如图所示，嫦娥一号探月卫星在由地球飞向月球时，沿曲线从M点向N点飞行的过程中，速度逐渐减小，在此过程中探月卫星所受合力的方向可能的是（ c ） N N N N
2m
3m 3m 18m
3 10m / s < V < 12 2m / s
2.13m
第三节一、知识要点
匀速圆周运动及离心运动
1．圆周运动的几个重要概念 (1)线速度：V 切线方向 ①方向：就是圆弧在该点的。 ②大小：v＝x/t 单位： m/s ③物理意义：描述质点沿圆弧运动的快慢 ④计算式： v = 2π R/T (2)角速度：ω ①方向，中学阶段不研究 ②大小， ω＝ φ/t (φ是圆心角)单位： rad/s . ③物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢 ④计算式： ω＝2π/T

高考物理复习第4章曲线运动学案(无答案)

第四章曲线运动✧学问要点➢运动的合成与分解（一）两个互成角度的分运动的合成：①两个匀速直线运动的合成肯定是匀速直线运动②两个初速度均为零的匀加速直线运动的合运动肯定是匀加速直线运动，并且合运动的初速度为零，a合由平行四边形定则求解。

③一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合成肯定是曲线运动④两个匀变速直线运动的合成其性质由它们的关系确定（二）两类实际运动的合成与分解⑴小船过河问题⑵连带运动问题典型例题：【例1】如图所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中以速度v匀速上浮.现当红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管水平匀加速向右运动，则红蜡块的轨迹可能是（）A.直线PB.曲线QC.曲线RD.无法确定【例2】关于互成角度的两个初速度不为零的匀加速直线运动的合成结果，下列说法中正确的是（）A．肯定是直线运动 B．可能是直线运动，也可能是曲线运动C．肯定是曲线运动D．以上说法都不对【例3】小船在水速较小的河中横渡，并使船头始终垂直河岸航行，到达河中间时，突然上游来水使水流速度加快.则对此小船渡河的说法正确的是( )A.小船要用更长的时间才能到达对岸B.小船到达对岸的位移将变大，但所用时间仍不变C.因小船船头始终垂直河岸航行，故所用时间及位移都不会变更D.因船速与水速关系未知，故无法确定渡河时间及位移的变更【例4】如图所示，在河岸上利用定滑轮拉绳使小船靠岸，匀速拉绳速度为v，当船头绳长方向与水平方向夹角为θ时，船的速度多大？（船做什么运动？）若船的速度为v向右匀速行驶，岸上的绳子的速度为多少？【例5】在水平面上有A.B两物体，通过一根跨过滑轮的轻绳相连，现A物体以v1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别为α.β时（如图所示），B物体的运动速度V B（绳始终有拉力）A．1sin/sinvαβB．1cos/sinvαβC．1sin/cosvαβD．1cos/cosvαβ课后作业1. 若河水的流速大小与水到河岸的距离有关，河中心水的流速最大，河岸边缘处水的流速最小。

专题4 曲线运动(力学部分)(原卷版)

专题4 曲线运动一、选择题（1-3题为单项选择题，4-10为多项选择题）1．如图所示，固定半圆弧容器开口向上，AOB是水平直径，圆弧半径为R，在A、B两点，分别沿AO、BO方向同时水平抛出一个小球，结果两球落在了圆弧上的同一点，从A点抛出的小球初速度是从B点抛出小球初速度的3倍，不计空气阻力，重力加速度为g，则）（）A．从B点抛出的小球先落到圆弧面上B．从B点抛出的小球做平抛运动的时间为3R gC．从A点抛出的小球初速度大小为332gRD．从A点抛出的小球落到圆弧面上时，速度的反向延长线过圆心O2．如图所示，光滑轨道由AB、BCDE两段细圆管平滑连接组成，其中圆管AB段水平，圆管BCDE段是半径为R的四分之三圆弧，圆心O及D点与AB等高，整个管道固定在竖直平面内。

现有一质量为m。

初速度0102gRv 的光滑小球水平进入圆管AB。

设小球经过管道交接处无能量损失，圆管内径远小于R。

小球直径略小于管内径，下列说法正确的是（）A．小球通过E点时对外管壁的压力大小为2mgB．小球从B点到C点的过程中重力的功率不断增大C．小球从E点抛出后刚好运动到B点D．若将DE段圆管换成等半径的四分之一内圆轨道DE，则小球不能够到达E点3．如图所示，一个内壁光滑的34圆管轨道ABC竖直放置，轨道半径为R；O、A、D位于同一水平线上，A、D间的距离为R；质量为m的小球(球的直径略小于圆管直径)，从管口A正上方由静止释放，要使小球能通过C 点落到AD 区，则球经过C 点时( )A ．速度大小满足 22c gR v gR ≤≤B ．速度大小满足0≤vC ≤gRC ．对管的作用力大小满足12mg ≤F C ≤mg D ．对管的作用力大小满足0≤F C ≤mg4．如图所示，用铰链将三个质量均为m 的小球A 、B 、C 与两根长为L 轻杆相连， B 、C 置于水平地面上．在轻杆竖直时，将A 由静止释放，B 、C 在杆的作用下向两侧滑动，三小球始终在同一竖直平面内运动．忽略一切摩擦，重力加速度为g ．则此过程中（）A ．球A 的机械能一直减小B ．球A 落地的瞬时速度为2gLC ．球B 对地面的压力始终等于32mg D ．球B 对地面的压力可小于mg5．如图所示，倾角为θ的斜面上有A 、B 、C 三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的D 点，今测得AB ＝BC ＝CD ，不计空气阻力，由此可以判断( )A ．从A 、B 、C 处抛出的三个小球运动时间之比为3:2:1B ．从A 、B 、C 处抛出的三个小球落在斜面上时速度与斜面的夹角相同C ．从A 、B 、C 处抛出的三个小球的初速度大小之比为3 ：2 ：1D ．从A 、B 、C 处抛出的三个小球距斜面最远时速度方向与水平方向夹角的正切值之比为3:2:1 6．如图所示，在一端封闭、长约1m 的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡做的小圆柱体R （R 视为质点）．现将玻璃管轴线与竖直方向y 轴重合，在小圆柱体R 上升刚好到达匀速时的起点位置记为坐标原点O ，同时玻璃管沿x 轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动．小圆柱体R 依次经过平行横轴的三条水平线上的、、A B C 位置，在、、OA AB BC 三个过程中沿y 轴方向的高度均相等，每个过程对应的水平位移的大小之比分别为123、、x x x ∆∆∆，机械能的变化量依次为123、、E E E ∆∆∆，动量的变化量大小依次为123、、p p p ∆∆∆．若小圆住体R 与玻璃管壁之间的相互作用力可忽略不计，则下面分析中正确的是（）A ．1231:3:5::x x x ∆∆∆=，1231:3:5::E E E ∆∆∆=B ．1231:4:9::x x x ∆∆∆=，1231:4:9::E E E ∆∆∆=C ．1231:3:5::x x x ∆∆∆=，123::1:1:1p p p ∆∆∆=D ．1231:4:9::x x x ∆∆∆=，123::1:2:3p p p ∆∆∆=7．两个质量分别为2m 和m 的小木块a 和(b 可视为质点)放在水平圆盘上，a 与转轴'OO 的距离为L ，b 与转轴的距离为2L ，a 、b 之间用长为L 的强度足够大的轻绳相连，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g ．若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，开始时轻绳刚好伸直但无张力，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )A ．a 比b 先达到最大静摩擦力B ．a 、b 所受的摩擦力始终相等C ．2kg L ω=是b 开始滑动的临界角速度D ．当23kg L ω=时，a 所受摩擦力的大小为53kmg 8．滑雪是冬奥会的比赛项目之一。

第四章曲线运动 4-4(新课标复习资料)

－11
随堂针对训练
考技案例导析
N· 2/kg2， m 结果保留一位有
限时规范特训
解析：本题以天体运动为载体考查了证明题，考查推理
易错易混分析
能力，同时考查万有引力定律在天体运动的应用．
必修一
第四章
曲线运动
万有引力与航天
金版教程
基础知识梳理
高三物理
(1)因行星绕太阳做匀速圆周运动，于是轨道半长轴 a 即为轨道半径 r，根据万有引力定律和牛顿第二定律有 m行M太 2π 2 G 2 ＝m 行( T ) r r r3 G 于是有 2＝ 2M 太 T 4π G 即 k＝ 2M 太 4π ①. ②， ③.
随堂针对训练
考技案例导析
易错易混分析
测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径 r 和周期 T，
限时规范特训
必修一
第四章
曲线运动
万有引力与航天
金版教程
基础知识梳理
高三物理
Mm 2π 2 由 G 2 ＝m( T ) r r 4π r 可得天体质量为：M＝ GT2
随堂针对训练
考技案例导析
乘积二次方乘积成正比、与它们之间距离 r 的二次方成反比．
m1m m1m22 － G m2 2 2．公式：F＝G r22 ，其中 G＝6.67×10 11N· /kg ， r
叫引力常量．引力常量
易错易混分析
限时规范特训
必修一
第四章
考技案例导析
三次长轴的三次方跟它的
公转周期的二次方的二次比值都相等.

第四章曲线运动第4节开普勒行星运动定律和万有引力定律

第四章⎪⎪⎪ 曲线运动万有引力与航天[全国卷5年考情分析]匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度(Ⅰ) 离心现象(Ⅰ) 第二宇宙速度和第三宇宙速度(Ⅰ)经典时空观和相对论时空观(Ⅰ)以上4个考点未曾独立命题第4节开普勒行星运动定律和万有引力定律一、开普勒行星运动定律1．第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

2．第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。

[注1] 3．第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。

二、万有引力定律[注2]1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比。

2．表达式：F ＝G m 1m 2r 2，G 为引力常量，其值为G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2。

3．适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用。

当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。

(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球球心间的距离。

三、经典时空观和相对论时空观 1．经典时空观[注3]空间、时间是独立于物体及其运动而存在的。

2．相对论时空观物体占有的空间以及物理过程、化学过程，甚至还有生命过程的持续时间，都与它们的运动状态有关。

[注解释疑][注1] 面积定律是对同一个行星而言的，不同的行星相等时间内扫过的面积不等。

由面积定律可知，行星在近日点的速度比它在远日点的速度大。

[注2] 万有引力定律的“三性”(1)普遍性：任何有质量的物体间都存在万有引力。

(2)相互性：两物体间的万有引力是一对作用力与反作用力。

(3)宏观性：只有质量巨大的天体间或天体与其附近物体间的万有引力才有实际的物理意义。

[注3] 经典力学——牛顿运动定律的适用范畴。

[深化理解]1．开普勒行星运动定律既适用于行星绕太阳运动，也适用于卫星绕地球运动。

大学物理1-4曲线运动方程的矢量形式

r
x
O
H v02 sin 2
g
y
根据轨迹方程的极值条件，
求得最大射高为：
v0 x
v0
v
h v02 sin2
2g
O
v0 y
g
H
h
x
由方程r
(v0t cos )i
(v0t sin
1 2
gt 2 )
j
知，抛体运动可看作是由水平方向的匀速直线运动
与竖直方向的匀变速直线运动叠加而成。这种分析
方法称为运动的分解。
运动的叠加原理：一个运动可以看成几个各自独立进行的运动的叠加。
圆周运动方程的矢量形式
xy平面内圆周运动的讨论：
两种形式的运动方程可分别写出为：
x R sint, y R cost, z 0
或 r R(sinti cost j)
在第一组方程中消去时间参数 t ，得到运动
的轨迹方程
x2 y2 R2, z 0
t
r r0
v(t) d t
0
t
0
[(v0
cos
(v0t cos )i
)i
(dvt0tsi(nv0 sin12gt 2g)tj)
j
]
d
t
消去此方程中的时间参数t，得到抛体运动的轨迹方
程为
y
x
tg
1 2
v02
gx2
cos2
此为一抛物线方程，故抛体运动也叫抛物线运动。
抛体运动方程的矢量形式
令y = 0 ，得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标H ，它就是射程：
运动的分解可有多种形式。例如，抛体运动也可以分解为沿抛射方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动的叠加：

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例、高空匀速成水平飞行的飞机，每隔一定时间放一枚炸弹，在第一枚炸弹落地之前，空中炸弹的排列形状。
①
②
③
①
②
③
①
②
③
①
②
③
例、在空中同一位置，同时水平向东、向西以V1 和V2初速抛出。请描述它们在空中下落情形？
V2
V1
试证：
当两物瞬时速度互相垂直时，其下落时间与两物初速的关系为：t v1v2
专题（四）曲线运动
V
一、曲线运动的特点与条件：
瞬时速度方向时刻发生变化一定存在加速度（曲线运动一定是变速运动）一定存在合外力（F合方向一定指向弯曲的内侧）
结论：曲线运动一定是变速运动。变速运动不一定是曲线运动。
例2：小球在空中某高度自由下落。开始没有风，后来有西风，后来又无风。则：
小球下落的运动轨迹是（ D ）
例：L=1.25cm,求平抛的初速度和b点的速度
解：由图可知初速不为零
l
s aT 2 2l l gT 2 3l
得：T l 1 s g 28
2l 2l 2l
.a .b
Vby
V0
.c
.d
v0 2 gl 0.7m / s
vby
3l 2T
0.525m / s
vb vb2y v02 0.875m / s
解：若都落在水平面上,
则： t1=t2
所以
s1 vt1 1 s2 2vt2 2
若都落在斜面上,则
所以
s1 vt1 1 s2 2vt2 4
2vtg
t1 t2
g
2 2vtg
1 2
g
《斜面上的平抛运动》
X
V0
g sin H L
θ
S
Y
s v0 t
L 1 g sin t2
BD
牵连速度——即：两个物体用绳子连结着
发生运动的过程。
（Ⅰ）牵连物体的运动方向与绳子运动方向一致结论——两物体运动速度相同
（Ⅱ）牵连物体的运动方向与绳子运动方向不一致结论——两物体运动速度不相同
（超浙江省考纲）
例、小车以V速度匀速前进，船靠岸的速度u会越来越大。
《曲线运动》
重点掌握特殊的曲线运动： ①平抛运动：加速度大小方向不变的曲线
g
水平射程S：
s
v0t v0
2H g
轨迹方程：
y
g 2v0 2
x2
《平抛运动中的几g”
vo g·Δt
g·Δt
g·Δt
a v g t g
t
t
例、一质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内（ B ）
A、速度一定在不断改变，加速度也一定不断地改变。
g 续：当空中某点，四个小球均以V初速，两两互相垂直抛出，四个小球在空中下落过程的分布形状会怎样？
《斜面上的平抛运动，落在斜面上》
(Ⅰ)飞行离斜面最远的时间
t v0 tan
g
V0
V0
θ
gt
(Ⅱ)飞行总时间 T 2v0 tan 2t
g
θ
（由斜面倾角θ和初速度V0共同决定）
(Ⅲ)斜面上飞行的距离 S 2v02 sin
B、速度一定在不断地改变，加速度可以不变。
C、速度可以不变，加速度一定不断地改变。
D、速度可以不变，加速度也可以不变。
2、任一时刻瞬时速度方向的反向延长线通过其水平位移的中点。
3、任一时刻速度方向角α与位移方向角 θ的关系满足：
tanα=2tanθ
14．如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面
g cos2
(Ⅳ)离开斜面最大距离 h v02 sin2
2g cos
例、如图,AB为斜面,BC为水平面,从A点以水平
初速V向右抛出一小球,其落点与A点的水平距离
为S1，从A点以水平初速2V向右抛出一小球,其
落点与A点的水平距离为S2,不计空气阻力。则
S1:S2可能为( )
ABC
A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:5
顶端沿水平方向抛出后落在斜面上。物体与
斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足
A.tanφ=sinθ
B. tanφ=cosθ
D
C. tanφ=tanθ
D. tanφ=2tanθ
上题中，物体自斜面顶端以V、2V水平抛出。其速度方向与斜面间的夹角分别为θ1.θ2。则它们的大小关系为（ C ）
A、大于 B、小于 C、等于 D、不能确定
A
100 3
危险区
请问：你能以运动合成与分解的观点来认识，
位移公式
s
v0t
1 2
at
2
的物理意义吗？
例１.关于运动的合成与分解，下列说法正确的是 A.两个直线运动的合运动一定是直线运动 B.两个匀速直线运动的合运动一定是直线运动 C.两个匀加速直线运动的合运动一定是直线运动 D.两个初速度为0的匀加速直线运动的合运动一定是直线运动
例、某人骑车射击，已知车速10m/s，汽枪子
弹飞行速度30m/s，耙A距直线间距OA=20m。
在O点打枪要想击中目标，画出速度合成图？
注：①②
各分运动和合运动的时间相等。合运动即：物体的实际运动
（若在距O点OD=OA时打枪，想击中目标？）
例1、人站在以ω转动半径为R圆盘的边缘，向圆心射击并击中圆心。已知子弹飞行速度为V。则：子弹速度与半径所成的角度？
例3：一只气球用细线系在地面上，由于有东风的作用，如图情形静止在空中。当细线突然断掉（若：空气阻力和浮力均不变）。则（ D ） A.气球将作曲线运动。
B.气球将先作曲线运动，后做直线运动。
C.气球将作匀速直线运动。
D.气球将作匀加速直线运动。
二、运动的合成与分解
S子
A S合
V V合
D
O V0 S车
运动、叫匀变速曲线运动。 ②匀速圆周运动：加速度大小不变、方向
时刻改变的曲线运动。
平抛运动:（从牛二律的观点看平抛运动的规律）
水平方向： vx=vo
x=vot
竖直方向：
vy=gt
y1
gt 2
2
Vo
s
mg=ma
x
y
V0
v Vy
t
合运动： vt v02 vy2 s x2 y2
运动时间t： t 2H （由下落高度决定）
R
O
V
ωR
小船渡河的二个特例：
S船
S合
S船
S合
v船
v水
S水
v船 v合
v水
S水
时间最短 v船 ⊥ 对岸航程最短 v合⊥ 对岸
（河宽H=100m，V水=3m/s，V船=4m/s）
从上可知：
1、船头的指向不一定是船航行的方向 2、所谓运动的合成：
即是——速度、位移、加速度的合成
例、如图所示，一条小船位于200米宽的河道中央A点，从这里向下游 100 3 米处，有一危险区。当时水流速度为4m/s，为了小船能避开危险区沿直线到达对岸上。问小船速度至少必须多少，船头指向什么方向？