福州市高二下学期期中数学试卷(理科)B卷
福州市高二下学期期中数学试卷（理科）B卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题： (共12题；共24分)
1. （2分）如图，在矩形OABC内：记抛物线与直线围成的区域为M（图中阴影部分）．随机往矩形OABC内投一点P，则点P落在区域M内的概率是（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）已知复数,，其中是虚数单位，则复数的虚部为（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2017高二下·鞍山期中) 某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃
白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为（）
A . 大前提错误
B . 小前提错误
C . 推理形式错误
D . 非以上错误
4. （2分）已知复数,则的实部为（）
A . l
B . 2
C . -2
D . -1
5. （2分）一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t＝0s到t＝3s时间段内的位移是（）
A . 31m
B . 36m
C . 38m
D . 40m
6. （2分）(2018·海南模拟) 在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中查出真正的嫌疑人，现有四条明确信息：（1）此案是两人共同作案；（2）若甲参与此案，则丙一定没参与；（3）若乙参与此案，则丁一定参与；（4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与.据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是（）
A . 甲、乙
B . 乙、丙
C . 甲、丁
D . 丙、丁
7. （2分）已知数列{an}满足a0=1，an=a0+a1+a2+…+an-1(n≥1)，则当n≥1时，an等于（）
A . 2n
B . n(n+1)
C . 2n-1
D . 2n-1
8. （2分）在中，，，点在上且满足，则
等于（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分） (2016高二下·咸阳期末) 已知函数f（x）为偶函数，且当x＞0时，f′（x）=（x﹣1）（x﹣2），则下列关系一定成立的是（）
A . f（1）＜f（2）
B . f（0）＞f（﹣1）
C . f（﹣2）＜f（1）
D . f（﹣1）＜f（2）
10. （2分） (1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2.(2)已知a ，b∈R，|a|＋|b|＜1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大
于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是（）
A . (1)与(2)的假设都错误
B . (1)与(2)的假设都正确
C . (1)的假设正确；(2)的假设错误
D . (1)的假设错误；(2)的假设正确
11. （2分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn=2n﹣1+k，则f（x）=x3﹣kx2﹣2x+1的极大值为（）
A . 2
B .
C . 3
D .
12. （2分）数 f(x)=x2 在点(2,f(2))处的切线方程为（）
A . y=4
B . y=4x+4
C . y=4x+2
D . y=4x-4
二、填空题： (共4题；共4分)
13. （1分） (2017高一下·湖北期中) 函数f（x）= 是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是________．
14. （1分） (2017高二下·濮阳期末) 设复数a+bi（a，b∈R）的模为，则（a+bi）（a﹣bi）=________．
15. （1分） (2017高二上·浦东期中) 在等差数列{an}中，若a10=0，则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19
﹣n成立（n＜19，n∈N*）．类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9=1，则有等式________成立．
16. （1分）(2017·江苏模拟) 若函数f（x）= ，则函数y=|f（x）|﹣的零点个数为________．
三、解答题： (共6题；共70分)
17. （15分）(2017·襄阳模拟) 已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=ex ．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1，l2，已知两切线的斜率互为倒数，证明：＜a＜；
（3）设h（x）=f（x+1）+g（x），当x≥0，h（x）≥1时，求实数a的取值范围．
18. （5分）函数y=f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（1）=1
（Ⅰ）分别求f（2），f（3），f（4）的值；
（Ⅱ）猜想f（n）（n∈N*）的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
19. （5分） (2019高二下·徐汇月考) 已知复数、满足，，，求．
20. （20分） (2015高三上·盘山期末) 已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．
（1）求f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）求f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（3）若存在x 使不等式2f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．
（4）若存在x 使不等式2f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．
21. （15分） (2016高三上·巨野期中) 已知函数f（x）=kx，
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；（3）求证：．
22. （10分） (2017高二下·洛阳期末) 设函数f（x）=x•lnx+ax，a∈R．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若对∀x＞1，f（x）＞（b+a﹣1）x﹣b恒成立，求整数b的最大值．
参考答案一、选择题： (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题： (共4题；共4分)
13-1、答案：略
14-1、答案：略
15-1、
16-1、
三、解答题： (共6题；共70分) 17-1、答案：略
17-2、答案：略
17-3、答案：略
18-1、答案：略
19-1、答案：略
20-1、答案：略
20-2、答案：略
20-3、答案：略
20-4、答案：略
21-1、答案：略
21-2、答案：略
21-3、答案：略
22-1、答案：略
22-2、答案：略。
福建省厦门市厦门大学附属科技中学2023-2024学年高二思明班下学期期中考试数学试卷(原卷版)
厦门大学附属科技中学2023-2024学年（下）期中考试思明高二（数学试卷）考试时间120分钟 满分150分注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.1. 如果质点运动的位移（单位：m ）与时间（单位：s ）之间的函数关系是，那么该质点在时的瞬时速度为（ ）A. B.C. D.2. 的展开式中的常数项为（ ）．A. －120B. 120C. －60D. 603. 已知随机变量的分布列如下：236则的值为（ ）A. 20B. 18C. 8D. 64. 本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有种A. B. C. D.5. 现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，则在已知抽到两名同学性别相同的条件下，抽到两名女同学的概率为（ ）A.B.C.D.A S t ()2S t t =-3s t =23-2329-2962x ⎛- ⎝X XP1213a()32D X +624364860141325126. 已知定义在上函数满足，其中是函数的导函数.若，则实数的取值范围为A. B. C. D. 7. 当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：...若在的展开式中，的系数为75，则实数的值为（ ）A 1B. C. 2 D. 8. 关于不等式只有唯一实数解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9 已知，则（ ）A. B. 此二项展开式系数最大的项为第4项C. 此二项展开式的二项式系数和为64D. 10. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里的一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹的.的.()0,∞+()f x ()()0xf x f x '-<()f x '()f x ()()()2202020202f m m f ->-m ()0,2020()2020,+∞()2022,+∞()2020,2022N n ∈2(1)n x x ++20(1)1x x ++=212(1)1x x x x ++=++22432(1)2321x x x x x x ++=++++2365432(1)367631x x x x x x x x ++=++++++248765432(1)4101619161041x x x x x x x x x x ++=++++++++25(1)(1)ax x x +++8x a 1-2-x ()e ln xax x x ≤-a {}e [)e,+∞{}1(]0,1()626012612x a a x a x a x -=++++ 3160a =1234560a a a a a a +++++=*布劳威尔.简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ）A. 函数只有一个不动点B. 若定义在R 上的奇函数，图象上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数C. 函数只有一个不动点D. 若函数在上存在两个不动点，则实数a 满足11. 现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（ ）A. 在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是B. 第二次取到1号球的概率C. 如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大D. 如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知随机变量，且，则__________．13. 有10名演员，其中8人会唱歌，5人会跳舞，现要表演一个2人唱歌2人伴舞节目，则不同的选派方法共有______种.14. 已知函数，，若直线与函数，的图象均相切，则的值为________；若总存在直线与函数，图象均相切，则的取值范围是________四、解答题：本大题共6小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知等差数列的前n 项和为，，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）当数列的公差不为0时，记数列的前n 项和为，求证：.的()f x 0x ()00f xx =0x ()cos f x x =()f x ()ln 2f x x =+()f x =()0,∞+01a <<121930()2~2,X N σ()30.3P X >=(12)P X <<=()2ln f x x =()()2102g x ax x a =-->2y x b =-()y f x =()y g x =a ()y f x =()y g x =a {}n a n S 11a =2a 5a 14a {}n a {}n a n T 12nT <16. 如图，多面体中，四边形为菱形，，，，．（1）求证：平面平面；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值．17. 已知椭圆，点在上.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动直线过曲线的左焦点，且与椭圆分别交于，两点，试问轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.18. 基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节．2022年报考该试点高校的学生的笔试成绩X 近似服从正态分布．其中，近似为样本平均数，近似为样本方差．已知的近似值为76.5，s 的近似值为5.5，以样本估计总体．（1）假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少？（2）若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望．（3）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、．设这4名学生中通过面试的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．参考数据：若，则：；；．19. 已知函数 （1）讨论 的单调性.ABCDEF ABCD π3BAD ∠=22BD DE BF ===DE AC ⊥//BF DE ACF ⊥BDEF BF CD ⊥AE ACF ()2222:10x y C a b a b +=>>()0,3C C l C F C P Q x R RP RQ ⋅()2,N μσμ2σ2s μξξ13131212()2~,X N μσ()0.6827P X μσμσ-<≤+≈()220.9545P X μσμσ-<≤+≈()330.9973P X μσμσ-<≤+≈()1e1.x f x a x -=--()f x（2）证明:当时, （3）证明:1a ≥()22ln .1a f x x x a -+-≥+()11eln 1.nii n n =>++∑。
福建省福州第一中学2023-2024学年高二上学期第一学段(期中)考试数学试题
福建省福州第一中学2023-2024学年高二上学期第一学段
（期中）考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
A ．655．已知直线l ：cos x 直线l 有（）条
A ．4
6．某钟楼的钟面部分是一个正方体，在该正方体的四个侧面分别有四个时钟，如果四个时钟都是准确的，为45︒的位置有（A ．1个
7．若椭圆C ：22x a +点关于点D 的对称点仍在
二、多选题
A ．当E 点运动时，1
AC B ．当E 向1D 运动时，二面角C ．二面角E AB C --的最小值为D ．EF 在CB 方向上的投影向量为
三、填空题
(1)写出直线PQ 的方程（答案含t ）
；(2)在OPQ △内作内接正方形ABCD ，顶点,A B 当正方形ABCD 的面积最大时，求,a t 的值.
19．在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AA 90BCA ∠=︒．
(1)求点E 到平面1C BD 的距离；
(2)取11A B 靠近1B 的三等分点P ，问线段1CC 上是否存在点求出点Q 的位置，若没有，说明理由．
BE平面
(1)证明：直线//
(2)若平面PBD⊥平面22．已知在平面直角坐标系。
2024~2025学年第一学期福建省部分优质高中高二年级期中质量检测参考答案
2024~2025学年第一学期福建省部分优质高中高二年级期中质量检测数学参考答案12．x−y +22=013．[1,4)∪(4,+∞)．14．43/11315．(1)3x−y−2=0(2)y =2x 或2x +y−4=016（1）由于平面PAD ⊥平面ABCD,且两平面的交线为AD ，又AD ⊥CD ，CD ⊂平面ABCD,故CD ⊥平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，∴AE ⊥CD ，∵PA =AD =2，且E 为PD 的中点，∴AE ⊥PD ，又CD ∩PD =D ，CD,PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥平面PCD ．（2）由于平面PAD ⊥平面ABCD,且两平面的交线为AD ，又AD ⊥PA, PA ⊂平面PAD ，故PA ⊥平面ABCD ，如图，作AM ⊥AB 于M ，以A 为坐标原点，分别以AM ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，AM =CD =2,BM =AM tan(150∘−90∘)=23,则A(0,0,0)，B (2,−23,0)，P(0,0,2) 2)，E(0,1,1)，C(2,2,0) 0) D (0,2,0)．设平面ECD 的法向量为n =(x,y,z)，∵ DE =(0,−1,1)，EC =(2,1,−1).∴{n ⋅DE =0,n ⋅EC =0,即{−y +z =0,2x +y−z =0, ，可取y =1，则n =(0,1,1)．设平面PAB 的法向量为m =(x ′,y ′,z ′)，∵ AP =(0,0,2)，AB =(2,−23,0)，∴{m ⋅AP =0,m ⋅AC =0, 即{2z ′=0,2x ′−23y ′=0, 可取x ′=3，则m =(3,1,0)．∴ cos ⟨→m ,→n⟩=→m ⋅→n|→m ||→n |=12×2=24，即平面PAB 与平面ECD 的夹角余弦值为24．题号12345678910答案B D B A A B D B ABD AC 题号11 答案ABD答案第2页，共2页17．(1)x 24+y 23=1(2)30091(3)(477,377)。
2023—2024学年福建省部分达标中学高二上学期期中质量监测数学试卷
2023—2024学年福建省部分达标中学高二上学期期中质量监测数学试卷一、单选题1. 直线的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2. 已知椭圆的一个焦点为，则（）A．1B．2C．3D．43. 已知数列满足，，则（）A．B．C．D．4. 若数列满足，，则（）A．511B．1023C．1025D．20475. 圆与圆的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离6. 我国古代的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，3，…，9填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15．一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方．记阶幻方的每列的数字之和为，如图，三阶幻方的，那么（）492A．41B．369C．1476D．33217. 已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为A．B．C．D．8. 符合表示不超过实数的最大整数，如，，已知正项数列的前项和为，且，则（）A．22B．19C．18D．16二、多选题9. 已知直线，直线，则下列命题正确的有（）B．若直线的方向向量为，则A．直线恒过点C．若，则D．若，则10. 已知直线被椭圆截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的有（）A．B．C．D．11. 无穷数列，它的前项和为，则下列说法正确的是（）A．若是等差数列，且，，则单调递增B．若是等比数列，且，，则单调递增C．若是等差数列，且，则是常数列D．若是等比数列，且，则是常数列12. 在平面直角坐标系中，曲线：到定点，的距离之积等于的点的轨迹．若是曲线上一点，则下列说法中正确的有（）A．曲线关于原点成中心对称B．的取值范围是C．曲线上有且仅有一点满足D．曲线上所有的点都在圆的内部或圆上三、填空题13. 若数列是等比数列，，，则 ______ ．14. 在数列中，已知，则该数列前2023项的和 __________ .15. 点A是圆上的一个动点，点，当点A在圆上运动时，线段的中点P的轨迹方程为 _______ .16. 如图，在平面直角坐标系中，已知个圆，，，与轴和直线均相切，且任意相邻的两个圆外切，其中圆，，则数列的通项公式为 ______ ．四、解答题17. 已知三角形ABC的三个顶点是A(1，1)，B(-1，3)，C(3，4).（1）求边BC的高所在直线l1的方程；（2）若直线l2过点C，且A､B到直线l2的距离相等，求直线l2的方程.18. 在等差数列中，，且，，成等比数列，数列的前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．19. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，点D为的中点，的外接圆为圆M．(1)求圆M的方程；(2)求直线被圆M所截得的弦长．20. 已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，若对于任意的，都有恒成立，求满足条件的最小正整数的值．21. 设椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，短轴长为，过且垂直于长轴的直线与椭圆相交所得的弦长为3．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，，若，试求内切圆的面积．22. （本小题满分13分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A,B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A,B两点的直线为x轴，线段AB的的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）在直线x=2的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km区域；在直线x=2的左侧，考察范围为到A,B 两点的距离之和不超过km区域．（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；（Ⅱ）如图6所示，设线段P 1P 2,P 2P 3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界线），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km,以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．。
福建省福州高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题
福建省福州高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
三、解答题
7．已知圆C的方程22240
+-+-=.
x y x y m
(1)若点()
A m-在圆C的内部，求m的取值范围；
,2
六、填空题
（2）当4m =时，圆C 的方程即而()()
2242x y -+-表示圆C 由于()()
24122HC =
-++故()()2242x y -+-的最小值为．(1)2
21
2
x y +=(2)33y x =-或3+y x =-【分析】（1）根据椭圆的几何性质列等式可解得；
（2）设直线l 的方程为
y k =
12．A
【分析】设()()
0000M x y N y ，，，，最大值即可求OMN S V 的最大值，由此可求()1
|2
OMN r ON MN OM =
××++V ∣即可求内切圆半径【详解】设()0
00080M x y x <<，，，，，
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22
,x y ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算D ；（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；
（5）代入韦达定理求解.。
福建省福州市八县(市)协作校2023-2024学年高二下学期期末联考试题 数学含答案
福州市八县（市）协作校2023—2024学年第二学期期末联考高二数学试卷（答案在最后）【完卷时间：120分钟；满分：150分】命题：连江县教师进修学校附属中学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“x x x ∃∈+R ，＜”的否定是（）A.0x x x ∃∈+R ，≤B.0x x x ∃∈+R ，≥C.0x x x ∀∈+R ，＜ D.0x x x ∀∈+R ，≥2.在以下4幅散点图中，y 和x 成正线性相关关系的是（）A. B.C. D.3.假如女儿身高y （单位：cm ）关于父亲身高x （单位：cm ）的经验回归方程为 0.8125.82y x =+，已知父亲身高为170cm ，则（）A.女儿的身高必为164 cmB.女儿的身高估计为164 cmC.女儿的身高必为178 cmD.女儿的身高估计为178 cm4.X 是离散型随机变量，()()16,0.5,25E X D X X X ===-，那么()1E X 和()1D X 分别是()A .()()1112,1E X D X == B.()()117,1E X D X ==C.()()1112,2E X D X == D.()()117,2E X D X ==5.已知随机变量()2~X N μσ，，随机变量()2~2Y N μσ+，，若()0P X =≤()2P X ≥，()20.3P Y =≤，则()34P Y =≤≤（）A .0.2B.0.3C.0.5D.0.76.函数ln 1xy ex =--的图象大致是（）A. B.C. D.7.已知,x y 为正实数，1ln ln x y x y+=-，则（）A.x y＞ B.x y＜ C.1x y +＞ D.1x y +＜8.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()2f x f x =-．若函数()()22g x f x x x =+-有唯一零点，则()1f =（）A.1- B.0C.1D.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知0a b c ∈R ＜＜，，则下列不等式成立的是（）A.11b a< B.33ac bc ＜ C.22a b > D.11a b b a++＜10.高斯取整函数[]y x =又称“下取整函数”，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，如32,2⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦[]533,22⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦．若函数()[],R f x x x x =-∈，则()f x 的值可能是（）A.0B.0.5C.1D.211.若()()()()()12211120121112231111x a a x a x a x a x -=+-+-++-+- ，则（）A.01a =- B.()121213ii i a =-=∑C.12124ii ia==∑ D.12112iii a ==-∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数2log ,0()3,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为____．13.如图，曲线①②③④中有3条分别是函数2xy =，3xy =，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，其中曲线①与④关于y 轴对称，曲线②与③关于y 轴对称，则13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象是曲线____．（填曲线序号）14.某班安排甲、乙、丙、丁4位同学参加3项不同的社会公益活动，要求每项活动至少有1人参加，且甲、乙不能参加同一项活动，则共有____种不同的安排方案．（用数字作答）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合{}{}23100221A x x x B x m x m =--=-≤≤+＜，．（1）当1m =时，求()A B A B R ，ð；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围．16.当药品A 注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少.（1）按照医嘱，护士给患者甲注射了mg a 药品A 两小时后，患者甲血液中药品A 的残存量为225mg ，求a 的值；（2）另一种药物B 注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.如果同时给两位患者分别注射800mg 药品A 和500mg 药品B ，请你计算注射后几个小时两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.（第（2）问计算结果保留2位小数）参考值：lg 20.301=，lg 30.477=.17.节日在即，某店家为此购入一批袋装糖果（每袋1kg ），现从中随机抽取100袋，将它们进行分级，统计结果如下：等级一等品二等品三等品袋数404020（1）若将频率视为概率，从这100袋糖果中有放回地随机抽取4袋，求恰好有2袋是三等品的概率；（2）用样本估计总体，该店家制定了两种销售方案：方案一：将糖果混合后不分类售出，售价为20元/kg；方案二：按品级出售，售价如下：等级一等品二等品三等品售价（元/kg）242217为追求更高利润，该店家应采用哪种方案？（3）用分层抽样的方法从这100袋糖果中抽取10袋，再从抽取的10袋糖果中随机抽取3袋，记抽到一等品的袋数为X，求X的分布列与数学期望．18.2023年5月13日，榕江和美乡村足球超级联赛（简称“村超”）盛大开幕，迅速在全国范围内乃至国际舞台上引起了热烈反响，激发了全民的运动热情．今年，更是迎来了足球传奇人物卡卡的亲临访问．现有一支“村超”球队，其中甲球员是其主力队员，且是一位多面手，胜任多个位置．经统计，该球队在已进行的42场“村超”比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如下表所示：上场球队的胜负情况合计胜负甲球员上场535甲球员未上场7合计3242（1）完成22⨯列联表，依据小概率值0.01α=的独立性检验，分析球队的胜负是否与甲球员上场有关；（2）由于教练布阵的不同，甲球员在场上的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中场、后卫的概率分别为0.6，0.2，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.9，0.5，0.8．当甲球员上场参加比赛时，（ⅰ）求球队赢球的概率；（ⅱ）如果球队已获胜，计算该场比赛甲球员打前锋的概率．附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++．α0.150.100.050.0250.0100.001x α2.0722.7063.8415.0246.63510.82819.已知函数()2121x x f x -=+．（1）我们知道要研究一个函数的性质，通常会从函数的定义域、值域（最值）、奇偶性（对称性）、单调性（极值）、周期性、特殊的点与线（如渐近线）等方面着手．据此，请回答以下问题：（ⅰ）试探究函数()f x 的性质并说明理由；（ⅱ）根据（ⅰ）中结论作出()f x 的草图；（2）若1,3x ∞⎡⎫∀∈+⎪⎢⎣⎭，都有()()2332log log 0mf x fx ++＞，求实数m 的取值范围．福州市八县（市）协作校2023—2024学年第二学期期末联考高二数学试卷【完卷时间：120分钟；满分：150分】命题：连江县教师进修学校附属中学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“x x x ∃∈+R ，＜”的否定是（）A.0x x x ∃∈+R ，≤B.0x x x ∃∈+R ，≥C.0x x x ∀∈+R ，＜ D.0x x x ∀∈+R ，≥【答案】D 【解析】【分析】将特称命题否定为全称命题即可.【详解】命题“0x x x ∃∈+R ，＜”的否定是“0x x x ∀∈+R ，≥”.故选：D2.在以下4幅散点图中，y 和x 成正线性相关关系的是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用散点图可直观看出是否线性相关和正相关．【详解】对于A ，由于散点图分散，估计没有线性相关关系，故A 错误；对于B ，根据散点图集中在一条递增的直线附近，说明它们线性相关且是正相关，故B 正确；对于C ，根据散点图集中在一条递减的直线附近，说明它们线性相关且是负相关，故C 错误；对于D ，根据散点图集中在一条曲线附近，说明它们非线性相关，故D 错误；故选：B ．3.假如女儿身高y （单位：cm ）关于父亲身高x （单位：cm ）的经验回归方程为 0.8125.82y x =+，已知父亲身高为170cm ，则（）A.女儿的身高必为164 cmB.女儿的身高估计为164 cmC.女儿的身高必为178 cmD.女儿的身高估计为178 cm【答案】B 【解析】【分析】根据经验回归方程求解即可.【详解】由 0.8125.82y x =+，170x =，代入得ˆ0.8117025.82163.52164y=⨯+=≈cm ，故选：B4.X 是离散型随机变量，()()16,0.5,25E X D X X X ===-，那么()1E X 和()1D X 分别是()A.()()1112,1E X D X ==B.()()117,1E X D X ==C.()()1112,2E X D X ==D.()()117,2E X D X ==【答案】D 【解析】【分析】由期望和方差的运算性质求解即可【详解】由期望和方差的运算性质知E(X 1)=E(2X－5)=2E(X)-5=7D(X 1)=D(2X－5)=22D(X)＝2故选D【点睛】本题考查期望和方差的运算性质，熟记公式，准确计算是关键，是基础题5.已知随机变量()2~X N μσ，，随机变量()2~2Y N μσ+，，若()0P X =≤()2P X ≥，()20.3P Y =≤，则()34P Y =≤≤（）A.0.2 B.0.3C.0.5D.0.7【答案】A 【解析】【分析】由()0P X =≤()2P X ≥结合对称性得出μ，再由对称性得出()34P Y ≤≤.【详解】因为()0P X =≤()2P X ≥，所以0212μ+==，因为()20.3P Y =≤，所以()230.50.30.2P Y =-=≤≤，又()34P Y =≤≤()230.2P Y =≤≤，所以A 正确；故选：A 6.函数ln 1xy ex =--的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】去掉绝对值，得到具体的函数表达式，即可作出判断.【详解】当1x ≥时，()ln 111xy e x x x =--=--=，排除C ；当01x <<时，()ln 111111xy e x x x x x=--=--=+->，排除AB 选项.故选：D.7.已知,x y 为正实数，1ln ln x y x y+=-，则（）A.x y ＞B.x y＜ C.1x y +＞ D.1x y +＜【答案】C 【解析】【分析】利用构造一个函数，结合求导思想分析单调性，从而可得出选项.【详解】由1ln ln x y x y +=-得：111ln ln ln x x y y y y+=-+=+，构造函数()ln f x x x =+，则()110f x x+'=>，可知()ln f x x x =+在()0,∞+上递增，结合11ln lnx x y y+=+，得1x y =，即1xy =由基本不等式可知：2x y +≥=，当且仅当1x y ==时等号成立，所以1x y +>.故选：C.8.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()2f x f x =-．若函数()()22g x f x x x =+-有唯一零点，则()1f =（）A.1-B.0C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】转化为两函数图象交点问题，函数图象对称轴都为1x =且两函数图象只有唯一交点即可知交点横坐标为1得解.【详解】因为函数()f x 的定义域为R ，且()()2f x f x =-，所以函数()f x 的图象关于1x =轴对称，由()()22g x f x x x =+-有唯一零点知，2()2f x x x =--有唯一根，即()y f x =与2()2h x x x =--的图象有唯一交点，而2()2h x x x =--图象关于1x =对称，所以(1)(1)1f h ==-.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知0a b c ∈R ＜＜，，则下列不等式成立的是（）A.11b a< B.33ac bc ＜ C.22a b > D.11a b b a++＜【答案】ACD 【解析】【分析】利用作差法，结合不等式的性质，即可由选项逐一求解.【详解】对于A ，由于0a b <<，则0,0ab a b >-<，所以110a bb a ab -<-=，故11b a<，A 正确，对于B ，若0c =时，33ac bc =，故B 错误，对于C ，由于0,0a b a b +<-<，所以()()220a b a b a b -=+->，故22a b >，C 正确，对于D,由于0,0ab a b >-<⇒()11110a b a b b a ab ⎛⎫⎛⎫+-+=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故11a b b a ++＜，D 正确，故选：ACD10.高斯取整函数[]y x =又称“下取整函数”，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，如32,2⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦[]533,22⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦．若函数()[],R f x x x x =-∈，则()f x 的值可能是（）A.0B.0.5C.1D.2【答案】AB 【解析】【分析】根据定义可得()[],R f x x x x =-∈的表达式，通过图象可得函数的值域，即可求解.【详解】由题意可得2,211,10[],011,12...,x x x x y x x x x x x +-≤<-⎧⎪+-≤<⎪⎪=-=≤<⎨⎪-≤<⎪⎪⎩，则对应的图象为：由图象可知()[)0,1f x ∈.故选：AB11.若()()()()()12211120121112231111x a a x a x a x a x -=+-+-++-+- ，则（）A.01a =-B.()1212013iii a=-=∑C.12124i i ia ==∑ D.12112ii i a ==-∑【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，令1x =可求出0a ，对于B ，令0x =可求得答案，对于C ，对等式两边求导后，令2x =可求得答案，对于D ，令32x =结合01a =可求得答案.【详解】对于A ，令1x =，则()12023a -=，得01a =，所以A 错误，对于B ，令0x =，则()1201211123a a a a a -=-+--+ ，所以()1212013ii i a =-=∑，所以B 正确，对于C ，由()()()()()12211120121112231111x a a x a x a x a x -=+-+-++-+- ，得()()()()111011121112242321111121x a a x a x a x -=+-++-+- ，令2x =，则()11121112244321112a a a a ⨯-=++++ ，所以12124i i ia ==∑，所以C 正确，对于D ，令32x =，则211120121112111102222a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以211121211120111112222a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以12112ii i a ==-∑，所以D 正确，故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数2log ,0()3,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为____．【答案】19【解析】【分析】先求14f ⎛⎫⎪⎝⎭，再求14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可.【详解】由题意得22211log log 2244f -⎛⎫===-⎪⎝⎭，所以211(2)349f f f -⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：1913.如图，曲线①②③④中有3条分别是函数2xy =，3xy =，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，其中曲线①与④关于y 轴对称，曲线②与③关于y 轴对称，则13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象是曲线____．（填曲线序号）【答案】②【解析】【分析】由指数函数的性质先确定曲线③是函数3x y =的图象，由对称性得13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象.【详解】由指数函数的单调性可知，函数2x y =和3x y =的图象分别是曲线③④中的一条，当1x =时，1132>，所以曲线③是函数3x y =的图象，函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象与函数3x y =的图象关于y 轴对称，所以13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象是曲线②.故答案为：②.14.某班安排甲、乙、丙、丁4位同学参加3项不同的社会公益活动，要求每项活动至少有1人参加，且甲、乙不能参加同一项活动，则共有____种不同的安排方案．（用数字作答）【答案】30【解析】【分析】以丙、丁参加同一项活动和丙、丁不参加同一项活动分类讨论，结合排列组合知识求解即可.【详解】当丙、丁参加同一项活动时，共有33A 3216=⨯⨯=种；当丙、丁不参加同一项活动时，共有211322A C C 24⋅⋅=种；综上，共有30种不同的安排方案．故答案为：30四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合{}{}23100221A x x x B x m x m =--=-≤≤+＜，．（1）当1m =时，求()A B A B R ，ð；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()2,5A B ⋃=-，()()()2,13,5A B ⋂=-⋃R ð（2）(,2)-∞【解析】【分析】（1）解一元二次不等式可得集合A ,再由集合交并补混合运算可得结果.（2）由B A ⊆可知B 是A 的子集，对B 是否为空集分析讨论，解不等式可得结果.【小问1详解】由23100x x --＜,得()()520x x -+＜，解得25x -＜＜，所以()2,5A =-．当1m =时，[]1,3B =，所以()2,5A B ⋃=-，B R ð()(),13,∞=-∞⋃+，所以()()()2,13,5A B ⋂=-⋃R ð．【小问2详解】①若B =∅，则221m m -+＞，即13m ＜．此时满足B A ⊆．②若B ≠∅，则13m ≥，要使B A ⊆，当且仅当1322215m m m ⎧≥⎪⎪--⎨⎪+⎪⎩＞＜，解得123m ≤＜．综上，m 的取值范围为(,2)-∞．16.当药品A 注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少.（1）按照医嘱，护士给患者甲注射了mg a 药品A 两小时后，患者甲血液中药品A 的残存量为225mg ，求a 的值；（2）另一种药物B 注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.如果同时给两位患者分别注射800mg 药品A 和500mg 药品B ，请你计算注射后几个小时两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.（第（2）问计算结果保留2位小数）参考值：lg 20.301=，lg 30.477=.【答案】（1）400（2）15.24【解析】【分析】（1）根据题意，列出方程代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，列出方程，结合对数的运算代入计算，即可得到结果.【小问1详解】由题意可得，注射药品A 两小时后药品A 的残存量为()20000125g 56.25m a a -=，所以0056.25225a =，解得400a =，即注射了400mg 药品A ，a 的值为400.【小问2详解】设药物B 注射量为m ，则n 小时后残余量为()00110nm -，设药物A 注射量为t ，则n 小时后残余量为()00125n t -，又题可知，药物A 注射量为800mg ，药物B 注射量为500mg ，设n 小时后残余量相同，则()()0000800125500110nn-=-，即0.91.60.75n⎛⎫= ⎪⎝⎭，两边取对数可得lg1.6lg1.2n=，即86lg lg 55n =，即1010lg8lglg 6lg 22n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()4lg 21lg121n -=-，即()4lg 21lg 3lg 41n -=+-，即()40.30110.47720.3011n ⨯-=+⨯-，解得15.24n ≈，所以注射15.24小时后两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.17.节日在即，某店家为此购入一批袋装糖果（每袋1kg ），现从中随机抽取100袋，将它们进行分级，统计结果如下：等级一等品二等品三等品袋数404020（1）若将频率视为概率，从这100袋糖果中有放回地随机抽取4袋，求恰好有2袋是三等品的概率；（2）用样本估计总体，该店家制定了两种销售方案：方案一：将糖果混合后不分类售出，售价为20元/kg ；方案二：按品级出售，售价如下：等级一等品二等品三等品售价（元/kg ）242217为追求更高利润，该店家应采用哪种方案？（3）用分层抽样的方法从这100袋糖果中抽取10袋，再从抽取的10袋糖果中随机抽取3袋，记抽到一等品的袋数为X ，求X 的分布列与数学期望．【答案】（1）96625（2）方案二（3）分布列见解析，数学期望为65【解析】【分析】（1）根据二项分布的概率公式即可求解，（2）求解方案二中1kg 糖果的售价为Y ，即可比较求解，（3）由抽样比求解个数，即可利用超几何分布的概率公式求解分布列，进而可求解期望.【小问1详解】设事件A =“从这100袋糖果中随机抽取1个，抽到三等品”，则()2011005P A ==．现有放回地随机抽取4个，设抽到三等品的袋数为Z ，则1(4,)5B Z ，所以恰好有2袋是三等品的概率()222414962C 55625P Z ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【小问2详解】设方案二中1kg 糖果的售价为Y ，则()40402024221721.8100100100E Y =⨯+⨯+⨯=（元），因为()20E Y >，从追求更高利润考虑，该店家应采用方案二．【小问3详解】用分层抽样的方法从这100袋糖果中抽取10袋，则其中一等品有4袋，非一等品有6袋．依题意，X 服从超几何分布，其可能的取值为0，1，2，3．()36310C 10C 6P X ===，()2164310C C 11C 2P X ===，()1264310C C 32C 10P X ===，()34310C 13C 30P X ===所以X 的分布列为X0123P1612310130所以()1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．18.2023年5月13日，榕江和美乡村足球超级联赛（简称“村超”）盛大开幕，迅速在全国范围内乃至国际舞台上引起了热烈反响，激发了全民的运动热情．今年，更是迎来了足球传奇人物卡卡的亲临访问．现有一支“村超”球队，其中甲球员是其主力队员，且是一位多面手，胜任多个位置．经统计，该球队在已进行的42场“村超”比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如下表所示：上场球队的胜负情况合计胜负甲球员上场535甲球员未上场7合计3242（1）完成22⨯列联表，依据小概率值0.01α=的独立性检验，分析球队的胜负是否与甲球员上场有关；（2）由于教练布阵的不同，甲球员在场上的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中场、后卫的概率分别为0.6，0.2，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.9，0.5，0.8．当甲球员上场参加比赛时，（ⅰ）求球队赢球的概率；（ⅱ）如果球队已获胜，计算该场比赛甲球员打前锋的概率．附：22()()()()()n ad bca b c d a c b dχ-=++++，n a b c d=+++．α0.150.100.050.0250.0100.001xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63510.828【答案】（1）列联表见解析，认为球队的胜负与甲球员是否上场有关（2）（ⅰ）0.8；（ⅱ）0.675【解析】【分析】（1）根据题中数据完成列联表即可，根据公式求出2χ，再对照临界值表即可得出结论；（2）（ⅰ）根据条件概率和全概率公式求解即可；（ⅱ）利用条件概率公式和乘法公式就算即可.【小问1详解】根据题意，可得22⨯的列联表：上场球队的胜负情况合计胜负甲球员上场30535甲球员未上场257合计321042零假设为0H ：球队的胜负与甲球员是否上场无关，根据列联表中的数据，经计算得到()()()()()()2220.01423055210.5 6.6353210357n ad bc x a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯===++++⨯⨯⨯＞，根据小概率值0.01α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为球队的胜负与甲球员是否上场有关，此推断犯错误的概率不大于0.01；【小问2详解】设A =“甲球员上场打前锋”，B =“甲球员上场打中场”，C =“甲球员上场打后卫”，D =“球队获得胜利”．则A B C Ω=⋃⋃，且,,A B C 两两互斥，依题意得，()()()0.6,0.2P A P B P C ===()()()0.9,0.5,0.8P D A P D B P D C ===；（ⅰ）由全概率公式得()()()()()()()P D P A P D A P B P D B P C P D C=++0.60.90.20.50.20.8=⨯+⨯+⨯0.8=；（ⅱ）“如果球队已获胜，计算该场比赛甲球员打前锋的概率”，就是计算在D 发生的条件下，事件C 发生的概率，则所求概率()()()()()()0.6090.6750.8P A P D A P AD P A D P D P D ⨯====.【点睛】思路点睛：用定义法求条件概率()P B A 的步骤：（1）分析题意，弄清概率模型；（2）计算()P A 、()P AB ；（3）代入公式求()()()P AB P B A P A =.19.已知函数()2121x x f x -=+．（1）我们知道要研究一个函数的性质，通常会从函数的定义域、值域（最值）、奇偶性（对称性）、单调性（极值）、周期性、特殊的点与线（如渐近线）等方面着手．据此，请回答以下问题：（ⅰ）试探究函数()f x 的性质并说明理由；（ⅱ）根据（ⅰ）中结论作出()f x 的草图；（2）若1,3x ∞⎡⎫∀∈+⎪⎢⎣⎭，都有()()2332log log 0mf x fx ++＞，求实数m 的取值范围．【答案】（1）（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）作图见解析（2）193,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用定义法来研究函数的各个性质，最后可作出草图；（2）利用复合函数思想由内到外研究函数值域，最后化归到含参二次不等式恒成立，即可求解.【小问1详解】①定义域：()f x 的定义域为R ．②值域：因为()2121x f x =-+，20x>，12+11012+1x x ><<，，所以()11f x -<<，故()f x 的值域为()1,1-．③奇偶性：x ∀∈R ，x -∈R ，()()21122112x xx xf x f x -----===-++，所以()f x 为奇函数．④单调性：12x x ∀∈R ，，且12x x <，则1222x x<，所以()()()()()1212121222222021212121x x x x x x f x f x --=-+=<++++，即()()12f x f x <，所以()f x 为增函数．⑤当x →+∞时，2x →+∞，()21121xf x =-→+；当x →-∞时，20x →，()21101f x →-=-+．所以直线1y =±为()f x 图象的渐近线．综合上述讨论，可作出()f x的草图如下：【小问2详解】当13x ≥时，331log log 13x =-≥，由（1）知，()f x 为增函数，所以()()131211log 1213t f x f ---=≥-==-+，由（1）知()f x 的值域为()1,1-，故t 的取值范围为1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭所以1,3x ∞⎡⎫∀∈+⎪⎢⎣⎭，都有()()2332log log 0mf x f x ++>，等价于220t mt ++>对于1,13t ⎡⎫∀∈-⎪⎢⎣⎭都成立，记()22t t mt ϕ=++，则()2Δ8011,232111203931120m m m m m ϕϕ⎧=-≥⎪⎪-≤--≥⎪⎨⎛⎫⎪-=-+> ⎪⎪⎝⎭⎪=++≥⎩，，，或280.m ∆=-<解得1933m m m ≤<-≤≤--<<或，综上，m 的取值范围是193,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．。
福建省福州市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题(无答案)
福建2024—2025学年上学期半期考试高三数学试卷时间：120分钟 满分：150分第I 卷 选择题（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在平行四边形中，，则（ ）A．B C D 2，）A ．第11项B ．第12项C ．第13项D ．第14项3．已知是关于的方程的一个虚根，则（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．14．在数列中，已知对任意正整数，有，则（）A ．B ．C ．D ．5．互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，设，是平面内相交的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距，分别作为点的坐标和坐标，记，则该坐标系中和两点间的距离为（）A ．3B ．2CD6．已知，且，为虚数单位，则的最大值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．87．给定函数，为的导函数，若数列满足，则称为函数ABCD 2AP PB = PD =23AB AD+2.3AB AD-+1.3AB AD +1.3AB AD-+()i ,a b a b +∈R x ()220x x c c ++=∈R a ={}n a n 1221n n a a a +++=- 22212n a a a +++= ()221n-()21213n -41n -()1413n-Ox Oy 1e 2ex y 1e <23e π>=P x y a bP x y (),P a b ()3,3M ()2,1N z ∈C i 1z -=i 35i z --()f x ()f x '()f x {}n x ()()1n n n n f x x x f x +='-{}n x ()f x的牛顿数列，若数列为函数的牛顿数列，，，，则下列结论中正确的是（ ）A ．数列的通项公式为B ．数列的通项公式为C ．数列的前项和为D ．数列的前项和8．已知函数为定义在上的偶函数，，且，则下列选项不正确的是（）A ．B ．的图象关于点对称C ．以6为周期的函数D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知向量，，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．与同向的单位向量为D ．与10．下列说法正确的有（）A ．若等差数列的前项和为则，，也成等差数列B ．数列可能是等比数列，也可能是等差数列C ．若等比数列满足，则D ．若等差数列的前项和为，，，则的最大值是11．若函数，与轴的三个交点依次为，，，且在这三个交点处的切线斜率分别记为，，，则下列说法中正确的是（ ）A ．{}n x ()22f x x x =+-1ln2n n n x a x -=+12a =1n x >{}n a 121n n a -=+{}n a 2n a n =11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n 22233n n S =⨯-{}n na n ()1122n n S n +=-⨯+()f x R ()01f =()()()11f x f x f x -++=()112f =()f x 3,02⎛⎫⎪⎝⎭()f x ()2023112k f k ==-∑()1,2a =-()3,4b = //a b()b a a-⊥ a ⎛ ⎝a b{}n a n ,n S 3S 6S 9S (){}()1na a +∈R {}n a 26174a a a a +=1234567a a a a a a a =±{}n a n n S 120S >130S <n S 6S ()323f x x x ax b =-++()f x x ()1,0A x ()2,0B x ()3,0C x 1k 2k 3k 3a >B ．若，则C ．若，，成等差数列，则D ．第Ⅱ卷非选择题（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
福建省福州第八中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含简单答案)
福州第八中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学考试时间：120分钟试卷满分：150分一、单选题：本题共8小题.每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率（ ）A. 0B. 1C. 0.3D. 2. 已知数列为等比数列，若，则的值为（ ）A. -4B. 4C. -2D. 23. 设随机变量，若，则等于（）A. 0.2B. 0.7C. 0.8D. 0.94. 设是一个离散型随机变量，其分布列为则等于（ ）A. 1B. C.D. 5. 已知点P ，Q 分别为圆与上一点，则的最小值为（）A. 4B. 5C. 7D. 106. 已知，则（ ）A. 64B. 32C. 63D. 317. 若，则（ ）A. B. C. D. 为X ()0.7E X =0.7{}n a 2580a a +=64a a ()24,X N σ～()0.8P X m >=()8P X m >-X X234P1212q-22q q 1121+22:1C x y +=22:(7)4D x y -+=||PQ ()01223344414729n n n n n n nn C C C C C -+-+⋅⋅⋅+-⋅⋅=123n n n n n C C C C +++⋅⋅⋅+=()221ln ln π,ln ,33ea b c ===-c a b <<b c a <<c b a<<b a c<<8. 已知双曲线的左顶点为是双曲线的右焦点，点在直线上，且的离心率是（ ）A. B. C.D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 连续抛掷一枚骰子2次，记事件A 表示“2次结果中正面向上的点数之和为奇数”，事件B 表示“2次结果中至少一次正面向上的点数为偶数”，则（ ）A. 事件A 与事件B 不互斥 B. 事件A 与事件B 相互独立C. D. 10. 已知直线经过抛物线的焦点，与交于A ，两点，与的准线交于点，则（ ）A. B. 若，则C. 若，则的取值范围是 D.若，，成等差数列，则11. 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为，则下列结论正确的是（ ）A. ，B. 数列是等比数列C. 数列是等比数列D. 的数学期望三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，且抛物线上有一点P (4，m )到焦点的距离为6.则抛物线C 的方程为________.2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>()0,,A F c C P 2x c=tan APF ∠C 2+4+()34P AB =()2|3P A B =()1x my =-()2:20E x py p =>F E B E l C 2p =3AF FB =m =()0,1N -AN AF⎡⎣FA AC FB FC BF=()*Nn n ∈nXn p n q 21627p =2727q ={}21n n p q +-{}21n n p q +-n X ()()*11N 3nn E X n ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭13. “畅通微循环，未来生活更舒适”．我国开展一刻钟便民生活圈建设，推进生活服务业“规范化、连锁化、便利化、品牌化、特色化、智能化”发展，以提质便民为核心，高质量建设国际消费中心城市，便民商业体系向高品质发展．某调研机构成立5个调研小组，就4个社区的便民生活圈的建设情况进行调研，每个调研小组选择其中1个社区，要求调研活动覆盖被调研的社区，共有派出方案种数为____________14. 设为的展开式的各项系数之和，，，表示不超过实数x 的最大整数，则的最小值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.（1）求A 的大小；（2）若，BC 边上高的长.16. 已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列．（1）求数列通项公式；（2）若，求前1012项和．17. 已知函数，.（1）当时，求函数的极值；（2）若任意且，都有成立，求实数的取值范围.18. 为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯月用电范围（度）某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：居民用电户编号12345678910用电量（度）538690124214215220225420430的的*n n N a ∈，()()2+3+1n nx x -=23c t -R t ∈1222=[]+[]++[]555n n n b na a a n )22()+(+)n n t b c -ABC V 2cos 2a B c +=3b =c ={}n a 11a =125,,a a a {}n a 114(1)n n n n nb a a ++=-⋅{}n b 1012T 21()ln(1)14f x a x x =-++211()()1e 2x g x f x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭1a =-()f x 12,(1,)x x ∈+∞12x x ≠()()21211g x g x x x -≥-a [0,210](210,400](400,)+∞（1）若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算某居民用电户用电450度时应交电费多少元？（2）现要从这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；（3）以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取10户，记取到第一阶梯电量的户数为，当时对应的概率为，求取得最大值时的值.19. 已知椭圆（常数），点，，为坐标原点．（1）求椭圆离心率的取值范围；（2）若是椭圆上任意一点，，求的取值范围；（3）设，是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由．的Y Yk =k P k P k 222:1x y aγ+=2a ≥(),1A a (),1B a -O P γOP mOA nOB =+m n +()11,M x y ()22,N x y γOM ON OA OB k k k k ⋅=⋅OMN V福州第八中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学简要答案一、单选题：本题共8小题.每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】AD【10题答案】【答案】AD【11题答案】【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】y 2＝8x 【13题答案】【答案】240【14题答案】【答案】##02四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1） （2）【16题答案】【答案】（1） （2）【17题答案】【答案】（1）极小值为，无极大值 （2）【18题答案】【答案】（1）259元 （2）分布列略，期望为 （3）4【19题答案】【答案】（1） （2） （3）的面积为定值，理由略.15π6A =3221n a n =-101220242025T =221,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭65e ⎫∈⎪⎪⎭[]1,1m n +∈-OMN V 2a。
福建省福州市2023-2024学年高二下学期期中联考试题 数学含答案
2023-2024学年第二学期期中质量检测高二数学试卷（答案在最后）（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．测试范围：选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册第六章、第七章第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.计算52752+C A 的值是（）A.62B.102C.152D.5402.下列导数运算正确的是（）A.cos sin x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.()21log ln 2x x '=C.()22xx'= D.()32e 3exxx x '=3.若9290129(2)x a a x a x a x -=++++L ，则129a a a +++ 的值为（）A.1- B.1 C.511- D.5124.若2()f x x bx c =++的图象的顶点在第二象限，则函数()f x '的图象是（）A. B.C. D.5.曲线()(22e 21xf x x x =--+-在0x =处的切线的倾斜角是（）A.2π3B.5π6C.3π4 D.π46.现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球是黑球的概率是（）A.1115B.1130C.115D.2157.有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（）A.462B.630C.672D.8828.已知函数()e 2xx k f x =-，若0x ∃∈R ，()00f x ≤，则实数k 的最大值是（）．A.1eB.2eC.12eD.e e二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知1)nx+*(N )n ∈展开式中常数项是2C n ，则n 的值为（）.A.3B.4C.5D.610.高中学生要从必选科目（物理和历史）中选一门，再在化学、生物、政治、地理这4个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选2个科目构成“1＋2选考科目组合”参加高考.已知某班48名学生关于选考科目的结果统计如下：选考科目名称物理化学生物历史地理政治选考该科人数36392412a b下面给出关于该班学生选考科目的四个结论中，正确的是（）A.33a b +=B.选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生可能超过9人C.在选考化学的所有学生中，最多出现6种不同的选考科目组合D.选考科目组合为“历史＋生物＋地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的11.若不等式e ln 0x ax a -<在[)2,x ∞∈+时恒成立，则实数a 的值可以为（）A.3eB.2eC.eD.2第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上的风又下雨的概率为110，设A 为下雨，B 为刮四级以上的风，则()P B A =___________.13.某校一次高三数学统计，经过抽样分析，成绩X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为________．14.将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）四、解答题（本大题共5题，共７7分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数3()ln (R)f x x ax a =+∈，且(1)4f '=．（1）求a 的值；（2）设()()ln g x f x x x =--，求()y gx =过点(1,0)的切线方程．16.已知n⎛⎝在的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．17.如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件i A （123i =，，）表示“球取自第i 号箱”，事件B 表示“取得黑球”．（1）求()P B 的值：（2）若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．18.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射､自定义漫游､全尺寸太阳能､空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X 的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.19.已知曲线()31:3C y f x x ax ==-.（1）求函数()313f x x ax =-()0a ≠的单调递增区间；（2）若曲线C 在点()()3,3f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积大于18，求实数a 的取值范围.2023-2024学年第二学期期中质量检测高二数学试卷（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．测试范围：选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册第六章、第七章第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.计算52752+C A 的值是（）A.62 B.102C.152D.540【答案】A 【解析】【分析】利用组合和排列数公式计算【详解】5275762254622C A =+´+创=故选：A2.下列导数运算正确的是（）A.cos sin x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.()21log ln 2x x '=C.()22xx'= D.()32e 3exxx x '=【答案】B 【解析】【分析】利用常见函数的导数可以判断B 、C 的真假，利用积的导数的运算法则判断D 的真假，利用商的导数的运算法则判断A 的真假.【详解】∵()22cos cos cos sin cos x x x x x x x x x x x ''⋅-⋅--⎛⎫== ⎪⎝'⎭，故A 错误；∵()21log ln 2x x '=，故B 正确；∵()22ln 2x x '=，故C 错误；∵()()()33323e e e 3e e x x x x x x x x x x ⋅'''=⋅+=+，故D 错误.故选：B.3.若9290129(2)x a a x a x a x -=++++L ，则129a a a +++ 的值为（）A.1- B.1 C.511- D.512【答案】C 【解析】【分析】根据题意，分别令1x =与0x =代入计算，即可得到结果.【详解】当1x =时，20911a a a a ++++=L ；当0x =时，0512a =所以，1211511a a a +++=-L 故选：C4.若2()f x x bx c =++的图象的顶点在第二象限，则函数()f x '的图象是（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】求导后得到斜率为2，再由极值点是导数为零的点小于零，综合直线的特征可得正确答案.【详解】因为()2f x x b '=+，所以函数()f x '的图象是直线，斜率20k =>；又因为函数()f x 的顶点在第二象限，所以极值点小于零，所以()f x '的零点小于零，结合直线的特征可得C 符合.故选：C5.曲线()(22e 21xf x x x =--+-在0x =处的切线的倾斜角是（）A.2π3B.5π6C.3π4 D.π4【答案】A 【解析】【分析】利用导数的几何意义求得切线斜率，即可求得切线的倾斜角.【详解】()()2e 22,0xf x x f =--∴'-'= ，设切线的倾斜角为[),0,πθθ∈，则tan θ=，即2π3θ=，故选：A ．6.现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球是黑球的概率是（）A.1115B.1130C.115D.215【答案】B 【解析】【分析】根据条件概率的定义，结合全概率公式，可得答案.【详解】记事件A 表示“球取自甲箱”，事件A 表示“球取自乙箱”，事件B 表示“取得黑球”，则()()()()1212,,2635P A P A P B A P B A =====，由全概率公式得()()()()111211232530P A P B A P A P B A +=⨯+⨯=．故选：B ．7.有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（）A.462B.630C.672D.882【答案】C 【解析】【分析】根据题意，按使用颜色的数目分两种情况讨论，由加法原理计算可得答案.【详解】根据题意，分两种情况讨论：若用两种颜色涂色，有27C 242⨯=种涂色方法；若用三种颜色涂色，有()37C 3221630⨯⨯⨯+=种涂色方法；所以有42630672+=种不同的涂色方法.故选：C.8.已知函数()e 2xx k f x =-，若0x ∃∈R ，()00f x ≤，则实数k 的最大值是（）．A.1eB.2eC.12eD.e e【答案】B 【解析】【分析】将问题转化为002e x x k ≤在0x ∈R 上能成立，利用导数求2()exxg x =的最大值，求k 的范围，即知参数的最大值.【详解】由题设，0x ∃∈R 使02e x x k ≤成立，令2()exxg x =，则()21e x g x x ⋅-'=，∴当1x <时()0g x '>，则()g x 递增；当1x >时()0g x '<，则()g x 递减；∴2()(1)e g x g ≤=，故2e k ≤即可，所以k 的最大值为2e.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知1)nx+*(N )n ∈展开式中常数项是2C n ，则n 的值为（）.A.3B.4C.5D.6【答案】AD 【解析】【分析】根据二项式展开式得到321C n r r r nT x-+=，再令302n r-=，则得到123C C n n n =，解出即可.【详解】展开式的通项为131221C ()()C n r r n rr rr nnT x x x---+==，若要其表示常数项，须有302n r-=，即13r n =，又由题设知123C C n n =，123n \=或123n n -=，6n ∴=或3n =.故选：A D ．10.高中学生要从必选科目（物理和历史）中选一门，再在化学、生物、政治、地理这4个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选2个科目构成“1＋2选考科目组合”参加高考.已知某班48名学生关于选考科目的结果统计如下：选考科目名称物理化学生物历史地理政治选考该科人数36392412ab下面给出关于该班学生选考科目的四个结论中，正确的是（）A.33a b +=B.选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生可能超过9人C.在选考化学的所有学生中，最多出现6种不同的选考科目组合D.选考科目组合为“历史＋生物＋地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的【答案】AC 【解析】【分析】结合统计结果对选项逐一分析即可得.【详解】对A ：由3924482a b +++=⨯，则33a b +=，故A 正确；对B ：由选择化学的有39人，选择物理的有36人，故至少有三人选择化学并选择了历史，故选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生最多有9人，故B 错误；对C ：确定选择化学后，还需在物理、历史中二选一，在生物、地理、政治中三选一，故共有236⨯=种不同的选考科目组合，故C 正确；对D ：由于地理与政治选考该科人数不确定，故该说法不正确，故D 错误.故选：AC.11.若不等式e ln 0x ax a -<在[)2,x ∞∈+时恒成立，则实数a 的值可以为（）A.3eB.2eC.eD.2【答案】BCD 【解析】【分析】构造函数()ex xf x =，将e ln 0x ax a -<恒成立问题转化为()()ln f x f a <恒成立问题，求导，研究()e xxf x =单调性，画出其图象，根据图象逐一验证选项即可.【详解】由e ln 0x ax a -<得ln ln ln e ex a x a aa <=，设()e x x f x =，则()1ex xf x ='-，当1x <时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，又()00f =，()11e f =，当0x >时，()0ex xf x =>恒成立，所以()ex xf x =的图象如下：，ln ln e ex a x a<，即()()ln f x f a <，2x ≥，对于A ：当3e a =时，ln ln 31>2a =+，根据图象可得()()ln f x f a <不恒成立，A 错误；对于B ：当2e a =时，()ln ln 211,2a =+∈，根据图象可得()()ln f x f a <恒成立，B 正确；对于C ：当e a =时，ln 1a =，根据图象可得()()ln f x f a <恒成立，C 正确；对于D ：当2a =时，ln ln 2a =，又()()ln 22ln 212ln 2ln 2,2e 2ef f ===，因为221263ln 23ln 2e e ⨯-⨯=，且2e,e 6>>，即26ln 1,1e ><，所以221263ln 23ln 02e e⨯-⨯=->，即()()ln 22f f >，根据图象可得()()ln f x f a <恒成立，D 正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题的关键将条件变形为ln ln e e x ax a <，通过整体结构相同从而构造函数()e x x f x =来解决问题.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上的风又下雨的概率为110，设A 为下雨，B 为刮四级以上的风，则()P B A =___________.【答案】38【解析】【分析】利用条件概率的概率公式()()()P AB P B A P A =即可求解.【详解】由题意可得：()415P A =，()215P B =，()110P AB =，由条件概率公式可得()()()13104815P AB P B A P A ===，故答案为：38.13.某校一次高三数学统计，经过抽样分析，成绩X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为________．【答案】200【解析】【分析】根据X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，求得(130)p X ≥即可.【详解】因为X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，所以()()113012901300.22P X P X ⎡⎤≥=-≤≤=⎣⎦，又该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为10000.2200⨯=人.故答案为：200.14.将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）【答案】36【解析】【分析】先将4人分成2、1、1三组，再安排给3个不同的场馆，由分步乘法计数原理可得.【详解】将4人分到3个不同的体育场馆，要求每个场馆至少分配1人，则必须且只能有1个场馆分得2人，其余的2个场馆各1人，可先将4人分为2、1、1的三组，有211421226C C C A =种分组方法，再将分好的3组对应3个场馆，有336A =种方法，则共有6636⨯=种分配方案.故答案为：36四、解答题（本大题共5题，共７7分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数3()ln (R)f x x ax a =+∈，且(1)4f '=．（1）求a 的值；（2）设()()ln g x f x x x =--，求()y g x =过点(1,0)的切线方程．【答案】（1）1（2）22y x =-【解析】【分析】（1）利用导数求解参数即可.（2）先设切点，利用导数表示斜率，建立方程求出参数，再写切线方程即可.【小问1详解】定义域为,()0x ∈+∞，21()3f x ax x'=+，而(1)13f a '=+，而已知(1)4f '=，可得134a +=，解得1a =，故a 的值为1，【小问2详解】3()()ln g x f x x x x x =--=-，设切点为0003(,)x x x -，设切线斜率为k ，而2()31g x x '=-，故切线方程为300200()(31)()y x x x x x --=--，将(1,0)代入方程中，可得3200000()(31)(1)x x x x --=--，解得01x =(负根舍去)，故切线方程为22y x =-，16.已知n ⎛ ⎝在的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）10n =；（2）454；（3）2454x ，638-，245256x.【解析】【分析】（1）求出n⎛ ⎝的展开式的通项为1r T +，当=5r 时，指数为零，可得n ；（2）将10n =代入通项公式，令指数为2，可得含2x 的项的系数；（3）根据通项公式与题意得1023010r Zr r Z -⎧∈⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩，求出r 的值，代入通项公式并化简，可得展开式中所有的有理项．【详解】（1）n ⎛ ⎝的展开式的通项为233311122r rn r r n r r r r n n T C x x C x ----+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为第6项为常数项，所以=5r 时，有203n r -=，解得10n =．（2）令223n r -=，得()()116106222r n =-=⨯-=，所以含2x 的项的系数为221014524C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（3）根据通项公式与题意得1023010r Zr r Z -⎧∈⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩，令()1023r k k Z -=∈，则1023r k -=，即352r k =-．r Z ∈，∴k 应为偶数．又010r ≤≤，∴k 可取2，0，-2，即r 可取2，5，8．所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为2221012C x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，551012C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，8821012C x -⎛⎫- ⎪⎝⎭，即2454x ，638-，245256x ．【点睛】关键点点睛：本题考查二项式展开式的应用，考查二项式展开式的通项公式以及某些特定的项，解决本题的关键点是求解展开式的有理项时，令()1023r k k Z -=∈，由r Z ∈以及010r ≤≤，求出k 的值，进而得出r 的值，代入通项公式化简可得有理项，考查了学生计算能力，属于中档题．17.如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件i A （123i =，，）表示“球取自第i 号箱”，事件B 表示“取得黑球”．（1）求()P B 的值：（2）若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．【答案】（1）712（2）可判断该黑球来自3号箱的概率最大.【解析】【分析】（1）因先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球为黑球，其中有三种可能，即黑球取自于1号，2号或者3号箱，故事件B 属于全概率事件，分别计算出()i P A 和(|),1,2,3i P B A i =，代入全概率公式即得；（2）由“小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱”是求条件概率(|),1,2,3i P A B i =，根据条件概率公式分别计算再比较即得.【小问1详解】由已知得：1231()()()3P A P A P A ===,12311(|),(|),(|)1,42P B A P B A P B A ===而111111()(|)(),4312P BA P B A P A =⋅=⨯=222111()(|)(),236P BA P B A P A =⋅=⨯=33311()(|)()1.33P BA P B A P A =⋅=⨯=由全概率公式可得：1231117()()()().126312P B P BA P BA P BA =++=++=【小问2详解】因“小明取出的球是黑球，该黑球来自1号箱”可表示为：1A B ,其概率为111()112(|)7()712P A B P A B P B ===,“小明取出的球是黑球，该黑球来自2号箱”可表示为：2A B ,其概率为221()26(|)7()712P A B P A B P B ===,“小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱”可表示为：3A B ,其概率为331()43(|)7()712P A B P A B P B ===.综上，3(|)P A B 最大，即若小明取出的球是黑球，可判断该黑球来自3号箱的概率最大.18.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射､自定义漫游､全尺寸太阳能､空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X 的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.【答案】（1）0.648（2）分布列见解析，期望为95，甲比乙闯关成功的概率要大.【解析】【分析】（1）根据题意，直接列出式子，代入计算即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得X 的可能取值为0,1,2,3，然后分别计算其对应概率，即可得到分布列，然后计算甲闯关成功的概率比较大小即可.【小问1详解】记事件A 为“乙闯关成功”，乙正确完成每个程序的概率为0.6，则()()2233C 0.610.6(0.6)0.648;P A =⨯⨯-+=【小问2详解】甲编写程序正确的个数X 的可能取值为0,1,2,3，()()()()211233464664333310101010C C C C C C 13110,1,2,3C 30C 10C 2C 6P X P X P X P X ============，故X 的分布列为：X0123P 1303101216故()1311901233010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，甲闯关成功的概率1120.648263P =+=>，故甲比乙闯关成功的概率要大.19.已知曲线()31:3C y f x x ax ==-.（1）求函数()313f x x ax =-()0a ≠的单调递增区间；（2）若曲线C 在点()()3,3f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积大于18，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）()()0,99,18U 【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，分0a >、a<0两种情况讨论，分别求出函数的单调递增区间；（2）利用导数的几何意义求出切线方程，再令0x =、0y =求出在坐标轴上的截距，再由面积公式得到不等式，解得即可.【小问1详解】∵()313f x x ax =-定义域为R ，且()2f x x a '=-，①当a<0时，()20f x x a '=->恒成立，∴()f x 在R 上单调递增；②当0a >时，令()20f x x a '=->，解得x <x >，∴()f x 在(,∞-，)∞+上单调递增，综上：当a<0时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间为(,∞-，)∞+.【小问2详解】由（1）得()2339f a a =-=-'，又∵()393f a =-，∴切线方程为()()()9393y a a x --=--，依题意90a -≠，令0x =，得18y =-；令0y =，得189x a=-，切线与坐标轴所围成的三角形的面积11816218299S a a =⨯⨯=--，依题意162189a >-，即919a>-，解得09a <<或918<<a ，即实数a 的取值范围为()()0,99,18⋃.。
福建省部分优质高中2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试题
福建省部分优质高中2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试题一、单选题1．直线20x -=的倾斜角为（）A ．π3B ．5π6C ．D ．2．在空间直角坐标系Oxyz 中，点()3,2,1M --关于原点对称的点的坐标为（）A ．()3,2,1--B ．()3,2,1-C ．()3,2,1--D ．()3,2,1-3．已知方程()22211mx m y +-=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．()0,14．“1m =”是“直线1:(1)10l x m y +++=与直线2:(1)10l m x my +--=垂直”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，三棱柱ABC DEF -中，G 为棱AD 的中点，若BA a = ，BC b =，BD c = ，则CG =（）A ．1122a b c-+ B ．1122a b c++C ．311222a b c-+ D ．311222a b c++6．过点()0,1P -作直线l ，若直线l 与连接()2,1A -，()B 两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角范围为（）A ．ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π3π,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π3π0,,π64⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．ππ3π,,π624⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭7．已知直线1:310(R)l mx y m m --+=∈与直线2:310(R)l x my m m +--=∈相交于点P ，则P 到直线0x y +=的距离d 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．8．已知1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点，O 是坐标原点，P 是椭圆E 上一点，1PF 与y 轴交于点M ．若1OP OF =，156aMF =，则椭圆E 的离心率为（）A ．59或58B 4C ．34或14D 12二、多选题9．给出以下命题，其中错误的是（）A ．平面,αβ的法向量分别为()()120,1,3,1,0,2n n ==，则αβ∥B ．直线l 的方向向量为()0,1,1a =- ，平面α的法向量为()1,1,1n =--，则l α⊥C ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =- ，直线m 的方向向量为12,1,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，则l 与m 垂直D ．平面α经过三个点()()()1,0,1,0,1,0,1,2,0A B C ---，向量()1,,n u t =是平面α的法向量，则1u t +=10．已知直线1:2(1)(R)l y m x m -=+∈，直线2:20(R)l x y λλ-+=∈，则下列说法正确的为（）A ．若12l l ⊥，则2m =-B ．若两条平行直线1l 与2l 间的距离为，则5λ=-C ．直线1l 过定点(1,2)-D ．点(2,6)P到直线1l 距离的最大值为11．已知椭圆C ：22143x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，且点M 是直线4x =上任意一点，过点M 作C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为,A B ，则（）A ．12AF F △的周长为6B ．A ，2F ，B 三点共线C ．A ，B 两点间的最短距离为2D ．12AMF BMF ∠=∠三、填空题12．已知圆222:222250(0)C x y ax ay a a +-++-=>与圆22:4O x y +=有且仅有一条公切线，则该公切线方程为.13．已知椭圆22:14x y C b+=和直线:1l y mx =+，若对任意的m ∈R ，直线l 与椭圆C 恒有公共点，则实数b 的取值范围是．14．斜三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11ABB A ，若AB =3AC BC ==，11n 3si A AB ∠=，在三棱柱111ABC A B C -内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切，则三棱柱111ABC A B C -的高为．四、解答题15．已知ABC V 顶点()1,2A 、()3,1B --、()3,3C -．(1)求边BC 的垂直平分线1l 的方程；(2)若直线2l 过点A ，且2l 的纵截距是横截距的2倍，求直线2l 的方程．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面,,ABCD AD PA AD CD ⊥⊥，//,AD BC 2PA AD CD ,===150,BAD E ︒∠=为PD 的中点.(1)求证：AE ⊥平面PCD ;(2)求平面PAB 与平面ECD 夹角的余弦值.17．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:10x y E a b a b+=>>（）的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，长轴长为4.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若212,PF F F ⊥1l 与椭圆E 的相交于,M N 两点，求MN 的长度；(3)若直线12,l l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标.18．已知C 的圆心在x 轴上，经过点和(2,2)．(1)求C 的方程；(2)过点(3,1)P 的直线l 与C 交于A 、B 两点．（ⅰ）若||AB =，求直线l 的方程；（ⅱ）求弦AB 最短时直线l 的方程．19．法国著名数学家加斯帕尔⋅蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q a 为椭圆的长半轴长，b 为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点31(,22-.且(1)求椭圆C 的蒙日圆的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 相切，且与椭圆C 的蒙日圆相交于M ，N 两点，求OMN 的面积(O 为坐标原点）；(3)设P 为椭圆C 的蒙日圆上的任意一点，过点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，求PAB 面积的最小值.。