小学奥数牛吃草
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1、牛吃草问题 牛吃草问题最先在牛顿的《普通算术》中出现，所以 人们又习惯上称之为牛顿的牛吃草问题。
2、牛顿牧场
牛顿牧场是理想牧场，在这个牧场上草是匀速生长的
3、牛吃草问题三部曲
（1）先算新生草量 （2）再算原有草量 （3）最后计算问题
例1 牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草 可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。问：这片牧草 可供25头牛吃多少天？
[自主训练] 盛德美9时开门营业，开门前就有人等候入场， 如果第一个顾客来时起，每分钟来的顾客人数同样多，那 么开4个门等候的人全部进入商场要8分钟，开6个门等候 的人全部进入商场只要4分钟，问第一个顾客到达时是几 时几分？ 假设每分钟每个检票口进的人数为1份 4×8= 原有等待的人数+8分钟新增的人数 6×4= 原有等待的人数+6分钟新增的人数 每分钟新增的人数= （4×8-6×4）÷（8-6） = 4（份） 原有等待的人数= 4×8-8×4=0（份）
解：假设1人1小时舀1份水 12×3=36份……原水量+3小时进水量
5×10=50份……原水量+10小时的进水量
每小时的进水量： （50-36）÷（10-3）=2份 原水量： 36-3×2=30份 或50-10×2=30份
30份
+
2份
2×6=12份 （30+12）份水需要几个人6小时舀完？
（30+12）÷6=7小时
2×300=自动扶梯级数+300秒新增的级数
每秒新增的级数：
（2×300-3×100）÷（300-100）=1.5（级）
自动扶梯级数= 3×100-100×1.5=150（级）
例5 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的 旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同 时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。 如果同时打开7个检票口，那么需要多少分钟？
草每天的减少量： （240-225）÷（9-8）=15份 原草量： 240+8×15=360份 或220+9×15=360份
400份
-
15份
15头牛在吃
360份草可供21头牛吃几天？ 360÷（21+15）=10天
例3 一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发 现漏洞时已经进入了一些水，如果用12人舀水，3小时舀 完，如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完，现在想在 6小时舀完，需要多少人？
第一块草量为：
每公顷草每天的生长量为：
（51-36）÷（84-54）=0.5份
每公亩的草量：
第三块牧场可供：
36-54×0.5=9份 或51-84×0.5=9份
（40×9+40×0.5×24）÷24=35（头）
[自主训练] 有3个牧场长满草，第一牧场10公亩，可供 20头牛吃50天，第二牧场15公亩，可供40头牛吃30天， 第三牧场40公亩，可供多少头牛吃24天？（每块地每公 亩的草量相同而且都是匀速生长）
解：假设1只羊1天吃1份草
草每天的生长量为：
（5×30-7×20）÷（30-20）=1份
原有的草量为： 5×30-30×1=120份 或7×20-20×1=120份
10天后所剩草量： 120+10×1-8×10=50份
10天还有6只羊可吃几天？ 50÷（6-1）=10天
草每天的生长量： （180-150）÷（20-10）=3份 原草量： 180-20×3=120份 或150-10×3=120份
120份
+
3份
剩下18-3=15头
3头
吃
15头牛吃120份草能吃几天？
120÷（18-3）=8天
例2 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反 而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛 吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛 吃10天？
例7 有一牧场长满牧草，每天牧草匀速生长，这个牧场 可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天，现在有若干头 牛在吃草，6天后，4头牛死亡，余下的牛吃2天将草吃完， 问原来有多少头牛？
解：假设1头牛1天吃1份草
草每天的生长量为：
（17×30-19×24）÷（30-24）=9份
原有的草量为： 17×30-30×9=240份 或29×24-24×9=240份
[自主训练] 有一口水井，持续不断地涌出水，而且每分 钟涌出的水量相等。如果用3台抽水机抽水36分钟可以抽 完，如果用5台抽水机抽水，20分钟可以抽完，现在用8 台抽水机抽完水，需要几分钟？
解：假设1台抽水机1小时抽1份水
3×36=108份……原水量+36分钟进水量
5×20=100份……原水量+20分钟的进水 量 每分钟的进水量： （108-100）÷（36-20）=0.5份
例6 有3个牧场长满草，第一牧场33公亩，可供 22头牛吃54天，第二牧场28公亩，可供17头牛吃 84天，第三牧场40公亩，可供多少头牛吃24天？
解：假设1头牛1天吃1份草
22×54=1188份 平均每公顷有草量： 1188÷33=36份 第二块草量为： 17×84=1428份
平均每公顷有草量： 1428÷28=51份
假设每分钟每个检票口进的人数为1份
4×30= 原有等待的人数+30分钟新增的人数
5×20= 原有等待的人数+20分钟新增的人数
每分钟新增的人数= （4×30-5×20）÷（30-20） = 2（份） 原有等待的人数= 4×30-30×2=60（份） 专门安排2个检票口检新增加的人
60÷（7-2）=12（分钟）
若4头牛不死，这群牛在6+2=8天内共吃草 240+9×8+2×4=320份
320份草可共几头牛吃8天？ 320÷8=40头
[自主训练] 一个牧场上长满了青草，这些牧草可供5只羊 吃30天，或者可供7只羊吃20天，现在牧场上有8只羊， 10天后，有2只羊死亡，剩下的羊多少天可以将牧场上的 草吃完？
解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 20×5=100份……原草量-5天的减少量
15×6=90份……原草量-6天的减少量
草每天的减少量： （100-90）÷（6-5）=10份 原草量： 100+5×10=150份 或90+6×10=150份
150份
-
10份
ห้องสมุดไป่ตู้
剩下150-100=50份
10天减少
10×10=100份
50份草可供多少头牛吃10天？
（150-10×10）÷10=5头
[自主训练] 由于天气逐渐寒冷，牧场上的牧草每天以均 匀的速度减少，经测算，牧场上的草可供30头牛吃8天， 可供25头牛吃9天，那么可供21头牛吃几天？
解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份
30×8=240份……原草量-8天的减少量
25×9=225份……原草量-9天的减少量
解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 10×20=200份……原草量+20天的生长量
15×10=150份……原草量+10天的生长量
草每天的生长量： （200-150）÷（20-10）=5份 原草量： 200-20×5=100份 或150-10×5=100份
100份
+
5份
剩下25-5=20头
5头
吃
20头牛吃100份草能吃几天？
女孩： 15×6 = 自动扶梯的级数-6分钟减少的级数
每分钟减少的级数= (20×5-15×6) ÷(6-5)=10(级)
自动扶梯的级数= 20×5+5×10=150（级）
[自主训练] 两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走， 男孩每秒可走3级阶梯，女孩每秒可走2级阶梯，结果从 扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。 问该扶梯共有多少级？ 3×100=自动扶梯级数+100秒新增的级数
原水量： 108-36×0.5=90份 或100-20×0.5=90份
90份
+
0.5份
8-0.5=7.5份 90份水需要8台抽水机几分钟舀完？
90÷（8-0.5）=12小时
例4 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的 孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩 每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩 用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？ 男孩： 20×5 = 自动扶梯的级数-5分钟减少的级数
假设每头牛每天的吃草量是1份
20×50=10公亩原有草量+10公亩50天新增量 20×50÷10=100 =1公亩原有草量+1公亩50天新增量 40×30=15公亩原有草量+15公亩30天新增量
40×30÷15=80 =1公亩原有草量+1公亩30天新增量
1公亩每天生长量= （100-80）÷（50-30）=1（份） 1公亩的草量= 100-1×50=50（份） 1 （40×50+40×1×24）÷24 123 3
100÷（25-5）=5天
[自主训练] 牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长， 这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天， 如果要供18头牛吃，可吃几天？
解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 9×20=180份……原草量+20天的生长量
15×10=150份……原草量+10天的生长量
2、牛顿牧场
牛顿牧场是理想牧场，在这个牧场上草是匀速生长的
3、牛吃草问题三部曲
（1）先算新生草量 （2）再算原有草量 （3）最后计算问题
例1 牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草 可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。问：这片牧草 可供25头牛吃多少天？
[自主训练] 盛德美9时开门营业，开门前就有人等候入场， 如果第一个顾客来时起，每分钟来的顾客人数同样多，那 么开4个门等候的人全部进入商场要8分钟，开6个门等候 的人全部进入商场只要4分钟，问第一个顾客到达时是几 时几分？ 假设每分钟每个检票口进的人数为1份 4×8= 原有等待的人数+8分钟新增的人数 6×4= 原有等待的人数+6分钟新增的人数 每分钟新增的人数= （4×8-6×4）÷（8-6） = 4（份） 原有等待的人数= 4×8-8×4=0（份）
解：假设1人1小时舀1份水 12×3=36份……原水量+3小时进水量
5×10=50份……原水量+10小时的进水量
每小时的进水量： （50-36）÷（10-3）=2份 原水量： 36-3×2=30份 或50-10×2=30份
30份
+
2份
2×6=12份 （30+12）份水需要几个人6小时舀完？
（30+12）÷6=7小时
2×300=自动扶梯级数+300秒新增的级数
每秒新增的级数：
（2×300-3×100）÷（300-100）=1.5（级）
自动扶梯级数= 3×100-100×1.5=150（级）
例5 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的 旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同 时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。 如果同时打开7个检票口，那么需要多少分钟？
草每天的减少量： （240-225）÷（9-8）=15份 原草量： 240+8×15=360份 或220+9×15=360份
400份
-
15份
15头牛在吃
360份草可供21头牛吃几天？ 360÷（21+15）=10天
例3 一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发 现漏洞时已经进入了一些水，如果用12人舀水，3小时舀 完，如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完，现在想在 6小时舀完，需要多少人？
第一块草量为：
每公顷草每天的生长量为：
（51-36）÷（84-54）=0.5份
每公亩的草量：
第三块牧场可供：
36-54×0.5=9份 或51-84×0.5=9份
（40×9+40×0.5×24）÷24=35（头）
[自主训练] 有3个牧场长满草，第一牧场10公亩，可供 20头牛吃50天，第二牧场15公亩，可供40头牛吃30天， 第三牧场40公亩，可供多少头牛吃24天？（每块地每公 亩的草量相同而且都是匀速生长）
解：假设1只羊1天吃1份草
草每天的生长量为：
（5×30-7×20）÷（30-20）=1份
原有的草量为： 5×30-30×1=120份 或7×20-20×1=120份
10天后所剩草量： 120+10×1-8×10=50份
10天还有6只羊可吃几天？ 50÷（6-1）=10天
草每天的生长量： （180-150）÷（20-10）=3份 原草量： 180-20×3=120份 或150-10×3=120份
120份
+
3份
剩下18-3=15头
3头
吃
15头牛吃120份草能吃几天？
120÷（18-3）=8天
例2 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反 而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛 吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛 吃10天？
例7 有一牧场长满牧草，每天牧草匀速生长，这个牧场 可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天，现在有若干头 牛在吃草，6天后，4头牛死亡，余下的牛吃2天将草吃完， 问原来有多少头牛？
解：假设1头牛1天吃1份草
草每天的生长量为：
（17×30-19×24）÷（30-24）=9份
原有的草量为： 17×30-30×9=240份 或29×24-24×9=240份
[自主训练] 有一口水井，持续不断地涌出水，而且每分 钟涌出的水量相等。如果用3台抽水机抽水36分钟可以抽 完，如果用5台抽水机抽水，20分钟可以抽完，现在用8 台抽水机抽完水，需要几分钟？
解：假设1台抽水机1小时抽1份水
3×36=108份……原水量+36分钟进水量
5×20=100份……原水量+20分钟的进水 量 每分钟的进水量： （108-100）÷（36-20）=0.5份
例6 有3个牧场长满草，第一牧场33公亩，可供 22头牛吃54天，第二牧场28公亩，可供17头牛吃 84天，第三牧场40公亩，可供多少头牛吃24天？
解：假设1头牛1天吃1份草
22×54=1188份 平均每公顷有草量： 1188÷33=36份 第二块草量为： 17×84=1428份
平均每公顷有草量： 1428÷28=51份
假设每分钟每个检票口进的人数为1份
4×30= 原有等待的人数+30分钟新增的人数
5×20= 原有等待的人数+20分钟新增的人数
每分钟新增的人数= （4×30-5×20）÷（30-20） = 2（份） 原有等待的人数= 4×30-30×2=60（份） 专门安排2个检票口检新增加的人
60÷（7-2）=12（分钟）
若4头牛不死，这群牛在6+2=8天内共吃草 240+9×8+2×4=320份
320份草可共几头牛吃8天？ 320÷8=40头
[自主训练] 一个牧场上长满了青草，这些牧草可供5只羊 吃30天，或者可供7只羊吃20天，现在牧场上有8只羊， 10天后，有2只羊死亡，剩下的羊多少天可以将牧场上的 草吃完？
解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 20×5=100份……原草量-5天的减少量
15×6=90份……原草量-6天的减少量
草每天的减少量： （100-90）÷（6-5）=10份 原草量： 100+5×10=150份 或90+6×10=150份
150份
-
10份
ห้องสมุดไป่ตู้
剩下150-100=50份
10天减少
10×10=100份
50份草可供多少头牛吃10天？
（150-10×10）÷10=5头
[自主训练] 由于天气逐渐寒冷，牧场上的牧草每天以均 匀的速度减少，经测算，牧场上的草可供30头牛吃8天， 可供25头牛吃9天，那么可供21头牛吃几天？
解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份
30×8=240份……原草量-8天的减少量
25×9=225份……原草量-9天的减少量
解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 10×20=200份……原草量+20天的生长量
15×10=150份……原草量+10天的生长量
草每天的生长量： （200-150）÷（20-10）=5份 原草量： 200-20×5=100份 或150-10×5=100份
100份
+
5份
剩下25-5=20头
5头
吃
20头牛吃100份草能吃几天？
女孩： 15×6 = 自动扶梯的级数-6分钟减少的级数
每分钟减少的级数= (20×5-15×6) ÷(6-5)=10(级)
自动扶梯的级数= 20×5+5×10=150（级）
[自主训练] 两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走， 男孩每秒可走3级阶梯，女孩每秒可走2级阶梯，结果从 扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。 问该扶梯共有多少级？ 3×100=自动扶梯级数+100秒新增的级数
原水量： 108-36×0.5=90份 或100-20×0.5=90份
90份
+
0.5份
8-0.5=7.5份 90份水需要8台抽水机几分钟舀完？
90÷（8-0.5）=12小时
例4 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的 孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩 每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩 用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？ 男孩： 20×5 = 自动扶梯的级数-5分钟减少的级数
假设每头牛每天的吃草量是1份
20×50=10公亩原有草量+10公亩50天新增量 20×50÷10=100 =1公亩原有草量+1公亩50天新增量 40×30=15公亩原有草量+15公亩30天新增量
40×30÷15=80 =1公亩原有草量+1公亩30天新增量
1公亩每天生长量= （100-80）÷（50-30）=1（份） 1公亩的草量= 100-1×50=50（份） 1 （40×50+40×1×24）÷24 123 3
100÷（25-5）=5天
[自主训练] 牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长， 这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天， 如果要供18头牛吃，可吃几天？
解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 9×20=180份……原草量+20天的生长量
15×10=150份……原草量+10天的生长量