1.4平行线的性质(2)
平行线和垂直线的认识和性质
平行线和垂直线的认识和性质平行线和垂直线是几何学中的基本概念，它们在解决几何问题和建筑设计中起着重要作用。
本文将从认识和性质两个方面来探讨平行线和垂直线的相关知识。
一、平行线的认识和性质1. 平行线的定义平行线是位于同一个平面上且永不会相交的两条直线。
这意味着两条平行线之间的距离保持恒定，不会发生变化。
2. 平行线的性质（1）平行线具有同方向性，即两条平行线延伸至无穷远处也不会相交。
（2）平行线上的任意一对对应角相等。
（3）平行线与同一个第三条直线相交时，对应角、内错角、外错角之和均为180度。
例如，图中的AB和CD是平行线，EF是第三条直线。
对应角∠1和∠5相等，内错角∠1和∠4之和为180度，外错角∠2和∠5之和为180度。
[插入示意图]二、垂直线的认识和性质1. 垂直线的定义垂直线是与平面上的另一条直线相交，且相交角为90度的直线。
垂直线可以通过使用垂直角、正交形等方式来判断。
2. 垂直线的性质（1）垂直线之间的相交角为90度。
（2）与一个直线垂直的线段称为该直线的垂线。
（3）平行于同一条直线的两条直线垂直于同一个直线时，这两条直线平行。
例如，图中的AB是直线，CD为与AB相交且相交角为90度的线段，EFG是平行于AB且相交于CD的直线。
这样，EF与CD垂直，AB与EF平行。
[插入示意图]三、平行线和垂直线的关系1. 平行线和垂直线的关系平行线与另一条直线相交时，所得的相交角为180度减去对应角。
换句话说，平行线与另一条直线的相交角为180度减去与该直线平行的线段与该直线的夹角。
2. 平行线和垂直线的应用平行线和垂直线在几何学和建筑设计中有广泛应用。
在三角形的证明和计算中，我们经常会用到平行线和垂直线的性质。
此外，在建筑设计中，垂直线的应用很常见，可以保证建筑物的平稳和坚固。
例如，在建造一座摩天大楼时，垂直线的应用保证了建筑物的垂直性，确保了建筑物的结构稳定。
平行线的应用可以使建筑物的线条更加整齐，增强了视觉效果。
浙教版数学七年级下册1.4《平行线的性质》教学设计1
浙教版数学七年级下册1.4《平行线的性质》教学设计1一. 教材分析《平行线的性质》是浙教版数学七年级下册1.4节的内容，主要包括平行线的传递性质、同位角、内错角和同旁内角的概念及它们之间的关系。
本节内容是学生学习几何的基础知识，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了平行线的概念，但对平行线的性质和角度关系还不够了解。
学生的空间想象力有所不同，逻辑思维能力也各有差异。
因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，引导学生通过观察、操作、思考、交流和总结，逐步掌握平行线的性质。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握平行线的传递性质，理解同位角、内错角和同旁内角的概念及它们之间的关系。
2.过程与方法：培养学生观察、操作、思考、交流和总结的能力，提高空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作精神。
四. 教学重难点1.教学重点：平行线的传递性质，同位角、内错角和同旁内角的概念及它们之间的关系。
2.教学难点：平行线性质的灵活运用，角度关系的推导和证明。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和几何图形，引导学生发现平行线的性质，激发学生的学习兴趣。
2.动手操作法：让学生通过折纸、拼图等动手操作活动，观察和体验平行线的性质，培养学生的空间想象能力。
3.合作交流法：鼓励学生分组讨论，共同探讨平行线的性质，提高学生的团队协作能力。
4.引导发现法：教师引导学生发现问题，引导学生通过思考和总结，得出平行线的性质，培养学生的逻辑思维能力。
六. 教学准备1.教学素材：准备相关的图片、图形和实例，制作PPT。
2.教学工具：准备黑板、粉笔、直尺、圆规等。
3.学生活动材料：准备折纸、拼图等动手操作材料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示生活中常见的平行线现象，如楼梯、铁路等，引导学生回顾平行线的概念，激发学生的学习兴趣。
(新人教版)数学七年级下册：5.3.1《平行线的性质(第2课时)》教学设计(两套)
5.3.2平行线的性质(第2课时)平行线的性质(二)教学目标1.经历观察、操作、推理、交流等活动,进一步发展空间观念,推理能力和有条理表达能力.2.理解两条平行线的距离的含义,了解命题的含义,会区分命题的题设和结论.3.能够综合运用平行线性质和判定解题. 重点、难点重点:平行线性质和判定综合应用,两条平行的距离,命题等概念. 难点:平行线性质和判定灵活运用. 教学过程 一、复习引入1.平行线的判定方法有哪些?(注意:平行线的判定方法三种,另外还有平行公理的推论)2.平行线的性质有哪些.3.完成下面填空.已知:如图,BE 是AB 的延长线,AD ∥BC,AB ∥CD,若∠D=100°,则∠C=_____, ∠A=______,∠CBE=________.4.a ⊥b,c ⊥b,那么a 与c 的位置关系如何?为什么?cb二、进行新课1.例1 已知:如上图,a ∥c,a ⊥b,直线b 与c 垂直吗?为什么?学生容易判断出直线b 与c 垂直.鉴于这一点,教师应引导学生思考:(1)要说明b ⊥c,根据两条直线互相垂直的意义, 需要从它们所成的角中说明某个角是90°,是哪一个角?通过什么途径得来?(2)已知a ⊥b,这个“形”通过哪个“数”来说理,即哪个角是90°.(3)上述两角应该有某种直接关系,如同位角关系、内错角关系、同旁内角关系,你能确定它们吗?让学生写出说理过程,师生共同评价三种不同的说理. 2.实践与探究(1)下列各图中,已知AB ∥EF,点C 任意选取(在AB 、EF 之间,又在BF 的左侧).请测量各图中∠B 、∠C 、∠F通过上述实践,试猜想∠B 、∠F 、∠C 之间的关系,写出这种关系,试加以说明.E D C B AFECBAFECBA(1) (2) 教师投影题目:学生依据题意,画出类似图(1)、图(2)的图形,测量并填表,并猜想:∠B+∠F=∠C.在进行说理前,教师让学生思考:平行线的性质对解题有什么帮助? 教师视学生情况进一步引导:①虽然AB ∥EF,但是∠B 与∠F 不是同位角,也不是内错角或同旁内角. 不能确定它们之间关系.②∠B 与∠C 是直线AB 、CF 被直线BC 所截而成的内错角,但是AB 与CF 不平行.能不能创造条件,应用平行线性质,学生自然想到过点C 作CD ∥AB,这样就能用上平行线的性质,得到∠B=∠BCD.③如果要说明∠F=∠FCD,只要说明CD 与EF 平行,你能做到这一点吗?以上分析后,学生先推理说明, 师生交流,教师给出说理过程.FEDCB A作CD ∥AB,因为AB ∥EF,CD ∥AB,所以CD ∥EF(两条直线都与第三条直线平行, 这两条直线也互相平行).所以∠F=∠FCD(两直线平行,内错角相等).因为CD ∥AB.所以∠B=∠BCD(两直线平行,内错角相等).所以∠B+∠F=∠BCF. (2)教师投影课本P23探究的图(图5.3-4)及文字.①学生读题思考:线段B 1C 1,B 2C 2……B 5C 5都与两条平行线的横线A 1B 5和A 2C 5垂直吗?它们的长度相等吗?②学生实践操作,得出结论:线段B 1C 1,B 2C 2……,B 5C 5同时垂直于两条平行直线A1B5和A 2C 5,并且它们的长度相等.③师生给两条平行线的距离下定义.学生分清线段B 1C 1的特征:第一点线段B 1C 1两端点分别在两条平行线上,即它是夹在这两条平行线间的线段,第二点线段B 1C 1同时垂直这两条平行线. 教师板书定义:(像线段B 1C 1)同时垂直于两条平行线, 并且夹在这两条平行线间的线段的长度,叫做这两条平行线的距离.④利用点到直线的距离来定义两条平行线的距离.F EDCBA教师画AB ∥CD,在CD 上任取一点E,作EF ⊥AB,垂足为F.学生思考:EF 是否垂直直线CD?垂线段EF 的长度d 是平行线AB 、CD 的距离吗? 这两个问题学生不难回答,教师归纳:两条平行线间的距离可以理解为:两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离.教师强调:两条平行线的距离处处相等,而不随垂线段的位置改变而改变. 3.了解命题和它的构成.(1)教师给出下列语句,学生分析语句的特点.①如果两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也互相平行; ②等式两边都加同一个数,结果仍是等式; ③对顶角相等;④如果两条直线不平行,那么同位角不相等.这些语句都是对某一件事情作出“是”或“不是”的判断. (2)给出命题的定义.判断一件事情的语句,叫做命题.教师指出上述四个语句都是命题,而语句“画AB ∥CD”没有判断成分,不是命题.教师让学生举例说明是命题和不是命题的语句. (3)命题的组成.①命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项. ②命题的形成.命题通常写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.有的命题没有写成“如果……，那么……”的形式，题设与结论不明显，这时要分清命题判断了什么事情，有什么已知事项，再改写成“如果……，那么……”形式. 师生共同分析上述四个命题的题设和结论,重点分析第②、③语句. 第②命题中,“存在一个等式”而且“这等式两边加同一个数”是题设， “结果仍是等式”是结论。
2023年浙教版数学七年级下册全方位训练卷1
2023年浙教版数学七年级下册全方位训练卷1.4平行线的性质一、单选题（每题3分，共30分）1．（2022七下·梧州期末）下列说法中，错误的是（）A．两直线平行，同位角相等B．对顶角相等C．同旁内角互补，两直线平行D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等【答案】D【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质【解析】【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故该选项正确，不符合题意；B、对顶角相等，故该选项正确，不符合题意；C、同旁内角互补，两直线平行，故该选项正确，不符合题意；D、两条平行的直线被第三条直线所截，内错角相等，故该选项不正确，符合题意.故答案为：D.【分析】根据平行线的性质可判断A、D；根据对顶角的性质可判断B；根据平行线的判定定理可判断C.2．（2022七下·巴彦期末）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．45°【答案】C【知识点】垂线；平行线的性质；对顶角及其性质【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∴∠2+∠ABD=180°，∵DB⊥BC，∴∠CBD=90°，∵∠ABC=∠1=40°，∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=130°，∴∠2=50°．故答案为：C【分析】由平行线的性质可得∠2+∠ABD=180°，由垂直的定义可得∠CBD=90°，由对顶角相等可得∠ABC=∠1=40°，从而求出∠ABD=∠ABC+∠CBD=130°，继而求解.3．（2022七下·无为期末）如图，直线AB与CD相交于E，在∠CEB的平分线上有一点F，FM∥AB．当∠3=10°时，∠F的度数是（）A．82°B．80°C．85°D．83 °【答案】C【知识点】角的运算；平行线的性质【解析】【解答】解：∵∠3=10°，∴∠BEC=180°−10°=170°，∵EN平分∠CEB，∴∠2=85°，∵FM∥AB，∴∠F=∠2=85°，故答案为：C．【分析】根据题意先求出∠BEC=170°，再求出∠2=85°，最后计算求解即可。
2020春浙教版七年级数学下册 第1章 1.4.2 平行线的内错角、同旁内角性质
15．如图，若∠1＝∠2，DE∥BC，则①FG∥DC；②∠AED＝ ∠ACB；③CD 平分∠ACB；④∠1＋∠B＝90°；⑤∠BFG＝ ∠BDC，其中正确的结论是( ) A．①②③ B．①②⑤ C．①③④ D．③④
【点拨】∵a∥b，∴∠1＋∠BCA＋∠BAC＋∠2＝180°. ∵∠BAC＝30°，∠BCA＝90°，∠1＝20°，∴∠2＝40°.
17．如图，已知∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，BO，CO 分别平分 ∠ABC，∠ACB，DE 过 O 点，且 DE∥BC，求∠BOC 的度 数．
解：因为 DE∥BC，所以∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCB. 因为 BO，CO 分别平分∠ABC，∠ACB， 所以∠OBC＝12∠ABC＝20°，∠OCB＝12∠ACB＝30°， 所以∠DOB＝20°，∠EOC＝30°， 所以∠BOC＝180°－∠DOB－∠EOC＝130°.
【点拨】∵DE∥BC，∴∠DCB＝∠1，∠AED＝∠ACB，故② 正确；∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DCB，∴FG∥DC，故①正确； ∴∠BFG＝∠BDC，故⑤正确；而 CD 不一定平分∠ACB，∠1 ＋∠B 不一定等于 90°，故③④错误，故选 B.
【答案】B
16．【2019·齐齐哈尔】如图，直线 a∥b，将一块含有 30°角(∠ BAC＝30°)的直角三角板按图中方式放置，其中点 A 和点 C 分别落在直线 a 和 b 上，若∠1＝20°，则∠2 的度数为( C ) A．20° B．30° C．40° D．50°
1＝60°，则下列结论错误的是( D )
A．∠2＝60°
B．∠3＝60°
C．∠4＝120°
1.4 平行线的性质定理 课件(冀教版八年级下)
A
D
B
C
中学学科网
请大家谈一谈本节课 有哪些收获与体会!
作业
1)复习1.4 2)课后作业题 1.2.3.4必做;5选做
A a
中学学科网
D
C B b
如图是一个平行四边形,请表示出图中的平 行线AD与BC之间的距离.
A
D
B
C
画一画
• 已知直线l,把这条直线平移,使经平移所得的 像与直线l的距离为1.5cm,求作直线l平移后 所得的像.
l
例2：如图，已知AD//BC，判断 S
是否相等，并说明理由。
ABC
与
SDBC
A
B
a
b
AC＝DB
C
D
两条平行线中，一条直线 上的点到另一条直线的距 离处处相等。
A
B
abCຫໍສະໝຸດ D这个距离就叫做这两条平行线之间的距离。
课本做一做及 课内练习1
• • • • •
如图a∥b,AB⊥a于A,CD⊥b于C, 1)点B与点D的距离是指线段 的长; 2)点D到直线b的距离是指 ; 3)两平行线a,b的距离是 或 ; 4)线段AB的长可指 的距离.
北师大七年级 (下 ) ) 《数学》 (浙教版 .八年级 上册
4
A
B
连结两点的线段的长度叫两点间的距离 P
中学学科网
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。
合作学习
请任意画两条互相平行的直线a、b，在直线a上，
任意取两点A，B。然后量出点A、B到直线b的距
离，并加以比较，你能得到什么结果？
平行线与同位角的性质
平行线与同位角的性质平行线与同位角的性质是几何学中的基本概念，它们在解决几何问题和证明几何定理时起着重要的作用。
本文将介绍平行线的定义和性质，进而探讨同位角的概念以及同位角与平行线的关系。
1. 平行线的定义和性质在平面几何中，当两条直线在平面上的位置相对固定，且永不相交，我们称这两条直线为平行线。
平行线的性质如下：1.1 两条平行线夹在同一个传声筒线上的各个角度互相等于，这些角度被称为同位角。
1.2 平行线间的垂直线也是平行线。
1.3 平行线之间的距离在任意两个平行线上取得的赛式一致。
1.4 平行线具有相似的性质，比如平行线上的对应角、内错角、同位角都是相等。
2. 同位角的定义和性质同位角是相对于两条平行线的一对相似的角。
在同一边的两条传声筒线之间形成的角称为同位角。
同位角的性质如下：2.1 同位角的度数相等，即同位角对应的弧度数相等。
2.2 同位角相互补角，即如果一个同位角是锐角，则其对应的同位角是钝角，反之亦然。
2.3 同位角的角对是镜像对称的，即同位角的两个角对是一对直线对称的。
3. 平行线与同位角的关系平行线与同位角之间存在着密切的关系，具体表现为以下几个方面：3.1 平行线之间的同位角是相等的，它们可以互相替代，进行推理和证明。
3.2 利用同位角的性质，我们可以推导出很多有关平行线的定理，比如平行线与一些特殊角的关系，如内错角和对应角。
3.3 同位角可以帮助我们解决平行线交线问题，如判断两条线是否平行、判断两条线是否相交等。
通过深入理解平行线和同位角的概念与性质，我们可以更好地掌握几何学中的相关知识并应用于解题和证明。
熟练掌握平行线与同位角的性质，可以让我们更轻松地应对各种几何问题，提高问题解决的效率和准确性。
总结：平行线与同位角是几何学中的基础概念，深入理解它们的定义和性质对于解决几何问题和证明几何定理具有重要意义。
平行线具有相似角和相似距离的性质，而同位角则是平行线相关角度的代表。
1.4平行线的性质 (2)
3、已知如图：BD平分∠ABC, ∠1=∠2 , ∠C=70，求∠ADE的度数。
解： ∵BD平分∠ABC（已知） ∴∠1＝∠3（角平分线的定义 ）
又∵∠1＝∠2（已知）
E
1 3 2
A
D
C
∴∠2＝∠3 B ∴DE∥BC （ 内错角相等，两直线平行）
∴∠ADE＝∠C＝70 （ 两直线平行，同位角相等 ）
E A 得到：∠2=∠3 ∠3+∠4= 180° C
4 1 3 2
B
D
F 观察下∠2与∠3、 ∠3与∠4的位置关系，
发现平行线还有哪些性质?并用简洁的一句话来描述。
E
平行线的性质：
C
A
4
1 3 2
B
D
F
（1）两直线平行，同位角相等。
∵AB∥CD ∴ ∠1=∠2
（2）两直线平行，内错角相等．
∵AB∥CD ∴ ∠3=∠2 （3）两直线平行，同旁内角互补． ∵AB∥CD ∴ ∠3+∠4 = 180°
做一做：
2、如图，已知AB//CD，AD//BC，填空：
（1）∵AB//CD（已知）
∴∠1＝______( ∠D 两直线平行，内错角相等。) （2）∵AD//BC（已知） ∠ACB 两直线平行，内错角相等 ) ∴∠2 ＝_______(
A B
1 2
D C
例1：如图，已知AB ∥ CD， AD ∥ BC。
例2：如图，已知∠ABC+∠C=180°，BD平分
∠ABC。∠CBD与∠D相等吗？请说明理由。
A
（1）由已知BD平分∠ABC 可以推出什么？ （2）由所求，需要说明哪两个
B C
D
角相等？能转化成说明∠ABD=∠D吗？ （3）要说明∠ABD=∠D，需要说明什么？
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两直线平行，内错角相等。
两直线平行，同旁内角互补
思考: 1、判定与性质的条件与结论有什么关系？
2、使用判定时是已知角的相等或，互说补明
互换。 两直；线平行
使用性质时是已知 两直线，平行说明 角的相。等或互补
1、如图，AB，CD被EF所截，AB∥CD ∠2=__∠__1__（ 两直线平行 内错角相等 ）
C
D
∴ ∠A=∠1 (两直线平行,同位角相等)
又∵AB//CD(已知)
∴ ∠1=∠C(两直线平行,同位角相等)
∴ ∠A=∠C (等量代换)
∵ ∠A＝40 ∴ ∠C＝40
如图, 已知AG//CF, ∠A=∠C ,试说明AB//CD。
G
F
A
1
E
B
C
D
如图，直线AB∥CD，并被直线EF所截。 ∠2与∠3相等吗？∠3与∠4的和是多少度？
∠1+∠3 =__1_8_0_°_（两直线平行同旁内角互补）
若∠1=120°，则∠2=__1_2_0_°
∠3= 180° －∠1=__6_0_°____ A
C
2
E
F
13
B
D
2、如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同， 也就是拐弯前后的两条路互相平行。第一次拐的角∠B 等于1420，第二次拐的角∠C是多少度？为什么？
DF
C
A
EB
2 、 如 图 2 ， 已 知 AB∥CD ， AE∥DF 。 请 说 明 ∠BAE=∠CDF
A
B∠ABC, ∠1=∠2 , ∠C=70，求∠ADE的度数。
解： ∵BD平分∠ABC（已知）
A
∴∠1＝∠3（ 角平分线的定义）
又∵∠1＝∠2（已知）
E2
D
∴∠2＝∠3
1
B3
C
∴DE∥BC（ 内错角相等，两直线平行）
∴∠ADE＝∠C＝70（ 两直线平行，同位角相等）
∴ ∠2+∠BAD=1800 （同理） ∴∠1=∠2 （同角的补角相等）
练一练：
1、如图所示 ∠1 =∠2，
cd
1
求证 ： ∠3 =∠4
a3
证明：∵ ∠1 =∠2（已知）
4
2
b
∴a//b(同位角相等,两直线平行)
∴ ∠3 =∠4(两直线平行，内错角相等)
例2、如图，已知∠ABC+∠C=180°，BD平分
E 1
A3
B
4
2
C
D
F
如果直线AB∥CD，并被直线EF所截。
那么∠2=∠3；
E
1
∠3+∠4=180º A 3
B
4
2
C
D
F
你发现平行线还有哪些性质？
平行线的性质2：
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
简单地说，两直线平行，内错角相等。 A
C
2
∵AB ∥CD( 已知 )
E
13
F
B
D
∴ ∠1= ∠2( 两直线平行，内错角相等 )
c
1
3
a
24
b
d
2、如图1，已知AD∥BC，∠BAD=∠BCD。
判断AB与CD是否平行，并说明理由
D
C
A
B
图1
3、如图，CD是△ABC的中线，延长CD至E，使CD=DE. 试判断AC与BE是否平行，并说明理由.
C
1
D
A
B
2
E
1、如图所示, 已知AB//CD ,AD//BC, BF平分 ∠ABC ,DE平分∠ADC,则 DE//FB,请说明理由.
1.4平行线的性质(2)
知识回顾
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等 简单的说，两直线平行，同位角相等 。
∵AB ∥CD( 已知 )
E 1
A3
B
42
C
D
F
∴ ∠1= ∠2( 两直线平行 同位角相等)
如图，已知AG//CF，AB//CD， G
∠A＝40，求∠C的度数。
A
F 1
E
B
解: ∵ AG//CF(已知)
CD
D
AE
A B
440 570
B
C
3、如图，直线DE经过点A，DE//BC，∠B=440，∠C=570。 （1）∠DAB 等于多少度？为什么？ （2）∠DAC 等于多少度？为什么？
例1、如图，已知AB∥CD，AD∥BC。判断∠1
与∠2是否相等，并说明理由。
D
1
C
2
解：∵AB∥CD（已知）
A
B
∴ ∠1+∠BAD=1800（两直线平行，同旁内角互补） ∵AD∥BC（已知）
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
简单地说，两直线平行，同旁内角互补。
∵AB ∥CD( 已知 ) ∴ ∠1+ ∠3=180º（两直线平行，同旁内角互补）
判定和性质的比较
两条直线被第三条直线所截
判定
条件
结论
同位角相等， 两直线平行
内错角相等， 两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
性质
条件
结论
两直线平行，同位角相等。
∠ABC。∠CBD与∠D相等吗？请说明理由。
解：∠CBD=∠D。理由如下：
∵∠ABC+∠C=180° （已知） ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠D=∠ABD（两直线平行，内错角相等）
A
B
又∵BD平分∠ABC
∴∠CBD=∠ABD=∠D
D
C
1、如图，已知∠1=∠2，∠3=65°, 求∠4的度数。